单指数模型及其应用

2、一个证券的非系统风险对其他证券的非系统风险不
产生影响，两种证券的回报率仅仅通过因素的共同反 应而相关联。 上述两个假设意味着Cov(Rm，ei )=0; Cov (ei，ej)=0; 这就在很大程度上简化了计算。
单指数模型的应用（一）
(1)以单指数模型来确定资产组合的收益
假设资产组合中包含 n 种资产，每种资产按其价值计在资产组
1.213523 1.043458 1.046027
11
12
0.810064134
1.353121175
0.895499259
0.983637460
0.918633035
1.013380910
0.823730
1.080711
可以认为股票指数反映的是股票市场的大势信
息 ,对具体每只股票的涨跌通常是有显著影响的,这 里最简单化地假设每只股票的收益与股票指数成线 性关系 , 从而可以通过线性回归方法找出这个线性 关系. N表示股票指数 ，N的均值和方差分别为
RI 1.810610 0.9107RM
4
按照实际资产的收益情况，我们可以得到资产组合的实 际收益率 1 50
RP R 50
i 1 i
考虑 R I 与 R P 之间的线性关系， 可得 R I =0.0000291+1.001463R P
单指数模型的应用（二）
利用β指数的大小可以对证券进行实际应用价值的分析
n 2 i
股价指数
min w D( i i N i )
i 1
s.t.
单位矩 E ( N )》m w 阵
i 1 i i i i
n
预期收益
0
eT nW 1
W 0
W=(w1,w2…..wn) 即向量
经过非线性规划求解得到各股票的投资比例 ,获得最优 的投资方案 。
7
8 9 10
1.044179104
1.365525672 1.031250000 0.851717172
1.085671154
1.212318841 1.216068722 1.243663259
0.917919075
1.059662776 1.150246305 1.164256198
1.165457
2
n
其中 n，所以 随着 n 的增大， 2 (e )就变得小得可以忽略了。 式（3）就变成了： p
1 2 (e是公司特有方差的均值。由于这一均值独立于 ) n
1 n 1 n R P i ( i ) Rm n i 1 n i 1
(2)单指数模型拟合效果的实证研究
在实证研究中，我们选用上证指数来做单指数模型的分
改造后模型的实证分析
例证： 2007年海尔 ( A ) 、移动 ( B ) 、中国石化 ( C ) 3种 股票 12个月价格 ( 已经包括了分红在内) 每月的增长情 况如表 1所示 ( 经计算得 ) . 表中第 1个数据的含义是海
尔在一月份的月末价值是月初价值的 1. 045倍, 即为收
益, 其余数值以此类推. 假设在 2008年时有一笔资金准 备投资这 3种股票,并期望月收益率至少达到 7%, 那么 应当如何投资?
(e p )
2 p 2 p 2 m 2
非系统 风险
因为这些 e i是独立的， 且都具有零均值， 大数定理表明这些风险被 认为是可分散化的。特别地， 对于等权重的情形。因为 e i 是不相关的， 所以有：
12 2 1 2 (e p ) ( ) (ei ) (e) n i 1 n
析，并选取自 1997 年 1 月 2 日至 2010 年 8 月27 日的数
据。在资产组合的构成上，我们选用了构成目前上证 50 指 数的 50 只股票， 并按相等的价值权重来构造资产组合， 同样，所有资产均取自于 1997 年 1 月 2 日以后的数据。 对于单指数模型的实证研究，得到的资产组合收益与 指数收益的关系式为：
RP wi i i Rm
i 1 i 1
n
n
（ 2）
当资产组合由 n 个资产构成， 且等权重时， （1 ） 式 变为：
1 n 1 n 1 n RP i ( i ) Rm e n i 1 n i 1 n i 1 i （3）
系统风 险
资产组合的方差为：
势。
预测β常用的方法是用通过历史数据估计出的β值
（简称历史的值）作为的预测值。用历史的β值作为证
券i将来的值的估计，不可避免地存在误差。用组合的历 史的β作为将来的β的预测，比用单个证券历史的β作为 将来的单个证券的β的预测，效果要好得多。
单指数模型的改进
将指数模型中的收益率代入均值- 方差模型中进 行优化,这样可以大大的减少计算量 ,改进后：
单指数模型
• Sharpe用股票指数的收益率（如S&P500的收益
率）代替了单因素模型中的宏观影响因素
• 公式表达为 • 常见模式为
ri E ( ri ) irm ei Ri i iRm ei
单指数模型的两个基本假设
夏普单指数模型的两个基本假设 1、证券的风险分为系统风险和非系统风险，因素对非 系统风险不产生影响；

