多元函数条件极值的几种求解方法
多元函数极值
提示: 当(x, y)=(0, 0)时, z=0, 而当(x, y)≠(0, 0) 时, z>0. 因此z=0是函数的极小值.
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一,多元函数的极值及最大值,最小值
极值的定义 设函数z=f(x, y)在点(x0, y0)的某个邻域内有定义, 如果对 于该邻域内任何异于(x0, y0)的点(x, y), 都有 f(x, y)<f(x0, y0)(或f(x, y)>f(x0, y0)), 则称函数在点(x0, y0)有极大值(或极小值)f(x0, y0). 例2 函数z = x2 + y2 在 (0, 0)处有极大值 点 .
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二,条件极值 拉格朗日乘数法
条件极值 对自变量有附加条件的极值称为条件极值. 求条件极值的方法 (1)将条件极值化为无条件极值 有时可以把条件极值问题化为无条件极值问题. 例如, 求V=xyz在条件2(xy+yz+xz)=a2下的最大值.
a2 2xy 由条件2(xy+ yz + xz)=a2 , 解得z = 得 , 于是 2(x+ y) xy a2 2xy V= ( ). 2 (x+ y) 这就把求条件极值问题转化成了求无条件极值问题.
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二,条件极值 拉格朗日乘数法
条件极值 对自变量有附加条件的极值称为条件极值. 求条件极值的方法 (1)将条件极值化为无条件极值 (2)用拉格朗日乘数法 在多数情况下较难把条件极值转化为无条件极值, 需要 用一种求条件极值的专用方法, 这就是拉格朗日乘数法. 下面导出函数z=f(x, y)在条件(x, y)=0下取得的极值的必 要条件. 假定f(x, y)及(x, y)有各种所需要的条件.
多元函数的极值与最值的求法
2.5柯西不等式法………………………………………………………………21
2.6向量法………………………………………………………………………22
2.7 利用极值求最值……………………………………………………………23
小结…………………………………………………………………………………25
1.2利用拉格朗日(Lagrange)乘数法求极值………………………………2
1.3利用几何模型法求解极值…………………………………………………3
1.4 通过雅可比(Jacobi)矩阵求条件极值…………………………………5
1.5利用参数方程求解条件极值………………………………………………11
1.6 利用方向导数判别多元函数的极值………………………………………12
1.7 用梯度法求极值……………………………………………………………15
2多元函数最值的求法……………………………………………………………17
2.1消元法………………………………………………………………………18
2.2均值不等式法………………………………………………………………18
2.3换元法………………………………………………………………………19
又方程(1)对x求偏导: ,得 , .
方程(1)对y求偏导: ,得 .
方程(2)对y求偏导: ,得 ,
在点(1,-1,6)有 ,且A<0,所以 是极大值。
在点(1,-1,2)处有 ,且A>0,所以 是极小值。
综上所述,知由方程 在点(1,-1,6)的某邻域内确定的函数, 是极大值;在点(1,-1,2)的某邻域内确定的函数, 是极小值.
用无条件极值判定多元函数条件极值
用无条件极值判定多元函数条件极值用无条件极值判定多元函数条件极值------------------------------------------------------------------多元函数的极值是指在定义域内,函数值变化最快的点,其特征为函数在极值点处切线垂直于坐标轴。
要求多元函数极值,一般采用导数法、无条件极值判定法、拉格朗日乘子法、几何法等方法。
### 一、导数法使用导数法来求多元函数极值,即通过计算函数的偏导数,使得偏导数等于0,从而得到极值点。
要想使用导数法求多元函数的极值,首先要计算出函数的一阶、二阶、三阶偏导数,然后将偏导数代入极值条件,即等于0,从而解出极值点。
### 二、无条件极值判定法无条件极值判定法是通过直观上判断函数在某一区间内是否存在极大值或者极小值,也就是判断函数在区间内的单调性。
例如,如果在某个区间内,函数的取值都是递增的,那么就说明该函数在该区间内有极小值;如果在某个区间内,函数的取值都是递减的,那么就说明该函数在该区间内有极大值。
### 三、拉格朗日乘子法拉格朗日乘子法是一种可以快速计算多元函数极值的方法。
这种方法将原来的多元函数变为一元函数,通过一元函数来求解多元函数的极值。
该方法的关键在于将原函数中的约束条件(如非负性约束、单调性约束、可行性约束等)用乘子的形式表达出来,然后将乘子代入原函数中,将原函数变为一元函数,最后使用一元函数的求解方法来解决该问题。
### 四、几何法几何法是通过图形直观表示来求多元函数极值的方法。
该方法通过在相应的图形上画上该函数的图形,然后由图形上的相应特征来判断该函数是否存在极大值或者极小值。
这种方法一般用于解决二元函数或者三元函数的问题。
总之,用无条件极值判定法来求多元函数条件极值是一种有效的方法,它不仅可以快速的找到多元函数的极值,而且还可以很好的发现多元函数的特性。
多元函数的极值及最大值
例5 求表面积为 a 而体积为最大的长方体 的体积 .
2
三、最小二乘法
作业:P70 1 5 8
要找函数z f ( x, y)在附加条件 ( x, y) 0 下的可能极值点,可以 先构成辅助函数 F ( x, y) f ( x, y) ( x, y) f x ( x, y ) x ( x, y ) 0 由: f y ( x, y ) y ( x, y ) 0 ( x, y ) 0
例3:某厂要用铁板做成一 个体积为2m 的有盖 长方形水箱 .问长、宽、高各取怎样 的尺 寸时,才能使用料最省 ?
例4:有一宽为 24cm的长方形铁板,把它两 边 折起来做成一个断面为 等腰梯形的水槽 . 问怎样折法才能使断面 的面积最大?
3
二、条件极值 拉格郎日乘数法
无条件极值 条件极值 拉格郎日乘数法
(1) AC B 2 0时具有极值,且当 A 0时有极大 值,当A 0时有极小值;
(2) AC B2 0时没有极值;
(3) AC B 2 0时可能有极值,也可能 没有极值, 还需另作讨论 . 3 3 2 2 例2:求函数f ( x, y) x y 3x 3 y 9x的极值 .
驻点:能使 f x ( x, y) 0, f y ( x, y) 0同时成立的点 .
可导:极值点 驻点. 驻点 ?极值点.
