推理与证明(综合法、分析法与反证法)
第十三章综合法与分析法、反证法
答案
2.分析法
(1)定义：从 求证的结论 出发，一步一步地探索保证前一个结论成
立的 充分条件 ，直到归结为这个命题的条件，或者归结为定义、公
理、定理等.我们把这样的思维方法称为分析法 .
cd＝p.
1
2
3
4
5
解析答案
2.(2014· 山东)用反证法证明命题：“设a，b为实数，则方程x3 ＋ax＋b ＝0至少有一个实根”时，要做的假设是( A ) A.方程x3＋ax＋b＝0没有实根 B.方程x3＋ax＋b＝0至多有一个实数 C.方程x3＋ax＋b＝0至多有两个实根 D.方程x3＋ax＋b＝0恰好有两个实根 解析 方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根的反面是方程x3＋ax＋b＝0没 有实根，故应选A.
代入椭圆方程求得点A的坐标，后求AC的长；
思维点拨
规范解答
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(2)当点B在W上且不是W的顶点时，证明：四边形OABC不可能为菱形.
思维点拨
将直线方程代入椭圆方程求出 AC的中点坐标(即OB的中点
坐标)，判断直线AC与OB是否垂直.
思维点拨
规范解答
温馨提醒
思想方法 感悟提高
方法与技巧
1.分析法的特点：从未知看需知，逐步靠拢已知. 2.综合法的特点：从已知看可知，逐步推出未知. 3.分析法和综合法各有优缺点.分析法思考起来比较自然，容易寻找到 解题的思路和方法，缺点是思路逆行，叙述较繁；综合法从条件推出 结论，较简捷地解决问题，但不便于思考.实际证题时常常两法兼用， 先用分析法探索证明途径，然后再用综合法叙述出来.
11.2 分析法、综合法与反证法
由x1,x2∈
0,
2
,x1≠x2知上式显然成立,因此12
[f(x1)+f(x2)]>f
x1
2
x2
.
第第十十四四页，页编，辑编于辑星于期星五期：六二：十二十点五点三十三九十分九。分。
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方法三 反证法证题的方法
反证法证题的一般步骤 (1)反设:假定所要证的结论不成立,而设结论的反面(否定命题)成立;(否 定结论) (2)归谬:将“反设”作为条件,由此出发经过正确的推理,导出矛盾—— 与已知条件、已知的定义、公理、定理及明显的事实矛盾或自相矛盾; (推导矛盾) (3)立论:因为推理正确,所以产生矛盾的原因在于“反设”的谬误.既然 原命题结论的反面不成立,从而肯定了原命题成立.(命题成立)
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考向突破
考向一 综合法 例1 (2019届江苏连云港板浦高级中学检测)如图,在四棱锥P-ABCD中, PC⊥底面ABCD,ABCD是直角梯形,AB⊥AD,AB∥CD,AB=2AD=2CD=2, E是PB的中点. (1)求证:EC∥平面PAD; (2)求证:平面EAC⊥平面PBC.
第第三页三，页编，辑编于星辑期于五星：二期十六二：点十三五十九点分三。十九分。
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11.2 分析法、综合法与反证法
第第一一页页，编，辑编于辑星于期星五期：六二：十十二点五点三十三九十分九。分。
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考向基础
考点清单 考点一 直接证明
直接证明中最基本的两种证明方法是① 综合法 和② 分析法 .
(1)综合法:一般地,利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等,经过
一系列推理论证,最后推导出所要证明的结论成立,这种证明方法叫做
证明 (1)由(3-m)Sn+2man=m+3,
反证法
1
温故迎新
1.直接证明的两种基本证法： 综合法和分析法 2.这两种基本证法的推证过程和特点：
综合法: 已知条件 分析法: 结论
结论 由因导果 已知条件 执果索因
3、在实际解题时，两种方法如何运用？ 通常用分析法寻求思路， 再由综合法书写过程.
2
故事：南方某风水先生到北方看风水，恰逢天降大 雪。先生突然想附庸风雅一番，乃作一歪诗： 天公下雪不下雨，雪到地上变成雨； 早知雪要变成雨，何不当初就下雨。
(2)△ ABC 中 , 最多有一个钝角 假设△ABC中,至少有两个钝角
（3） “若a2≠ b2,则a ≠ b”
假设a=b
。
20
例2 求证： 2 是无理数。
证：假设 2是有理数，
∴ m = 2n
2
m 则存在互质的整数m，n使得 2 = ， n
∴ m = 2n
2 2
2
2
∴m 2 是偶数，从而m必是偶数，故设m = 2k（k∈N）
他的歪诗又恰被一牧童听到，亦作一打油诗讽刺风 水先生：先生吃饭不吃屎，饭到肚里变成屎； 早知饭要变成屎，何不当初就吃屎。
这就是逆向思维的威力，一个原本非常复杂难证的哲学问题被 牧童运用了“以其人之道，还其人之身”便迎刃而解了。
3
路 边 苦 李
王戎7岁时,与小伙伴们外出游玩, 看到路边的李树上结满了果子.小伙 伴们纷纷去摘取果子,只有王戎站在 原地不动.伙伴问他为什么不去摘？
反设——假设命题的结论不成立； 归谬——从假设出发，经过一系列正确的推理，得出矛盾；
存真——由矛盾结果，断定反设不成立，从而肯定原结论成立。
归缪矛盾： （1）与已知条件矛盾；
（2）与假设矛盾或自相矛盾;
2015届高考二轮复习 专题四 第3讲 推理与证明
平面几何中的面积可类比到空间几何中的体积；
解析 正比，
平面几何中，圆的面积与圆的半径的平方成
而在空间几何中，球的体积与半径的立方成正比，
V1 1 所以＝ ＝ . V2 27
答案 1 27
ex－e－x (2)已知双曲正弦函数 shx＝ 和双曲余弦函数 2 ex＋e－x chx ＝ 与我们学过的正弦函数和余弦函数有 2 许多类似的性质， 请类比正弦函数和余弦函数的和角 ．． 或差角 公式， 写出双曲正弦或双曲余弦函数的一个 类 ．．． ．． 似的正确结论________.
n n n c1n c2 cn n
)
c1 c2 · · · cn B.dn＝ n D.dn＝ c1c2· · · cn n
解析
由{an}为等差数列，设公差为d，
a1＋a2＋„＋an n－ 1 则 bn＝ ＝a1＋ d， 2 n
又正项数列{cn}为等比数列，设公比为q，
则 dn＝
答案
n
n c c1c2· · · cn＝ 1 q
n
n2 n 2
＝ c1 q
n 1 2
，故选 D.
