道路减速带的设置

道路减速带的设置

1.问题重述

三峡大学校内大学路车流量比较大，在未设置减速带之前车速平均为V公里/小时，对学生、教工的安全造成了一定的威胁。学校于前几年在该路段路面设置了减速带，达到了使来往车辆减速的目的，学校希望使来往车辆的速度减到v 公里/小时以内。

本题需要解决的问题：

问题一：建立道路减速带减速的数学模型；

问题二：利用所建的数学模型分析在等距连续设置三道减速带的减速效果；

问题三：利用所建的数学模型给出减速效果最优的三道减速带的设置方案；

问题四：给出三峡大学大学路减速带的设置方案。

2.模型的假设与符号说明

2.1 模型的假设

假设1：由于碰撞情况较复杂，为简化模型，忽略轮胎的弹性，将其视为刚体；假设2：由于车轮经过减速带的距离很短，认为汽车通过减速带时的速度不变；假设3：司机看到减速带后并没有马上减速，而是在距离减速带约30米时才开始减速，通过减速带后又开始加速；

假设4：车辆到达减速带前和越过减速带后的速度变化忽略，即减速带本身对车速的影响忽略不计，把车辆在减速带的位置看作为一质点；

假设5：不考虑车轮与减速带之间的摩擦

3．问题分析

此题研究的是研究道路减速带设置的数学建模问题。减速带作为一种特殊的饿道路安全设施，对避免交通事故的发生起到了重要的作用。减速带除了要强制减速外，还要使得通过减速后能够保证行驶的安全。减速带控制车速的原理实际是通过影响驾驶人的心理来实现的，当车辆以较高车速通过道路减速带时,剧烈的振动会从轮胎经由车身及座椅传递给驾驶人,产生强烈的生理刺激(包括振动刺激和视觉刺激）和心理刺激，而上述的生理和心理刺激能有降低驾驶员对该段公路的行车安全感觉，从而促使车辆驾驶员自觉、主动地降低车速，达到提高特殊路段行车安全的目的。根据调查可知，目前三峡大学使用的道路减速带为驼峰式减速带，故我们将研究的重点放在驼峰式减速带上。此外，由于路段形式的不同会使得减速带设置上的差异，为此，我们从平路和下坡两种情况分别进行研究，确定减速带减速的数学模型和减速效果。

针对问题一，根据日常观察可知，减速带的截面形状近似看成是圆弧形，为了简化碰撞的过程，我们忽略轮胎的弹性，将轮胎视为刚体，对车轮与减速带碰撞时进行几何分析，可以得到轮轴速度和加速度与时间的关系。通过数据可知，驼峰式减速带对于车辆速度的影响大概在减速带前30米到通过后20米左右的范围，当司机行驶到距离减速带30米时，开始减速，将其近似为匀减速直线运动，到达减速带时看成匀速通过减速带。速度过大时车辆通过振动过大易飞出去，影响了驾驶员和乘客的安全，所以我们要对减速带的临界速度进行讨论。

针对问题二，在问题一求出临界速度保证安全的基础上，还要考虑到司机的舒适程度和时间、经济效益等，对司机和乘客而言，通过减速带后的距离与通过减速带前的距离越接近越好，所以我们利用通过减速带前的路程与减速带后的路程的比值来确定减速的效果，该比值越大，则表明减速效果越好。

针对问题三，与问题二的不同在于没有限定是等距连续的三条减速带，而且题目中要求所求的是求最优减速效果的减速带的设置，所以我们通过最时间的刻画来确定减速效果，在安全已经保证了的情况下，对于驾驶员而言，通过减速带的时间越短越好，所以我们通过建立时间最短的目标函数，并通过相关约束条件的确定来进行求解，最后得到减速效果最优的三条减速带的设置。

针对问题四，

4．问题一的解答

4．1 问题一模型的建立

针对问题一，我们考虑到两种路段：一个是平路，一个是下坡。这两种路段

ϕ=，而对于下坡，存在着一定的区别是倾斜角ϕ的不同，对于平路，倾斜角0

=。

的倾斜度，所以倾斜角为ϕϕ

当汽车通过减速带时，其两端类似于相切抛物线，中间是一段圆弧。以圆弧减速带弦长的中点为坐标原点O，以地面水平线为x轴，过圆弧减速带圆心并垂直于地面为y轴，建立如下图所示的相切抛物线的模型：

一：刻画出圆弧段和两端的抛物线的方程 （1） 中间的圆弧段

减速带的纵截面是一段圆弧，其几何分析图如图2所示：

由高h 和宽l ，可以根据平面几何知识求得圆弧半径为：

2128h L r h

=+

设圆弧曲线方程为：

()2

22

11x y r h r ++-=⎡⎤⎣⎦

过渡抛物线方程为：

2()2x a py -=

与圆弧相切于点00(,)x y ，则有如下方程组：

图2 圆弧形减速带的几何分析图

2222010()2()x a py x y b r x a x p ⎧⎪-=⎪⎪+-=⎨⎪--⎪=

⎪⎩

（在0x 处斜率相等）

（2） 两端的抛物线

设右边的抛物线轨迹方程为：

()

2

22()x a p y r -=-

已知过点

()11,x y ，且有：

112112()cos ()sin x r r y r r θ

θ

=+⎧⎨

=+⎩ 代入上式得到

2

12122

[()cos ]2()sin r r a p r r r θθ+-=

+-

则右边抛物线方程为：

2

1222122

[()cos ]

()()()sin r r a x a y r r r r θθ+--=-+-

同理可得左边抛物线的方程为：

2

122

2122

[()cos ]()()()sin r r a x a y r r r r θθ+-+=-+-

二：讨论轮胎轮轴的运动情况

由图1可知，当轮胎从圆弧部分滚过时，轮轴的运动轨迹为以圆弧圆心为圆心、以12r r +为半径的圆弧，轨迹方程为

()()

2

2

2

112x y r h r r ++-=+⎡⎤⎣⎦

因此可得汽车通过整个减速带时轮轴的运动轨迹方程为