拉氏变换逆变换
拉氏逆变换
• 例4
如图。设输入电压为
1, 0 ≤ t < T u0 (t ) = t ≥T 0,
• 求输出电压uR(t)（电容C在t=0时不带电）。
C
u0(t)
i
R
uR
布置作业：
பைடு நூலகம்
• P49: 2. 5. 6. 8. 11. • P54: 1(3)(5). 2(1).
• 求法：由性质，适当结合查表及部分分式 第七节 拉氏逆变换 分解法求拉氏逆变换。 • 性质1（线性性质）
L [a1 F1 ( p ) + a2 F2 ( p )]
−1
= a1 L [ F1 ( p )] + a2 L [ F2 ( p)]
−1
−1
= a1 f1 (t ) + a2 f 2 (t )
• 例1 求象函数的拉氏逆变换： 1 • (1) F ( p) = (2) F ( p ) =
p+3
1 ( p − 2) 3
• (3)
2p −5 F ( p) = p2
4p −3 (4) F ( p) = 2 p +4
• 例2 • 例3
2p +3 求 F ( p) = 2 的逆变换。 p −2p +5
步骤总结：
常系数线性 微分方程 作拉氏变换 象函数的 代数方程 解 代 数 方 程 拉氏 变换 象函数
象原函数（微 分方程的解）
• 例2 求微分方程 • 满足初始条件 y ( 0 ) = 2 , y ′( 0 ) = − 1 的解。
′′ − 3 y ′ + 2 y = 2 e − t y
x′′ − 2 y′ − x = 0 • 例3 求 满足初始条 x′ − y = 0 • 件 x ( 0 ) = 0, x ′( 0 ) = 1, y ( 0 ) = 1 的解。
积分变换第7讲拉氏逆变换
b - j
k 1 ssk
最常见的情况, 是函数F(s)是有理函数, 即
F (s)
am s m bn s n
am-1sm-1 a1s a0 bn-1sn-1 b1s b0
amsm am-1sm-1 a1s a0 bn (s - s1)(s - s2 )(s - sn )
-
sk
)
c1 ( s
-
sk
)2
再令两边取s sk的极限,得
c-1
Res
ssk
A(s) B(s)
est
lim
ssk
(s
-
sk
)
A(s) B(s)
est
一阶极点处留数的求法
而极限
lim
ssk
(s
-
sk
)
A(s) B(s)
est
lim
ssk
A(s) B(s) - B(sk
)
est
s - sk
(t)
A(j k ) B(j k )
e jkt
A(- jk) B(- jk)
e- jkt
k 2 jk
e jkt
k -2 jk
e- jkt
sin
kt,
t
0
如方程B(s)=0有一个二重根s1, 称s1为B(s)的二 阶零点, 也是F(s)est的二阶极点, 这时F(s)est在 s=s1处可展开为罗朗级数, 其形式为:
C k 1
即
1
2
j
b
jR
F
(
s)
e
std
s
b - jR
CR F (s) estd s
n
Res
拉普拉斯变换及反变换
t
重要性质
( t ) f ( t ) dt f ( 0 )
( t ) dt ( t ) dt 1
0
0
L[ ( t )]
(t ) e
st
0
dt ( t ) e
st
dt 1
第7页
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（5）指数函数
f (t )
控制工程基础
f (t )
（k =const）
0 2 f ( t ) kt 1( t ) 1 2 kt t 2 2 1
0
t0
t
t0
0
t
F ( s ) L [ f ( t )]
（ b）
跃函数
坡 函 kt 斜 2 数
0
1
2
e
st
dt
k s
3
F s
的原函数；L是表示进行拉氏变换的 符号。
第2页
黄河科技学院
控制工程基础
F ( s ) L [ f ( t )]
f ( t ) L [ F ( s )]
拉氏变换是这样一种变换，即在一定的 条件下，它能把一实数域中的实变函数 f t 变换为一个在复数域内与之等价的 复变函数 F s 。
控制工程基础
2）当解出s有重根时，对F(s)作因式分解：
F (s) br ( s p1 )
r
b r 1 ( s p1 )
r 1
b1 ( s p1 )
