高三数学数系的扩充与复数的引入PPT优秀课件
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∴ 1 5的2 i 共轭复数为1+2i.
4. 共轭复数概念 当两个复数的实部 相，等虚部 互为时相，反这数两个复数叫做
互为共轭复数，复数z的共轭复数用z表示，即z=a+bi,则
z=
(a,b∈aR-b).i
5. 复数的加法与减法
（1）复数的加减法运算法则
（a+bi）±(c+di)= (a±c)+(b(±ad,b)i,c,d∈R).
（2）复数加法的运算定律
复数的加法满足交换律、 结，合即律对任何z1、z2、z3∈C,有
z1+z2= z2+,(z1+z2)+z3=
z1+. (z2+z3)
（3）复数加、减法的几何意义 ①复数加法的几何意义 若复数z1、z2对应的向量OZ1,OZ2不共线，则复数z1+z2是以 OZ1、OZ2为两邻边的平行四边形的对角线OZ所对应的复数. ②复数减法的几何意义 复数z1-z2是连接向量OZ1、OZ2的终点，并指向被减数的向量 Z2Z1所对应的复数. 6. 复数的乘法与除法 设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R). （1）复数的乘法运算法则 z交1z换2=律(az+1·zb2i=)(cz+2·zd1i;)=(ac-bd)+(b;c+ad)i 结合律(z1·z2)·z3= z1z2+z;1z3 分配律z1(z2+z3)=z1·(z2·z3) . （2）复数的除法运算法则
第四节 数系的扩充与复数的引入
基础梳理
1. 复数的有关概念
(1)虚数单位
i作为虚数单位，i2= -1，实数与它进行四则运算时，原有
的加法、乘法运算律仍然成立．
i1=i，i2=-1，i3=-i，i4=1，i4n+1=i，i4n+2=-1，i4n+3=-i，
i4n=1(n∈N+)．
（2）形如 a+b的i 数叫做复数，其中 和a 都是b 实数， 叫做a复 数z的实部， 叫做复b 数z的虚部.
i 1
2.解析：由z＝3i＋2，得 ＝z －3i＋2， 则1－ ＝z1－(－3i＋2)＝－1＋3i.
3. (教材改编题)1+i+i2+i3=( D) A. I B. –I C. 1 D. 0
3.解析：原式＝1＋i－1－i＝0.
4.（2011·深圳模拟）设a是实数，且
1
a
i
1是2 i实数，则
a=( ) B
z 2 3 4 i ( 3 4 i) ( 3 4 i)
2 5
又
z z
1为实数，∴6+4m=0,∴m=-32
2
.
变式2-1 (2011·广东东莞五校联考)复数 5 的共轭复数为 .
1 2i
解析:∵ 55 (1 2 i) 5 (1 2 i) 1 2 i
1 2 i (1 2 i)(1 2 i) 5
轴叫实做轴 .实轴上的虚点轴都表示 ;除 外，虚轴实上数的点都原点
表示 ; 各象限内的点纯都虚表数示
虚数
复数集C和复平面内所有的点组成的集合是一一对的应，复
数集C与复平面内所有以原点O为起点的向量组成的集合
也是 一一的对.应
3. 复数的模
设复数a+bi在复平面内对应的点是Z(a，b)到原点的距离 |OZ|叫做复数z的模或绝对值，记作|z|，则|a+bi|= a2.b2
(5)由 (mm (2m)(m3,解)3)得000＜m＜3,
∴当m∈(0,3)时,z对应的点在第三象限.
变式1-1 (2010·山东改编)已知 a2i （bai ,b∈R），其中i为虚数单位， 若复数z=a+bi,则z对应的i 点所在的象限为( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
解析：由 a2i 得b-iai+2=b+i,所以由复数相等
i
得:a=-1,b=2,所以z=a+bi=-1+2i, z=-1-2i,故选C.
题型二 复数的运算
【求例z；12】1(11)(2011×温州模拟)已知z1=5+10i，z2=3-4i，
，
z z1 z 2
z
（2）(2011·南通模拟)已知复数z1=m+2i,z2=3-4i,若z 为实数，求实数m的值.
