机械优化设计大作业(长江大学)
机械优化设计论文(基于MATLAB工具箱的机械优化设计)
基于MATLAB工具箱的机械优化设计长江大学机械工程学院机械11005班刘刚摘要：机械优化设计是一种非常重要的现代设计方法，能从众多的设计方案中找出最佳方案，从而大大提高设计效率和质量。
本文系统介绍了机械优化设计的研究内容及常规数学模型建立的方法，同时本文通过应用实例列举出了MATLAB 在工程上的应用。
关键词：机械优化设计；应用实例；MATLAB工具箱；优化目标优化设计是20世纪60年代随计算机技术发展起来的一门新学科, 是构成和推进现代设计方法产生与发展的重要内容。
机械优化设计是综合性和实用性都很强的理论和技术, 为机械设计提供了一种可靠、高效的科学设计方法, 使设计者由被动地分析、校核进入主动设计, 能节约原材料, 降低成本, 缩短设计周期, 提高设计效率和水平, 提升企业竞争力、经济效益与社会效益。
国内外相关学者和科研人员对优化设计理论方法及其应用研究十分重视, 并开展了大量工作, 其基本理论和求解手段已逐渐成熟。
国内优化设计起步较晚, 但在众多学者和科研人员的不懈努力下, 机械优化设计发展迅猛, 在理论上和工程应用中都取得了很大进步和丰硕成果, 但与国外先进优化技术相比还存在一定差距, 在实际工程中发挥效益的优化设计方案或设计结果所占比例不大。
计算机等辅助设备性能的提高、科技与市场的双重驱动, 使得优化技术在机械设计和制造中的应用得到了长足发展, 遗传算法、神经网络、粒子群法等智能优化方法也在优化设计中得到了成功应用。
目前, 优化设计已成为航空航天、汽车制造等很多行业生产过程的一个必须且至关重要的环节。
一、机械优化设计研究内容概述机械优化设计是一种现代、科学的设计方法, 集思考、绘图、计算、实验于一体, 其结果不仅“可行”, 而且“最优”。
该“最优”是相对的, 随着科技的发展以及设计条件的改变, 最优标准也将发生变化。
优化设计反映了人们对客观世界认识的深化, 要求人们根据事物的客观规律, 在一定的物质基和技术条件下充分发挥人的主观能动性, 得出最优的设计方案。
机械优化设计实例
机械优化设计作业一、优化设计问题的提出预制一无盖水槽，现有一块长为4m，宽为3m的长方形铁板作为原材料，想在这块铁板的四个角处剪去相等的正方形以制成无盖水槽，问如何剪法使水槽的底面积最大？二、建立问题的数学模型为了建成此无盖水槽，可设在这块铁板的四个角处剪去相等的正方形的边长为X,所建造水槽的底面积为S，分析问题有次问题变成在约束条件：X≥04-2X≥03-2X≥0限制下,求目标函数：S（X）=（4-2X）(3-2X)=4-14X+12的最大值。
由此可得此问题的数学模型为：Min S（X）=4约束条件：（ =-X ≤0 （ = -（4-2X ）≤0（ =-（3-2X ）≤0 算法为黄金分割法。
四、外推法确定最优解的搜索区间用外推法确定函数S （X ）=4 索区间。
设初始点 ， =S( )=12; = +h=0+1=1， =S( )=2;比较 和 ，因为 < h=2h=2x1=2， = +h=1+2=3, 比较 和 ，因为 > ,面，故搜索区间可定为[a,b]=[1，3]。
五、算法框图六、算法程序#include <math.h>#include <stdio.h>double obfunc(double x){double ff;ff=4*X*X-14*X+12;return(ff);}void jts(double x0,double h0,double s[],int n,double a[],double b[]) {int i;double x[3],h,f1,f2,f3;h=h0;for(i=0;i<n;i++)x[0]=x0;f1=obfunc(x[0]);for(i=0;i<n;i++) x[1]=x[0]+h*s[i];f2=obfunc(x[1]);if(f2>=f1){h=-h0;for(i=0;i<n;i++)x[2]=x[0];f3=f1;for(i=0;i<n;i++){x[0]=x[1];x[1]=x[2];}f1=f2;f2=f3;}for(;;){h=2.0*h;for(i=0;i<n;i++)x[2]=x[1]+h*s[i];f3=obfunc(x[2]);if(f2<f3)break;else{for(i=0;i<n;i++){x[0]=x[1];x[1]=x[2];}f1=f2;f2=f3;}}if(h<0)for(i=0;i<n;i++){a[i]=x[2];b[i]=x[0];}elsefor(i=0;i<n;i++){a[i]=x[0];b[i]=x[2];}printf("%4d",n);}double gold(double a[],double b[],double eps,int n,double xx) double f1,f2,ff,q,w;double x[3];for(i=0;i<n;i++){x[0]=a[i]+0.618*(b[i]-a[i]);x[1]=a[i]+0.382*(b[i]-a[i]);}f1=obfunc(x[0]); f2=obfunc(x[1]);do{if(f1>f2){for(i=0;i<n;i++){b[i]=x[0];x[0]=x[1];}f1=f2;for(i=0;i<n;i++)x[1]=a[i]+0.382*(b[i]-a[i]);f2=obfunc(x[1]);}else{for(i=0;i<n;i++){a[i]=x[1];x[1]=x[0];}f2=f1;for(i=0;i<n;i++)x[0]=a[i]+0.618*(b[i]-a[i]);f1=obfunc(x[0]);}q=0;for(i=0;i<n;i++)q=q+(b[i]-a[i])*(b[i]-a[i]);w=sqrt(q);}while(w>eps);for(i=0;i<n;i++)xx=0.5*(a[i]+b[i]);ff=obfunc(xx);printf("xx=ff=%5.2f,,,,%5.2f",xx,ff);return(ff);}void main(){int n=1;double a[1],b[1],xx;double s[]={1},x0=0;double eps1=0.001,h0=0.1;jts(x0,h0,s,n,a,b);gold(a,b,eps1,n,xx);七、程序运行结果与分析（1）程序运行结果（截屏）（2）结果分析、对与函数S（X）=（4-2X）(3-2X)=4-14X+12，令(X)=8X-14=0可解的X=1.75，说明程序运行结果正确。
