函数性质专题课

1． 关注函数的定义域

例1：求函数8

|3|15

22-+--=x x x y 的定义域。),5(]3,11()11,(+∞----∞

变式1-1：函数，x x y --=312log 2的定义域为________．)3,2

1

(

例2．若函数y=f(2x

)的定义域是[1，2]，则函数f()lo g 2x 的定义域是 [4，16]

变式2-1：已知函数1()1x

f x x

+=-的定义域为A ，函数()y f f x =⎡⎤⎣⎦的定义域为B ，则（ D ） ()A A B B =

()B A B ≠

⊂ ()C A B = ()D A B B =

解法要点：{}|1A x x =≠，121

[()]()(1)11x y f f x f f x x x

+===-+=---，

令2

111x

-+

≠-且1x ≠，故{}{}|1|0B x x x x =≠≠ ． 例3：]1)1()1log[(22+++-=x a x a y 的定义域为R ，求a 的范围 3

51>

-≤a a 或 变式3-1：已知函数f （x ）=

3

1

323

-+-ax ax x 的定义域是R ，则实数a 的取值范围是－12＜a ≤0

剖析：由a =0或⎩

⎨⎧<-⨯-=≠,0)3(4,

02

a a Δa 可得－12＜a ≤0. 变式3-2．如果函数()

f x =

R,那么实数m 的取值范围是 . [)0,4

变式3-3．函数y=log 2x+log x 2x 的值域是 D.(-∞，-1]∪[3，+∞]

例4、已知])3,1[(log 2)(3∈+=x x x f ，求函数)()]([2

2

x f x f y +=的值域。

[解] 由x x f 3log 2)(+=，得=+++=+=232322log 2)log 2()()]([x x x f x f y 6log 6log 32

3++x x ，

又函数f(x)的定义域为[1，3]。所以，函数)()]([2

2x f x f y +=的定义域为⎩⎨

⎧≤≤≤≤,

31,

312

x x 解得31≤≤x 。 所以，)()]([22x f x f y +==6log 6log 32

3++x x ，]3,1[∈x ，令t=log 3x,由]3,1[∈x ，得]2

1,0[∈t 。

∴y=t 2+6t+6，]21,0[∈t ，由二次函数单调性得，4376≤≤y ，∴函数)()]([2

2x f x f y +=值域为]4

37,6[。

2.灵活运用函数的性质；

例5．已知f(x)是定义在(-5,5)上的奇函数又是减函数，试解关于x 的不等式(32)(21)0f x f x -++> 解析：(32)(21)f x f x ->-+，函数f(x)是定义在(-5,5)上是奇函数，(32)(21)f x f x ->--；函数f(x)是定义在(-5,5)上的减函数，3221x x -<--。同时函数的单调性对定义域内某个区间而言的，注意到函数的定义域是(-5,5)，满足5325,5215x x -<-<-<+<解得，不等式的解集是1

(1,)5

- 。

变式5-1：若()y f x =在R 单调递增，且2

()()f m f m >-，则实数m 的取值范围是(),1-∞-()0,+∞

变式5-2：若()x

x

x x f +-++=

11lg 21,则不等式⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-21x x f ＜21的解集为 ⎪⎪

⎭

⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-4171,210,4171 例6：已知函数2

1()log 1x f x x x -=-++，求1()2005f -

1()2004f +-1()2004f +1

()2005

f +的值；0 例7：已知函数122

2)(+-+⋅=x

x a a x f 是定义在实数集上的奇函数，求函数的解析式。 分析：用f(-x)=-f(x) (x ∈R)较繁，用f(0)=0可较方便地求得a=1，1

21

2)(+-=x x x f

变式7-1：函数()f x 的定义域为R ，若(1)f x +与(1)f x -都是奇函数，则( D ) A.()f x 是偶函数 B. ()f x 是奇函数 C. ()(2)f x f x =+ D.(3)f x +是奇函数 解: (1)f x +与(1)f x -都是奇函数，(1)(1),(1)(1)f x f x f x f x ∴-+=-+--=--，

∴函数()f x 关于点(1,0)，及点(1,0)-对

称，函数()f x 是周期2[1(1)]4T =--=的周期函数.(14)(14)f x f x ∴--+=--+，(3)(3)f x f x -+=-+，即(3)f x +是奇函数。故选D

变式7-2.已知函数)(x f 是定义在实数集R 上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x 都有

)()1()1(x f x x xf +=+，则)25

(f 的值是A

A. 0

B. 21

C. 1

D. 2

5

【解析】若x ≠0，则有)(1)1(x f x x x f +=+，取2

1

-=x ，则有： )21()21()21(2

121

1)121()21(f f f f f -=--=---

=

+-= 由此得0)2

1(=f 于是，

0)21(5)21(]221

1[35)121(35)23(35)23(2231)12

3

()25(==+

=+==+

=+=f f f f f f f

变式7-3．已知函数2

2

1)(x

x x f +=，那么=⎪⎭

⎫

⎝⎛++⎪⎭

⎫

⎝⎛++⎪⎭⎫

⎝⎛++41)4(31)3(21)2()1(f f f f f f f 。27

变式7-4. 已知函数()f x ，满足(1)()f x f x +=-，当)1,0[∈x 2

()2f x x x =-。求函数()f x 在[2,0]-上

的解析式。

解析：因为(1)()f x f x +=-，(2)((1)1)(1)f x f x f x +=++=-+=()f x 函数周期是2。 当)1,2[--∈x 时，)1,0[2∈+x ，=)(x f 2(2)2(2)(2)f x x x +=+-+2

2x x =--。