大学物理基础教程答案22热2
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e
解:t时刻舱内压强为p,舱外真空
nv dt 时,舱内净减分子数 dN s dt 4 N 又因为 p nkT n
V dN nv dp dnkT kT kTsdt V 4V
1 dp vs vs t p 0 dp dt dt p 0 0 p 4V p 4V
uF 2
2-10 求速率 up~ up+0.01 up 在之间的分子数占总分子数的 百分比? u
解
dN f (u ) N du
p 2 ( ) up 2 4 u e ( ) u u p
u 0.01u p
u du
u 2 ) up
速率up~ up+0.01 up 在之间的分子数占总分子数的百分比：
N 4 f (u)du e N u p
(
u 2 4 1 ( ) 0.01up e 0.01 0.83% up
7
2-11 设H2的温度为300度，求速度大小在3000米/秒到3010米/秒
之间的分子数△Ｎ１与速度大小在up 子数△N2之比。
解：∵
到up+102米/秒之间的分
为平衡态下的气体分子出现在u 附近单位速率间隔中的几率或者 3 说其速率在u附近单位速率间隔中的分子数占总分子数的比率。
dN ( 2) f (u)du N 为平衡态下的气体分子出现在速率u 附近du速率间隔中分子数 占总分子数的百分比。 ( 3)Nf (u)du dN 为平衡态下的气体分子出现在速率u 附近du速率间隔中分子数。
29103 9.83600 8.31300 0.66 P
0
0.66 atm
M RT （2） p1V1 p 2 V2 17V0p 0 V 26V0 p
(1) f (u ) dN N du
p 0 (17V0 ) pV
26次/分
2-7 试说明下列各函数式的物理意义（f(u)是麦克斯韦速率分 布函数）
开有细槽、并相差一个角度的同轴圆盘，可以绕同一轴以匀角 速度 转动，轴线平行于分子束线；P是探测器，改变 可以 定性比较在不同微观量间隔中的相对分子数。试问：（1）若P测 量能量，这能量是一维空间能量，还是三维空间能量？是否是平 动动能能量？或者实验曲线对应什么分布更确切？（2）若P所测 为速度大小，实验结果给出的是速度分布，还是速率分布？
M 5 5 3 U RT 6.0 10 J pV 2 2
2-5 飞机在起飞前舱中的压力机指示位1.0大气压，温度为 27 0C ；起飞后,压力计指示位0.80大气压，温度仍为 ，试计算飞机距离地面的高度(空气的摩尔质量千克/摩尔) 。 解：
g z RT
29x10
3
p g z ln( ) /( ) 1957(m ) p0 RT
3/ 2
3/ 2
e
m ( v x 2 v x 2 v x 2 ) / 2 kT
m mv x 2 / 2 T f v x e 2T
12
2-15利用麦克斯韦速度分布律,求 v 2 x
验证压强公式:
p nm v 2 x nkT
利用麦克斯韦速度分布律,证明:
v 2 3v 2 x
P P0 e
)
2
2-6 我国的拉萨市海拔约为3600米,设大气温度处处相同（1）当 海平面上的压力为1大气压时,求拉萨的气压。（温度按270C计） （2）若某人在海平面上每分钟呼吸17次，问他在拉萨应呼吸多 少次，才能吸入同样质量的空气？
解:(1)
P P0e
g z RT
P0e
(4) f (u )du
u1 u2
u2
u1
dN N
为平衡态下分子速率在u 1到u2 速率间隔中分子数占总分子数的 百分比。
(5) Nf (u )du
u1 u2
u2
u1
dN
udN N
4
为平衡态下分子速率在u 1到u2 速率间隔中的分子数。
( 6)
u2 u1
uf (u )du
2-14处在热平衡态中的气体分子,由于频繁碰撞,分子沿x方向的分 速度vx 随机取值,但气体分子数沿vx的分布与伽耳顿板中小球按x的 1 1 2 m v x kT 试推得 分布一样,具有高斯分布.又由能均分定理知 2 2 气体分子按速度分量vx的分布率是
