第一课最优化问题及其基本概念

4 2000 160
5 2000 155
6 2000 150
7 3000 160
1单位钢管的铁路运价
里程(km) 运价(万元)
≤300 20
301～350 23
351～400 26
401～450 29
451～500 32
里程(km) 运价(万元)
501～600 37
601～700 44
701～800 50
该种物资，其需求量分别为
。已知由
d j ( j 1, 2...n)
第 i 个产地到第 j 个销地的单位物资运输成本为
cij 。试构造一个运输方案，使总的运输成本最小。
运输问题数据表
销地
产地
A1 A2
┇
Am
销量
B1 B2 … Bn
c11
c12 … c1n
c21
c22 … c2n
┇ ┇ ┇┇
cm1
801～900 55
901～1000 60
1000km以上每增加1至100km运价增加5万元
1单位钢管的公路运价：0.1万元/km（不足整公里部分按整公里计）
（1）制定钢管的订购和运输计划，使总费用最小.
（2）分析对购运计划和总费用影响：哪个钢厂钢管销价的 变化影响最大；哪个钢厂钢管产量上限的变化影响最大？
sm
销量
d1
d2 … dn
于是得到下列一般运输问题的模型：
mn
Min f = cij xij
i=1 j=1
n
s.t.
j=1
xij
si
i = 1,2,…,m
im=1xij (=,)dj j = 1,2,…,n
xij 0 (i=1,2,…,m;j=1,2,…,n)
对于产销平衡问题，可得到下列运输 问题的模型：
产每种产品在消耗原料方面的各项技术条件和单位产品的
利润，以及可利用的各种原料的量（具体数据如下表），试
制订适当的生产规划使得该厂的总的利润最大。
产品 生产每单位产品所消耗的原料 现有原
原料
A
B
C 料的量
a
3
4
2
60
b
2
1
2
40
c
1
3
2
80
单位产品利润 2
4
3
一般数Fra Baidu bibliotek模型
以 x1、 x2 、 x3 分别表示生产 A、B、C 三种产品的量， 称之为决策变量
最优化问题的一些典型的分类
根据决策变量的取值类型，可分为函数优化问题与 组合优化问题，称决策变量均为连续变量的最优化问题 为函数优化问题，否则，若一个最优化问题的有的决策 变量为离散取值，则称之为组合优化问题；
另外的一种分类方式是根据问题中目标、约束条件 函数的形式或性质来加以划分的：若一个最优化问题的 目标、约束条件函数均为决策变量的线性函数，则称之 为线性规划问题，否则称之为非线性最优化问题；
一、最优化问题举例
利用最优化理论和方法解决生产实践以及 科学研究中的具体问题，一般分为如下两 个步骤： • 建立数学模型； • 进行数学加工和求解
1、运输问题
假设某种产品有 m 个生产地，用
Ai (i 1,2...m) 表示，其产量分别为si (i 1, 2...m)；
有 n 个消费地点，用 Bj ( j 1,2...n) 表示，需要
目标函数值 f ( X * ) 的为最优化模型 Min{ f ( X ) | X D} 的（全局） 最优值；
称 X * D 为最优化模型 Min{ f ( X ) | X D} 的局部最优解，若存在
n
0 ， 对 X D { X Rn | ( xi xi* )2 } ， 均 有 i 1
称 模 型 中 关 于 决 策 变 量 的 等 式 或 不 等 式 ci ( X ) 0(i 1..m1) 、 ci ( X ) 0(i m1 1..m) 为约束条件；
而称满足全部约束条件的空间 Rn 中的点 X 为该模型的可行解； 称 D { X Rn | ci ( X ) 0(i 1..m1 )且ci ( X ) 0(i m1 1..m)} ，即 由所有可行解构成的集合为该模型的可行域。
(5)
z1 0, y15 0
(6)
模型求解
利用MATLAB软件包求解得：
钢 厂 S1 S2 S3 S4 S5 S6 S7
订购量 800 800 1000 0 1015 1550 0
总费用
1278632
精品课件！
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订购和运输方案表
订购量A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9 A10 A11 A12 A13 A14 A15 S1 800 0 201 133 200 266 0 0 0 0 0 0 0 0 0 S2 800 179 11 14 295 0 0 300 0 0 0 0 0 0 0 S3 1000 139 11 186 0 0 0 664 0 0 0 0 0 0 0 S4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 S5 1015 0 358 242 0 0 0 0 0 0 415 0 0 0 0 S6 1556 0 0 0 0 0 0 0 0 0 351 86 333 621 165 S7 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
Min{ f ( X ) | X D} 与 Min f ( X ) s.t. ci ( X ) 0 (i 1..m1 )
ci ( X ) 0 (i m1 1..m)
• 基本概念 • 最优化问题的一些典型分类
基本概念
X ( x1, x2 xn )T 表示一组决策变量，xi (i 1..n) 通常在实数域 R 内取值； 称决策变量的函数 f ( X ) 为该最优化模型的目标函数；
营业额最大等； （2）当某些运输线路上的能力有限制时，模
型中可直接加入（等式或不等式）约束；
产销不平衡的情况。当销量大于产量时 可加入一个虚设的产地去生产不足的物资， 当产量大于销量时可加入一个虚设的销地去 消化多余的物资。
2、生产计划问题
某厂利用 a、b、c 三种原料生产 A、B、C 三种产品，已知生
110
720
520
88
500 62
420
A14
202
462 S5 10
1100
S1
70
42
10
220
A13
210
20
A12
12
195 31
306
480
A10 300
A11
A9
S1~S7 钢管厂
680
1150
10
201 A8
5
铁路
600
450 80
10
194
A7 A6 205
A5
2 750
606
A4
由钢管厂订购钢管，经铁
f (X*) f (X)。
基本概念
（全局）最优解一定是局部最优解，但反之不然，其关系可由 下图得到反映：
上图为函数 y x sin( x2 ) 在区间 [2,3.5] 上的一段函数曲线（由 Mathematica 绘制）
最优化问题的一些典型的分类
• 函数优化问题与组合优化问题 • 线性规划问题与非线性最优化问题 • 多目标规划
420
A13
210
A12
A14
195
31
306
480
A9
A10 300
A11
680
1150
10
201 A8
5
450
3 104
600 80
2 750
A3
301
A2
10 194
606 A5 A4
A6 205 A7
A1
问题1的基本模型和解法 总费用最小的优化问题
总费用：订购，运输（由各厂Si经铁路、公路至各点Aj, i=1,…7; j=1, …15 ），铺设管道Aj Aj+1 （j=1, …14)
例、求解如下非线性规划: Min x12 2x1 x22 。 s.t. 0 x2 x1 2
基本概念
称 X* D 为最优化模型 Min{ f ( X ) | X D} 的（全局）最优
解，若满足：对 X D 均有 f ( X * ) f ( X ) ，这时称 X* D 处的
（3）讨论管道为树形图的情形
290 30 S7
S2
1200
S3
690 720
S4
690
170 520
160 130 88
A18
160
320 A20
100 70 30
70 260
A21
S6
A19
110
190
62
20 20
A15
500
1100
202
S1
A16
42
20
12
A17
462
70 10
S5 10
220
最优购运计划 由Si至Aj的最小购运费用路线及最小费用cij 由Si至Aj的最优运量xij 由Aj向Aj Aj-1段铺设的长度zj及向Aj Aj+1段铺设的长度yj
约束条件
钢厂产量约束：上限和下限（如果生产的话） 运量约束：xij对i求和等于zj 加yj；
yj与 zj+1之和等于Aj Aj+1段的长度lj
由Aj向Aj Aj-1段铺设的运量为 1+ … +zj= zj( zj+1)/2 由Aj向Aj Aj+1段铺设的运量为 1+ … +yj= yj( yj+1)/2
基本模型
二次规划
min
7 i 1
15
cij xij
j 1
0.1 2
15
(zj(zj
j 1
1)
yj(yj
1))
max z 2x1 4x2 3x3 目标函数(利润最大化）
s.t.
3x1 4x2 2x3 60 2x1 x2 2x3 40 x1 3x2 2x3 80 x1, x2 , x3 0



