用待定系数法求二次函数解析式案例

《用待定系数法求二次函数解析式》教学案例《用待定系数法求二次函数解析式》，“待定系数法”是数学思想方法中的一种重要的方法，在实际生活和生产实践中有着广泛的应用．学生对于“待定系数法”的学习渗透在不同的学习阶段，在初中七、八年级学生学习了正比例函数、反比例函数、一次函数时已经初步学会了用待定系数法求函数解析式；．因此这节课的学习既是前面知识的延续和深化，又为后面的学习奠定基础，起着承前启后的作用．另外，待定系数法作为解决数学实际问题的基本方法和重要手段，在其他学科中也有着广泛的应用．

一．教学目标：

1、理解二次函数的三种不同形式，并选择恰当的形式用待定系数法确定其解析式。

2、掌握给定不共线三点的坐标确定一个二次函数。

3、了解顶点式、交点式确定二次函数的解析式。

二．教学重点

设一般式，顶点式确定二次函数的解析式

三．教学难点

选择恰当的形式用待定系数法确定二次函数的解析式

四．教学过程

（一)“创设情境启迪思维”

教师通过提问：我们学过了几种函数？它们的解析式各是什么？使学生熟悉今天要用的知识.然后继续用学生熟悉的两个问题将学生引入到本节课要学的知识中：

问题1、已知一个正比例函数图象点(1,3)，求这个函数的解析式．

问题2、已知一个反比例函数图象过(1,3),求这个函数的解析式．问题给出后，学生回答，老师板书解题过程.同时总结学生的解题思路. 回顾初中学过的待定系数法——先根据条件设出函数的解

析式，再根据条件列出方程．

设计意图：两道题设计了相同的已知条件，不同的结论，目的是使学生不去关注点的坐标的变化，而是将注意力转移到函数解析式的变化上，为后面的问题的深化埋下伏笔．通过旧有的知识引出新的问题，引导学生在不知不觉中将新知识纳入到旧有的知识网络系统之中，促进学生对新知识的掌握．

（二)“深入探究获得新知”

问题3、已知一个一次函数图象过(1,3),试求这个函数解析式.

在给出问题3的时候，学生在思考后产生了困惑，继而质疑——能做吗？是不是老师将题目出错了？最后学生意识到：要想解出这个问题，还差一个条件！

针对学生的质疑，我设计了三个问题：

问题一：“题目哪里出错了？”

学生回答：“只给了一个条件，还差一个条件”

问题二：“为什么解不出来？”

学生回答：“因为一次函数有两个待定系数，而题目只给了一个条件”

问题三：“待定系数的个数与已知条件有什么关系？”

学生回答：“有几个待定系数，就得有几个条件”

进行完上面的讨论后，学生已经对待定系数的个数与条件个数之间的关系有了较为清楚的认识．

然后，我将问题改成：“请你添加合适的条件,能使问题解出.”

结合学生添加的条件，老师选一道详细板书，同时引导学生归纳待定系数法的解题步骤（设解析式，列方程或方程组，解列方程或方程组），强化解题步骤，形成并提高解题能力．

设计意图：设置知识的冲突，由已知条件和所求问题的矛盾引发学生思维的冲突，吸引学生的注意力，在学生的关注中突破重点，并通过质疑引发争论猜测，激发、调动学生学习的积极性和课堂参与的深度．通过问题的创设，使学生自主地意识到待定系数的个数与条件是之间的关系，深刻体会待定系数法解题的关键所在. 培养学生在学习中发现问题解决问题的能力．

问题4、已知一个二次函数图象过(1,3), 试求这个函数解析式.

由于有了前一个问题的铺垫，学生很快就意识到要想解出问题还需要添加两个条件，在这个环节我设计的问题是：“为什么要再添加两个条件？条件的个数与什么有关？”

通过这个问题进一步引导学生揭示待定系数法的本质，学生通过提问领悟到两点：

(1)待定系数的个数与已知条件个数之间的一致性；

(2)待定系数法的核心就是方程思想的运用．

（三)“自主学习拓展提高”

在进行了上面的讨论后，我请学生自己添加合适的条件,能使问题解出．

学生编的问题：

1、已知一个二次函数图象过(1,3), 对称轴是x=1，顶点是（1，2），求这个函数解析式.

