多准则决策概述PPT(共33页)
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第十十一讲多目标决策30页PPT
H H (a)m 1 i mH a (a ix )
（5-1）
图4-2 序列型多层次目标准则体系
第二节 多维效用并合方法
二、多维效用并合规则
在多目标决策中，根据决策目标的不同属性，效用并合采取不同方式进行。
（一）距离规则
二维效用并合的距离规则满足如下条件：当二效用同时达到最大值时，并合效用达到最大值；当二效用同 时取最小值时，并合效用取零效用值；二效用之一达到最大值，均不能使并合效用达到最大值。二维效用平
（四）乘法规则
乘法规则适用于如下情况：二目标效用对于并合效用具有同等重要性，相互之间完全不能替代，只 要其中任意一个目标效用值为0，无论另一个目标效用取值多大，并合效用值均为0。
面上其余各点效用值，与该点与并合效用最大值点的距离成正比例。这种并合规则称之为距离规则。 设二维效用函数 W W (u1,u2)，
W ( u 1 ,u 2 ) 1 d 2 1 1 2 [1 ( u 1 ) 2 ( 1 u 2 ) 2 ] 公式(5-2)可以推广到多维情形，
（5-2）
W (u 1,u2, ,un)11 n i n 1(1ui)2
在多目标决策中，制定了目标准则体系，不同的目标用不同的评价准则衡量。因此，必须将不同度量 单位的准则，化为无量纲统一的数量标度，并按特定的法则和逻辑过程进行归纳与综合，建立各可行方案 之间具有可比性的数量关系。
多目标决策中均可以由目标准则体系的全部结果值所确定。可行方案在每一个目标准则下，确定— 个结果值，对目标准则体系，就得到一组结果值，并经过各目标准则的效用函数，得出一组效用值。这 样，任何一个可行方案在总体上对决策主体的满意度，通过这些效用值按照某种法则并合而得，满意度 是综合评价可行方案的依据。
决策讲义课件(ppt 34页)
3、决策者对风险的态度 ➢决策是有风险的 ➢决策者对风险的态度会影响其对方案的 选择
17
•决策的定义、 原则与依据
•决策的类型与 特点
•决策的理论
•决策的过程与 影响因素 ✓决策的过程 ✓决策的影响因 素
•决策的方法
决策的影响因素（续）
4、伦理 ➢决策者是否重视伦理以及采用何种伦理 标准会影响其对待行为或事物的态度， 进而影响其决策
15
•决策的定义、 原则与依据
•决策的类型与 特点
•决策的理论
•决策的过程与 影响因素 ✓决策的过程 ✓决策的影响因 素
•决策的方法
决策的过程（续）
作出决定
➢ 仔细考察全部事实、确定是否可以获取足够的信息 以及最终选择最好方案
选择实施战略
➢ 制定相应的具体措施，保证方案的正确实施 ➢ 确保与方案有关的各种指令能被所有有关人员充
——杨洪兰，1996
组织或个人为了实现某种目标而对未 来一定时期内有关活动的方向、内容 及方式的选择或调整过程
——周三多，1999
2
•决策的定义、 原则与依据 ✓决策的定义 ✓决策的原则 ✓决策的依据
•决策的类型与 特点
•决策的理论
•决策的过程与 影响因素
•决策的方法
决策的定义（续）
本书中决策的定义： 决策是管理者识别并解决问题的过程
瘦狗型：经营单位市场份额和业务增长率都较 低
➢采取收缩甚至放弃的战略
24
•决策的定义、 原则与依据
•决策的类型与 特点
•决策的理论
•决策的过程与 影响因素
•决策的方法 ✓集体决策方法 ✓有关活动方向 的决策方法 ✓有关活动方案 的决策方法
有关活动方向的决策方法（续）
17
•决策的定义、 原则与依据
•决策的类型与 特点
•决策的理论
•决策的过程与 影响因素 ✓决策的过程 ✓决策的影响因 素
•决策的方法
决策的影响因素（续）
4、伦理 ➢决策者是否重视伦理以及采用何种伦理 标准会影响其对待行为或事物的态度， 进而影响其决策
15
•决策的定义、 原则与依据
•决策的类型与 特点
•决策的理论
•决策的过程与 影响因素 ✓决策的过程 ✓决策的影响因 素
•决策的方法
决策的过程（续）
作出决定
➢ 仔细考察全部事实、确定是否可以获取足够的信息 以及最终选择最好方案
