四川大学理论力学第十三章

13.4 虚位移原理
一、 虚位移的计算
本节讨论如何确定非自由质点系的虚位移之间的关系, 仅研究定常的完整系统, 常用的方法有几何法和解析法。
■
几何法 在定常约束的情况下,实位移是虚位移中的一 个, 而质点的实位移是与其速度成正比的, 故可 用求速度的几何法来分析各质点的虚位移之间 的关系, 这就是几何法的主要思路。
•
x = (x1+ x2 )/2
由题意 • •
y = (y1+ y2)/2
• •
•
•
y/ x = (y1－y2)/(x1－x2 )
• •
故非完整约束方程为 (y1+ y2)/(x1+ x2 )= (y1－y2)/(x1－x2 )
13.2 广义坐标及自由度
适当选取的唯一确定质点系位置的一组独立变 量称为广义坐标(generalized coordinate)。对于完 整系统(仅受完整约束的系统),其广义坐标数即为 系统的自由度(degree of freedom)。 z z=b θ r (x,y) y x
球 面 摆
y l
O
x
z
约束方程:
m
x2 + y2 + z2 = l2
■ 单面约束与双面约束
在约束方程中用严格的等号表示的约束称为 双面约束(bilateral constraint),含有不等号表示的 约束称为单面约束(ulilateral constraint) 。例如在 球面上运动的质点,如果规定质点不能离开球面, 则约束是双面的;否则,约束就是单面的。
关于虚功原理与刚体静力学平衡条件的两点说明: (1) 虚功原理常常被认为是更普遍的原理;
(2) 虚功原理的基本思想是一种变分原理的思想。
■ 理想约束
如果质点系所受的约束力在任意虚位移上 的元功总和为零,则该约束称为理想约束(ideal constraint)。 这是理想约束的一般定义,显然,在定常约束 的情况下,它与原有的定义没有区别。但在非 定常约束的情况下,它们是不同的。
的柔 单绳 摆连 接
x
y
l z
单面约束
约束方程:
m
x2 + y2 + z2 ≤ l2
■ 定常约束与非定常约束
约束方程不显含时间t的约束称为定常约束或 稳定约束(scleronomic constraint); 反之, 如果约束 方程显含时间t, 则称为非定常约束或不稳定约束 (rheonomic constraint) 。
B l
○
r
O
A x

O
y l1
○
双数学摆
1
xA2 + yA2 = l12
A
(xB－xA )2 +(yB－yA)2 = l22
l2 B
○
2
x
系统的自由度为2, 可在xA、yA 、 xB 和 yB 中任选2个能唯一确定系 统位形的变量作为广义坐标, 当 然也可以选取θ1和θ2 。
广义坐标不一定是直角坐标,也可以是球坐标、 柱坐标、角度、距离、面积等等,只要它是一组能 唯一确定系统位形的独立变量就行。
的摆 单长 摆可 变
x
y
u
l
z
约束方程:
m
x2 + y2 + z2 ≤ [l(t)]2
u
O
l
x 约束方程:
非定常约 束的例子
m
(ut－x)2 + y2 = l2
R=at2zy来自约束方程:y x
x2 + y2 + z2 ≥ a2t4
■ 完整约束与非完整约束
只限制系统中各质点的 位置的约束称为几何约束 (geometrical constraint),其 约束方程是坐标和时间的 有限方程。 y
13.3 虚位移
本节将引入可能位移、实位移和虚位移的概念,研究它 们之间的关系,以及它们要满足的条件。
■ 可能位移(possible displacement) ——是指约 束所允许的系统的任何一组无限小位移。 dr A dr'
○
drA
B
○
drA'
drB
drB'
O
■ 实位移 在无限小时间间隔dt内,系统的真实运动所产生 的位移称为实位移(actual displacement)。 所谓真实运动,是指既满足约束方程又满足运动 微分方程和初始条件的系统运动。因此,在任意时 刻,系统的实位移是唯一的,并且是可能位移之一。 但反过来,任意一组可能位移则不一定是实位移。
O
y l1
○
1
A
δ xA l1 sin 1 δ1 δ y A l1 cos1 δ1
2
x
l2 B
○
δ xB l1 sin 1 δ1 l2 sin 2 δ2 δ yB l1 cos1 δ1 l2 cos2 δ2
二、 虚位移原理
δrD D
○
δrA A θ+
θ δrB

