数学在物理学中的应用
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数学在物理学中的应用
1、相对论 20 世纪最大的科学成就莫过于 Einstein(爱因斯坦)的狭义和广义相对论了, 但是 如果没有 Riemann( 黎曼 ) 于 1854 年发明的 Riemann 几何 , 以及 Cayley( 凯莱 ), Sylvester(西勒维斯特)和 Noether(诺特)等后继数学家发展的不变量理论, Einstein 的 广义相对论和引力理论就不可能有有其如此完善的数学表述. Einstein 自己也不止一 次地说过. 为了导出狭义相对论，爱因斯坦作出了两个假设：运动的相对性(所有匀速运动 都 是 相 对 的 ) 和 光 速 为 常 数 ( 光 的 运 动 例 外 , 它 是 绝 对 的 ). 他 的 好 友 物 理 学 家 P.Ehrenfest 指出实际上蕴涵着第三个假设, 即这两个假设是不矛盾的. 物体运动的相 对性和光速的绝对性, 两者之间的相互制约和作用乃是相对论里一切我们不熟悉的时 空特征的根源. (李新洲, 《寻找自然之律 --- 20 世纪物理学革命》) 1907 年德国数学家 H. Minkowski (1864 ～ 1909) 提出了 “Minkowski 空间”, 即把时间和空间融合在一起的四维空间
R 3, 1 . Minkowski 几何为 Einstein 狭义
相对论提供了合适的数学模型. “没有任何客观合理的方法能够把四维连续统分离成三维空间连续统和一维时 间连续统. 因此从逻辑上讲, 在四维时空连续统中表述自然定律会更令人满意. 相对 论在方法上的巨大进步正是建立在这个基础之上的 , 这种进步归功于闵可夫斯基 (Minkowski).” （Albert Einstein, The Meaning of Relativity, 1922, Princeton University Press.） 有了 Minkowski 时空模型后, Einstein 又进一步研究引力场理论以建立广义相 对论. 1912 年夏他已经概括出新的引力理论的基本物理原理, 但是为了实现广义相对 论的目标, 还必须寻求理论的数学结构, Einstein 为此花了 3 年的时间, 最后, 在数 学家 M. Grossmann 的介绍下掌握了发展相对论引力学说所必需的数学工具 — 以 Riemann 几何为基础的绝对微分学, 也就是 Einstein 后来所称的张量分析. “根据前面的讨论 , 很显然 , 如果要表达广义相对论 , 就需要对不变量理论以及 张量理论加以推广. 这就产生了一个问题, 即要求方程的形式必须对于任意的点变换 都是协变的 . 在相对论产生以前很久, 数学家们就已经建立了推广的张量演算理论. 黎曼(Riemann)首先把高斯(Gauss)的思路推广到了任意维连续统, 他很有预见性地看 到了欧几里得 (Euclid) 进行这种推广的物理意义 . 随后 , 这个理论以张量微积分的形 式得到了发展, 对此里奇(Ricci)和莱维·齐维塔(Tulio Levi-Civita, 1873～1941)做出了 重要贡献. ” （Albert Einstein, The Meaning of Relativity, 1922, Princeton University Press.） 在 1915 年 11 月 25 日发表的一篇论文中 Einstein 终于导出了广义协变的引 力场方程
给出，这里
( 3)
C 非散度向量场， f i ( x , t ) 是给定
2 2 是关于 i 1 xi
n
u ( x)
n 是给定的 R
上的
的外力（例如万有引力）的分量，
是一个正常数（粘性） ，而
空间变量的拉普拉斯 (Laplace) 算子.
