1.2力矩及物体的平衡

L4 L2
● ●
O
O
三、力矩的定义与公式
1.力矩的定义：符号 M ，是有方向性的物理量， 施力大小 以 与力臂 的乘积衡量物体的转动效果。 2.力矩的公式：
力矩 施力力臂
M FL
3.力矩的单位： 。 与功的单位相同，但意义截然不同
力矩的单位： N.m＝牛顿.米
4.转动的观察 ① 转轴 （支点 ）：转动中位置不变的点 ②方向： 順时针 ； 逆时针 。 ③施力方向（力的作用线） ④ 杠杆 ：绕转轴转动的装置
处于稳定平衡的物体偏离平衡位置时一般是势能增加。
(2)不稳定平衡 当物体稍稍偏离平衡位置时，有一个力或力矩使它 的偏离继续增大，这样的平衡叫不稳定平衡。 处于不稳定平衡的物体偏离平衡位置时一般是势能 减小。
(3)随遇平衡 当物体稍稍偏离平衡位置时，它所受的力或力矩不 发生变化，它能够在新的位置上再次平衡，这样的平 衡叫随遇平衡。 处于随遇平衡的物体偏离平衡位置时势能一般不变。
3.一般物体平衡问题
（第二届全国复赛）如图所示，匀质管子 AB 长为 L，重为 L G，其 A 端放在水平面上，而点 C 则靠在高 h 的光滑铅 2 直支座上，设管子与水平面成倾角θ=45°，试求要使管子 处于平衡时，它与水平面之间的摩擦因数的最小值。
Байду номын сангаас
0.55
A
C B θ h
质量为 50kg 的杆， 竖直地立在水平地面上， 杆与地面的 最小静摩擦因数μ为 0.3， 杆的上端被固定在地面上的绳牵拉 住，绳与杆的夹角θ为 30°，如图所示。 （1）若 水平力 F 作用在杆上，作用点到地面距离 h1
A
C
B
L G ＋GL ＝F 2
2L
F
A
C
G G
B
3.如图所示，一根均匀直棒AB，A端用光滑铰链
固定于顶板上，B端搁在一块表面粗糙的水平板上，
现设板向上运动而棒AB匀速转动，则木板对棒的弹
力如何变化？
FN
B

Ff G
A
4.如图，均匀细杆AB质量为M，A端装有转轴，B端 连接细线通过光滑滑轮和质量为m的重物C相连，若杆 AB呈水平，细线与水平方向夹角为 时恰能保持静止， 则M与m的关系是_____，杆对轴A的作用力大小为 ______。
的距离等于它与小突起A6的距离，
则薄片A6B6中点所受的（由另一薄
片的小突起A1所施的）压力。
2.杆秤专题
8.如图所示，c为杆秤秤杆系统的重心，a为杆称的定
盘星，证明：无论称杆的粗细如何变化，杆秤的刻度 沿杆轴线的方向总是均匀分布的。
9.（第九届预赛）有一水果店，所用的秤是吊盘式杆
秤，量程为10千克．现有一较大的西瓜，超过此秤的
二、力臂的定义
1.力臂的定义：
用力臂来说明施力的作用点和方向对转动效果影响 力作用线 的垂直距离，符号 L。 (1)力臂：支点 到 (2)力臂的意义： 在施力大小相同时，力臂越大者越容易转动。 施力的方向与杠杆的夹角越小时，力臂 越小 。 (3)找力臂程序: 找支点； 作力线； 画垂距 。
A
B