《机械优化设计》大作业讲解学习
高等流体力学班级：机设15学硕班学号： 2015200813 姓名：张湘楠授课老师：毕新胜日期： 2016年7月 1日一、研究报告内容：1、λ＝0.618的证明、一维搜索程序作业；2、单位矩阵程序作业；3、连杆机构问题＋自行选择小型机械设计问题或其他工程优化问题；（1）分析优化对象，根据设计问题的要求，选择设计变量，确立约束条件，建立目标函数，建立优化设计的数学模型并编制问题程序；（2）选择适当的优化方法，简述方法原理，进行优化计算；（3）进行结果分析，并加以说明。
4、写出课程实践心得体会，附列程序文本。
5、为响应学校2014年度教学工作会议的改革要求，探索新的课程考核评价方法，特探索性设立一开放式考核项目，占总成绩的5%。
试用您自己认为合适的方式（书面）表达您在本门课程学习方面的努力、进步与收获。
（考评将重点关注您的独创性、简洁性与可验证性）。
二、研究报告要求1、报告命名规则：学号－姓名－《机械优化设计》课程实践报告.doc2、报告提交邮址：weirongw@（收到回复，可视为提交成功）。
追求：问题的工程性，格式的完美性，报告的完整性。
不追求：问题的复杂性，方法的惟一性。
评判准则：独一是好，先交为好；切勿拷贝。
目录：λ＝0.618的证明、一维搜索程序作业① 关于618.0=λ的证明……………………………………………………4 ② 一维搜索的作业采用matlab 进行编程…………………………………………… 5 采用C 语言进行编程……………………………………………… 7 单位矩阵程序作业① 采用matlab 的编程………………………………………………… 9 ② 采用c 语言进行编程………………………………………………… 9 机械优化工程实例① 连杆机构...........................................................................11 ② 自选机构...........................................................................16 课程实践心得.............................................................................. 20 附列程序文本.............................................................................. 21 进步，努力，建议 (25)一、λ＝0.618的证明、一维搜索程序作业①关于618.0=λ的证明黄金分割法要求插入点1α，2α的位置相对于区间],[b a 两端具有对称性，即)(1a b b --=λα)(2a b a -+=λα其中λ为待定常数。
基于MATLAB优化工具箱的机械优化设计
Optimiza tion t erminated: first -order optimality measure less than options.TolFun
and maximum constraint violation is less than options.TolCon. Active inequalities（to within options.TolCon = 1e-006）:
长江大学机械优化设计大作业
长江大学机械工程学院机械优化设计大作业要求根据目标函数和约束条件采用适合的MATLAB 优化函数求解优化问题。
问答题要求：（1）对该问题进行分析，写出该问题的优化模型（包括设计变量、目标函数、约束条件）；（2）将优化模型转化为matlab 程序（m 文件）； （3）利用matlab 软件求解该优化问题，写出最优解。
（4）作业打印打上交时，若发现同学作业雷同或拷贝，则无本课程成绩。
一、1、⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤-≤+≤+-⋅--=0,31232424min 2121212121x x x x x x x x t s x x f 2、72220:m in 321321≤++≤⋅-=x x x t s x x x f3、022:)1()2(m in 212221=-+⋅-+-=x x t s x x f4、2221)3(m in x x f +-=⎪⎩⎪⎨⎧≥-≥≥--⋅05.000412221x x x x t s5、求函数42121122(,)32(15)f x x x x x x =+++的极小点。
6、求表面积为2150m 的体积最大的长方体体积。
7、某车间生产甲（如轴）、乙（如齿轮）两种产品。
生产甲种产品每件需要用材料9㎏，3个工时、4kw 电，可获利60元；生产乙种产品每件需要用材料4㎏、10个工时， 5kw 电,可获利120元。
若每天能供应材料360㎏，有300个工时，能供电200kw 电，问每天生产甲、乙两种产品各多少件，才能够获得最大的利润。
8、已知：轴一端作用载荷 p=1000N/ cm ，扭矩 M=100N·m ；轴长不得小于8cm ；材料的许用弯曲应力 [σw]=120MPa ，许用扭剪应力 [τ]= 80MPa ，许用挠度 [f] = 0.01cm ；密度[ρ] = 7.8t /m ，弹性模量E=2×105MPa 。
要求：设计销轴，在满足上述条件的同时，轴的质量应为最轻。
研究生《工程优化设计》大作业,包含小型机械的优化!绝对的原创!
