2016年北京市西城区高一数学期末试题
北京市西城区普通中学2015-2016学年高一上学期期末数学人教B版必修四检测卷Word版含答案
北京市西城区一般中学2015— 2016 学年度第一学期期末高一数学人教 B 版 必修四 检测卷本卷满分： 100 分一、选择题：本大题共10 小题，每题4 分，共 40 分 . 在每题给出的四个选项中，只有一项是切合要求的 .1. sin( 60 ) 的值等于（） D1B.1C.3 D.3A.22222. 以下函数中，最小正周期为的是（ ） BA. ycos 4xB.ysin 2xC.y sinxD.ycosx243. 已知 tan1，且[0, ) ，那么的值等于（ ） CA.B.2C.3 D.534434. 已知平面向量 a( 1，2)， b (1，0) ，则向量 3a + b 等于（）AA.2,6 B.2, 6C.2,6 D.2, 65. 在 ABC 中， D 是 BC 边上一点，则AD AC 等于（） CA. CBB.BCC.CDD.DC6. 若 tan3 ， tan2 ，则 tan() 等于（） DA. 3B.3C.1 17D.77. 函数 ysin x 图象的一个对称中心的坐标是（） AA. (0,0)B.(,0) C.( ,0) D.( ,0)4428. 以下各式中，值为3的是（）C2A. 2sin15 cos15B.sin 2 15 cos 2 15C. 1 2sin 215D.sin 2 15 cos 2 159. 已知正方形 ABCD 的边长为 1，设 AB a ， BC b ， AC c ，则 a b c 等于（）CA.0B.2C.2D.10. 函数 yf ( x) 在区间 [π， π]上的简图如右图所示，则函数2y f ( x) 的分析式能够是（） BA. f (x)sin(2 x 3 ) B.f (x) sin(2 x2 )3 C. f (x)sin( x) D.f ( x)sin( x2 )33二、填空题：本大题共 6 小题，每题 4 分，共 24 分 . 把答案填在题中横线上11. 已知 AB (1,1) ，那么 AB_________.212. 已知角的终边经过点P 4,3 ，则 cos的值为 _________. 4513. cos 40 cos 20 sin 40 sin 20 的值等于 __________. 1214. 函数 y sin x cos x 的最小值是 _________.1215. 已知向量 a = ( 1,2) ， b = (3, 4) ，则 a a b = __________. 016. 如图，圆 O 的半径为 2 ， l 为圆 O 外一条直线，圆心 O 到直线 l 的PAOP 0，点 P 从P 0处开始距离 OA 3， 0 为圆周上一点，且6以 2 秒一周的速度绕点 O 在圆周上按逆时针方向作匀速圆周运动.① 1 秒钟后，点 P 的横坐标为 _________ ；② t 秒钟后， 点 P 到直线 l 的距离用 t 能够表示为 ______________.3 ， 3 2cos( t) ， t 062 2y1xO2631.yPMP30AO xl三、解答题：本大题共3 小题，共 36 分 . 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 .17. （本小题满分 10 分）已知向量 a 、b知足 a b 1 ，且a与b的夹角为60.（1）求a a a b；（2）若a与a +b垂直，务实数的值.18. （本小题满分12 分）已知, cos 3.25（1）求tan的值；（2）求cos 2sin() 的值.219.（本小题满分 14 分）在直角坐标系 xOy 中，已知点 A( 2,0)， B(0,2 3) ，C (2cos,sin ) ，其中[0, ]．2（1）若AB // OC，求tan的值；（2）设点D (1,0)，求AC BD 的最大值；（3）设点E(a,0)， a R，将OC CE表示成的函数，记其最小值为 f ( a) ，求 f (a)的表达式，并求 f (a)的最大值 .参照答案及分准一、：本大共10 小，每小 4 分，共40 分.1. D;2. B;3. C;4. A;5. C;6. D;7. A;8. C;9. C; 10. B.二、填空：本大共 6 小，每小 4 分，共 24 分 . （一两空的目每空 2 分）11. 2 ;12. 4 ;13. 1 ;14.1;52215. 0;16.3， 3 2cos( t) ， t0 .6三、解答：本大共 3 小，共36 分.17. 解：（ 1）a a a2a b cos60⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分b = a1 11⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分2 2（2）由已知，a(a + b) = 0，⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 7 分因此 a a + a b = 0，2. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯10 分18. 解：（ 1）因， cos 3sin43 分2，因此，⋯⋯⋯⋯⋯⋯55故 tan 45 分. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯3（ 2）cos2sin()2cos 2 1 cos⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 10 分229138. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 12 分2552519. 解：（ 1）由已知，得AB(2,23)，OC(2cos,sin ) ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分因 AB // OC ，因此 43cos2sin， tan 2 3 .⋯⋯⋯⋯⋯⋯3分（ 2）由已知，AC(2cos2,sin)，BD(1, 2 3)，AC BD2cos23 sin24cos() 2 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯5分3又[ 5, ] ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6分33 6因此，当0 ， AC BD 获得最大 ，最大 4 . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 8分（ 3）由已知， CE (a 2cos , sin ) ，因此， OC CE 2a cos4cos 2sin 23cos 22a cos 1，tcos ，OC CE3t 2 2at 1, t [0,1] ⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 10分当 a1，即 a3， f (a)2a 4 ，3 22当a1，即 a3， f (a)1 ，3222a 4, a3,因此， f ( a)2⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 12分1,a3 ,2因 当 a3 ， f (a) f ( 3)1，当 a 3 ， f ( a)1 ，222 因此 f (a) 的最大 1. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 14分。
北京市西城区2016-2017学年高一上学期期末数学试卷Word版含解析
2016-2017学年北京市西城区高一（上）期末数学试卷A卷[必修模块4]本卷满分：100分一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1．如果θ是第三象限的角，那么（）A．sinθ＞0 B．cosθ＞0 C．tanθ＞0 D．以上都不对2．若向量=（1，﹣2），=（x，4）满足⊥，则实数x等于（）A．8 B．﹣8 C．2 D．﹣23．若角α的终边经过点（﹣4，3），则tanα=（）A．B．C．D．4．函数是（）A．奇函数，且在区间上单调递增B．奇函数，且在区间上单调递减C．偶函数，且在区间上单调递增D．偶函数，且在区间上单调递减5．函数f（x）=sinx﹣cosx的图象（）A．关于直线对称B．关于直线对称C．关于直线对称D．关于直线对称6．如图，在△ABC中，点D在线段BC上，且BD=2DC，若，则=（）A．B．C．2 D．7．定义在R上，且最小正周期为π的函数是（）A．y=sin|x| B．y=cos|x|C．y=|sinx| D．y=|cos2x|8．设向量，的模分别为2和3，且夹角为60°，则|+|等于（）A． B．13 C． D．199．函数（其中ω＞0，0＜φ＜π）的图象的一部分如图所示，则（）A．B．C．D．10．如图，半径为1的圆M，切直线AB于点O，射线OC从OA出发，绕O点顺时针方向旋转到OB，旋转过程中OC交⊙M于P，记∠PMO为x，弓形PNO 的面积S=f（x），那么f （x）的图象是（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上.11．若向量=（﹣1，2）与向量=（x，4）平行，则实数x=．12．若θ为第四象限的角，且，则cosθ=；sin2θ=．13．将函数y=cos2x的图象向左平移个单位，所得图象对应的函数表达式为．14．若，均为单位向量，且与的夹角为120°，则﹣与的夹角等于．15．已知，则cos（x﹣y）=．16．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，φ∈（0，π））满足，给出以下四个结论：①ω=3；②ω≠6k，k∈N*；③φ可能等于；④符合条件的ω有无数个，且均为整数．其中所有正确的结论序号是．三、解答题：本大题共3小题，共36分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（12分）已知φ∈（0，π），且．（Ⅰ）求tan2φ的值；（Ⅱ）求的值．18．（12分）已知函数．（1）求函数f（x）的单调增区间；（2）若直线y=a与函数f（x）的图象无公共点，求实数a的取值范围．19．（12分）如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，AB=2，CD=1，BC=a（a＞0），P为线段AD（含端点）上一个动点，设，，则得到函数y=f（x）．（Ⅰ）求f（1）的值；（Ⅱ）对于任意a∈（0，+∞），求函数f（x）的最大值．B卷[学期综合]本卷满分：50分．一、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.把答案填在题中横线上.20．设全集U=R，集合A={x|x＜0}，B={x||x|＞1}，则A∩（∁U B）=．21．已知函数若f（a）=2，则实数a=．22．定义在R上的函数f （x）是奇函数，且f（x）在（0，+∞）是增函数，f （3）=0，则不等式f（x）＞0的解集为．23．函数的值域为．（其中[x]表示不大于x的最大整数，例如[3.15]=3，[0.7]=0．）24．在如图所示的三角形空地中，欲建一个面积不小于200m2的内接矩形花园（阴影部分），则其边长x（单位：m）的取值范围是．二、解答题：本大题共3小题，共30分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.25．（10分）已知函数．（Ⅰ）若，求a的值；（Ⅱ）判断函数f（x）的奇偶性，并证明你的结论．26．（10分）已知函数f（x）=3x，g（x）=|x+a|﹣3，其中a∈R．（Ⅰ）若函数h（x）=f[g（x）]的图象关于直线x=2对称，求a的值；（Ⅱ）给出函数y=g[f（x）]的零点个数，并说明理由．27．（10分）设函数f（x）的定义域为R，如果存在函数g（x），使得f（x）≥g（x）对于一切实数x都成立，那么称g（x）为函数f（x）的一个承托函数．已知函数f（x）=ax2+bx+c的图象经过点（﹣1，0）．（1）若a=1，b=2．写出函数f（x）的一个承托函数（结论不要求证明）；（2）判断是否存在常数a，b，c，使得y=x为函数f（x）的一个承托函数，且f（x）为函数的一个承托函数？若存在，求出a，b，c的值；若不存在，说明理由．2016-2017学年北京市西城区高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析A卷[必修模块4]本卷满分：100分一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1．如果θ是第三象限的角，那么（）A．sinθ＞0 B．cosθ＞0 C．tanθ＞0 D．以上都不对【考点】三角函数值的符号．【分析】根据象限角的符号特点即可判断．【解答】解：如果θ是第三象限的角，则sinθ＜0，cosθ＜0，tanθ＞0，故选：C．【点评】本题考查了象限角的符号无问题，属于基础题．2．若向量=（1，﹣2），=（x，4）满足⊥，则实数x等于（）A．8 B．﹣8 C．2 D．﹣2【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据题意，分析可得•=0，由向量数量积的坐标的运算公式可得•=1×x+（﹣2）×4=0，解可得x的值，即可得答案．【解答】解：根据题意，若向量、满足⊥，必有•=0，又由=（1，﹣2），=（x，4），则有•=1×x+（﹣2）×4=0，解可得x=8；故选：A．【点评】本题考查向量数量积的坐标运算，若两个非零向量互相垂直，则其数量积为0．3．若角α的终边经过点（﹣4，3），则tanα=（）A．B．C．D．【考点】任意角的三角函数的定义．【分析】由题设条件，根据三角函数终边上一点的定义即可求得正切值，正切值为纵坐标与横坐标的商．【解答】解：由定义若角α的终边经过点（﹣4，3），∴tanα=﹣，故选：D．【点评】本题考查任意角三角函数的定义，求解的关键是熟练掌握定义中知道了终边上一点的坐标，求正切值的规律．知道了终边上一点的坐标的三角函数的定义用途较广泛，应好好掌握．4．函数是（）A．奇函数，且在区间上单调递增B．奇函数，且在区间上单调递减C．偶函数，且在区间上单调递增D．偶函数，且在区间上单调递减【考点】正弦函数的图象．【分析】函数=cosx，即可得出结论．【解答】解：函数=cosx，是偶函数，且在区间上单调递减，故选D．【点评】本题考查诱导公式，考查余弦函数的性质，比较基础．5．函数f（x）=sinx﹣cosx的图象（）A．关于直线对称B．关于直线对称C．关于直线对称D．关于直线对称【考点】三角函数的化简求值；正弦函数的图象．【分析】函数解析式提取，利用两角差的正弦函数公式化简，利用正弦函数图象的性质即可做出判断．【解答】解：函数y=sinx﹣cosx=sin（x﹣），∴x﹣=kπ+，k∈Z，得到x=kπ+，k∈Z，则函数的图象关于直线x=﹣对称．故选：B．【点评】本题考查了两角差的正弦函数公式，考查正弦函数图象的性质，熟练掌握公式是解本题的关键，是基础题．6．如图，在△ABC中，点D在线段BC上，且BD=2DC，若，则=（）A．B．C．2 D．【考点】平面向量的基本定理及其意义．【分析】根据向量加减的几何意义可得，λ=，μ=，问题得以解决．【解答】解：∵BD=2DC，∴=+=+=+（﹣）=+，∵，∴λ=，μ=，∴=，故选：A【点评】本题考查了向量的加减的几何意义，属于基础题．7．定义在R上，且最小正周期为π的函数是（）A．y=sin|x| B．y=cos|x|C．y=|sinx| D．y=|cos2x|【考点】三角函数的周期性及其求法．【分析】分别求出函数的最小正周期，判断即可． 【解答】解：对于A ：y=sin |x |的最小正周期为2π， 对于B ，y=cos |x |的最小正周期为2π， 对于C ，y=|sinx |最小正周期为π，对于D ，y=|cos2x |最小正周期为，故选：C【点评】本题考查了三角形函数的最小正周期，属于基础题．8．设向量，的模分别为2和3，且夹角为60°，则|+|等于（ ）A ．B ．13C ．D ．19【考点】平面向量数量积的运算．