C
5.如图，光滑水平面上有一长木板，一均匀杆质
量为m，上端铰于O点，下端搁在板上，杆与板间的 动摩擦因数为＝1/2，杆与竖直方向成45角，则： （1）为使板向右匀速运动，向右的水平拉力F应 多大？ （2）为使板向左匀速运动， 向左的水平拉力F应多大？
F O
6.（第十届全国预赛）半径为R，质量 为m1的均匀圆球与一质量为m2的重物 分别用细绳AD和ACE悬挂于同一点A， 并处于平衡。如图所示，已知悬点A到 球心O的距离为L，若不考虑绳的质量 和绳与球的摩擦，试求悬挂圆球的绳 AD和竖直方向的夹角θ。
离底边中点的距离2L/9
③巴普斯定理
一个平面物体，质量均匀分布，令其上各质点沿垂直 于平面的方向运动，在空间扫过一立体体积，则此体 积等于面物体面积乘以物体质心在运动中所经过的路 程。
求两直角边长分别为a、b的直角三角形，质量均匀 分布，求质心的位置。
x=b/3，y=a/3
求均匀半圆盘的质心位置。设圆半径为R。
2.求力臂作图
L甲 D
若OP D
L乙
D 2
D L丙 2
L丁 0
L甲 L乙 L丙 L丁 垂直与杠杆的施力 , 力臂最大 , 转动效果最好
3.范例解说
欲施力將一圆柱（r=10cm）推上楼梯，如图：
①标出物体转动時的转轴（支点）位置。 ②如图的四个力F1、F2、F3、F4，其力臂依序为： L1＝ 10 cm；L2＝ 20 cm ,L3＝ 如图cm ；L4＝ cm 。 如图
7.（第六届预赛）有6个完全相同的刚性长条薄片AiBi （i=1，2…），其两端下方各有一个小突起，薄片及突 起的质量均不计，现将此6个薄片架在一只水平的碗口 上，使每个薄片一端的小突起Bi恰在碗口上，另一端小 突起Ai位于其下方薄片的正中，由正上方俯视如图所 示，若将质量为m的质点放在薄片
A6B6上一点，这一点与此薄片中点
一定在支面内，如果偏离平衡位置后，重力作用线
仍在支面内，物体就能回到平衡位置，属于稳定平 衡；但如果物体倾斜较大时，重力的作用线超出支 面，重力的力矩会使物体继续远离原来的位置，即 原来的平衡被破坏，利用这一点，常能为处理平衡 种类的一些问题找到解题的突破口。
八、稳度：
1.稳度：处于稳度平衡的物体，靠重力矩回复 原来平衡位置的能力。
闭金属丝的质心位置。
x=2R/（2+π）
一薄壁圆柱形烧杯,半径为R,质量为m,重心位于中心 线上,离杯底的高度为H,今将水慢慢注入烧杯中,问烧 杯连同杯中的水共同重心最低时水面离杯底的距离是
F F F1