工程优化设计计算机编程实验报告一 、优化设计方法基本原理优化设计就是：根据给定的设计要求和现有的技术条件，应用专业理论和优化方法，在电子计算机上从满足给定的设计要求的许多可行方案中，按照给定的目标自动地选出最优的设计方案。
优化过程是：寻找约束空间下给定函数取极大值（以max 表示)或极小(以min 表示)的过程，优化方法也称数学规划。
现代优化设计方法就是：在计算机上进行的半自动或自动优化，以选出在现有工程条件下的最佳设计方案的一种现代设计方法。
机械优化设计就是：把机械设计与优化设计理论及方法相结合，借助电子计算机，自动寻找实现预期目标的最优设计方案和最佳设计参数。
1.一维优化方法求一元函数 f(x)的极小点和极小值问题就是一维最优化问题。
求解一维优化问题的方法称为一维优化方法。
实际优化问题中一维问题是很少的，大多数问题都是多维的，但一维问题是优化中最简单、最基本的方法，它是解决多维问题的基础。
一维优化方法分为两类：一类是直接法：按某种规律取若干点计算其函数值，然后通过函数值的直接比较来最后确定最优解。
确定初始区间的进退法、黄金分割法等；一类是间接法：要利用函数的导数，故称解析法，牛顿法和二次插值法。
本次实验用到黄金分割法和牛顿法，故重点介绍这两种方法。
1.1黄金分割法黄金分割法是通过不断缩短单峰区间的长度来搜索极小点的一种有效方法，它是搜索区间按比例λ缩小，通过计算和比较()f x 的函数值，以确定取舍区间，因按黄金分割原理：0.618λ=，故此法又称为0.618法。
在搜索区间[a,b]中取两点c 、d ，然后比较c 、d 两点的函数()f c 和()f d ，有三种情况：（1）如()()f c f d >，根据函数的单峰性，极值点必在[,]c b 区间。
（2）如()()f c f d <，极值点必在[,]a d 区间。
（3）如()()f c f d =，极值点在[,]c d 区间。
《机械优化设计》大作业
1、报告命名规则：学号－姓名－《机械优化设计》课程实践报告.doc
2、报告提交邮址：weirongw@（收到回复，可视为提交成功）。
追 求：问题的工程性，格式的完美性，报告的完整性。
不 追 求：问题的复杂性，方法的惟一性。
评判准则：独一是好，先交为好；切勿拷贝。
printf(“区间为(%lf,%lf),精度为%lf\n”,a,b,size);
printf(“序号\t a1\t\t a2\t\t f(a1)\t\t f(a2)\n”);
for(i=0;i<64;i++)
printf(“-“);
printf(“\n”);
i=0;
while((b-a)>size)/*****用精度控制循环次数*****/
如果要计算y=cosx；黄金分割法，则需要将图所示的f脚本中的函数写成如②所示
fun函数表示对matlab的主程序语言。
函数NO.2运算结果：
函数NO.1运算结果：
（2）采用C语言进行编程
#include<stdio.h>
#defineK 0.618
doublef(double);/*****函数值计算函数声明*****/
c1=b-r*(b-a);c2=a+r*(b-a);
y1=f(c1);y2=f(c2);
while (abs((b-a)/b)>e)&&(abs((y2-y1)/y2)>e)
if y1>=y2
a=c1;c1=c2;y1=y2;
c2=a+r*(b-a);y2=f(c2);
else
b=c2;c2=c1;y2=y1;
《机械优化设计》大作业
for(i=0;i<64;i++)
printf(“-“);
printf(“\n”);
i=0;
while((b-a)>size)/*****用精度控制循环次数*****/
{
i++;
a1=b-K*(b-a);/*****按0.618法插入两点*****/
a2=a+K*(b-a);
printf(“%2d:\t%f\ta%f\t%f\t%f\n”,I,a1,a2,f(a1),f(a2));
/*****输出每次计算后a1,a2,f(a1),f(a2)的值*****/
if(f(a1)>=f(a2))
a=a1;
else
b=a2;
}
printf(“所求极小值点为:x=%lf\t极小值f(x)=%f\n”,a,f(b));
（2）选择适当的优化方法，简述方法原理，进行优化计算；
（3）进行结果分析，并加以说明。
4、写出课程实践心得体会，附列程序文本。
5、为响应学校2014年度教学工作会议的改革要求，探索新的课程考核评价方法，特探索性设立一开放式考核项目，占总成绩的5%。
试用您自己认为合适的方式（书面）表达您在本门课程学习方面的努力、进步与收获。（考评将重点关注您的独创性、简洁性与可验证性）。
end
end
x=0.5*(a+b);
end
对f函数的确立
10function y=f(x)
y=(x-2)^2+3;
end
11function y=f(x)
y=cosx
机械优化设计作业
合肥工业大学《机械优化设计》课程实践研究报告班级：机设12-6班学号： 2012216281姓名：丁雷鸣授课老师：王卫荣日期： 2015年 11月 10 日目录一、 =0.618的证明 (1)二、一维搜索程序作业 (1)（1）例1程序文本 (1)（2）例1输出结果截图 (2)（1）例2程序文本 (2)（2）例2输出结果截图 (3)三、单位矩阵程序作业 (4)（1）程序文本 (4)（2）输出结果截图 (4)四、连杆机构问题 (6)（1）目标函数 (6)（2）约束条件 (7)（3）选择方法 (7)（4）程序文本 (7)（5）数据输入截图 (8)（6）输出结果 (9)五、自行选择小型机械设计问题或其他工程优化问题 (10)（1）设计变量 (10)（2）目标函数 (10)（3）约束条件 (10)（4）程序文本 (10)（5）数据输入截图 (11)（6）输出数据 (11)六、机械优化设计课程实践心得体会 (13)一、λ=0.618的证明在实际计算中，最常用的一维搜索方法是黄金分割法。
黄金分割法是建立在区间消去法原理基础上的试探方法，即在搜索区间[]b a ,内适当插入两点α1，α2。
并且计算其函数值。
黄金分割法要求插入点α1，α2的位置相对于区间[]b a ,两端点具有对称性，即)(1a b b --=λα、)(2a b a -+=λα、其中λ为待定常数。
除对称要求外，黄金分割法还要求保留下来的区间内再再插入一点，所形成的区间新三段与原来的区间三段具有相同的比例分布。
设原区间[]b a ,长度为1，保留下来的区间[]α2,a 长度为λ，区间缩短率为λ。
为了保持想相同的比例分布，新插入点α3应该在)1(λλ-位置上，α1在原区间的1-λ位置应该相当于在保留区间的λ2位置。