【分析】利用两个向量的数量积的定义求出，再利用|+|2=||2+||2+2，即可求出答案．【解答】解：∵向量，的模分别为2和3，且夹角为60°，∴=||•||cos60°=2×3×=3，∴|+|2=||2+||2+2=4+9+2×3=19，∴|+|=，故选：C ．【点评】本题考查两个向量的数量积的定义，向量的模的定义，求向量的模的方法．9．函数（其中ω＞0，0＜φ＜π）的图象的一部分如图所示，则（ ）A ．B ．C ．D．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】先利用图象中求得函数的周期，求得ω，最后根据x=2时取最大值，求得φ，即可得解．【解答】解：如图根据函数的图象可得：函数的周期为（6﹣2）×4=16，又∵ω＞0，∴ω==，当x=2时取最大值，即2sin（2×+φ）=2，可得：2×+φ=2kπ+，k ∈Z，∴φ=2kπ+，k∈Z，∵0＜φ＜π，∴φ=，故选：B．【点评】本题主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，考查了学生基础知识的运用和图象观察能力，属于基本知识的考查．10．如图，半径为1的圆M，切直线AB于点O，射线OC从OA出发，绕O点顺时针方向旋转到OB，旋转过程中OC交⊙M于P，记∠PMO为x，弓形PNO 的面积S=f（x），那么f （x）的图象是（）A．B．C．D．【考点】函数的图象与图象变化．【分析】写出函数S=f （x ）的解析式．根据函数的单调性和极值判断出函数图象的大体形状即可．【解答】解：由题意得S=f （x ）=x﹣f′（x）=≥0当x=0和x=2π时，f′（x）=0，取得极值．则函数S=f （x ）在[0，2π]上为增函数，当x=0和x=2π时，取得极值．结合选项，A正确．故选A．【点评】本题考查了函数的解析式的求法以及函数的求导，根据函数的性质判断函数的图象，求出函数的解析式是解决此题的关键．二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上.11．若向量=（﹣1，2）与向量=（x，4）平行，则实数x=﹣2．【考点】平行向量与共线向量．【分析】由于向量=（﹣1，2）与向量=（x，4）平行，可得，进而列出方程组求解出答案即可．【解答】解：因为向量=（﹣1，2）与向量=（x，4）平行，所以，所以﹣1=λx，2=λ4，解得：λ=，x=﹣2．故答案为﹣2．【点评】解决此类问题的关键是熟练掌握向量共线的坐标表示，并且结合正确的计算．12．若θ为第四象限的角，且，则cosθ=；sin2θ=﹣．【考点】同角三角函数基本关系的运用．【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求cosθ，进而利用二倍角的正弦函数公式可求sin2θ的值．【解答】解：∵θ为第四象限的角，且，∴cosθ==，sin2θ=2sinθcosθ=2×（﹣）×=﹣．故答案为：，﹣．【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，二倍角的正弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．13．将函数y=cos2x 的图象向左平移个单位，所得图象对应的函数表达式为y=﹣sin2x ．【考点】函数y=Asin （ωx +φ）的图象变换．【分析】根据函数y=Asin （ωx +φ）的图象变换规律，可得结论．【解答】解：将函数y=cos2x 的图象向左平移个单位，所得图象对应的解析式为y=cos2（x +）=cos （2x +）=﹣sin2x ．故答案为：y=﹣sin2x ．【点评】本题主要考查函数y=Asin （ωx +φ）的图象变换规律，考查了转化思想，属于基础题．14．若，均为单位向量，且与的夹角为120°，则﹣与的夹角等于 150° ．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据向量数量积公式和向量的夹角公式计算即可． 【解答】解：∵，均为单位向量，且与的夹角为120°，∴（﹣）•=﹣||2=1×1×（﹣）﹣1=﹣， |﹣|2=||2﹣2+||2=1﹣2×1×1×（﹣）+1=3，∴|﹣|=，设﹣与的夹角为θ，则cosθ===﹣，∵0°≤θ≤180°，∴θ=150°，故答案为：150°【点评】解决此类问题的关键是熟练掌握平面向量数量积的运算性质与公式，以及向量的求模公式的应用，此题属于基础题，主要细心的运算即可得到全分．15．已知，则cos（x﹣y）=﹣．【考点】两角和与差的余弦函数．【分析】对已知两式分别平方相加，逆用两角和与差的余弦函数公式即可求得答案．【解答】解：∵sinx+siny=，①cosx+cosy=，②①2+②2得：2+2sinxsiny+2cosxcosy=，∴cos（x﹣y）=sinxsiny+cosxcosy=﹣，故答案为：﹣．【点评】本题考查两角和与差的余弦函数，考查三角函数的平方关系的应用，属于基础题．16．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，φ∈（0，π））满足，给出以下四个结论：①ω=3；②ω≠6k，k∈N*；③φ可能等于；④符合条件的ω有无数个，且均为整数．其中所有正确的结论序号是①③．【考点】正弦函数的图象．【分析】函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，φ∈（0，π））满足，可得ω（）=nπ，ω=n（n∈Z），即可得出结论．【解答】解：函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，φ∈（0，π））满足，∴ω（）=nπ，∴ω=n （n ∈Z ），∴①ω=3正确； ②ω≠6k ，k ∈N *，不正确；③φ可能等于，正确； ④符合条件的ω有无数个，且均为整数，不正确． 故答案为①③．【点评】本题考查三角函数的图象与性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．三、解答题：本大题共3小题，共36分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（12分）（2016秋•西城区期末）已知φ∈（0，π），且．（Ⅰ）求tan2φ的值；（Ⅱ）求的值．【考点】同角三角函数基本关系的运用．【分析】（Ⅰ）利用特殊角的三角函数值，两角和的正切函数公式可求tanφ的值，进而利用二倍角的正切函数公式即可计算得解． （Ⅱ）利用同角三角函数基本关系式化简所求即可得解．【解答】解：（Ⅰ）∵φ∈（0，π），且=，可得：tanφ=﹣2，∴tan2φ==．（Ⅱ）===﹣．【点评】本题主要考查了特殊角的三角函数值，两角和的正切函数公式，二倍角的正切函数公式，同角三角函数基本关系式的应用，考查了转化思想，属于基础题．18．（12分）（2016秋•西城区期末）已知函数．（1）求函数f （x ）的单调增区间；（2）若直线y=a与函数f（x）的图象无公共点，求实数a的取值范围．【考点】三角函数中的恒等变换应用．【分析】（1）运用两角差的余弦公式和二倍角公式，化简可得f（x），再由余弦函数的单调区间，解不等式可得所求增区间；（2）求得f（x）的最值，即可得到a的取值范围．【解答】解：（1）函数=cosx（cosx+sinx）=+sin2x=cos（2x﹣）+，由2kπ﹣π≤2x﹣≤2kπ，k∈Z，解得kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z，即f（x）的增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z；（2）由（1）可得当2x﹣=2kπ，即x=kπ+，k∈Z时，f（x）取得最大值；当2x﹣=2kπ+π，即x=kπ+，k∈Z时，f（x）取得最小值﹣．由直线y=a与函数f（x）的图象无公共点，可得a的范围是a＞或a＜﹣．【点评】本题考查三角函数的化简和求值，考查余弦函数的图象和性质，属于中档题．19．（12分）（2016秋•西城区期末）如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，AB=2，CD=1，BC=a（a＞0），P为线段AD（含端点）上一个动点，设，，则得到函数y=f（x）．（Ⅰ）求f（1）的值；（Ⅱ）对于任意a∈（0，+∞），求函数f（x）的最大值．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】（Ⅰ）画出图形，建立直角坐标系，即得y=f（x）的解析式，代值计算即可（Ⅱ）通过分类讨论，利用二次函数的单调性即可判断出．【解答】解：（1）如图所示，建立直角坐标系．∵在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，AB=2，CD=1，BC=a（a＞0），∴B（0，0），A（﹣2，0），D（﹣1，a），C（0，a）．∵=x，（0≤x≤1）．∴=+x=（﹣2，0）+x（1，a）=（x﹣2，xa），∴=﹣=（0，a）﹣（x﹣2，xa）=（2﹣x，a﹣xa）∴y=f（x）=•=（2﹣x，﹣xa）•（2﹣x，a﹣xa）=（2﹣x）2﹣ax（a﹣xa）=（a2+1）x2﹣（4+a2）x+4．∴f（1）=a2+1﹣（4+a2）+4=1（Ⅱ）由y=f（x）=（a2+1）x2﹣（4+a2）x+4．可知：对称轴x0=．当0＜a≤时，1＜x0，∴函数f（x）在[0，1]单调递减，因此当x=0时，函数f（x）取得最大值4．当a＞时，0＜x0＜1，函数f（x）在[0，x0）单调递减，在（x0，1]上单调递增．又f（0）=4，f（1）=1，∴f（x）max=f（0）=4．综上所述函数f（x）的最大值为4【点评】本题考查了数量积运算、分类讨论、二次函数的单调性等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．B卷[学期综合]本卷满分：50分．一、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.把答案填在题中横线上.20．设全集U=R，集合A={x|x＜0}，B={x||x|＞1}，则A∩（∁U B）={x|﹣1≤x＜0} ．【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】化简集合B，根据补集与交集的定义求出结果即可．【解答】解：全集U=R，集合A={x|x＜0}，B={x||x|＞1}={x|x＜﹣1或x＞1}，则∁U B={x|﹣1≤x≤1}，A∩（∁U B）={x|﹣1≤x＜0}．故答案为：{x|﹣1≤x＜0}．【点评】本题考查了集合的定义与运算问题，是基础题目．21．已知函数若f（a）=2，则实数a=e2．【考点】函数的值．【分析】当a＜0时，f（a）=a﹣2=2；当a＞0时，f（a）=lna=2．由此能求出实数a．【解答】解：∵函数，f（a）=2，∴当a＜0时，f（a）=a﹣2=2，解得a=，不成立；当a＞0时，f（a）=lna=2，解得a=e2．∴实数a=e2．故答案为：e2．【点评】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．22．定义在R上的函数f （x）是奇函数，且f（x）在（0，+∞）是增函数，f （3）=0，则不等式f（x）＞0的解集为（﹣3，0）∪（3，+∞）．【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】易判断f（x）在（﹣∞，0）上的单调性及f（x）图象所过特殊点，作出f（x）的草图，根据图象可解不等式．【解答】解：∵f（x）在R上是奇函数，且f（x）在（0，+∞）上是增函数，∴f（x）在（﹣∞，0）上也是增函数，由f（﹣3）=0，得﹣f（3）=0，即f（3）=0，由f（﹣0）=﹣f（0），得f（0）=0，作出f（x）的草图，如图所示：∴f（x）＞0的解集为：（﹣3，0）∪（3，+∞），故答案为：（﹣3，0）∪（3，+∞）．【点评】本题考查函数奇偶性、单调性的综合应用，考查数形结合思想，灵活作出函数的草图是解题关键．23．函数的值域为{0，1} ．（其中[x]表示不大于x的最大整数，例如[3.15]=3，[0.7]=0．）【考点】函数的值域．【分析】由题设中的定义，可对x分区间讨论，设m表示整数，综合此四类即可得到函数的值域【解答】解：设m表示整数．①当x=2m时，[]=[m+0.5]=m，[]=[m]=m．∴此时恒有y=0．②当x=2m+1时，[]=[m+1]=m+1，[]=[m+0.5]=m．∴此时恒有y=1．③当2m＜x＜2m+1时，2m+1＜x+1＜2m+2∴m＜＜m+0.5m+0.5＜＜m+1∴[]=m，[]=m∴此时恒有y=0④当2m+1＜x＜2m+2时，2m+2＜x+1＜2m+3∴m+0.5＜＜m+1m+1＜＜m+1.5∴此时[]=m，[]=m+1∴此时恒有y=1．综上可知，y∈{0，1}．故答案为{0，1}．【点评】此题是新定义一个函数，根据所给的规则求函数的值域，求解的关键是理解所给的定义，一般从函数的解析式入手，要找出准确的切入点，理解[x]表示数x的整数部分，考察了分析理解，判断推理的能力及分类讨论的思想24．在如图所示的三角形空地中，欲建一个面积不小于200m2的内接矩形花园（阴影部分），则其边长x（单位：m）的取值范围是[10，20] ．【考点】基本不等式．【分析】设矩形的另一边长为ym，由相似三角形的性质可得：=，（0＜x＜30）．矩形的面积S=x（30﹣x），利用S≥200解出即可．【解答】解：设矩形的另一边长为ym，由相似三角形的性质可得：=，解得y=30﹣x，（0＜x＜30）∴矩形的面积S=x（30﹣x），∵矩形花园的面积不小于200m2，∴x（30﹣x）≥200，化为（x﹣10）（x﹣20）≤0，解得10≤x≤20．满足0＜x＜30．故其边长x（单位m）的取值范围是[10，20]．故答案为：[10，20]．【点评】本题考查了相似三角形的性质、三角形的面积计算公式、一元二次不等式的解法等基础知识与基本技能方法，属于基础题．二、解答题：本大题共3小题，共30分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.25．（10分）（2016秋•西城区期末）已知函数．（Ⅰ）若，求a的值；（Ⅱ）判断函数f（x）的奇偶性，并证明你的结论．【考点】对数函数的图象与性质；函数奇偶性的判断．【分析】（Ⅰ）若，则=2，解得a的值；（Ⅱ）函数f（x）为奇函数，结合函数奇偶性的定义和对数的运算性质，可得答案．【解答】解：（Ⅰ）∵函数．，∴=，∴=2，解得：a=3；（Ⅱ）函数f（x）为奇函数，理由如下：函数f（x）的定义域（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）关于原点对称，且f（﹣x）+f（x）=+=0，即f（﹣x）=﹣f（x），故函数f（x）为奇函数．【点评】本题考查的知识点是函数的奇偶性，对数函数的图象和性质，函数求值，难度中档．26．（10分）（2016秋•西城区期末）已知函数f（x）=3x，g（x）=|x+a|﹣3，其中a∈R．（Ⅰ）若函数h（x）=f[g（x）]的图象关于直线x=2对称，求a的值；（Ⅱ）给出函数y=g[f（x）]的零点个数，并说明理由．【考点】函数零点的判定定理；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）函数h（x）=f[g（x）]=3|x+a|﹣3的图象关于直线x=2对称，则h （4﹣x）=h（x）⇒|x+a|=|4﹣x+a|恒成立⇒a=﹣2；（Ⅱ）函数y=g[f（x）]=|3x+a|﹣3的零点个数，就是函数G（x）=|3x+a|与y=3的交点，分①当0≤a＜3时；②当a≥3时；③﹣3≤a＜0时；④当a＜﹣3时，画出图象判断个数．【解答】解：（Ⅰ）函数h（x）=f[g（x）]=3|x+a|﹣3的图象关于直线x=2对称，则h（4﹣x）=h（x）⇒|x+a|=|4﹣x+a|恒成立⇒a=﹣2；（Ⅱ）函数y=g[f（x）]=|3x+a|﹣3的零点个数，就是函数G（x）=|3x+a|与y=3的交点，①当0≤a＜3时，G（x）=|3x+a|=3x+a与y=3的交点只有一个，即函数y=g[f（x）]的零点个数为1个（如图1）；②当a≥3时，G（x）=|3x+a|=3x+a与y=3没有交点，即函数y=g[f（x）]的零点个数为0个（如图1）；③﹣3≤a＜0时，G（x）=|3x+a|与y=3的交点只有1个（如图2）；④当a＜﹣3时，G（x）=|3x+a|与y=3的交点有2个（如图2）；【点评】本题考查了函数的零点，把零点个数转化为两函数交点个数是常用方法，属于中档题．27．（10分）（2016秋•西城区期末）设函数f（x）的定义域为R，如果存在函数g（x），使得f（x）≥g（x）对于一切实数x都成立，那么称g（x）为函数f （x）的一个承托函数．已知函数f（x）=ax2+bx+c的图象经过点（﹣1，0）．（1）若a=1，b=2．写出函数f（x）的一个承托函数（结论不要求证明）；（2）判断是否存在常数a，b，c，使得y=x为函数f（x）的一个承托函数，且f（x）为函数的一个承托函数？若存在，求出a，b，c的值；若不存在，说明理由．【考点】函数解析式的求解及常用方法．【分析】（1）由题意可得c=1，进而得到f（x），可取g（x）=x；（2）假设存在常数a，b，c满足题意，令x=1，可得a+b+c=1，再由二次不等式恒成立问题解法，运用判别式小于等于0，化简整理，即可判断存在．【解答】解：（1）函数f（x）=ax2+bx+c的图象经过点（﹣1，0），可得a﹣b+c=0，又a=1，b=2，则f（x）=x2+2x+1，由新定义可得g（x）=x为函数f（x）的一个承托函数；（2）假设存在常数a，b，c，使得y=x为函数f（x）的一个承托函数，且f（x）为函数的一个承托函数．即有x≤ax2+bx+c≤x2+恒成立，令x=1可得1≤a+b+c≤1，即为a+b+c=1，即1﹣b=a+c，又ax2+（b﹣1）x+c≥0恒成立，可得a＞0，且（b﹣1）2﹣4ac≤0，即为（a+c）2﹣4ac≤0，即有a=c；又（a﹣）x2+bx+c﹣≤0恒成立，可得a＜，且b2﹣4（a﹣）（c﹣）≤0，即有（1﹣2a）2﹣4（a﹣）2≤0恒成立．故存在常数a，b，c，且0＜a=c＜，b=1﹣2a，可取a=c=，b=．满足题意．【点评】本题考查新定义的理解和运用，考查不等式恒成立问题的解法，注意运用赋值法和判别式法，考查运算能力，属于中档题．。
