大学高数期末考试题及答案

第一学期高等数学期末考试试卷答案

一．计算题（本题满分35分，共有5道小题，每道小题7分），

1．求极限()x

x x x

x 30

sin 2cos 1lim -+→．

解：

()30303012cos 1lim 12cos 12lim sin 2cos 1lim x

x x x x x x x x x x x x x -⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-+→→→ 20302cos 1ln 0

3

2cos 1ln 0

2cos 1ln

lim 2cos 1ln

lim

2

cos 1ln

1lim

1

lim

x

x

x x x x x e

x e

x x x x x x x x +=+⋅+-=-=→→⎪⎭

⎫ ⎝⎛+→⎪⎭

⎫

⎝⎛+→ ()4

1

2cos 1sin lim

0-=+-=→x x x x ．

2．设0→x 时，()x f 与2

2

x 是等价无穷小，

()⎰3

x

dt t f 与k

Ax

等价无穷小，求常数k 与A ．

解：

由于当0→x 时，

()⎰

3

x

dt t f 与k Ax 等价无穷小，所以()1lim

3

=⎰→k

x

x Ax

dt

t f ．而

()()

()

1013

2

3201

3232

3

230132

3

00061lim 6lim 3122lim 31lim lim 3

-→--→-→-→→=⋅=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭

⎫

⎝

⎛⋅⋅=⋅⋅=⎰k x k x k x k x k x

x Akx

Akx x x Akx x x x x f Akx x x f Ax dt t f 所以，161lim 10=-→k x Akx ．因此，6

1

,1==A k ．

3．如果不定积分

()()

⎰++++dx x x b

ax x 2

2

211中不含有对数函数，求常数a 与b 应满足的条件．

解：

将

()()

2

2

211x

x b

ax x ++++化为部分分式，有

()()

()2

222211111x

D

Cx x B x A x x b

ax x ++++++=

++++， 因此不定积分

()()

⎰++++dx x x b

ax x 2

2

211中不含有对数函数的充分必要条件是上式中的待定系数

0==C A ．

即

()()

()()()()()

222

22222211111111x x x D x B x D x B x x b

ax x +++++=+++=++++． 所以，有()

()()()D B Dx x D B x D x B b ax x ++++=+++=++2112

2

22．

比较上式两端的系数，有D B b D a D B +==+=,2,

1．所以，得1=b ．

5．计算定积分{}⎰

-2

50

2,

1min dx x ．

解： {

}⎩⎨

⎧>-≤--=-1

21

1

22

2,

1min x x x x

⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>≤<-≤≤-<=31

32221211

x x x x x x ．

所以，{

}()()8

132212,

1min 2

52

2

1

10

2

50

=

-+-+=-⎰⎰⎰⎰

dx x dx x dx dx x ． 5．设曲线C 的极坐标方程为3

sin 3

θ

a r =，求曲线C 的全长．

解： 曲线3

sin

3

θ

a r =一周的定义域为πθ

≤≤

3

0，即πθ30≤≤．因此曲线C 的全长为

()()()()a d a d a a d r r s πθθ

θθ

θ

θ

θθθπ

π

π

2

3

3sin 3

cos

3

sin

3

sin

30

2

30

2

4

26

2

30

2

2

==+='+=

⎰⎰

⎰．

二．（本题满分45分，共有5道小题，每道小题9分），

6．求出函数()()

()

n n x x x f 221sin lim +=+∞→π的所有间断点，并指出这些间断点的类型．

解：

()()()()⎪⎪⎪

⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧

>-=-=<=+=+∞→2

10212121

2121sin 21sin lim 2x x x x x x x x f n n ππ．

因此211-

=x 与2

1

2=x 是函数()x f 的间断点． ()00lim lim 2

1

2

1==---

→-

→x x x f ，()()1sin lim lim 2

12

1-==++-

→-

→x x f x x π，因此2

1

-

=x 是函数()x f 的第一类可去型间断点．

()()1sin lim lim 2

12

1

==---

→-

→x x f x x π，()00lim lim 2

12

1==++-

→→

x x x f ，因此2

1

=

x 是函数()x f 的第一类可去型间断点．

7．设ξ是函数()x x f arcsin =在区间[]b ,0上使用Lagrange （拉格朗日）中值定理中的“中值”，

求极限b

b ξ

lim →．

解：

()x x f arcsin =在区间[]b ,

0上应用Lagrange 中值定理，知存在()b ,0∈ξ，使得

()0110arcsin arcsin 2

--=

-b b ξ

．

所以，2

2arcsin 1⎪⎭

⎫

⎝⎛-=b b ξ．因此，

()()

2222

022

0220arcsin arcsin lim arcsin 1lim lim b b b b b b b b b b b -=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=→→→ξ 令b t arcsin =，则有