高中数学必修三3.3几何概型(2)
2015学年高中数学(人教A版必修三)配套课件 第3章 3.3.2 均匀随机数的产生 教师配套用书课件(共32张ppt)
§3.3 几何概型
3.3.2 均匀随机数的产生
本节知识目录
3.3.2
明目标、知重点
均匀
填要点、记疑点
探究点一 均匀随机数的产生
随机
数的
探要点、究所然
探究点二 随机模拟方法 探究点三 用模拟法估计面积型的几何概率
产生
当堂测、查疑缺
明目标、知重点
填要点、记疑点
主目录
探要点、究所然
当堂测、查疑缺
(3)统计出试验总次数N，落在阴影部分的次数N1.
N1 (4)计算频率fn(A)＝ N 就是飞镖落在小正方形内的概率的近似值．
明目标、知重点 填要点、记疑点
主目录
探要点、究所然
当堂测、查疑缺
探要点、究所然
3.3.2
探究点二：随机模拟方法
例2 假设你家订了一份报纸，送报人可能在早上 6：30～7：30 之间把报纸送到你
家，你父亲离开家去上班的时间在早上 7：00～8：00 之间，如果把“你父亲在离 开家之前能得到报纸”称为事件 A，则事件 A 的概率是多少？ 思考 1 设 X、Y 为[0,1]上的均匀随机数，6.5＋X 表示送报人到达你家的时间，7
＋Y 表示父亲离开家的时间，若事件 A 发生，则 X、Y 应满足什么关系？
主目录
探要点、究所然
当堂测、查疑缺
探要点、究所然
3.3.2
探究点一：均匀随机数的产生
思考1 我们常用的是[0,1]上的均匀随机数，如何利用计算器产生0～1之间的均 匀随机数？如何利用计算机产生0～1之间的均匀随机数？
答 用计算器产生0～1之间的均匀随机数的方法见教材；用计算机的方法如
下：用Excel演示． (1)选定A1格，键入“＝rand()”，按Enter键，则在此格中的数是随机产生的 [0,1]上的均匀随机数； (2)选定A1格，点击复制，然后选定要产生随机数的格，比如A2～A100，点击 粘贴，则在A1～A100的数都是[0,1]上的均匀随机数．这样我们就很快就得到 了100个0～1之间的均匀随机数，相当于做了100次随机试验．
高中数学第3章概率3.3几何概型(2)教案苏教版必修3
3.3 几何概型第2课时导入新课设计思路一：〔问题导入〕以下图是卧室与书房地砖示意图，图中每一块地砖除颜色外完全一样，小猫分别在卧室与书房中自由地走来走去.在哪个房间里，小猫停留在黑砖上概率大？卧室〔书房〕设计思路二：〔情境导入〕在概率论开展早期，人们就已经注意到只考虑那种仅有有限个等可能结果随机试验是不够，还必须考虑有无限多个试验结果情况.例如一个人到单位时间可能是8：00 至9：00之间任何一个时刻；往一个方格中投一个石子，石子可能落在方格中任何一点……这些试验可能出现结果都是无限多个.推进新课新知探究对于导入思路一：由于地砖除颜色外完全一样，小猫自由地走来走去，因此，小猫可能会停留在任何一块地砖上，而且在任何一块地砖上停留可能性一样，对于这样一个随机事件概率，有如下结论：对于一个随机试验，如果我们将每个根本领件理解为从某特定几何区域内随机地抽取一点，而该区域内每一点被取到时机都一样，这样就可以把随机事件与几何区域联系在一起.如果每个事件发生概率只与构成该事件区域长度〔面积或体积〕成比例，那么称这样概率模型为几何概率模型，简称几何概型.几何概型与古典概型一样也是一种等可能事件概率模型，它特点是：〔1〕试验中所有可能出现结果，也就是根本领件有无限多个. 〔2〕根本领件出现可能性相等.实际上几何概型是将古典概型中有限性推广到无限性，而保存等可能性，这就是几何概型.几何概型概率计算方法如下：一般地，在几何区域D 中随机地取一点，记事件“该点落在其内部一个区域d 内〞为事件A ，那么事件A 发生概率为P(A)= .这里要求D 测度不为0，其中“测度〞意义依D 确定，当D 分别是线段、平面图形与立体图形时，相应“测度〞分别是长度、面积与体积等.对于导入思路二：〔1〕几何概率模型：如果每个事件发生概率只与构成该事件区域长度〔面积或体积〕成比例，那么称这样概率模型为几何概率模型.〔2〕几何概型概率公式：P 〔A 〕=)()(面积或体积的区域长度试验的全部结果所构成面积或体积的区域长度构成事件A . 〔3〕几何概型特点：1°试验中所有可能出现结果〔根本领件〕有无限多个.2°每个根本领件出现可能性相等.应用例如思路1例1 取一个边长为2a 正方形及其内切圆〔如下图〕，随机向正方形内丢一粒豆子，求豆子落入圆内概率.分析：由于是随机丢豆子，故可以认为豆子落入正方形内任意一点都是时机均等，这符合几何概型条件，可以看成几何概型.于是利用几何概型求概率公式，豆子落入圆中概率应该等于圆面积与正方形面积比.解：记“豆子落入圆内〞为事件A ，那么 P(A)=4422ππ==a a 正方形面积圆的面积. 答：豆子落入圆内概率为4π.点评：在解题时，首先要区分是古典概型还是几何概型，这两种随机事件概率类型虽然每一个事件发生都是等可能，但是几何概型是有无数个根本领件情形，古典概型是有有限个根本领件情形.此外，本例可以利用计算机模拟，过程如下：〔1〕在Excel 软件中，选定A1，键入“=〔rand 〔〕-0.5〕*2”. 〔2〕选定A1，按“ctrl+C〞.选定A2～A1 000，B1～B1 000，按“ctrl+V〞.此时，A1～A1 000，B1～B1 000均为［-1，1］区间上均匀随机数.〔3〕选定D1，键入“=power 〔A1，2〕+ power 〔B1，2〕〞；再选定D1，按“ctrl+C〞；选定D2～D1 000，按“ctrl+V〞，那么D列表示A2+B2.〔4〕选定F1，键入“=IF〔D1＞1，1，0〕〞；再选定F1，按“ctrl+C〞；选定F2～F1 000，按“ctrl+V〞，那么如果D列中A2+B2＞1，F列中值为1，否那么F列中值为0.〔5〕选定H1，键入“FREQUENCY〔F1：F10，0.5〕〞，表示F1～F10中小于或等于0.5个数，即前10次试验中落到圆内豆子数；类似，选定H2，键入“FREQUENCY〔F1：F20，0.5〕〞，表示前20次试验中落到圆内豆子数；选定H3，键入“FREQUENCY 〔F1：F50，0.5〕〞，表示前50次试验中落到圆内豆子数；选定H4，键入“FREQUENCY〔F1：F100，0.5〕〞，表示前100次试验中落到圆内豆子数；选定H5，键入“FREQUENCY〔F1：F500，0.5〕〞，表示前500次试验中落到圆内豆子数；选定H6，键入“FREQUENCY〔F1：F1 000，0.5〕〞，表示前1 000次试验中落到圆内豆子数.