故有λλ21=-012=-+λλ取方程正数解，得618.0215≈-=λ 二、一维搜索程序作业例1、a=0,b=π2,f(x)=cosx （1）例1程序文本#include<stdio.h> include<math.h> void main (){float A,B,C=0.618,aa[3],y[3],D; scanf(“%f,%f,%f ”,&A,&B,&D): aa[1]=B-C*(B-A); aa[2]=A+C*(B-A); y[1]=cos(aa[1]); y[2]=cos(aa[2]); do{if （y[1]>y[2]）{A=aa[1];aa[1]=aa[2];y[1]=y[2]; aa[2]=A+C*(B-A); }Else{B=aa[2];aa[2]=aa[1];y[2]=y[1];aa[1]=B-C*(B-A);y[1]=cos(aa[1]);}}While(fabs(B-A)/B>D);aa[0]=(A+B)/2;y[0]=cos(aa[0]);printf(“A=%f\n”,aa[0]);printf(“y=%f\n”,y[0]);}（2）例1输出结果截图：输入a=0,b=2 ,精度d=0.000001,输出极小值点和函数极小值如下：例2、a=0,b=10,f(x)=(x-2)2+3（3）例2、程序文本#include<stdio.h>#include<math.h>void main(){ float a,b,c=0.618,aa[3],y[3],d;scanf("%f,%f,%f",&a,&b,&d);aa[1]=b-c*(b-a);aa[2]=a+c*(b-a);y[1]=(aa[1]-2)*(aa[1]-2)+3;y[2]=(aa[2]-2)*(aa[2]-2)+3;do{ if(y[1]>y[2]){ a=aa[1];aa[1]=aa[2];y[1]=y[2];aa[2]=a+c*(b-a);y[2]=(aa[2]-2)*(aa[2]-2)+3;}else{ b=aa[2];aa[2]=aa[1];y[2]=y[1];aa[1]=b-c*(b-a);y[1]=(aa[1]-2)*(aa[1]-2)+3;}}while(fabs((b-a)/b)>d);aa[0]=(a+b)/2;y[0]=(aa[0]-2)*(aa[0]-2)+3;printf("a*=%f\n",aa[0]);printf("y=%f\n",y[0]);}（4）例2输出结果截图：输入a=0,b=10,精度d=0.000001，输入极小值点和函数极小值如下：三、单位矩阵程序作业作业：编写生成单位矩阵的程序。
《机械优化设计》习题及答案
机械优化设计习题及参考答案1-1.简述优化设计问题数学模型的表达形式。
答：优化问题的数学模型是实际优化设计问题的数学抽象。
在明确设计变量、约束条件、目标函数之后，优化设计问题就可以表示成一般数学形式。
求设计变量向量[]12Tn x x x x =L 使 ()min f x → 且满足约束条件()0(1,2,)k h x k l ==L ()0(1,2,)j g x j m ≤=L2-1.何谓函数的梯度？梯度对优化设计有何意义？答：二元函数f(x 1,x 2)在x 0点处的方向导数的表达式可以改写成下面的形式：⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂∂=∂∂+∂∂=∂∂2cos 1cos 212cos 21cos 1θθθθxo x f x f xo x f xo x f xo d fρ令xo Tx f x f x f x fx f ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂∂=∂∂∂∂=∇21]21[)0(， 则称它为函数f （x 1，x 2）在x 0点处的梯度。
（1）梯度方向是函数值变化最快方向，梯度模是函数变化率的最大值。
（2）梯度与切线方向d 垂直，从而推得梯度方向为等值面的法线方向。
梯度)0(x f ∇方向为函数变化率最大方向，也就是最速上升方向。
负梯度-)0(x f ∇方向为函数变化率最小方向，即最速下降方向。
2-2.求二元函数f （x 1，x 2）=2x 12+x 22-2x 1+x 2在T x ]0,0[0=处函数变化率最大的方向和数值。
解：由于函数变化率最大的方向就是梯度的方向，这里用单位向量p表示，函数变化率最大和数值时梯度的模)0(x f ∇。
求f （x1，x2）在x0点处的梯度方向和数值，计算如下：()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡∂∂∂∂=∇120122214210x x x x f x f x f 2221)0(⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=∇x f x f x f =5⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=∇∇=5152512)0()0(x f x f p ϖ2-3.试求目标函数()2221212143,x x x x x x f +-=在点X 0=[1,0]T 处的最速下降方向，并求沿着该方向移动一个单位长度后新点的目标函数值。
机械优化设计研究生大作业
第一题1.1 题目求函数f(X）=x14-2x12x2-2x1x2+3x12+4x22+4。
5x1-4x2+5的极小值，初始点为X(0）=[—2，2］T，误差ε不大于0。
001。
注：此问题为无约束非线性规划问题的求解。
1.2 建立数学模型Find x1 ， x2min f(X)=x14—2x12x2—2x1x2+3x12+4x22+4。
5x1—4x2+5初始点 X(0)=［-2，2]T, ε≤0.0011。
3 运行结果通过牛顿法迭代5次可得出结果，当x1=—0.65083910731569，x2=0。
40135662524523时，目标函数最优值fmin=2。
97849714338108,且满足0.01ξ≤. 1。
4 迭代曲线1。
5 检验结果用Matlab自带优化程序检验程序为:〉〉 x0=［-2，2］；［x，fval]=fminsearch（'x（1)^4—5*x(1）^2*x(2）—2＊x（1）*x（2）+4＊x(1)^2+6＊x(2)^2+4。
5*x（1)—4＊x(2）+5'，x0)x =—0.65086658687466 0.40137142333985fval =2.97849714628600经检验用牛顿法进行迭代优化结果是正确的，优化结果达到精度要求，ε≤0。
001.1.6 讨论(1）由以上迭代曲线可知，牛顿法迭代收敛速度很快,本优化经过迭代3次后目标函数值趋于平稳。
也可采用黄金分割法，变尺度法等其他方法优化。
由于本题比较简单,不必采用变尺度法来优化。
（2）采用Matlab编程解决了求导和计算海森阵比较复杂的难题，编程简单方便。
1。
7 Matlab源程序function ZY32format longsyms x1 x2 %定义符号变量x1，x2f=x1^4-2＊x1^2＊x2—5*x1*x2+6＊x1^2+7*x2^2+4。
