高等几何 总复习

(a11 )u1 a21u2 a31u3 0 a12u1 ( a22 )u2 a32u3 0,(4) a u a u (a )u 0 33 3 13 1 23 2
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3、三种几何学的特点与比较
一般而言，变换群越大，则这些变换下的不变性、不变量就 越少，它所对应的几何学的研究对象及研究内容也就少。
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第二章 小结
2.齐次坐标与对偶原理 为了表示理想元素，教材引入了齐次坐 标，这为用代数的方法研究几何提供了方 便。在射影平面上，只用点线结合表达的 全部命题，构成了平面射影几何学。由 u· x=0，将u或x分别看作常量，可得点的齐 次坐标与线的齐次坐标，由此，得到了点 几何学与线几何学。从代数的观点有了对 偶原理，这为研究射影几何学起到了事半 功倍的作用。
平行线段的比→同一直线上任两线段之比。
简比
仿射量 线段的中点→ 面积比
关于点的对称
三角形的中线和重心
仿射图形：平行四边形、梯形
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仿射的确定
透视仿射由对应 轴和其外一对对 应点完全确定。
g 及A A 已知：
确定的 涵义：
可作任一点B的象。
Pi , Pi (i 1, 2,3) 已知：
三对不共线的对 应点确定唯一的 仿射变换。
a 2 (b c ) d 0,
一维射影变换的分类：
(ad bc 0)
( 2)
相异实根 相异实二重元 双曲型 0 0 (2)有两个相同实根 (1)有两个相同实二重元 称为 抛物型 0 共轭虚根 共轭虚二重元 椭圆型
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第三章 一维射影几何学
计算题
1.求射影变换的固定点（二重点）
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第六章 二次曲线的射影性质
6.1 二阶曲线与二级曲线 6.2 二次曲线的射影定义 6.3 帕斯卡与布利安双定理 6.4 关于二次曲线的极与极线 6.5 配极对应 6.6 二次曲线的射影分类 6.7 二次曲线束及其在解联立方程方面的应用
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第七章 二次曲线的仿射性质 7.1 二次曲线的中心和直径 7.2 二次曲线的渐近线 7.3 二次曲线的仿射分类 7.4 例题 第八章 二次曲线的度量性质 8.1 圆点
{ p q}
点列的交比 (2)交比 线束的交比
交比的定义 交比的计算 交比的性质
调和比 (交比值为-1)
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第三章 一维射影几何学
1.本章主要内容
（3）一维射影对应
①定义：
a b c d 0,
或 , 0
③将每一个特征根λ 分别代入方程组(A’-λ E)u=0，求 出固定线的坐标.
(a11 ) y1 a12 y2 a13 y3 0 a21 y1 (a22 ) y2 a23 y3 0 a y a y (a ) y 0 33 3 31 1 32 2
判断题 1.在一虚直线上有唯一一个实点 2.无穷远直线上不存在虚点 计算题 （ ） （ ）
1.求过点（1，i ，0）的实直线方程.
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第三章 一维射影几何学
1.本章主要内容
(1)一维几何基本图形：点列或线束： 重叠的：共底的点列，共心的线束 ——特征：基底元素相同
非重叠的：点列与线束，两不共底的点列，两不同心的线束
《高等几何》章节目录
第一章 仿射几何学的基本概念
第二章 欧氏平面的拓广
第三章 一维射影几何学 第四章 德萨格定理、四点形与四线形
第五章 射影坐标系和射影变换
第六章 二次曲线的射影性质 第七章 二次曲线的仿射性质 第八章 二次曲线的度量性质
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第一章 仿射几何学的基本概念
1.1 平行射影与仿射对应
1.2 仿射不变性与不变量
a1 a2
b1 b2
0
( 2 2 ) 1
相应几何学 基本不变性质
射影几何 结合性
仿射几何 平行性
欧氏几何 合同性
基本不变量
基本不变图形
交比
---------
简比
无穷远直线
距离、角度
无穷远直线
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复习题
1. 无三点共线的______对对应点决定唯一的二维射影变换 2. 当射影变换使无穷远直线不变、两个虚圆点也不变时，射影变换就是 A.正交变换 B.正相似变换 C.反相似变换 D. 运动变换 3.射影坐标系下，坐标三角形A1A2A3 ，单位点E，顶点A3坐标_______ A1A2方程_____, A1E的坐标_____. 判断题 1.二维射影变换有双曲型、抛物型、椭圆型 （ ） 2.简比是射影不变量 （ ）
可作任一点P的象。
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代数表达式
1 2 x 1 x 2 y 0 T : ,D 0 1 2 y 1 x 2 y 0
特例 推导仿射性、仿射量