值的推导：
cov(ri , rM ) cov( i rM ei , rM )
2 i var(rM ) cov(ei , rM ) i M
cov( Ri , RM ) i var( RM )
i 1
的证券i被称为 “激进型”证券，它的系统风
险高于市场风险。当市场证券组合的收益率R m 上升 时，该证券收益率R i 将上升得更快，当R m 下降时， R i 也下降得更快。因此，当市场看涨时，应购进激 进型证券。
1.231218698 1.005423729 1.100628931
0.997919144
1.014158759 1.024060597 1.166397652
1.090434783
1.033280507 1.259146341 1.022113022
1.138278
1.180988 1.040415 0.955001
够实现投资风险的分散化.
2.此模型没有考虑交易成本等因素 , 所以在实际应 用中还有一定的局限性.
李贺娟 应用统计学
单指数模型
•单指数模型是诺贝尔经济学奖获得者威廉·夏普 （William Shape ）在1963年发表《对于“资产组合”
分析的简化模型》一文中提出的。
•夏普提出单因素模型的基本思想是：当市场股价指数
上升时，市场中大量的股票价格走高；相反，当市场
指数下滑时，大量股票价格趋于下跌。
收益率为
R wi ri wi ( i i N i )
i 1 i 1
n
n
期望收益为
ER wi E ( i i N i )
i 1
n
收益的方差为
DR w D( i i N i )
i 1 2 i
n
单指数模型的改进
最终改进模型
ຫໍສະໝຸດ Baidu
n0 E( N ) 2 D( N )
对于某只具体的股票i，其价值就可表示为
ri i i N i
i
是个随机误差项 ,其均值为 0，方差设为
yi2 D i
参数值可以通过回归计算， 线性回归实际上是 要使误差的平方和最小, 即要解如下优化问题:
min ( ) i i N ri
合中的权重分别为 ω i ， 则资产组合的收益率为：
RP wi i ( wi i ) Rm wi ei
i 1 i 1 i 1
n
n
n
（1）
由大数定理（车贝谢夫大数定理）可知当 n→∞， 且 ωi →0 时
lim w e
i 0
n i 1 i
n
i
0
随着越来越多的股票加入到资产组合中， 资产组合充分地分 散化， 公司特有的风险倾向于被消除掉， 结果只剩下越来越小的 非市场风险，（1）式便可近似化为
i 1 的证券i被称为 “防卫型”证券，它的系统风
险低于市场风险。当市场证券组合的收益率R m 上
升时，该证券收益率R i 上升得较慢，当R m 下降
时，R i 也下降得较慢。因此，当市场看跌时，应 购进防卫型证券。
i 1 则被称为具有 “平均风险” ，它的系统风
险等于市场风险，与整个证券市场具有相同的变化趋
表一 股票收益数据
月份
1 2
海尔 (1169HK)
1.045154185 1.079113924
移动 (0941HK)
1.062421384 0.986474820
中国石化 (0386HK)
0.904970760 0.969004894
恒生指数
1.026000 1.034373
3
4 5 6
1.205761317
i 1
3

令
此时的模型为
min ( z 2 2 wi yi 2 )
i -1 3
z wi i
i 1
3
w（
s.t.
i 1 i
3
i
i n 0 ) 0.15
w1 w2 w3 1
w1 , w2 , w3 0
模型评价
1.把单指数模型代入均值-方差模型进行求解,在求 解过程中大大简化了计算过程 ,并且在此基础上能
k 2 i 1 i 1
12
12
2
(i=1,2,3)
3 3
对应的收益可表示为
R wi ri w （ i i i N e)
i 1 i 1
收益的数学期望为
ER w （ i i i n 0 )
i 1
3
收益的方差为
z wi i
i 1 3
DR (wi i ) 2 wi yi 2