1 2
解 (1)由题意得z=
= z1 z 2 510i34i
z1 z 2 510i34i
= = = 55 10i 8 6i
5510i86i 86i86i
500250i 100
=5- i.5
2
（2）∵ z 1 m 2 i ( m 2 i) ( 3 4 i) ( 3 m 8 ) ( 6 4 m ) i
A.
1 2
B. 1
C.
D. 2
3 2
4.解析：设a是实数， a 1 i a ( 1 i ) 1 i ( a 1 ) ( 1 a ) i 是实数，则a＝1. 1 i 2 2 2 2
5. （2010·天津）i是虚数单位，复数
3 1
= ii
() A
A. 1+2i
B. 2+4i C. -1-2i D. 2-i
(a+bi)÷(c+di)= acc2 dbd2 b(ccc2+ addd2ii≠0).
基础达标
1. （教材改编题）在复平面内，复数 1 对i 应的点位于( ) D A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限i D. 第四象限 2. 设复数z=3i+2,则1-z=( A) A. -1+3i B. -1-3i C. 3+3i D. 3-3i 1.解析：1ii(1i),1 故i 选D.
解析： 1 3 ii((1 3 ii))((1 1 ，ii)) 故1 选2iA.
经典例题
题型一 复数的有关概念 【例1】已知复数z=m2(1+i)-m(3+i)-6i,则当m 为何实数时，复数z是(1)实数?(2)虚数?(3)纯虚 数?(4)零?(5)对应点在第三象限? 解：∵z=(m2-3m)+(m2-m-6)i=m(m-3)+(m+2)(m-3)i, ∴(1)当m=-2或m=3时,z为实数; (2)当m≠-2且m≠3时,z为虚数; (3)当m=0时,z为纯虚数; (4)当m=3时,z=0;
对于复数a+bi(a,b∈R),Biblioteka Baidu且仅当时， b=它0是实数； 当 b≠0时，叫做虚数；当 a=时0，且叫b≠做0纯虚数.
（3）复数的相等
如果a,b,c,d都是实数，那么 a+bi=c+di a=c且b=d;
a+bi=0
a=0且b=. 0
2. 复平面的概念
建立 直角坐来标表系示复数的平面叫做复平面,x轴叫做 ,y
4. 共轭复数概念 当两个复数的实部 相，等虚部 互为时相，反这数两个复数叫做
互为共轭复数，复数z的共轭复数用z表示，即z=a+bi,则
z=
(a,b∈aR-b).i
5. 复数的加法与减法
（1）复数的加减法运算法则
（a+bi）±(c+di)= (a±c)+(b(±ad,b)i,c,d∈R).
（2）复数加法的运算定律
复数的加法满足交换律、 结，合即律对任何z1、z2、z3∈C,有
z1+z2= z2+,(z1+z2)+z3=
z1+. (z2+z3)
（3）复数加、减法的几何意义 ①复数加法的几何意义 若复数z1、z2对应的向量OZ1,OZ2不共线，则复数z1+z2是以 OZ1、OZ2为两邻边的平行四边形的对角线OZ所对应的复数. ②复数减法的几何意义 复数z1-z2是连接向量OZ1、OZ2的终点，并指向被减数的向量 Z2Z1所对应的复数. 6. 复数的乘法与除法 设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R). （1）复数的乘法运算法则 z交1z换2=律(az+1·zb2i=)(cz+2·zd1i;)=(ac-bd)+(b;c+ad)i 结合律(z1·z2)·z3= z1z2+z;1z3 分配律z1(z2+z3)=z1·(z2·z3) . （2）复数的除法运算法则
第四节 数系的扩充与复数的引入
基础梳理
1. 复数的有关概念
(1)虚数单位
i作为虚数单位，i2= -1，实数与它进行四则运算时，原有
的加法、乘法运算律仍然成立．
i1=i，i2=-1，i3=-i，i4=1，i4n+1=i，i4n+2=-1，i4n+3=-i，
i4n=1(n∈N+)．
（2）形如 a+b的i 数叫做复数，其中 和a 都是b 实数， 叫做a复 数z的实部， 叫做复b 数z的虚部.
i 1
2.解析：由z＝3i＋2，得 ＝z －3i＋2， 则1－ ＝z1－(－3i＋2)＝－1＋3i.