r
a r 1 ( s p r 1 )
拉氏反变换 课件
t 0 0 τ
t
该定理说明，在时间域的平移变换在复数域有对应的 该定理说明， 衰减变换。 衰减变换。
求如图所示周期锯齿波信号的拉氏 变换。 变换。
f(t)
该信号为周期信号。 解： 该信号为周期信号。若已知 信号第一周期的拉氏变换为 (s)，则应用延迟定理， F1(s)，则应用延迟定理， 有
T = 0.5sec
3、单位斜坡信号
单位阶跃信号的数学表达式为
t,t ≥ 0 f (t ) = 0,t < 0
f(t)
简写为
f ( t ) = t ⋅ 1( t )
0 t
利用分部积分公式, 利用分部积分公式, 变换为
∞ − st
可求得拉氏
∞
1 1 − st [te − st L[t ⋅ 1(t )] = ∫ t ⋅ e dt = t ⋅ d( e ) = − s 0∫− −s 0−
t 0 T
F ( s ) = F1 ( s ) + e − Ts F1 ( s ) + e − 2 Ts F1 ( s ) + L = F1 ( s )( 1 + e − Ts + e − 2 Ts + L ) 1 = ⋅ F1 ( s ) − Ts 1− e
锯齿波信号第一周期的拉氏变换为
1 2 × 0.25 −0.5s 1 −0.5s 1 − 0.5s ⋅ e−0.25s − e−0.5s F1 ( s) = 2 − e − 2e = s s s s2
−1
这是复变函数的积分，计算复杂，极少采用。 这是复变函数的积分，计算复杂，极少采用。 常用方法----部分分式法。 常用方法----部分分式法。 ----部分分式法
理由： 理由： 工程中常见的时域信号f(t)的拉氏变换F(s) f(t)的拉氏变换F(s)都 工程中常见的时域信号f(t)的拉氏变换F(s)都
拉氏变化及反变换
t 0
1
2 单位阶跃函数
f (t )
1
0, t 0 1(t ) 1, t 0
0
t
L[1(t )]
0
1 st 1 1(t )e dt e 0 s s
st
3 单位斜坡函数
f (t )
f (t )
0, t 0 f (t ) t, t 0
1 1 1(t ) 1(t T ) T T
L[ f (t )]
1 1 sT 1 e (1 e sT ) Ts Ts Ts
T T f (t ) f1 (t ) f1 (t ) f1 (t ) f1 (t T ) 2 2 4 4 T 4 T 4 2 t 2 (t ) 2 (t ) 2 (t T ) T T 2 T 2 T
1 jt sin t (e e jt ) 2j
st
Hale Waihona Puke e j cos j sin e j cos j sin
L[sin t ] sin t e dt
0
0
1 jt jt st e e e dt 2j
10.像函数的微分性质
设L[ f (t )] F (s)
dF ( s) Ltf (t ) ds
11.像函数的积分性质
设L[ f (t )] F (s)
1 L f (t ) F ( s)ds t s
例 求图示方波和三角波的拉氏变换
方波： f (t ) f1 (t ) f1 (t T )
1 1 1 s 2 2 s j s j s 2
拉氏逆变换
令 j s 有
f t
2 j
1
j
j
F s e ds. t 0
st
这就是从象函数F s 求它的象原函数f t 的一般公 式，右端的积分称为拉氏反演积分。
2
F s f t e dt和 0 1 j st f t F s e ds. t 0 2 j j 构成了一对互逆的积分变换公式，也称f t 和F s
n
t 0……2
11
公式1 和2 都称为和赫维赛德 Heaviside 展开式。 s 例1.求F s 2 的逆变换。 s 1 解： B s s2 1有两个单零点： s1 j、s2 j
则由公式有： s st s st s 1 e e f t L 2 2s s j 2s s 1 1 jt e e jt cos t，t 0. 2
5
n
1 jR st st 即 F s e ds F s e ds CR jR 2 j
st Res F s e ，sk . k 1 n
并根据若尔当引理 令R ，
有当t 0时， lim
从而
s j
12
例2.求F s
1 s s 1
2
2
的逆变换.
