高考数学二轮复习 大题规范练 星期五 第二周 综合限时练

星期五 (综合限时练)

2017年____月____日

解答题综合练(设计意图：训练考生在规定时间内得高分，限时：80分钟) 1.(本小题满分14分)设数列{a n }的前n 项之积为T n ，且log 2T n ＝

n （n －1）

2

，

n ∈N *.

(1)求数列{a n }的通项公式；

(2)设b n ＝λa n －1(n ∈N *

)，数列{b n }的前n 项之和为S n ，若对任意的n ∈N *

，总有S n ＋1＞

S n ，求实数λ的取值范围.

解 (1)由log 2T n ＝n （n －1）

2

，n ∈N *

，得T n ＝2

n （n －1）

2

，

所以T n －1＝2

（n －1）（n －2）

2

(n ∈N *

，n ≥2)，

所以a n ＝T n T n －1＝2

n （n －1）

22

（n －1）（n －2）

2

＝2n （n －1）2－（n －1）（n －2）2

＝2n －1，n ∈N *，n ≥2.又a 1＝T 1＝20

＝1，适合上式，所以a n ＝2n －1

，n ∈N *

.

(2)由b n ＝λa n －1＝λ2n －1

－1，得S n ＝λ·1－2n

1－2

－n ＝(2n

－1)λ－n .

所以S n ＋1＞S n ⇔(2

n ＋1

－1)λ－(n ＋1)＞(2n －1)λ－n ⇔2n

λ＞1⇔λ＞12

n .

因为对任意的n ∈N *

，12n ≤12，故所求的λ取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞.

2.(本小题满分15分)如图，已知空间四边形ABCD 在平面α上的射影是梯形FBCE ，BC ∥EF ，BC ⊥BF ，BC ＝2EF ＝2AF ＝4DE .又平面ABC 与平面α所成的二面角的大小为45°. (1)求异面直线AB 与CD 所成角的大小； (2)设直线BD 交平面AFC 于点O ，求比值BO

OD

.

解 (1)如图，以点F 为原点，FB ，FE ，FA 分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系.因为AF ⊥平面FBCE ，BC ⊥BF ，所以BC ⊥AB ，所

以∠ABF 就是平面ABC 与平面α所成的二面角的平面角，所以∠ABF ＝45°，从而|AF |＝|BF |.

令|DE |＝a ，则|AF |＝|EF |＝|BF |＝2a ，|BC |＝4a ，

A (0，0，2a )，

B (2a ，0，0)，

C (2a ，4a ，0)，

D (0，2a ，a ).

所以AB →＝(2a ，0，－2a )，CD →

＝(－2a ，－2a ，a )， cos 〈AB →，CD →

〉＝－4a 2

－2a 2

22a ·3a

＝－22.

所以〈AB →，CD →

〉＝135°，故异面直线AB 与CD 所成角的大小为45°. (2)连接BE 、CF 交于点G ，再连接OG . 因为DE ∥AF ，DE ⊄平面AFC ，AF ⊂平面AFC ， 所以DE ∥平面AFC .

又平面BDE ∩平面AFC ＝OG ，所以OG ∥DE ， 所以BO OD ＝

BG

GE

. 由△EFG ∽△BCG ，得EG BG ＝EF BC ＝12，所以BO OD ＝BG

GE

＝2.

3.(本小题满分15分)某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学.在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院.现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动(每位同学被选到的可能性相同).

(1)求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率；

(2)设X 为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X 的分布列和数学期望. 解 (1)设“选出的3名同学是来自互不相同的学院”为事件A ，则 P (A )＝C 1

3·C 2

7＋C 0

3·C 3

7C 3

10＝49

60

. 所以选出的3名同学是来自互不相同的学院的概率为49

60.

(2)随机变量X 的所有可能值为0，1，2，3. P (X ＝k )＝C k

4·C 3－k

6

C 3

10(k ＝0，1，2，3). 所以随机变量X 的分布列是

随机变量X 的数学期望E (X )＝0×16＋1×12＋2×310＋3×130＝6

5

.

4.(本小题满分15分)如图，椭圆x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a ＞b ＞0)的上顶点为

A ，左顶点为

B ，F 为右焦点，过F 作平行于AB 的直线交椭圆于

C 、

D 两点，作平行四边形OCED ，点

E 恰在椭圆上.

(1)求椭圆的离心率；

(2)若平行四边形OCED 的面积为26，求椭圆的方程.

解 (1)∵焦点为F (c ，0)，AB 的斜率为b a ，故直线CD 的方程为y ＝b a

(x －c ). 与椭圆方程联立后消去y 得到2x 2

－2cx －b 2

＝0.

∵CD 的中点为G ⎝ ⎛⎭⎪⎫c 2，－bc 2a ，点E ⎝

⎛⎭⎪⎫c ，－bc

a 在椭圆上.

∴将E 的坐标代入椭圆方程并整理得2c 2

＝a 2

，∴离心率e ＝c

a ＝22

. (2)由(1)知c a ＝

22，b ＝c ，则直线CD 的方程为y ＝2

2

(x －c )，与椭圆方程联立消去y 得到2x 2

－2cx －c 2

＝0.

∵平行四边形OCED 的面积为S ＝c |y C －y D | ＝

22c （x C ＋x D ）2－4x C x D ＝22c c 2＋2c 2＝6

2

c 2＝26，所以c ＝2，b ＝2，a ＝2 2. 故椭圆方程为x 28＋y 2

4＝1.

5.(本小题满分15分)设函数f (x )＝12x 2

＋(2m －3)x ＋ln x (m ∈R ).

(1)讨论函数f (x )在定义域上的单调性；

(2)若对任意的x ∈(1，2)，总有f (x )＜－2，求m 的取值范围.

解 (1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝x ＋2m －3＋1x ＝x 2

＋（2m －3）x ＋1

x

.

令x 2

＋(2m －3)x ＋1＝0，

则Δ＝(2m －3)2

－4＝(2m －1)(2m －5). ①当12≤m ≤5

2

时，Δ≤0，

所以x 2

＋(2m －3)x ＋1≥0，从而f ′(x )≥0；