2016年北京市西城区高一数学期末试题.doc
北京市西城区2015 — 2016学年度第一学期期末试卷高一数学2016.1试卷满分：150分考试时间：120分钟A卷[必修模块4] 本卷满分：100分一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分. 把答案填在题中横线上. 11. sin45π= _____. 12. 如图所示，D 为ABC △中BC 边的中点，设AB =a ，AC =b ， 则BD =_____.（用a ，b 表示）13. 角α终边上一点的坐标为(1,2)，则tan 2α=_____. 14. 设向量(0,2),a b ==，则,a b 的夹角等于_____. 15. 已知(0,)α∈π，且cos sin8απ=-，则α=_____. 16. 已知函数()sin f x x ω=（其中0ω>）图象过(,1)π-点，且在区间(0,)3π上单调递增，则ω的值为_______.三、解答题：本大题共3小题，共36分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.ABCD17．（本小题满分12分）已知2απ∈π(,)，且3sin 5α=. （Ⅰ）求tan()4απ-的值；（Ⅱ）求sin2cos 1cos 2ααα-+的值．18．（本小题满分12分）如图所示，C B ，两点是函数()sin(2)3f x A x π=+（0>A ）图象上相邻的两个最高点，D 点为函数)(x f 图象与x 轴的一个交点. （Ⅰ）若2=A ，求)(x f 在区间[0,]2π上的值域；（Ⅱ）若CD BD ⊥，求A 的值．19．（本小题满分12分）如图，在ABC △中，1AB AC ==，120BAC ∠=. （Ⅰ）求AB BC ⋅的值；（Ⅱ）设点P 在以A 为圆心，AB 为半径的圆弧BC 上运动，且AP x AB y AC =+，其中,x y ∈R . 求xy 的最大值.ACPB 卷 [学期综合] 本卷满分：50分一、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分. 把答案填在题中横线上. 1．设U =R ，{|0}A x x =>，{|1}B x x =>，则U A B =ð_____．2．2log =_____，31log 23+=_____．3．已知函数()f x =1,2, 1.x x x x ⎧-⎪⎨⎪<⎩≥1,且()(2)0f a f +=，则实数a = _____．4．已知函数)(x f 是定义在R 上的减函数，如果()(1)f a f x >+在[1,2]x ∈上恒成立，那么实数a 的取值范围是_____．5． 通过实验数据可知，某液体的蒸发速度y (单位：升/小时)与液体所处环境的温度x (单位：℃)近似地满足函数关系e kx b y +=（e 为自然对数的底数，,k b 为常数). 若该液体在0℃的蒸发速度是0.1升/小时，在30℃的蒸发速度为0.8升/小时，则该液体在20℃的蒸发速度为_____升/小时．二、解答题：本大题共3小题，共30分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 6．（本小题满分10分）已知函数26()1xf x x =+. （Ⅰ）判断函数)(x f 的奇偶性，并证明你的结论； （Ⅱ）求满足不等式(2)2x x f >的实数x 的取值范围． 7．（本小题满分10分）设a 为实数，函数2()2f x x ax =-．（Ⅰ）当1a =时，求()f x 在区间[0,2]上的值域；（Ⅱ）设函数()()g x f x =，()t a 为()g x 在区间[0,2]上的最大值，求()t a 的最小值. 8．（本小题满分10分）设函数()f x 定义域为[0,1]，若()f x 在*[0,]x 上单调递增，在*[,1]x 上单调递减，则称*x 为函数()f x 的峰点，()f x 为含峰函数．（特别地，若()f x 在[0,1]上单调递增或递减，则峰点为1或0）对于不易直接求出峰点*x 的含峰函数，可通过做试验的方法给出*x 的近似值. 试验原理为：“对任意的1x ，2(0,1)x ∈，12x x <，若)()(21x f x f ≥，则),0(2x 为含峰区间，此时称1x 为近似峰点；若12()()f x f x <，则)1,(1x 为含峰区间，此时称2x 为近似峰点”．我们把近似峰点与*x 之间可能出现．．．．的最大距离称为试验的“预计误差”，记为d ，其值为=d }}1,m ax {},,m ax {m ax {212121x x x x x x ---（其中},max{y x 表示y x ,中较大的数）． （Ⅰ）若411=x ，212=x ．求此试验的预计误差d ． （Ⅱ）如何选取1x 、2x ，才能使这个试验方案的预计误差达到最小？并证明你的结论（只证明1x 的取值即可）．（Ⅲ）选取1x ，2(0,1)x ∈，12x x <，可以确定含峰区间为2(0,)x 或1(,1)x . 在所得的含峰区间内选取3x ，由3x 与1x 或3x 与2x 类似地可以进一步得到一个新的预计误差d '．分别求出当411=x 和125x =时预计误差d '的最小值．（本问只写结果，不必证明）。
2015-2016年北京市西城区高一(下)期末数学试卷(解析版)
2015-2016学年北京市西城区高一（下）期末数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．1．（4分）已知数列{a n}满足a n+1＝a n+2，且a1＝2，那么a5＝（）A．8B．9C．10D．112．（4分）如果a＜b＜0，那么下列不等式正确的是（）A．ab＞a2B．a2＜b2C．＜D．3．（4分）在掷一个骰子的试验中，事件A表示“小于5的偶数点出现”，事件B表示“小于5的点数出现”，则一次试验中，事件A∪发生的概率为（）A．B．C．D．4．（4分）如图是100名学生某次数学测试成绩（单位：分）的频率分布直方图，则测试成绩在区间[50，70）中的学生人数是（）A．30B．25C．22D．205．（4分）执行如图所示的程序框图，若输入A的值为2，则输出的n值为（）A．3B．4C．5D．66．（4分）在不等式组表示的平面区域内任取一个点P（x，y），使得x+y≤1的概率为（）A．B．C．D．7．（4分）若关于x的不等式x+≥a对于一切x∈（0，+∞）恒成立，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，5]B．（﹣∞，4]C．（﹣∞，2]D．（﹣∞，1] 8．（4分）在△ABC中，若＜cos C，则△ABC为（）A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．等边三角形9．（4分）某货运员拟运送甲、乙两种货物，每件货物的体积、重量、可获利润如表所示：在一次运输中，货物总体积不超过110升，总重量不超过100公斤，那么在合理的安排下，一次运输获得的最大利润为（）A．65元B．62元C．60元D．56元10．（4分）设a，b∈R，给出下列判断：①若，则a﹣b≤1；②若a3﹣b3＝1，则a﹣b≤1；③若a，b均为正数，且a2﹣b2＝1，则a﹣b≤1；④若a，b均为正数，且，则a﹣b≥1．则所有正确判断的序号是（）A．①②B．③C．③④D．②④二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在题中横线上．11．（5分）不等式的解集是．12．（5分）如图茎叶图记录了在某项体育比赛中，七位裁判为一名选手打出的分数，则去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均值为，方差为．13．（5分）某学校举办了一次写作水平测试，成绩共有100分，85分，70分，60分及50分以下5种情况，并将成绩分成5个等级，从全校参赛学生中随机抽取30名学生，情况如下：已知在全校参加比赛的学生中任意抽取一人，估计出该同学成绩达到60分及60分以上的概率为，其成绩等级为“A或B”的概率为，则a＝；b＝．14．（5分）在各项均为正数的等比数列{a n}中，若a2＝2，则a1+2a3的最小值是．15．（5分）某公司计划从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戌中录用两人，若这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为．16．（5分）已知数列{a n}中，a1＝a（0＜a≤1），a n+1＝（n∈N*）①若a3＝，则a＝；②记S n＝a1+a2+…+a n，则S2016＝．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（13分）等差数列{a n}的首项a1＝1，其前n项和为S n，且a3+a5＝a4+7．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）求满足不等式S n＜3a n﹣2的n的值．18．（13分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且C＝，a＝6．（Ⅰ）若c＝14，求sin A的值；（Ⅱ）若△ABC的面积为3，求c的值．19．（13分）某中学从高三男生中随机抽取100名学生的身高，将数据整理，得到的频率分布表如下所示．（Ⅰ）求出频率分布表中①和②位置上相应的数据；（Ⅱ）为了能对学生的体能做进一步了解，该校决定在第3，4，5组中用分层抽样抽取6名学生进行体能测试，求第3，4，5组每组各抽取多少名学生进行测试？（Ⅲ）在（Ⅱ）的前提下，学校决定在6名学生中随机抽取2名学生进行引体向上测试，求：第4组中至少有一名学生被抽中的概率．20．（13分）已知函数f（x）＝mx2+（1﹣3m）x﹣4，m∈R．（Ⅰ）当m＝1时，求f（x）在区间[﹣2，2]上的最大值和最小值；（Ⅱ）解关于x的不等式f（x）＞﹣1；（Ⅲ）当m＜0时，若存在x0∈（1，+∞），使得f（x0）＞0，求m的取值范围．21．（14分）已知{a n}是递增的等差数列，S n为{a n}的前n项和，且S5＝5，a3，a4，a7成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）求|a1|+|a2|+…+|a100|的值；（Ⅲ）若集合中有且仅有2个元素，求λ的取值范围．22．（14分）已知数列{a n}的各项均为正数，其前n项和为S n，且满足S n＝2a n﹣a1，n∈N*．（Ⅰ）若a1＝1，求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若对于正整数m，p，q（m＜p＜q），5a m，a p，a q这三项经过适当的排序后能构成等差数列，试用m表示p和q；（Ⅲ）已知数列{t n}，{r n}满足|t n|＝|r n|＝a n，数列{t n}，{r n}的前100项和分别为T100，R100，且T100＝R100，试问：是否对于任意的正整数k（1≤k≤100）均有t k＝r k成立，请说明理由．2015-2016学年北京市西城区高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．1．（4分）已知数列{a n}满足a n+1＝a n+2，且a1＝2，那么a5＝（）A．8B．9C．10D．11【解答】解：∵a n+1＝a n+2，且a1＝2，∴数列{a n}是等差数列，公差为2，首项为2．那么a5＝2+2×（5﹣1）＝10．故选：C．2．（4分）如果a＜b＜0，那么下列不等式正确的是（）A．ab＞a2B．a2＜b2C．＜D．【解答】解：∵a＜b＜0，∴ab＜a2，故A错误；a2＞b2，故B错误；ab＞0，故，即＞，故C错误；﹣＜﹣，故D正确；故选：D．3．（4分）在掷一个骰子的试验中，事件A表示“小于5的偶数点出现”，事件B表示“小于5的点数出现”，则一次试验中，事件A∪发生的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：∵在掷一个骰子的试验中，事件A表示“小于5的偶数点出现”，事件B表示“小于5的点数出现”，∴P（A）＝＝，P（）＝，∴一次试验中，事件A∪发生的概率为：P（A∪）＝P（A）+P（）＝＝．故选：C．4．（4分）如图是100名学生某次数学测试成绩（单位：分）的频率分布直方图，则测试成绩在区间[50，70）中的学生人数是（）A．30B．25C．22D．20【解答】解：根据频率分布直方图中频率和为1，得：10（2a+3a+7a+6a+2a）＝1，解得a＝；∴模块测试成绩落在[50，70）中的频率是10（2a+3a）＝50a＝50×＝，∴对应的学生人数是100×＝25．故选：B．5．（4分）执行如图所示的程序框图，若输入A的值为2，则输出的n值为（）A．3B．4C．5D．6【解答】解：模拟执行程序，可得A＝2，S＝0，n＝1不满足条件S＞2，执行循环体，S＝1，n＝2不满足条件S＞2，执行循环体，S＝，n＝3不满足条件S＞2，执行循环体，S＝，n＝4不满足条件S＞2，执行循环体，S＝，n＝5满足条件S＞2，退出循环，输出n的值为5．故选：C．6．（4分）在不等式组表示的平面区域内任取一个点P（x，y），使得x+y≤1的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：不等式组组，得x+y≤1概率为阴影部分的面积，则P＝＝，故选：C．7．（4分）若关于x的不等式x+≥a对于一切x∈（0，+∞）恒成立，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，5]B．（﹣∞，4]C．（﹣∞，2]D．（﹣∞，1]【解答】解：∵x＞0；∴，当x＝，即x＝2时取等号；∴的最小值为4；∴4≥a；∴实数a的取值范围是（﹣∞，4]．故选：B．8．（4分）在△ABC中，若＜cos C，则△ABC为（）A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．