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代数表达式
1 2 x 1 x 2 y 0 T : ,D 0 1 2 y 1 x 2 y 0
射影变换的确定（二维射影几何基本定理）： 无三点共线的四对对应点决定唯一的二维射影变换。
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2.二重元素的求法 步骤：①由特征方程|A-λ E|=0,求出特征根;
a11 a21 a31
a12 a22 a32
a13 a23 a33 0
②将每一个特征根λ 分别代入方程组(A-λ E )x=0，求 出固定点的坐标；
8.2 主轴与焦点
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二次曲线
掌握二次曲线的射影定义、性质； 二次曲线的仿射分类； 能根据方程判断曲线的类型；根据系数矩阵判断曲线是常态还是变态的 配极原则；
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一维射影对应
坐标式 参数式
x1 ' a11 x1 a12 x2 x2 ' a21 x1 a22 x2 a11 a21 a12 a22 0, 0
: a ' b c ' d 0,(ad bc 0 ）
b=c
对合对应
齐次坐标
非齐次坐标
a ' b( ') d 0. (ad b2 0)
a b ' c a
(
a c
b a
0 )
x x' x
( 0)
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复习题
1. 点列与线束成射影对应但不成透视，至多需要（ ）回透视可以转换 A.1 B. 2 C. 3 D.4 2.当 ____________时，点列中某四点形成的交比值才会出现1，0，∞。 判断题 1.一维射影变换有双曲型、抛物型、椭圆型 （ ） 2.两对不相重的对应元素决定一个对合 （ ） 3.三对相异的对应元素决定一个一维射影对应 （ ） 计算题
考试重点：作图题
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第四章 德萨格定理，四点形与四线形
A
几何构形的代号：
完全四点形
4 3 2 6
B C
D
完全四线形 三角形 德萨格构形 帕普斯定理
6 2 3 4
a
d
b c
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第五章
射影坐标系和射影变换
5.1 一维射影坐标系 5.2 平面内的射影坐标系 5.3 射影坐标的特例 5.4 坐标转换 5.5 射影变换 5.6 二维射影几何基本定理 5.7 射影变换的二重元素（或固定元素） 5.8 射影变换的特例 5.9 换群 5.10 变换群的例证 5.11 变换群与几何学
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相应的变换群
射影群
3
仿射群
运动群
变换式
xi aij x j , x a1 x b1 y c1
j 1
i 1,2,3,
y a2 x b2 y c2
x x y h y x y k
aij 0
1.已知三对相异的元素的参数，求一维射影变换式.
例：求一维射影变换，使参数1，2，3变为3，4，1.
2.已知两对对应元素的参数，求对合
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第四章 德萨格定理，四点形与四线形
4.1 德萨格三角形定理 一、本节主要内容 二、德氏定理 三、 重要内容例讲 4.2完全四点（角）形与完全四线（边） 一、平面形 二、平面构形 三、完全四点形与完全四线形 4.3 帕普斯定理 一、帕普斯定理 二、帕普斯定理的应用
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第二章 小结
3.复元素 坐标为复数的点或线，称为复元素；若两 个复元素的坐标互为共轭复数，则它们称为 共轭复元素。 特别要注意的是：①一条虚直线上有且 只有一个实点 ；②但是一条实直线上却有无 穷多个虚点（这里① ②是自对偶命题） ； ③坐标为I(1,i,0)、J(1,-i,0)的点称为（虚）圆 点，一切圆都通过这两点，反之通过这两点 的实系数二次曲线一定是圆。因此，在复射 影平面上，两个相交的圆有四个交点。 12
a b c d
0,
{ p q} { p q}
②射影对应的代数表达式 .
透视对应——应用
③射影变换的二重元素及分类.
定义 对合 性质 代数表达式
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④射影对应的确定 .
:
a ' b c ' d 0,
(ad bc 0)
(1)
令μ= μ'
得不变元方程
判断题 1.不变直线上的点都是不变点 （ ） 2.交比是仿射不变量 （ ） 3.两全等三角形经仿射变换后得两全等三角形 计算题
（ ）
1. 求仿射变换的不变点和不变直线.
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第二章 小结
• 本章主要讲授了如下的内容： 1.中心投影（透视） 为了保证直线到直线的中心投影、平面 到平面的中心投影是双射，引入理想元素 （无穷远点和无穷远线）；对理想元素与 普通元素同等对待，这样的观点是射影观 点，否则，则为仿射观点。 • 中心投影保留同素性和结合性。