5＊x1-4＊x2+5 ％定义函数fdf=[diff（f，x1);diff（f，x2)］％diff（f,x1）用于对函数f中变量x1求偏导％diff(f,x2）用于对函数f中变量x2求偏导f1=diff(f，x1，2); %diff(f，x1，2)用于对函数f中变量x1求而二次偏导f2=diff(diff（f,x1)，x2）;％diff(diff（f,x1），x2)用于对函数f中变量下x1，x2求偏导f3=diff(diff(f,x2)，x1）;f4=diff（f，x2,2); %diff（f，x2,2）用于对函数f中变量x2求而二次偏导ddf=［f1，f2；f3，f4]; ％求函数f的海森阵x1=-2；x2=2;td=eval（df); ％计算梯度初值hs=eval（ddf); %计算海森阵初值%eval命令用于将符号变量转化为数值变量i=0；eps=0。
《机械优化设计》试卷及答案,DOC
《机械优化设计》复习题及答案一、填空题1、用最速下降法求f(X)=100(x 2-x 12)2+(1-x 1)2的最优解时，设X （0）＝[-0.5,0.5]T ，第一步迭代的搜索方向为[-47;-50]。
2、机械优化设计采用数学规划法,其核心一是建立搜索方向二是计算最佳步长因子。
3、当优化问题是__凸规划______的情况下，任何局部最优解就是全域最优解。
4567，则89点处取得极小值，其必要条件是梯1011间121314121212++215、存在矩阵H ，向量d 1，向量d 2，当满足(d1)TGd2=0，向量d 1和向量d 2是关于H 共轭。
16、采用外点法求解约束优化问题时，将约束优化问题转化为外点形式时引入的惩罚因子r 数列，具有由小到大趋于无穷特点。
17、采用数学规划法求解多元函数极值点时，根据迭代公式需要进行一维搜索，即求。
二、选择题1、下面方法需要求海赛矩阵。
A、最速下降法B、共轭梯度法C、牛顿型法D、DFP法2、对于约束问题)，1D[a，b]15、_________不是优化设计问题数学模型的基本要素。
A设计变量B约束条件C目标函数D最佳步长6、变尺度法的迭代公式为x k+1=x k -αk H k ▽f(x k )，下列不属于H k 必须满足的条件的是________。
A.H k 之间有简单的迭代形式B.拟牛顿条件C.与海塞矩阵正交D.对称正定7、函数)(X f 在某点的梯度方向为函数在该点的。
10、下列关于最常用的一维搜索试探方法——黄金分割法的叙述，错误的是，假设要求在区间[a ，b]插入两点α1、α2，且α1<α2。
A 、其缩短率为0.618B 、α1=b-λ（b-a ）C 、α1=a+λ（b-a ）D 、在该方法中缩短搜索区间采用的是外推法。
11、与梯度成锐角的方向为函数值上升方向，与负梯度成锐角的方向为函数值下降方向，与梯度成直角的方向为函数值不变方向。
A、上升B、下降C、不变D、为零12、二维目标函数的无约束极小点就是。
[工学]机械优化设计作业
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(t ) (k )
(k )
t S ) f ( X
(k )
(t )
(k )
) f ( X
(k )
(k )
T
(k ) ) S t
T
f f ( X
) f ( X ) t f ( X
(k ) ) S
由此可得试验步长 t 的计算公式为
(3)将位于非可行域的试验点 X (t ) 调整到约束面上。如下图所示 (t ) g2 ( X (t ) ) 0 的位置，显然应将 ，若试验点 X (t ) 位于 g1 ( X ) 0 ， (t ) (t ) (t ) (t ) 试验点 X 调整到 g1 ( X ) 0，因为对于试验点 X 来讲，g1 ( X ) (t ) g ( X ) 大。苦设 gk ( X (t ) ) 为约束违反量最大的 的约束违反量比 2 (t ) 约束条件，则 gk ( X ) 应满足
对于具有非线性约束函数的非线性规划问题，沿约束面的切线 方向进行搜索时，新点 X 又将进入非可行域，如下图所示，此时， X 须将进入非可行域的新点 设法调整到约束面上，然后才能进行 下一次迭代。解决这个问题的办法是先规定允许进入非可行域的 “深度”，即建立约束容差 的边界，然后沿目标函数的梯度方 ) g ( X ) 向 f ( X 或起作用约束函数的负梯度方向 ，将新点返回 到约束面上，其计算公式为
3．梯度投影法 (k ) (k ) f ( X )不满足可行条件时 当 X 点目标函数的负梯度方向 (k ) ，可将 f ( X ) 方向投影到约束面(或约束面的交集)上，得到 投影向量 S ( k ) ，如下图所示，显然投影向量满足方向的可行和下 降条件。
梯度投影法就是取该方向作为本次迭代的可行方向，其计算公 式为 (k )
机械优化设计大作业(长江大学)
机械优化设计大作业姓名：**班级：机械11005班序号：11目录第一题.........................................................................................1-4第二题........................................................................................4-5第三题........................................................................................5-7第四题........................................................................................8-10 第五题.......................................................................................10-11 心得体会...................................................................................11-13 草稿....................................................................... ....14-181.