解： B s s s 1
由公式：
f t
它有：s1 0为单零点，s2 1为二级零点。
1 2 e st 3s 4s 1 d 1 2 st lim s 1 e 2 s 1 ds s s 1 s 0
§ 2.3 拉氏逆变换
拉氏变换与反变换
2.5 拉氏变换与反变换机电控制工程所涉及的数学问题较多，经常要解算一些线性微分方程。
按照一般方法解算比较麻烦，如果用拉普拉斯变换求解线性微分方程，可将经典数学中的微积分运算转化为代数运算，又能够单独地表明初始条件的影响，并有变换表可查找，因而是一种较为简便的工程数学方法。
2.5.1 拉普拉斯变换的定义如果有一个以时间 为自变量的实变函数 ，它的定义域是 ，那么 的拉普拉斯变换定义为(2.10)式中， 是复变数， （σ、ω均为实数）， 称为拉普拉斯积分；是函数的拉普拉斯变换，它是一个复变函数，通常也称 为 的象函数，而称为 的原函数；L 是表示进行拉普拉斯变换的符号。
式（2.10）表明：拉氏变换是这样一种变换，即在一定条件下，它能把一实数域中的实变函数变换为一个在复数域与之等价的复变函数。
2.5.2 几种典型函数的拉氏变换1.单位阶跃函数的拉氏变换单位阶跃函数是机电控制中最常用的典型输入信号之一，常以它作为评价系统性能的标准输入，这一函数定义为单位阶跃函数如图2.7所示，它表示在 时刻突然作用于系统一个幅值为1的不变量。
单位阶跃函数的拉氏变换式为t ()t f 0≥t ()t f ()()()0e d stF s L f t f t t ∞-=∆⎡⎤⎣⎦⎰s ωσj +=s ⎰∞-0e st )(s F )(t f )(s F )(t f )(t f )(s F )(s F )(1t ⎩⎨⎧≥<∆)0(1)0(0)(1t t t 0=t当 ，则 。
所以（2.11）图2.7 单位阶跃函数2.指数函数的拉氏变换指数函数也是控制理论中经常用到的函数，其中 是常数。
令则与求单位阶跃函数同理，就可求得（2.12）3.正弦函数与余弦函数的拉氏变换设，，则0e 1d e )(1)](1[)(0∞-===-∞-⎰stst st t t L s F 0)Re(>s 0e lim →-∞→st t []s s s t L st 1)1(00e 1)(1=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=∞-=-由欧拉公式，有所以(2.13）同理(2.14）4.单位脉冲函数 δ(t ) 的拉氏变换单位脉冲函数是在持续时间期间幅值为的矩形波。
拉普拉斯反变换
1
p 1 p
2
求拉氏反变换
(1). e
2 ( p 2 )
解：
1 p
(t )
2 ( p 2 )
1 p
e
2 p
( t 2)
2t
p2
p
3 p
e
( 2).
(1 e
)(1 e p
p2
1 e
( t 2) e
p
)
F ( p)
e
3 p
2
2
k22 ( p 2 j1)
4
k11 ( p 2 j1) F ( p )
k12 d dp
2
p 2 j 1
2 4
j
e
1 4 e
[( p 2 j1) F ( p )]
2t
j
2
p 2 j 1
f (t ) [
1 2
te
cos(t
k21 ( p j )
2
k22 ( p j )
N1 ( p) D1 ( p )
系数求得后，可用求得其反变换。由于
可以证明， 21 K11 , K 22 K12 K
设K11 | k11 | e
L [
1
j 1 1
K 22 | k22 | e
] K 22 e
例：求原函数
F ( p)
p 1 [( p 2) 1]
2 2
解：D( p ) 0的根有二重根 1, 2 2 j1, 故F ( p )可展开为 p
拉氏逆变换的公式
拉氏逆变换的公式1.常用的拉氏逆变换公式：1.1单位冲激函数δ(t)的拉氏逆变换：L^-1{1}=δ(t)其中，L^-1{}表示拉氏逆变换，δ(t)表示单位冲激函数。
例子：计算拉氏逆变换L^-1{1}。
根据拉氏逆变换的公式，我们可以得到：L^-1{1}=δ(t)这意味着当输入函数为1时，其拉普拉斯变换的逆变换为一个单位冲激函数。
1.2单位阶跃函数u(t)的拉氏逆变换：L^-1{1/s}=u(t)其中，L^-1{}表示拉氏逆变换，u(t)表示单位阶跃函数。
例子：计算拉氏逆变换L^-1{1/s}。
根据拉氏逆变换的公式，我们可以得到：L^-1{1/s}=u(t)这意味着当输入函数为1/s时，其拉普拉斯变换的逆变换为一个单位阶跃函数。
1.3 e^(-at) 的拉氏逆变换：L^-1{1/(s+a)} = e^(-at)其中，L^-1{}表示拉氏逆变换，a为常数。