D
(2)椭圆与双曲线有许多优美的对偶性质， 如对于椭圆有如 x2 y 2 下命题： AB 是椭圆 2＋ 2＝1(a>b>0)的不平行于对称轴且 a b 2 b 不过原点的弦，M 为 AB 的中点，则 kOM· kAB＝－ 2.那么 a x2 y2 对于双曲线则有如下命题：AB 是双曲线 2－ 2＝1(a>0， a b
六边形的个数是(
)
思维启迪
根据三个图案
A.26
C.32
B.31
D.36
中的正六边形个
数寻求规律；
推理与证明(三)
推理与证明（三）教学目标：了解分析法、综合法、反证法的思考过程和特点；2010年考试说明要求A. 基础训练：1.设k 为奇数，求证：方程0222=++k x x 没有有理根。
2.证明：xx x x cos 1sin 22sin sin 23-=+。
3.已知三角形ABC 的3个顶点的坐标分别为A(5，-2)，B(1，2)，C(10，3)，求证：三角形ABC 为直角三角形。
4.求证:当 a>1时，a a a 211<-++5．设a ，b 是两个相异的正数，求证：关于x 的一元二次方程024)(222=+++ab abx x b a 没有实数根。
6.求证：定义在实数集上的单调函数y=f(x)的图像与x 轴之多只有1个交点。
典型例题：已知a ，b ，m 均为正实数，b<a ，求证：m a m b a b ++<设a ，b ，c ，为不全相等的正数，求证3>-++-++-+c c b a b b a c a a c b课堂检测：1.设a ，b 是两个相异的正数，且a+b=1，分别用分析法、综合法证明：411>+b a2.试比较)()1(*1N n n n n n ∈++与的大小，分别取n=1、2、3、4、5加以试验，根据试验结果猜测一个一般性结论______________________________3．观察：112166<+；1125.145.7<+； 11251953<-++；….对于任意正实数,a b ≤成立的一个条件可以是 ____.4．设()2x x e e f x -+=，()2x xe e g x --=，计算(1)(3)(1)(3)(4)fg g f g +-=_______，(3)(2)(3)(2)(5)f g g f g +-=________，并由此概括出关于函数()f x 和()g x 的一个等式，使上面的两个等式是你写出的等式的特例,这个等式是___________________________5.过抛物线)0(22>=p px y 焦点F 作倾斜角为4π的直线，交抛物线于A 、B 两点，求证AB=p 4。
2.2.2__反证法
∴m 2 是偶数，从而m必是偶数，故设m = 2k（k∈N）
从而有4k = 2n ，即n = 2k ∴n2 也是偶数， 这与m，n互质矛盾！
所以假设不成立，2是有理数成立。
作业
1:若p1 p2 = 2(q1 + q 2 ),证明:关于x的方程 x + p1x + q1 = 0与x + p 2 x + q 2 = 0中至少有一 个有实根.
思考题:甲、乙、丙三箱共有小球384个,先 由甲箱取出若干放进乙、丙两箱内,所放个 数分别为乙、丙箱内原有个数,继而由乙箱 取出若干个球放进甲、丙两箱内,最后由丙 箱取出若干个球放进甲、乙两箱内,方法同 前.结果三箱内的小球数恰好相等.求甲、 乙、丙三箱原有小球数 甲:208个,乙:112个,丙:64个
假设方程ax b 0(a 0)至少存在两个根
不妨设其中的两根分别为x1，x2 且x1 ≠ x2
则ax1 = b，ax2 = b
∴ax1 = ax2
∴ax1 - ax 2 = 0
∴a（x1 - x2） 0 =
∵x1 ≠ x2，x1 - x2 ≠ 0
∴a = 0 与已知a ≠ 0矛盾,
故假设不成立，结论成立。
若 a = b，则a = b, 与已知a > b矛盾,
若 a < b，则a < b, 与已知a > b矛盾,
故假设不成立，结论 a > b成立。
例4 求证： 2 是无理数。
证：假设 2是有理数，
m 则存在互质的整数m，n使得 2 = ， n 2 2 ∴ m = 2n ∴ m = 2n
2 2 2 2
反设——假设命题的结论不成立；
归谬——从假设出发，经过一系列正确的 推理，得出矛盾； 存真——由矛盾结果，断定反设不真，从 而肯定原结论成立。
人教新课标版数学高二选修1-2教师用书 第2章《推理与证明》归纳提升
推理与证明推理合情推理归纳推理类比推理演绎推理三段论证明直接证明分析法综合法间接证明反证法归纳推理要涉及两个类型：数的归纳和形的归纳，其求解思路如下：(1)通过观察个别对象发现某些相同性质； (2)由相同性质猜想得出一般性结论．需特别注意一点，由归纳猜想得出的结论未必正确，常需要严格的推理证明．(2013·南昌高二检测)在平面上，我们如果用一条直线去截正方形的一个角，那么截下的是一个直角三角形，若将该直角三角形按图标出边长a ，b ，c ，则由勾股定理有：a 2＋b 2＝c 2.设想把正方形换成正方体，把截线换成如图2－1的截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥O －LMN ，如果用S 1，S 2，S 3表示三个侧面面积，S 4表示截面面积，那么你类比得到的结论是________．图2－1【思路点拨】 由三角形三边的平方关系，猜想四个面的关系也可能是平方关系，即S 21＋S 22＋S 23＝S 24，然后按照这个思路推证．