⎪⎩⎪⎨⎧≥=++≥++⋅++=0,20521532min 21321321321x x x x x x x x t s x x x f解法一：将可行域化为对应的函数的标准形式：-x 1-2x 2-3x 3≤-15s.t 2x 1+x 2+5x 3=20x 1,x 2≥0程序清单如下： f=[1,1,1]; A=[-1,-2,-3]; Aeq=[2,1,5]; b=[-15]; beq=[20]; lbnd=[0,0];[x,minf]=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lbnd,[]) 程序运行结果整理： x 1=0.0000 x 2=2.1429 x 3=3.5714 minf=5.7143解法二：构造新的函数求解 由2x 1+x 2+5x 3=20可知x 3=3(20−x 2−2x 1)5所以f= x 1+x 2+x 3= x 1+x 2+3(20−x 2−2x 1)5=﹣15x 1+25x 2+4令F=5(f-4)=3x 1+4 x 2，则可行域可化为：-x 1-2x 2-3x 3≤-15 x 1-7x 2≤-15s.t 2x 1+x 2+5x 3=20 s.tx 1,x 2≥0 x 1,x 2≥0 所以欲求minf 即求minF 程序清单如下： f=[3,4]; A=[1,-7]; b=[-15]; lbnd=[0,0];[x,minF]=linprog(f,A,b,[],[],lbnd,[]) 程序运行结果整理： x 1=0.0000; x 2=2.1429 minF=8.5714 因此minf=F5+4=8.57145+4=5.7143解法三：将解法二的可行域转化x 1-7x 2≤-15 x 1-7x 2≤-15s.t - x 1≤0x 1,x 2≥0 - x 2≤0此时不等式的约束关系可表示为：1 -7 x 1 -15 -1 0 ≤ 0 0 -1 x2 0程序清单如下： f=[3,4];A=[1,-7;-1,0;0,-1]; b=[-15,0,0];[x,minF]=linprog(f,A,b) 程序运行结果整理： x 1=0.0000 x 2=2.1429 minF=8.5714 因此minf=F5+4=8.57145+4=5.7143注：Ⅰ.由以上三种方法的运行结果可知，三种方法均可行。
机械优化设计大作业
一、问题描述1.1结构特点(1)体积小、重量轻、结构紧凑、传递功率大、承载能力高；(2传)动效率高，工作高；(3)传动比大。
1.2用途和使用条件某行星齿轮减速器主要用于石油钻采设备的减速，其高速轴转速为1300r/min；工作环境温度为-20°C〜60°C,可正、反两向运转。
按该减速器最小体积准则，确定行星减速器的主要参数。
二、分析传动比u=4・64,输入扭矩T=1175・4N・m,齿轮材料均选用38SiMnMo钢，表面淬火硬度HRC45〜55,行星轮个数为3。
要求传动比相对误差A u<0.02。
弹性影响系数Z E=189.8MPa i/2；载荷系数k=1.05；齿轮接触疲劳强度极限［°］H=1250MPa；齿轮弯曲疲劳强度极限［。
］F=1000MPa；齿轮的齿形系数Y Fa=2・97；应力校正系数Y Sa=1.52；小齿轮齿数z取值范围17--25；模数m取值范围2—6。
注：优化目标为太阳轮齿数、齿宽和模数，初始点[24,52,5]T三、数学建模建立数学模型见图1，即用数学语言来描述最优化问题，模型中的数学关系式反映了最优化问题所要达到的目标和各种约束条件。
3.1设计变量的确定影响行星齿轮减速器体积的独立参数为中心轮齿数、齿宽、模数及行星齿轮的个数,将他们列为设计变量，即：x=[xxxx]T=[zbmc]T[1]12341式中：Z]_太阳轮齿数；b—齿宽（mm）；m一模数（mm）;行星轮的个数。
通常情况下，行星轮个数根据机构类型以事先选定，由已知条件c=3。
这样，设计变量为：x=[xxx]T=[Z bm】T[i]12313.2目标函数的确定为了方便，行星齿轮减速器的重量可取太阳轮和3个行星轮体积之和来代替，即：V=n/4（d2+Cd2）b12式中：d「-太阳轮1的分度圆直径，mm；d2--行星轮2的分度圆直径，mm。
将d=mzd=mz，z=z（u—2）/2代入（3）式整理，目标函11，2221数则为：F(x)=0.19635m2z2b[4+(u－2)2c][1]式中U--减速器传动比；C--行星轮个数由已知条件c=3,u=4.64，因此目标函数可简化为：F(x)=4.891x2x2x3123.3约束条件的建立3.3.1限制齿宽系数b/m的范围5W b/m W17，得：g(x)=5x—xWO[1]132g(x)=x—17WO[1]223.3.2保证太阳轮z1不发生跟切，得：g(x)=17—xWO[1]313.3.3限制齿宽最小值，得：g(x)=10—xWO】i]423.3.4限制模数最小值，得：g(x)=2—xWO】i]533.3.5按齿面接触疲劳强度条件，有：g(x)=750937.3/(xxx1/2)—[o]W0〔i]6123H式中：[。
机械优化设计答案
长江大学机械工程学院机械优化设计大作业班级姓名序号2013年5月19-241、⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+-≤+⋅-+-+=0,222242min 21212121212221x x x x x x t s x x x x x x f2、123max 2f x x x =++ 12312312322256..460,1,2,3,4,5,6i x x x x x x s t x x x x i +-≤⎧⎪-+-≥-⎪⎨++≤⎪⎪≥=⎩3、263252241)()()(min x x x x x x f -+-+-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤-≤≤+-≤++⋅0481)3(5462524232221x x x x x x x t s4、010:)3/(5.0min 212221=-+⋅+=x x t s x x f5、求函数42121122(,)32(15)f x x x x x x =+++的极小点。
6、某工厂有一张边长为m 5的正方形的铁板，欲制成一个方形无盖水槽，问在该铁板的4个角处剪去多大的相等的正方形才能使水槽的容积最大？7、某车间生产甲（如轴）、乙（如齿轮）两种产品。
生产甲种产品每件需要用材料9㎏，3个工时、4kw 电，可获利60元；生产乙种产品每件需要用材料4㎏、10个工时， 5kw 电,可获利120元。
若每天能供应材料360㎏，有300个工时，能供电200kw 电，问每天生产甲、乙两种产品各多少件，才能够获得最大的利润。
8、已知：轴上作用均布载荷 q=100N/ cm ，扭矩 M=100N·m ；轴长不得小于8cm ；材料的许用弯曲应力 [σw]=120MPa ，许用扭剪应力 [τ]= 80MPa ，许用挠度 [f] = 0.01cm ；密度[ρ] = 7.8t /m ，弹性模量E=2×105MPa 。
要求：设计销轴，在满足上述条件的同时，轴的质量应为最轻。