等边三角形【解答】解：在△ABC中，∵＜cos C，∴sin A＜sin B cos C，∴sin（B+C）＜sin B cos C，展开化为：cos B sin C＜0，∵B，C∈（0，π）．∴cos B＜0，B为钝角．∴△ABC为钝角三角形．故选：A．9．（4分）某货运员拟运送甲、乙两种货物，每件货物的体积、重量、可获利润如表所示：在一次运输中，货物总体积不超过110升，总重量不超过100公斤，那么在合理的安排下，一次运输获得的最大利润为（）A．65元B．62元C．60元D．56元【解答】解：设运送甲x件，乙y件，利润为z，则由题意得，即，且z＝8x+10y，作出不等式组对应的平面区域如图：由z＝8x+10y得y＝﹣x+，平移直线y＝﹣x+，由图象知当直线y＝﹣x+经过点B时，直线的截距最大，此时z最大，由，得，即B（4，3），此时z＝8×4+10×3＝32+30＝62，故选：B．10．（4分）设a，b∈R，给出下列判断：①若，则a﹣b≤1；②若a3﹣b3＝1，则a﹣b≤1；③若a，b均为正数，且a2﹣b2＝1，则a﹣b≤1；④若a，b均为正数，且，则a﹣b≥1．则所有正确判断的序号是（）A．①②B．③C．③④D．②④【解答】解：①若，取a＝2，b＝，则a﹣b＝＞1，因此①不一定正确；②若a3﹣b3＝1，取a＝，b＝﹣，则a﹣b＝＞1，因此不一定正确；③若a，b均为正数，且a2﹣b2＝1，则a＝，∴a﹣b＝＝≤1，因此正确；④若a，b均为正数，且，则，两边平方可得：a＝1+2+b，∴a﹣b＝1+2≥1，因此正确．则所有正确判断的序号是（）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在题中横线上．11．（5分）不等式的解集是{x|0＜x＜1}．【解答】解：∵＞1，∴﹣1＝＞0，∴＞0，∴0＜x＜1．∴不等式的解集为{x|0＜x＜1}．故答案为：{x|0＜x＜1}．12．（5分）如图茎叶图记录了在某项体育比赛中，七位裁判为一名选手打出的分数，则去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均值为92，方差为 2.8．【解答】解：由题意所剩数据：90，90，93，93，94，所以平均数＝（90+90+93+93+94）＝92，方差S2＝[（90﹣92）2+（90﹣92）2+（93﹣92）2+（94﹣92）2+（93﹣92）2]＝2.8，故答案为：92，2.8；13．（5分）某学校举办了一次写作水平测试，成绩共有100分，85分，70分，60分及50分以下5种情况，并将成绩分成5个等级，从全校参赛学生中随机抽取30名学生，情况如下：已知在全校参加比赛的学生中任意抽取一人，估计出该同学成绩达到60分及60分以上的概率为，其成绩等级为“A或B”的概率为，则a＝5；b＝10．【解答】解：∵在全校参加比赛的学生中任意抽取一人，估计出该同学成绩达到60分及60分以上的概率为，其成绩等级为“A或B”的概率为，∴，解得a＝5，b＝10．故答案为：5，10．14．（5分）在各项均为正数的等比数列{a n}中，若a2＝2，则a1+2a3的最小值是4．【解答】解：∵a2＝2，且a n＞0由基本不等式可得，a 1+2a3≥2＝＝4即最小值为故答案为：15．（5分）某公司计划从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戌中录用两人，若这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为．【解答】解：某公司计划从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戌中录用两人，基本事件总数为n＝＝10，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的对立事件为甲和乙都没被录用，∴甲或乙被录用的概率为p＝1﹣＝．故答案为：．16．（5分）已知数列{a n}中，a1＝a（0＜a≤1），a n+1＝（n∈N*）①若a3＝，则a＝；②记S n＝a1+a2+…+a n，则S2016＝1512．【解答】解：①∵a1＝a（0＜a≤1），a n+1＝（n∈N*），∴a2＝﹣a1+＝﹣a+．当时，a3＝﹣a2+＝a＝，舍去；当时，a3＝a2﹣1＝﹣a+＝，解得a＝，满足条件．∴a＝．②a1＝a（0＜a≤1），a n+1＝（n∈N*），∴a2＝﹣a1+＝﹣a+．当时，a3＝﹣a2+＝a，∴a4＝﹣a2+＝﹣a，∴a n+2＝a n．S2016＝（a1+a2）×1008＝1512．当时，a3＝a2﹣1＝﹣a+＝﹣a+，∴a4＝﹣a3+＝﹣+＝a+1＞1，∴a5＝a4﹣1＝a．∴a n+4＝a n．∴S2016＝（a1+a2+a3+a4）×504＝3×504＝1512．综上可得：S2016＝1512．故答案分别为：；1512．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（13分）等差数列{a n}的首项a1＝1，其前n项和为S n，且a3+a5＝a4+7．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）求满足不等式S n＜3a n﹣2的n的值．【解答】解：（Ⅰ）设数列{a n}的公差为d．…．（1分）因为a3+a5＝a4+7，所以2a1+6d＝a1+3d+7．…．（3分）因为a1＝1，所以3d＝6，即d＝2，…．（5分）所以a n＝a1+（n﹣1）d＝2n﹣1．…．（7分）（Ⅱ）因为a1＝1，a n＝2n﹣1，所以，…．（9分）所以n2＜3（2n﹣1）﹣2，所以n2﹣6n+5＜0，…．（11分）解得1＜n＜5，所以n的值为2，3，4．…．（13分）18．（13分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且C＝，a＝6．（Ⅰ）若c＝14，求sin A的值；（Ⅱ）若△ABC的面积为3，求c的值．【解答】解：（Ⅰ）在△ABC中，，∴，即．（Ⅱ）∵，解得b＝2．又∵c2＝a2+b2﹣2ab cos C，∴，∴．19．（13分）某中学从高三男生中随机抽取100名学生的身高，将数据整理，得到的频率分布表如下所示．（Ⅰ）求出频率分布表中①和②位置上相应的数据；（Ⅱ）为了能对学生的体能做进一步了解，该校决定在第3，4，5组中用分层抽样抽取6名学生进行体能测试，求第3，4，5组每组各抽取多少名学生进行测试？（Ⅲ）在（Ⅱ）的前提下，学校决定在6名学生中随机抽取2名学生进行引体向上测试，求：第4组中至少有一名学生被抽中的概率．【解答】（共13分）解：（Ⅰ）由题可知，第2组的频数为0.35×100＝35人，第3组的频率为．即①处的数据为35，②处的数据为0.300．…（3分）（Ⅱ）因为第3，4，5组共有60名学生，所以利用分层抽样，在60名学生中抽取6名学生，每组分别为：第3组：人；第4组：人；第5组：人．所以第3，4，5组分别抽取3人，2人，人．…（6分）（Ⅲ）设第3组的3位同学为A1，A2，A3，第4组的2位同学为B1，B2，第5组的位同学为C1，则从6位同学中抽两位同学有15种可能，分别为：（A1，A2），（A1，A3），（A1，B1），（A1，B2），（A1，C1），（A2，A3），（A2，B1），（A2，B2），（A2，C1），（A3，B1），（A3，B2），（A3，C1），（B1，B2），（B1，C1），（B2，C1）．其中第4组的两位同学至少有一位同学被选中的有：（A1，B1），（A1，B2），（A2，B1），（A2，B2），（A3，B1），（A3，B2），（B1，C1），（B2，C1），（B1，B2）9种可能．所以第4组的两位同学至少有一位同学被选中的概率P＝．…（13分）20．（13分）已知函数f（x）＝mx2+（1﹣3m）x﹣4，m∈R．（Ⅰ）当m＝1时，求f（x）在区间[﹣2，2]上的最大值和最小值；（Ⅱ）解关于x的不等式f（x）＞﹣1；（Ⅲ）当m＜0时，若存在x0∈（1，+∞），使得f（x0）＞0，求m的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）当m＝1时，函数f（x）＝x2﹣2x﹣4在（﹣2，1）上是减函数，在（1，2）上是增函数．（2分）又f（﹣2）＝4，f（1）＝﹣5，f（2）＝﹣4，所以，f（x）在区间[﹣2，2]上的最大值和最小值分别为4和﹣5．（4分）（Ⅱ）不等式f（x）＞﹣1，即mx2+（1﹣3m）x﹣3＞0，当m＝0时，解得x＞3．（5分）当m≠0时，（x﹣3）（mx+1）＝0的两根为3和，（6分）当m＞0时，，不等式的解集为．（7分）当m＜0时，，所以，当时，，不等式的解集为．（8分）当时，不等式的解集为∅．（9分）当时，，不等式的解集为．（10分）综上，当m＞0时，解集为；当m＝0时，解集为{x|x＞3}；当时，解集为；当m＝﹣时，解集为∅；当时，解集为．（Ⅲ）因为m＜0，所以f（x）＝mx2+（1﹣3m）x﹣4是开口向下的抛物线，抛物线的对称轴为，（11分）若存在x0∈（1，+∞），使得f（x0）＞0，则（1﹣3m）2+16m＞0，（12分）即9m2+10m+1＞0，解得m＜﹣1或，综上，m的取值范围是．（13分）21．（14分）已知{a n}是递增的等差数列，S n为{a n}的前n项和，且S5＝5，a3，a4，a7成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）求|a1|+|a2|+…+|a100|的值；（Ⅲ）若集合中有且仅有2个元素，求λ的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d．由S5＝5，可得，由a3，a4，a7成等比数列，可得，∴解得（舍）或，∴数列{a n}的通项公式为a n＝2n﹣5．（Ⅱ）解2n﹣5＜0，可得，∴数列{a n}中a1＜0，a2＜0，其余各项均大于零．∴|a1|+|a2|+…+|a100|＝﹣a1﹣a2+a3+…+a100＝＝．（Ⅲ）设，，令c n﹣c n﹣1＞0，得，所以c1＜c2＜c3＜c4，c4＞c5＞c6＞…，又由，知c1＜0，c2＜0，其余各项均大于零．在中，，且t4＞t6＞t8＞…，计算得，∴λ的取值范围是．22．（14分）已知数列{a n}的各项均为正数，其前n项和为S n，且满足S n＝2a n﹣a1，n∈N*．（Ⅰ）若a1＝1，求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若对于正整数m，p，q（m＜p＜q），5a m，a p，a q这三项经过适当的排序后能构成等差数列，试用m表示p和q；（Ⅲ）已知数列{t n}，{r n}满足|t n|＝|r n|＝a n，数列{t n}，{r n}的前100项和分别为T100，R100，且T100＝R100，试问：是否对于任意的正整数k（1≤k≤100）均有t k＝r k成立，请说明理由．【解答】解：（Ⅰ）∵，∴S n﹣1＝2a n﹣1﹣a1，∴当n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1＝（2a n﹣a1）﹣（2a n﹣1﹣a1），整理得a n＝2a n﹣1，又a n＞0，∴＝2，数列{a n}是公比为2的等比数列，∴数列{a n}的通项公式．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，{a n}是公比为2的等比数列．①若5a m为a p，a q的等差中项，则2×5a m＝a p+a q，∴，化为2p﹣m﹣1+2q﹣m﹣1＝5，又m＜p＜q，m，p，q∈N*，∴2p﹣m﹣1＝1，2q﹣m﹣1＝4，∴p﹣m﹣1＝0，q﹣m﹣1＝2．即p＝m+1，q＝m+3．②若a p为5a m，a q的等差中项，则2a p＝5a m+a q，∴，∴2p＝5×2m﹣1+2q﹣1，∴2p﹣m+1﹣2q﹣m＝5，等式左边为偶数，右边为奇数，等式不成立，舍去．③若a q为5a m，a p的等差中项，则2a q＝5a m+a p，同理也不成立．综上，p＝m+1，q＝m+3．（Ⅲ）由，得，∴t100＝r100或t100＝﹣r100，若t100＝﹣r100，不妨设t100＞0，r100＜0，则＝．则＝．由已知a1＞0，∴R100＜T100，与已知不符，∴t100＝r100，∴R99＝T99，同上可得t99＝r99，如此下去，t98＝r98，…，t1＝r1，即对于任意的正整数k（1≤k≤100），均有t k＝r k成立．。
20160704西城区高
北京市西城区2015 — 2016学年度第二学期期末试卷高一数学参考答案及评分标准2016.7一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.1.C ；2.D ；3. C ；4.B ；5. C ；6. C ；7. B ；8. A ；9.B ； 10. C . 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.11. {01}x x <<； 12. 92,2.8； 13.5,10；14. 15.710； 16.115123，.注：一题两空的题目，第一空2分，第二空3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 17.（本小题满分13分）解:（Ⅰ）设数列{}n a 的公差为d .因为3547+=+a a a ,所以112637+=++a d a d . ……………3分 因为11a =,所以36d =,即2=d , ……………5分 所以1(1)21=+-=-n a a n d n . ……………6分 （Ⅱ）因为11=a ,21=-n a n ,所以212nn a a S n n +==, ……………8分 由不等式 32<-n n S a ，得 23(21)2n n <--, ……………10分 所以2650-+<n n ,解得15n <<, ……………12分 因为*n ∈N ,所以n 的值为2,3,4. ……………13分 18.（本小题满分13分）解：（Ⅰ）在ABC ∆中，sin sin a cA C=， ……………3分 所以sin sin aA C c=，所以62sin sin 143A π==……………5分（Ⅱ）因为1sin 2ABC S ab C ∆=, ……………7分所以1622b =⨯⨯， 解得2b =. ……………9分 又因为2222cos c a b ab C =+-， ……………11分 所以21436226()522c =+-⨯⨯⨯-=，所以c =. ……………13分19.（本小题满分13分）解:（Ⅰ）由题可知,第2组的频数为0.3510035⨯=人， ……………2分第3组的频率为300.300100=. ……………4分 所以①处的数据为35,②处的数据为0.300. ……………5分 （Ⅱ）因为第3,4,5组共有60名学生,所以利用分层抽样在60名学生中抽取6名学生,每组学生人数分别为:第3组:306360⨯=人；第4组:206260⨯=人；第5组:106160⨯=人. 所以第3,4,5组分别抽取3人,2人,1人. ……………8分（注：第（Ⅰ）（Ⅱ）问仅写出正确答案，没有过程，各扣掉1分）（Ⅲ）设第3组3位同学为1A ,2A ,3A ,第4组2位同学为1B ,2B ,第5组1位同学为1C ,则从6位同学中抽两位同学的情况分别为:12(,)A A ,13(,)A A ,11(,)A B ,12(,)A B ,11(,)A C ,23(,)A A ,21(,)A B ,22(,)A B , 21(,)A C ,31(,)A B ,32(,)A B ,31(,)A C ,12(,)B B ,11(,)B C ,21(,)B C .共有15种可能 . ……………10分 其中第4组的两位同学至少有一位同学被选中的情况分别为:11(,)A B ,12(,)A B ,21(,)A B ,22(,)A B ,31(,)A B ,32(,)A B ,11(,)B C ,21(,)B C , 12(,)B B .共有9种可能. ……………12分 所以，第4组中至少有一名学生被抽中的概率为93155=. 