〔6〕选定I1，键入“H1*4/10〞，表示根据前10次试验得到圆周率π估计值；选定I2，键入“H2*4/10〞，那么I2为根据前20次试验得到圆周率π估计值；类似操作，可得I3为根据前50次试验得到圆周率π估计值，I4为根据前100次试验得到圆周率π估计值，I5为根据前500次试验得到圆周率π估计值，I6为根据前1 000次试验得到圆周率π估计值.如图：例2 如图，在等腰直角三角形ABC中，在斜边AB上任取一点M，求AM小于AC概率.分析：在线段AB上取一点C′，使得线段AC′长度等于线段AC长度.那么原问题就转化为求AM小于AC′概率.所以，当点M 位于以下图中线段AC′上时，AM＜AC，故线段AC′即为区域d.区域d测度就是线段AC′长度，区域D测度就是线段AB长度.解：在AB上截取AC′=AC.于是P(AM<AC)=P(AM<AC′)=.2.答：AM小于AC′概率为2变式训练：假设将例2改为：如以下图，在等腰直角三角形ABC 中，过直角顶点C在∠ACB内部任作一条射线CM，与线段AB交于点M，求AM小于AC概率.解：此时，应该看作射线CM落在∠ACB内部是等可能.公式中区域D是∠ACB〔内部〕，而区域d求法应该与原题是一样，即在线段AB上取一点C′，使得线段AC′长度等于线段AC长度〔如图〕，那么区域d就是∠ACC′〔内部〕.从而区域d测度就是∠ACC′度数，区域D测度就是∠ACB度数.∠ACC′==67.5°，所以所求事件概率为.点评：由此可见，背景相似问题，当等可能角度不同时，其概率是不一样.此题可参考习题3.3第6题.例3 (会面问题)甲、乙二人约定在12 点到下午5 点之间在某地会面，先到者等一个小时后即离去.设二人在这段时间内各时刻到达是等可能，且二人互不影响.求二人能会面概率.分析：两人相约时间都是5小时，设X ,Y 分别表示甲、乙二人到达时刻，因此，0≤X≤5,0≤Y≤5，这样两人到达时刻就构成一个正方形，而两人能会面必须满足|X －Y|≤1，而这个不等式所表示是一个带状，位于正方形内图形，由于两人到达时刻是随机，而且，在每一个时刻到达可能性是一样，因此，符合几何概型所具有特点，可以运用几何概型概率计算方法来计算.解：记A={二人能会面}.以 X ,Y 分别表示甲、乙二人到达时刻，于是0≤X≤5,0≤Y≤5,即点M 落在图中阴影局部.所有点构成一个正方形，即有无穷多个结果.由于每人在任一时刻到达都是等可能，所以落在正方形内各点是等可能，符合几何概型条件.二人会面条件是：|X －Y|≤1,故正方形面积为5×5=25，阴影局部面积为5-2×21×42259. 点评： 建立适当数学模型，是解决几何概型问题关键.对于“碰面问题〞可以模仿此题建立数学模型.例4 如图，随机投掷一个飞镖扎在靶子上，假设飞镖既不扎在黑色靶心，也不扎在两个区域之间，更不会脱靶，求飞镖扎在以下区域概率：(1)编号为25区域；(2)编号在6到9之间区域；(3)编号为奇数区域.〔每一个小区域面积一样〕分析：由于飞镖是随机投掷到靶子上，并且落在靶子每一个位置可能性一样，因此，符合几何概型特点.解： 假设靶子每一个区域面积为1个单位，那么靶子所在圆面积为28个单位.〔1〕记事件A 为“飞镖扎在编号为25区域〞，那么P(A)= 281. 〔2〕记事件B 为“飞镖扎在编号为6到9之间区域〞，那么P(B)= .〔3〕记事件C 为“飞镖扎在编号为奇数区域〞，那么P(C)=.答：〔1〕飞镖扎在编号为25区域概率为281；(2)飞镖扎在编号在6到9之间区域概率为71；(3)飞镖扎在编号为奇数区域概率为21. 点评：仔细研读题目，从题目提供信息进展分析，寻找适当解题方法，是解决此题要害所在.思路2例1 在1 L 高产小麦种子中混入了一粒带麦锈病种子，从中随机取出10 mL ，含有麦诱病种子概率是多少分析：病种子在这1 L 种子中分布可以看作是随机，取得10 mL 种子可视为区域d ，所有种子可视为区域D.解：取出10 mL 麦种，其中“含有病种子〞这一事件记为A ，那么 P(A)=1001100010==所有种子的体积取出种子的体积. 答：含有麦诱病种子概率为1001. 点评：由于病种子是随机地处在容器中，它可以位于容器任何一个位置，而且在每一个位置可能性一样，符合几何概型特点，所以运用几何概型概率计算方法来解决此题.例2 假设你家订了一份报纸，送报人可能在早上6:30～7:30之间把报纸送到你家，你父亲离开家去工作时间在早上7:00～8:00之间，问你父亲在离开家前能得到报纸(称为事件A)概率是多少？分析：由于两人到达与离开时刻是随机，而且，在每一个时刻到达或离开可能性是一样，因此，符合几何概型所具有特点，可以运用几何概型概率计算方法来计算.解：如图，以横坐标x表示报纸送到时间，纵坐标y表示父亲离家时间建立平面直角坐标系，假设随机试验落在方形区域内任何一点是等可能，所以符合几何概型条件.根据题意，只要点落到阴影局部，就表示父亲在离开家前能得到报纸，即事件A发生，所以P(A)==87.5%.点评：建立适当数学模型，该模型符合几何概型特点，这是解答此题关键所在.另外我们还可以运用计算机产生随机数来模拟该试验.设X是0到1之间均匀随机数，Y也是0到1之间均匀随机数.如果Y+7＞X+6.5，即Y＞X-0.5，那么父亲在离开家前能得到报纸.计算机模拟方法：〔1〕选定A1，键入函数“=rand〔〕〞；〔2〕选定A1，按“ctrl+C〞，选定A2～A50，B1～B50，按“ctrl+V〞.此时，A1～A50，B1～B50均为［0，1］区间上均匀随机数.用A列数加7表示父亲离开家时间，B列数加6.5表示送报人送到报纸时间.如果A+7＞B+6.5，即A-B＞-0.5，那么表示父亲在离开家前能得到报纸.〔3〕选定D1，键入“=A1-B1”；再选定D1，按“ctrl+C〞，选定D2D50，按“ctrl+V〞.〔4〕选定E1，键入函数“=FREQUENCY〔D1：D50，-0.5〕〞，E1表示统计D列中小于或等于-0.5数个数，即父亲在离开家前不能得到报纸频数.〔5〕选定F1，键入“=〔50-E1〕/50.F1表示统计50次试验中，父亲在离开家前能得到报纸频率.下面是我们在计算机上做50次试验，得到结果是P(A)=0.88，如图：例3 假设一个直角三角形两直角边长都是0到1之间随机数，试求斜边长小于34事件概率.分析：由于直角边长是0到1之间随机数，因此设两直角边长分别为x,y，而x,y满足0≤x≤1,0≤y≤1，斜边长=，x,y可以落在0≤x≤1,0≤y≤1所表示图形任何一个位置，而且在每个位置可能性一样，满足几何概型特点.