4
H (r, t )
广义安培电路定律
D(r , t ) J (r, t ) t
2
E(r, t )
法拉第磁感应定律
B(r, t ) t
D(r, t ) (r , t )
库仑定律或称电场的高斯定律
B (r , t ) 0
3、流体力学 Navier - Stokes 方程 第一个关于“理想”流体运动的数学描述是由 Leonhard Euler(欧拉, 1707～ 1783 瑞士数学家、力学家、天文学家和物理学家) 在 1755 年阐明的. Claude Navier (纳维艾 1785～ 836, 法国数学家和工程师，多科工艺学校和交通工程 学校教授) 推导出把相邻分子间吸引力和排斥力考虑在内的粘性流体的运动方程. Navier 使经验造桥的理论“数学化”, 第一次用上了数学家的解析和抽象的方法. 他 做的就是构建数学模型的方法. 他指出建模需要“一种特别的本领, 即把有待解决的 真正的问题用尽可能与之差别不大的问题来代替 , 而后者的问题是可以用数学 (来解 决)的.” Cauchy (柯西, 1789～ 1857 法国数学家、物理学家和力学家) 于 1828 年, Poisson(泊 松～ 1840, 4, 25, 法国数学家、力学家和物理学家) 于 1829 年重新导出该方程. Saint-Venant 于 1843 年在更一般的物理基础上导出了不仅用于 Navier 所谓的层流而 且可用于湍流的方程. Stokes (斯托克斯, 1819 - 1903 英国物理学家和数学家) 于 1845 年现如今教科书中遵 循的粘性方程的样子, 特别是明确了方程中参数的物理意义. 1849 年任剑桥大学卢卡斯数学教授，1851 年入选皇家学会，1854 年任皇家学会秘 书，是继牛顿之后连任卢卡斯数学教授、皇家学会秘书、皇家学会主席三种职务的第 一人。 Euler 和 Navier - Stokes 方程描述了 R 关于位置 x
R (T
1 g T ), 2
就是 Riemann 度规张量. Einstein 指出:“由于这组方程, 广义相对论作为一种逻辑 结构终于大功告成!”
1
广义相对论的数学表达第一次揭示了非欧几何的现实意义, 成为历史上数学应用最伟 大的例子之一. “埃米·纳脱 (1882～1935) 她发明了一条数学原理，叫作“纳脱定理”，这条定理成 为量子物理学的基石. 纳脱的计算帮助爱因斯坦得出他的广义相对论. 爱因斯坦自己 曾承认: “事实上, 我是通过她才能在这一领域内有所作为的.” （美国《发现》杂志 2002 题目: 荣誉与她们擦肩而过 ） 诺特 Noether, (Amalie) Emmy (1882～1935) 德国女数学家. 由于在高等代数方面的 创新被认为是现代最有创见的抽象代数学家.（ 《简明不列颠百科全书》 ） “环和理想的理论由 Emmy Noether (1882～1935) 把它置于更为系统化和公理化的 基础之上. Noether 是少数几个伟大的女数学家之一. ” （莫里斯·克莱因 著,《古今 数学思想》, 第四册） 在 T. Karman 的回忆录中写道： “尽管 Prandtl 完全够格获 Nobel 奖，... 但他从未 获奖显然是因为 Nobel 委员会不认为（而且仍然不认为）力学科学是和他们给予了 许多 Nobel 奖的物理学不同分支同样卓越。例如，Einstein (爱因斯坦) 获 Nobel 奖 主要是由于他解释了光电效应，而不是构成他的相对论基础的卓越的数学。…… .” （为什么没有 Nobel 数学奖? M. T. Beck） 2、电磁场理论 Maxwell's Equations 麦克斯韦，Maxwell, James Clerk (1831～ 1879) 由于他对许多分支带有根本性的贡 献，使他在物理学家中的名声仅次于牛顿. … … 虽然场的理论的起源应归功于英国物理学家 M. 法拉第 , 但法拉第不是数学 家，他没能发展这个概念. 