答：第4组中至少有一名学生被抽中的概率为35. ……………13分解：（Ⅰ）当1=m 时，函数2()24f x x x =--在(2,1)-上是减函数，在(1,2)上是增函数. ……………2分 又(2)4f -=，(1)5f =-，(2)4f =-，所以，()f x 在区间[2,2]-上的最大值和最小值分别为4和5-. ……………4分 （Ⅱ）不等式()1f x >-，即2(13)30mx m x +-->，当0=m 时，解得3x >. ……………5分当0m ≠时，(3)(1)0x mx -+=的两根为3和1m-， ……………6分 当0>m 时， 13m -<，不等式的解集为1{3}x x x m <->或. ……………7分 当0<m 时，1313()m m m+--=，所以，当13m <-时，13m-<，不等式的解集为1{3}x x m -<<.……………8分当13m =-时，不等式的解集为∅. ……………9分 当103m -<<时，13m<-，不等式的解集为1{3}x x m <<-. ……10分综上，当0>m 时，解集为1{3}x x x m<->或；当0=m 时，解集为{3}x x >；当103m -<<时，解集为1{3}x x m <<-；当13m =-时，解集为∅；当13m <-时，解集为1{3}x x m-<<. （Ⅲ）因为0m <，所以2()(13)4f x mx m x =+--是开口向下的抛物线.抛物线的对称轴为13311222m x m m-=-=->， ……………11分 若存在0(1,)x ∈+∞，使得0()0>f x ，则2(13)160m m -+>， ……………12分 即291010m m ++>，解得1m <-或109m -<<. 综上，m 的取值范围是1(, 1 )(,0)9-∞--． ……………13分解：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d .由55S =，可得155()52a a +=， ……………1分 由347,,a a a 成等比数列，可得2111(3)(2)(6)a d a d a d +=++， ……………2分所以12121,230,a d a d d +=⎧⎨+=⎩解得11,0,a d =⎧⎨=⎩（舍）或13,2.a d =-⎧⎨=⎩……………3分所以数列{}n a 的通项公式为25n a n =-. ……………4分（Ⅱ）解250n -<可得52n <，所以数列{}n a 中10a <，20a <，其余各项均大于零. ……………6分所以12100123100a a a a a a a +++=--+++L L……………7分12310098()2a a a a =--++ 9831(1195)96082=+++=. ……………9分 （Ⅲ）设2522n n n na n c -==， 11252(1)592222n n n n nn n nc c -------=-=， ……………10分令10n n c c -->，得92n <. 所以1234456,c c c c c c c <<<>>>L ……………11分又由252n nn c -=，知10c <，20c <，其余各项均大于零. ……………12分 在(1)n n n t c =-中，10t >，20m t >（*2,m m ≥∈N ），且468t t t >>>L ……13分计算得146337,,21664t t t ===， 所以，λ的取值范围是73{,}6416λλλ≤<∈R . ……………14分 22.（本小题满分14分）解：（Ⅰ）因为12n n S a a =-，*n ∈N ，所以，1112n n S a a --=-，所以，当2n ≥时，1111(2)(2)n n n n S S a a a a ---=---， ……………2分 整理得12n n a a -=， 又0n a >，所以12nn a a -=，数列{}n a 是公比为2的等比数列， ……………3分 所以数列{}n a 的通项公式12n n a -=. ……………4分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，{}n a 是公比为2的等比数列，设其首项为1a .①若5m a 为,p q a a 的等差中项，则25⨯=+m p q a a a ， ……………5分 所以11111125222---⨯=+m p q a a a ，所以11225p m q m ----+=，又m p q <<，*,,m p q ∈N ，所以1121,24p m q m ----==，所以1,3=+=+p m q m . ……………7分②若p a 为5,m q a a 的等差中项，则25=+p m q a a a ， 所以11111122522---=+p m q a a a ，所以112522--=⨯+p m q ，所以1225-+--=p m q m ，等式左边为偶数，右边为奇数，等式不成立. ……………8分 ③若q a 为5,m p a a 的等差中项，则25=+q m p a a a ，同理也不成立. 综上，1,3=+=+p m q m . ……………9分（Ⅲ）由112-=⋅n n a a ，得112-==⋅n n n t r a .所以100100=t r 或100100=-t r ， ……………10分 若100100=-t r ，不妨设1001000,0t r ><，则298991001299100111112222T t t t t a a a a a =++++≥--⋅-⋅--⋅+⋅L L9929899991111112(1222)2212a a a a a -=-+++++⋅=-⨯+⋅=-L . ……11分则298991001299100111112222R r r r r a a a a a =++++≤+⋅+⋅++⋅-⋅L L9929899991111112(1222)2212a a a a a -=++++-⋅=⨯-⋅=--L . ……12分由已知10a >，所以100100<R T ，与已知不符，所以100100=t r . ……………13分 所以9999=R T ，同上可得9999=t r . 如此下去，9898=t r ，…，11=t r .即对于任意的正整数(1100)≤≤k k ，均有=k k t r . ……………14分。
北京市西城区高一数学上学期期末考试试题
10. 关于函数 f ( x) sin x cosx ，给出下列三个结论： ①函数 f ( x) 的最小值是 1； ②函数 f ( x) 的最大值是 2 ；
③函数 f ( x) 在区间 (0, ) 上单调递增 . 4
其中全部正确结论的序号是（
（ A）②
（ B）②③
） （C）①③
（ D）①②③
二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分 . 把答案填在题中横线上 .
北京市西城区 2015 — 2016 学年度第一学期期末 150 分 考试时间： 120 分钟 A 卷 [ 必修 模块 4] 本卷满分： 100 分
三
题号
一
二
本卷总分
17
18
19
分数
一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合要求的 .
4
设 a 为实数，函数 f ( x) x2 2ax． （Ⅰ）当 a 1时，求 f ( x) 在区间 [0, 2] 上的值域； （Ⅱ）设函数 g( x) f ( x) ， t(a) 为 g (x) 在区间 [0, 2] 上的最大值，求 t (a) 的最小值 .
8．（本小题满分 10 分）
设函数 f ( x) 定义域为 [0,1] ，若 f (x) 在 [0, x* ] 上单调递增，在 [ x* ,1]上单调递减，则称 x* 为函
小时．
二、解答题：本大题共 3 小题，共 30 分 . 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 .
6．（本小题满分 10 分）
已知函数 f ( x)
6x
x2
.
1
（Ⅰ）判断函数 f ( x) 的奇偶性，并证明你的结论；
易错汇总2015-2016年北京市西城区高一上学期期末数学试卷与答案版
一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分.在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合要求的 . 1．（4 分）如果 cos θ＜0，且 tan θ＞ 0，则 θ是（ ） A．第一象限的角 B．第二象限的角 C．第三象限的角 D．第四象限的角 2．（4 分）化简 + ﹣ 等于（ ）
= =﹣ ．
故答案为： ．
14．（ 4 分）设向量 =（0，2）， =（ ，1），则 ， 的夹角等于
．
【解答】 解： =2．| | =2，| | =2，
∴ cos＜
＞=
=．
∴ ， 的夹角是 ． 故答案为 ．
15．（ 4 分）已知 α∈（ 0，π），且 cos α﹣＝sin ，则 α＝
．
【解答】 解：∵ α∈（ 0，π），且 cosα＝﹣ sin ，
A． B． C． D．
3．（4 分）若向量 =（ ，1）， =（2，x）共线，则实数 x 的值是（ ）
A．﹣
B． C． 0 D．±
4．（4 分）函数 f（ x）=cosx的一个单调递增区间是（
）
A．（0， ） B．（﹣ ， ） C．（﹣ π，0） D．（0，π）
5．（4 分）函数 y=sinxcosx是（ ） A．最小正周期为 π的奇函数 B．最小正周期为 π的偶函数 C．最小正周期为 2π的奇函数 D．最小正周期为 2π的偶函数 6．（4 分）函数 y=sin（ 2x﹣ ）的图象可由函数 y=sin2x的图象（ ）
（Ⅱ）如何选取 x1、x2，才能使这个试验方案的预计误差达到最小？并证明你的 结论（只证明 x1 的取值即可） （Ⅲ）选取 x1，x2∈（ 0，1），x1＜x2，可以确定含峰区间为 （ 0，x2）或（x1，1）．在 所得的含峰区间内选取 x3，由 x3 与 x1 或 x3 与 x2 类似地可以进一步得到一个新的 预计误差 d′．分别求出当 x1= 和 x1= 时预计误差 d′的最小值．（本问只写结果，
【精品】2016-2017学年北京市西城区高一(上)期末数学试卷
2016-2017学年北京市西城区高一（上）期末数学试卷A卷[必修模块4]本卷满分：100分一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1．（4分）如果θ是第三象限的角，那么（）A．sinθ＞0 B．cosθ＞0 C．tanθ＞0 D．以上都不对2．（4分）若向量=（1，﹣2），=（x，4）满足⊥，则实数x等于（）A．8 B．﹣8 C．2 D．﹣2（）3．（4分）若角α的终边经过点（﹣4，3），则tanα＝A．B．C．D．4．（4分）函数是（）A．奇函数，且在区间上单调递增B．奇函数，且在区间上单调递减C．偶函数，且在区间上单调递增D．偶函数，且在区间上单调递减5．（4分）函数f（x）=sinx﹣cosx的图象（）A．关于直线对称B．关于直线对称C．关于直线对称D．关于直线对称6．（4分）如图，在△ABC中，点D在线段BC上，且BD=2DC，若，则=（）A．B．C．2 D．7．（4分）定义在R上，且最小正周期为π的函数是（）A．y=sin|x| B．y=cos|x|C．y=|sinx| D．y=|cos2x|8．（4分）设向量，的模分别为2和3，且夹角为60°，则|+|等于（）A． B．13 C． D．199．（4分）函数（其中ω＞0，0＜φ＜π）的图象的一部分如图所示，则（）A．B．C．D．10．（4分）如图，半径为1的圆M，切直线AB于点O，射线OC从OA出发，绕O点顺时针方向旋转到OB，旋转过程中OC交⊙M于P，记∠PMO为x，弓形PNO的面积S=f（x），那么f （x）的图象是（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上. 11．（4分）若向量=（﹣1，2）与向量=（x，4）平行，则实数x=．12．（4分）若θ为第四象限的角，且，则cosθ＝；sin2θ＝．13．（4分）将函数y=cos2x的图象向左平移个单位，所得图象对应的函数表达式为．14．（4分）若，均为单位向量，且与的夹角为120°，则﹣与的夹角等于．15．（4分）已知，则cos（x﹣y）=．16．（4分）已知函数f（x）=sin（ωｘ+φ）（ω＞0，φ∈（0，π））满足，给出以下四个结论：①ω=3；②ω≠6k，k∈N*；③φ可能等于；④符合条件的ω有无数个，且均为整数．其中所有正确的结论序号是．三、解答题：本大题共3小题，共36分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（12分）已知φ∈（0，π），且．（Ⅰ）求tan2φ的值；（Ⅱ）求的值．18．（12分）已知函数．（1）求函数f（x）的单调增区间；（2）若直线y=a与函数f（x）的图象无公共点，求实数a的取值范围．19．（12分）如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，AB=2，CD=1，BC=a （a＞0），P为线段AD（含端点）上一个动点，设，，则得到函数y=f（x）．（Ⅰ）求f（1）的值；（Ⅱ）对于任意a∈（0，+∞），求函数f（x）的最大值．B卷[学期综合]本卷满分：50分．一、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.把答案填在题中横线上.20．（4分）设全集U=R，集合A={x|x＜0}，B={x||x|＞1}，则A∩（?U B）=．21．（4分）已知函数若f（a）=2，则实数a=．22．（4分）定义在R上的函数 f （x）是奇函数，且f（x）在（0，+∞）是增函数，f（3）=0，则不等式f（x）＞0的解集为．23．（4分）函数的值域为．（其中[x]表示不大于x的最大整数，例如[3.15]=3，[0.7]=0．）24．（4分）在如图所示的三角形空地中，欲建一个面积不小于200m2的内接矩形花园（阴影部分），则其边长x（单位：m）的取值范围是．二、解答题：本大题共3小题，共30分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.25．（10分）已知函数．（Ⅰ）若，求a的值；（Ⅱ）判断函数f（x）的奇偶性，并证明你的结论．26．（10分）已知函数f（x）=3x，g（x）=|x+a|﹣3，其中a∈R．（Ⅰ）若函数h（x）=f[g（x）]的图象关于直线x=2对称，求a的值；（Ⅱ）给出函数y=g[f（x）]的零点个数，并说明理由．27．（10分）设函数f（x）的定义域为R，如果存在函数g（x），使得f（x）≥g （x）对于一切实数x都成立，那么称g（x）为函数f（x）的一个承托函数．已知函数f（x）=ax2+bx+c的图象经过点（﹣1，0）．（1）若a=1，b=2．写出函数f（x）的一个承托函数（结论不要求证明）；（2）判断是否存在常数a，b，c，使得y=x为函数f（x）的一个承托函数，且f （x）为函数的一个承托函数？若存在，求出a，b，c的值；若不存在，说明理由．2016-2017学年北京市西城区高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析A卷[必修模块4]本卷满分：100分一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1．（4分）如果θ是第三象限的角，那么（）A．sinθ＞0 B．cosθ＞0 C．tanθ＞0 D．以上都不对【分析】根据象限角的符号特点即可判断．【解答】解：如果θ是第三象限的角，则sinθ＜0，cosθ＜0，tanθ＞0，故选：C．【点评】本题考查了象限角的符号无问题，属于基础题．2．（4分）若向量=（1，﹣2），=（x，4）满足⊥，则实数x等于（）A．8 B．﹣8 C．2 D．﹣2【分析】根据题意，分析可得?=0，由向量数量积的坐标的运算公式可得?=1×x+（﹣2）×4=0，解可得x的值，即可得答案．【解答】解：根据题意，若向量、满足⊥，必有?=0，又由=（1，﹣2），=（x，4），则有?=1×x+（﹣2）×4=0，解可得x=8；故选：A．【点评】本题考查向量数量积的坐标运算，若两个非零向量互相垂直，则其数量积为0．（）3．（4分）若角α的终边经过点（﹣4，3），则tanα＝A．B．C．D．【分析】由题设条件，根据三角函数终边上一点的定义即可求得正切值，正切值为纵坐标与横坐标的商．【解答】解：由定义若角α的终边经过点（﹣4，3），∴tanα＝﹣，故选：D．【点评】本题考查任意角三角函数的定义，求解的关键是熟练掌握定义中知道了终边上一点的坐标，求正切值的规律．