学生编的这道题，暴露了这名学生在学习中的问题---对函数的定义理解不够，这也是学生在学习函数时常见的问题．结合这个学生所编的题，指出了问题所在——条件“图象过(1,3), 顶点是（1，2）”，说明当ｘ＝１时，对应着两个函数值3和2，这不符合“对于任意的ｘ，都有唯一的函数值y与之对应”的函数的定义．

在我的启发下，这个学生将问题纠正为：已知一个二次函数图象过(1,3), 对称轴是x=2，顶点是（2，2），试求这个函数解析式．我没有马上指出学生出现的问题，而是让这个学生说出解题过程，我在黑板上板书．

解：设函数的解析式为

在这里我提出问题：条件中对称轴是x=2还没有用，题目就解出来了，说明什么？

通过这个问题，引导学生明确：在用待定系数法求函数解析式的时候，所给的条件应该是独立的条件，顶点是（2，2）这个条件中就已经包含对称轴是x=2这个条件了，所以说，对称轴是x=2不是独立条件．在我的在此启发下，学生将问题改为：已知一个二次函数图象过(1,3), 顶点是（2，2），试求这个函数解析式．

（四)“合作共享拓宽思维”

学生编写的另外两道题：

1、已知一个二次函数图象过(1,3),与x轴交点坐标是（2，0），（5，0），试求这个函数解析式.

2、已知一个二次函数图象过(1,3) , 过点（-3，3），（3，6），试求这个函数解析式.

学生板书解题过程。

设计意图：通过学生自主编题，使不同层次的学生有不同发展；通过学生自己命题，彰显学生的个性和创造力，变被动学习为主动学习。

教师出示巩固练习：

根据下列条件，分别求对应的二次函数的解析式

（1）已知二次函数的图像过点(0, 0)，(1,－3)，(2,-7)三点；

（2）已知二次函数的图象经过点（4，－3），并且当x=3时有最大值4；

（3）若二次函数的图像与x轴的交点坐标为(1,0)、(2,0)且过点(3,4)。

设计意图：通过练习求函数的解析式时，感受到恰当地选用函数解析式的形式。选择得当，解题简捷，若选择不当，解题繁琐，甚至解不出题来。

（五)“小结反思提升认知”

然后，我让学生用自己的语言总结：什么是待定系数法．

待定系数法：一般地，在求一个函数时，如果知道这个函数的一般形式，可先把所求函数写为一般形式，其中系数待定，然后再根据题设条件求出这些待定系数．这种通过求待定系数来确定变量之间关系时的方法叫做待定系数法．

设计意图:学生用自己的语言总结，会使学生巩固所学的知识，加深学生对问题的概括性的理解．培养学生的归纳概括能力．五．案例反思

本节课探究新知情境的设计注意了学生科学的质疑态度、批判性的思维习惯的培养，通过设置知识的冲突，调动学生学习的积极性和课堂参与的深度．

1、在问题1、2的对比下，通过问题3设置已知条件和所求问题的矛盾，引发学生思维的冲突，学生先是产生了困惑，继而质疑——能做吗？是不是题目出错了？学生在质疑中引发了争论和猜测，形成了一个小的高潮．同时也营造一个共同发展，和谐交流的氛围，通过对话、争论、讨论、研究、质疑、辩论等多种方式的交流，激活学生

的思维，使学生主动地参与到数学教学活动中．在教学中，我鼓励学生积极参与数学活动，不仅是行为上的参与，更关注学生思维上的参与，通过个体积极思考、与别人讨论疑难问题、发表不同意见等方式，激活思维；通过促进学生在心理活动、变化中的同化和顺应，深化思维，不断地提高数学思维能力．

2、因为学生在七、八年级已经学过待定系数法，我这节课采取了学生自主编题，自己解决问题的教学模式，在教学中我努力营造一个共同发展，和谐交流的氛围，通过对话与多种方式的交流，激活学生的思维，使学生主动地参与到数学教学活动中，在编题的过程中引导学生自觉地将数学语言的使用等知识和技能自然融入其中．学生对自己编题这种学习方式感到很好奇，他们对自己编的题能否解出来，非常感兴趣，也很关注别人编的题自己是否都会解，课堂上他们参与的积极性非常高，通过学生自主编题的成果展示，关注学生情感的发展，关注评价的指导性，不轻易否定学生，在编题的过程中注重知识的生成性，注重引导学生感悟之后的提炼．