经过麦克斯韦之手，电场理论得到了精确的描述，成为以 后所有场论的模式. …… 1850 年麦克斯韦到剑桥，不久转到了三一学院，1854 年以优异的成绩毕业于 数学专业. 法拉第(Michael Faraday, 1791～1867) 英国物理学家、化学家, 发现电磁感应现象、 电解定律以及光与磁的基本关系. 出身于贫穷的铁匠家庭, 13 岁到伦敦一家书店当装 订书的学徒, 有机会接触各种书籍, 自学成材, 走上科学道路. 1913 年成为著名化学 家戴维(H. Davy, 1778～1829)的助手. 1824 年当选为英国皇家学会会员. 1831 年 11 月 和 1832 年 1 月, 相应于他发现的‘伏打电感应’和‘磁电感应’现象, 提出了‘电紧 张态’和‘磁力线’两个新概念. 麦克斯韦在着手研究电磁学时, 深入钻研了法拉第的三卷论文集 《电学实验研究》 , 意 识到法拉第的‘力线’和‘场’的概念正是建立新的物理理论的重要基础. 虽然他看 到了法拉第定性表述的弱点, 但是他说: “当我开始研究法拉第时, 我发觉他考虑现 象的方法也是数学的, 尽管没有以通常的数学符号的形式来表示; 我还发现, 他们完 全可以用一般的数学形式表示出来, 而且可以和专业数学家的方法相媲美.”他决心把 法拉第的天才思想用清晰准确的数学形式表示出来. 麦克斯韦尔方程组(Maxwell's Equations)
的不可压流体.
3
n ui ui p uj ui f i ( x , t ) (1) t j 1 x j xi
dwk.baidu.comv u
和初始条件
ui 0, x R n , t 0 j 1 xi
n
(2)
u ( x , 0 ) u ( x ),( x R n )
n
(n = 2 或 3) 中流体的运动. 这些方程要对
Rn
和时间
t 0 定义的未知速度向量
以及压力
u ( x , t ) ( ui ( x , t )) 1i n R n
求解. 这里我们只限于考虑充满全空间 R 于是 Navier - Stokes 方程由
n
p( x,t ) Rn
1、相对论 20 世纪最大的科学成就莫过于 Einstein(爱因斯坦)的狭义和广义相对论了, 但是 如果没有 Riemann( 黎曼 ) 于 1854 年发明的 Riemann 几何 , 以及 Cayley( 凯莱 ), Sylvester(西勒维斯特)和 Noether(诺特)等后继数学家发展的不变量理论, Einstein 的 广义相对论和引力理论就不可能有有其如此完善的数学表述. Einstein 自己也不止一 次地说过. 为了导出狭义相对论，爱因斯坦作出了两个假设：运动的相对性(所有匀速运动 都 是 相 对 的 ) 和 光 速 为 常 数 ( 光 的 运 动 例 外 , 它 是 绝 对 的 ). 他 的 好 友 物 理 学 家 P.Ehrenfest 指出实际上蕴涵着第三个假设, 即这两个假设是不矛盾的. 物体运动的相 对性和光速的绝对性, 两者之间的相互制约和作用乃是相对论里一切我们不熟悉的时 空特征的根源. (李新洲, 《寻找自然之律 --- 20 世纪物理学革命》) 1907 年德国数学家 H. Minkowski (1864 ～ 1909) 提出了 “Minkowski 空间”, 即把时间和空间融合在一起的四维空间
R 3, 1 . Minkowski 几何为 Einstein 狭义