定理2(充分条件):设函数z f ( x, y )在点( x0 , y0 )的 某邻域内连续且有一阶 及二阶连续偏导数,又 f x ( x0 , y0 ) 0, f y ( x0 , y0 ) 0.令 f xx ( x0 , y0 ) A, f xy ( x0 , y0 ) B, f yy ( x0 , y0 ) C , 则f ( x, y )在( x0 , y0 )处是否取得极值的条件 如下:
多元函数求极值
多元函数求极值摘要:本文总结了多元函数求极限的各类方法,以及证明多元函数极限不存在的取各种花式路劲的例题。
一、多元函数极限的定义存在的问题:有两种定义方式分别以聚点/去心领域去定义重极限,不同的定义方式可能导致结果不同例1.1:求极限: \lim_{{x\to0}\atop{y\to0}}\frac{\sqrt{xy+1}-1}{xy} .解:法I(聚点定义).\lim_{{x\to0}\atop{y\to0}}\frac{\sqrt{xy+1}-1}{xy}=\lim_{{x\to0}\atop{y\to0}}\frac{xy}{xy(\sqrt{xy+1}+1)}=\l im_{{x\to0}\atop{y\to0}}\frac{1}{\sqrt{xy+1}+1}=\frac{1}{2}或者利用等价无穷小.\lim_{{x\to0}\atop{y\to0}}\frac{\sqrt{xy+1}-1}{xy}=\lim_{{x\to0}\atop{y\to0}}\frac{\frac{1}{2}xy}{xy}=\frac{ 1}{2}法II(去心领域定义).由于函数 f(x,y)=\frac{\sqrt{xy+1}-1}{xy} 在原点的领域内的坐标轴上处处无定义, 因此\lim_{{x\to0}\atop{y\to0}}\frac{\sqrt{xy+1}-1}{xy}\text{不存在}用 \varepsilon-\delta 定义证明的例题选解例1.2:用 \varepsilon-\delta 定义证明: \lim_{x\to0\atopy\to0}\frac{xy^2}{x^2+y^2}=0解:因为当 (x,y)\neq(0,0) 时\left,\frac{xy^2}{x^2+y^2}\right,=,y,\cdot\frac{,xy,}{x^2+y^2}\leqslant,y,\leqslant\sqrt{x^2+y^2}\\从而,对 \forall \varepsilon>0 , 取 \delta=\varepsilon , 则当 0<\sqrt{x^2+y^2}<\delta 时,\left,\frac{xy^2}{x^2+y^2}-0\right,<\varepsilon \\所以 \lim_{x\to0\atop y\to0}\frac{xy^2}{x^2+y^2}=0 .例1.3:求证:\lim_{{x\to0}\atop{y\to0}}(x^2+y^2)\sin\frac{1}{x^2+y^2}=0证明: \forall \,\varepsilon>0 , 要使得\left,(x^2+y^2)\sin\frac{1}{x^2+y^2}-0\right,\leqslant\varepsilon\\即 \left,(x^2+y^2)\sin\frac{1}{x^2+y^2}-0\right, =\biggl,x^2+y^2\biggl,\cdot\biggl,\sin\frac{1}{x^2+y^2}-0\biggl,\leqslant x^2+y^2\leqslant\varepsilon\\ 只要\sqrt{x^2+y^2}<\sqrt{\varepsilon} , 取\delta=\sqrt{\varepsilon} , 则当0<\sqrt{(x-0)^2+(y-0)^2}=\sqrt{x^2+y^2}<\delta 时, 有\left,(x^2+y^2)\sin\frac{1}{x^2+y^2}-0\right,\leqslant x^2+y^2\leqslant\varepsilon\\原结论成立.二、多元函数求极限的方法直接代入:先代入看看是不是未定式!如果不是那就是答案略有理化:略有界函数x无穷小量=0略两个重要极限:略夹逼准则:多是夹为0。
多元函数的极值与条件极值的求解方法
多元函数的极值与条件极值的求解方法一、引言多元函数在数学和应用领域中扮演着重要的角色。
求解多元函数的极值是一个常见的数学问题,而条件极值则进一步考虑了多个约束条件下的最优解。
本文将介绍多元函数极值和条件极值的求解方法。
二、多元函数极值的求解方法要求解多元函数的极值,需要判断函数在特定点的局部极值,并进一步确定全局极值。
常用的方法包括二阶条件、梯度以及拉格朗日乘子法。
1. 二阶条件法对于一个二次可导函数,可以通过计算其二阶偏导数来确定函数的极值。
具体步骤如下:a. 计算函数的一阶偏导数,并令其等于零,得到临界点;b. 计算函数的二阶偏导数,并检查其正负性;c. 若二阶偏导数为正,则临界点是局部极小值;若二阶偏导数为负,则临界点是局部极大值。
2. 梯度法梯度法可以用于求解多元函数的极值,其思想是在梯度的指引下,逐步迭代寻找函数的最优解。
具体步骤如下:a. 计算函数的梯度向量,并初始化变量值;b. 根据梯度向量的反方向更新变量的取值;c. 重复步骤b,直到满足收敛条件。
3. 拉格朗日乘子法拉格朗日乘子法用于求解多元函数在一组约束条件下的极值。
通过构建拉格朗日函数,并利用约束条件和拉格朗日乘子进行求解,得到函数的条件极值。
三、条件极值的求解方法在现实问题中,多元函数的极值求解往往伴随着条件限制。
求解条件极值需要考虑约束条件,并结合优化理论中的拉格朗日乘子法。
1. 求解过程a. 构建拉格朗日函数,将约束条件引入目标函数中,得到增广拉格朗日函数;b. 求解增广拉格朗日函数的临界点,即通过求解方程组来确定目标函数的条件极值点。
c. 验证求得的临界点是否满足约束条件,并通过比较确定全局的条件极值。
2. 案例分析假设有一个三角形,其面积为目标函数,而周长为约束条件。
通过使用拉格朗日乘子法,可以求解出在给定周长下,使得三角形面积最大的顶点。
四、总结本文介绍了多元函数极值和条件极值的求解方法。
