第7章 内压薄壁容器的应力分析

N m n 2 mSdl2 sin d1 2

环向应力的合力在法线方向的分量来自θn为：N n 2 Sdl1 sin
d 2 2
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3.微元体的静力平衡方程


由法线n方向力的平衡条件 Fn 0 ，即：Pn-Nmn-Nθ n=0 d1 d 2 pdl1 dl 2-2σ mSdl 2 sin ( ) - 2σ Sdl1 sin ( )0 2 2 【注意简化】：因dθ 1及dθ 2都很小，所以有：
球壳的第一、第二曲率半径相等，为球 的半径R 圆筒的第一曲率半径为无穷大，第二曲 率半径为圆筒的半径R
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2.基本假设
除假定壳体是完全弹性的，即材料具有连续性、均匀性和各 向同性；薄壁壳体通常还做以下假设使问题简化： ⑴ 小位移假设 壳体受力以后，各点的位移都远小于壁厚。壳体变形后可以 用变形前的尺寸来代替。 ⑵ 直法线假设 壳体在变形前垂直于中间面的直线段，在变形后仍保持直线， 并垂直于变形后的中间面。变形前后的法向线段长度不变， 沿厚度各点的法向位移均相同，变形前后壳体壁厚不变。 ⑶ 不挤压假设 壳体各层纤维变形前后相互不挤压。壳壁法向（半径方向） 的应力与壳壁其他应力分量比较是可以忽略的微小量，其结 果就变为平面问题。 12
2
环向（周向）应力：当其承受内压力P作用以后，其直径要稍 微增大，故筒壁内的“环向纤维”要伸长，因此在筒体的纵向 截面上必定有应力产生，此应力称为环向应力，以σθ表示。由 于筒壁很薄，可以认为环向应力沿壁厚均匀分布。 经向（轴向）应力：鉴于容器两端是封闭的，在承受内压后， 筒体的“纵向纤维”也要伸长，则筒体横向截面内也必定有应 力产生，此应力称为经向（轴向）应力，以σm表示。
内径，但为了使公式简化，此处近似地采用平均直径D。
2.环向应力σθ的计算公式
分离体的取法：用一通过圆筒轴线的纵截面B-B将圆筒剖开，移 走上半部，再从下半个圆筒上截取长度为l的筒体作为分离体。
Py pRi ldsin Rilp sind 2Rilp Dilp Dlp
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⑺纬线：如果作圆锥面与壳体中间面正 交，得到的交线叫做“纬线”；过 N 点 作垂直于回转铀的平面与中间面相割形 成的圆称为“平行圆”，平行圆即是纬 线。 ⑻第一曲率半径：中间面上任一点 M 处 经线的曲率半径，Rl=MK1。 ⑼ 第二曲率半径：过经线上一点M的法 线作垂直于经线的平面与中间面相割形 成的曲线 EM ，此曲线在 M 点处的曲率半 径称为该点的第二曲率半径R2。第二曲 率半径的中心 K2 落在回转轴上， R2=MK2 。
⑴ 椭圆封头的中心位置x=0处，经向应力和环向应力相等即：σm=σθ； ⑵ 经向应力σm恒为正值，且最大值在x=0处，最小值在x=a处。 ⑶ 环向应力σθ，在x=0处，σθ>0；在x=a处有三种情况：
如果 如果
a 2 2 - 0 ，即 b
a 2 2 - 0 ，即 b
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四、受气体内压的锥形壳体
1.第一曲率半径和第二曲率半径
R1＝∞ ，R2＝r/cosα 2.锥壳的薄膜应力公式
σm pr 1 2S cos
σ pr 1 S cos
锥底处的薄膜应力 pD 1 σm 4S cos
pD 1 σ 2S cos
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五、受气体内压的碟形封头
3
二、内压圆筒的应力计算公式
1.轴向应力σm的计算公式
介质压力在轴向的合力Pz为：
pz

4
D i2 p

4
D2 p
圆筒形截面上内力为应力的合 力Nz ：
N z DS m
由平衡条件

4
2
F
z
0 得：Pz－Nz＝0
D p DS m
→
pD m 4S
4
【提示】在计算作用于封头上的总压力Pz时，严格地讲，应采用筒体
三、受气体内压的椭球壳（椭圆形封头）

