4 随机性决策问题的决策准则

4 随机性决策问题的决策准则学习目标：熟练掌握贝叶斯分析方法，深刻了解贝叶斯法的核心思想--用历史数据或新信息来修正事先设定的主观概率，即用后验概率来修正先验概率。

4 随机性决策问题的决策准则✧4.1 引言✧4.2 严格不确定型决策问题的决策准则✧4.3 风险型决策问题的决策准则✧4.4 贝叶斯定理✧4.5 贝叶斯分析✧4.6 一种具有部分先验信息的贝叶斯分析法4.3 风险型决策问题的决策准则n θθθ,,,21 )(,),(),(21n θπθπθπ风险型决策问题的特点：决策人虽然无法确知将来的真实自然状态，但他不仅能给出各种可能出现的自然状态，还可以给出各种状态出现的可能性，通过设定各种状态的(主观)概率来量化不确定性。

4.3 风险型决策问题的决策准则✧(1)最大可能值准则✧(2)贝叶斯准则✧(3)贝努利准则✧(4) E-V准则✧(5) 不完全信息情况下的决策准则✧(6) 优势原则与随机性决策规则(1)最大可能值准则采用众数原则，即最大可能值准则，以行动a i 的后果变量的众数，即a i 的各种可能的后果中出现的可能性最大的后果，作为评价a i 优劣的数值指标v i 。

例:最大可能值准则例4.1 决策问题的损失矩阵如表所示。

(2)贝叶斯准则(3)贝努利准则按照贝努利（Bernoulli）准则，应该首先确定后果对决策人的实际价值即效用函数，若采用损失，也应该是效用函数的负值；然后再用Bayes原则求最优行动。

本章随后所介绍的各种方法，所采用的决策准则实际上都是贝努利准则：•使期望效用极大化•或者使期望损失极小化。

(4) E-V准则(均值-方差准则)贝叶斯准则只根据后果均值的大小作决策，显然忽略了风险因素；例: E-V准则(5) 不完全信息情况下的决策准则(6) 优势原则与随机性决策规则①优势原则当很难准确设定自然状态的概率主观概率时，可采用优势原则。

①优势原则②随机策略②随机策略4.4 贝叶斯定理✧第二章讨论了设定自然状态的（主观）概率分布的方法，由于种种原因，设定比较准确的状态的概率分布是很困难的事。

✧一般情况下，决策分析的结果往往对状态的概率分布比较敏感，即自然状态概率分布的小的变化会显著地改变分析结果，因此要提高决策分析的精度就必须设法提高状态概率分布的估计精度。

✧显然，仅仅依靠决策人的经验作主观的估计，所设定的自然状态的先验分布的精度不可能有很大的改进，因此需要通过随机试验去收集有关自然状态的信息，以便改进所设定的自然状态的概率分布的准确性，从而改善决策分析的质量。

4.4 贝叶斯定理✧随机试验是广义的，它包括了获取有关信息的一切可能的手段，只要这些信息有助于提高状态概率分布的准确性。

例如:出门是否带伞问题在事先听天气预报；医生看病时做各种检查、化验；生产厂家或经销商对商品的市场调查等等✧在决策分析中，如何设计随机试验去获取有效信息，如何利用新的信息改进状态概率分布，是非常实际而又重要的环节。

利用新的信息，或者说通过信息处理修正原有的观点，是人类最重要的智力活动之一。

1) 条件概率与全概率公式2)贝叶斯定理4.4 贝叶斯定理例4.2 先验概率的修正设有A和B两个外形相同、装有足够数量黑白小球的不透明坛子，A坛中装有白球30%，黑球70%；B坛中白球70%，黑球30%。