选择实施战略
➢ 制定相应的具体措施，保证方案的正确实施 ➢ 确保与方案有关的各种指令能被所有有关人员充
——杨洪兰，1996
组织或个人为了实现某种目标而对未 来一定时期内有关活动的方向、内容 及方式的选择或调整过程
——周三多，1999
2
•决策的定义、 原则与依据 ✓决策的定义 ✓决策的原则 ✓决策的依据
•决策的类型与 特点
•决策的理论
•决策的过程与 影响因素
•决策的方法
决策的定义（续）
本书中决策的定义： 决策是管理者识别并解决问题的过程
瘦狗型：经营单位市场份额和业务增长率都较 低
➢采取收缩甚至放弃的战略
24
•决策的定义、 原则与依据
•决策的类型与 特点
•决策的理论
•决策的过程与 影响因素
•决策的方法 ✓集体决策方法 ✓有关活动方向 的决策方法 ✓有关活动方案 的决策方法
有关活动方向的决策方法（续）
多准则决策(敦煌2012-7)-文档资料
决策矩阵标准化时先对费用型属性值作倒数变换:
归一化
1
rij m dij
1
d i 1
ij
最大化 rij
1 dij
max i
1 dij
min i
dij
dij
注意非单调性属性的标准化处理
• 线性性 对于明显呈非线性的属性值（如边际效益 递减），需先拟合合适的函数作变换.
3．属性权重
X1, X2, …, Xn的权重 w (w1, w2 ,, wn )T
MADM ：为了一个特定的目的在若干备选方案中 确定一个最优的，或者对这些方案按照优劣进行排 序，或者给出优劣程度的数量结果, 而方案的优劣 由若干属性给以定量或定性的表述。
MODM ：为了若干特定的（一般是相互矛盾的） 目标在若干备选方案中确定一个一定意义下最优的， 而备选方案集合由一些约束条件给定。
~ 层次分析法
决策矩阵标准化 属性值的物理意义(包括量纲)各不相同
d11 d1 j d1n
D
dm1 dmj dmn
dij作比例 尺度变换
rij
dij
m
dij
i 1
R的列和为1~
归一化
r11 r1 j r1n
R
0 rij 1
rm1 rmj rmn
rij
dij
i
MODM又称多目标优化或目标规划
多属性决策（MADM）与多目标决策 （MODM）应用领域非常广泛
• MADM ：国家综合实力评价、大学排名榜、公司 新厂址选择、教师绩效考核、2011B题各区交警平台 设置的合理性评价、2010D题学生宿舍设计方案的评 价 、2009B题病床安排的合理性指标… …
第14章 多准则决策
14.5运用AHP确定优先级
14.5.2 两两比较矩阵 为了确定 4 个标准的优先级，我们利用表 14-6 提 供的一个由两两比较等级构成的矩阵。现有 4 个 标准，所以两两比较矩阵将包括4行4列，如下所 示： 价格 MPG 舒适性 样式
价格 MPG
舒适性 样式
14.5运用AHP确定优先级
14.1 目标规划：建模与图解法
14.1 目标规划：建模与图解法
注意第一优先级的线性规划与第二优先级 的线性规划有所不同，表现在两个方面。 第二优先级的线性规划除了要使与年收益 的负差值最小外，还增加了一个约束条件， 那就是要保证实现第一优先级的目标不受 影响。
14.1 目标规划：建模与图解法
主要目标（第一优先级） 目标1：找到一个风险指数不超过700的投资组合。 二级目标（第二优先级）
目标2：找到一个年收益至少为9000美元的投资组合。
主要目标和二级目标都被称为优先级；风险指数 700、年 收益9000美元称为目标值
14.1 目标规划：建模与图解法
14.1.1 构建约束条件和目标等式 定义决策变量： U——购买的美国石油股票数； H——购买的哈勃房产股票数。 目标规划问题约束条件的处理方法与一般线性规 划问题完全一致。可用资金的约束条件： 25U+50H≤80000
西北农林科技大学
第14章
教 单
多准则决策
师：朱玉春 教授
位：经济管理学院
2011年
本章主要内容
14.1 目标规划：建模与图解法 14.2 目标规划：较复杂问题的解法 14.3 计分模型 14.4 层次分析法 14.5 运用AHP确定优先级 14.6 运用AHP解决综合排名问题
多准则决策的基本概念.