m mv x 2 / 2 T f v x e 2T
解:
v2 v x f v x dv x x 2
m mvx 2 / 2 T kT vx e dv x 2T m p nm v 2 x nkT
2 2
v 2 3 v x f v x dv x
3
vx
2
m mvx 2 / 2 T 3kT e dv x 3 v2 x 2T m
u2
u1
无明确的物理意义。
(7) Nuf (u )du
u1
u2
u2
u1
udN
为平衡态下分子速率在u 1到u2 区间的所有分子速率之和。
2-8 设N个粒子系统的速率在u _u+du内的分子数为： dNu=Kdu (0≤u ≤ v) dNu=0 (u ≥ v ) (1)画出速率分布函数图；(2)用N和V定出常数k (3)用V表示速 率平均值 v 和方均根速率 u 2
2E T 1.28 10 7 k 3R
1
2-4 2.0克的氢气装在容积为20升的容器内,当容器内的压力为 1.20x105 帕时,氢分子的平均平动动能是多少？总内能是多少？ 解： T pv 288.8k
MR
3 k kT 5.98 10 21 J 2
o
u
(1)画出分布函数图;(2)用N,uF定常数A;(3)求电子气的平均动能 解:(1)f(u)如右图
uF
4A 1 3 3N (2) f (u)du 4Au du N 1 即 uF 1 A 3 0 0 N 3 4 u F 4Au 2 3u 4 du 3 du ( 3) f (u)du N uF 0 uF uF 3 3 2 1 3 2 2 4 2 u u f (u)du 3 u du u F k mu 6 F 0 0 u 5 2 5 F
2KT 2RT 2 8.31 573 6 2 up 4 . 76 10 ( m ) 3 m 2 10
2-12 若一宇宙飞船的体积V=27米3,舱内压力p0=1大气压,温度取 与 v 300 米/秒相应的值,在飞行中被一陨石击中而在壁上形 成一面积为1立方厘米的小孔,以致舱内空气逸出,问经多久舱内 压力将降到 p 1 p 0 ?设温度不变.
解：
2H2O 2H 2 O2
所以，2摩尔的水分解成2摩尔的氢和1摩尔的氧气
6 i 5 U H 2O 2 RT U RT U H2 2 RT 2 2 2 5 ( U H U O ) U H O 15 12 UO2 1 RT 25 0 0 2 UH O 12
解:气体分子速度三个分量的集合｛vx｝. ｛vy｝, ｛vz｝是独立 事件,麦克斯韦速度分布律是三个分量分布律的交,即
m mv 2 / 2kT m f v e 2 T 2 T f (vx ) f (vy ) f (vz )
2 2 2 2
2-3 一能量为1012电子伏特（1电子伏特=1.60210-10焦耳）的宇 宙射线粒子射入一氖管中，氖管中含有氖气0.1摩尔，如果宇宙 射线粒子的能量全部氖分子所吸收，问氖气温度将升高多少度？ 解：
内能:
0.1
3 E U RT 1012 (e v) 2
u
V
5
2-9 导体中自由电子的运动,可看作类似于气体分子的运动（故 称电子气）设导体中共有N个自由电子其中电子的最大速率为uF （称为费米速率）电子在u+du之间的几率. f (u) (u uF )
4A 2 u du dN N N 0
(0 u u F ) (u u F )
10
解 A
实验装置 l
S S’ B C P B C
l t v
l v
（1）因实验中所接收的分子只是在这一特定方向上的分子， 不管能量Ei有多大,最速度vi有多大,只要分子质心速度方向有 一点偏离,就不能测量到它，所测量到的不是分子一维速度vix 分布律，而是速率v的分布律；也可说是分子平动能量的分布 律。 （2）同理是速率v的分布律 11
u很小
u du
3 2 mu 2 2 KT
N dN N4( ) e 2KT
u du
2
