(完整版)分式及分式方程题型分类讲义

分式方程及其应用

一、基本概念

1．分式方程:分母中含有 的方程叫分式方程. 2．解分式方程的一般步骤：

（1）去分母，在方程的两边都乘以 ，约去分母，化成整式方程； （2）解这个整式方程；

（3）验根，把整式方程的根代入 ，看结果是不是零，使最简公分母为零的根是原方程的增根，必须舍去.

3. 用换元法解分式方程的一般步骤： ① 设辅助未知数，并用含辅助未知数的代数式去表示方程中另外的代数式；② 解所得到的关于辅助未知数的新方程，求出辅助未知数的值；③ 把辅助未知数的值代入原设中，求出原未知数的值；④ 检验作答.

4．分式方程的应用：

分式方程的应用题与一元一次方程应用题类似，不同的是要注意检验：

（1）检验所求的解是否是所列 ；（2）检验所求的解是否 .

二、题型分类

考点一：分式方程

题型（一）分式方程去分母 1、解分式方程

时，去分母后变形为（ ）。

A ．

()()1322-=++x x B ．()1322-=+-x x C ．()()x x -=+-1322 D ．()()1322-=+-x x 2、下列方程是分式方程的是（ ）

A ．0322

=--x x B ．

13-=x x C ．x x =1 D ．12=-π

x 题型（二）解分式方程

用常规方法解下列分式方程：25211

111 332552323

x x x x x x x x x -+=+==+---++（）；（2）；（）；

题型（三）分式方程的解 1.已知方程

26

1=311x

ax a x -=+-的解与方程的解相同，则a 等于（ ） A ．3 B ．－3 C. 2 D ．－2

2.方程134

622

32622+++++++x x x x x x -5=0的解是( )

A. 无解

B. 0 , 3

C. -3

D. 0, ±3

2

2311x x x

3. 如果

)

2)(1(3221+-+=++-x x x x B x A 那么A-B 的值是( ) A ．

3

4 B. 3

5 C. 41

D. 2

4（C ）关于x 的方程c c x x 22+=+的两个解是c x c x 2,21==，则关于x 的方程1

2

12-+

=-+a a x x 的两个解是（ ） A ．a a 2,

B ．1

2,1--a a C ．12,-a a D ． 11

,-+a a a

题型（四）用换元法解分式方程

1.用换元法解分式方程152--x x +5

10102--x x =7时,如果设15

2--x x =y,那么原方程可化为( )

A. y+

710=y B. y+71=y C. 10y+71

=y

D. y+10y 2=7 2.解方程 （1）06)2(5)2(

2=+---x x x x ； （2）解方程x

x x x 325

4322

2+=-+.

题型（五）解分式方程组

1.解方程组：11131129

x y x y ⎧-=⎪⎪

⎨⎪⋅=⎪⎩

题型（六）增根 1. 若解分式方程

2111

x x m x x x x

+-++=

+产生增根，则m 的值是（ ） A. --12或 B. -12或 C. 12或

D. 12或-

2. 若方程

3

23-=

--x k

x x 会产生增根，试求k 的值

题型（七）求待定常数的值或取值范围

1.关于x 的分式方程1131=-+-x

x m 的解为正数，求m 的取值范围；

2.若关于x 的分式方程的解为非负数，则a 的取值范围是（ ）

A ．a ≥1

B ．a ＞1

C ．a ≥1且a ≠4

D ．a ＞1且a ≠4

3.若分式方程x

m

x x -=--221无解，求m 的值。

4.设c b a 、、是三个互不相同的正数，如果a

b

b a

c b c a =+=-，那么（ ）． A ．c b 23= B ．b a 23= C ．c b =2 D ．b a =2

变式1：已知123421+=-=+x x y y x ,则)(3

23

x y -的值是______________.

变式2：已知d c b a 、、、为正整数，且c

d a b c d a b )1(71,74-=

+-=，则a c 的值是_________；b d

的值是___________．

对应练习： 一、选择题

1、关于x 的方程

的解是正数，则a 的取值范围是（ ）

A ．a ＞－1

B ．a ＞－1且a ≠0

C ．a ＜－1

D ．a ＜－1且a ≠－2

2．若解分式方程

x

x x x m x x 1

1122+=

++-+产生增根，则m 的值是（ ） A. --12或 B. -12或 C. 12或

D. 12或-

3、已知

,511b

a b a +=+则b a a b +的值是（ ）

A 、5

B 、7

C 、3

D 、3

1

4、若x 取整数，则使分式

1

-2x 3

6x +的值为整数的x 值有 ( ) A 3个 B 4个 C 6个 D 8个 5、已知

x

B

x A x x x +-=--1322

，其中A 、B 为常数，那么A ＋B 的值为（ ） A 、－2 B 、2 C 、－4 D 、4 二、填空题 1、若分式方程

x m x x -=--2524无解，那么m 的值应为__________,若已知1

3

2112

-+=-++x x x B x A （其中A 、B 为常数），则A=__________，B=__________；

2、

___________,

a +

b +

c ≠0，则k 的值为 . 3、方程

的解是_____________已知关于x 的方程

只有整数解，

则整数a 的值为_____________ 4、已知d c b a 、、、为正整数，且c

d a b c d a b )1(71,74-=

+-=，则a c 的值是_________；b d

的值是___________．

5、设m ＞n ＞0，m 2＋n 2＝4mn ，则22

m n mn

-的值为___________,若与互为倒数，则x=__________.

三、解答题

1、解下列分式方程

（1）

x x 311=-；（2）0132=--x x ；（3）11

4112=---+x x x ；（4）x x x x -+=++4535

2、解下列方程

（1）4441=+++x x x x ； （2）5

69108967+++++=+++++x x x x x x x x

211

x a x +=-121-x )4(31+x