约束条件


二、最优化方法的基本概念
mn
Min
f n
=

i=1

j=1
cij
s.t.
j=1
xij = si
m
i=1 xij = dj
xij i = 1,2,…,m (4-5) j = 1,2,…,n (4-6)
xij≥0(i=1,2,…,m;j=1,2,…,n)
在实际问题建模时，还会出现如下一些变化： （1）有时目标函数求最大，如求利润最大或
(1)
15
s.t. xij {0} [500, si ] i 1,2,,7
(2)
j 1
7
xij z j y j
j 1,2,,15
(3)
i 1
y j z j1 l j
j 1,2,,14
(4)
xij 0, z j 0, y j 0
i 1,2,,7, j 1,2,,15
在生产、经济与管理等领域中遇到的大量最优决策 问题，对一个方案的评价是多角度多指标的，反映在数 学模型中，优化的目标是关于决策变量的一个函数组， 我们称之为多目标规划问题。
引例
钢管订购和运输
S4 S3
S2
160
690
290
30 S7
160 320
70
20 20
30
70
1200
690 170
S6
A15
3
A3
301
104 A2
路、公路运输，铺设一条
A1
钢管管道 A1 A2 A15
火车站 公路 管道
450 里程（km） （沿管道建有公路）
钢厂的产量和销价（1单位钢管=1km管道钢管）
钢厂i
12
3
产量上限 si 销价 pi （万元）
800 800 160 155
1000 155
钢厂产量的下限：500单位钢管
cm2 … cmn
d1
d2 … dn
产量
s1 s2
┇
sm
设 xij 为从产地 Ai 运往销地 Bj 的运
输量，根据这个运输问题的要求，可以建立 运输变量表。
销地 产地
B1 B2 … Bn
产量
A1
x11
x12 … x1n
s1
A2
x21
x22 … x2n
s2
┇
┇ ┇ ┇┇
┇
Am
xm1
xm2 … xmn