例子：计算拉氏逆变换L^-1{1/(s+a)}。
根据拉氏逆变换的公式，我们可以得到：L^-1{1/(s+a)} = e^(-at)这意味着当输入函数为 1/(s+a) 时，其拉普拉斯变换的逆变换为e^(-at)。
2.拉氏逆变换的推导：拉普拉斯变换的定义式是：F(s) = L{f(t)} = ∫[0,∞] [f(t)e^(-st)] dt其中，F(s)是f(t)的拉普拉斯变换。
为了推导拉氏逆变换公式，我们需要将拉普拉斯变换的积分转换为时间域上的运算。
我们可以使用留数定理来实现这一点。
首先，我们假设F(s)是一个有界函数，并且F(s)在有穷半平面Re(s)≥a中有一个极点。
根据留数定理，我们可以得到拉普拉斯变换的逆变换公式：f(t) = 1/(2πi) ∮c F(s)e^(st) ds其中，∮c表示沿着一个包围所有极点的大圆的积分，i是虚数单位，s是复变量。
根据该公式，我们可以将拉普拉斯变换的逆变换计算为围绕所有极点的积分。
实际上，在计算积分时，仅需围绕与正半轴有关的极点进行积分。
拉氏逆变换的公式
拉氏逆变换的公式拉氏逆变换（Laplace Inversion）是拉普拉斯变换（Laplace Transform）的逆运算，用于将拉普拉斯变换的结果逆向转换回原来的函数。
拉氏逆变换的公式是一个积分表达式，可以通过计算积分来得到原函数的表达式。
拉普拉斯变换是数学中一种重要的变换方法，常用于解决常微分方程和偏微分方程的问题。
它能够将一个定义在实数轴上的函数转换为一个复变量的函数，从而使得原来的函数在复平面上的性质更加明确和易于分析。
设$f(s)$是一个函数在复平面上的拉普拉斯变换，记为$F(s)$，则其拉氏逆变换的公式可以表示为：\[f(t) = \frac{1}{2πi}\int_{c-i∞}^{c+i∞} e^{st}F(s)ds\]其中，$c$是一个常数，确保所有的奇点（即$F(s)$在复平面上发散的点）都位于复平面上的一个左半平面内，$i$是虚数单位，$s$是复变量。
公式中的积分路径称为瑕积分路径（Bromwich contour），它是一条从$c-i∞$到$c+i∞$的线段，再加上两个无穷远的半圆弧，构成一个封闭曲线。
这个路径的选取是为了保证积分路径上不存在任何奇点。
瑕积分路径上的积分则被称为瑕积分（residue integral）。
在实践中，计算拉氏逆变换的公式并不是一件简单的任务。
这是因为瑕积分路径上的积分通常是无法直接计算出来的，需要借助于复变函数理论和瑕积分的计算技巧。
常用的计算瑕积分的方法有留数法（Residue Method）和柯西积分公式（Cauchy's Integral Formula）等。
当然，也存在一些拉普拉斯变换对应的函数的拉氏逆变换公式可以直接使用，而无需进行繁琐的计算。
以下是一些常见的拉普拉斯变换和其对应的拉氏逆变换公式：1.常数函数：\[F(s) = \frac{K}{s} \Rightarrow f(t) = K\]2. 单位阶跃函数（Heaviside函数）：\[F(s) = \frac{1}{s} \Rightarrow f(t) = 1\]3.指数函数：\[F(s) = \frac{1}{s-a} \Rightarrow f(t) = e^{at}\]4.正弦函数：\[F(s) = \frac{\omega}{s^2+\omega^2} \Rightarrow f(t) =\sin(\omega t)\]5.余弦函数：\[F(s) = \frac{s}{s^2+\omega^2} \Rightarrow f(t) =\cos(\omega t)\]这些是一些简单的拉氏逆变换公式，可以帮助我们快速将一些常见的拉普拉斯变换结果转换回原函数。
拉普拉氏变换与反变换
L[e x(t )] X (s a)
5、延时定理：
at
L[ x(t a) 1(t a)] eas X (s)
6、初值定理：
t 0
lim x(t ) lim sX ( s )
s
7、终值定理：
lim x(t ) lim sX ( s )
分解因式，根据不同情况，利用待定系数法求反拉 氏变换
拉氏变换的运用
求解微分方程
X (s) L[ x(t )] x(t )est dt ˆ
0
式中：s为复变量；x(t)为原函数；X(s)为象函数
二、简单拉氏变换： 1、单位阶跃函数1(t) 2、指数函数 e at 3、正弦函数sinωt和余弦函数cosωt 利用欧拉公式 e j cos j sin