N 1 e u e 2 mu N 2 2 2 KT e up
2
2
mu 2 2 KT
u 2 up 2 up 2
u 2 ( ) up
N 1 0.78 N 2 8
得:
1 sv ln t e 4V
4V t 1(h) sv
9
2-13
欲验证麦克斯韦分布律和波耳兹曼分布律是否正确，一
种间接的方法是分析化学反应速率和温度的关系；一种比较直接 的证明是如图所示的实验，A是气源，装有实验的气体，S和S’是
准直的狭缝，与气源所开细孔准确无误的成一直线，B和C是两个
13
2-16 试求在标准状态下，氢分子和氧分子的平均自由程。以知H2 和O2分子直径分别为2.74×10-10米和3.60×10-10米。 解：
l H 2 KT
l O 2 wenku.baidu.comKT
2d 2 2d 2
1.116 10 7 m 6.46 10 8 m
2-17 电子管的真空度约为1.33x10-3帕,设空气分子的有效直径为 卜 3.7x10-10米,求27 0C时单位体积内的分子数 ,平均自由程的理论值 和碰撞频率（空气的平均摩尔质量为29.0x10-3千克/摩尔）。 1 p 17 3 l 5.14m 2 n 3 . 21 10 m 解： 2d n KT 2 1 1 8 RT u 468 m s Z 2d u n 91(s ) 其中 2-18 热水瓶胆的两壁间距a约为5毫米，中间是270的氮气，已知 氮分子有效直径d=3.110-10米，问瓶胆两壁间气体的压力必须降 到多少帕斯卡以下，才能起到较好的保温作用？ kT kT p p 1.84Pa 解： a l 2 14 2 2d a 2d p
解：
0
f (u) du
V
0
k du 1 N
N k V
f (u )
2 V N V V k u uf (u) du u du u 0 0 2N V 2 N V 3 2 2 2 k V N V u u f (u) du u du u 2 0 0 N 3N V 3
解:t时刻舱内压强为p,舱外真空
nv dt 时,舱内净减分子数 dN s dt 4 N 又因为 p nkT n
V dN nv dp dnkT kT kTsdt V 4V
1 dp vs vs t p 0 dp dt dt p 0 0 p 4V p 4V
uF 2
2-10 求速率 up~ up+0.01 up 在之间的分子数占总分子数的 百分比? u
解
dN f (u ) N du
p 2 ( ) up 2 4 u e ( ) u u p
u 0.01u p
u du
u 2 ) up
速率up~ up+0.01 up 在之间的分子数占总分子数的百分比：
N 4 f (u)du e N u p
(
u 2 4 1 ( ) 0.01up e 0.01 0.83% up
7
2-11 设H2的温度为300度，求速度大小在3000米/秒到3010米/秒
之间的分子数△Ｎ１与速度大小在up 子数△N2之比。
解：∵
到up+102米/秒之间的分
为平衡态下的气体分子出现在u 附近单位速率间隔中的几率或者 3 说其速率在u附近单位速率间隔中的分子数占总分子数的比率。
dN ( 2) f (u)du N 为平衡态下的气体分子出现在速率u 附近du速率间隔中分子数 占总分子数的百分比。 ( 3)Nf (u)du dN 为平衡态下的气体分子出现在速率u 附近du速率间隔中分子数。
29103 9.83600 8.31300 0.66 P
0
0.66 atm
M RT （2） p1V1 p 2 V2 17V0p 0 V 26V0 p
(1) f (u ) dN N du
p 0 (17V0 ) pV
26次/分
2-7 试说明下列各函数式的物理意义（f(u)是麦克斯韦速率分 布函数）
开有细槽、并相差一个角度的同轴圆盘，可以绕同一轴以匀角 速度 转动，轴线平行于分子束线；P是探测器，改变 可以 定性比较在不同微观量间隔中的相对分子数。试问：（1）若P测 量能量，这能量是一维空间能量，还是三维空间能量？是否是平 动动能能量？或者实验曲线对应什么分布更确切？（2）若P所测 为速度大小，实验结果给出的是速度分布，还是速率分布？