解：设两直角边长分别为x,y，那么0≤x≤1,0≤y≤1，斜边长=，如右图，样本空间为边长是1正方形区域，而满足条件事件所在区域面积为.因此，所求事件概率为P=.点评：根据条件，构造满足题目条件数学模型，再运用几何概型概率计算方法来计算某个事件发生概率，是一种常用求解概率问题方法.例4 甲、乙两人相约于中午12点到13点之间在某一个地方碰面，并约定先到者等候20分钟后可以离开，试设计模拟方法估计两人能碰面概率.分析：当两人到达碰面地点时间相差在20分钟之内时，两人能碰面.我们可以用两个转盘来模拟两人到达碰面地点时间.解： 运用转盘模拟方法.具体步骤如下：〔1〕做两个带指针〔分针〕转盘，标上刻度在0到60来表示时间，如右图；〔2〕每个转盘各转m 次，并记录转动得到结果，以第一个转盘结果x 表示甲到达碰面地点时间，以第二个转盘结果y 表示乙到达碰面地点时间；〔3〕统计两人能碰面〔满足|x －y|<20〕次数n ；〔4〕计算m n 值，即为两人能碰面概率近似值〔理论值为95〕. 点评：实施模拟方法除了转盘模拟方法外，还可以运用现代信息技术即计算机来模拟，具体操作如下：〔1〕新建一个电子表格文件，在A1位置输入：=RAND( )60，产生一个0到60随机数x ；〔2〕将A1位置处表达式复制到B1处，这样又产生一个0到60随机数y ；〔3〕在C1位置处输入：=IF 〔A1-B1<=-20，0，IF 〔A1-B1<20，1，0〕，判断两人能否碰面〔即是否满足|x －y|<20〕，如果是，就返回数值1，否那么返回数值0；〔4〕将第一行三个表达式复制100行，产生100组这样数据，也就是模拟了100次这样试验，并统计每次结果；〔5〕在C101处输入：=SUM(C1:C100)/100统计这100次重复试验中正好两人能碰面频率，即事件“两人能碰面〞发生概率近似值.知能训练课本本节练习4、5.解答:4.设A={射线OA落在∠xOT内}.因为射线OA落在∠xOT内是随机，也就是射线OA可以落在∠xOT内任意一个位置，这符合几何概型条件，区域d测度是60，区域D测度是360，根据几何概型概率计算公式，得P(A)=.5.运用计算机模拟结果大约为2.7左右.点评：根据实际问题背景，判断是否符合几何概型特点，如是那么选择符合题意“测度〞，运用求几何概型概率方法来解决问题，此外我们还可以设计符合问题模拟方法来模拟得到问题近似解.课堂小结在这节课上我们主要是运用几何概型求解一些问题概率，以及运用模拟方法求某一个事件概率近似值.结合上节课内容可以知道，几何概型概率问题仍然是随机事件概率，与古典概型区别是古典概型所含根本领件个数是有限个，而几何概型所包含根本领件个数是无限.对于几何概型我们着重研究如下几种类型：〔1〕与长度有关几何概型；〔2〕与面积有关几何概型；〔3〕与体积有关几何概型；(4)与角度有关几何概型.其中我们对与面积有关几何概型与与体积有关几何概型要求重点掌握.作业课本习题3.3 4、5、6.设计感想几何概型是区别于古典概型又一随机事件概率模型，在解决实际问题时首先根据问题背景，判断该事件是属于古典概型还是几何概型，这两者区别在于构成该事件根本领件个数是有限个还是无限个.在使用几何概型概率计算公式时，一定要注意其适用条件：每个事件发生概率只与构成该事件区域长度成比例.随机数在日常生活中，有着广泛应用，我们可以利用计算器或计算机来产生均匀随机数，从而来模拟随机试验，其具体方法是：建立一个概率模型，它与某些我们感兴趣量〔如概率值、常数〕有关，然后设计适当试验，并通过这个试验结果来确定这些量.这种方法也是我们研究问题常用方法.习题详解1.记A={灯与两端距离都大于2 m}.因为把一盏灯挂在绳子上位置是随机，也就是说灯挂在绳子上位置可以是绳子上任意一点，这符合几何概型条件，根据P=，得P(A)= .答：灯与两端距离都大于2 m概率为13.2.记A={所投点落入小正方形内}.由于是随机投点，故可以认为所投点落入大正方形内任意一点都是时机均等，这符合几何概型条件，可以看成几何概型.于是利用几何概型求概率公式，所投点落入小正方形内概率应该等于小正方形内面积与大正方形面积比，即 P(A)=943222==大正方形面积小正方形面积. 答：所投点落入小正方形内概率为94.3.记A={所投点落在梯形内部}.由于是随机投点，故可以认为所投点落入矩形内任意一点都是时机均等，这符合几何概型条件，可以看成几何概型.于是利用几何概型求概率公式，所投点落入梯形内部概率应该等于梯形面积与矩形面积比，即 P(A)=125)2131(21=⨯⨯+⨯=b a b a a 矩形面积梯形面积. 答：所投点落在梯形内部概率为125. 4.设A={该点落在正方形内}.因为该点落在正方形内是随机，也就是该点可以落在正方形内任意一个位置，这符合几何概型条件，根据几何概型求概率计算公式，得P(A)=. 答：乘客到达站台立即乘上车概率为π21. 5.分析：直接求“硬币落下后与格线有公共点〞概率比拟困难，可以考虑先求“硬币落下后与格线无公共点〞概率，再求“硬币落下后与格线有公共点概率〞.解：因为直径等于2 cm 硬币投掷到正方形网格上是随机，也就是硬币可以落在正方形网格上任意一个位置，这符合几何概型条件.要求“硬币落下后与格线无公共点〞概率，根据几何概型求概率计算公式：P(A)=，因为每个小正方形边长都等于6 cm ，硬币直径为2 cm ，设有n 个小正方形，那么区域d 测度为n·π·12，区域D 测度n·62，故“硬币落下后与格线无公共点〞概率为，而事件“硬币落下后与格线有公共点〞是“硬币落下后与格线无公共点〞对立面，所以事件“硬币落下后与格线有公共点〞概率为1－36π.答：硬币落下后与格线有公共点概率为1－36π.6.贝特朗算出了三种不同答案，三种解法似乎又都有道理.人们把这种悖论称为概率悖论，或贝特朗奇怪论.贝特朗解法如下：解法一：任取一弦AB ，过点A 作圆内接等边三角形〔如图1〕.因为三角形内角A 所对弧，占整个圆周31.显然，只有点B 落在这段弧上时，AB 弦长度才能超过正三角形边长a ，故所求概率是31.解法二：任取一弦AB ，作垂直于AB 直径PQ.过点P 作圆内接等边三角形，交直径于N ，并取OP 中点M 〔如图2〕.容易证明QN=NO=OM=MP.我们知道，弦长与弦心距有关.一切与PQ 垂直弦，如果通过MN 线段，其弦心距均小于QN ，那么该弦长度就大于等边三角形边长，故所求概率是21.解法三：任取一弦AB.作圆内接等边三角形内切圆〔如图3〕，这个圆是大圆同心圆，而且它半径是大圆21，它面积是大圆4141. 图1 图2 图3细细推敲一下，三种解法前提条件各不一样：第一种假设了弦端点在四周上均匀分布；第二种假设弦中点在直径上均匀分布；第三种假设弦中点在小圆内均匀分布.由于前提条件不同，就导致三种不同答案.这是因为在那时候概率论一些根本概念〔如事件、概率及可能性等〕还没有明确定义，作为一个数学分支来说，它还缺乏严格理论根底，这样，对同一问题可以有不同看法，以致产生一些奇谈怪论.。