【规范解答】 由图象可得S 1＝12OM ·ON ， S 2＝12OL ·ON ，S 3＝12OM ·OL ，S 4＝12ML ·NL ·sin ∠MLN ＝12ML ·NL ·1－cos 2∠MLN ＝12ML ·NL ·1－(ML 2＋NL 2－MN 22ML ·NL)2＝14·4ML 2·NL 2－(ML 2＋NL 2－MN 2)2.∵OM 2＋ON 2＝MN 2，OM 2＋OL 2＝ML 2，OL 2＋ON 2＝LN 2， ∴S 4＝12OM 2·ON 2＋OL 2·ON 2＋OM 2·OL 2，∴S 21＋S 22＋S 23＝S 24.【答案】 S 21＋S 22＋S 23＝S 24在如下数表中，已知每行、每列中的数都成等差数列，第1列 第2列 第3列 … 第1行 1 2 3 … 第2行 2 4 6 … 第3行 3 6 9 … ……………【解析】 由题中数表知：第n 行中的项分别为n,2n,3n ，…，组成一等差数列，所以第n 行第n ＋1列的数是：n 2＋n .【答案】 n 2＋n类比推理出另一类对象也具有这些特征的推理．显然其特征是由特殊到特殊的推理，常见的类比情形有：平面与空间类比，向量与数的类比，不等与相等类比，等差数列同等比数列的类比等等．需注意一点，由类比推理得出的结论也未必正确，也需要严格证明．已知：由图①有面积关系：S△PA′B′S△PAB＝PA′·PB′PA·PB.图2－2(1)试用类比的思想写出由图②所得的体积关系V P-A′B′C′V P-ABC＝______________________.(2)证明你的结论是正确的．【思路点拨】由面积关系，类比推测V P－A′B′C′V P－ABC＝PA′·PB′·PC′PA·PB·PC，然后由体积公式证明．【规范解答】(1)V P-A′B′C′V P-ABC＝PA′·PB′·PC′PA·PB·PC.(2)过A作AO⊥平面PBC于O，连接PO，则A′在平面PBC内的射影O′落在PO上，从而V P-A′B′C′V P-ABC＝V A′-PB′C′V A-PBC＝13S△PB′C′·A′O′13S△PBC·AO＝PB′·PC′·A′O′PB·PC·AO，∵A′O′AO＝PA′PA，∴V P-A′B′C′V P-ABC＝PA′·PB′·PC′PA·PB·PC.如图2－3(1)，在三角形ABC中，AB⊥AC，若AD⊥BC，则AB2＝BD·BC；若类比该命题，如图2－3(2)，三棱锥A－BCD中，AD⊥平面ABC，若A点在三角形BCD所在平面内的射影为M，则可以得到什么命题？命题是否为真命题并加以证明．(1)(2)图2－3【解】命题是：三棱锥A－BCD中，AD⊥平面ABC，若A点在三角形BCD 所在平面内的射影为M，则有S2△ABC＝S△BCM·S△BCD，是一个真命题．证明如下：在图(2)中，连接DM，并延长交BC于E，连接AE，则有DE⊥BC.因为AD⊥平面ABC，所以AD⊥AE.又AM⊥DE，所以AE2＝EM·ED.于是S2△ABC＝(12BC·AE)2＝(12BC·EM)·(12BC·ED)＝S△BCM·S△BCD.演绎推理均正确的前提下，得到的结论一定正确，演绎推理的内容一般是通过合情推理获取．演绎推理的形式一般为“三段论”的形式，即大前提、小前提和结论．图2－4如图2－4所示，D，E，F分别是BC，CA，AB上的点，∠BFD＝∠A，DE∥FA，求证：ED＝AF.【思路点拨】分别确定大前提、小前提，利用演绎推理的方法推出结论．【规范解答】同位角相等，两条直线平行，大前提∠BFD与∠A是同位角，且∠BFD＝∠A，小前提所以DF∥EA.结论两组对边分别平行的四边形是平行四边形，大前提DE∥FA，且DF∥EA，小前提所以四边形AFDE为平行四边形．结论平行四边形的对边相等，大前提ED和AF为平行四边形的一组对边，小前提所以ED＝AF.结论图2－5已知：在空间四边形ABCD中，点E，F分别是AB，AD的中点，如图2－5所示，求证：EF∥平面BCD.【证明】三角形的中位线平行于底边，大前提点E、F分别是AB、AD的中点，小前提所以EF∥BD.结论若平面外一条直线平行于平面内一条直线，则直线与此平面平行，大前提EF⊄平面BCD，BD⊂平面BCD，EF∥BD，小前提EF∥平面BCD.结论直接证明与间接证明1.方式是执果索因法，在解题时常用分析法来探寻思路，用综合法来书写求解过程．2．间接证明，常用的是反证法，其思维过程：否定结论⇒推理过程中引出矛盾⇒否定假设肯定结论，即否定——推理——否定(经过正确的推理导致逻辑矛盾，从而达到新的“否定”(即肯定原命题))．(2013·杭州高二检测)已知α∈(0，π)，试用多种方法求证：2sin2α≤sin α1－cos α.【思路点拨】本题可分别用分析法、综合法及反证法进行证明．【规范解答】法一(分析法)要证明2sin 2α≤sin α1－cos α成立，只要证明4sin αcos α≤sin α1－cos α.∵α∈(0，π)，∴sin α＞0，∴只要证明4cos α≤11－cos α.上式可变形为4≤11－cos α＋4(1－cos α)．∵α∈(0，π)，∴1－cos α＞0.∴11－cos α＋4(1－cos α)≥211－cos α·4(1－cos α)＝4，当且仅当11－cos α＝4(1－cos α)，即cos α＝12，即α＝π3时取等号．∴4≤11－cos α＋4(1－cos α)成立．∴不等式2sin 2α≤sin α1－cos α成立．法二(综合法)∵α∈(0，π)，∴1－cos α＞0. ∴11－cos α＋4(1－cos α)≥211－cos α·4(1－cos α)＝4.当且仅当11－cos α＝4(1－cos α)，即cos α＝12，即α＝π3时取等号．∴4cos α≤11－cos α.∵α∈(0，π)，∴sin α＞0.