从中任取一坛，作放回摸球12次，观察的记录是摸出白球4次，黑球8次。

求所取为A坛的概率。

用本例子说明，通过试验和观察，可以修正先验分布，获得关于自然状态的更准确的判断，由此理解贝叶斯定理在决策分析过程中的重要作用。

例题解答例题扩展选B 坛选A 坛π(θ1)π(θ2)10-10π(θ1)π(θ2)10选B 坛选A 坛π(θ1|x)π(θ2|x)10-10π(θ1|x)π(θ2|x)-1010先验概率决策后验概率决策例2：HP 公司新医疗设备的键盘生产决策问题HPMUBDBAMedium 0.5Low 0.3Fig.2-3 Completed decision tree (pay-off and probability)5510-1525301040205High 0.2Medium 0.5Low 0.3High 0.2Medium 0.5Low 0.3例2：HP 公司新医疗设备的键盘生产决策问题θHigh (H)Medium (M)Low (L)Sum 205030100✧先验概率(Prior probability)HP 公司的类似产品的销售情况历史统计数据如下表: HP 公司估计该新医疗设备的销售情况先验概率如下：p (H)=0.2p (M)=0.5 p (L)=0.3产决策问题✧新信息的获得（New information）HP公司准备委托一家市场调查公司对新医疗设备的市场销售情况进行预测。