对于多元函数极值的求解,可以使用二阶条件法、梯度法和拉格朗日乘子法来确定函数的极值点。
多元函数的极值
x yz xy z x y z定理1 (必要条件)函数偏导数,证:据一元函数极值的必要条件可知定理结论成立.0),(,0),(0000=′=′y x f y x f yx 取得极值,取得极值取得极值且在该点取得极值,则有),(),(00y x y x f z 在点=存在),(),(00y x y x f z 在点因=在),(0y x f z =0x x =故在),(0y x f z =0y y =zox y对于三元函数,若M 0是f (x , y , z )的驻点,f (x , y , z )在M 0处所有的二阶偏导数连续,则当矩阵在M 0处为正定阵时( ),M 0为极小值点,为负定阵时( ),M 0为极大值点.类似的,可以将以上结论推广到三元以上的函数.H=xx xy xz xyyy yz xz yz zz f f f f f f f f f ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦112233H 0,H 0,H 0>>>112233H 0,H 0,H 0<><αcos 24x αcos 22x −)sin (cos 222−+ααx =x A αsin 24αsin 4x −0cos sin 2=+ααx =αA 解得:由题意知,最大值在定义域D 内达到,而在域D 内只有一个驻点,故此点即为所求.,0sin ≠α0≠x ααααsin cos sin 2sin 2422x x x A +−=)0,120:(2πα<<<<x D 0cos 212=+−αx x 0)sin (cos cos 2cos 2422=−+−ααααx x (cm)8,603===x D πα作业P121 4, 6, 7, 13。
大学数学多元函数的极值与最值
大学数学多元函数的极值与最值多元函数是数学领域中的重要概念之一,研究多元函数的极值与最值对于优化问题的解决具有重要作用。
在本文中,将介绍多元函数的极值与最值的概念、计算方法以及应用。
一、多元函数的极值与最值概念多元函数是指涉及多个自变量和依赖变量的函数。
对于多元函数而言,极值即为函数在某个特定点上取得的最大值或最小值。
最值则是指函数在整个定义域上取得的最大值和最小值。
二、求多元函数的极值与最值的方法1. 隐函数求导法当函数无法直接表示为显式解析式时,可以通过隐函数求导的方法来求解极值。
该方法主要依靠链式法则来计算导数,进而确定极值的位置。
2. 梯度法梯度法是一种常用的优化算法,可以用来求解多元函数的极值问题。
其基本思想是沿着函数值下降最快的方向进行搜索,直到找到极值点。
3. 条件极值对于多元函数在一定条件下的极值问题,可以利用拉格朗日乘数法求解。
该方法通过引入约束条件,将多元函数的极值问题转化为带约束条件的无条件极值问题。
三、多元函数极值与最值的应用1. 经济学中的应用多元函数的极值与最值在经济学中有着广泛的应用。
以生产成本函数为例,通过求取其极小值可以得到最低成本的生产方案,帮助企业提高效益。
2. 工程优化问题在工程领域中,多元函数的极值与最值的求解能够帮助工程师找到最优设计方案,减少资源的浪费,提高整体效益。
3. 金融学中的投资问题在金融学中,多元函数的极值与最值的计算可以被应用于投资组合方面。
通过求取最大收益或最小风险的投资组合,可以帮助投资者制定合理的投资策略。
四、总结通过本文对大学数学多元函数的极值与最值的介绍,我们了解了多元函数极值的概念以及求解方法。
多元函数的极值与最值在实际问题中有着广泛应用,对于优化问题的解决具有重大意义。
因此,学好多元函数的极值与最值的相关知识,对于我们深入理解数学的应用和发展具有重要意义。
多元函数的极值问题
多元函数的极值问题在数学中,多元函数的极值问题是一个重要的研究领域。
与一元函数的极值类似,多元函数的极值问题也是求函数在一定范围内取得最大值或最小值的问题。
在实际问题中,多元函数的极值问题有着广泛的应用,例如在经济学、物理学、工程学等领域都有着重要的作用。
本文将介绍多元函数的极值问题的基本概念、求解方法以及相关定理。
一、多元函数的定义首先,我们来回顾一下多元函数的定义。
在数学中,多元函数是指自变量不止一个的函数,通常表示为$z=f(x,y)$,其中$x$和$y$是自变量,$z$是因变量。
多元函数的定义域是自变量的取值范围,值域是因变量的取值范围。
二、多元函数的极值定义对于多元函数$z=f(x,y)$,极值的定义与一元函数类似,分为最大值和最小值。
具体定义如下:1. 最大值:如果存在点$(x_0,y_0)$,使得在$(x_0,y_0)$的某个邻域内,对于任意$(x,y)$,都有$f(x,y)\leq f(x_0,y_0)$,则称$f(x_0,y_0)$是函数$f(x,y)$的最大值,点$(x_0,y_0)$是最大值点。
2. 最小值:如果存在点$(x_0,y_0)$,使得在$(x_0,y_0)$的某个邻域内,对于任意$(x,y)$,都有$f(x,y)\geq f(x_0,y_0)$,则称$f(x_0,y_0)$是函数$f(x,y)$的最小值,点$(x_0,y_0)$是最小值点。
三、多元函数的极值求解方法求解多元函数的极值问题,通常可以通过以下步骤进行:1. 求偏导数:对多元函数$z=f(x,y)$,分别对$x$和$y$求偏导数$\frac{\partial f}{\partial x}$和$\frac{\partial f}{\partial y}$。
2. 解方程组:令$\frac{\partial f}{\partial x}=0$和$\frac{\partial f}{\partial y}=0$,解出方程组$\begin{cases} \frac{\partial f}{\partial x}=0 \\ \frac{\partial f}{\partial y}=0 \end{cases}$,得到极值点$(x_0,y_0)$。
多元函数条件极值的求解方法
多元函数条件极值的求解方法一、拉格朗日乘子法拉格朗日乘子法是一种常用的求解多元函数条件极值问题的方法,其基本思想是将约束条件转化为目标函数的等式约束,通过构造拉格朗日函数来求解极值点。