∴4sin αcos α≤sin α1－cos α.∴2sin 2α≤sin α1－cos α.法三(反证法)假设2sin 2α>sin α1－cos α，则4sin αcos α>sin α1－cos α.∵α∈(0，π)，∴sin α>0，∴4cos α(1－cos α)>1，即4cos2α－4cos α＋1<0(2cos α－1)2<0，不成立．故假设错误，原不等式成立．已知a ，b 为正数，求证a 2＋b 2≥22(a ＋b )．【证明】 法一 (综合法) a 2＋b 2＝a 22＋b 22＋12(a 2＋b 2) ≥a 22＋b 22＋ab ＝12(a ＋b )2＝22(a ＋b )．法二 (分析法) 要证a 2＋b 2≥22(a ＋b )， 只要证a 2＋b 2≥12(a ＋b )2(a >0，b >0)， 即证a 2＋b 2≥12(a 2＋b 2＋2ab )， 即证a 2＋b 2≥2ab ，∵a 2＋b 2≥2ab 成立，∴原结论成立． 法三 (反证法) 假设a 2＋b 2<22(a ＋b )，则a 2＋b 2<12(a ＋b )2⇒a 2＋b 2<12(a 2＋2ab ＋b 2) ⇒a 2＋b 2<2ab⇒(a －b )2<0，不成立． ∴假设不成立，故原结论正确.数形结合思想在合情推理中的应用作出猜想．如图2－6所示是树形图，第一层是一条与水平线垂直的线段，长度为1；第二层在第一层线段的前端作两条与该线段均成135°角的线段，长度为其一半；第三层按第二层的方法在每一条线段的前端生成两条线段；重复前面的作法作图至第n层．设树形图的第n层的最高点到水平线的距离为第n层树形图的高度．图2－6(1)求第三层及第四层树形图的高度H3、H4；(2)求第n层树形图的高度H n.【思路点拨】求出前4层的竖直高度，找出规律，进行猜想．【规范解答】(1)设题中树形图中新生出的各层高度所构成的数列为{a n}，则a1＝1，a2＝12×22，a3＝122，a4＝123×22，所以第三层树形图的高度为H3＝a1＋a2＋a3＝5＋24，第四层树形图的高度为H4＝a1＋a2＋a3＋a4＝20＋5216.(2)易知a n＋2a n＝14(n∈N*)，所以树形图中新生出的第n层高度a n＝⎩⎨⎧12n－1(n为奇数)，12n－1×22(n为偶数).所以当n为奇数时，第n层树形图的高度为H n＝43[1－(14)n＋12]＋23[1－(14)n－12]；当n为偶数时，第n层树形图的高度为H n＝43[1－(14)n2]＋23[1－(14)n2]．如图(1)所示，是一个水平摆放的小正方体木块，图(2)，图(3)均是由这样的小正方体木块叠放而成的，按照这样的规律放下去，至第七个叠放的图形中，小正方体木块总数是()图2－7A．25B．66C．91D．120【解析】小正方体木块叠放的规律是下一个图形比上一个图形多放4(n－1)＋1块，则有a1＝1，a2－a1＝5，a3－a2＝9，a4－a3＝13，…，a7－a6＝25，可得a7＝91.【答案】 C。
精品人教版高二数学推理与证明解读可编辑
实数的乘法 若a,b R， 则ab R
abba (ab)c a(bc)
加法的逆运算是减法,
使得方程ax0
有唯一解 xa
a0a
乘法的逆运算是除
法,使得方程ax1
有唯一解
x1(其中 a0) a
a1a
演绎推理 演绎推理是根据已有的事实和正确的
结论（包括定义、公理、定理等），按照 严格的逻辑法则得到新结论的推理过程。
②了解间接证明的一种基本方法——反证法；了解 反证法的思考过程与特点。
（3）数学归纳法 (选修2-2)
了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一 些简单的数学命题。
（4）数学文化
①通过对实例的介绍（如欧几里得《几何原本》、 马克思《资本论》、杰弗逊《独立宣言》、牛顿三 定律），体会公理化思想。
②介绍计算机在自动推理领域和数学证明中的作用。
（4）注意文理差异。
5、教学建议
（1）推理教学的重点在于通过具体实例理 解合情推理与演绎推理，不追求对概念的 抽象表述。
（2）证明的教学应引导学生认识各种证明 方法的特点，体会证明的必要性，对证明 的技巧性不宜作过高的要求，对证明的问 题难度也要加以控制。
（3）讲清数学归纳法的原理，但只需用数 学归纳法证明一些简单的数学命题。
PQ1
Q1Q2 Q2 Q3
Qn Q
直接证明——综合法发，逐步寻求使它 成立的充分条件，直至最后，把要证明的 结论归结为判定一个明显成立的条件（已 知条件、定义、定理、公理等。
框图表示：
QP1
P1 P2
P2 P3
得到一个
明显成立
的条件
直接证明——分析法
类比的风险
【高中数学】综合法与分析法 、反证法
题型 用反证法证明“至多”，“至少”等存在性问题
π
π
若 a，b，c 均为实数，且 a＝x2－2y＋ 2 ，b＝y2－2z＋ 3 ，c＝z2
π －2x＋ 6 ，求证：a，b，c 中至少有一个大于 0.
证明：假设 a，b，c 都不大于 0，即 a≤0，b≤0，c≤0，则 a＋b＋c
≤0.
而 a＋b＋c＝x2－2y＋π2 ＋y2－2z＋π3 ＋z2－2x＋π6 ＝(x－1)2＋(y －1)2＋(z－1)2＋π－3.
a（a－1） ，
所以 a＋1－ a＜ a－1－ aC 成等差数列，且角 A，B，C 的对 边分别为 a，b，c，求证：(a＋b)－1＋(b＋c)－1＝3(a＋b＋c)－1.
证明：方法一 (分析综合法) 要证(a＋b)－1＋(b＋c)－1＝3(a＋b＋c)－1 成立， 即证a＋1 b＋b＋1 c＝a＋3b＋c成立，
反证法证明时反设不全面致误.