3. (教材改编题)1+i+i2+i3=( D) A. I B. –I C. 1 D. 0
3.解析：原式＝1＋i－1－i＝0.
4.（2011·深圳模拟）设a是实数，且
1
a
i
1是2 i实数，则
a=( ) B
z 2 3 4 i ( 3 4 i) ( 3 4 i)
2 5
又
z z
1为实数，∴6+4m=0,∴m=-32
2
.
变式2-1 (2011·广东东莞五校联考)复数 5 的共轭复数为 .
1 2i
解析:∵ 55 (1 2 i) 5 (1 2 i) 1 2 i
1 2 i (1 2 i)(1 2 i) 5
轴叫实做轴 .实轴上的虚点轴都表示 ;除 外，虚轴实上数的点都原点
表示 ; 各象限内的点纯都虚表数示
虚数
复数集C和复平面内所有的点组成的集合是一一对的应，复
数集C与复平面内所有以原点O为起点的向量组成的集合
也是 一一的对.应
3. 复数的模
设复数a+bi在复平面内对应的点是Z(a，b)到原点的距离 |OZ|叫做复数z的模或绝对值，记作|z|，则|a+bi|= a2.b2
(5)由 (mm (2m)(m3,解)3)得000＜m＜3,
∴当m∈(0,3)时,z对应的点在第三象限.
变式1-1 (2010·山东改编)已知 a2i （bai ,b∈R），其中i为虚数单位， 若复数z=a+bi,则z对应的i 点所在的象限为( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
解析：由 a2i 得b-iai+2=b+i,所以由复数相等
i
得:a=-1,b=2,所以z=a+bi=-1+2i, z=-1-2i,故选C.
题型二 复数的运算
【求例z；12】1(11)(2011×温州模拟)已知z1=5+10i，z2=3-4i，
，
z z1 z 2
z
（2）(2011·南通模拟)已知复数z1=m+2i,z2=3-4i,若z 为实数，求实数m的值.
1 2
解 (1)由题意得z=
= z1 z 2 510i34i
z1 z 2 510i34i
= = = 55 10i 8 6i
5510i86i 86i86i
500250i 100
=5- i.5
2
（2）∵ z 1 m 2 i ( m 2 i) ( 3 4 i) ( 3 m 8 ) ( 6 4 m ) i
A.
1 2
B. 1
C.
D. 2
3 2
4.解析：设a是实数， a 1 i a ( 1 i ) 1 i ( a 1 ) ( 1 a ) i 是实数，则a＝1. 1 i 2 2 2 2
5. （2010·天津）i是虚数单位，复数
3 1
= ii
() A
A. 1+2i
B. 2+4i C. -1-2i D. 2-i
(a+bi)÷(c+di)= acc2 dbd2 b(ccc2+ addd2ii≠0).
基础达标
1. （教材改编题）在复平面内，复数 1 对i 应的点位于( ) D A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限i D. 第四象限 2. 设复数z=3i+2,则1-z=( A) A. -1+3i B. -1-3i C. 3+3i D. 3-3i 1.解析：1ii(1i),1 故i 选D.
解析： 1 3 ii((1 3 ii))((1 1 ，ii)) 故1 选2iA.
经典例题
题型一 复数的有关概念 【例1】已知复数z=m2(1+i)-m(3+i)-6i,则当m 为何实数时，复数z是(1)实数?(2)虚数?(3)纯虚 数?(4)零?(5)对应点在第三象限? 解：∵z=(m2-3m)+(m2-m-6)i=m(m-3)+(m+2)(m-3)i, ∴(1)当m=-2或m=3时,z为实数; (2)当m≠-2且m≠3时,z为虚数; (3)当m=0时,z为纯虚数; (4)当m=3时,z=0;
对于复数a+bi(a,b∈R),Biblioteka Baidu且仅当时， b=它0是实数； 当 b≠0时，叫做虚数；当 a=时0，且叫b≠做0纯虚数.
（3）复数的相等
如果a,b,c,d都是实数，那么 a+bi=c+di a=c且b=d;
a+bi=0
a=0且b=. 0
2. 复平面的概念
建立 直角坐来标表系示复数的平面叫做复平面,x轴叫做 ,y