M 5 5 3 U RT 6.0 10 J pV 2 2
2-5 飞机在起飞前舱中的压力机指示位1.0大气压，温度为 27 0C ；起飞后,压力计指示位0.80大气压，温度仍为 ，试计算飞机距离地面的高度(空气的摩尔质量千克/摩尔) 。 解：
g z RT
29x10
3
p g z ln( ) /( ) 1957(m ) p0 RT
3/ 2
3/ 2
e
m ( v x 2 v x 2 v x 2 ) / 2 kT
m mv x 2 / 2 T f v x e 2T
12
2-15利用麦克斯韦速度分布律,求 v 2 x
验证压强公式:
p nm v 2 x nkT
利用麦克斯韦速度分布律,证明:
v 2 3v 2 x
P P0 e
)
2
2-6 我国的拉萨市海拔约为3600米,设大气温度处处相同（1）当 海平面上的压力为1大气压时,求拉萨的气压。（温度按270C计） （2）若某人在海平面上每分钟呼吸17次，问他在拉萨应呼吸多 少次，才能吸入同样质量的空气？
解:(1)
P P0e
g z RT
P0e
(4) f (u )du
u1 u2
u2
u1
dN N
为平衡态下分子速率在u 1到u2 速率间隔中分子数占总分子数的 百分比。
(5) Nf (u )du
u1 u2
u2
u1
dN
udN N
4
为平衡态下分子速率在u 1到u2 速率间隔中的分子数。
( 6)
u2 u1
uf (u )du
2-14处在热平衡态中的气体分子,由于频繁碰撞,分子沿x方向的分 速度vx 随机取值,但气体分子数沿vx的分布与伽耳顿板中小球按x的 1 1 2 m v x kT 试推得 分布一样,具有高斯分布.又由能均分定理知 2 2 气体分子按速度分量vx的分布率是
m mv x 2 / 2 T f v x e 2T
解:
v2 v x f v x dv x x 2
m mvx 2 / 2 T kT vx e dv x 2T m p nm v 2 x nkT
2 2
v 2 3 v x f v x dv x
3
vx
2
m mvx 2 / 2 T 3kT e dv x 3 v2 x 2T m
u2
u1
无明确的物理意义。
(7) Nuf (u )du
u1
u2
u2
u1
udN
为平衡态下分子速率在u 1到u2 区间的所有分子速率之和。
2-8 设N个粒子系统的速率在u _u+du内的分子数为： dNu=Kdu (0≤u ≤ v) dNu=0 (u ≥ v ) (1)画出速率分布函数图；(2)用N和V定出常数k (3)用V表示速 率平均值 v 和方均根速率 u 2
2E T 1.28 10 7 k 3R
1
2-4 2.0克的氢气装在容积为20升的容器内,当容器内的压力为 1.20x105 帕时,氢分子的平均平动动能是多少？总内能是多少？ 解： T pv 288.8k
MR
3 k kT 5.98 10 21 J 2
o
u
(1)画出分布函数图;(2)用N,uF定常数A;(3)求电子气的平均动能 解:(1)f(u)如右图
uF
4A 1 3 3N (2) f (u)du 4Au du N 1 即 uF 1 A 3 0 0 N 3 4 u F 4Au 2 3u 4 du 3 du ( 3) f (u)du N uF 0 uF uF 3 3 2 1 3 2 2 4 2 u u f (u)du 3 u du u F k mu 6 F 0 0 u 5 2 5 F
2KT 2RT 2 8.31 573 6 2 up 4 . 76 10 ( m ) 3 m 2 10
2-12 若一宇宙飞船的体积V=27米3,舱内压力p0=1大气压,温度取 与 v 300 米/秒相应的值,在飞行中被一陨石击中而在壁上形 成一面积为1立方厘米的小孔,以致舱内空气逸出,问经多久舱内 压力将降到 p 1 p 0 ?设温度不变.