具体步骤如下:1.确定目标函数和约束条件。
假设目标函数为f(x,y,...),约束条件为g(x,y,...)=0。
2.构造拉格朗日函数。
将目标函数和约束条件相乘,并引入拉格朗日乘子λ,构造拉格朗日函数L(x,y,...,λ)=f(x,y,...)+λg(x,y,...)3.求解极值点。
对L(x,y,...,λ)分别对变量x,y,...,λ求偏导数,令其等于0,得到一组方程。
解方程组,得到拉格朗日乘子λ和变量的值。
4.检查结果。
将求得的解代入目标函数中,计算函数值,检查是否为极值点。
若不是,返回第3步,重新求解。
二、隐函数定理隐函数定理是求解多元函数条件极值问题的另一种方法,该方法适用于函数的值无法用显式的表达式表示的情况。
具体步骤如下:1.确定目标函数和约束条件。
假设目标函数为f(x,y,...),约束条件为g(x,y,...)=0。
2.构造拉格朗日函数。
将约束条件g(x,y,...)=0表示为G(x,y,...,z)=0,其中z是一个待定参数。
3. 利用隐函数定理。
对 G(x, y, ..., z) 关于 z 求导,得到隐函数关系式 dz/dx = -∂G/∂x / ∂G/∂z,dz/dy = -∂G/∂y / ∂G/∂z。
求得dz/dx 和 dz/dy 后,得到 z(x, y) 的形式。
4.代入目标函数。
将x和y分别用z表示,得到函数f(z)。
对f(z)求导,令其等于0,解方程求得z(x,y)的极值点。
5.检查结果。
将求得的z(x,y)代入目标函数f(x,y,...)中,计算函数值,检查是否为极值点。
若不是,返回第4步,重新求解。
总结:拉格朗日乘子法适用于目标函数和约束条件可用显式表达式表示的情况下,且求解过程相对简单。
多元函数的极值和极值点的计算
多元函数的极值和极值点的计算在数学中,多元函数是一种包含多个自变量的函数。
对于一元函数,我们可以通过求导或者二阶导数来计算它的极值。
但对于多元函数,如何求它的极值呢?在这篇文章中,我们将探讨多元函数的极值和极值点的计算方法。
一、梯度和偏导数在计算多元函数的极值和极值点时,我们需要用到梯度和偏导数的概念。
梯度是指一个向量,它的方向指向函数值增加最快的方向,大小表示增加幅度。
对于一个多元函数f(x1,x2,x3,...,xn),它的梯度为:∇f(x1,x2,x3,...,xn) = (∂f/∂x1, ∂f/∂x2, ∂f/∂x3,...,∂f/∂xn)其中,∂f/∂xi表示对自变量xi的偏导数。
偏导数是多元函数对其中一个自变量的导数,其他自变量看做常数。
对于一个函数f(x1,x2)而言,它的偏导数为:∂f/∂x1 = limΔx1→0 [( f(x1+Δx1,x2) - f(x1,x2) )/Δx1]∂f/∂x2 = limΔx2→0 [( f(x1,x2+Δx2) - f(x1,x2) )/Δx2]二、求解多元函数的极值对于一个多元函数f(x1,x2,x3,...,xn),它在点(x1*,x2*,x3*,...,xn*)处取得极值,当且仅当以下两个条件同时成立:1.∇f(x1*,x2*,x3*,...,xn*)=02.对任意的(x1,x2,x3,...,xn),有f(x1*,x2*,x3*,...,xn*)≥f(x1,x2,x3,...,xn)其中,第一个条件保证在这个点附近任意方向的导数都趋近于0,即它是函数曲面的一个平坦点,第二个条件保证在这个点处函数的值是一个局部极小值。
用数学符号表达,上述条件可以写成:1.∂f/∂x1(x1*,x2*,x3*,...,xn*)=0∂f/∂x2(x1*,x2*,x3*,...,xn*)=0∂f/∂x3(x1*,x2*,x3*,...,xn*)=0...∂f/∂xn(x1*,x2*,x3*,...,xn*)=02.二次偏导数矩阵为正定或者负定,即对于任意的i和j,有∂^2f/∂xi∂xj(x1*,x2*,x3*,...,xn*)>0或者<0.其中,二次偏导数矩阵为一个n×n的矩阵,其ij位置的元素为∂^2f/∂xi∂xj。
9(8)多元函数的极值及其求法
函数的极大值与极小值统称为函数的 极值.
函数的极大值点与极小值点统称为函数的 极值点.
注 多元函数的极值也是局部的, 是与P0的邻域
内的值比较. 一般来说:极大值未必是函数的最大值. 极小值未必是函数的最小值.
有时, 极小值可能比极大值还大.
函数
存在极值, 在简单的情形下是 椭圆抛物面
容易判断的. 例 函数 z 3 x 2 4 y 2
例4 有一宽为 24cm 的长方形铁板 ,把它折起来做成 一个断面为等腰梯形的水槽, 问怎样折法才能使断面面 积最大. 解: 设折起来的边长为 x cm, 倾角为 , 则断面面积 1 为 ( 24 2 x 2 x cos ) x sin 2
24 x sin 2 x sin x cos sin ( D : 0 x 12 , 0 ) 2
点的偏导数必然为零: f x ( x0 , y0 ) 0, f y ( x0 , y0 ) 0. 证 不妨设 z f ( x, y )在点( x0 , y0 )处有极大值, 则对于( x0 , y0 )的某邻域内任意( x , y ) ( x0 , y0 ), 都有 f ( x , y ) f ( x0 , y0 ), 故当y y0 , x x0时,
第八节 多元函数的极值及其求法
一、多元函数的极值 二、最值应用问题
三、条件极值
一、多元函数的极值和最值
1.极大值和极小值的定义 一元函数的极值: 是在一点附近(区间) 将函数值比大小. 定义 设在点P0的某个去心邻域, f ( P ) f ( P0 ), 则称 点P0为函数的极大值点. f ( P0 )为极大值. 类似可定义极小值点和极小值.
其中 为某一常数, 可由
ch7-6-多元函数求极值
umax 63 42 2 6912. 故最大值为
小结
• 多元函数的极值 (取得极值的必要条件、充分条件) • 多元函数的最值 • 条件极值(拉格朗日乘数法)
练习
1 求函数f ( x, y ) 4( x y ) x 2 y 2的极值. 2 求函数f ( x, y ) e 2 x ( x y 2 2 y )的值.
