正方形(基础)知识讲解

正方形（基础）

【学习目标】

1．理解正方形的概念，了解平行四边形、矩形及菱形与正方形的概念之间的从属关系；2．掌握正方形的性质及判定方法．

【要点梳理】

要点一、正方形的定义

四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形.

要点诠释：既是矩形又是菱形的四边形是正方形，它是特殊的菱形，又是特殊的矩形，更为特殊的平行四边形，正方形是有一组邻边相等的矩形，还是有一个角是直角的菱形.

要点二、正方形的性质

正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质.

1.边——四边相等、邻边垂直、对边平行；

2.角——四个角都是直角；

3.对角线——①相等，②互相垂直平分，③每条对角线平分一组对角；

4.是轴对称图形，有4条对称轴；又是中心对称图形，两条对角线的交点是对称中心.

要点诠释：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质，其对角线将正方形分为四个等腰直角三角形.

要点三、正方形的判定

正方形的判定除定义外，判定思路有两条：或先证四边形是菱形，再证明它有一个角是直角或对角线相等（即矩形）；或先证四边形是矩形，再证明它有一组邻边相等或对角线互相垂直（即菱形）.

要点四、特殊平行四边形之间的关系

或者可表示为：

【典型例题】

类型一、正方形的性质

1、（优质试题•扬州校级一模）如图，在正方形ABCD中，边长为2的等边三角形AEF 的顶点E、F分别在BC和CD上．下列结论：①CE=CF；②∠AEB=75°；③BE+DF=EF；④S正方形ABCD=2+．其中正确的个数为（）

A.1

B.2

C.3

D.4

【思路点拨】根据三角形的全等的知识可以判断①的正误；根据角角之间的数量关系，以及三角形内角和为180°判断②的正误；根据线段垂直平分线的知识可以判断③的正误，利用解三角形求正方形的面积等知识可以判断④的正误．

【答案】C．

【解析】

解：∵四边形ABCD是正方形，

∴AB=AD，

∵△AEF是等边三角形，

∴AE=AF，

在Rt△ABE和Rt△ADF中，

，

∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），

∴BE=DF，

∵BC=DC，

∴BC﹣BE=CD﹣DF，

∴CE=CF，

∴①说法正确；

∵CE=CF，

∴△ECF是等腰直角三角形，

∴∠CEF=45°，

∵∠AEF=60°，

∴∠AEB=75°，

∴②说法正确；

如图，连接AC，交EF于G点，

∴AC⊥E F，且AC平分EF，

∵∠CAF≠∠DAF，

∴DF≠FG，

∴BE+DF≠EF，

∴③说法错误；

∵EF=2，

∴CE=CF=，

设正方形的边长为a，

在Rt△ADF中，

a2+（a﹣）2=4，

解得a=

， 则a 2=2+，

∴S 正方形ABCD =2+，

④说法正确，

∴正确的有①②④．

故选C ．

【总结升华】本题主要考查正方形的性质的知识点，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的证明以及辅助线的正确作法，此题难度不大，但是有一点麻烦．

举一反三：

【变式1】已知：如图，E 为正方形ABCD 的边BC 延长线上的点，F 是CD 边上一点，且CE

＝CF ，连接DE ，BF ．求证：DE ＝BF ．

【答案】

证明：∵四边形ABCD 是正方形，

∴BC＝DC ，∠BCD＝90°

∵E 为BC 延长线上的点，

∴∠DCE＝90°，

∴∠BCD＝∠DCE．

在△BCF 和△DCE 中，

BC DC BCF DCE CF CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩

，

∴△BCF≌△DCE（SAS ），

∴BF＝DE ．

【变式2】（优质试题•咸宁模拟）如图，在正方形ABCD 外侧，作等边三角形ADE ，AC ，BE 相交于点F ，则∠BFC 为（ ）

A．75° B．60° C．55° D．45°

【答案】B；

提示：∵四边形ABCD是正方形，

∴∠BAD=90°，AB=AD，∠BAF=45°，

∵△ADE是等边三角形，

∴∠DAE=60°，AD=AE，

∴∠BAE=90°+60°=150°，AB=AE，

∴∠ABE=∠AEB=（180°﹣150°）=15°，

∴∠BFC=∠BAF+∠ABE=45°+15°=60°；

故选：B．

2、（优质试题•贵阳）如图，点E正方形ABCD外一点，点F是线段AE上一点，△EBF 是等腰直角三角形，其中∠EBF=90°，连接CE、CF．

（1）求证：△ABF≌△CBE；

（2）判断△CEF的形状，并说明理由．

【思路点拨】（1）由四边形ABCD是正方形可得出AB=CB，∠ABC=90°，再由△EBF是等腰直角三角形可得出BE=BF，通过角的计算可得出∠ABF=∠CBE，利用全等三角形的判定定理SAS 即可证出△ABF≌△CBE；

（2）根据△EBF是等腰直角三角形可得出∠BFE=∠FEB，通过角的计算可得出∠AFB=135°，再根据全等三角形的性质可得出∠CEB=∠AFB=135°，通过角的计算即可得出∠CEF=90°，从而得出△CEF是直角三角形．

【答案与解析】

（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，

∴AB=CB，∠ABC=90°，

∵△EBF是等腰直角三角形，其中∠EBF=90°，