1、⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+-≤+⋅-+-+=0,222242min 21212121212221x x x x x x t s x x x x x x f解：1) 将目标函数写成二次函数的形式f(x)=21x THx+C T x,其中： x=(x1;x2), H=(2,-4;-4,4), C=(1;-1)线性不等式约束函数的向量矩阵和常数向量为 A=(2,1;-1,2), b=(2;2) 2)编制求解二次规划的M 文件 H=[2,-4;-4,4];C=[1;-1]; A=[2,1;-1,2]; b=[2;2]; Aeq=[]; beq=[]; lb=[0;0];[x,f,exitflag]=quadprog(H,C,A,b,Aeq,beq,lb)M 文件运行结果Optimization terminated.x = 00.2500 f =-0.1250exitflag = 1说明 QUADPROG converged with a solution X. 则当x1=0,x2=0.25时，f 有最小值-0.125.2.123max 2f x x x =++ 12312312322256..460,1,2,3,4,5,6i x x x x x x s t x x x x i +-≤⎧⎪-+-≥-⎪⎨++≤⎪⎪≥=⎩解：将 maxf 改写为 minf=-x 1-2x 2-x 3 ,将不等式约束中的“大于等于”改写为“小于等于”，即 2x 1-x 2+5x 3≤6 ,则有：f=(-1,-2,-1); A=(2,1,-1;2,-1,5;4,1,1); b=（2；6；6） matlab 程序为：f=[-1,-2,-2];A=[2,1,-1;2,-1,5;4,1,1];2b=[2;6;6] lb=[0;0;0][x,fval,exitflag]=linprog(f,A,b,[],[],lb) 运行结果为：Optimization terminated. x =0.0000 4.0000 2.0000 fval =-12.0000 exitflag =1故当x1=0,x2=4,x3=2时，f 有最大值12.3、263252241)()()(min x x x x x x f -+-+-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤-≤≤+-≤++⋅0481)3(5462524232221x x x x x x x t s解：1）先建立M —文件fun0.m 定义目标函数，即function f=fun0(x);f=(x(1)-x(4))^2+(x(2)-x(5))^2+(x(3)-x(6))^22）在建立M 文件ljw0.m 定义非线性约束，即function [c,ceq]=ljw0(x)c=[x(1)^2+x(2)^2+x(3)^2-5;(x(4)-3)^2+x(5)^2-1]; ceq=[];3)主程序：x0=[2;0;1;4;0;1];A=[0,0,0,0,0,1;0,0,0,-1,0,0]; b=[8;-4][x,fval,exitflag,output]=fmincon('fun0',x0,A,b,[],[],'ljw0')运行结果为：x =108.0495 106.0875 119.0000 108.0496 106.0874 8.0000fval =1.2321e+004 exitflag = 5output =iterations: 4funcCount: 28 lssteplength: 1stepsize: 2.8654e-004algorithm: 'medium-scale: SQP, Quasi-Newton, line-search' firstorderopt: 1.7737e-004 constrviolation: 0message: [1x777 char]由结果可知，得到的x 值不满足约束条件。
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机械优化设计大作业姓名：刘刚班级：机械11005班序号：11目录第一题.........................................................................................1-4第二题........................................................................................4-5第三题........................................................................................5-7第四题........................................................................................8-10 第五题.......................................................................................10-11 心得体会...................................................................................11-13 草稿....................................................................... ....14-181.⎪⎩⎪⎨⎧≥=++≥++⋅++=0,20521532min 21321321321x x x x x x x x t s x x x f解法一：将可行域化为对应的函数的标准形式：-x 1-2x 2-3x 3≤-15s.t 2x 1+x 2+5x 3=20x 1,x 2≥0程序清单如下： f=[1,1,1]; A=[-1,-2,-3]; Aeq=[2,1,5]; b=[-15]; beq=[20]; lbnd=[0,0];[x,minf]=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lbnd,[]) 程序运行结果整理： x 1=0.0000 x 2=2.1429 x 3=3.5714 minf=5.7143解法二：构造新的函数求解 由2x 1+x 2+5x 3=20可知x 3=3(20−x 2−2x 1)5所以f= x 1+x 2+x 3= x 1+x 2+3(20−x 2−2x 1)5=﹣15x 1+25x 2+4令F=5(f-4)=3x 1+4 x 2，则可行域可化为：1-2x 2-3x 3≤-15 x 1-7x 2≤-15s.t 2x 1+x 2+5x 3=20 s.t1,x 2≥0 x 1,x 2≥0 所以欲求minf 即求minF 程序清单如下： f=[3,4]; A=[1,-7]; b=[-15]; lbnd=[0,0];[x,minF]=linprog(f,A,b,[],[],lbnd,[]) 程序运行结果整理： x 1=0.0000; x 2=2.1429 minF=8.5714 因此minf=F5+4=8.57145+4=5.7143解法三：将解法二的可行域转化x 1-7x 2≤-15 x 1-7x 2≤-15s.t - x 1≤0x 1,x 2≥0 - x 2≤0此时不等式的约束关系可表示为：1 -7 x1-15-1 0 ≤00 -1 x20 程序清单如下：f=[3,4];A=[1,-7;-1,0;0,-1];b=[-15,0,0];[x,minF]=linprog(f,A,b)程序运行结果整理：x1=0.0000x2=2.1429minF=8.5714因此minf=F5+4=8.57145+4=5.7143注：Ⅰ.由以上三种方法的运行结果可知，三种方法均可行。