e j cos j sin e j e j sin 2j e j e j cos 2j
4、幂函数tn 利用Γ（gama）函数的性质：
(a ) x a 1e x dx ˆ
0
(n 1) n(n) n! u st u t s 1 dt du s L[t ] t e dt
拉普拉氏变换与反变换
一、定义： 对于函数 x(t )，如果满足下列条件： x （1）当t<0时， (t ) =0； 当t>0时，x(t)在每个有限区间上是分段连续的。 （2） x(t )et dt ，其中σ为正实数，即x(t)为指数级的； 0 则可定义x(t)的拉氏变换X(s)：
n n st
s n 1
1
n! u e du n 1 s
n u
拉氏变换及反变换
0
t
F(s)=L[f(t)]=
te
0
st
dt
t st 1 st e e dt 0 s 0 s
1 2 s
机械工程控制基础
拉普拉斯变换及反变换
5. f (t ) t
ℒ [t ]
n
n
n
（幂函数）
0
t e dt 0
n st
t n st de s
例1 例2
1 1 ) ℒ [ A(1 e )] A( s s 1 j t [sin t ] ℒ ℒ [ (e e j t )] 2j 1 1 1 [ ] 2 2j s j s j s 2
t
机械工程控制基础
二、微分定理
拉普拉斯变换及反变换
1 d (sin t )] ℒ [cos t ] ℒ [ dt s 1 [s 2 si nt 0 ] 2 2 s 2 s
机械工程控制基础
•例3 某动态电路的输入—输出方程为
拉普拉斯变换及反变换
d2 d d r ( t ) a r ( t ) a r ( t ) b e (t ) b0 e (t ) 1 0 1 2 dt dt dt
拉普拉斯变换及反变换
(t )dt 1
0
t
ℒ [ ( t )]
0
( t )e st dt 0 (t )dt
0
=1
机械工程控制基础
4. f (t ) t （单位斜坡函数）
f(t)
拉普拉斯变换及反变换
拉氏变换逆变换
1 解：F ( s) s 2 s 1 f (t ) ' (t ) 2 (t ) e t (t 0)
2s 2 9s 18 (2) F ( s) 2 s 4s 8
f (t ) ILTF (s) 2 (t ) e2t cos2t u(t )
1 j st f (t ) F ( s)e ds 2j j
拉普拉斯逆变换可以按照逆变换的定义式进行求 解（留数法），实际中也可以采用其他一些简便的方 法求解。
2015-1-14 信号与系统
一、查表法
一些典型信号的逆变换可以借助于附表进行查询得到。
s 2 3s 1 (1) F ( s) s 1
K1 ( s 1 j 2) F ( s) s 2 1 j2 5
7 2 1 f (t ) e 2t 2e t cos(2t ) sin(2t ) u (t ) 5 5 5
2015-1-14 信号与系统
2 s 3 重新求解上例： F ( s ) ( s 2 2s 5)(s 2) k 2 s k3 k1 2 s 2 s 2s 5
2015-1-14 信号与系统
例：求下示函数的逆变 换 s2 3 F ( s) 2 ( s 2s 5)(s 2)
7 2t 2 t 1 f (t ) e 2e cos(2t ) sin(2t ) u (t ) 5 5 5
2015-1-14
信号与系统
201667信号与系统4444拉普拉斯逆变换拉普拉斯逆变换利用拉普拉斯变换法分析连续系统时最后都需要求象函数的逆变换得到信号的时域形式
4.4 拉普拉斯逆变换
利用拉普拉斯变换法分析连续系统时，最后都需要 求象函数的逆变换，得到信号的时域形式。因此拉普拉 斯逆变换在求解系统相应及系统分析中是非常重要的一 个环节。要求要熟练掌握。
拉氏变换及反变换
初值定理
拉氏反变换方法
部分分式法的求取拉氏反变换
B( s) b0 s m b1s m 1 .... bm 1s bm F ( s) ,m n n n 1 A( s) a0 s a1s .... an 1s bn
L-1[F(s)] = L-1[F1(s)]+L-1[F2(s)]+…+L-1[Fn(s)] = f1(t) + f2(t) + … + fn(t) F(s)= F1(s)+F2(s)+…+Fn(s)
e
at at
te
sin(wt) cos(wt)
常见时间函数拉氏变换表 序号 f(t) F(s)
n! s n1
n! s a n1
9
10 11 12
tn(n=1,2,3….)
t e e e
n at
(n=1,2,3….)