A 0,B2 AC 4e2 0
故函数在点 ( 1 1 e ,1)处取得极小值 f( ,1) 2 2 2
(3)某公司拟用甲、乙两个厂生产的同一种产 品,若用x代表甲厂的产量,用y代表乙厂 的产量,其总成本函数为C=X2+3Y2-XY • 求该公司在生产总量为30单位时使得总成 本最低的产量? • 解:目标函数C= X2+3Y2-XY • 约束条件X+Y=30(即X+Y-30=0)
(4)设某种产品的产量是劳动力x和原料y的函 数,f(x,y)=60x ¾ y ¼,若劳动力单价为100元 ,原料单价为200元,则在投入30000元资 金用于生产情况下,如何安排劳动力和原 料,可使产量最多? • 解:目标函数f(x,y)=60x ¾ y ¼ • 约束条件 x+2y=300(即x+2y-300=0 )
最大利润为1650单位。
(3)某企业生产两种产品的数量分别为x单位和y单位,单价 分别为:200,150,总成本函数为 C ( x, y) 2 x 2 y 2 求最大 利润。 L( x, y) R( x, y) C ( x, y) (200 x 150 y) (2 x 2 y 2 ) 解:
解:令 F ( x , y , z ) x 3 y 2 z ( x y z 12) ,
多元函数条件极值的几种求解方法
多元函数条件极值的几种求解方法*齐新社 包敬民 杨东升(西安通信学院数理教研室 西安 710106)摘要 研究多元函数的条件极值问题.针对稳定点的各种不同情形,结合具体实例,给出判断条件极值中稳定点是否取得极值的几种方法.关键词 高阶微分;条件极值;拉格朗日乘数法;稳定点.中图分类号 O172多元函数条件极植的求解,一般是利用拉格朗日乘数法,而问题的难点在于求得稳定点后,如何判断函数究竟在该点是否取得了极值,尤其当稳定点不唯一时难度更大.本文就针对多元函数的条件极值问题总结了几种方法供大家借鉴.1 借助多元函数取得极值的充分条件来判断例1 求函数f (x ,y ,z )=xy z 在条件1x +1y +1z =1r(x ,y ,z ,r >0)下的极值.解 设拉格朗日函数为L (x ,y ,z ,K )=xy z +K (1x +1y +1z -1r),对L 求偏导数并令它们都等于零,则有L x =yz -K x 2=0,L y =zx -K y 2=0,L z =xy -K z2=0,L K =1x+1y +1z -1r =0.易得函数L 的稳定点为x =y =z =3r,K =(3r )4,为了判断f (3r ,3r ,3r )=(3r )3是否为所求极值,我们可以把条件1x +1y +1z =1r看作隐函数z =z (x ,y )(满足隐函数存在定理的条件),并把目标函数f (x ,y ,z )=x y z (x ,y )=F(x ,y )看作函数f =x y z 与z =z (x ,y)的复合函数.这样就可以应用极值充分条件来作出判断.为此计算如下:z x =-z 2x 2, z y =-z 2y2, F x =yz -yz 2x , F y =xz -xz 2y,F xx=2yz 3x 3, F xy =z -z 2y -z 2x +2z 3xy , F yy =2xz 3y 3.当x =y =z =3r 时,54高等数学研究ST U DI ES IN COL L EGE M A T H EM A T ICS V ol.12,N o.2M a r.,2009*收稿日期:2008-04-29.F xx =6r =F yy , F xy =3r , F xx F yy -F 2xy =36r 2-9r 2=27r 2>0,由此可见所求的稳定点为极小值点.评价 当约束条件的方程个数超过一个时,这种方法的使用受到了限制.2 借助二阶微分在稳定点处的符号来判断例2 求函数u =x -2y +2z 在条件x 2+y 2+z 2=1下的极值.解 设拉格朗日函数为L (x ,y ,z ,K )=x -2y +2z +K (x 2+y 2+z 2-1),对L 求偏导数并令它们都等于零,则有L x =2K x +1=0,L y =2K y -2=, L z =2K z +2=0, L K =x 2+y 2+z 2-1.可得P 1(-13,23,-23),K 1=32或者P 2(13,-23,23),K 2=-32,下面借助于二阶微分判断稳定点是否是极值点.先对函数L 求一阶微分d L (x ,y ,z )=d x -2d y +2d z +2K x d x +2K y d y +2K z d z ,二阶微分为d 2L (x ,y ,z )=2K [(d x )2+(d y )2+(d z )2],其符号完全由K 确定,在P 1点,K 1=32>0,故d 2L(x ,y,z )>0,所以P 1为极小值点,对应的极小值为u =-3;在P 2点,K 2=-32<0,故d 2L(x ,y,z )<0,所以P 2为极大值点,对应的极大值为u =3.评价 这种方法具有较强的通用性,但需要熟练掌握高阶微分的知识,在求二阶微分时,特别要注意变量x 和d x 是相互独立的,d x 在第二次微分时相当于常量.3 借助于一些基本不等式来判断例3 求函数f (x ,y,z,t)=x +y +z +t 在条件xyz t =c 4下的极值,其中x,y,z ,t >0,c >0.解 由基本不等式可知,当n 个正数的乘积一定时,这n 个正数的和必有最小值f (x ,y ,z ,t)=x +y +z +t \44xy z t ,当且仅当这n 个正数相等时取到极小值,即函数f (x ,y ,z ,t)=x +y +z +t 在点(c,c,c,c)处取得最小值也是极小值f (c,c,c,c)=4c.评价 这种方法对满足基本不等式结构的特定题目才能起到良好的效果.4 借助于闭区域上连续函数的性质来判断例4 求函数f (x ,y ,z )=xy z 在条件x 2+y 2+z 2=1,x +y +z =0下的极值.解 设拉格朗日函数为L (x ,y ,z ,K ,L )=xy z +K (x 2+y 2+z 2-1)+L (x +y +z ),解方程组L =0,L =0,L =0,z 2-1=0,=0,55第12卷第2期齐新社,包敬民,杨东升:多元函数条件极值的几种求解方法可得六个可能的条件极值点P1(16,16,-26),P2(16,-26,16),P3(-26,16,16),P4(-16,-16,26),P5(-16,26,-16),P6(26,-16,-16),又f(x,y,z)=xy z在有界闭集{(x,y,z)|x2+y2+z2=1,x+y+z=0}上连续,故函数必有最值且最值只可能在这六个可能的极值点处达到,因此函数的极(最)小值为f(P1)=f(P2)=f(P3)=-1 36,极(最)大值为f(P4)=f(P5)=f(P6)=136.评价利用了闭区域上连续函数的性质巧妙的解决了极值判定问题.5将条件极值化为无条件极值借助一元函数求极值的方法加以判断例5求函数f(x,y,z)=xy z在条件x+y=1及x-y+z2=1下的极值.