《3.3几何概型(2)》课件1-优质公开课-苏教必修3精品
题型一 与角度有关的几何概型问题 【例1】 在Rt△ABC中，∠A＝30°，过直角顶点C作射线C
M交线段AB于点M，求使AM＞AC的概率． [思路探索] 图中因为过一点作射线是均匀的，因而应把 在∠ACB内作射线CM看做是等可能的，基本射线CM落在∠ACB内 任一点，使AM＞AC的概率只与∠BCC′的大小有关，这符合几何
第2课时 几何概型(2) 【课标要求】
1．正确理解几何概型的概念，掌握几 何概型的概率公式；
2．通过模拟试验，感知应用数字解决 问题的方法，自觉养成动手、动脑的良好
习惯； 3．感知用图形解决概率问题的方法， 掌握数形结合数学思想与逻辑推理的数学
自学导引 1．几何概型的概率是用几何测度来表示的，首先 根据几何概型的特点判断其为几何概型，然后利用长 度比，面积比，体积比来表示其发生的可能性的大
试验的全部结果可构成集合 Ω＝{(x，y)|0＜x＜l,0＜y＜l,0＜x＋y＜l}． 3 段的长度能构成三角形，当且仅当任意两段的长度之和大于第 3 段长度， 即 x＋y＞l－x－y⇒x＋y＞2l ， x＋l－x－y＞y⇒y＜2l ， y＋l－x－y＞x⇒x＜2l . 故所求事件的结果构成的集合：
成三角形的概率． [思路分析] 可以考虑先将三段的长度用两个字母x、y表示 出来，然后找出x、y应该满足的关系式，从而找出x与对应的y 构成的点的坐标．根据其满足的关系，点(x，y)构成的集合是平 面图形，从而我们可以利用几何概型求得其概率．
解 设事件 A 为“3 段的长度能构成三角形”，x、y 分别表 示其中两段的长度，则第 3 段的长度为 l－x－y.
高中数学第三章概率3.3几何概型3.3.1几何概型3.3.2几何概型均匀随机数的产生课件新人教A版
记“等车时间超过 10 min”为事件 A，则当乘客到达车 站的时刻 t 落在线段 T1T 上(不含端点)时，事件 A 发生．
∴P(A)＝TT11TT2的的长长度度＝155＝13， 即该乘客等车时间超过 10 min 的概率是31.
拓展提升 1.解几何概型概率问题的一般步骤 (1)选择适当的观察角度(一定要注意观察角度的等可能 性)； (2)把基本事件转化为与之对应的区域 D； (3)把所求随机事件 A 转化为与之对应的区域 I； (4)利用概率公式计算．
【跟踪训练 2】 如图，在圆心角为直角的扇形 OAB
中，分别以 OA，OB 为直径作两个半圆．在扇形 OAB 内随
机取一点，则此点取自阴影部分的概率是( )
A．1－π2 B.21－π1
2
1
C.π
D.π
解析 设扇形的半径为 2，则其面积为π×422＝π.阴影部 分的面积可转化为扇形的面积减去△AOB 的面积，即阴影 部分的面积为 π－12×2×2＝π－2.因此任取一点，此点取自 阴影部分的概率为π－π 2＝1－2π.
拓展提升 1.解与体积有关的几何概型的关键点 分清题中的条件，提炼出几何体的形状，找出总体积是 多少以及所求的事件占பைடு நூலகம்的几何体是什么几何体，并计算出 体积． 2．与体积有关的几何概型概率的求法 如果试验的结果所构成的区域的几何度量可用体积表 示，则其概率的计算公式为 P(A)＝试验的构全成部事结件果A所的构区成域的体区积域体积.
所以作 AC′＝AC，且∠ACC′＝180°2－45°＝67.5°.
如图，当 CM 在∠ACC′内部的任意一个位置时，皆有 AM<AC′＝AC，即 P(AM<AC)＝6970.5°°＝34.
探究 5 用随机模拟法估计图形的面积
高中数学必修三3.3几何概型优秀课件
12r12r12r
5
5
5
2r
111 555
3 5
几何概型
定义 如果每个事件发生的概率只与构成该事 件区域的长度〔面积或体积〕成比例，那么称这 样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概 型．
事件 A的概率的计算公式： P(A)试验构 的成 全事 部 A的 件 结区果 的 域所 区 长构 域 度成 长 （度 面 积（ 积 ）面 积 或积 ） 体或
P“ ( 甲获 )S1胜 Sr22 ” S3
1r2 1r2 1r2
8
48
r2
111 848
1 2
以转盘〔2〕为游戏工具时
P“ ( 甲获 )S1胜 Sr22 ” S3
1r2 1r2 1r2
5
55
r2
111 555
3 5
问题2：能否由扇形区域面积过渡到相应的圆弧长度呢？
S 1 lr 2
其中 l, r是常数
扇形区域面积转化为圆弧长度
分析3：将指针指向扇形区域对应圆弧上的某个点，作为根本领 件
无限个 等可能
与扇形区域B对应圆弧长度有关
以转盘〔1〕为游戏工具时
P“ ( 甲获 )l胜 12l2r” l3
12r12r12r
8
4
8
2r
111 848
1 2
以转盘〔2〕为游戏工具时
P“ ( 甲获 )l胜 12l2r” l3
P(A)d 2 1 D 500250
课堂小结
知识：1、几何概型
2、概率计算公式
思想：1、化归与转化思想
2、符号化思想 3、整体思想 4、模型思想
课后作业
1.必做题：P142习题3.3A组1. 2.思考题：举例说明几何概型中概率为0的 事件，概率为1的事件. 3.预习：均匀随机数的产生.
人教版高中数学必修三3.几何概型PPT课件(共22)
小结：
⑴甲获胜的概率与所在扇形区域的圆弧的长度有 关，而与区域的位置无关。
(2)转转盘时，指针指向圆弧上哪一点都是等可能的。 不管这些区域是相邻，还是不相邻，甲获胜的概 率是不变的。
(3)甲获胜的概率与扇形区域所占比例大小有关，与 图形的大小无关。
人教版高中数学必修三3.几何概型PPT 课件( 共22)
练习3
• 射箭比赛的箭靶是涂有五个彩色的分环.从外向内为 白色、黑色、蓝色、红色，靶心是金色,金色靶心叫 “黄心”。奥运会的比赛靶面直径为122cm,靶心直 径为12.2cm.运动员在70m外射箭,假设每箭都能中 靶,那么射中黄心的概率是多少?