此处用三种方法解答主要是为了体现线性规划函数linprog的用法，其用法及语法规则归纳如下：①x=linprog(f,A,b)返回值x为最优解向量；②x=linprog(f,A,b,Aeq,beq) 作有等式约束的问题。
若没有不等式约束，则令A=[ ]、b=[ ] 。
③x=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lbnd,ubnd,x0,options) 中lbnd ,ubnd分别为变量x的下界和上界，x0为初值点，options为指定优化参数进行最小化。
④Options的参数描述：Display 显示水平。
选择’off’ 不显示输出；选择’Iter’显示每一 步迭代过程的输出；选择’final’ 显示最终结果。
Ⅱ.在求解线性规划问题minf 和maxf 时，要将其可行域化为标准形式，matlab 优化工具箱中的函数都是用来求函数极小值的，若求解maxf ，则要把c 向量取目标函数系数的相反数，这样得到的最优解才是maxf 的最大值。
2.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤+≤+-≤+⋅---+=0,32222625.0min 2121212121212221x x x x x x x x t s x x x x x x f解：首先将目标函数化为标准形式：12 −12 x 1 -2 T x 1 minf=(x 1,x 2) +−12 1 x 2 -6 x 2程序清单如下： H=[ 12, −12;−12,1];c=[-2,-6]; A=[1,1;-1,2;2,1]; b=[2,2,3]; Aeq=[]; beq=[]; LBnd=[0,0];UBnd=[];[X,fval]=quadprog(H,c,A,b,Aeq,beq,LBnd,UBnd)程序运行结果整理：x1=0.6667x2=1.3333fval=-8.2222所以minf=-8.22223.由两根实心圆杆组成对称的两杆桁架，其顶点承受负载2p=500000N，两支座之间的水平距离2L=160cm，杆的密度ρ=7800kg/m3，弹性模量为E=2.1×105MPa，许用压应力σy=420MPa。
求在桁架压应力不超过许用压应力和失稳临界应力的条件下，使桁架重量最轻的桁架高度h及圆杆直径d。
解：令d=x(1),h=(2)桁架杆的截面积：s=πd 24; 桁架杆的总质量为：m=2xρx πd24x L2+ℎ2=12xπρd2x L2+ℎ2;负载2P作用在每根杆上的分力为：P1=Pcosθ=P L2+ℎ2ℎ;∴杆截面的应力为ς1=P 1S=4P L 2+ℎ2πℎd ；此应力要求小于材料的屈服强度，即ς1＜ ς ，同时，由材料力学知：杆中的应力应小于等于压杆稳定的临界应力。
杆的压杆稳定的临界应力ςcr =F cr A=EIπ2AL 2其中惯性矩I =πd 464,A=πd 24,l = L 2+ℎ2∴ςcr =π2Ed 28(L +ℎ)∴压杆稳定约束π2Ed 28(L 2+ℎ2)-4P L 2+ℎ2πℎd 2≥0综上得：建立桁架杆质量最轻的最优设计问题的数学问题 minf =12x πρd 2x L 2+ℎ24P L 2+ℎ2πℎd 2−ς≤04P L 2+ℎ2πℎd -π2Ed 28(L +ℎ)≤0d ≥0h ≥0程序清单如下：①建立目标函数，编写M 文件：liu01 function f=liu01(x)f=0.5*pi*7800*x(1)^2*sqrt(0.64+x(2)^2); ②建立约束条件，编写M 文件：liu02 function [c,ceq]= liu02(x)c=[4*250000*sqrt(x(2)^2+0.64)/(pi*x(2)*x(1)^2*420*10^6)-1;4*250000*sqrt(x(2)^2+0.64)/(pi*x(2)*x(1)^2)-pi^2*220.5*10^6*x(1)^2/(8*(x(2)^2 +0.64))];ceq=[];③编写运行程序M文件：liu03x0=[0.01;0.01];A=[];b=[];Aeq=[];beq=[];VLB=[0 0];VUB=[];[x,fval]=fmincon('liu01',x0,[],[],[],[],VLB,VUB,'liu02')程序运行结果整理：x(1)=0.2139x(2)=0.4000fval=501.3752∴当桁架杆直径d=0.2139m，桁架杆高度h=0.4000m时，桁架杆的总质量最轻，且最轻的质量为501.3752Kg。
注意：此题数学式子较长，在编写文件时要仔细校对保证输入的式子正确。
因在此题中h和d均在分母上，故初始迭代点X0不能为[0;0]，不然会出现divide by zero的错误。
4. 已知：制造一体积为100m3，长度不小于5m，不带上盖的箱盒，试确定箱盒的长x1，宽x2，高x3，使箱盒用料最省。
解：由题知：x1x2x3=100Ⅰ、以长x1、宽x2的长方形面为盖建立目标函数：minS=x1x2+2x2x3+2x1x3x2x3=100xx1≥5x2, x3≥0该题属于有约束非线性最优化问题①建立目标函数，编写M文件：liu04function f=liu04(x)f= x1*x2+2*x2*x3+2*x1*x3②建立约束条件，编写M文件：liu05function[c,ceq]=liu05(x)c=[5-x1;-x2;-x3];ceq=x1*x2*x3-100;③编写运行程序M文件：liu06x0=[5;1;1];A=[];b=[];Aeq=[];beq=[];VLB=[5 0 0];VUB=[];[x,fval]=fmincon(‘liu04’,x0,A,b,Aeq,beq,VLB,VUB,’liu05’)程序运行结果：x1=5.8480x2=5.8481x3=2.9240minS=102.5986所以当长为5.8480m、宽为5.8481m、高为2.9240m时，箱盒用料最省，最少为102.5986m2 。
Ⅱ、以宽x2高x3的长方形为盖，则：建立目标函数minS=x2x3+2x1x2+2x1x3x2x3=100xx1≥5x2, x3≥0编写M文件的具体步骤同上程序运行结果：x1=5.0000x2=4.4721x3=4.4721minS=109.4427所以当长为5.000m、宽为4.4721m、高为4.4721m时，箱盒用料最省，最少为109.4427m 2。
综上知：当以长x1、宽x2的长方形面为盖时，箱盒用料最省，最少为102.5986m 2 。
注：由于matlab 是基于C 语言的数学软件，故其要符合C 语言的基本语法规则，在具体编写M 文件过程中，要注意中英文输入法的切换。