四、多准则决策的分类
多准则决策是指在多个不能互相替代的准则存在下进行的决策，它 是由多目标决策(multiple objective decision making, MODM)和多属性 决策(multiple attribute decision making, MADM)两个重要部分组成。 由于这个划分是1981年才由Hwang和Yoon确定下来，因此这几个名 词长期以来非常混淆。因此有时“多目标决策”可能也代表了多准 则决策，教材就是这样；但一般“多属性决策”就代表本身。
二、多目标（准则）决策问题的特点
多目标风险决策问题存在着许多共同的特点，理解和掌握这些特 点，对我们进一步研究多目标风险型决策的理论和方法，以及在 决策实践中更加灵活和有效地做出决策有着十分重要的意义。 ① 决策问题的目标多于一个。 ②目标之间的不可公度性（non-commensurable），或称量纲的 不一致性，即各目标没有统一的衡量标准或计量单位，因而难 以进行比较。例如，水利工程建设问题中的发电这一目标可以用 年发电量（亿度／年）或装机容量（万千瓦）来描述，而防洪效 益只能用下游免遭洪涝灾害的面积（亩）来表征，淹没损失用水 库建成后淹没的耕地和山林面积和淹没地区需要移民的数量（人） 来说明，投资则应该用货币（万元）表示。又如选拔干部时，候 选人的健康状况、工作作风、品德、才能等等不但没有统一的计 量单位，甚至连应该如何衡量各目标的达到程度都难以确定。
多属性决策 准则形式 准则特征 约束条件 方案特征 适用范围 属性 隐含的目标，与方案不直接联系 不变动，合并到属性中 有限数目、离散、预定方案 选择/评价问题 多目标决策 目标 明确的目标，与决策变量直接联系 变动，以显式给出 无限数目，连续，生产方案 设计问题
多目标决策一般利用向量优化（数学规划）技术进行分析，本课 程主要讲述多属性决策。
第五章多目标决策课件
15
• 一、基本原理
• 二、步骤和方法
• 三、应用领域
• 四、应用层次分析法的注意事项 • 五、 应用实例
16
一、层次分析法的基本原理
层次分析法根据问题的性质和要达到的 总 目标，将问题分解为不同的组成因素，
并按照因素间的相互关联影响以及隶属关 系将因素按不同层次聚集组合，形成一个 多层次的分析结构模型，从而最终使问题 归结为最低层(供决策的方案、措施等)相 对于最高层(总目标)的相对重要权值的确
14
• 层次分析法是社会、经济系统决策中的有效工具。 其特征是合理地将定性与定量的决策结合起来， 按照思维、心理的规律把决策过程层次化、数量 化。是系统科学中常用的一种系统分析方法。
• 该方法自1982年被介绍到我国以来，以其定性与 定量相结合地处理各种决策因素的特点，以及其
系统灵活简洁的优点，迅速地在我国社会经济各 个领域内，如工程计划、资源分配、方案排序、 政策制定、冲突问题、性能评价、能源系统分析、 城市规划、经济管理、科研评价等，得到了广泛 的重视和应用。
. 目标准则体系的层次结构，一般用树形结构图直观表示。 最上一层，通常只有一个目标，称之为总体目标，最下一 层，其中的每一个子目标都可以用单一准则评价，称之为 准则层。
. 多 目标决策过程，就是依据某种科学方法，对于整个多层 次结构的目标准则体系，合理地给出表示每个可行方案注 意程度的数值，称之为满意度。
不要超过9个因素。
25
判断矩阵元素aij 的标度方法
标度 1 3 5 7 9
2，4，6，8 倒数
含义 表示两个因素相比，具有同样重要性 表示两个因素相比，一个因素比另一个因素稍微重要 表示两个因素相比，一个因素比另一个因素明显重要 表示两个因素相比，一个因素比另一个因素强烈重要 表示两个因素相比，一个因素比另一个因素极端重要
• 一、基本原理
• 二、步骤和方法
• 三、应用领域
• 四、应用层次分析法的注意事项 • 五、 应用实例
16
一、层次分析法的基本原理
层次分析法根据问题的性质和要达到的 总 目标，将问题分解为不同的组成因素，
并按照因素间的相互关联影响以及隶属关 系将因素按不同层次聚集组合，形成一个 多层次的分析结构模型，从而最终使问题 归结为最低层(供决策的方案、措施等)相 对于最高层(总目标)的相对重要权值的确