分析：随机射箭，射落在箭靶 内任何一点是等可能的，且箭 所在的位置有无限多个，符合 几何概型。
探究规律：
几何概型公式（3）：
公式（3）： P(A)= 构成事件 A 的区域体积 全结果所构成的区域体积
练习4
1．在500ml的水中有一个草履虫， 现从中随机取出2ml水样放到显微镜 下观察，则发现草履虫的概率是（ ） A．0.5 B．0.4 C．0.004 D．不能确定
探究规律：
公式（1）： P(A)=
课堂小结
• 1.几何概型适用于试验结果是无穷多且事件是等可能发 生的概率类型。
• 2.几何概型主要用于解决长度、面积、体积有关的题目。
构成事件 A 的区域长度（面积或体积）
P(A)= 全结果所构成的区域长度（面积或体积）
• 3.注意理解几何概型与古典概型的区别。 • 4.理解如何将实际问题转化为几何概型的问题，利用几
人教版高中数学必修三3.几何概型PPT 课件( 共22)
练习2.取一根长为3米的绳子,拉直后在 人教版高中数学必修三3.几何概型PPT课件(共22) 任意位置剪断,那么剪得两段的长都不少 于1米的概率有多大?
人教版数学高一-人教A必修三 3.3帮你解读几何概型
帮你解读几何概型 山东 刘乃东１．几何概型如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型．２．几何概型的特点（１）试验中所有可能出现的结果（基本事件）有无限多个；（２）每个基本事件出现的可能性相等；注：基本事件的“等可能性”的判断是很容易被忽略的．３．几何概型的计算公式在几何概型中，事件Ａ的概率的计算公式如下：()A P A =构成事件的区域长度(面积或体积)试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积)4．古典概型与几何概型的区别古典概型与几何概型中基本事件发生的可能性都是相等的，但古典概型要求基本事件有有限个，几何概型要求基本事件有无限多个．例１ 在长为12cm 的线段AB 上任取一点M ，并以线段AM 为边作正方形．试求这个正方形的面积介于36cm 2与81cm 2之间的概率．解析：正方形的面积只由边长AM 确定，此题可以转化为在12cm 长的线段上取一点M ，使AM 的长度介于6cm 与9cm 之间的概率．记A =｛在AB 上取一点，使AM 的长介于6cm 与9cm 之间｝，则()P A 即为使以AM 为边的正方形面积介于36cm 2与81cm 2之间的概率．在AB 上取点C D ，，使6cm 9cm AC AD ==，，则3cm CD =，31()124P A ==∴． 例2 现向如右图所示的正方形随机地投掷镖，求飞镖落在阴影部分的概率．解析：由63401x y y --=⎧⎨=-⎩，116A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，， 又(11)B -，∵，15166AB =-=∴． 同理，由16340x x y =⎧⎨--=⎩，得23y =．213C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴．25(1)33BC =--=∴． 1552526336ABC S =⨯⨯=△∴． 而正方形的面积为224⨯=． 故所求的概率为2525364144=． 评注：几何概型为新增内容，预测今后高考考查的主要对象是几何概型的概率公式的应用，题目应以中，低档题为主，题型主要以选择题、解答题形式出现．。
高中数学 3.3几何概型(2)课件 新人教A版必修3
构 成 事 件 A 的 几 何 度 量 ( 长 度 、 面 积 或 体 积 ) P (A ) 实 验 的 全 部 结 果 构 成 的 几 何 度 量 （ 长 度 、 面 积 或 体 积 ）
古典概型与几何概型的区别和联系：
古典概型
几何概型
基本事件 的个数
有限个
请总结归纳上述几个试验的共同特点： 1.实验可能出现的结果有无穷多个； 2.每个结果出现的可能性相等。
高中数学必修三第三章3.3.1
几何概型的定义：
如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积） 成比例,则称这样的概率模型为几何概率模型,简称为几何概型.
几何概型的特点:
(1)试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个. (2)每个基本事件出现的可能性相等.
0
50
60
解：设A={等待的时间不多于10分钟}，事件A恰好是打开收 音机的时刻位于[50，60]时间段内，因此由几何概型的求 概率公式得
P（A）=（60-50）/60=1/6
“等待报时的时间不超过10分钟”的概率为1/6
应用举例：
例3.一海豚在水池中自由游弋，水池为长30 m， 宽20 m的长方形，求此刻海豚嘴尖离岸边不超 过2 m的概率.
创设情境 试验一
取一根长度为30cm的绳子，拉直后在任意位置 剪断，那么剪得两段的长度都不小于10cm的概 率有多大？
思考：
请注意观察本试验共有多少种可能的结果？符合题意的结 果有多少种呢？是古典概型吗？
实验结果有无限多个，因为30cm长的绳子可以看成有无数 个点组成的线段，剪刀落在每一个点都是可能的。所以， 总的结果有无限多个。但只有剪刀落在中间10cm时，剪得 的两段的长都不小于10cm，此时，结果也有无限多个，因 此，不是古典概型。
3.3.1几何概型(2)
分析：因为电台每隔1小时报时一次，他在0~60之 间任何一个时刻打开收音机是等可能的，但0~60之 间有无穷个时刻，不能用古典概型的公式计算随机 事件发生的概率。所以他在哪个时间段打开收音机 的概率只与该时间段的长度有关，而与该时间段的 位置无关，这符合几何概型的条件。
解:
设A= 等待的时间不多于10分钟
3.3.1 几何概型（2）
1、几何概型
复习回顾
如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度 (面积或体积)成比例,则称这样的概率模型为几何概率模型, 简称为几何概型. 2、几何概型的特点: (1)试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个. (2)每个基本事件出现的所在扇形的面积 10 1 P( A) ; 整个圆的面积 60 6
1 答：等待的时间不多于10分钟的概率为 6
例1 某人午觉醒来,发现表停了,他打开收音机,想听 电台报时,求他等待的时间不多于10分钟的概率.
解：设A={等待的时间不多于10分钟}.事件A恰好 是打开收音机的时刻位于[50,60]时间段内发生。
则事件A发生恰好是打开收音机的 时刻位于[50，60]时间段内，因此 由几何概型的求概率公式得
P（A）=
60-50 60
=
1 6
即“等待报时的时间不多于10分钟”的概率为
1 6
.
例1 某人午觉醒来,发现表停了,他打开收音机,想听 电台报时,求他等待的时间不多于10分钟的概率. 解：设A={等待的时间不多于10分钟}.事件A恰好 是打开收音机的时刻位于[50,60]时间段内发生。 法二：（利用[50,60]时间段所占的面积）：
法三：（利用利用[50,60]时间段所占的弧长）：
A所在扇形区域的弧长 1 P( A) ; 整个圆的弧长 6
人教版高中数学必修三几何概型课件PPT
解析:组成的点 P 共有 36 个,其中在直线 x+y=5 上的点有
(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),共有 4 个,
则点 P 在直线 x+y=5
1
答案:
9
4
上的概率为
36
=
1
.