相对论提供了合适的数学模型. “没有任何客观合理的方法能够把四维连续统分离成三维空间连续统和一维时 间连续统. 因此从逻辑上讲, 在四维时空连续统中表述自然定律会更令人满意. 相对 论在方法上的巨大进步正是建立在这个基础之上的 , 这种进步归功于闵可夫斯基 (Minkowski).” （Albert Einstein, The Meaning of Relativity, 1922, Princeton University Press.） 有了 Minkowski 时空模型后, Einstein 又进一步研究引力场理论以建立广义相 对论. 1912 年夏他已经概括出新的引力理论的基本物理原理, 但是为了实现广义相对 论的目标, 还必须寻求理论的数学结构, Einstein 为此花了 3 年的时间, 最后, 在数 学家 M. Grossmann 的介绍下掌握了发展相对论引力学说所必需的数学工具 — 以 Riemann 几何为基础的绝对微分学, 也就是 Einstein 后来所称的张量分析. “根据前面的讨论 , 很显然 , 如果要表达广义相对论 , 就需要对不变量理论以及 张量理论加以推广. 这就产生了一个问题, 即要求方程的形式必须对于任意的点变换 都是协变的 . 在相对论产生以前很久, 数学家们就已经建立了推广的张量演算理论. 黎曼(Riemann)首先把高斯(Gauss)的思路推广到了任意维连续统, 他很有预见性地看 到了欧几里得 (Euclid) 进行这种推广的物理意义 . 随后 , 这个理论以张量微积分的形 式得到了发展, 对此里奇(Ricci)和莱维·齐维塔(Tulio Levi-Civita, 1873～1941)做出了 重要贡献. ” （Albert Einstein, The Meaning of Relativity, 1922, Princeton University Press.） 在 1915 年 11 月 25 日发表的一篇论文中 Einstein 终于导出了广义协变的引 力场方程
给出，这里
( 3)
C 非散度向量场， f i ( x , t ) 是给定
2 2 是关于 i 1 xi
n
u ( x)
n 是给定的 R
上的
的外力（例如万有引力）的分量，
是一个正常数（粘性） ，而
空间变量的拉普拉斯 (Laplace) 算子.
4
H (r, t )
广义安培电路定律
D(r , t ) J (r, t ) t
2
E(r, t )
法拉第磁感应定律
B(r, t ) t
D(r, t ) (r , t )
库仑定律或称电场的高斯定律
B (r , t ) 0
3、流体力学 Navier - Stokes 方程 第一个关于“理想”流体运动的数学描述是由 Leonhard Euler(欧拉, 1707～ 1783 瑞士数学家、力学家、天文学家和物理学家) 在 1755 年阐明的. Claude Navier (纳维艾 1785～ 836, 法国数学家和工程师，多科工艺学校和交通工程 学校教授) 推导出把相邻分子间吸引力和排斥力考虑在内的粘性流体的运动方程. Navier 使经验造桥的理论“数学化”, 第一次用上了数学家的解析和抽象的方法. 他 做的就是构建数学模型的方法. 他指出建模需要“一种特别的本领, 即把有待解决的 真正的问题用尽可能与之差别不大的问题来代替 , 而后者的问题是可以用数学 (来解 决)的.” Cauchy (柯西, 1789～ 1857 法国数学家、物理学家和力学家) 于 1828 年, Poisson(泊 松～ 1840, 4, 25, 法国数学家、力学家和物理学家) 于 1829 年重新导出该方程. Saint-Venant 于 1843 年在更一般的物理基础上导出了不仅用于 Navier 所谓的层流而 且可用于湍流的方程. Stokes (斯托克斯, 1819 - 1903 英国物理学家和数学家) 于 1845 年现如今教科书中遵 循的粘性方程的样子, 特别是明确了方程中参数的物理意义. 1849 年任剑桥大学卢卡斯数学教授，1851 年入选皇家学会，1854 年任皇家学会秘 书，是继牛顿之后连任卢卡斯数学教授、皇家学会秘书、皇家学会主席三种职务的第 一人。 Euler 和 Navier - Stokes 方程描述了 R 关于位置 x
R (T
1 g T ), 2
就是 Riemann 度规张量. Einstein 指出:“由于这组方程, 广义相对论作为一种逻辑 结构终于大功告成!”