14
• 层次分析法是社会、经济系统决策中的有效工具。 其特征是合理地将定性与定量的决策结合起来， 按照思维、心理的规律把决策过程层次化、数量 化。是系统科学中常用的一种系统分析方法。
• 该方法自1982年被介绍到我国以来，以其定性与 定量相结合地处理各种决策因素的特点，以及其
系统灵活简洁的优点，迅速地在我国社会经济各 个领域内，如工程计划、资源分配、方案排序、 政策制定、冲突问题、性能评价、能源系统分析、 城市规划、经济管理、科研评价等，得到了广泛 的重视和应用。
. 目标准则体系的层次结构，一般用树形结构图直观表示。 最上一层，通常只有一个目标，称之为总体目标，最下一 层，其中的每一个子目标都可以用单一准则评价，称之为 准则层。
. 多 目标决策过程，就是依据某种科学方法，对于整个多层 次结构的目标准则体系，合理地给出表示每个可行方案注 意程度的数值，称之为满意度。
不要超过9个因素。
25
判断矩阵元素aij 的标度方法
标度 1 3 5 7 9
2，4，6，8 倒数
含义 表示两个因素相比，具有同样重要性 表示两个因素相比，一个因素比另一个因素稍微重要 表示两个因素相比，一个因素比另一个因素明显重要 表示两个因素相比，一个因素比另一个因素强烈重要 表示两个因素相比，一个因素比另一个因素极端重要
多准则决策概述
决策矩阵标准化 属性值的物理意义(包括量纲)各不相同
d11 d1j d1n
D
dm1 dmj dmn
dij作比例 尺度变换
rij
d ij
m
d ij
i1
R的列和为1~
归一化
r11 r1 j r1n
R
rm1 rmj rmn
rij
dij
i
max
1,2, m
dij
rij
0 rij 1
决策矩阵标准化时先对费用型属性值作倒数变换:
归一化
1
rij m d ij
1
i1
d ij
最大化 1
rij
max i
d ij 1
d ij
min i
d ij
d ij
注意非单调性属性的标准化处理
• 线性性 对于明显呈非线性的属性值（如边际效益 递减），需先拟合合适的函数作变换.
3．属性权重
X1, X2, …, Xn的权重 w (w 1,w 2, ,w n)T
定义Xj对于方案的区分度
Fj 1Ej
例 属性权重
wj
Fj
n
Fj
j1
不易区分方案优劣
0.50 0.30 0.25
R 0.30
0.30
0.25
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
0.15 0.20 0.25
0.05
0.20
0.25
E [ 0 .80 2 .94 8 1 6 ]
F [ 0 .10 7 .06 1 0 4 ]
d ij
m
d
2 ij
i1
R的列最大值 R的列模为1~
为1~最大化 模一化
多准则决策
A1 A2 A3 A4
SAW
SAW
(R最大化) (R归一化)
0.266
0.269
0.226
0.223
0.272
0.274
0.236
0.234
WP
0.269 0.219 0.276 0.236
TOPSIS
0.350 0.146 0.334 0.170
A3与A1（A4与A2）差别不大，A3，A1明显优于A4，A2 用各种方法得到的结果没有显著差别
R的列最小值为0 （最大值为1）
属性值(对决策优劣)的性质
• 单调性 效益型属性值单调增 费用型属性值单调减
决策矩阵标准化时先对费用型属性值作倒数变换:
归一化
最大化
注意非单调性属性的标准化处理
• 线性性 对于明显呈非线性的属性值（如边际效益 递减），需先拟合合适的函数作变换.
3．属性权重 X1, X2, …, Xn的权重
4．综合方法---由决策矩阵与属性权重得到最终决策
各种方法的详细步骤参看：
Hwang C.L. and Yoon K. Multiple Attribute Decision Making——Methods and Applications . Berlin/Heidelberg/New York Springer-Verlag ,1981
区间 尺度
严重不妥!