at
sinwt coswt
s a 2 w 2
拉氏变换的定义
设函数f(t)满足： 1、f(t)实函数； 2、当t<0时，f(t)=0； 3、当t0时，f(t)的积分 f (t )est dt 在s的某一域内收敛。
0
则函数f(t)的拉普拉氏变换存在，并定义为： s=σ+jω（σ，ω均为实数）
拉氏反变换的定义
F(s)称为函数f(t)的拉普拉氏变换或象函数;
2e t e 2t
t0
例2 求 解
的Laplace1 ( s 2) 2
1 1 1 f (t ) L [ ] L [ ] 2 s 1 ( s 2)
1
e te
t
2t
拉氏逆变换
拉氏逆变换拉氏逆变换，又称为拉普拉斯反变换，是数学中的一种重要变换方法，常用于信号与系统、电路分析、控制理论等领域。
拉氏逆变换可以将频域中的函数转换为时域中的函数，从而帮助我们更好地理解信号的时域特性。
拉氏逆变换的基本定义是：给定一个复变量函数F(s)，如果存在一个复变量函数f(t)，使得拉普拉斯变换L[f(t)] = F(s)，那么f(t)就是F(s)的拉普拉斯逆变换，并记作L^(-1)[F(s)] = f(t)。
在实际应用中，我们通常需要通过已知的拉普拉斯变换求解出对应的拉普拉斯逆变换。
具体而言，我们可以利用拉普拉斯逆变换的一些基本性质和公式进行求解。
我们需要了解一些基本的拉普拉斯逆变换公式。
对于常见的拉普拉斯变换函数，如常数函数1、指数函数e^(-at)、正弦函数sin(ωt)和余弦函数cos(ωt)，我们可以通过查表或直接推导得到它们的逆变换函数。
在实际应用中，我们经常会遇到一些复杂的拉普拉斯变换函数，此时可以利用拉普拉斯逆变换的线性性质、平移性质、频移性质、微分性质和积分性质等进行求解。
对于拉普拉斯变换函数F(s) = G(s)H(s)，其中G(s)和H(s)分别是已知的拉普拉斯变换函数，我们可以利用拉普拉斯逆变换的线性性质得到F(s)的逆变换函数。
对于拉普拉斯变换函数F(s-a)，其中a为常数，我们可以利用拉普拉斯逆变换的平移性质得到F(s-a)的逆变换函数。
对于拉普拉斯变换函数F(s-b)，其中b为常数，我们可以利用拉普拉斯逆变换的频移性质得到F(s-b)的逆变换函数。
对于拉普拉斯变换函数F'(s)，其中F'(s)是F(s)的导数，我们可以利用拉普拉斯逆变换的微分性质得到F'(s)的逆变换函数。
对于拉普拉斯变换函数∫F(s)ds，其中∫F(s)ds是F(s)的积分，我们可以利用拉普拉斯逆变换的积分性质得到∫F(s)ds的逆变换函数。
通过灵活地运用这些性质和公式，我们可以将复杂的拉普拉斯变换函数转化为简单的拉普拉斯逆变换函数，从而求解出函数在时域中的表达式。
拉氏逆变换性质
复习：1.拉氏变换的性质.2. 拉氏变换的公式.讲授新课课题引入: 在实际工作中经常会遇到这样问题,已知象函数F(s)，求它的象原函数f(t)，这时则称f(t)是F(s)的拉氏逆变换，可以记为 L -1[F(s)]＝f(t)在求象原函数,要结合拉氏逆变换性质,通过查表10-1解得结果.拉氏逆变换性质设 )()]([11s F t f L =,)()]([22s F t f L =)()]([s F t f L = 1. 线性性质)()()]()([21211t bf t af s bF s aF L +=+-（a ，b 为常数）2.平移性质 )()]([)]([11t f e s F L e a s F L at at ==---3.延滞性质)()()]([1a t u a t f s F e L at -⨯-=-例1 求下列函数的拉氏逆变换：(1) 31)(+=s s F ； (2) 2)3(1)(-=s s F ； (3)252)(s s s F -= ； (4) 434)(2+-=s s s F 。
解 (1)由表10-1中的4,取3-=a 。
得t e s L t f 31]31[)(--=+= (2)由表10-1中的4，取1,3==n a 。
得t te s L t f 3111])3(1[)(=-=+- (3)由性质1及表10-1中公式2、3得]1[5]1[2]52[)(21121sL s L s s L t f ---+=-= (4) 由性质1及表10-1中7、8得t t s L s s L s s L t f 2sin 232cos 4]42[23]4[4]434[)(212121-=+-+=+-=--- 练习: 习题10.3 (1)说明: 在应用拉氏变换解决实际问题时，经常遇到的函数是有理式，一般先将其分解为部分分式之和，然后再利用拉氏变换表求出像原函数。
例2 求659)(2+++=s s s s F 拉氏逆变换。
拉普拉斯变换及逆变换
第十二章拉普拉斯变换及逆变换拉普拉斯(Laplace)变换是分析和求解常系数线性微分方程的一种简便的方法，而且在自动控制系统的分析和综合中也起着重要的作用。
我们经常应用拉普拉斯变换进行电路的复频域分析。
本章将扼要地介绍拉普拉斯变换（以下简称拉氏变换）的基本概念、主要性质、逆变换以及它在解常系数线性微分方程中的应用。
第一节拉普拉斯变换（3）拉氏变换是将给定的函数通过广义积分转换成一个新的函数，它是一种积分变换。
一般来说，在科学技术中遇到的函数，它的拉氏变换总是存在的。
例12.1求斜坡函数()f t at =（0t ≥，a 为常数）的拉氏变换。
解：0000[]()[]pt ptpt pt a a a L at ate dt td e e e dt p p p +∞+∞+∞---+∞-==-=-+⎰⎰⎰二、单位脉冲函数及其拉氏变换在研究线性电路在脉冲电动势作用后所产生的电流时，要涉及到我们要介绍的脉冲函数，在原来电流为零的电路中，某一瞬时(设为0t =)进入一单位电量的脉冲，现要确定电路上的电流()i t ，以()Q t 表示上述电路中的电量，则 由于电流强度是电量对时间的变化率，即t t Q t t Q dt t dQ t i t ∆∆∆)()(lim)()(0-+==→，所以，当0t ≠时，()0i t =；当0t =时，0000→→→→εεεε，即1)]([=t L δ。