知道了终边上一点的坐标的三角函数的定义用途较广泛，应好好掌握．4．（4分）函数是（）A．奇函数，且在区间上单调递增B．奇函数，且在区间上单调递减C．偶函数，且在区间上单调递增D．偶函数，且在区间上单调递减【分析】函数=cosx，即可得出结论．【解答】解：函数=cosx，是偶函数，且在区间上单调递减，故选：D．【点评】本题考查诱导公式，考查余弦函数的性质，比较基础．5．（4分）函数f（x）=sinx﹣cosx的图象（）A．关于直线对称B．关于直线对称C．关于直线对称D．关于直线对称【分析】函数解析式提取，利用两角差的正弦函数公式化简，利用正弦函数图象的性质即可做出判断．【解答】解：函数y=sinx﹣cosx=sin（x﹣），∴x﹣=kπ+，k∈Z，得到x=kπ+，k∈Z，则函数的图象关于直线x=﹣对称．【点评】本题考查了两角差的正弦函数公式，考查正弦函数图象的性质，熟练掌握公式是解本题的关键，是基础题．6．（4分）如图，在△ABC中，点D在线段BC上，且BD=2DC，若，则=（）A．B．C．2 D．【分析】根据向量加减的几何意义可得，λ＝，μ＝，问题得以解决．【解答】解：∵BD=2DC，∴=+=+=+（﹣）=+，∵，∴λ＝，μ＝，∴=，故选：A．【点评】本题考查了向量的加减的几何意义，属于基础题．7．（4分）定义在R上，且最小正周期为π的函数是（）A．y=sin|x| B．y=cos|x|C．y=|sinx| D．y=|cos2x|【分析】分别求出函数的最小正周期，判断即可．【解答】解：对于A：y=sin|x|不是周期函数，对于B，y=cos|x|的最小正周期为2π，对于C，y=|sinx|最小正周期为π，对于D，y=|cos2x|最小正周期为，【点评】本题考查了三角形函数的最小正周期，属于基础题．8．（4分）设向量，的模分别为2和3，且夹角为60°，则|+|等于（）A． B．13 C． D．19【分析】利用两个向量的数量积的定义求出，再利用|+|2=||2+||2+2，即可求出答案．【解答】解：∵向量，的模分别为2和3，且夹角为60°，∴=||?||cos60°=2×3×=3，∴|+|2=||2+||2+2=4+9+2×3=19，∴|+|=，故选：C．【点评】本题考查两个向量的数量积的定义，向量的模的定义，求向量的模的方法．9．（4分）函数（其中ω＞0，0＜φ＜π）的图象的一部分如图所示，则（）A．B．C．D．【分析】先利用图象中求得函数的周期，求得ω，最后根据x=2时取最大值，求得φ，即可得解．【解答】解：如图根据函数的图象可得：函数的周期为（6﹣2）×4=16，∴ω＝=，当x=2时取最大值，即2sin（2×+φ）=2，可得：2×+φ=2kπ+，k ∈Z，∴φ=2kπ+，k∈Z，∵0＜φ＜π，∴φ＝，故选：B．【点评】本题主要考查了由y=Asin（ωｘ+φ）的部分图象确定其解析式，考查了学生基础知识的运用和图象观察能力，属于基本知识的考查．10．（4分）如图，半径为1的圆M，切直线AB于点O，射线OC从OA出发，绕O点顺时针方向旋转到OB，旋转过程中OC交⊙M于P，记∠PMO为x，弓形PNO的面积S=f（x），那么f （x）的图象是（）A．B．C．D．【分析】写出函数S=f （x ）的解析式．根据函数的单调性和极值判断出函数图象的大体形状即可．【解答】解：由题意得S=f （x ）=x﹣f′（x）=≥0当x=0和x=2π时，f′（x）=0，取得极值．则函数S=f （x ）在[0，2π]上为增函数，当x=0和x=2π时，取得极值．结合选项，A正确．故选：A．【点评】本题考查了函数的解析式的求法以及函数的求导，根据函数的性质判断函数的图象，求出函数的解析式是解决此题的关键．二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上. 11．（4分）若向量=（﹣1，2）与向量=（x，4）平行，则实数x=﹣2．【分析】由于向量=（﹣1，2）与向量=（x，4）平行，可得，进而列出方程组求解出答案即可．【解答】解：因为向量=（﹣1，2）与向量=（x，4）平行，所以，所以﹣1=λｘ，2=λ４，解得：λ＝，x=﹣2．故答案为﹣2．【点评】解决此类问题的关键是熟练掌握向量共线的坐标表示，并且结合正确的计算．12．（4分）若θ为第四象限的角，且，则cosθ＝；sin2θ＝﹣．【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求cosθ，进而利用二倍角的正弦函数公式可求sin2θ的值．【解答】解：∵θ为第四象限的角，且，∴cosθ＝=，sin2θ=2sinθcosθ=2×（﹣）×=﹣．故答案为：，﹣．【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，二倍角的正弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．第11页（共22页）。
2016北京市西城区高一上(期末)试题
2016北京西城区高一（上）期末数学一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1．（4分）如果cosθ＜0，且tanθ＞0，则θ是（）A．第一象限的角B．第二象限的角C．第三象限的角D．第四象限的角2．（4分）化简+﹣等于（）A．B．C．D．3．（4分）若向量=（，1），=（2，x）共线，则实数x的值是（）A．﹣B．C．0 D．±4．（4分）函数f（x）=cosx的一个单调递增区间是（）A．（0，）B．（﹣，）C．（﹣π，0）D．（0，π）5．（4分）函数y=sinxcosx是（）A．最小正周期为π的奇函数B．最小正周期为π的偶函数C．最小正周期为2π的奇函数D．最小正周期为2π的偶函数6．（4分）函数y=sin（2x﹣）的图象可由函数y=sin2x的图象（）A．向左平移个单位长度而得到B．向右平移个单位长度而得到C．向左平移个单位长度而得到D．向右平移个单位长度而得到7．（4分）若直线x=a是函数y=sin（x+）图象的一条对称轴，则a的值可以是（）A．B．C．﹣D．﹣8．（4分）已知非零向量，夹角为45°，且||=2，|﹣|=2．则||等于（）A．2B．2 C．D．9．（4分）函数y=2sin（2πx）的图象与直线y=x的交点个数为（）A．3 B．4 C．7 D．810．（4分）关于函数f（x）=|sinx|+|cosx|，给出下列三个结论：①函数f（x）的最小值是1；②函数f（x）的最大值是；③函数f（x）在区间（0，）上单调递增．其中全部正确结论的序号是（）A．②B．②③C．①③D．①②③二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上.11．（4分）sin=．12．（4分）如图所示，D为△ABC中BC边的中点，设=，=，则=．（用，表示）13．（4分）角α终边上一点的坐标为（1，2），则tan2α=．14．（4分）设向量=（0，2），=（，1），则，的夹角等于．15．（4分）已知α∈（0，π），且cosα=﹣sin，则α=．16．（4分）已知函数f（x）=sinωx（其中ω＞0）图象过（π，﹣1）点，且在区间（0，）上单调递增，则ω的值为．三、解答题：本大题共3小题，共36分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（12分）已知α∈（，π），且sinα=．（Ⅰ）求tan（α﹣）的值；（Ⅱ）求的值．18．（12分）如图所示，B，C两点是函数f（x）=Asin（2x+）（A＞0）图象上相邻的两个最高点，D点为函数f（x）图象与x轴的一个交点．（Ⅰ）若A=2，求f（x）在区间[0，]上的值域；（Ⅱ）若BD⊥CD，求A的值．19．（12分）如图，在△ABC中，AB=AC=1，∠BAC=120°．（Ⅰ）求•的值；（Ⅱ）设点P在以A为圆心，AB为半径的圆弧BC上运动，且=x+y，其中x，y∈R．求xy的最大值．B卷[学期综合]本卷满分：50分填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.把答案填在题中横线上.20．（4分）设U=R，A={x|x＞0}，B={x|x＞1}，则A∩∁U B=．21．（4分）log2=，3=．22．（4分）已知函数f（x）=，且f（a）+f（2）=0，则实数a=．23．（4分）已知函数f（x）是定义在R上的减函数，如果f（a）＞f（x+1）在x∈[1，2]上恒成立，那么实数a的取值范围是．24．（4分）通过实验数据可知，某液体的蒸发速度y（单位：升/小时）与液体所处环境的温度x（单位：℃）近似地满足函数关系y=e kx+b（e为自然对数的底数，k，b为常数）．若该液体在0℃的蒸发速度是0.1升/小时，在30℃的蒸发速度为0.8升/小时，则该液体在20℃的蒸发速度为升/小时．二、解答题：本大题共3小题，共30分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.25．（10分）已知函数f（x）=．（Ⅰ）判断函数f（x）的奇偶性，并证明你的结论；（Ⅱ）求满足不等式f（2x）＞2x的实数x的取值范围．26．（10分）设a为实数，函数f（x）=x2﹣2ax．（Ⅰ）当a=1时，求f（x）在区间[0，2]上的值域；（Ⅱ）设函数g（x）=|f（x）|，t（a）为g（x）在区间[0，2]上的最大值，求t（a）的最小值．27．（10分）设函数f（x）定义域为[0，1]，若f（x）在[0，x*]上单调递增，在[x*，1]上单调递减，则称x*为函数f（x）的峰点，f（x）为含峰函数．（特别地，若f（x）在[0，1]上单调递增或递减，则峰点为1或0）对于不易直接求出峰点x*的含峰函数，可通过做试验的方法给出x*的近似值．试验原理为：“对任意的x1，x2∈（0，1），x1＜x2，若f（x1）≥f（x2），则（0，x2）为含峰区间，此时称x1为近似峰点；若f（x1）＜f（x2），则（x1，1）为含峰区间，此时称x2为近似峰点”．我们把近似峰点与x*之间可能出现的最大距离称为试验的“预计误差”，记为d，其值为d=max{max{x1，x2﹣x1}，max{x2﹣x1，1﹣x2}}（其中max{x，y}表示x，y中较大的数）．（Ⅰ）若x1=，x2=．求此试验的预计误差d．（Ⅱ）如何选取x1、x2，才能使这个试验方案的预计误差达到最小？并证明你的结论（只证明x1的取值即可）（Ⅲ）选取x1，x2∈（0，1），x1＜x2，可以确定含峰区间为（0，x2）或（x1，1）．在所得的含峰区间内选取x3，由x3与x1或x3与x2类似地可以进一步得到一个新的预计误差d′．分别求出当x1=和x1=时预计误差d′的最小值．（本问只写结果，不必证明）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1．【解答】∵cosθ＜0，∴θ是第二、第三象限角或x负半轴角，又tanθ＞0，∴θ是第一或第三象限角，∴θ是第三象限角．故选：C．2．【解答】+﹣=﹣=．故选：B．3．【解答】向量=（，1），=（2，x）共线，可得，解得x=．故选：B．4．【解答】函数f（x）=cosx的单调递增区间：[2kπ﹣π，2kπ]，k∈Z．故选：C．5．【解答】y=sinxcosx=sin2x，周期为T==π，且其图象关于原点对称，故为奇函数，故选A．6．【解答】将函数y=sin2x的图象向右平移个单位长度，可得函数y=sin2（x﹣）=sin（2x﹣）的图象，故选：B．7．【解答】当x=时，函数y=sin（x+）取得最大值，所以a的值可以是．故选：A．8．【解答】非零向量，夹角为45°，且||=2，|﹣|=2．可得=4，4﹣2||+||2=4则||=2．故选：A．9．【解答】∵函数y=2sin（2πx）的振幅为2，∴作函数y=2sin（2πx）与y=x在[﹣2，2]上的图象如下，，结合图象可知，函数y=2sin（2πx）的图象与直线y=x的交点个数为7，故选：C．10．【解答】∵函数f（x）=|sinx|+|cosx|=，故当sin2x=0时，函数取最小值1，故①正确；当sin2x=±1时，函数取最大值，故②正确；当x∈（0，）时，2x∈（0，），此时sin2x随x的增大从0增至1，故函数f（x）为增函数，故③正确；故选：D．二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上. 11．【解答】sin=﹣．故答案为：．12．【解答】==，=．故答案为．13．【解答】角α终边上一点的坐标为（1，2），则tanα=2，tan2α===﹣．故答案为：．14．【解答】=2．||=2，||=2，∴cos＜＞==．∴，的夹角是．故答案为．15．【解答】∵α∈（0，π），且cosα=﹣sin，∴cosα=cos（）=cos，∴．故答案为：．16．【解答】∵函数f（x）=sinωx（其中ω＞0）图象过（π，﹣1）点，∴f（π）=sinπω=﹣1，即πω=2kπ﹣，即ω=2k﹣，∵在区间（0，）上单调递增，∴T=≥，即2ω≤3，则0＜ω≤，则当k=1时，ω=，满足条件．故答案为：．三、解答题：本大题共3小题，共36分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．【解答】（Ⅰ）∵α∈（，π），且sinα=．∴cosα=﹣=﹣，tanα==﹣，∴tan（α﹣）===﹣7．（Ⅱ）===﹣．18．【解答】（Ⅰ）若A=2，求f（x）=2sin（2x+），∵x∈[0，]，∴2x+∈[，]，∴2sin（2x+）∈[﹣，2]．（Ⅱ）分别令2x+=，2x+=，求得B、C的横坐标分别为，，故B（，A）、C（，A），可得D（+，0），即D（，0）．若BD⊥CD，∴=（﹣，A）（，A）=﹣+A2=0，∴A=．19．【解答】（1）以AB为x轴，以A为原点，建立坐标系，如图：则A（0，0），B（1，0），C（﹣，）.=（1，0），=（﹣，）．∴•=﹣．（2）=x+y=（x﹣，）．∵||=1．∴（x﹣）2+（）2=1．∴x2+y2=1+xy≥2xy．∴xy≤1．∴xy的最大值是1．B卷[学期综合]本卷满分：50分填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.把答案填在题中横线上.20．【解答】∵U=R，B={x|x＞1}，∴∁U B={x|x≤1}，又A={x|x＞0}，∴A∩（∁U B）={x|0＜x≤1}．故答案为：{x|0＜x≤1}．21．【解答】log2=，3=3×2=6．故答案为：；6．22．【解答】∵f（2）=﹣，∴f（a）+f（2）=0可化为f（a）=，∴2a=或﹣=，解得，a=﹣1或a=﹣2（舍去）；故答案为：﹣1．23．【解答】f（a）＞f（x+1）在x∈[1，2]上恒成立，∵函数f（x）是定义在R上的减函数，∴a＜x+1在x∈[1，2]上恒成立，∴a＜2．故答案为a＜2．24．【解答】根据题意得，x=0时，y=0.1；x=30时，y=0.8；代入函数y=e kx+b中，可得e b=0.1，e30k+b=0.8，∴e30k=8，∴e10k=2；当x=20时，y=e20k+b=e20k•e b=（e10k）2•e b=22×0.1=0.4；即液体在20℃的蒸发速度是0.4升/小时．故答案为：0.4．二、解答题：本大题共3小题，共30分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 25．【解答】（Ⅰ）f（x）为奇函数，证明如下：f（x）的定义域为R，f（﹣x）=；∴f（x）为奇函数；（Ⅱ）由f（2x）＞2x得，；∴；整理成22x＜5；∴2x＜log25；∴；即；∴实数x的取值范围为（﹣∞，）．26．【解答】（Ⅰ）当a=1时，f（x）=x2﹣2x=（x﹣1）2﹣1，∵x∈[0，2]，∴﹣1≤（x﹣1）2﹣1≤0，∴f（x）在区间[0，2]上的值域为[﹣1，0]；（Ⅱ）g（x）=|f（x）|=|x（x﹣2a）|，①当a≤0时，g（x）=x2﹣2ax在[0，2]上是增函数，故t（a）=g（2）=4﹣4a；②当0＜a＜1时，g（x）在[0，a）上是增函数，在[a，2a）上是减函数，在[2a，2]上是增函数，而g（a）=a2，g（2）=4﹣4a，g（a）﹣g（2）=a2+4a﹣4=（a﹣2+2）（a+2+2），故当0＜a＜2﹣2时，t（a）=g（2）=4﹣4a，当2﹣2≤a＜1时，t（a）=g（a）=a2，当1≤a＜2时，g（x）在[0，a）上是增函数，在[a，2]上是减函数，故t（a）=g（a）=a2，当a≥2时，g（x）在[0，2]上是增函数，t（a）=g（2）=4a﹣4，故t（a）=，故t（a）的最小值为t（2﹣2）=12﹣8．27．【解答】（Ⅰ）由已知，∴d=max{max{x1，x2﹣x1}，max{x2﹣x1，1﹣x2}}=max{max{}，max{}}=max{}=．（Ⅱ）取，此时试验误差为．以下证明，这是使试验误差达到最小的试验设计．证明：分两种情况讨论x1点的位置，①当时，如图所示，如果≤x2，那么d≥1﹣x2＞，如果≤x2≤1，那么d≥x2﹣x1＞；②当．综上，时，d．同理得时，．∴时，试验的误差蕞小．（Ⅲ）当x1=时预计误差d′的最小值为，当x1=时预计误差d′的最小值为．。