5. AHP与MAUT的争论——二者的公理化系统有区别 • AHP允许排序逆转而MAUT不允许. • MAUT需要偏好排序的传递性而AHP不需要.
徐玖平，吴巍编著 多属性决策的理论与方法. 北京 清华大学出版社 2006
确定
随机
模糊
粗糙
4．综合方法---由决策矩阵与属性权重得到最终决策
SAW
SAW
(R最大化) (R归一化)
0.266
0.269
0.226
0.223
0.272
0.274
0.236
0.234
WP
0.269 0.219 0.276 0.236
TOPSIS
0.350 0.146 0.334 0.170
A3与A1（A4与A2）差别不大，A3，A1明显优于A4，A2 用各种方法得到的结果没有显著差别
R的列最小值为0 （最大值为1）
属性值(对决策优劣)的性质
• 单调性 效益型属性值单调增 费用型属性值单调减
决策矩阵标准化时先对费用型属性值作倒数变换:
归一化
最大化
注意非单调性属性的标准化处理
• 线性性 对于明显呈非线性的属性值（如边际效益 递减），需先拟合合适的函数作变换.
3．属性权重 X1, X2, …, Xn的权重
4．综合方法---由决策矩阵与属性权重得到最终决策
各种方法的详细步骤参看：
Hwang C.L. and Yoon K. Multiple Attribute Decision Making——Methods and Applications . Berlin/Heidelberg/New York Springer-Verlag ,1981
区间 尺度
严重不妥!
5. AHP与MAUT的争论——二者的公理化系统有区别 • AHP允许排序逆转而MAUT不允许. • MAUT需要偏好排序的传递性而AHP不需要.
徐玖平，吴巍编著 多属性决策的理论与方法. 北京 清华大学出版社 2006
确定
随机
模糊
粗糙
4．综合方法---由决策矩阵与属性权重得到最终决策
多准则决策概述PPT(共33页)
m
r1j,r2j,,rmj( rij 1) 视为信息量的分布 i1
• 信息熵法
可用rij的均方差或极差代替Fj
m
A1,…, Am对属性Xj的熵为 Ej k rijlnrij,k1lnm
(r 1 j, ,r m ) j( 1 /m , ,1 /m )时 E j 1
i1
0 Ej
1
( r 1 j, ,r m ) j( 0 , 0 ,1 ,0 , )时 E j 0rij越一致, Ej越接近1
• 多属性决策（MADM, Multiple Attribute Decision Making）
【多属性效用理论（MAUT, Multi-Attribute Utility Theory）】
• 多目标决策（MODM, Multiple Objective Decision Making ）
多属性决策(MADM)与多目标决策(MODM)概述
多属性决策(MADM)的一般步骤
• 要素：备选方案组与属性集合、决策矩阵、 属性权重、综合方法. 1. 备选方案组与属性集合 备选方案组：由实际问题决定. 确定属性集合的原则： • 全面考虑，选取影响力（或重要性）强的. • 属性间尽量独立（至少相关性不太强）. • 不选难以辨别方案优劣的（即使影响力很强）. • 尽量选可量化的，定性的也要能明确区分档次. • 若数量太多（如大于7个），应将它们分层.
不易区分方案优劣
定义Xj对于方案的区分度
Fj 1Ej
例 属性权重
wj
Fj
n
Fj
j1
0.50 0.30 0.25
R 0.30 0.15
0.30 0.20
0.25 0.25
0.05 0.20 0.25
r1j,r2j,,rmj( rij 1) 视为信息量的分布 i1
• 信息熵法
可用rij的均方差或极差代替Fj
m
A1,…, Am对属性Xj的熵为 Ej k rijlnrij,k1lnm
(r 1 j, ,r m ) j( 1 /m , ,1 /m )时 E j 1
i1
0 Ej
1
( r 1 j, ,r m ) j( 0 , 0 ,1 ,0 , )时 E j 0rij越一致, Ej越接近1
• 多属性决策（MADM, Multiple Attribute Decision Making）
【多属性效用理论（MAUT, Multi-Attribute Utility Theory）】
• 多目标决策（MODM, Multiple Objective Decision Making ）
多属性决策(MADM)与多目标决策(MODM)概述
多属性决策(MADM)的一般步骤
• 要素：备选方案组与属性集合、决策矩阵、 属性权重、综合方法. 1. 备选方案组与属性集合 备选方案组：由实际问题决定. 确定属性集合的原则： • 全面考虑，选取影响力（或重要性）强的. • 属性间尽量独立（至少相关性不太强）. • 不选难以辨别方案优劣的（即使影响力很强）. • 尽量选可量化的，定性的也要能明确区分档次. • 若数量太多（如大于7个），应将它们分层.