解由两个条件可得x=2-z 22,y=z22,将其带入目标函数f(x,y,z)=xy z中消去变量x和y可得4f(z)=2z3-z5,两边求导可得4f c(z)=6z2-5z4,可得稳定点z1=0,z2=65,z3=-65,由于f d(0)=0,而fÊ(0)=12X0,即z1点的奇数阶导数不为零,所以z1不是函数的极值点;又显然4f d(65)=-1265<0,故函数在z2=65处取得极大值:f(65)=62565;而4f d(-65)=1265>0,故函数z3=-65处取得极小值:f(-65)=-62565.评价将多元函数的极值问题转化为我们熟知的一元函数极值问题使问题变得简单,缺陷在于有些条件极值很难化为无条件极值来解决.总之,条件极值的判断问题是比较复杂的,只有通过一定经验的积累才能很好的把握此类问题的求解方法.参考文献[1]华东师范大学数学系.数学分析[M].2版.北京:高等教育出版社.1991.[2]复旦大学数学系.数学分析[M].北京:高等教育出版社.1978.56高等数学研究2009年3月。
多元函数的极值及其求法
多元函数的极值及其求法
一、多元函数的极值
定理1(必要条件) 设函数()y x f z ,=在点()00,y x 具有偏导数且在点()00,y x 处有极值,则有
()()0,,0,0000==y x f y x f y x
定理2(充分条件) 设函数()y x f z ,=在点()00,y x 的某邻域内连续且有一阶及二阶连续偏导,又 ()()0,,0,0000==y x f y x f y x ,令
()()()C y x f B y x f A y x f yy xy xx ===000000,,,,,,
则()y x f ,在()00,y x 处是否取得极值的条件如下:
(1)02>-B AC 时具有极值,且当0<A 时有极大值,当0>A 时有极小值;
(2)02<-B AC 时没有极值(在()00,y x 处不取极值);
(3)02=-B AC 时可能有极值,也可能没有极值,还需另作讨论。
二、条件极值 拉格朗日乘数法
拉格朗日乘数法 要找函数()y x f z ,=在条件()0,=y x ϕ下的可能极值点,可先作拉格朗日函数
()()()y x y x f y x L ,,,λϕ+=,
其中λ为参数。
()()()()()0,0,,0
,,==+=+y x y x y x f y x y x f y y x x ϕλϕλϕ
解出y x ,及λ,这样得到的()y x ,就是函数()y x f z ,=在附加条件()0,=y x ϕ下的可能极值点。
多元函数的极值与最值求解
多元函数的极值与最值求解在数学中,多元函数是指有多个自变量的函数。
对于多元函数,我们常常需要求解它的极值与最值,以便确定函数的特征与性质。
本文将介绍多元函数的极值与最值的求解方法。
一、极值的定义与求解方法在多元函数中,极值是指函数在某个局部区域内取得的最大值或最小值。
极值的求解可以通过以下方法进行:1. 边界法:如果多元函数在一个有限的闭区域内定义且连续,在区域内的边界上取到的值必然是极值。
因此,我们可以通过计算多元函数在边界上的值来确定极值。
需要注意的是,在使用边界法时,我们应当首先确定区域的边界。
2. 梯度法:多元函数的梯度表示函数在某个点处的变化率和方向。
对于一个局部极值点,函数在该点处的梯度应当为零。
因此,我们可以通过求解多元函数的梯度并令其为零来确定极值点。
3. Lagrange乘数法:Lagrange乘数法适用于求解多元函数在约束条件下的极值问题。
通过引入一个或多个约束条件,我们可以将多元函数的极值问题转化为无约束条件下的极值问题。
随后,可以使用梯度法或其他方法求解。
二、最值的定义与求解方法在多元函数中,最值指的是函数在某个区域内取得的最大值或最小值。
最值的求解可以通过以下方法进行:1. 整体法:整体法是指先求出函数在整个定义域上的取值,然后从中选取最大值或最小值作为最值。
该方法适用于函数在整个区域内单调递增或单调递减的情况。
2. 极值法:可以通过先求解函数的极值点,然后在这些点处比较函数的取值来确定最值。
需要注意的是,函数的最值可能存在于极值点处,也可能存在于边界上。
3. 梯度法:与求解极值类似,可以通过计算多元函数的梯度,并在梯度为零的点处比较函数的取值来确定最值。
三、示例为了更好地理解多元函数的极值与最值的求解方法,我们来看一个具体的示例。
假设有一个二元函数 f(x,y) = x^2 + y^2,我们需要求解这个函数的极值与最值。
首先,我们计算函数的梯度∇f = (2x, 2y)。
多元函数求条件极值的原理
多元函数求条件极值的原理多元函数的条件极值是指在一定条件下使函数取得极大值或极小值的点。
求条件极值的原理包括拉格朗日乘数法和边界条件法两种方法。
一、拉格朗日乘数法:当多元函数在一定的约束条件下取得条件极值时,可以使用拉格朗日乘数法来求解极值点。
其基本思想是在考虑目标函数值的同时,引入一个约束函数,通过寻找约束函数和目标函数的共同极值点来得到条件极值。
设多元函数为f(x1,x2,...,xn),约束条件为φ(x1,x2,...,xn)=0,其中φ(x1,x2,...,xn) 表示n-1 个关于x1,x2,...,xn 的函数,同样需要求导来得到其极值点。
具体步骤如下:1. 构建拉格朗日函数L(x1,x2,...,xn,λ)=f(x1,x2,...,xn)+λφ(x1,x2,...,xn),其中λ是拉格朗日乘数。
2. 对L(x1,x2,...,xn,λ) 分别对x1,x2,...,xn 及λ求偏导数,并令其等于0。
3. 解方程组,得到x1,x2,...,xn 和λ的取值。
4. 将x1,x2,...,xn 和λ的取值代入f(x1,x2,...,xn) 计算函数值,得到条件极值。
拉格朗日乘数法的原理和求解过程比较复杂,但是可以通过引入拉格朗日乘数将约束条件转化为一个等式来求解条件极值问题。
二、边界条件法:边界条件法用于求解多元函数在给定边界条件下的条件极值问题。
当约束条件形式为不等式时,可以通过将不等式约束条件转化为等式约束条件,并在约束区域的边界上求解得到条件极值。
具体步骤如下:1. 将不等式约束条件转化为等式约束条件,得到约束函数φ(x1,x2,...,xn)=0。
2. 对多元函数f(x1,x2,...,xn) 和约束函数φ(x1,x2,...,xn) 构建拉格朗日函数L(x1,x2,...,xn,λ)=f(x1,x2,...,xn)+λφ(x1,x2,...,xn),其中λ是拉格朗日乘数。
3. 对L(x1,x2,...,xn,λ) 分别对x1,x2,...,xn 及λ求偏导数,并令其等于0。
多元函数极值与条件极值
多元函数极值与条件极值一、简介在数学中,多元函数的极值是指函数在定义域内取得的最大值或最小值。
与一元函数类似,多元函数的极值求解也是一项重要的研究内容。
本文将介绍多元函数极值求解的方法以及条件极值的概念。