例12.3现有一单位阶跃输入0,()1,t u t t <⎧=⎨≥⎩，求其拉氏变换。
解：00011[()]()1[]pt pt pt L u t u t e dt e dt e p p+∞+∞---+∞===-=⎰⎰，(0)p >。
例12.4求指数函数()at f t e =（a 为常数）的拉氏变换。
解：()001[]atat ptp a t L e e e dt e dt p a+∞+∞---===-⎰⎰，()p a >，即类似可得22[sin ](0)L t p p ωωω=>+；22[cos ](0)pL t p p ωω=>+。
拉氏变换与拉氏反变换
16
n
1 2
e n t sinn 1 2 t
序号
f(t)
F(s)
1
17
1
2
e
n t
sin n 1 2 t 1
2
2
s s 2 n s
2 n
arctan
1 1 1
2
e n t sin n 1 2 t 1 2
二、拉氏反变换及其计算方法
（一）拉氏反变换的定义
已知象函数F(s)，求出与之对应的原函数f(t)就 称为拉氏反变换，计作 L1 F (s) f (t )
L [ F ( s )] f ( t )
1
2 j r j
1
r j
F ( s )e st ds
式中，r为大于F(s)的所有奇异点实部的实常数。 所谓奇异点，即F(s)在该点不解析，也就是F(s) 在该点及其邻域不处处可导。
1 1 1 L1 1 2 tt L1 2 t L 2 ss s
2. 部分分式展开法 (利用逆变化的线性原理)
控制工程中，象函数F(s)通常可以表示有理分式形式
B( s ) bm s m bm 1 s m 1 bm 2 s m 2 b1 s b0 F ( s) A( s ) an s n an1 s n1 an 2 s n 2 a1 s a0
1 s 2
( s pi )( s p j )
Ak An s pk s pn
Br ,1 , Ak ,, An 为实数,称留数
留数的方法可分为下面三种情况研究。
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2015-1-14 信号与系统
K 0 ( s 2) F ( s) s 2
s2 3 7 2 s 2s 5 s 2 5 s2 3 ( s 1 j 2)(s 2) s 2
s2 s 2 例：已知F ( s) 3 ，求f (t ) 2 s 3s 2s
f (t ) (1 2et 2e2t )u(t )
2015-1-14 信号与系统
s 3 5s 2 9 s 7 例：已知F ( s) ，求f (t ) ( s 1)(s 2)
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信号与系统
3.极点有重根
m重根极点对应展开式中的m项分式
设s p1为m重极点 k1m A( s) k11 k12 F ( s) m m 1 B( s) ( s p1 ) ( s p1 ) s p1
3 例：F ( s) , 求f (t ) 3 2 ( s 1) s
3 2 t f (t ) (9e 6te t e 9 3t )u (t ) 2
t t
2理求解
留数定理：若函数g(s)在闭合区域中除有限个奇点外 处处解析，则有：
g ( s)ds 2j [ g ( s)的留数]
c
1 1 j st f (t ) F ( s ) e ds j 2j 1
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信号与系统
1.极点为实数且无重根
A( s) A( s) F ( s) B( s) ( s p1 )(s p2 )...(s pn ) kn k1 k2 ... s p1 s p2 s pn 系数的求解方法：k j ( s p j ) F ( s) |s p j
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信号与系统
2s 2 3s 3 例：F ( s) , 用留数法求 f (t ) ( s 1)(s 2)(s 3)
解： r1 [(s 1) F ( s)e st ] |s 1 e t
r2 [(s 2) F ( s)e ] |s 2 5e
先求解系数k1然后在利用待定系数法确定： k2和k3
2 2 4 5 s2 5 ( s 1) 5 2 7 1 7 1 2 5 s 2 ( s 1) 4 5 s 2 ( s 1) 2 4
f (t )
7 2 t 2 t 4 e e cos( 2t )u (t ) e t sin( 2t )u (t ) 5 5 5
t
(t 0)
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信号与系统
四、求解过程中注意灵活利用性质求解
se 例： (1) F ( s ) 2 s 5s 6 1 (2) F ( s ) 2 2 ( s 3)
1 (3) F ( s ) ln s s
5 s
s (4) F ( s ) s 1 e
A( p1 ) k1 ( s j ) F ( s ) |s j 2 jB1 ( p1 ) A( p1*) k 2 ( s j ) F ( s ) | s j k1 * 2 jB1 ( p1*)
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4.4 拉普拉斯逆变换
利用拉普拉斯变换法分析连续系统时，最后都需要 求象函数的逆变换，得到信号的时域形式。因此拉普拉 斯逆变换在求解系统相应及系统分析中是非常重要的一 个环节。要求要熟练掌握。