9
4.一海豚在水池中自由游弋,水池为长 30m,宽 20m 的长方形,求此刻
海豚嘴尖离岸边不超过 2m 的概率.
应落在矩形区域
A 表示的范围是
0, 2 .
2
所以由几何概型求概率的公式,得 P(A)= =
1
.
2
1 一只小蜜蜂在一个棱长为 30 的正方体玻璃容器内随意地飞行,
若蜜蜂在飞行过程中与正方体玻璃容器 6 个表面中至少有一个面的
距离不大于 10,则就有可能撞到玻璃上而不安全,若始终保持与正方
体玻璃容器 6 个表面的距离均大于 10,则飞行是安全的.假设蜜蜂在
时间为 5 秒,绿灯亮的时间为 45 秒.当你到达路口时,恰好看到黄灯亮
的概率是(
)
A.
1
12
3
8
B.
1
16
C.
5
6
D.
解析:设看到黄灯亮为事件 A,构成事件 A 的“长度”等于 5,试验
5
80
的全部结果所构成的区域长度是 30+5+45=80,所以 P(A)=
答案:C
=
1
.
16
2.均匀分布
当 Χ 为区间[a,b]上的任意实数,并且是等可能的,我们称 Χ 服从
.
题型三
体积型的几何概型
【例题 3】有一杯 2 升的水,其中含有一个细菌,用一个小杯从这杯水
3.3几何概型(2)
解 在AB上截取 AC` AC .于是
AC` AC 2 P AM AC P AM AC` . AB AB 2 2 答 AM 的长小于 AC 的长的概率为 . 2
我们知道,当试验次数很大时可以用事件A , 产生的频率作为 A的近似值, 而在本书前 P 两章中已经介绍了产生 随机数和利用随机 数对频率进行估计的方 , 例1中的" EXCEL" 法 栏目就是利用随机数产 生随机点进行模拟 试验的 .
见 P40 "随机数表的制作 和 曲 y 1 线 y , x 1, x 2 和 y 0 所围 x 成的图形的面积 . 分析 在直角坐标系中画出正方 形 ( x 1, x 2, y 0, y 1 所围成 x 的部分), 用随机模拟的方法可以 得到它的面积的近似值 . 解 1利用计算器或计算机产生两组 0到1区间上的随机数 a1 RAND, b RAND ; 2进行平移变换 a a1 1; (其中a, b分别为随机点的横坐标 和纵坐标 ) 3数 出落在阴影内的 点数 N1 , 用几何概型公式计算阴影部 分的面积 . 例如, 做1000 次试验, 即N 1000, 模拟得到 N1 689, 所以 S N1 / N 0.689 .
3.3 几 何 概 型（2）
学习目标： 进一步掌握几何概率的求法
例 3 在等腰 RtABC中, 在线 段斜边AB上取一点M , 求 AM 的长小于AC 的长的概率.
C
A
M
C`
B
分析 点 M 随机地落在线段 AB 上, 故线段 AB 为区域 D .当点M位于图中的线段AC` 上时, AM AC, 故线段AC`即为区域 d .
1 O 1 2
分层训练： 必做题：P103 练习 4
2018学年高中数学必修三课件：第三章3.3几何概型 精品
[变式训练] 如图，在矩形区域 ABCD 的 A，C 两点
处各有一个通信基站，假设其信号的覆盖范围分别是扇 形区域 ADE 和扇形区域 CBF(该矩形区域内无其他信号 来源，基站工作正常)．若在该矩形区域内随机地选一地 点，则该地点无信号的概率是( )
A．1－π4 C．2－π2
B.π2－1 π
D.4
2．如果一个随机试验可能出现的结果有无限多个， 并且每个结果发生的可能性相等，那么该试验可以看作 是几何概型．
3．在几何概型中，事件 A 的概率 P(A)只与子区域 A 的几何度量(长度、面积、体积、角度等)成正比，而与子 区域 A 的位置、形状无关．如果事件 A 的区域不好处理， 则可用其对立事件解决．
记“等车时间超过 10 min”为事件 A，则当乘客到
达车站的时刻 t 落在线段 T1T 上(不含端点)时，事件 A 发
生． 所以 P(A)＝TT11TT2的的长长度度＝155＝13， 即该乘客等车时间超过 10 min 的概率是13.
归纳升华 1．本题的关键是判断事件发生的概率是只与长度有 关的几何概型． 2．若一次试验中所有可能的结果和某个事件 A 包含 的结果(基本事件)都对应一个长度，如线段长、时间区间 长、距离、路程等，那么需要先求出各自相应的长度，然 后运用几何概型的概率计算公式求出事件 A 发生的概率．
4π
43π.则点
M
在球
O
内的概率是
3 23Biblioteka ＝π6.答案：(1)D
π (2)6
类型 4 用随机模拟法近似计算不规则图形的面积 [典例 4] 利用随机模拟方法计算图中阴影部分(曲 线 y＝2x 与 x 轴、x＝±1 围成的部分)的面积．
解：(1)利用计算机产生两组[0，1] 上的均匀随机数，a1＝RAND， b1＝RAND.