二、多元函数极值求解方法1. 梯度法梯度法是一种常用的寻找多元函数极值的方法。
其基本思想是通过计算函数的梯度来确定极值点的位置。
具体步骤如下:a. 计算函数的梯度向量;b. 找到梯度向量为零的点,即梯度为零的点是极值点的候选;c. 对候选点进行二阶偏导数判定,确定是否为真正的极值点。
2. 条件极值法条件极值是指在给定的条件下,函数取得的最大值或最小值。
求解条件极值的方法主要有以下步骤:a. 根据给定的条件,建立约束方程;b. 将约束方程带入函数,得到一元函数;c. 对一元函数求导,找到其极值点;d. 将极值点带入约束方程,得到条件极值。
三、实例分析下面通过一个实例来说明多元函数极值与条件极值的求解过程。
例:求函数 f(x, y) = x^2 + y^2 - 2x - 4y + 3 在约束条件 g(x, y) = x +y - 5 = 0 下的条件极值点。
解:首先,计算函数 f 的梯度向量为∇f = (2x - 2, 2y - 4)。
令梯度向量为零,可得极值点候选为 (1, 2)。
接下来,对候选点进行二阶偏导数判定。
计算二阶偏导数矩阵 H = [[2, 0], [0, 2]],判断其是否为正定矩阵。
由于二阶偏导数矩阵的行列式为 4 > 0,且主对角线上的元素全为正数,说明该矩阵是正定矩阵。
因此,候选点 (1, 2) 为真正的极小值点。
接下来,求解条件极值。
将约束方程 g 带入函数 f,得到 f(x) = x^2 - 2x + (5 - x)^2 - 2(5 - x) + 3。
对一元函数 f(x) = x^2 - 7x + 13 求导得 f'(x) = 2x - 7。
令导数为零,得到极值点 x = 3.5。
多元函数条件极值的几种求解方法概述
多元函数条件极值的几种求解方法摘要本文主要讨论了多元函数条件极值的求解问题,其中包括无条件极值、条件极值的概念介绍,对多元函数条件极限值的几种求解方法的概括,其中包括了直接代入法,拉格朗日乘数法,柯西不等式等方法,其中拉格朗日乘数法还着重介绍了全微分和二阶偏导数即Hesse矩阵法等。
介绍关于求解多元函数条件极值的几种方法目的是在解决相应的问题中时能得以借鉴,找到合适的解决问题的途径。
关键词极值;拉格朗日乘数法;柯西不等式1前言函数极值问题已广泛地出现于数学、物理、化学等学科中,且它涉及的知识面非常广,所以就要求学生有较高的分析能力和逻辑推理能力,同时也要求学生掌握多种求函数极值的方法,因此对函数极值的研究是非常必要的。
函数极值的求解与发展极大的推动了微积分学科的发展,为其做出了重大贡献。
微积分的创立,首先是为了处理十七世纪的一系列主要的科学问题。
有四种主要类型的科学问题:第一类是,已知物体的移动的距离表为时间的函数的公式,求物体在任意时刻的速度和加速度使瞬时变化率问题的研究成为当务之急;第二类是,望远镜的光程设计使得求曲线的切线问题变得不可回避;第三类是,确定炮弹的最大射程以及求行星离开太阳的最远和最近距离等涉及的函数极大值、极小值问题也急待解决;第四类问题是求行星沿轨道运动的路程、行星矢径扫过的面积以及物体重心与引力等,又使面积、体积、曲线长、重心和引力等微积分基本问题的计算被重新研究。
同样在很多工程实际中,我们经常需要做一些优化。
举个简单的例子,就拿天气预报来说吧,通过实验测得很多气象数据,那么我们怎么处理这些数据,或者说用什么方法处理这些数据,才能达到预测结果最为准确呢,这其实也是一个广义上的极值问题。
还有就是经济学的投资问题,我们知道现在国家搞什么高铁、高速公路的,都是浩大的工程,动不动就几百亿的,如何合理布局才能让这些公共基础建设的利远大于弊。
一般实际问题都是一个或者一组多元函数,那么研究清楚这些问题,对我们的工程实际将有莫大的裨益。
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多元函数条件极值的几种求解方法摘要本文主要讨论了多元函数条件极值的求解问题,其中包括无条件极值、条件极值的概念介绍,对多元函数条件极限值的几种求解方法的概括,其中包括了直接代入法,拉格朗日乘数法,柯西不等式等方法,其中拉格朗日乘数法还着重介绍了全微分和二阶偏导数即Hesse矩阵法等。
介绍关于求解多元函数条件极值的几种方法目的是在解决相应的问题中时能得以借鉴,找到合适的解决问题的途径。
关键词极值;拉格朗日乘数法;柯西不等式1前言函数极值问题已广泛地出现于数学、物理、化学等学科中,且它涉及的知识面非常广,所以就要求学生有较高的分析能力和逻辑推理能力,同时也要求学生掌握多种求函数极值的方法,因此对函数极值的研究是非常必要的。
函数极值的求解与发展极大的推动了微积分学科的发展,为其做出了重大贡献。
微积分的创立,首先是为了处理十七世纪的一系列主要的科学问题。
有四种主要类型的科学问题:第一类是,已知物体的移动的距离表为时间的函数的公式,求物体在任意时刻的速度和加速度使瞬时变化率问题的研究成为当务之急;第二类是,望远镜的光程设计使得求曲线的切线问题变得不可回避;第三类是,确定炮弹的最大射程以及求行星离开太阳的最远和最近距离等涉及的函数极大值、极小值问题也急待解决;第四类问题是求行星沿轨道运动的路程、行星矢径扫过的面积以及物体重心与引力等,又使面积、体积、曲线长、重心和引力等微积分基本问题的计算被重新研究。
同样在很多工程实际中,我们经常需要做一些优化。
举个简单的例子,就拿天气预报来说吧,通过实验测得很多气象数据,那么我们怎么处理这些数据,或者说用什么方法处理这些数据,才能达到预测结果最为准确呢,这其实也是一个广义上的极值问题。
还有就是经济学的投资问题,我们知道现在国家搞什么高铁、高速公路的,都是浩大的工程,动不动就几百亿的,如何合理布局才能让这些公共基础建设的利远大于弊。
一般实际问题都是一个或者一组多元函数,那么研究清楚这些问题,对我们的工程实际将有莫大的裨益。
通过对求解多元函数条件极值问题的研究,从中找到求出极值的不同方法,在不同的实际应用中对相关问题运用与其相适应的方法,从而在解决问题的过程达到最优化。
学生在遇到不同的问题时能够从中找到突破口,能让这些求解放法扎根于学生的思维中,运用到学生的实际问题中去,并且在解决实际问题的同时,自己的思维能力以及解题能力得到较好的发展。
2 多元函数极值 2.1多元函数无条件极值在解决实际问题中,我们已经看到了最大值最小值的重要性。
求函数的最大值、最小值时,涉及到函数的自变量往往不止一个,因此,就需要求多元函数的最大值、最小值。
而最大值与最小值与极值有着密切的联系。
首先我们给出多元函数的极值概念,并利用一元函数极值的性质,推断出多元函数极值的性质。
定义 2.1]1[设函数(,)z f x y =在点000(,)p x y 的某邻域0()u p 内有定义,若对任何0(,)()p x y u p ∈,都有0()()f p f p ≤(或0()()f p f p ≥)。
则称函数g 在点0p 取到极大(或极小)值,点0p 称为f 的极大(或极小)值点。
极大值(极小值)统称极值,极大值点(极小值点)统称为极值点。