✧后验概率（Posterior probability）HP公司如何根据市场调查的结果修正其先验概率？✹p (H|预测结果)=?✹p (M|预测结果)=?✹p (L |预测结果)=?问题：市场调查公司有几种预测结果？产决策问题该市场调查公司过去预测的准确性如下表：预测h m l Sum实际H181120M540550L332430Sum264430100问题：如何求出市场调查公司的条件概率？市场调查公司的条件概率✧(1)实际销售为High时条件概率？p (预测h|H)=18/20=0.9p (预测m|H)=1/20=0.05p (预测l |H)=1/20=0.05✧(2)实际销售为Medium时条件概率？p (预测h|M)=5/50=0.1p (预测m|M)=40/50=0.8p (预测l|M)=5/50=0.1✧(3)实际销售为Low时条件概率？p (预测h|L)=3/30=0.1p (预测m|L)=3/30=0.1p (预测l |L)=24/30=0.8（1）如果市场调查公司预测该新产品的销售情况好（预测h）✧HP公司该如何修正其先验概率？✧已知的条件概率：p (预测h|H)=18/20=0.9p (预测h|M)=5/50=0.1p (预测h|L)=3/30=0.1✧求后验概率：p (H|预测h)=?p (M|预测h)=?p (L |预测h)=?后验概率的求解原理:✧假设:A1=high;A2=medium;A3=low;B=预测h✧则有:A1、A2、A3为互不相容事件，且：P(A1)+ P(A2)+ P(A3)=1，事件Ai (i=1,2,3) 和事件B相关.后验概率的求解原理:✧条件概率（conditional probabilities）:P(B|A1)=0.9P(B|A2)=0.1P(B|A3)=0.1✧如何求后验概率（posterior probability）:P(A1|B)=?P(A2|B)=?P(A3|B)=?后验概率的求解原理:✧根据乘法原理有:P(A1|B)= P(A1 and B)/ P (B)P(A2|B)= P(A2 and B)/ P (B)P(A3|B)= P(A3 and B)/ P (B)✧因此，求解后验概率需要知道：（1）联合概率：P(Ai and B), i=1,2,3, （2）边缘密度：P(B).获得联合概率P(Ai and B)：✧根据乘法原理，有两种方法可以获得联合概率:(1) P(Ai and B)=P(Ai)×P(B|Ai)(2) P(Ai and B)=P(B)×P(Ai|B)✧我们选择公式(1)来计算联合概率，理由是：我们已经知道了P(Ai) 和P(B|Ai)，但是不知道P(B) 和P(Ai|B).P(A1 and B)=P(A1)×P(B|A1) =0.2×0.9=0.18P(A2 and B)=P(A2)×P(B|A2) =0.5×0.1 =0.05P(A3 and B)=P(A3)×P(B|A3) =0.3×0.1=0.03获得边缘密度P(B)：)()(...) 2() 1()|()(...)2|()2()1|()1()(联合概率sum B and An P B and A P B and A P An B P An P A B P A P A B P A P B P =+++=⨯++⨯+⨯=根据全概率公式，如果：（1）A1, A2, …,An 为两两互不相容事件；（2）且它们构成了一个事件空间S 的划分，即P(A1)+ P(A2)+…P(An)=1，则对于事件空间S 中的任意事件B 有：获得后验概率P(Ai|B)：✧已知联合概率P(Ai and B)，求后验概率，根据乘法原理：✧P(Ai|B)= P(Ai and B) / P(B)= P(Ai and B) / sum [P(Ai and B)]（1）如果市场调查公司预测该新产品的销售情况好（预测h ）p (H)=0.2p (M)=0.5p (L)=0.3p (预测h |H)=0.9p (预测h |M)=0.1p (预测h |L)=0.1p (预测h ⨯H)=0.9⨯0.2=0.18p (预测h ⨯M)=0.1⨯0.5=0.05p (预测h ⨯L)=0.1⨯0.3=0.03p (预测h )=0.18+0.05+0.03=0.26先验概率条件概率联合概率后验概率p (H|预测h )=0.18/0.26=0.692p (M|预测h )=0.05/0.26=0.192p (L|预测h )=0.03/0.26=0.115销售情况好（预测m）✧HP公司该如何修正其先验概率？✧已知的条件概率：p (预测m|H)=1/20=0.05p (预测m|M)=40/50=0.8p (预测m|L)=3/30=0.1✧求后验概率：p (H|预测m)=?p (M|预测m)=?p (L |预测m)=?销售情况好（预测m ）p (H)=0.2p (M)=0.5p (L)=0.3p (预测m |H)=0.05p (预测m |M)=0.8p (预测m |L)=0.1p (预测m ⨯H)=0.05⨯0.2=0.01p (预测m ⨯M)=0.8⨯0.5=0.4p (预测m ⨯L)=0.1⨯0.3=0.03p (预测m )=0.01+0.4+0.03=0.44先验概率条件概率联合概率后验概率p (H|预测m )=0.01/0.44=0.022p (M|预测m )=0.4/0.44=0.909p (L|预测m )=0.03/0.44=0.068品的销售情况好（预测l）✧HP公司该如何修正其先验概率？✧已知的条件概率：p (预测l|H)=1/20=0.05p (预测l|M)=5/50=0.1p (预测l|L)=24/30=0.8✧求后验概率：p (H|预测l)=?p (M|预测l)=?p (L |预测l)=?品的销售情况好（预测l ）p (H)=0.2p (M)=0.5p (L)=0.3p (预测l |H)=0.05p (预测l |M)=0.1p (预测l |L)=0.8p (预测l ⨯H)=0.05⨯0.2=0.01p (预测l ⨯M)=0.1⨯0.5=0.05p (预测l ⨯L)=0.8⨯0.3=0.24p (预测l )=0.01+0.05+0.24=0.3先验概率条件概率联合概率后验概率p (H|预测l )=0.01/0.3=0.033p (M|预测l )=0.05/0.3=0.167p (L|预测l )=0.24/0.3=0.80华中科技大学管理学院市场调查公司三种预测结果的概率等于边缘密度预测实际hmlSum H 181120M 540550L332430Sum264430100p (预测h )p (预测m )p (预测l )问题：HP 公司在委托市场调查公司之前，是否知道其预测结果？如何估计市场调查公司的预测结果？p (预测h )=0.26先验概率p (H)=0.2p (M)=0.5p (L)=0.3p (预测h |H)=0.9条件概率p (预测h |M)=0.1p (预测h |L)=0.1p (预测h ⨯H)=0.18联合概率p (预测h ⨯M)=0.05p (预测h ⨯L)=0.03后验概率p (H|预测h )=0.692p (M|预测h )=0.192p (L|预测h )=0.115p (H)=0.2p (M)=0.5p (L)=0.3p (预测m |H)=0.05p (预测m |M)=0.8p (预测m |L)=0.1p (预测m ⨯H)=0.01p (预测m ⨯M)=0.4p (预测m ⨯L)=0.03p (H|预测m )=0.022p (M|预测m )=0.909p (L|预测m )=0.068p (预测m )=0.44p (预测l )=0.3边缘密度p (H)=0.2p (M)=0.5p (L)=0.3p (预测l |H)=0.05p (预测l |M)=0.1p (预测l |L)=0.8p (预测l ⨯H)=0.01p (预测l ⨯M)=0.05p (预测l ⨯L)=0.24p (H|预测l )=0.033p (M|预测l )=0.167p (L|预测l )=0.80市场调查公司三种预测结果能否提高HP公司的期望收益？比较不进行市场调查和委托进行市场调查，前后两种方案的期望收益差异。