高中数学第三章概率3.3几何概型3.3.2均匀随机数的产生
3.3.2 均匀随机数的产生[课时作业][A组学业水平达标]1．用随机模拟方法求得某几何概型的概率为m，其实际概率的大小为n，则( ) A．m>n B．m<nC．m＝n D．m是n的近似值解析：用随机模拟方法求得几何概型的概率是实际概率的近似值．答案：D2．设x是[0,1]内的一个均匀随机数，经过变换y＝2x＋3，则x＝12对应变换成的均匀随机数是( )A．0 B．2C．4 D．5解析：当x＝12时，y＝2×12＋3＝4.答案：C3．已知函数f(x)＝log2x，x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上任取一点x0，则使f(x0)≥0的概率为( )A．1 B.12C.23D.34解析：由log2x0≥0，得x0≥1，又x0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，所以1≤x0≤2，所以P＝2－12－12＝132＝23，故选C.答案：C4．如图，曲线OB的方程为y2＝x(0≤x≤1)，为估计阴影部分的面积，采用随机模拟方法产生x∈(0,1)，y∈(0,1)的200个点(x，y)，经统计，落在阴影部分的点共134个，则估计阴影部分的面积是( )A ．0.47B ．0.57C ．0.67D ．0.77解析：根据题意，落在阴影部分的点的概率是134200＝0.67，矩形的面积为1，阴影部分的面积为S ，所以S ＝0.67. 答案：C5．将[0,1]内的均匀随机数转化为[－2,6]内的均匀随机数，需实施的变换为( )解析：将[0,1]内的随机数转化为[a ，b ]内的随机数，需进行的变换为答案：C6．若x 可以在－4≤x ≤2的条件下任意取值，则x 是负数的概率是________．解析：记事件A 为“x 是负数”，则A 的长度为0－(－4)＝4，整个事件长度为2－(－4)＝6，则P (A )＝46＝23.答案：237.假设你在如图所示的图形上随机撒一粒黄豆，则它落在阴影部分(等腰三角形)的概率是__________．解析：设圆的半径为R ，则圆的面积为πR 2，等腰三角形的面积为12×2R ×R＝R 2，∴所求概率为P ＝R 2πR 2＝1π. 答案：1π8．利用随机模拟法近似计算图中阴影部分(曲线y ＝log 3x 与x ＝3及x 轴围成的图形)的面积．解析：设事件A ：“随机向正方形内投点，所投的点落在阴影部分”． (1)利用计算器或计算机产生两组 [0,1]上的均匀随机数，x 1＝RAND ，y 1＝RAND. (2)经伸缩变换x ＝3x 1，y ＝3y 1，得一组[0,3]，一组[0, 3]上的均匀随机数． (3)统计试验总次数N 和落在阴影部分的点的个数为N 1.(4)设阴影部分的面积为S ，正方形的面积为9，由几何概率公式得P (A )＝S 9，所以N 1N ≈S9.所以S ≈9N 1N即为阴影部分面积的近似值．9．利用随机模拟的方法近似计算边长为2的正方形内切圆面积，并估计π的近似值． 解析： (1)利用计算机产生两组[0,1]上的均匀随机数，a 1＝RAND ，b 1＝RAND.(2)经过平移和伸缩变换，a ＝(a 1－0.5)*2，b ＝(b 1－0.5)*2，得到两组[－1,1]上的均匀随机数．(3)统计试验总次数N 和点落在圆内的次数N 1(满足a 2＋b 2≤1的点(a ，b )数)． (4)计算频率N 1N，即为点落在圆内的概率的近似值． (5)设圆面积为S ，则由几何概型概率公式得P ＝S4.∴S 4≈N 1N ，即S ≈4N 1N， 即为正方形内切圆面积的近似值． 又S 圆＝πr 2＝π，∴π＝S ≈4N 1N，即为π的近似值．[B 组 应考能力提升]1．如图，边长为2的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域，在正方形中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率为23，则阴影区域的面积为( )A.43B.83C.23 D ．无法计算解析：∵S 阴影S 正方形＝23，∴S 阴影＝23S 正方形＝83. 答案：B2．如图，在直角坐标系内，射线OC 落在120°角的终边上，任作一条射线OA (OA 在平面直角坐标系内的分布是等可能的)，那么射线OA 落在∠xOC 内的概率为( ) A.12 B.23 C.13D.34解析：射线OA 落在∠xOC 内的概率只与∠xOC 的大小有关，故所求概率为120360＝13.答案：C3．用计算器生成两个[0,1]上的均匀随机数，问这两个随机数的差小于0.5的概率为________．解析：设x ，y 为计算器生成的[0,1]上的两个均匀随机数，则0≤x ≤1,0≤y ≤1，所有的可能(x ，y )构成边长为1的正方形，如图，设事件A ＝{两随机数的差小于0.5}，则当|x －y |<0.5时事件A 发生，条件(x ，y )构成图中的阴影部分． ∴P (A )＝S 阴影S 正方形＝1－2×12×1221＝34. 答案：344．如图，一不规则区域内，有一边长为1米的正方形，向区域内随机地撒1 000颗黄豆，数得落在正方形区域内(含边界)的黄豆数400颗，以此实验数据为依据可以估计出该不规则图形的面积为________m 2.(用分数作答)．解析：∵向区域内随机地撒1 000颗黄豆，数得落在正方形区域内(含边界)的黄豆数为400颗，记“黄豆落在正方形区域内”为事件A ，∴P (A )＝4001 000＝1S 不规则图形，∴S 不规则图形＝52 m 2.答案：525．甲、乙两辆班车都要停在同一停车位，它们可能在一天中的任意时刻到达．如果这两辆班车的停车时间都是一个小时，求有一辆班车停车时必须等待一段时间的概率．解析：记事件A ＝{有一辆班车停泊时必须等待一段时间}．(1)用计算器或计算机产生两组[0,1]区间上的均匀随机数，a ＝RAND ，b ＝RAND ；(2)经过伸缩变换x ＝a *24，y ＝b *24，得到[0,24]区间上的两组均匀随机数； (3)统计试验次数N 和事件A 发生对应的次数N 1(满足|x －y |≤1的点(x ，y )的个数)； (4)计算频率f n (A )＝N 1N，即有一辆班车停泊时必须等待一段时间的概率．6．假设小霞、小倩和小珍所在的班级共有 65名学生，并且这65名学生早上到校先后的可能性是相同的．设计模拟方法估计下列事件的概率： (1)小倩比小珍先到校；(2)小倩比小珍先到校，小珍比小霞先到校．解析：因为早上到校先后的可能性是相同的，所以假设每人到校的时间是某一个时间段内的任一时刻，可以分别用三组随机数x 、y 、z 表示，因而可以随机模拟．设事件A ：“小倩比小珍先到校”；设事件B ：“小倩比小珍先到校，小珍比小霞先到校”． (1)利用计算器或计算机产生一组[0,1]内的均匀随机数，a ＝RAND ，b ＝RAND ，c ＝RAND 分别表示小霞、小倩和小珍三人早上到校的时间；(2)统计出试验总次数N 以及其中满足b <c 的次数N 1，满足b <c <a 的次数N 2； (3)计算频率f n (A )＝N 1N ，f n (B )＝N 2N，即分别为事件A ，B 的概率的近似值．。
高一数学人教A版必修3课件：3.3.1几何概型2
理论迁移
例1 某人午觉醒来，发现表停了，他 打开收音机，想听电台报时，求他等待 的时间不多于10分钟的概率.
例2 甲乙两人相约上午8点到9点在某 地会面，先到者等候另一人20分钟，过 时离去，求甲乙两人能会面的概率.
y 60
20
O 20 60 x
60 - 40 5 P (A ) = = 2 60 9
3.3 几何概型
3.3.1 几何概型
问题提出
1.计算随机事件发生的概率，我们已经 学习了哪些方法?
（1）通过做试验或计算机模拟，用频率 估计概率；
（2）利用古典概型的概率公式计算.
2.古典概型有哪两个基本特点？ （1）试验中所有可能出现的基本事件只 有有限个（有限性）； （2）每个基本事件出现的可能性相等 （等可能性）. 3.在现实生活中，常常会遇到试验的所 有可能结果是无穷多的情况，这时就不 能用古典概型来计算事件发生的概率.对 此，我们必须学习新的方法来解决这类 问题.
作业： P140 练习: 1，2. P142 习题3.3A组:1.