不易区分方案优劣
定义Xj对于方案的区分度
Fj 1Ej
例 属性权重
wj
Fj
n
Fj
j1
0.50 0.30 0.25
R 0.30 0.15
0.30 0.20
0.25 0.25
0.05 0.20 0.25
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m
r1j,r2j,,rmj( rij 1) 视为信息量的分布 i1
• 信息熵法
可用rij的均方差或极差代替Fj
m
A1,…, Am对属性Xj的熵为 Ej k rijlnrij,k1lnm
(r 1 j, ,r m ) j( 1 /m , ,1 /m )时 E j 1
i1
0 Ej
1
( r 1 j, ,r m ) j( 0 , 0 ,1 ,0 , )时 E j 0rij越一致, Ej越接近1
A2
2.5
2.7
18
6.5
低
中
A3
1.8
2.0
21
4.5
高
高
A4
2.2
1.8
20
5.0
中
中
例 选择战斗机
对X5, X6表述的量化：
2.0 1.5 20 5.5 5 9
“很高”、“高”、 “中”、“低”、
D 2.5 2.7 18 6.5 3 5 1.8 2.0 21 4.5 7 7
“很低” 记分
2.2 1.8 20 5.0 5 5
设9,有7,5m,3个,1备，选方案A1, A2,…, Am, n个属性X1, X2, …, Xn
Ai对Xj的取值 dij ~ 属性值 D(dij)mn,dij0~决策矩阵
决策矩阵（属性值）的获取
• 调查、度量各方案对属性的取值 (偏于客观)
• 通过成对比较，从正互反阵解出特征向量 (偏于主观)
~ 层次分析法
多准则决策及其在 数学建模中的应用
dx rx dt
清华大学 姜启源
jiangqy@
提要
• 多准则决策概述 • 多属性决策的一般步骤
• 多属性决策应用过程中几种 主要方法的比较
• 层次分析法与多属性决策和 多属性效用理论的关系
多准则决策（MCDM, Multiple Criteria Decision Making）
MODM又称多目标优化或目标规划
多属性决策（MADM）与多目标决策 （MODM）应用领域非常广泛
• MADM ：国家综合实力评价、大学排名榜、公司 新厂址选择、教师绩效考核、2011B题各区交警平台 设置的合理性评价、2010D题学生宿舍设计方案的评 价 、2009B题病床安排的合理性指标… …
• MODM：选择收益大且风险小的投资组合、照顾乘 客和航空公司双方利益的航班安排、 2011B题交警平 台设置要考虑出警时间和工作量均衡、2009B题病床安 排方案要考虑公平和效率两方面、2009 D题会议筹备 要考虑预订宾馆、会议室的数量、费用、距离等…
• 多属性决策（MADM, Multiple Attribute Decision Making）
【多属性效用理论（MAUT, Multi-Attribute Utility Theory）】
• 多目标决策（MODM, Multiple Objective Decision Making ）
多属性决策(MADM)与多目标决策(MODM)概述
决策矩阵标准化时先对费用型属性值作倒数变换:
归一化
1
rij m d ij
1
i1
d ij
最大化 1
rij
max i
d ij 1
d ij
min i
d ij
d ij
注意非单调性属性的标准化处理
• 线性性 对于明显呈非线性的属性值（如边际效益 递减），需先拟合合适的函数作变换.
3．属性权重
X1, X2, …, Xn的权重 w(w 1,w 2, ,w n)T
属性权重的获取
n
wj 1
j 1
• 根据决策目标通过经验、调查等先验地给出 偏于主观 • 层次分析法：用成对比较矩阵解出特征向量
• 信息熵法 (借用信息，论中熵的概念)
偏于客观
熵 ~ 信息论中衡量不确定性的指标，信息量的(概率) 分布越趋于一致，不确定性越大.