1
广义相对论的数学表达第一次揭示了非欧几何的现实意义, 成为历史上数学应用最伟 大的例子之一. “埃米·纳脱 (1882～1935) 她发明了一条数学原理，叫作“纳脱定理”，这条定理成 为量子物理学的基石. 纳脱的计算帮助爱因斯坦得出他的广义相对论. 爱因斯坦自己 曾承认: “事实上, 我是通过她才能在这一领域内有所作为的.” （美国《发现》杂志 2002 题目: 荣誉与她们擦肩而过 ） 诺特 Noether, (Amalie) Emmy (1882～1935) 德国女数学家. 由于在高等代数方面的 创新被认为是现代最有创见的抽象代数学家.（ 《简明不列颠百科全书》 ） “环和理想的理论由 Emmy Noether (1882～1935) 把它置于更为系统化和公理化的 基础之上. Noether 是少数几个伟大的女数学家之一. ” （莫里斯·克莱因 著,《古今 数学思想》, 第四册） 在 T. Karman 的回忆录中写道： “尽管 Prandtl 完全够格获 Nobel 奖，... 但他从未 获奖显然是因为 Nobel 委员会不认为（而且仍然不认为）力学科学是和他们给予了 许多 Nobel 奖的物理学不同分支同样卓越。例如，Einstein (爱因斯坦) 获 Nobel 奖 主要是由于他解释了光电效应，而不是构成他的相对论基础的卓越的数学。…… .” （为什么没有 Nobel 数学奖? M. T. Beck） 2、电磁场理论 Maxwell's Equations 麦克斯韦，Maxwell, James Clerk (1831～ 1879) 由于他对许多分支带有根本性的贡 献，使他在物理学家中的名声仅次于牛顿. … … 虽然场的理论的起源应归功于英国物理学家 M. 法拉第 , 但法拉第不是数学 家，他没能发展这个概念. 经过麦克斯韦之手，电场理论得到了精确的描述，成为以 后所有场论的模式. …… 1850 年麦克斯韦到剑桥，不久转到了三一学院，1854 年以优异的成绩毕业于 数学专业. 法拉第(Michael Faraday, 1791～1867) 英国物理学家、化学家, 发现电磁感应现象、 电解定律以及光与磁的基本关系. 出身于贫穷的铁匠家庭, 13 岁到伦敦一家书店当装 订书的学徒, 有机会接触各种书籍, 自学成材, 走上科学道路. 1913 年成为著名化学 家戴维(H. Davy, 1778～1829)的助手. 1824 年当选为英国皇家学会会员. 1831 年 11 月 和 1832 年 1 月, 相应于他发现的‘伏打电感应’和‘磁电感应’现象, 提出了‘电紧 张态’和‘磁力线’两个新概念. 麦克斯韦在着手研究电磁学时, 深入钻研了法拉第的三卷论文集 《电学实验研究》 , 意 识到法拉第的‘力线’和‘场’的概念正是建立新的物理理论的重要基础. 虽然他看 到了法拉第定性表述的弱点, 但是他说: “当我开始研究法拉第时, 我发觉他考虑现 象的方法也是数学的, 尽管没有以通常的数学符号的形式来表示; 我还发现, 他们完 全可以用一般的数学形式表示出来, 而且可以和专业数学家的方法相媲美.”他决心把 法拉第的天才思想用清晰准确的数学形式表示出来. 麦克斯韦尔方程组(Maxwell's Equations)
的不可压流体.
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n ui ui p uj ui f i ( x , t ) (1) t j 1 x j xi
dwk.baidu.comv u
和初始条件
ui 0, x R n , t 0 j 1 xi
n
(2)
u ( x , 0 ) u ( x ),( x R n )
n
(n = 2 或 3) 中流体的运动. 这些方程要对
Rn
和时间
t 0 定义的未知速度向量
以及压力
u ( x , t ) ( ui ( x , t )) 1i n R n
求解. 这里我们只限于考虑充满全空间 R 于是 Navier - Stokes 方程由
n
p( x,t ) Rn