正态分布指数分布对数正态分布和威布尔分布函数及其在工程分析中的应用

正态分布、指数分布、对数正态分布和威布尔分布函数及其在工程分析中的应用

0 张洋洋

目录

正态分布函数 (3)

正态分布应用领域 (3)

正态分布案例分析 (3)

指数分布函数 (4)

指数分布的应用领域 (4)

指数分布案例分析 (4)

对数正态分布函数 (5)

对数正态分布的应用领域 (5)

对数正态分布案例分析 (5)

威布尔分布函数 (5)

威布尔分布的应用领域 (7)

威布尔分布案例分析 (7)

附录 (8)

参考文献 (11)

正态分布函数【1】

正态分布概率密度函数f（t）

蓝线：μ=-1 σ=2 红线：μ=1 σ=2 棕线：μ=-1 σ=3 绿线：μ=1 σ=3

均数μ决定正态曲线的中心位置；标准差σ决定正态曲线的陡峭或扁平程度。σ越小，曲线越陡峭；σ越大，曲线越扁平。

正态分布函数F（t）

蓝线：μ=-1 σ=2 红线：μ=1 σ=2 棕线：μ=-1 σ=3

均数μ改变，图像会进行平移，标准差σ改变，图形陡峭度发生变化。σ越小，图像越陡。

正态分布可靠度函数R（t）

蓝线：μ=-1 σ=2 红线：μ=1 σ=2 棕线：μ=-1 σ=3

均数μ改变，图像会进行平移，标准差σ改变，图形陡峭度发生变化。σ越小，图像越陡。

正态分布失效率函数λ（t）

蓝线：μ=-1 σ=2 红线：μ=1 σ=2 棕线：μ=-1 σ=3

均数μ改变，图像会进行平移，标准差σ改变，图形陡峭度发生变化。σ越小，图像越陡。正态分布应用领域【1】

正态分布是一种最常见的连续型随机变量的分布,它在概率论和数理统计中无论在理论研究还是实际应用上都占有头等重要的地位,这是因为它在误差理论、无线电噪声理论、自动控制、产品检验、质量控制、质量管理等领域都有广泛应用.数理统计中许多重要问题的解决都是以正态分布为基础的.某些医学现象，如同质群体的身高、红细胞数、血红蛋白量、胆固醇等，以及实验中的随机误差，呈现为正态或近似正态分布；有些资料虽为偏态分布，但经数据变换后可成为正态或近似正态分布，故可按正态分布规律处理。

正态分布案例分析【1】

例某地1993年抽样调查了100名18岁男大学生身高（cm），其均数=，标准差s=，①估计该地18岁男大学生身高在168cm以下者占该地18岁男大学生总数的百分数；②分别求X+-1s、X+、X+范围内18岁男大学生占该地18岁男大学生总数的实际百分数，并与理论百分数比较。

本例，μ、σ未知但样本含量n较大，按式（）用样本均数X和标准差S分别代替μ和σ，求得u值，u=（）/=。查附表标准正态曲线下的面积，在表的左侧找到，表的上方找到，两者相交处为=%。该地18岁男大学生身高在168cm以下者，约占总数%。其它计算结果见表3。

表3 100名18岁男大学生身高的实际分布与理论分布

指数分布函数

指数分布概率密度函数f（t）

蓝线：θ=2 红线：θ=3

θ值改变，图像陡峭度改变，且θ值越小，图像越陡，上升的越快。

指数分布函数F（t）

蓝线：θ=2 红线：θ=3

θ值改变，图像陡峭度改变，且θ值越小，图像越陡，上升的越快。

指数分布可靠度函数R（t）

蓝线：θ=2 红线：θ=3

θ值改变，图像陡峭度改变，且θ值越小，图像越陡，下降的越快。

指数分布的应用领域【1】

在电子元器件的可靠性研究中，通常用于描述对发生的缺陷数或系统故障数的测量结果。这种分布表现为均值越小，分布偏斜的越厉害。指数分布应用广泛，在日本的工业标准和美国军用标准中，半导体器件的抽验方案都是采用指数分布。此外，指数分布还用来描述大型复杂系统（如计算机）的平均故障间隔时间MTBF的失效分布。但是，由于指数分布具有缺乏“记忆”的特性．因而限制了它在机械可靠性研究中的应用，所谓缺乏“记忆”，是指某种产品或零件经过一段时间t0的工作后,仍然如同新的产品一样,不影响以后的工作寿命值，或者说，经过一段时间t0的工作之后，该产品的寿命分布与原来还未工作时的寿命分布相同，显然，指数分布的这种特性，与机械零件的疲劳、磨损、腐蚀、蠕变等损伤过程的实际情况是完全矛盾的，它违背了产品损伤累积和老化这一过程。所以，指数分布不能作为机械零件功能参数的分布形式。

指数分布虽然不能作为机械零件功能参数的分布规律，但是，它可以近似地作为高可靠性的复杂部件、机器或系统的失效分布模型，特别是在部件或机器的整机试验中得到广泛的应用。指数分布的图形表面上看与幂律分布很相似，实际两者有极大不同，指数分布的收敛速度远快过幂律分布。

指数分布案例分析【2】

对数正态分布函数

对数正态分布概率密度函数f（t）

蓝线：μ=0 σ= 红线：μ= σ= 棕线：μ= σ=

图像随μ的增大而变得陡峭，且向 f（t）轴靠近。（上图）

蓝线：μ=0 σ= 红线：μ=0 σ= 棕线：μ=0 σ=1 绿线：μ=0 σ=

图像随σ的增大先下降再上升，且向 f（t）轴靠近。（下图）

对数正态分布可靠度函数R（t）

蓝线：μ=0 σ= 红线：μ= σ= 棕线：μ=0 σ=1

μ越大，图像越陡，下降的越快；σ越小，图像越陡，下降的越快。

对数正态分布失效率函数λ（t）

蓝线：μ=0 σ= 红线：μ= σ= 棕线：μ=0 σ=1

图像随μ的增大而变得陡峭，且向λ（t）轴靠近。图像随σ的增大先下降再上升，且向λ（t）轴靠近。

对数正态分布的应用领域【3】

对数正态分布在实际中有着重要的应用，如在经融市场的理论研究中，着名的期权定价公式以及许多实证研究都用对数正态分布来描述经融资产的价格。在工程、医学和生物学领域里对数正态分布也有着广泛的应用。

对数正态分布案例分析【4】

即此股票有效期为6个月的一份欧式看涨期权的价值为元，如果发现此期权的价格低于元可以考虑买入，如果价格高于元则考虑卖出此期权.

威布尔分布函数

图一

图2

图3

对数正态分布概率密度函数f（t）

图1：γ=1，η=1 蓝线 m= 红线 m=1 棕线m=2 绿线 m=3