O
δ r D 2δ r A
δ r Bcos δ r Asin( ) δ r D 2δ r A
δ r B δ r Asin( ) / cos
○
例2 图示双数学摆,已 知l1和l2, 试确定A 和B 的虚位移之间的关系。 解: 系统的自由度为 2 , 取θ1和θ2为广义坐 标,如图所示有
D 30°
A

F1
E
l F2 60° B
提示: 此题是应用虚功原理求系统的平衡位置, 考虑如何将二主动力的虚功表示为某个独立变 分(例如δ )的函数。
解: 取y轴铅直向上, 由虚功原理有
– F1δyD – F2δyE = 0 因为 yD = AD sin 30°
y
C
D 30°
A

F1
E
l F2 60° B
F1 δrA
+
M
F2
B
A δrB


O
δ
δrB = δrA sin( + )/ cos
F2 sin( ) M ( 2 F1 sin )rA 0 cos R RF2 sin( ) M 2 RF1 sin cos
例2 小球D和E重F1和F2 ,可分别沿固定的光滑金 属丝AC和BC滑动, 二球用一根不可伸长的绳连接, 如图所示,试求平衡时的 角。 C
而 AD = AC – l cos α
yD = (AC – l cos α)/2
同理可得
1 yD l sin 2
3 yE l cos 2
3 yE ( BC l sin ) 2
1 yD l sin 2 3 yE l cos 2
y
A(x1, y1)
○
v
• M (x, y)
○
两质点用长为l的刚性轻 杆连接,在水平面上运动,杆 中点M的速度只能沿杆向。 几何约束方程为:
B (x2, y2)
(x1－x2 )2 +(y1－y2)2 = l2 x
杆的中点坐标为:
O
• • •
x = (x1+ x2 )/2
y = (y1+ y2)/2
第13章 虚位移原理
虚位移原理是以分析的方法研究非自由质 点系的平衡问题，该原理不但能简捷地处理非 自由质点系的静力学问题，而且结合达朗贝原 理还能建立普遍形式的动力学微分方程。
13.1 约束及其分类
对质点系运动的限制条件称为约束(constraint), 约束条件的数学表达式称为约束方程或约束不等 式。
■
虚位移
在定常约束的情况下, 可能位移就是虚位移 (virtual displacement)。在非定常约束的情况下, 虚位移是约束被‘冻结’后的可能位移。
δr
δr'
定 常 约 束
z
dr' dr○ u t+dt
非定常约束
约束方程:
δr
○
t
y
z－ut = 0 dz = udt
可能位移dr在z方向 的投影等于udt。
沿水平直线纯 滚的圆盘
A
vA
x
dx A d r dt dt
上述约束为运动约束,但其约束方程可积分为 有限形式,从而转化为几何约束。几何约束和可 积分的运动约束称为完整约束(holonomic constraint)。这里‘可积分’的意思是不依赖于 运动方程而单独积分成有限形式。不可积分的运 动约束称为非完整约束(nonholonomic constraint) 。
– F1 δyD – F2 δyE = 0
1 3 ( F1l sin F2l cos ) 0 2 2
3F2 arctan F1
解: D、E的虚位移如图示。由虚功原理可得
rE C
D l 30° rD F1 A
E F2 60° B
F1r D sin 30o F2r E cos30o 0
x
δz=uδt=0 虚位移δr在z方向的投影等于零。
等时变分运算与微分运算相同,但δt≡0。
注意:
(1) 可能位移和虚位移是纯碎的几何概念,它们不涉 及系统的实际运动,与运动方程和初始条件无关。 实位移是系统真实运动产生的位移,是可能位移 中的一个。
(2) 一般说,系统的可能位移和虚位移都不是唯一的, 在不破坏约束的前提下, 具有一定的任意性; 但实 位移却是唯一的。 (3) 在定常约束的情况下,虚位移与可能位移相一致, 实位移是虚位移中的一个。在非定常约束的情况 下,虚位移是约束被‘凝固’后的可能位移,实位 移是可能位移中的一个,但不是虚位移中的一个。
○
B
l