L M＝FL sin L

F2
M＝F1L ＝FL sin
五、合力矩的意义
1.合力矩的意义： 当物体同时受到几个力产生的力矩时，合力矩 为 順逆力矩之和 。 （1）如果力矩的方向相同，转动效果会增強。 （2）力矩的方向不同，转动效果会減弱。 （3）当順时针方向的力矩和逆时针方向的力矩大 小相等，则合力矩为零，对物体的转动效果也 为零，原本静止的物体 不会转动 。
O
O
順时针力矩
逆时针力矩
5.范例解说 如图，F1、F2、F3对杠杆施力，则：
若以A为转轴，可能造成順时针转动的是 F1 F3。
若以B为转轴，可能造成逆时针转动的是 F1 F2。
若以C为转轴，可能造成逆时针转动的是 F1 F3。
F2 A B C
F1
F3
四、力矩计算的两种常用方法：
（3）重心升降法
对受重力和支持力作用而平衡的物体（包括质 点和刚体两种），判断其平衡种类时，常可用重心 升降法。即若使物体稍微偏离平衡位置，如其重心 升高，则为稳定平衡；若物体稍微偏离平衡位置后 其重心降低，则为不稳定平衡；而若物体偏离平衡 位置后其重心高度不变，则为随遇平衡。
（4）支面判断法
具有支面的物体平衡时，物体所重力的作用线
8m
G1x1＝G22 x1＝1.2m G1x2＋G22 ＝FT sin 308 x2＝0.4m
C A C 30 B A O
FT x2
30 B
x1 O 2m
G1
G2
2m G 2
G1
2.如左图匀质直角尺重为2G，C端为水平轴，不计
摩擦，当BC部分处于水平静止时，试求加在A端的最
小作用力。
1.2 力矩及物体的平衡
萍乡中学 吴志坚 2015.12.14
一、影响转动的因素探讨
O 转轴 OO’
A B C
在门 C 位置上施力，门很容易转动。
O’
1.影响物体转动的因素：
（1） 施力的大小 （2） （3） 作用点 。 方向
2.转动效果讨论：
越大 （1）当力的作用点和方向固定时，施
力 ，物体转动的效果越明显。 （2）当作用方向相同时，力作用点离支 越远 点 ，可以用越小的施力，产生相同的转 动效果。 （3）当力的作用点固定时，施力的方向和物 90 体的夹角越接近 度，可以用越小的施 力产生相同的转动效果。
量程．店员A找到另一秤砣，与此秤砣完全相同，把
15kg 它与原秤砣结在一起，作为秤砣进行称量．平衡时，
双跎位于6.5千克处．他将此读数乘以2得13千克，作 为此西瓜的质量，卖给顾客．店员B对这种称量结果 表示怀疑．为了检验，他取另一西瓜．用单秤砣正常 称量得8千克．用店员A的双秤砣法称得读数为3千克， 乘以2得6千克．由此证明了店员A的办法是不可靠 的．试问：店员A卖给顾客的那个西瓜的实际质量。
2.合力矩判定物体的转动：
M 合力矩 M 順 M 逆 或 M 逆 M 順
1 2
M 0 不转动 1.順时针力矩和 逆时针力矩和 不转动或匀速转动 M 0 必转动 1.順时针力矩和 逆时针力矩和 向順时针方向转动 2.順时针力矩和 逆时针力矩和 向逆时针方向转动
2.影响因素：
重心高度、支持面有效面积 重心高度越低，稳度越大； 支持面有效面积越大，稳度越大。
九、专题讲练：
1.有固定转轴平衡问题
1.均匀板重300 N，装置如图，AO长4 m，OB长8 m，
人重500 N，绳子能承受的最大拉力为200 N，求：
人能在板上安全行走的范围。
C A O
2m
30
B
4m
七、平衡种类的判断方法：
（1）受力分析法
当质点受到外界的扰动稍微偏离平衡位置以后，
如果所受合外力指向平衡位置，则此质点的平衡是稳
定的；如果所受的合外力背离平衡位置，则此质点的
平衡是不稳定的：如果所受的合外力为零，则质点处
于随遇平衡状态。
（2）力矩比较法
对于有支轴的刚性物体，当它受外界扰动而偏 离平衡位置时，如果外力会引起一个回复力矩，此 力矩有把物体拉回到原平衡位置的倾向，则称物体 处于稳定平衡状态；如果外力会引起一推斥力矩， 它有把物体推离原平衡位置的倾向，则称物体处于 不稳定状态；如果物体所受合力矩仍为零，则称物 体处于随遇平衡状态。
六、平衡与平衡条件：
1.平衡状态：静止、匀速直线运动或匀速转动。 2.平衡条件：
共点力平衡条件：合外力为零； F合＝0 固定转轴平衡条件：合外力矩为零； M顺＝M逆 一般物体平衡条件：合外力为零且合外力矩为零。
F合＝0 且 M顺＝M逆
3.平衡的种类：
(1)稳定平衡
当物体稍稍偏离平衡位置时，有一个力或力矩使之回 到平衡位置，这样的平衡叫稳定平衡。
tan
A
L d L cot 1
θ
B
4.重心、质心求解
（1）平行力的合成与分解
①同向平行力的合成： 两个平行力FA和FB相距AB，则合力ΣF的大小为 FA+FB，作用点C满足FA×AC=FB×BC的关系。
②反向平行力的合成： 两个大小不同的反向平行力FA和FB（FA＞FB）相距 AB，则合力ΣF的大小为FA－FB同向，作用点C满足 FA×AC=FB×BC的关系。
（2）质心位置求解方法 ①定义法（公式法）
②力矩平衡法 ③平行力合成法 ④割补法
⑤巴普斯定理及推论
如右图所示，匀质球质量为M、半径为R；匀质棒B
质量为m、长度为l。求它的重心。
半径R=30cm的均匀圆板上挖出一个半径
r=15cm的内切圆板，如图所示，求剩下部分的
重心。
离圆心的距离R/6
如图所示是一个均匀三角形割去一个小三角形 ABC，而BC//BC，且ABC的面积为原三 角形面积的1/4 ，已知BC边中线长度为L，求 剩下部分BCCB的重心。
x=4R/3π
巴普斯定理的推论
一条质量均匀分布的平面曲线，其上各点沿垂直于曲 线平面方向运动，在空间扫过一曲面，则此曲面面积 等于质心在运动中所经路程与曲线长度的乘积。
求质量均匀分布的半圆形金属线的质心位置。设圆
半径为R。
x=2R/π
如图 所示，由匀质金属丝围成的封闭图形，其中曲
线部分是半径为R的半圆，直线部分是直径。求此封
2 为杆长 L 的 ，要使杆不滑倒，则力 F 最大不超过多少？ 5 4L （2）若作用点移到 h2 处时，情况又如何？ 5
（第一届全国决赛），如图所示，有一长为L，重 为G0的粗细均匀杆AB，A端顶在竖直的粗糙的墙壁上， 杆端和墙壁间的摩擦因数为μ，B端用一强度足够大且 不可伸长的绳悬挂，绳的另一端固定在墙壁C点，木 杆处于水平，绳和杆夹角为θ。 （1）求杆能保持水平时，μ和θ应满足的条件； （2）若杆保持平衡状态时，在杆上某一范围内， 悬挂任意重的重物，都不能破坏 C 杆的平衡状态而在这个范围以 外，则当重物足够重时，总可 以使平衡破坏，求出这个范围来。