2.4.2抛物线的简单几何性质(第二课时)精品PPT课件

三角形的重心恰好是抛物线的焦点，求BC所在直线方程.
解：由y2 32x得焦点坐标为(8,0),设B(x1, y1)、C(x2 , y2 )，
A(2,8),三角形重心是(8,0),
x1 y1
x2 3 y2 3
2 8
8,即 0.
x1 y1
x2 y2
22， 8.
y
故BC中点为(11,4).
当k 1或k 1 时,直线与抛物线没有公共点。 2
练习:过点 M(0,1) 且和抛物线 C: y2 4x 仅有一个
公共点的直线的方程是__________________________.
联立
y y
kx 2 4x
1
y 1或 x 0或 y x1
消去 x 得 ky2 4 y 4 0
o
A(2,8)
.
F
x
又由yy1222
32x1 32x2
y1 y2 x1 x2
32 y1 y2
4
B
kBC 4.
C
故BC方程为4x y 40 0.
又由4yx2
y 40 32x.
0,得
x2 22x 100 0, 84 0.
故BC所在直线的方程为4x y 40 0.
例 3：已知正方形 ABCD 的一边 CD 在直线 y x 4 上, 顶点 A 、B 在抛物线 y2 x 上,求正方形的边长.
联立
4
y x2 y2 ax
a2
消y得x2
44 0
4 a x
解得a
40
8或a
0
则 x1 x2 4 a，x1 x2 4
AB 2 4 a2 4 4 4 6
解得a 12或a 4
故所求的抛物线的方程为y2 12x或y2 4x
练习:已知ABC的三个顶点都在抛物线y2 32x上，顶点A(2,8),
从点A、B、P分别向抛物线的准线作
ly
垂线，垂足分别为A1、B1、P1，依据
A1
A
抛物线的定义，|AF|=|AA1|,|BF|=|BB1|
所以|AB|=|AF|+|BF|=|AA1|+|BB1|,
p1
p
又PP1是梯形AA1BB1的中位线， 所以|AA1|+|BB1|=2|PP1|.
F
B1
B
x
因此，我们容易得到
方程 图
y2 = 2px
（p＞0） y
l
y2 = -2px （p＞0）
yl
x2 = 2py （p＞0）
y
F
x2 = -2py （p＞0）
y
l
形 范围
OF x F O x
O
x l
O F
x
x≥0 y∈R x≤0 y∈R x∈R y≥0 x∈R y≤0
对称性 关于x轴对称 关于x轴对称 关于y轴对称 关于y轴对称
解：设 AB 的方程为 y=x+b,
由
y x y2 x
b
消去
x
得
y2-y+b=0，
设 A(x1,y1) , B(x2,y2),
则 y1+y2=1 , y1y2=b,
∴ AB
1
1 k2
( y1 y1 )2 4 y1 y2 = 2 8b ，
又 AB 与 CD 的距离 d= 4 b ,由 ABCD 为正方形有
共点;⑵有两个公共点;⑶没有公共点?
解：直线l的方程为y 1 k(x 2).
由方程组
y
1 y2
k
(x 4x
2)
•
可得 ky2 4 y 4(2k 1) 0
⑴只有一个公共点
k 0,或
k 0 △ 16(2k 2 k 1) 0
k 1,或 k 0,或 k= 1
2
⑵有两个公共点
k
k = 0,或
k ≠0 △= 16 - 16k = 0
k = 0,或 k = 1
y 1或 x 0或 y x1
例2：顶点在原点，焦点在x轴上的抛物线被 直线y x 2截得的线段长为4 6，求抛物线的方程。
解：设所求的抛物线的方程为y2 ax a 0
抛物线被直线截得的线段端点为A x1, y1 , B x2, y2
x
yA
2 k
,
xA
2 k2
O F •M
x
B
联立
y
1 k
抛物线的焦点弦的如下性质:
(1) | AB | x1 x2 p 2x0 p (2)以AB为直径的圆必与准线相切
另外，将直线方程与抛物线方程联立方程组，l y
我们还可以推得以下结论：
(1)若直线的倾斜角为，则 | AB | 2P .
A1
A
sin2
(2) A、B两点间的横坐标之积，纵坐标之积均为 p1
p
定值，即x1x2
p2 4
, y1 y2
p2.
(3)设 | AF | m,| BF | n,则 1 1 2 .
F
B1
B
x
mn p
(4)所有的焦点弦中，通径是最短的.
通径就是过焦点且垂直于x轴的线段长为2p即为 最小值
|
AB |
2P
sin2
的
例 1 已知抛物线的方程为 y2 4x ,直线 l 过定点 P(2,1) , 斜率为 k , k 为何值时,直线 l 与抛物线 y2 4x :⑴只有一个公
2.4.2抛物线的几何意义(2)
一、抛物线的几何性质：
方程
性质 图形
设抛物线方程为：y2 2 px, ( p 0)
y
ldM
K
OF
x
范围 对称性 顶点坐标 离心率
焦半径 通径
x 0, y R 关于x轴对称 坐标原点(0, 0)
e 1
|
MF
|
x0
p 2
,
M (x0 , y0 )
| AB | 2 p
2 8b =
4b ,
2
2
解得 b= -2 或 b=-6.∴正方形的边长为 3 2 或 5 2 .
例4、过抛物线y2 2x的顶点作互相垂直的二弦OA,OB,
(1)求AB中点的轨迹方程；
y
(2)证明AB与x轴的交点为定值.
解：(1)设lOA : y kx,
则lOB
:
y
1 k
x
A
.
联立
y y
kx 2 2
k 0 △ 16(2k 2 k 1) 0
1 k 0, 或0 k 1 2
⑶没有公共点
k 0 △ 16(2k 2k1)0k
1,
或k 1 2
综上所述
当k 1,或k 0,或k 1 时,直线与抛物线只有一个公共点; 2
当 1 k 0或0 k 1 时,直线与抛物线有两个公共点; 2
顶点
焦半径
焦点弦 的长度
（0,0）
p 2
x0
p x1 x2
（0,0）
p 2
x0
p (x1 x2 )
（0,0）
p 2
y0
p y1 y2
（0,0）
p 2
y0
p ( y1 y2 )
二、抛物线的焦点弦：
如图所示，弦AB过抛物线y2 2 px( p 0)的焦点F， 设A(x1, y1)、B(x2, y2 )，弦AB的中点为P(x0,y0 ).