初三数学复习四边形专题

初三数学四边形专题一

例题精讲

例1在▱ABCD 中，P 是AB 边上的任意一点，过P 点作PE⊥AB，交AD 于E ，连结CE ，CP ．已知∠A=60°；

（1）若BC=8，AB=6，当AP 的长为多少时，△CPE 的面积最大，并求出面积的最大值．

（2）试探究当△CPE≌△CPB 时，▱ABCD 的两边AB 与BC 应满足什么关系

练习、如图，在平行四边形中，．（1）作出的平分线（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；（2）若（1）中所作的角平分线交于点，⊥,垂足为点，交于点，连接．求证：四边形为菱形．

例2、如图，矩形纸片ABCD 中，AB ＝3 cm ，BC ＝4 cm ．现将A ，C 重合，使纸片折叠压平，设折痕为EF ，试求AF 的长和重叠部分△AEF 的面积．

练习、如图，E 是矩形ABCD 的边AD 上一点，且BE ＝ED ，P 是对角线BD 上任意一点，PF ⊥BE ，PG ⊥AD ，垂足分别为F 、G ．求证：PF ＋PG ＝AB ．

例3、如图，在△ABC 中，AB=AC ，∠B=60°，∠FAC 、∠ECA 是△ABC 的两个外角，AD 平分∠FAC ，CD 平分∠ECA ． 求证：四边形ABCD 是菱形．

练习2、如图，在菱形ABCD 中，AC 为对角线，点E 、F 分别是边BC 、AD 的中点．

（1）求证：△ABE≌△CDF；

（2）若∠B=60°，AB=4，求线段AE 的长．

练习3、如图，点P 是菱形ABCD 对角线AC 上的一点，连接DP 并延长DP 交边AB 于点E ，连接BP 并延长交边AD 于点F ，交CD 的延长线于点G ．

（1）求证：△APB≌△APD；

（2）已知DF ：FA=1：2，设线段DP 的长为x ，线段PF 的长为y ．

①求y 与x 的函数关系式；

②当x=6时，求线段FG 的长．

例4、在正方形ABCD 的CD 边上取一点G ，在C G 上向原正方形外作正方形GCEF ，求证：DE BG ，DE=BG 。

D

C B A _F _G _C _D

_A _B _E

_H

练习1、如图，在边长为3的正方形ABCD 中，点E 是BC 边上的点，BE=1，∠AEP=90°，且EP 交正方形外角的平分线CP 于点P ，交边CD 于点F ，

（1）的值为 ； （2）求证：AE=EP ；

（3）在AB 边上是否存在点M ，使得四边形DMEP 是平行四边形若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由．

二、课后练习

1、若n 边形的每一个外角都等于60°，则n= ．

2、若菱形的两条对角线分别为2和3，则此菱形的面积是 ．

3、如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC 是边长为2的正方形，顶点A ，C 分别在x ，y 轴的正半轴上．点Q 在对角线OB 上，且OQ ＝OC ，连接CQ 并延长CQ 交边AB 于点P ，则点P 的坐标为( ， )．

4、如图，在矩形ABCD 中，点E 是边CD 的中点，将△ADE 沿AE 折叠后得到△AFE ，且点F 在矩形ABCD 内部．将AF 延长交边BC 于点G ．若，则 （用含k 的代数式表示）．②当x ＝6时，求线段FG 的长．

第4题 第5题 第6题 第7 题 第8题 5、如图，一个平行四边形的活动框架，对角线是两根橡皮筋．若改变框架的形状，则 也随之变化，两条对角线长度也在发生改变．当为 度时，两条对角线长度相等． 6、△OAB 是以正多边形相邻的两个顶点A 、B 与它的中心O 为顶点的三角形。若△OAB 的 一个内角为70，则该正多边形的边数为 。 7、如图，将菱形纸片ABCD 折迭，使点A 恰好落在菱形的对称中心O 处，折痕为EF 。若菱形ABCD 的边长为2 cm ， A =120，则EF = cm 。 8、 如图，在梯形ABCD 中，AD //BC ，AB =DC ，AC 与BD 相交 于点P 。已知A (2, 3)，B (1, 1)，D (4, 3)，则点P 的坐标为 。 9、如图，在四边形ABCD 中，AB =BC ，对角线BD 平分 ABC ，P 是BD 上一点，过点P 作PM AD ，PN CD ，垂 足分别为M 、N 。 (1) 求证：ADB =CDB ； (2) 若ADC =90，求证：四边形MPND 是正方形。

10、阅读下面材料：

小明遇到这样一个问题：如图1，在边长为的正方形ABCD 各边上分别截取AE=BF=CG=DH=1，当∠AFQ=∠BGM=∠CHN=∠DEP=45°时，求正方形MNPQ 的面积。

x y

A B C D P O A B C D N M P A B C D E F O

小明发现：分别延长QE，MF，NG，PH，交FA，GB，HC，ED的延长线于点R，S，T，W，可得△RQF，△SMG，△TNH，△WPE是四个全等的等腰直角三角形（如图2）

请回答：

（1）若将上述四个等腰直角三角形拼成一个新的正方形（无缝隙，不重叠），则这个新的正方形的边长为__________；

（2）求正方形MNPQ的面积。

参考小明思考问题的方法，解决问题：

如图3，在等边△ABC各边上分别截取AD=BE=CF，再分别过点D，E，F作BC，AC，AB的垂线，得到等边△RPQ，若，则AD的长为__________。

11、（1）如图1，已知△ABC，以AB、AC为边向△ABC外作等边△ABD和等边△ACE，连接BE，CD，请你完成图形，并证明：BE=CD；（尺规作图，不写做法，保留作图痕迹）；

（2）如图2，已知△ABC，以AB、AC为边向外作正方形ABFD和正方形ACGE，连接BE，CD，BE与CD有什么数量关系简单说明理由；

（3）运用（1）、（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：

如图3，要测量池塘两岸相对的两点B，E的距离，已经测得∠ABC=45°，∠CAE=90°，AB=BC=100米，AC=AE，求BE的长．