2016-2017西城第一学期高一数学期末试题及答案
北京市西城区2016 — 2017学年度第一学期期末试卷高一数学 2017.1试卷满分：150分 测试时间：120分钟A 卷 [必修 模块4] 本卷满分：100分题号 一 二三本卷总分1718 19 分数一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1. 如果θ是第三象限的角，那么（ ） （A ）sin 0θ>（B ）cos 0θ>（C ）tan 0θ>（D ）以上都不对2. 若向量(1,2)=-a ，(,4)x =b 满足⊥a b ，则实数x 等于（ ） （A ）8（B ）8-（C ）2（D ）2-3. 若角α的终边经过点(4,3)-，则tan α=（ ） （A ）43（B ）43-（C ）34（D ）34-4. 函数π()sin()2f x x =-是（ ）（A ）奇函数，且在区间π(0,)2上单调递增（B ）奇函数，且在区间π(0,)2上单调递减（C ）偶函数，且在区间π(0,)2上单调递增（D ）偶函数，且在区间π(0,)2上单调递减6. 如图，在中，点D 在线段BC 上，且BD =2DC ，若AD AB AC λμ=+，则λμ=（ ） （A ）12（B ）13（C ）2（D ）237. 定义在R 上，且最小正周期为π的函数是 ( ) （A ）sin ||y x =（B ）cos ||y x =（C ）|sin |y x =（D ）|cos 2|y x =ABC △5. 函数()sin cos f x x x =-的图象（ ）（A ）关于直线π4x =对称 （B ）关于直线π4x =-对称 （C ）关于直线π2x =对称（D ）关于直线π2x =-对称ABCD8. 设向量,a b 的模分别为2和3，且夹角为60，则|a +b |等于 ( ) （A ）13（B ）13（C ）19（D ）1910. 如图，半径为1的M 切直线AB 于O 点，射线OC 从OA 出发，绕着点O ，顺时针方向旋转到OB ，在旋转的过程中，OC 交M 于点P ，记PMO x ∠=，弓形PNO （阴影部分）的面积()S f x =，那么()f x 的图象是（ ）二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分. 把答案填在题中横线上.11. 若向量(12)=-，a 和向量(,4)x b =平行，则实数x =______.12. 若θ为第四象限的角，且1sin 3θ=-，则cos θ=______；sin 2θ=______. 13. 将函数cos 2y x =的图象向左平移π4个单位，所得图象对应的函数表达式为______. 14. 若,a b 均为单位向量，且a 和b 的夹角为120，则-a b 和b 的夹角等于______. 15. 已知11sin sin ,cos cos 35x y x y +=+=，则cos()x y -=_____. 16. 已知函数()sin()(0,(0,π))f x x ωϕωϕ=+>∈满足π5π()()066f f ==，给出以下四个结论:○1 3ω=； ○26k ω≠，k *∈N ；9. 函数22sin()y x ωϕ=+（其中0,0πωϕ><<）的图象的一部分如图所示，则（ ）（A ）π3π,84ωϕ== （B ）ππ,84ωϕ== （C ）ππ,42ωϕ==（D ）π3π,44ωϕ==（A ）π 2π Oxyππ2（B ）π 2π Ox yππ2（C ）π 2π Ox yπ（D ） π 2π O x y π22-22 yO 2 6 xA O BC MN P○3 ϕ可能等于3π4； ○4符合条件的ω有无数个，且均为整数. 其中所有正确的结论序号是______.三、解答题：本大题共3小题，共36分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）已知(0,π)ϕ∈，且π1tan()43ϕ+=-. （Ⅰ）求tan 2ϕ的值；（Ⅱ）求sin cos 2cos sin ϕϕϕϕ+-的值．18．（本小题满分12分）已知函数π()cos cos()3f x x x =⋅-. （Ⅰ）求函数()f x 的单调增区间；（Ⅱ）若直线y a =和函数()f x 的图象无公共点，求实数a 的取值范围． 19．（本小题满分12分）如图，在直角梯形ABCD 中，//AB CD ，AB BC ⊥，2AB =，1CD =，(0)BC a a =>，P 为线段AD （含端点）上一个动点，设AP xAD =，PB PC y ⋅=，则得到函数()y f x =.（Ⅰ）求(1)f 的值；（Ⅱ）对于任意(0,)a ∈+∞，求函数()f x 的最大值.B 卷 [学期综合] 本卷满分：50分一、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分. 把答案填在题中横线上.1．设全集U =R ，集合{|0}A x x =<，{|||1}B x x =>，则()UAB =_____．2．已知函数20,,0,()ln ,x x f x x x -⎧<=⎨>⎩若()2f a =，则实数a = . 3．定义在R 上的函数f (x )是奇函数，且()f x 在(0,)+∞是增函数，(3)0f =，则不等式()0f x >的解集为_____．题号一二本卷总分678分数A BD CP4．函数1()()22x x f x x +⎡⎤⎡⎤=-∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦N 的值域为_____．（其中[x ]表示不大于x 的最大整数，例如[3.15]＝3，[0.7]＝0.）5． 在如图所示的三角形空地中，欲建一个面积不小于200 m 2的内接矩形花园（阴影部分）， 则其边长x （单位：m ）的取值范围是______.二、解答题：本大题共3小题，共30分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 6．（本小题满分10分）已知函数41()log 1x f x x -=+. （Ⅰ）若1()2f a =，求a 的值； （Ⅱ）判断函数()f x 的奇偶性，并证明你的结论． 7．（本小题满分10分）已知函数()3xf x =，()||3g x x a =+-，其中a ∈R .（Ⅰ）若函数()[()]h x f g x =的图象关于直线2x =对称，求a 的值； （Ⅱ）给出函数[()]y g f x =的零点个数，并说明理由. 8．（本小题满分10分）设函数)(x f 的定义域为R ，如果存在函数()g x ，使得()()f x g x ≥对于一切实数x 都成立，那么称)(x g 为函数)(x f 的一个承托函数.已知函数2()f x ax bx c =++的图象经过点(1,0)-.（Ⅰ）若1a =，2b =．写出函数)(x f 的一个承托函数（结论不要求注明）； （Ⅱ）判断是否存在常数,,a b c ，使得y x =为函数)(x f 的一个承托函数，且)(x f 为函数21122y x =+的一个承托函数？若存在，求出,,a b c 的值；若不存在，说明理由． 北京市西城区2016 — 2017学年度第一学期期末试卷高一数学参考答案及评分标准 2017.1A 卷 [必修 模块4] 满分100分一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.1.C2.A3.D4.D5.B6.A7.C8.C9.B 10.A .x30 m30 m二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分. 11. 2- 12.22, 4213. πcos(2)2y x =+(或sin 2y x =-)14.150 15. 208225-16. ○2○3 注：第16题少选得2分，多选、错选不得分. 三、解答题：本大题共3小题，共36分. 17.（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）由π1tan()43ϕ+=-，得tan 111tan 3ϕϕ+=--， ………………3分 解得tan 2ϕ=-. ………………5分所以22tan 4tan 21tan 3ϕϕϕ==-. ………………8分 （Ⅱ）由tan 2ϕ=-，得cos 0ϕ≠.将分式sin cos 2cos sin ϕϕϕϕ+-的分子分母同时除以cos ϕ,得sin cos tan 112cos sin 2tan 4ϕϕϕϕϕϕ++==---. ………………12分18.（本小题满分12分）解:（Ⅰ）π()cos cos()3f x x x =⋅- ππcos (cos cossin sin )33x x x =⋅+………………2分213cos 22x x =+ ………………3分 3112cos 244x x =++ ………………4分1π1sin(2)264x =++， ………………6分 由πππ2π22π+262k x k -+≤≤，得ππππ+36k x k -≤≤，所以()f x 的单调递增区间为ππ[ππ+],()36k k k -∈Z ,. ………………8分（Ⅱ）因为πsin(2)[1,1]6x +∈-,所以函数1π1()sin(2)264f x x =++的值域为13[,]44-. ………………10分因为直线y a =和函数()f x 的图象无公共点， 所以13(,)(,)44a ∈-∞-+∞. ………………12分 19.（本小题满分12分）解：（Ⅰ）如图，以点B 为原点，以AB ，BC 所在的直线分别为x ，y 轴建立直角坐标系，则(0,0)B ，(2,0)A -，(0,)C a ，(1,)D a -，(1,)AD a =，(2,0)AB =，(0,)BC a =.………………2分由AP xAD =, 得(,)AP x ax =. 所以(2,)PB PA AB x ax =+=--，(2,)PC PB BC x a ax =+=--. ………4分所以2222(2)y PB PC x a x a x =⋅=--+，即222()(1)(4)4f x a x a x =+-++. ………………6分 所以(1)1f =. ………………7分 （注：若根据数量积定义，直接得到(1)1f =，则得3分）（Ⅱ）由（Ⅰ），知函数222()(1)(4)4f x a x a x =+-++为二次函数，其图象开口向上，且对称轴为2242(1)a x a +=+， ………………8分因为对称轴222224(1)31312(1)2(1)22(1)2a a x a a a +++===+>+++，[0,1]x ∈， ……10分 所以当0x =时， ()f x 取得最大值(0)4f =. ………………12分B 卷 [学期综合] 满分50分一、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分. 1. [1,0)- 2. 2或2e 3. (3,0)(3,)-+∞ 4. {0,1} 5. [10,20] 注：第2 题少解不得分.二、解答题：本大题共3小题，共30分. 6.（本小题满分10分）A B xD C Py解:（Ⅰ）由411()log 12a f a a -==+，得121a a -=+， ………………2分 解得3a =-. ………………4分 （Ⅱ）由函数41()log 1x f x x -=+有意义，得101x x ->+. ………………5分 所以函数()f x 的定义域为{|1x x >，或1}x <-. ………………6分因为1444111()log log ()log ()111x x x f x f x x x x ------===-=--+++， 所以()()f x f x -=-，即函数()f x 为奇函数. ………………10分 7.（本小题满分10分）解: （Ⅰ）由函数()3xf x =，()||3g x x a =+-，得函数||3()[()]3x a h x f g x +-==. ………………1分 因为函数()h x 的图象关于直线2x =对称， 所以(0)(4)h h =，即||3|4|333a a -+-=，解得2a =-. ………………3分 （Ⅱ）方法一：由题意，得[()]|3|3xg f x a =+-.由[()]|3|30x g f x a =+-=，得|3|3xa +=， ………………5分 当3a ≥时，由30x >，得33x a +>， 所以方程|3|3xa +=无解，即函数[()]y g f x =没有零点； ………………6分 当33a -<≤时，因为3xy a =+在R 上为增函数，值域为(,)a +∞，且33a -<≤，所以有且仅有一个0x 使得033x a +=，且对于任意的x ，都有33x a +≠-， 所以函数[()]y g f x =有且仅有一个零点； ………………8分 当3a -<时，因为3xy a =+在R 上为增函数，值域为(,)a +∞，且3a -<，所以有且仅有一个0x 使得033x a +=，有且仅有一个1x 使得133x a +=-， 所以函数[()]y g f x =有两个零点.综上，当3a ≥时，函数[()]y g f x =没有零点； 当33a -<≤时，函数[()]y g f x =有且仅有一个零点；当3a -<时，函数[()]y g f x =有两个零点. ………………10分 方法二：由题意，得[()]|3|3xg f x a =+-.由[()]|3|30x g f x a =+-=，得|3|3xa +=， ………………5分即33x a +=，或33x a +=-， 整理，得33x a =-，或33x a =--. ○1考察方程33x a =-的解，由函数3x y =在R 上为增函数，且值域为(0,)+∞，得当30a ->，即3a <时，方程33x a =-有且仅有一解；当03a -≤，即3a ≥时，方程33x a =-有无解； ………………7分○2考察方程33x a =--的解，由函数3x y =在R 上为增函数，且值域为(0,)+∞，得当30a -->，即3a <-时，方程33x a =--有且仅有一解；当03a --≤，即3a ≥-时，方程33x a =--有无解. ………………9分 综上，当3a ≥时，函数[()]y g f x =没有零点； 当33a -<≤时，函数[()]y g f x =有且仅有一个零点；当3a -<时，函数[()]y g f x =有两个零点. ………………10分 注：若根据函数图象便得出答案，请酌情给分，没有必要的文字说明减2分. 8.（本小题满分10分）解：（Ⅰ）答案不唯一，如函数0y =，y x =等. ………………3分 （Ⅱ）因为函数2()f x ax bx c =++的图象经过点(1,0)-，所以0a b c -+=. ○1因为y x =为函数)(x f 一个承托函数，且)(x f 为函数21122y x =+的一个承托函数，所以2()1122x f x x +≤≤对x ∈R 恒成立. 所以1(1)1f ≤≤，即 (1)1f a b c =++=. ○2 ………………5分由○1○2，得12b =，12a c +=. ………………6分 所以211()22f x ax x a =++-. 由()f x x ≥对x ∈R 恒成立，得201122ax x a -+-≥对x ∈R 恒成立. 当0a =时，得01122x -+≥对x ∈R 恒成立，显然不正确； ………………7分 当0a ≠时，由题意，得0,0,114()42a a a >⎧⎪⎨∆=--⎪⎩≤ 即20(41)a -≤， 所以14a =. ………………9分 代入2()1122f x x +≤，得21110424x x -+≥， 化简，得2(1)0x -≥对x ∈R 恒成立，符合题意. 所以14a =，12b =，14c =. ………………10分。