【典例】 已知a，b，c是互不相等的非零实 数．求证：三个方程ax2＋2bx＋c＝0，bx2＋ 2cx＋a＝0，cx2＋2ax＋b＝0至少有一个方程有 两个相异实根．
解析：假设三个方程都没有两个相异实根， 则Δ1＝4b2－4ac≤0，Δ2＝4c2－4ab≤0，Δ3＝4a2－4bc≤0. 相加有 a2－2ab＋b2＋b2－2bc＋c2＋c2－2ac＋a2≤0， 即(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≤0，(*) 由题意 a，b，c 互不相等，所以(*)式不能成立． 所以假设不成立，即三个方程中至少有一个方程有两个相异实 根．
即a＋a＋b＋b c＋a＋b＋b＋c c＝3，化简得a＋c b＋b＋a c＝1， 又需证 c(b＋c)＋(a＋b)a＝(a＋b)(b＋c)， 即 c2＋a2＝b2＋ac. 又△ABC 的三个内角 A，B，C 成等数列，所以 B＝60°. 由余弦定理，得 cos B＝a2＋2ca2c－b2＝21. 所以 a2＋c2－b2＝ac，所以原命题成立．
2016届原创§84 推理与证明简介
x 0 ,则 x 0 ,则 x cos x ,则 x tan x ,则 x
0 ,则
sin x cos x
sin x＞cosx
常用结论要背熟
sin x＞tanx
sin x＜tanx
sin x＜tanx sin x＞tanx
sin x＜cosx
常用结论要背熟
当且仅当 bi＝0 或存在一个数 k ，使 ai＝k bi 时等号成立
ii：向量式
a b | a | | b |
2.应用： i：作用：换序变结构 ①a1 , a2 ,, an ii：用途：解证求最值 注：最常见的是将 b1 , b2 , , bn 配凑为
1 1 1 ② , ,, a1 a2 an
□ ○ = | □| | ○|
<2> |□|-|○|≤|□±○|≤|□|+|○| 注1.放缩换序增减号 特例消元求最值
注2.拍扁三角取等号
“=”成立的条件：
同号异号是关键
①中间“＋”时,右侧取“=”的条件是“□○≥0”
左侧取“=”的条件是“□○≤0且|□|≥|○|”
②中间“－”时,右侧取“=”的条条件是“□○≤0” 左侧取“=”的条件是“□○≥0且|□|≥|○|”
几何意义——距离(实数,复数,向量) ②形： 2.公式： ① |f(x)|＜g(x) ② |f(x)|＞g(x)
－g(x)＜f(x)＜g(x) －g(x)＜f(x)或 f(x)＞g(x)
3.性质： 4.绝对值函数的图象：
3.性质：
<1> |□|= | □· ○|=|□|· | ○| ； □2 ；
标根法解一元n次不等式
一正二方三穿线 奇穿偶切右上方 上大下小中为等 函数简图是本质
第二章 推理与证明习题课
易错提醒
(1)找不准归纳的对象． m 的位置在最高次幂 如
的系数位置． 因而从每一个等式中最高次幂的系数入手进行 归纳； 是 cos2α 的系数， p 所以从 cos2α 的系数入手进行归纳． n 却不能从 cos4α 的系数入手进行归纳，因为第①个式子中没 有 cos4α，缺少归纳的特征项． (2)规律找不准．在 cos2α 的系数：2，－8,，－32，p 的规 律很多考生找不准．事实上，可将各数拆分为 1×2，－2 ×4,3×6，－4×8，即(－1)n＋1· (2n)＝(－1)n＋12n2. n· ∴p＝(－1)6· 2＝50. 2×5
1 1 1 ∴ a+ b+ c = + + bc ca ab 1 1 1 1 1 1 + + + b c + c a + a b = 1 + 1 +1. < 2 2 2 a b c
1 1 1 ∴ a + b + c < + + 成立. a b c
例:平面内有n条直线,其中任何两条不平行,任 何三条不过同一点,证明交点的个数f(n)等于 n(n-1)/2.
解析 因为 a1＝1，2＝3，3＝6， an＝an－1＋n(n≥2)， a a „， 所以 an－an－1＝n， 于是 an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋„＋(a2－a1)＋a1＝ n(n＋1) n＋(n－1)＋„＋2＋1＝ ， 2 2 010(2 010＋1) 所以 a2 010＝ 2 ＝1 005×2 011＝2 021 055.
解析 由所给函数及其导函数知，偶函数的导函数为 奇函数． 因此当 f(x)是偶函数时， 其导函数应为奇函数， 故 g(－x)＝－g(x)．
第十二课反证法
＋(z－1)2＋π－3.
所以 a＋b＋c＞0，这与 a＋b＋c≤0 矛盾，故 a、b、c 中至少有 一个大于 0.
第三章 推理与证明
变式训练 2.已知 a，b，c 是互不相等的实数， 求证：由 y＝ax ＋2bx＋c，y＝bx ＋2cx＋a 和 y ＝ cx ＋ 2ax＋ b 确定的三条抛物线至少有一 条与 x 轴有两个不同的交点．
变式训练 3. 求证：过直线外一点有且只有一条 直线和这条直线平行．
第三章 推理与证明
证明： ∵点P在直线外， ∴点P和直线a确定一个平面，设该平面为α. 在平面 α 内，过点 P 作直线 b ，使得 b∥a ，则过 点P有一条直线与a平行．
假设过点P还有一条直线c与a平行．
∵a∥b，a∥c，∴b∥c. 这与b、c相交于一点P矛盾， 故假设不成立，原命题正确．
第三章 推理与证明
1．反证法 在证明数学命题时，先 假定命题结论的反面 成立，在 这个前提下，若推出的结果与 定义 、 公理 、 定理 相 矛 盾，或与命题中的 已知条件 相矛盾，或与 假定 相矛盾， 从而说明 命题结论的反面 不 可 能 成 立 ， 由 此 断 定 命题的结论 成立，这种证明方法叫作反证法． 2．反证法常见矛盾类型 反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾 可以是与 已知条件、假设、定义、公理、定理、事实等 矛 盾．
第三章 推理与证明
题型四、反证法的综合应用
例4、已知a＋b＋c>0，abc>0，ab＋bc＋
ca>0，求证：a，b，c都大于0.
第三章 推理与证明
证明：假设a>0不成立，则a≤0.分两种情况证明： (1)当a<0时，∵abc>0，∴bc<0.又∵a＋b＋c>0， ∴b＋c>－a>0，a(b＋c)<0. ∴ab＋bc＋ca＝a(b＋c)＋bc<0，与已知矛盾．
推理与证明的复习
1 2 3 （ 1 2 3）
3 3 2
1 2 3 4 （ 1 2 3 4）
3 2
根据上述规律，第四个 等式为______
• 2．分析法的特点 • 从“未知”看“需知”，再逐步靠近“已 知”． • 3．分析法与综合法的区别与联系 • (1)区别：综合法是“由因导果”，而分析 法则是“执果索因”，它们是截然相反的 两种证明方法．分析法便于我们去寻找思 路，而综合法便于过程的叙述，两种方法 各有所长，在解决具体的问题时，结合起 来运用效果会更好．
a - 2 - a.