关键问题是要确定椭球壳上任意一点的第一和第二曲率半径 23
1. 第一曲率半径R1

一般曲线 y =f(x)上任意一点的曲率半径： R1
1 y
y ''
32 ' 2

由椭圆曲线方程
y' b x 2 a y a
2
x2 y2 2 1 2 a b
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第二节 回转壳体的薄膜理论
一、基本概念与基本假设
1.基本概念 ⑴回转壳体：壳体的中间面是直线或平面曲线绕其同平面 内的固定轴线旋转3600而成的壳体。 ⑵轴对称：壳体的几何形状、约束条件和所受外力都是对 称于回转轴的。
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⑶ 中间面：中间面是与壳体内外表面等距离的中曲面，内 外表面间的法向距离即为壳体壁厚。 ⑷ 母线：回转壳体的中间面是由平面曲线绕回转轴旋转一 周而成的，形成中间面的平面曲线称为母线。 ⑸ 经线：过回转轴作一纵截面与 壳体曲面相交所得的交线。经 线与母线的形状完全相同。 ⑹ 法线：过经线上任意一点M垂 直于中间面的直线，称为中间 面在该点的法线。法线的延长 线必与回转轴相交。
微元体的上下面：经向应力σm ； 内表面：内压p作用； 外表面不受力； 两个与纵截面相应的面：环向应力σθ。
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3.微元体的静力平衡方程

微元体在其法线方向平衡，故所有的外载和内力的合力都 取沿微元体法线方向的分量。 内压p在微元体abcd面积沿法线n的合力Pn为： pn pdl 1 dl2 经向应力的合力在法线方向上的分量Nmn为：
d d 1 dl1 sin ( 1 ) 1 2 2 2 R1
sin ( d2 d 1 dl2 ) 2 2 2 2 R2

代入平衡方程式，并对各项都除以Sdl1dl2整理得： σ m σθ p 微体平衡方程 R1 R 2 S
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薄膜理论
利用区域平衡方程和微体平衡方程推导和分析薄壁回 转壳体经向应力和环向应力的前提是应力沿壁厚方向 均匀分布，即壳体壁厚截面上只有拉压正应力，没有 弯曲正应力的一种两向应力状态，这种情况只有当容 器的器壁较薄以及边缘区域稍远才是正确的。这种应 力与承受内压的薄膜非常相似，又称之为薄膜理论， 又称为无力矩理论。
p a 4-x2 a 2-b2 2Sb




环向应力


a4 2 - a 4-x2 a 2-b2
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4.椭圆形封头上的应力分布
椭圆壳体的中心位置x=0处： 椭圆壳体的赤道位置x=a处：
m
pa a ( ) 2S b
pa pa a2 m (2 2 ) 2S 2S b
2
θ为圆锥面的半顶角，它 在数值上等于椭圆在同 一点的切线与x轴的夹角。
dy t gθ y' dx
椭圆上某点的第二曲率半径为：
x R2 x y'
2
1 4 2 2 2 b a -x a -b
2



12
25
3. 应力计算公式

经向应力
p m a 4-x 2 a 2-b 2 2Sb
a 2 2 - 0 b
a 2， > 0； b a 2， = 0； b
a 2， b
如果
，即
< 0；
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环向应力
⑷ 标准椭圆封头（a/b=2）

pa 中心位置x=0处： m S 赤道位置x=a处： pa pa m 2S S
碟形封头由三部分经线曲率不同的壳体 组成： b－b段是半径为R的球壳； a－c段是半径为r的圆筒； a－b段是联接球顶与圆筒的摺边，是过 渡半径为r1的圆弧段。
壳体是轴对称的，即几何形状、材料、载荷的对称性和连续性，同时需保 20 证壳体应具有自由边缘
第三节 薄膜理论的应用
一、受气体内压的圆筒形壳体

区域平衡方程式 微体平衡方程

pR 2 m 2S σ m σθ p R1 R 2 S
圆筒形壳体有：R1＝∞ ，R2＝D/2 圆筒形壳体薄膜应力公式
第一节
内压薄壁圆筒的应力分析
一、薄壁容器及其应力特点
1.薄壁容器与厚壁容器 如果S/Di≤0.1或K=DO/Di≤1.2则为薄壁容器； 如果S/Di>0.1或K=DO/Di>1.2则为厚壁容器。
注：S为容器壁厚，DO、Di分别容器的外直径与内直径
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2.薄壁容器的应力特点
薄膜应力：容器的圆筒中段①处，可 以忽略薄壁圆筒变形前后圆周方向曲 率半径变大所引起的弯曲应力。用无 力矩理论来计算。 弯曲应力：在凸形封头、平底盖与筒 体联接处②和③，则因封头与平底的 变形小于筒体部分的变形，边缘连接 处由于变形谐调形成一种机械约束， 从而导致在边缘附近产生附加的弯曲 应力。必须用复杂的有力矩理论及变 形谐调条件才能计算。
a -x
2 2
bx
b4 ab y - 2 3 a y a a 2-x2
''


3

椭圆上某点的第一曲率半径为：
1 4 2 2 2 R 1 4 a -x a -b ab



32
24
2. 第二曲率半径R2
x 2 2 2 R2 x l x tgθ
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2.静力分析

作用在分离体上外力在轴向的合力Pz为： pz

4
D2 p
截面上应力的合力在Z轴上的投影Nz为： N z m DS sin 平衡条件 Fz 0 得：Pz－Nz＝0，即： 2 D p - mDSsin 0 由几何关系知 R 2