将归一化决策矩阵R列向量 ~ A1,…, Am对Xj的属性值
MADM ：为了一个特定的目的在若干备选方案中 确定一个最优的，或者对这些方案按照优劣进行排 序，或者给出优劣程度的数量结果, 而方案的优劣 由若干属性给以定量或定性的表述。
MODM ：为了若干特定的（一般是相互矛盾的） 目标在若干备选方案中确定一个一定意义下最优的， 而备选方案集合由一些约束条件给定。
2．决策矩阵——备选方案对每一属性的属性值
例 选择战斗机 (4种型号)
X1~最高速度(马赫), X2航程(千海里), X3~最大载荷(千磅) X4~价格(百万美元), X5~可靠性, X6 ~机动性.
各方案对属性的定量取值或定性表述
备选
属性
方案
X1
X2
X3
X4
X5
X6
A1
2.0
1.5
20
5.5
中 很高
不易区分方案优劣
定义Xj对于方案的区分度
Fj 1Ej
例 属性权重
wj
Fj
n
Fj
j1
0.50 0.30
0.25 0.25
0.05 0.20 0.25
E [0 .82 0 .9 481 6 ]
F [0 .17 0 .0 610 4 ]
以上方法的综合
记偏于主观与偏于客观的方法得到的权重分别为
w (1 ) (w 1 (1 ),w 2 (1 ), ,w n (1 ))T, w (2 )(w 1 (2 ),w 2 (2 ), ,w n (2 ))T
多属性决策(MADM)的一般步骤
• 要素：备选方案组与属性集合、决策矩阵、 属性权重、综合方法. 1. 备选方案组与属性集合 备选方案组：由实际问题决定. 确定属性集合的原则： • 全面考虑，选取影响力（或重要性）强的. • 属性间尽量独立（至少相关性不太强）. • 不选难以辨别方案优劣的（即使影响力很强）. • 尽量选可量化的，定性的也要能明确区分档次. • 若数量太多（如大于7个），应将它们分层.
决策矩阵标准化 属性值的物理意义(包括量纲)各不相同
d11 d1j d1n
D
dm1 dmj dmn
dij作比例 尺度变换
rij
d ij
m
d ij
i1
R的列和为1~
归一化
r11 r1 j r1n
R
rm1 rmj rmn
rij
d ij
i
max
1, 2 , m
d ij
rij
0 rij 1
d ij
m
d
2 ij
i1
R的列最大值 R的列模为1~ 为1~最大化 模一化
dij作区间 尺度变换
rij
dij im 1,2, imndij im 1,2, amxdij im 1,2, imndij
R的列最小值为0 （最大值为1）
属性值(对决策优劣)的性质
• 单调性 效益型属性值单调增 费用型属性值单调减
r1j,r2j,,rmj( rij 1) 视为信息量的分布 i1
• 信息熵法
可用rij的均方差或极差代替Fj
m
A1,…, Am对属性Xj的熵为 Ej k rijlnrij,k1lnm
(r 1 j, ,r m ) j( 1 /m , ,1 /m )时 E j 1
i1
0 Ej
1
( r 1 j, ,r m ) j( 0 , 0 ,1 ,0 , )时 E j 0rij越一致, Ej越接近1
A2
2.5
2.7
18
6.5
低
中
A3
1.8
2.0
21
4.5
高
高
A4
2.2
1.8
20
5.0
中
中
例 选择战斗机
对X5, X6表述的量化：
2.0 1.5 20 5.5 5 9
“很高”、“高”、 “中”、“低”、
D 2.5 2.7 18 6.5 3 5 1.8 2.0 21 4.5 7 7
“很低” 记分
2.2 1.8 20 5.0 5 5
设9,有7,5m,3个,1备，选方案A1, A2,…, Am, n个属性X1, X2, …, Xn
Ai对Xj的取值 dij ~ 属性值 D(dij)mn,dij0~决策矩阵
决策矩阵（属性值）的获取
• 调查、度量各方案对属性的取值 (偏于客观)
• 通过成对比较，从正互反阵解出特征向量 (偏于主观)
~ 层次分析法
多准则决策及其在 数学建模中的应用
dx rx dt
清华大学 姜启源
jiangqy@
提要
• 多准则决策概述 • 多属性决策的一般步骤
• 多属性决策应用过程中几种 主要方法的比较
• 层次分析法与多属性决策和 多属性效用理论的关系
多准则决策（MCDM, Multiple Criteria Decision Making）
MODM又称多目标优化或目标规划
多属性决策（MADM）与多目标决策 （MODM）应用领域非常广泛
• MADM ：国家综合实力评价、大学排名榜、公司 新厂址选择、教师绩效考核、2011B题各区交警平台 设置的合理性评价、2010D题学生宿舍设计方案的评 价 、2009B题病床安排的合理性指标… …
• MODM：选择收益大且风险小的投资组合、照顾乘 客和航空公司双方利益的航班安排、 2011B题交警平 台设置要考虑出警时间和工作量均衡、2009B题病床安 排方案要考虑公平和效率两方面、2009 D题会议筹备 要考虑预订宾馆、会议室的数量、费用、距离等…
• 多属性决策（MADM, Multiple Attribute Decision Making）
【多属性效用理论（MAUT, Multi-Attribute Utility Theory）】
• 多目标决策（MODM, Multiple Objective Decision Making ）
多属性决策(MADM)与多目标决策(MODM)概述
决策矩阵标准化时先对费用型属性值作倒数变换:
归一化
1
rij m d ij
1
i1
d ij
最大化 1
rij
max i
d ij 1
d ij
min i
d ij
d ij
注意非单调性属性的标准化处理
• 线性性 对于明显呈非线性的属性值（如边际效益 递减），需先拟合合适的函数作变换.