问题一:
三:反证法
求证:两条相交直线有且只有一个交点.
注:1.结论中的有且只有(有且仅有)形式出现, 是唯一性问题,常用反证法 2.有且只有的反面包含1)不存在;2)至少两个.
例：用反证法证明：
如果a>b>0，那么 a > b
证：假设 a > b不成立，则 a ≤ b
若 a = b，则a = b, 与已知a > b矛盾,
f(n)= n( n 1)( n 2) （答案用n表示）.
6
…
设第n堆由上到下,第n层有an个乒乓球,则
2
n( n 1) n n an 1 2 3 n 2 2 2 2 2 1 1 2 2 n n Sn 2 2 2 2 2 2 (1 2 n ) (1 2 n) 2 1 n( n 1)(2n 1) n( n 1) [ ] 2 6 2
第 1个
第 2个
2(2n+1) 则第n个图案中有白色地砖 块.
第 3个
例.如图,它满足:①第n行首尾两数均为n; ②表中的递推关系类似杨辉三角.则第n行 (n≥2)第2个数是
32推理与证明
6.已知函数 是 上的增函数， .
（1）若 ，则
（2）若 ，则a+b0 (以上两题填<,>, )
【我的疑问】
【课内探究】
一、讨论、展示、点评、质疑
探究1．合情推理
(1)在平面上,如果用一条直线去截正方形的一个角,那么截下一个直角三角形,按图所示边长由勾股定理有: ,设想正方形换成正方体,把截线换成如图的截面,这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥 ,如果用 表示三个侧面面积, 表示截面面积,则类比得到的结论是.
（2）在等差数列 中,若 则有等式 成立,类比上述性质,相应地:在等比数列 中,若 则有等式.
（3）观察下列等式：
，
，
，
，
………
由以上等式推测到一个一般的结论：
对于 ， ．
拓展提升：
1.（2011江西理7）观察下列各式： =3125， =15625， =78125，…，则 的末四位数字为( )
A．3125B．5625C．0625D．8125
A假设a ,b,c都是偶数B假设a ,b,c都不是偶数
C假设a ,b,c至多有一个偶数D假设a ,b,c至多有两个偶数
10.设a >0,b>0,且a+b 4,则有（）
B C D
11.设x>0,y>0,且 则有（）
A B C D
12.已知下列等式：①x +3>2x (x为正数)② ③ 其中正确的个数是（）
A.小前提错误B.大前提错误C.结论错误D.正确的
4.”金导电,银导电,铜导电,锡导电,所以一切金属都导电”,此推理方法是( )
A．完全归纳推理B.归纳推理C.类比推理D.演绎推理
数学：2.3数学归纳法
数学归纳法的核心: 在验证命题n=n0正确的基础 上,证明命题具有传递性,而第二步 实际上是以一次逻辑的推理代替 了无限的验证过程.所以说数学归 纳法是一种合理、切实可行的科 学证题方法，实现了有限到无限 的飞跃。
27
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用数学归纳法证明恒等式的步骤及注意事项：
1.明确首取值n0并验证真假。（必不可少）
11
小结
递推依据
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递推基础
1.数学归纳法证明一个与正整数有关命题的步骤是：
n0 （1）证明当 n 取第一个值 n （如 0
（2）假设时
1 或2等）时
结论正确； “找准起点，奠基要稳”
证明 n k 1 时结论也正确．
n k ( k N 且k n0 ) 结论正确，
13
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练习1:欲用数学归纳法证明2n>n2,试问n
的第一个取值应是多少?
答:对n=1,2,3,…,逐一尝试,可知初始值为n=5.
14
山东省临沂第一中学
练习2:用数学归纳法证明3n>n2. 此题在第二步的证明过程中在假设n=k 时,3k>k2成立的基础上, 当n=k+1时,
3
k 1
2 2 2
(n∈N*).
10
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例2 已知数列： 1 1 1 1 , , , , , , 1 4 4 7 7 10 (3n 2)(3n 1) 计算 S1 , S2 , S3 , S4 ,根据计算结果，试猜 想Sn的表达式，并数学归纳法证明.
n Sn = 3n + 1
2
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3.归纳推理能帮助我们发现一般结论， 但得出的结论不一定正确，即使正确也 需要经过严格的证明才能肯定其真实性. 综合法，分析法和反证法虽可证明某些 结论，但都有其局限性，因此，我们非 常需要一个与归纳推理相匹配的证明方 法，使之成为无与伦比的“黄金搭档”.
综合法、分析法、反证法
只需证 14<18,这显然成立 所以 2 + 7 3 + 6成立
例2:如图,SA⊥平面ABC,AB⊥BC,过A作 SB的垂线,垂足为E,过E作SC的垂线,垂 足为F,求证 AF⊥SC S
证明:要证AF⊥SC
只需证:SC⊥平面AEF
只需证:AE⊥SC 只需证:AE⊥平面SBC
只需证:AE⊥BC 只需证:BC⊥平面SAB 只需证:BC⊥SA 只需证:SA⊥平面ABC
F E
A
C
B
因为:SA⊥平面ABC成立 所以. AF⊥SC成立
思考：请对综合法与分析法进行比
较，说出它们各自的特点。回顾以往 的数学学习，说说你对这两种证明方 法的新认识。
综合法的特点:由因导果
分析法的特点：执果索因.
回顾基本不等式：a
+ 2
b
ab
分析法
(a>0,综b>合0)法的证明.
证法1Q a + b ab
2
a + b ab 2
( a b)2
2
因为 ( a b)2 0
所以
a+b 2
ab成立
证法2要证
a
+ 2
b
ab
只需证 a + b 2 ab
只需证 a + b 2 ab 0
• 为了做出决断，旅游者被送到国王那里。苦苦想了好久，国王 才说——
• 国王：不管我做出什么决定，都肯定要破坏这条法律。我们还 是宽大为怀算了，让这个人自由吧。
b ac 由a,b,c成等比数列可得什么?
2
怎样把边,角联系起来?