由定义知,若f 在点00(,)x y 取极值,则当固定0y y =时,一元函数0(,)f x y 必定在0x x =取相同的极值,若00(,)x f x y '也存在,利用一元函数取极值的必要条件知00(,)0x x d f x y dx ==,即00(,)0x f x y '=。
同理一元函数0(,)f x y 在0y y =也取相同的极值,若00(,)0y f x y '=也存在,则00(,)0x f x y '=,因此有定理2.1[]2(极值的必要条件)若函数f 在点000(,)p x y 存在偏导数且在0p 取极值,则有0000(,)0,(,)0x y f x y f x y ''== (2.11)反之,若函数f 在点0p 满足(2.11),则称点0p 为f 的稳定点或驻点。
若f 存在偏导数,则其极值点必是稳定点,但反之不一定成立。
例(,)f x y xy =,(,),(,),x y f x y y f x y x ''==但(,)f x y 在点(0,0)o 处不取极值。
这是因为在(0,0)o 点的任何一个邻域()u o 中,若()p u o ∈,当p 在一,三象限时,()0f p >。
当p 在二四象限时,()0f p <。
因此,(0,0)f 不是极值。
若(,)f x y 在点00(,)x y 取极值,(,)f x y 的偏导数只有两种情形:(i )0000(,),(,)x y f x y f x y ''都存在,则00(,)0x f x y '=,00(,)0y f x y '=。
即点000(,)p x y 为稳定点。
(ii )0000(,),(,)x y f x y f x y ''至少有一个不存在。
因此,(,)f x y 的极值点一定包含在稳定点火偏导数不存在点统称为极值点的怀疑点之中。
例 2.1 设(,)(,)f x y f x y =存在点(0,0)处偏导数不存在,但(,)x y R ∈时,有(,)(0,0)0f x y f ≥=,因此,(0,0)f 为极小值。
极值点的怀疑点找出来后,若是偏导数不存在的点00(,)x y ,可用函数值不等式来检验点00(,)x y 是否为极值点;若是稳定点,我们又下面的定理。
定理2.2[]3(极值的充分条件)设函数(,)z f x y =在点00(,)x y 的某邻域0()u p 连续且有一阶与二阶连续偏导数,如果00(,)0x f x y '=,00(,)0y f x y '=,设000000(,),(,),(,)xxxy yy A f x y B f x y C f x y ''''''===,则 (1)当20B AC -<时,00(,)f x y 一定为极值,并且当A (或C )0>时,00(,)f x y 为极小值;当A (或C )0<时,00(,)f x y 为极大值;(2)当20B AC ->时,00(,)f x y 不是极值;(3)当20B AC -=,还不能断定00(,)f x y 是否为极值,须作进一步研究。
由前述定理知,若()f p 在有界闭区域G 上连续,则()f p 在G 上一定能取到最大值与最小值。
即存在12,p p G ∈,有12(),()f p m f p M ==,对一切p G ∈,有()m f p M ≤≤。
最大值,最小值也可以在边界点取到,也可以在内部取到。
当在内部取到时,最大值、最小值点一定是极值点,则一定是稳定点或偏导数不存在点。
因此,最大值、最小值点一定包含在区域内部的稳定点和偏导数不存在点的点及边界点(边界函数值最大值与最小值点)之中(注意与区间端点不同的是闭区域G 的边界点又无数个,若2G R ⊂,边界点是边界曲线上的点,若3G R ⊂,边界点是边界曲线上的点,若3G R ⊂,边界点是曲面上的点),这些怀疑点中函数值中的最大者即为函数的最大值,最小者即为函数的最小值。
若根据实际问题一定有最大值(或最小值),而内部有唯一可疑点,则改点的函数无须判断一定是最大值(或最小值)。
例 2.2 设D 是由x 轴,y 轴及直线2x y π+=所围成的三角形区域(图2.1)求函数sin sin sin()u x y x y =+-+在D 上的最大值。
解:由函数无偏导数不存在的点,图2.1 例题2.2示意图解方程组cos cos()0cos cos()0u x x y x u y x y y∂⎧=-+=⎪∂⎪⎨∂⎪=-+=∂⎪⎩(定理2.1) 解得22,,33x y ππ== 而在边界0x =或0y =或2x y π+=上,0u =。
因此22(,)33ππ是唯一的可疑点,所以为22(,)332u ππ= 2.2 多元函数条件极值前面我们讨论的极值问题,其极值点的搜索范围是目标函数的定义域。
但在实际问题中还有另外一中类型的极值问题,其极值点的搜索范围还受到许多条件限制。
例如要设计一个容量为V 的长方体无上盖水箱,试问水箱长、宽、高各等于多少时,其所用的材料最少(即表面积最小)。
设水箱的长、宽、高分别为,,,x y z 则表面积为(,,)2()s x y z xz yz xy =++(3.1)定义域是0,0,0,x y z >>>,而且必须满足条件xyz v =(3.2)像这类附有约束条件的极值问题称为条件极值问题,不带约束条件的极值问题称为无条件极值问题。
条件极值问题的一般形式是在条件组12(,,,)0,1,2,,()n x x x k m m n χψ==<(3.3)的限制下,求目标函数12(,,,)n y f x x x =(3.4)以前像这类极值时,只能用消元法化为无条件极值问题。
前面的例子,由条件(3.2),解出v z xy =代入(3.1)式,有 11(,)(,,)2(),(0,0),v f x y s x y v xy x y xy y x==++>>由于(,)F x y 在定义域内无偏导数存在的点,解方程组22120120F v y x x F v x y y ∂⎧=-+=⎪∂⎪⎨∂⎪=-+=∂⎪⎩(定理2.1)解得x y z === 由实际问题表面积无最大值,只有最小值,因此,当x y z ===时表面积s = 然而,在一般情况下,要从条件组(3.3)中解出m 个变元并非容易,甚至解不出来,因此,我们要开辟解决问题的新途径。
从而产生了拉格朗日乘数法这种不直接依赖消元而求解条件极值的有效方法。
为了便于理解我们看比较简单的情形。
在所给条件(,,)0G x y z =(3.5)下,求目标函数(,,)u f x y z =(3.6)的极值。
设f 和G 具有连续的偏导数,且0G x∂≠∂,由隐函数存在定理,方程(3.5)确定一个隐函数(,)z z x y =,且它的偏导数为x z G z x G '∂=-'∂,y zG z y G '∂=-'∂,于是所求条件极值问题化为求函数 [],,(,)u f x y z x y =(3.7)无条件极值问题。
这用已经讲过的方法就可解决。
然而在实际计算中,要从(3.5)解出z 来,往往是很困难的,这时就可用下面介绍的拉格朗日(Lagrange )乘数法来解。