2019届北京市西城区高三上学期期末考试理科数学试卷【含答案及解析】

2019届北京市西城区高三上学期期末考试理科数学试
卷【含答案及解析】
姓名___________ 班级____________ 分数__________
一、选择题
1. 设集合 A={x|x ＞ 1} ，集合 B={a+2} ，若A∩B= ∅，则实数 a 的取值范围是（）
A ．（﹣∞ ，﹣ 1 ]
B ．（﹣∞ ， 1 ]
C ． [ ﹣ 1 ，+∞ ）
D ． [1 ，+∞ ）
2. 下列函数中，值域为 R 的偶函数是（）
A ． y=x 2 +1 ________
B ． y=e x ﹣ e ﹣ x ________
C ． y=lg|x| ________
D ．
3. 设命题 p ：“ 若，则” ，命题 q ：“ 若 a ＞ b ，则
” ，则（）
A ．“p ∧ q” 为真命题
B ．“p ∨ q” 为假命题
C ．“ ￢q” 为假命题
D ．以上都不对
4. “ ” 是“ 数列 {a n } 为等比数列” 的（）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
5. 一个几何体的三视图如图所示，那么这个几何体的表面积是（）
（A）________ （B）（C）________ （D）
6. 设 x ， y 满足约束条件，若 z=x+3y 的最大值与最小值的差为 7 ，
则实数 m= （）
A ． ______________
B ． ______________
C ． ___________
D ．
7. 某市乘坐出租车的收费办法如下：
不超过 4 千米的里程收费 12 元；超过 4 千米的里程按每千米 2 元收费（对于其中不足千米的部分，若其小于 0.5 千米则不收费，若其大于或等于 0.5 千米则按 1 千米收费）；当车程超过 4 千米时，另收燃油附加费 1 元．
相应系统收费的程序框图如图所示，其中 x （单位：千米）为行驶里程， y （单位：元）为所收费用，用 [x ] 表示不大于 x 的最大整数，则图中① 处应填（）
A ．
B ．
C ．
D ．
8. 如图，正方形 ABCD 的边长为 6 ，点 E ， F 分别在边 AD ， BC 上，且 DE=2AE ，CF=2BF ．如果对于常数λ，在正方形 ABCD 的四条边上，有且只有 6 个不同的点 P
使得成立，那么λ的取值范围是（）
A ．（ 0 ， 7 ） ________
B ．（ 4 ， 7 ） _________
C ．（ 0 ， 4 ）
_________ D ．（﹣ 5 ， 16 ）
二、填空题
9. 已知复数 z 满足 z （ 1+i ） =2 ﹣ 4i ，那么
z=______________________________ ．
10. 在△ ABC 中，角 A ， B ， C 所对的边分别为 a ， b ， c ．若 A=B ， a=3 ，c=2 ，则 cosC=______________ ．
11. 双曲线 C ：的渐近线方程为；设 F 1 ， F 2 为双曲线 C 的左、
右焦点， P 为 C 上一点，且 |PF 1 |=4 ，则 |PF 2
|=_________________________________ ．
12. 如图，在△ ABC 中，∠ ABC=90° ， AB=3 ， BC=4 ，点 O 为 BC 的中点，以BC 为直径的半圆与 AC ， AO 分别相交于点 M ， N ，则
AN=_________________________________ ；
_________________________________ ．
13. 现有 5 名教师要带 3 个兴趣小组外出学习考察，要求每个兴趣小组的带队教师至
多 2 人，但其中甲教师和乙教师均不能单独带队，则不同的带队方案有
_________________________________ 种．（用数字作答）
14. 某食品的保鲜时间 t （单位：小时）与储藏温度 x （单位：℃ ）满足函数关系
且该食品在 4 ℃ 的保鲜时间是 16 小时．
已知甲在某日上午 10 时购买了该食品，并将其遗放在室外，且此日的室外温度随时间