点评：解决数学问题时，
第2章推理与证明章节归纳整合
图(2)
(2) 证 明
假 设 直 线 ME与BN 共 面，则AB⊂平 面MBEN，且 平 面
MBEN与平面DCEF交于EN， ∵两正方形不共面，
∴AB⊄平面DCEF.
又 AB∥CD ， 所 以 AB∥ 平 面 DCEF ， 而 EN 为 平 面 MBEN 与 平 面 DCEF的交线，
一方面，合情推理与演绎推理又是相辅相成的，前者是后者的
前提，后者论证前者的可靠性．
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解读高考
3．直接证明和间接证明是数学证明的两类基本证明方法．直接证
明的两类基本方法是综合法和分析法：综合法是从已知条件推
导出结论的证明方法；分析法是由结论追溯到条件的证明方法， 在解决数学问题时，常把它们结合起来使用，间接证法的一种 方法是反证法，反证法是从结论反面成立出发，推出矛盾的证 明方法． 4．数学归纳法主要用于解决与正整数有关的数学问题．证明时， 它的两个步骤缺一不可．它的第一步(归纳奠基)n＝n0时结论成
立．第二步(归纳递推)假设n＝k时，结论成立，推得n＝k＋1时
结论也成立．数学归纳法原理建立在归纳公理的基础上，它可 用有限的步骤(两步)证明出无限的命题成立．
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5．归纳、猜想、证明 探索性命题是近几年高考试题中经常出现的一种题型，此类问 题未给出问题结论，需要由特殊情况入手，猜想、证明一般结 论的问题称为探求规律性问题，它的解题思想是：从给出的条 件出发，通过观察、试验、归纳、猜想，探索出结论，然后再
EF∥AD， 因为 AD⊥BD，
所以 EF⊥BD.
又因为 CB＝CD，F 为 BD 的中点， 所以 CF⊥BD.所以平面 EFC⊥平面 BCD.
数学中的推理和证明 共77页
证明：先考虑特殊情形：
（１）当 n3 ,pqr1 时不等 a3b 式 3c3 即 3 a,b 是 不 c ： 等 .
（２）当 n3 ,p2 ， q 1 ， r0 时不等 a3b 3 式 c3 即 a2bb2 是 cc2a .：
下证不(等 2)成 式立 .
受1（ ）的启发，可以得到：
在a3b3c3 3ab中 c ，a令 c有：
2a3b3 3 a3a3b3 a2b,同理有 2b3： c3 b2c,2c3a3 c2a.
3
3
3
三式相加a3有 b3： c3 a2bb2cc2a成立 .
(3)一般的情形：由（ 2），由于 n N ， p 、 q 、 r都 是非负整数，且 p q r n. 根据类比有：
归纳法.
特殊
一般
归纳 不 法 完 完全 全归 归 — — 纳 纳 纳 属 法 法 法 于 （ 、 演 实 经 绎 验 — 数 验 — 推 归 学 归 属 理 归 纳 于 （ 纳 法 归 比
我们借助于归纳推理可以从大量的个别事例中发现数学 真理，引出新的数学命题.但此时的数学命题还只是一种猜想， 它往往是冒风险的、有争议的和暂时成立的。要使它成为真 正的普遍命题，还要借助于论证推理进行严格的证明.
学习合情推理的意义——还数学的 本来面目，把数学知识的学术形态 的“冰冷的美丽”转化为数学知识 的教育形态的“火热的思考”.
数学中的合情推理主要有：归纳推 理、类比推理、直觉、顿悟等.
这里主要谈谈归纳推理与类比推理.
2. 归纳推理
1）定义
Байду номын сангаас
把某类事物中个别事物所具有的规律 作为该类事物的普遍规律，这种思维进程 中由特殊到一般的推理称为归纳推理或称
数学证明方法
数学证明方法1 直接证明法从正面证明命题真实性的证明方法叫做直接证法．凡是用演绎法证明命题真实性的都是直接证法．它是中学数学中常用的证明方法．综合法、分析法、分析综合法、比较法。
（1）综合法：从已知条件入手，运用已经学过的公理、定义、定理等进行一步步的推理，一直推到结论为止．这种思维方法叫综合法．这种方法是“由因导果”，即从已知到可知，从可知到未知的思维过程．（2）分析法：从问题的结论入手，运用已经学过的公理、定义、定理，一步步寻觅使结论成立的条件，一直“追”到这个结论成立的条件就是已知条件为止．可见分析法是“执果求因”的思维过程，它与综合法的思维过程相反．分析法属于逻辑方法范畴，它的严谨体现在分析过程步步可逆。
分析法的步骤为未知→需知→已知。
在操作中“要证”、“只要证”、“即要证”这些词语也是不可缺少的。
分析法的书写形式一般为“因为......，为了证明......，只需证明......，即......，因此，只需证明......，因为......成立，所以‘......（结论）’成立”。
（3）分析综合法：把分析法和综合法“联合”起来，从问题的两头向中间“靠拢”，从而发现问题的突破口．这种思维方法叫做分析综合法．对于比较复杂的题目，往往采用这种思维方法．在证明的过程中，往往分析法、综合法常常是不能分离的。
分析综合法充分表明分析与综合之间互为前提、互相渗透、互相转化的辩证统一关系。
分析的终点是综合的起点，综合的终点又成为进一步分析的起点。
（4）比较法2 间接证明法不是直接证明论题的真实性，而是通过证明论题的否定论题的不真实，或者证明它的等效命题成立，从而肯定论题真实性的证明方法，叫做间接证明法．反证法、同一法、归纳法（不完全归纳法、完全归纳法、数学归纳法）、类比法、换元法、放缩法、判别式法、函数法（1）反证法：反证法就是从否定命题的结论入手，并把对命题结论的否定作为推理的已知条件，进行正确的逻辑推理，使之得到与已知条件、已知公理、定理、法则或者已经证明为正确的命题等相矛，矛盾的原因是假设不成立，所以肯定了命题的结论，从而使命题获得了证明。
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也就是要证(a-b)2＞0成立。
而由已知条件可知，a≠b，有a-b≠0，
所以(a-b)2＞0显然成立，由此命题得证.
例4 已知a,b是正整数,求证: .
证明:要证 成立，
只需证 成立，
即证 .
即证
也就是要证 ,即 .
该式显然成立,所以 .
巩固练习
1.下列正确命题的序号是________.