曲柄连杆机构 x A 2 + y A 2 = r2 xB = 0 xA2 +(yB－yA)2 = l2
○
r O
A
x
O
y l1
○
双数学摆
约束方程:
A l2 B
xA2 + yA2 = l12 (xB－xA )2 +(yB－yA)2 = l22
○
x
与几何约束相对应的是运动约束(constraint of motion), 即限制质点运动速度的约束,其约束方程 是含有坐标和时间以及坐标对时间的导数的微分 方程。
■
解析法 解析法是将各质点的坐标表示为广义坐标的 函数,然后再求变分,得到用广义坐标的独立变分 表示的虚位移。
例1 图示曲柄连杆机构, 已知θ和 ,OA=AD,试确 定A、B和D的虚位移之间 的关系。
解: 系统的自由度为 1,独立的虚位移只有 一个。A、B和D的虚 位移如图示。根据相 应的速度关系可得 B
理论力学
虚位移原理(二)
三、 虚位移原理的应用
F
i
i
ri 0
虚位移原理特别适合于解以下几类静力学问题: 在机构的平衡问题中求主动力之间的关系; 求系 统的平衡位置; 求系统平衡时的个别约束力。 求平衡系统的约束力时,首先要解除与之对应的 约束, 代之以约束力, 并将该约束力当作主动力看 待。此外, 非理想约束的约束力(例如摩擦力)必须 全部视为主动力, 并计入其虚功。
例1 图示曲柄连杆机构, 已知F1 、 F2 、θ和 , OA=AD=R, 试求平衡力矩M。
D
○
F1
○
F2
B
A
M


O
解: A、B和D的虚位移如 图示。由虚功原理可得 F1 δrD sin + F2 δrB – M δ = 0
因为 δ = δrA /R δrD = 2δrA
○
δrD D
○
小球在三维空间的运 动,自由度为3, 广义坐标 可选直角坐标x,y,z。 当它被限制在平面z=b 上运动时, 自由度为2, 广 义坐标可选直角坐标x,y; 或极坐标r,θ。
曲柄连杆机构
y
○
x A 2 + y A 2 = r2 xB = 0 xA2 +(yB－yA)2 = l2
确定质点系位置所需的 独立变量数为1, 即系统的 自由度为1, 可在 xA、yA和 yB 中任选一个作为广义坐 标, 但是选取角θ有时会更 方便。
F1r D 3F2r E
因
r D cos r E sin
F1r E tan 3F2r E 3F2 tan F1
所以
点评: (1) 对于理想约束系统,在机构的平衡问题中 求主动力之间的关系及求系统的平衡位 置时, 应用虚功原理, 由于仅涉及主动力, 因而计算比较简洁。 (2)应用虚功原理的关键是将虚功方程左边 表示成独立虚位移上的虚功总和,为此必 须首先确定各个虚位移之间的关系, 常用 的方法有几何法和解析法。
O
y l1
○
1
A
x A l1 cos1 y A l1 sin 1 xB l1 cos1 l2 cos 2 yB l1 sin 1 l2 sin 2
2
x
l2 B
○
x A l1 cos1 y A l1 sin 1 xB l1 cos1 l2 cos 2 yB l1 sin 1 l2 sin 2
■ 虚位移原理 具有定常、理想约束的完整系统平衡的充 分必要条件是 : 作用于质点系的所有主动力 在任何虚位移上的元功总和为零。 上述结论称为虚位移原理(principle of virtual displacement),其表达式为
F
i
i
ri 0
虚位移原理是分析静力学的基本原理,因为 力在虚位移上的功称为虚功,故虚位移原理也 称为虚功原理(principle of virtual work)。