变化如图所示．给出以下四个结论：
① 该食品在 6 ℃ 的保鲜时间是 8 小时；
② 当x ∈ [ ﹣ 6 ， 6 ] 时，该食品的保鲜时间 t 随着 x 增大而逐渐减少；
③ 到了此日 13 时，甲所购买的食品还在保鲜时间内；
④ 到了此日 14 时，甲所购买的食品已然过了保鲜时间．
其中，所有正确结论的序号是___________________________________ ．
三、解答题
15. 已知函数，x ∈ R ．
（Ⅰ ）求 f （ x ）的最小正周期和单调递增区间；
（Ⅱ ）设α＞ 0 ，若函数 g （ x ） =f （ x+α）为奇函数，求α的最小值．
16. 甲、乙两人进行射击比赛，各射击 4 局，每局射击 10 次，射击命中目标得 1 分，未命中目标得 0 分．两人 4 局的得分情况如下：p
17. ly:宋体; font-size:10.5pt">甲 6 6 9 9 乙 7 9 x y
（Ⅰ ）若从甲的 4 局比赛中，随机选取 2 局，求这 2 局的得分恰好相等的概率；
（Ⅱ ）如果 x=y=7 ，从甲、乙两人的 4 局比赛中随机各选取 1 局，记这 2 局的得
分和为 X ，求 X 的分布列和数学期望；
（Ⅲ ）在 4 局比赛中，若甲、乙两人的平均得分相同，且乙的发挥更稳定，写出 x
的所有可能取值．（结论不要求证明）
18. 如图，在四棱锥 P ﹣ ABCD 中，底面 ABCD 是平行四边形，∠ BCD=135° ，侧
面PAB ⊥ 底面 ABCD ，∠ BAP=90° ， AB=AC=PA=2 ， E ， F 分别为 BC ， AD 的
中点，点 M 在线段 PD 上．
（Ⅰ ）求证：EF ⊥ 平面 PAC ；
（Ⅱ ）若 M 为 PD 的中点，求证：ME ∥ 平面 PAB ；
（Ⅲ ）如果直线 ME 与平面 PBC 所成的角和直线 ME 与平面 ABCD 所成的角相等，求的值．
19. 已知函数 f （ x ） =x 2 ﹣ 1 ，函数 g （ x ） =2tlnx ，其中t≤1 ．
（Ⅰ ）如果函数 f （ x ）与 g （ x ）在 x=1 处的切线均为 l ，求切线 l 的方程
及 t 的值；
（Ⅱ ）如果曲线 y=f （ x ）与 y=g （ x ）有且仅有一个公共点，求 t 的取值范围．
20. 已知椭圆 C ：的离心率为，点在椭圆 C
上．
（Ⅰ ）求椭圆 C 的方程；
（Ⅱ ）设动直线 l 与椭圆 C 有且仅有一个公共点，判断是否存在以原点 O 为圆心的圆，满足此圆与 l 相交两点 P 1 ， P 2 （两点均不在坐标轴上），且使得直线 OP 1 ，OP 2 的斜率之积为定值？若存在，求此圆的方程；若不存在，说明理由．
21. 在数字 1 ， 2 ，， n （n≥2 ）的任意一个排列 A ： a 1 ， a 2 ，， a n 中，如果对于 i ，j ∈ N * ， i ＜ j ，有 a i ＞ a j ，那么就称（ a i ， a j ）为一个逆序对．记排列 A 中逆序对的个数为 S （ A ）．
如 n=4 时，在排列 B ： 3 ， 2 ， 4 ， 1 中，逆序对有（ 3 ， 2 ），（ 3 ，
1 ），（
2 ， 1 ），（ 4 ， 1 ），则 S （ B ） =4 ．
（Ⅰ ）设排列 C ： 3 ， 5 ， 6 ， 4 ， 1 ， 2 ，写出 S （ C ）的值；
（Ⅱ ）对于数字 1 ， 2 ，， n 的一切排列 A ，求所有 S （ A ）的算术平均值；（Ⅲ ）如果把排列 A ： a 1 ， a 2 ，， a n 中两个数字 a i ， a j （ i ＜ j ）交换位置，而其余数字的位置保持不变，那么就得到一个新的排列 A' ： b 1 ， b
2 ，， b n ，求证： S （ A ） +S （ A' ）为奇数．
参考答案及解析
第1题【答案】
第2题【答案】
第3题【答案】
第4题【答案】
第5题【答案】
第6题【答案】
第7题【答案】
第8题【答案】
第9题【答案】
第10题【答案】
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第19题【答案】
第20题【答案】。