1 j st f (t ) F ( s)e ds 2j j
拉普拉斯逆变换可以按照逆变换的定义式进行求 解（留数法），实际中也可以采用其他一些简便的方 法求解。
设k1 c jd , 则k2 c jd c jd c jd F ( s) s j s j
反变换式中会出现振荡的形式：
f (t ) k1e( j )t k2 e( j )t 2e t [c cos t d sin t ]
实际中出现共轭极点时也可以采用如下展开法：
设k1 c jd , 则k2 c jd c jd c jd F ( s) s j s j A1s A2 2 2 (s )
利用待定系数法确定系 数A1和A2
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A B
1 st F ( s ) e ds 2j c Res[F ( s)e ]
st
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C
留数求解公式：
pi为一阶极点：ri ( s pi ) F ( s )e st |s pi 1 d k 1 k st pi为k阶极点：ri [( s p ) F ( s ) e ] | s pi i k 1 (k 1)! ds
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一、查表法
一些典型信号的逆变换可以借助于附表进行查询得到。
s 2 3s 1 (1) F ( s) s 1
1 解：F ( s) s 2 s 1 f (t ) ' (t ) 2 (t ) e t (t 0)
2s 2 9s 18 (2) F ( s) 2 s 4s 8
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作业：
4-4: (4)(8)(12)(14)(16)(19)(20) 4-5
预习4-5 4-6 节
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例题求解
例：求下示函数的逆变 换 s2 3 F ( s) 2 ( s 2s 5)(s 2)
s2 3 解：F ( s) [(s 1) 2 4](s 2) s2 3 ( s 1 j 2)(s 1 j 2)(s 2)
f (t ) ILTF (s) 2 (t ) e2t cos2t u(t )
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二、部分分式分解法
（要求熟练掌握的一种方法）
原函数的象函数一般都是有理分式的形式：
A(s) am s am1s ... a1s a0 F ( s) B( s ) bn s n bn1s n1 ... b1s b0
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例：求下示函数的逆变 换 s2 3 F ( s) 2 ( s 2s 5)(s 2)
7 2t 2 t 1 f (t ) e 2e cos(2t ) sin(2t ) u (t ) 5 5 5
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信号与系统
st 2t
r3 [(s 3) F ( s)e st ] |s 3 6e 3t
f (t ) e 5e
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t
2t
6e (t 0)
3t
信号与系统
s2 例：已知F ( s) , 用留数定理求f (t ) 2 s( s 1)
s 2 st e |s 0 2 解：r1 2 ( s 1) d s 2 st t r2 e ( 2 t )e ds s s 1 f (t ) 2 (2 t )e
f (t ) (t ) 2 (t ) (2e e )u(t )
t 2t
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信号与系统
2.极点为共轭复根
设共轭复根为：p1, 2 j A( s ) 即：F ( s ) ( s j )(s j ) B1 ( s ) k1 k2 A1 ( s ) s j s j B1 ( s )
2 s 3 重新求解上例： F ( s ) ( s 2 2s 5)(s 2) k 2 s k3 k1 2 s 2 s 2s 5
先求解系数k1然后在利用待定系数法确定： k2和k3
7 2 t 2 t 4 t f (t ) e e cos( 2t )u (t ) e sin( 2t )u (t ) 5 5 5
K1 ( s 1 j 2) F ( s) s 2 1 j2 5
7 2 1 f (t ) e 2t 2e t cos(2t ) sin(2t ) u (t ) 5 5 5
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2 s 3 重新求解上例： F ( s ) ( s 2 2s 5)(s 2) k 2 s k3 k1 2 s 2 s 2s 5
m
m 1
系数ai 和bi 都为实数，m和n是正整数； 通常情况下： bn 1 A(s) 0 z1 , z2 ...zm 零点
B(s) 0 p1 , p2 ...pn 极点
2015-1-14 信号与系统
对有理真分式可以进行部分分式展开，形成多 个简单分式的和；
对有理假分式可以首先进行化简，化作为： 有理假分式＝ P(S)＋真分式 对多项式P(S)直接进行逆变换，对真分式进行部分分 式展开。 对有理真分式进行部分分式展开的按照极点的 不同特点，有不同的展开方法。