3结论:结论的反面不正确,肯定结论成立
4.反证法适宜什么样的证明题
1直接证明较困难，可考虑使用反证法
②命题的结论部分含有“不可能、唯一、至少、至多”等特殊词语，可考虑使用反证法。
三.例题解析
例1.已知x、y、z是整数，且x2+y2=z2求证：x、y、z不可能都是奇数。
证明：设x、y、z都是奇数，则x2、y2、z2都是奇数
二：课题探究
1. 直接证明: 从命题的条件或结论出发,根据已知的定义,公理,定理直接推证结论的真实性.
2. 综合法：从题设中的已知条件或已证的真实判断出发,经过一系列的中间推理,最后导出所求证的命题.综合法是一种由因所果的证明方法.
3.分析法:一般地，从要证明的结论出发，追溯导致结论成立的条件，逐步上溯，直到使结论成立的条件和已知条件或已知事实吻合为止，这种证明的方法叫做分析法．分析法是一种执果索因的证明方法.
例1: 已知a>0,b>0,求证a(b2+c2)+b(c2+a2)≥4abc
证明: 因为b2+c2≥2bc,a>0所以a(b2+c2)≥2abc.
又因为c2+b2≥2bc,b>0
所以b(c2+a2)≥2abc.
因此a(b2+c2)+b(c2+a2)≥4abc.
例2:已知:a,b,c三数成等比数列,且x,y分别为a,b和b,c的等差中项.
2.反证法:一般地,假设原命题不成立,经过正确的推理,最后得出矛盾,因此说明假设错误,从而证明了原命题成立.
3.反证法的步骤:
1反设:假设所要证明的结论不成立,假设结论的反而成立.
2找矛盾:由“反设”出发,通过正确地推理,导出矛盾---与已知条件已知公理,定义,定理,反设及明显的事实矛盾或自相矛盾.
归纳反思：
合作探究：
1.求证: .
2.已知二次函数 的导数为 , ,对于任意实数x,都有 ,则 的最小值为( )
A 3 B C 2 D
教师备课
学习笔记
教师备课
学习笔记
教师备课
学习笔记
教师备课
学习笔记
日照实验高中2007级导学案——推理与证明
2.2.2 反证法
学习目标：
理解反证法的概念,掌握反证法证题的步骤
学习重点难点：
反证法的概念及应用
反证法合理性的理解以及用反证法证明具体问题
自主学习：
一：知识再现
1.直接证明的定义:从命题的条件或结论出发,根据已知的定义,公理,定理直接推证结论的真实性.
2.命题的四种形式:原命题,逆命题,否命题,逆否命题.原命题与逆否命题同真假
二：新课探究
1.间接证明定义:间接证明不是从正面论证命题的真实性,而是考虑证明它的等价命题,或是证明命题的否定不成立,一间接地目的达到证题的目的.
∴x2+y2为偶数 ∴x2+y2≠z2这与已知矛盾
∴x、y、z不可能都是奇数。
例2.若三个方程x2+4mx-4m+3=0；x2+(m-1)x+m2=0；x2+2mx-2m=0
至少有一个方程有实数根，求实数m的取值范围。
解：当三个方程都没有实根时，
有
即：得：
∴-3/2<m<-1∴上述三个方程至少有一个方程有实根的m的范围应为：
4.综合法的证明步骤用符号表示:
(已知) (结论)
5.分析法的证明“若A成立,则B成立”的思路与步骤;
要正(或为了证明)B成立,
只需证明 成立( 是B成立的充分条件).
要证 成立,
只需证明 成立( 是 成立的充分条件).
…,
要证 成立,
只需证明A成立(A是 成立的充分条件)..
A成立, B成立.
三: 例题解析
1若 ,则 ;
2若 ,则 ;
3若 ,则 ;
4 的最小值是2.
2.函数 ( )
A.是偶函数,但不是奇函数
B.是奇函数,但不是偶函数
C.既是奇函数,又是偶函数
D.既不是奇函数,又不是偶函数
3.若 ,且 ,则 的最大值是( )
A 14 B 15 C16 D17
4.定义在 上的函数 在 上是增函数,且函数 为偶函数,则f(-1), f(4), f( )的大小关系是__________________________________.
C、至少有三个解D、至少有两个解
2、用反证法证明“设a、b、c∈Z，且ax2+bx+c=0有有理根，
求证：a、b、c中至少有一个是偶数”，
其反设应是_______。
3、用反证法证明：“在△ABC中，若∠C是直角，则∠B一定是
锐角”。有一个同学的证明如下，你认为是否正确。
证明：假设∠B是直角，因为∠C是直角，所以∠B+∠C=180º
推理与证明(综合法、分析法与反证法)
推理与证明
综合法与分析法
学习目标：
1．理解综合法和分析法的概念及区别
2．熟练的运用综合法分析法证题
学习重难点:
综合法和分析法的概念及区别
自主学习：
一：知识回顾
1．合情推理：前提为真，结论可能为真的推理。它包括归纳推理与类比推理。
2．演绎推理：根据一般性的真命题（或逻辑规则）导出特殊命题为 真的推理叫演绎推理
m≥-1或m≤-3/2.
例3若 ,且 ,
求证: 或 中至少有一个成立.
证明 (用反证法证明)
假设 和 都不成立,则有 和 同时成立.
因为 且 ,所以 且 .
两式相加得 ,
所以 , 这与已知条件 矛盾,
因此, 或 中至少有一个成立.
课堂巩固
1、结论“至多有两个解”的否定形式是___________。
A、没有解B、没有解或至少有三个解
所以∠A+∠B+∠C>180º，这与三角形内角和定理矛盾，
所以∠B一定是锐角。
4、已知a、b∈R，若a+b>1，求证：a、b之中至少有一个不小于1/2
归纳反思:
合作探究:
1.已知函数 (a>1).
求证: .
证明:依题意,:a,b,c三数成等比数列, , ,
又由题设: , ,
而 .
例3.设a、b是两个正实数，且a≠b，求证：a3+b3＞a2b+ab2．
证明：(用分析法思路书写)
要证 a3+b3＞a2b+ab2成立，
只需证(a+b)(a2-ab+b2)＞ab(a+b)成立，
即证a2-ab+b2＞ab成立。(∵a+b＞0)