解：
2H2O 2H 2 O2
所以，2摩尔的水分解成2摩尔的氢和1摩尔的氧气
6 i 5 U H 2O 2 RT U RT U H2 2 RT 2 2 2 5 ( U H U O ) U H O 15 12 UO2 1 RT 25 0 0 2 UH O 12
解:气体分子速度三个分量的集合｛vx｝. ｛vy｝, ｛vz｝是独立 事件,麦克斯韦速度分布律是三个分量分布律的交,即
m mv 2 / 2kT m f v e 2 T 2 T f (vx ) f (vy ) f (vz )
2 2 2 2
2-3 一能量为1012电子伏特（1电子伏特=1.60210-10焦耳）的宇 宙射线粒子射入一氖管中，氖管中含有氖气0.1摩尔，如果宇宙 射线粒子的能量全部氖分子所吸收，问氖气温度将升高多少度？ 解：
内能:
0.1
3 E U RT 1012 (e v) 2
u
V
5
2-9 导体中自由电子的运动,可看作类似于气体分子的运动（故 称电子气）设导体中共有N个自由电子其中电子的最大速率为uF （称为费米速率）电子在u+du之间的几率. f (u) (u uF )
4A 2 u du dN N N 0
(0 u u F ) (u u F )
10
解 A
实验装置 l
S S’ B C P B C
l t v
l v
（1）因实验中所接收的分子只是在这一特定方向上的分子， 不管能量Ei有多大,最速度vi有多大,只要分子质心速度方向有 一点偏离,就不能测量到它，所测量到的不是分子一维速度vix 分布律，而是速率v的分布律；也可说是分子平动能量的分布 律。 （2）同理是速率v的分布律 11
u很小
u du
3 2 mu 2 2 KT
N dN N4( ) e 2KT
u du
2
N 1 e u e 2 mu N 2 2 2 KT e up
2
2
mu 2 2 KT
u 2 up 2 up 2
u 2 ( ) up
N 1 0.78 N 2 8
得:
1 sv ln t e 4V
4V t 1(h) sv
9
2-13
欲验证麦克斯韦分布律和波耳兹曼分布律是否正确，一
种间接的方法是分析化学反应速率和温度的关系；一种比较直接 的证明是如图所示的实验，A是气源，装有实验的气体，S和S’是
准直的狭缝，与气源所开细孔准确无误的成一直线，B和C是两个
13
2-16 试求在标准状态下，氢分子和氧分子的平均自由程。以知H2 和O2分子直径分别为2.74×10-10米和3.60×10-10米。 解：
l H 2 KT
l O 2 wenku.baidu.comKT
2d 2 2d 2
1.116 10 7 m 6.46 10 8 m
2-17 电子管的真空度约为1.33x10-3帕,设空气分子的有效直径为 卜 3.7x10-10米,求27 0C时单位体积内的分子数 ,平均自由程的理论值 和碰撞频率（空气的平均摩尔质量为29.0x10-3千克/摩尔）。 1 p 17 3 l 5.14m 2 n 3 . 21 10 m 解： 2d n KT 2 1 1 8 RT u 468 m s Z 2d u n 91(s ) 其中 2-18 热水瓶胆的两壁间距a约为5毫米，中间是270的氮气，已知 氮分子有效直径d=3.110-10米，问瓶胆两壁间气体的压力必须降 到多少帕斯卡以下，才能起到较好的保温作用？ kT kT p p 1.84Pa 解： a l 2 14 2 2d a 2d p
解：
0
f (u) du
V
0
k du 1 N
N k V
f (u )
2 V N V V k u uf (u) du u du u 0 0 2N V 2 N V 3 2 2 2 k V N V u u f (u) du u du u 2 0 0 N 3N V 3