北京西城区15-16学年高一下期末考试试卷--数学
A. 3 B.4 C. 5 D. 6
6.在不等式组 表示的平面区域内任取一个点 ，使得 的概率为（）
A. B. C. D.
7.若关于x的不等式 对于一切 恒成立，则实数a的取值范围是（）
A. B. C. D.
8.在△ABC中，若Βιβλιοθήκη ，则△ABC为（）由不等式 ，
得 ， 10分
所以 ，
解得 ， 12分
因为 ,
所以n的值为2，3，4。 13分
18.（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）在△ABC中， ， 3分
所以 ，
所以 。 5分
（Ⅱ）因为 ， 7分
所以 ，
解得 。 9分
又因为 ， 11分
所以 ，
所以 。 13分
19.（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）由题可知，第2组的频数为0.35×100＝35人，……………2分
（Ⅲ）已知数列 满足 ，数列 的前100项和分别为 ，且 ，试问：是否对于任意的正整数 均有 成立，请说明理由。
【试题答案】
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。
1.C；2.D；3.C；4.B；5.C；6.C；7.B；8.A；9.B；10.C。
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
已知 是递增的等差数列， 为 的前n项和，且 成等比数列。
（Ⅰ）求数列 的通项公式；
（Ⅱ）求 的值；
（Ⅲ）若集合 中有且仅有2个元素，求 的取值范围。
22.（本小题满分14分）
已知数列 的各项均为正数，其前n项和为 ，且满足 。
（Ⅰ）若 ，求数列 的通项公式；
（Ⅱ）若对于正整数 这三项经过适当的排序后能构成等差数列，试用m表示 和 ；
北京市西城区2016-2017学年度第二学期期末考试高一数学试卷
北京市西城区2016 - 2017学年度第二学期期末试卷高一数学2017.7试卷满分：150分考试时间：120分钟一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1[,)+∞2执行如图所示的程序框图，则输出的i值为（二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上. 11. 函数()f x _______.12. 在等差数列{}n a 中,245a a +=，则3a =_______.13. 随机抽取某班6名学生，测量他们的身高（单位：cm ），获得身高数据依次为：162，168，170，171，179，182，那么此班学生平均身高大约为 cm ；样本数据的方差为 .14. 设x ，y 满足约束条件2,1,10,y x x y y ++⎧⎪⎨⎪⎩≤≤≥ 则3z x y =+的最大值是_______.15. 有4张卡片，上面分别写有0，1，2，3. 若从这4张卡片中随机取出2张组成一个两位数，则此数为偶数的概率是_______.16. 在数列{}n a 中，312a =，115a =-，且任意连续三项的和均为11，则2017a =_______；设n S 是数列{}n a 的前n 项和，则使得100n S ≤成立的最大整数n =_______.三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分13分）在等差数列{}n a 中,12a =,3516a a +=. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）如果2a ，m a ，2m a 成等比数列，求正整数m 的值.18．（本小题满分13分）北京是我国严重缺水的城市之一.为了倡导“节约用水，从我做起”，小明在他所在学校的2000名同学中，随机调查了40名同学家庭中一年的月均用水量（单位：吨），并将月均用水量分为6组：[2,4)，[4,6)，[6,8)，[8,10)，[10,12)，[12,14]加以统计，得到如图所示的频率分布直方图.（Ⅰ）给出图中实数a 的值；（Ⅱ）根据样本数据，估计小明所在学校2000名同学家庭中,月均用水量低于8吨的约有多少户；（Ⅲ）在月均用水量大于或等于10吨的样本数据中，小明决定随机抽取2名同学家庭进行访谈，求这2名同学中恰有1人所在家庭的月均用水量属于[10,12)组的概率.19．（本小题满分13分）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且2a =,1cos 4C =-. （Ⅰ）如果3b =,求c 的值；（Ⅱ）如果c =sin B 的值.20．（本小题满分13分）已知数列{}n a 的前n 项和24n S n n =-，其中*n ∈N .吨a（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设21na nb =+，求数列{}n b 的前n 项和n T ；（Ⅲ）若对于任意正整数n ，都有12231111n n a a a a a a λ++++≤，求实数λ的最小值.21．（本小题满分14分）已知函数2()(21)f x ax a x b =+++，其中a ，b ∈R .（Ⅰ）当1a =，4b =-时，求函数()f x 的零点；（Ⅱ）如果函数()f x 的图象在直线2y x =+的上方，证明：2b >； （Ⅲ）当2b =时，解关于x 的不等式()0f x <．22．（本小题满分14分）在无穷数列{}n a 中，1a p =是正整数，且满足1, ,25, .nn n nn a a a a a +⎧⎪=⎨⎪+⎩当为偶数当为奇数 （Ⅰ）当39a =时，给出p 的值；（结论不要求证明） （Ⅱ）设7p =，数列{}n a 的前n 项和为n S ，求150S ；（Ⅲ）如果存在*m ∈N ，使得1m a =，求出符合条件的p 的所有值.北京市西城区2016-2017学年度第二学期期末试卷高一数学参考答案及评分标准2017.7一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.1. A2. B3. B4. B5. D6. A7. C8. D9. C 10. C二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.11. [2,2]-； 12.52； 13. 172，45； 14. 73； 15. 59； 16. 4，29.注：一题两空的题目，第一空2分，第二空3分. 三、解答题：本大题共6小题，共80分. 17.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：设等差数列{}n a 的公差为d ,则3512616a a a d +=+=, ………………………3分 又因为12a =，解得2d =. ………………………5分 所以1(1)2n a a n d n =+-=. ………………………7分 （Ⅱ）解：因为2a ，m a ，2m a 成等比数列，所以222m m a a a =⋅， ………………………10分即2(2)44m m =⨯，m *∈N ，解得4m =. ………………………13分18.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：因为各组的频率之和为1，所以月均用水量在区间[10,12)的频率为 1(0.02520.0750.1000.225)20.1-⨯+++⨯=，所以，图中实数0.120.050a =÷=. ………………………3分 （Ⅱ）解：由图可知, 样本数据中月均用水量低于8吨的频率为(0.0250.0750.225)20.65++⨯=， ………………………5分所以小明所在学校2000名同学家庭中,月均用水量低于8吨的约有0.6520001300⨯=(户). ………………………7分（Ⅲ）解：设“这2名同学中恰有1人所在家庭的月均用水量属于[10,12)组”为事件A ， 由图可知, 样本数据中月均用水量在[10,12)的户数为0.0502404⨯⨯=.记这四名同学家庭分别为,,,a b c d ,月均用水量在[12,14]的户数为0.0252402⨯⨯=.记这两名同学家庭分别为,e f , 则选取的同学家庭的所有可能结果为：(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),a b a c a d a e a f b c b d (,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),b e b f c d c e c f d e d f e f 共15种， ………………………9分事件A 的可能结果为：(,),(,),(,),(,),a e a f b e b f (,),(,),(,),(,),c e c f d e d f 共8种， ………………………11分 所以8()15P A =. ………………………13分19.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：由余弦定理2222cos c a b ab C =+-， ………………………3分 得2149223()164c =+-⨯⨯⨯-=，解得4c =. ………………………5分（Ⅱ）解：（方法一）由1cos 4C =-，(0,π)C ∈，得sin 4C ==.……7分由正弦定理sin sin a c A C =，得sin sin a C A c ==. ……………………10分所以cos 8A ==. 因为πABC ++=，所以sin sin()B A C =+sin cos cos sin A C A C =+ ………………………12分1()4-+=. ………………………13分（方法二）由1cos 4C =-，(0,π)C ∈，得sin C …………7分 由余弦定理2222cos c a b ab C =+-， 得2124422()4b b =+-⨯⨯⨯-，解得4b =，或5b =-（舍）. ………………………10分由正弦定理sin sin b c B C =，得sin sin 4b C Bc ==. ………………………13分20.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：当1n =时，113a S ==-； ………………………1分 当2n ≥时，125n n n a S S n -=-=-， ………………………3分 因为13a =-符合上式，所以25n a n =-*()n ∈N . ………………………4分 （Ⅱ）解：由（Ⅰ），得2521n n b -=+. ………………………5分 所以12n n T b b b =+++3125(21)(21)(21)n ---=++++++3125(222)n n ---=++++ ………………………6分32(14)14n n --=+-1(41)24n n =-+. ………………………9分（Ⅲ）解：122311111111131335(25)(23)n n a a a a a a n n +=-++++⨯⨯--+++2111111[(1)()()]323352523n n =-+-+-++---11646n =---， ………………………11分 当1n =时，12113a a =，（注：此时1046n <-） 由题意，得13λ≥； ………………………12分 当2n ≥时， 因为1046n >-， 所以1223111116n n a a a a a a +<-+++. 因为对于任意正整数n ，都有12231111n n a a a a a a λ++++≤，所以λ的最小值为13. ………………………13分21.（本小题满分14分）（Ⅰ）解：由2()340f x x x =+-=，解得4x =-，或1x =.所以函数()f x 有零点4-和1. ………………………3分 （Ⅱ）解：（方法1）因为()f x 的图象在直线2y x =+的上方，所以2(21)2ax a x b x +++>+对x ∈R 恒成立.即2220ax ax b ++->对x ∈R 恒成立. ………………………5分所以当0x =时上式也成立，代入得2b >. ………………………8分 （方法2）因为()f x 的图象在直线2y x =+的上方， 所以2(21)2ax a x b x +++>+对x ∈R 恒成立.即2220ax ax b ++->对x ∈R 恒成立. ………………………5分 当0a =时，显然2b >. 当0a ≠时，由题意，得0a >，且2(2)4(2)0a a b ∆=--<， ………………………6分 则24(2)40a b a ->>， 所以4(2)0a b ->，即2b >.综上，2b >. ………………………8分（Ⅲ）解：由题意，得不等式2(21)20ax a x +++<，即(1)(2)0ax x ++<. …………9分当0a =时，不等式化简为20x +<，解得2x <-； ………………………10分 当0a ≠时，解方程(1)(2)0ax x ++=，得根12x =-，21x a=-. 所以，当0a <时，不等式的解为：2x <-，或1x a>-； ………………………11分 当102a <<时，不等式的解为：12x a-<<-； ………………………12分 当12a =时，不等式的解集为∅； ………………………13分当12a >时，不等式的解为：12x a-<<-. ………………………14分 综上，当0a <时，不等式的解集为{|2x x <-，或1}x a >-；当0a =时，不等式的解集为{|2}x x <-；当102a <<时，不等式的解集为1{|2}x x a -<<-；当12a =时，不等式的解集为∅；当12a >时，不等式的解集为1{|2}x x a -<<-.22.（本小题满分14分）（Ⅰ）解：36p =，或13. ………………………3分 （Ⅱ）解：由题意，17a =，代入，得212a =，36a =，43a =，58a =，64a =，72a =，81a =，96a =，所以数列{}n a 中的项，从第三项起每隔6项重复一次（注：39a a =）， ………5分 故15012348345624()S a a a a a a a a a =+++++++++71224(638421)6384=+++++++++++ 616=.………………………8分（Ⅲ）解：由数列{}n a 的定义，知*n a ∈N .设t 为数列{}n a 中最小的数，即min{}i t a i =∈N *， 又因为当n a 为偶数时，12nn a a +=， 所以t 必为奇数. ………………………9分 设k a t =，则15k a t +=+，252k t a ++=， 所以52t t +≤，解得5t ≤. 所以{1,3,5}t ∈. ………………………10分 如果3k a t ==，那么由数列{}n a 的定义，得18k a +=，24k a +=，32k a +=，41k a +=， 这显然与3t =为{}n a 中最小的数矛盾，所以3t ≠. ………………………12分如果5k a t ==，当1k =时，5p =； 当2k ≥时，由数列{}n a 的定义，得1k a -能被5整除，…，得1a p =被5整除； 所以当且仅当*15()a p r r ==∈N 时，5t =. ………………………13分 这与题意不符.所以当*15()a r r ≠∈N 时，数列{}n a 中最小的数1t =， 即符合条件的p 值的集合是*{|r r ∈N ，且r 不能被5整除}. …………………14分。