3．属性权重
X1, X2, …, Xn的权重 w(w 1,w 2, ,w n)T
属性权重的获取
n
wj 1
j 1
• 根据决策目标通过经验、调查等先验地给出 偏于主观 • 层次分析法：用成对比较矩阵解出特征向量
• 信息熵法 (借用信息，论中熵的概念)
偏于客观
熵 ~ 信息论中衡量不确定性的指标，信息量的(概率) 分布越趋于一致，不确定性越大.
将归一化决策矩阵R列向量 ~ A1,…, Am对Xj的属性值
MADM ：为了一个特定的目的在若干备选方案中 确定一个最优的，或者对这些方案按照优劣进行排 序，或者给出优劣程度的数量结果, 而方案的优劣 由若干属性给以定量或定性的表述。
MODM ：为了若干特定的（一般是相互矛盾的） 目标在若干备选方案中确定一个一定意义下最优的， 而备选方案集合由一些约束条件给定。
2．决策矩阵——备选方案对每一属性的属性值
例 选择战斗机 (4种型号)
X1~最高速度(马赫), X2航程(千海里), X3~最大载荷(千磅) X4~价格(百万美元), X5~可靠性, X6 ~机动性.
各方案对属性的定量取值或定性表述
备选
属性
方案
X1
X2
X3
X4
X5
X6
A1
2.0
1.5
20
5.5
中 很高
不易区分方案优劣
定义Xj对于方案的区分度
Fj 1Ej
例 属性权重
wj
Fj
n
Fj
j1
0.50 0.30
0.25 0.25
0.05 0.20 0.25
E [0 .82 0 .9 481 6 ]
F [0 .17 0 .0 610 4 ]
以上方法的综合
记偏于主观与偏于客观的方法得到的权重分别为
w (1 ) (w 1 (1 ),w 2 (1 ), ,w n (1 ))T, w (2 )(w 1 (2 ),w 2 (2 ), ,w n (2 ))T
多属性决策(MADM)的一般步骤
• 要素：备选方案组与属性集合、决策矩阵、 属性权重、综合方法. 1. 备选方案组与属性集合 备选方案组：由实际问题决定. 确定属性集合的原则： • 全面考虑，选取影响力（或重要性）强的. • 属性间尽量独立（至少相关性不太强）. • 不选难以辨别方案优劣的（即使影响力很强）. • 尽量选可量化的，定性的也要能明确区分档次. • 若数量太多（如大于7个），应将它们分层.
决策矩阵标准化 属性值的物理意义(包括量纲)各不相同
d11 d1j d1n
D
dm1 dmj dmn
dij作比例 尺度变换
rij
d ij
m
d ij
i1
R的列和为1~
归一化
r11 r1 j r1n
R
rm1 rmj rmn
rij
d ij
i
max
1, 2 , m
d ij
rij
0 rij 1
d ij
m
d
2 ij
i1
R的列最大值 R的列模为1~ 为1~最大化 模一化
dij作区间 尺度变换
rij
dij im 1,2, imndij im 1,2, amxdij im 1,2, imndij
R的列最小值为0 （最大值为1）
属性值(对决策优劣)的性质
• 单调性 效益型属性值单调增 费用型属性值单调减