B N B N B N N B N N B
B
思考3：射箭比赛的箭靶涂有五个彩色的 分环，从外向内依次为白色、黑色、蓝 色、红色，靶心是金色，金色靶心叫 “黄心”.奥运会射箭比赛的靶面直径是 122cm，黄心直径是12.2cm，运动员在距 离靶面70m外射箭.假设射箭都等可能射 中靶面内任何一点，那么如何计算射中 黄心的概率？
知识探究（一）：几何概型的概念
思考1：某班公交车到终点站的时间可能 是11：30～12：00之间的任何一个时刻； 往一个方格中投一粒芝麻，芝麻可能落 在方格中的任何一点上.这两个试验可能 出现的结果是有限个，还是无限个？若 没有人为因素，每个试验结果出现的可 能性是否相等？
人教版数学高一-人教A必修三 3.3例析面积型几何概型的解法
例析面积型几何概型的解法 河南省滑县第二高级中学（456400）柴春燕在几何概型的各种题型中, 面积型几何概型出现的频率比较频繁,是非常重要的概率模型.下面谈谈这类题型的一般解法.1．直接作出图形计算面积之比如图１是一个边长为1米的正方形木板，上面画着一个边界不规则的地图和板上被雨点打上的痕迹，则这个地图的面积为______平方米．解：由题意，雨点落在地图上的概率919183P ==+，有正方形板的面积为1平方米，故所求地图面积为11133⨯=（平方米）． 点评：雨点落在地图上的概率问题是几何概型，用面积比计算．雨点打在地图和板上是随机的，地图上有9个雨点痕迹，板上其他位置有18个雨点痕迹，由此计算雨点落在地图上的概率，反过来推导地图面积．例2 如图，以正方形ABCD 的边长为直径作半圆，重叠部分为花瓣，现在向该矩形区域内随机地投掷一飞镖，求飞镖落在花瓣内的概率．解析：飞镖落在正方形区域内的机会是均等的，符合几何概型条件．记飞镖落在花辫内为事件A ，设正方形边长为2r ，则22214(2)22()(2)2ABCD r r S P A S r ππ⨯--===花瓣所以，飞镖落在花辫内的概率为22π-．点评：此题的关键是正确计算花瓣的面积．这类题型中，试验全部结果的区域与构成事件A 的区域，都直接由题中条件给出，从而易解．然而，有些几何概型的问题，既不容易分辩出属于几何概率模型，也难发现随机事件的构成区域，但仔细研究此类问题后，我们可以发现一些解题的规律．2．在坐标系中先作出平面区域．再求面积之比例3 在半径为R 的圆周上任取A 、B 、C 三点，试问三角形A BC 为锐角三角形的概率是多少？分析：圆周上三点A 、B 、C 能构成锐角三角形的等价条件是AB 、BC 、CA 的长都小于半圆周．解析：设圆上被A 、B 、C 所分成三段弧中的两段弧长分别为x ，y ，则02,02,02x R y R x y R πππ<<<<<+<.可能结果的全体为直角边长为2R π的等腰直角三角形，三条弦构成三角形为锐角三角形的条件是00x R y R x y R πππ<<⎧⎪<<⎨⎪+<⎩，满足这些条件的区域G 为图中的阴影部分，故所求概率为22()21(2)24R P R ππ÷==÷. 点评：随机现象的可能结果可看做某区域G 中的一个点，这个区域可以在直线上，也可以在平面内或空间中，可能结果的全体或问题所感兴趣的结果都是无限的，而且这些结果具有等可能性．即落在区域内的概率与该区域的长度或面积或体积成正比，并且与其位置、形状无关，由于这种类型的概率用几何方法计算，故称为几何概型．例4 一条直线型街道的A 、B 两盏路灯之一间的距离为120米，由于光线较暗，想在中间再随意安装两盏路灯C 、D ，顺序为A 、C 、D 、B ．问A 与C 、B 与D 之间的距离都不小于40米的概率是多少？解析：（1）构设变量. 设A 与C 、B 与D 之间的距离分别为x 米、y 米.（2）集合表示. 用集合表示每次试验的结果，则所有可能结果为：{(,)|0120,0,0}x y x y x y Ω=<+<>>；记A 与C 、B 与D 之间的距离都不小于40米为事件A ，则事件A 的可能结果为{(,)|40,40,0120}A x y x y x y =≥≥<+<．（3）作出区域. 如图所示，试验全部结果构成区域Ω为直线 与两坐标轴所围成的△ABC. 而事件A 所构成区域是三条直线x+y=120，x=40，y ＝40所夹中间的阴影部分.（4）计算求解. 根据几何概型公式，得到：2214012()191202ABC S P A S ∆⨯===⨯阴影所以，A 与C 、B 与D 之间的距离都不小于40米的概率为19. 点评：此题易错误的认为，把AB 三等分，由于中间长度为40米，所以路灯C 与D 需安装在中间一段，从而CD 安装在中间的概率为13P A =（）.错误的原因是试验的结果不可能独立地安装在这一段，有可能跨这三段中的两段安装．用以上四步曲求解，我们可以得到清晰的解题思路.。
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答：00至10：00之间在车 站见面，可是两人都只愿在那里等待20分钟，过时即 离去。问：两人能够见面的概率有多大？
解：以9：00作为计算时间的起点。设甲、乙分别在第x 分钟和第y分钟到达，则0≤x≤60， 0≤y≤60，(x,y)可以看 成平面中的点。
构成事件A的区域长度（面积或体积） P(A)= 所有试验结果构成的区域长度(面积或体积)
二、例题分析 例2、假设你家订了一份报纸，送报人可能在早上 6:30~7:30之间把报纸送到你家，你父亲离开家去工作 的时间是早上7:00~8:00之间，问你父亲在离开家前能得到
报纸（称为事件A）的概率是多少？
这是一个几何概型，所以 P A 2000 5
3600 9
变式、甲、乙两人相约在上午9：00至10：00之间在某 地见面，可是两人都只愿在那里等待20分钟，过时即 离去。问：两人能够见面的概率有多大？
【题结】这是一道与面积有关的双变量的几何概型问 题。解决本题的关键是将已知的两个条件转化为线性 约束条件，从而转化为平面图形中的面积型几何概型 问题。
一、复习回顾 1、几何概型的概念 如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的 长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为 几何概率模型，简称几何概型。
2、几何概型的特点： (1)试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个； (2)每个基本事件出现的可能性相等。
3、在几何概型中，任何事件A的概率的计算公式如下：
方法一：可以制作两个带有指针（分针）的圆盘，标上时间，分 别旋转两个圆盘，记下父亲在离开家前能得到报纸的次数，则
父亲在离开家前能得到报纸的次数
P(A)=
试验的总次数
二、例题分析 例2、假设你家订了一份报纸，送报人可能在早上 6:30~7:30之间把报纸送到你家，你父亲离开家去工作 的时间是早上7:00~8:00之间，问你父亲在离开家前能 得到报纸（称为事件A）的概率是多少？ 解：设送报人到达时间为x，父亲离开的时间为y，
(x，y)可以看成平面中的点，试验结果所构成的区域：
Ω={(x，y)|6.5≤x≤7.5, 7≤y≤8}， 面积为：SΩ=12=1
事件A所构成的区域：
A= {(x，y)|6.5≤x≤7.5, 7≤y≤8，x≤y}
面积为：
SA
1
1 2
1 2
1 2
7 8
由几何概型求概率公式，得：
P A SA 7
试验的全部结果所构成的区域为：
x, y | 0 x 60,0 y 60 ， S 60 60 3600
设事件A表示两人能够见面，构成A的区域为
A x, y | 0 x 60,0 y 60, x y 20
SA 602 402 2000
三、课时小结
1、与面积有关的单变量问题 2、与面积有关的双变量问题
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