指对幂函数复习课

a ⎧ ≥ 1− 3 ⎪ ∴⎨ 2 2 ⎪ ( 1 − 3 ) − a(1 − 3 ) − a > 0 ⎩
解得2(1 − 3 ) ≤ a < 2, 故所求a的取值范围[2 - 2 3,2)。
8.证明：函数f ( x) = lg( x + 2 + x )在定义域
2
上为单调增函数。
证明 : Q x ∈ R时，x + 2 + x 2 > x + | x |≥ 0 ∴ f ( x)的定义域为R。
x
在y轴右侧指数函数的底 在直线x=1右侧,在x轴上下 数越大，其图像越在上 两侧，指数函数的底数越 大，其图像越在下方 方
15.如果 log a 3 > log b 3 > 0, 那么a,b之间的关系是 __________ b>a>1 .
1 1 解法一：不等式即为 > > 0, log 3 a log 3 b ∴ 0 < log 3 a < log 3 b, ∴ 1 < a < b.
0 0
x x y = log 1 x
2
y = log a x
四、综合应用
17.已知f ( x) =| log a x | (0 < a < 1), 则下列各式中正确的是 ( B )
⎛1⎞ A. f ⎜ ⎟ > f (2) > ⎝ 3⎠ ⎛1⎞ C. f (2) > f ⎜ ⎟ > ⎝3⎠ ⎛1⎞ ⎛1⎞ ⎛1⎞ f ⎜ ⎟, B. f ⎜ ⎟ > f ⎜ ⎟ > f (2) ⎝4⎠ ⎝4⎠ ⎝ 3⎠ ⎛1⎞ ⎛1⎞ ⎛1⎞ f ⎜ ⎟, D. f ⎜ ⎟ > f (2) > f ⎜ ⎟ ⎝4⎠ ⎝4⎠ ⎝4⎠
解法1
解法2
又 Q函数在[0,1]上有意义， 2 函数的定义域为(−∞, ),Q函数在[0,1]上有意义， a 2 2 ∴[0,1] ⊆ (−∞, ), ∴1 < , a < 2. a a 2 Q u = 2 − ax在[0， 1]上为减函数， ∴ umin = u (1) = 2 − a > 0 a ∴ a < 2. 0 1
7.若函数y= -log2(x2-ax-a)在区间 (−∞,1 − 3 )上是增 函数，则a的取值范围是 ( B )
A.[2 − 2 3,2], B.[2 − 2 3,2), C.(2 − 2 3 ,2], D.(2 - 2 3,2)
2 a a 设u = x 2 − ax − a = ( x − ) 2 − a − 2 4 要使y在(−∞,1 − 3 )上递增，只要使 : u在(-∞,1 - 3 )上单调递减。
三、函数的奇偶性
x 4 −b 10.设f ( x) = lg(10 x + 1) + ax是偶函数，g ( x) = 是奇函数， x 2 那么a + b的值是 ( D ) 1 1 A. 1 B. -1 C. − D. 2 2 11 .函数 f ( x ) = log a ( x + 1 + x 2 ) 是 ( A )
(复习课)
概念
指数函数
y=a
对数函数 幂函数
x
y = log a x
y=x
α
a > 0 ,a ≠ 1
α ∈R
1.指数与指数幂的运算 一.根式：
n
n
a
如果 x = a n 1.当n为奇数，x= a 2.当n为偶数，x= ± 3.当a=0，即
n n
a
a≥0
a
0= 0
n
4. ①当n为奇数， a n = ②当n为偶数， a n
A.是奇函数，但不是偶函数 B. 是偶函数，但不是奇函数 C. 既是奇函数，又是偶函数 D. 既不是奇函数，又不是偶函数
ax +1 12.已知函数 f ( x) = x (a > 0,a ≠ 1), f (1) = 3 a −1
(1)求f(x)的表达式和定义域； (2)证明f(x)为奇函数。
2 13.已知函数f ( x) = a − x 是奇函数, 试求实数 2 +1 a，并确定f ( x)的单调性。
n
换底公式： log a b = log c b 特别地：当c=b时，有：
log c a
log a b =
1 log b a
lg b lg a
log 3 4 =
1 log 4 3
当c=10时，有：
log a b =
lg 4 log 3 4 = lg 3
对数函数y=logax (a＞0,且a≠1)
的图象与性质
y = loga x y = logb x
3
解法二：如图所示 ,∴ 1 < a < b.
思考：如果 loga 3 > logb 3, 那么a, b之间的关系是__________.
如果loga 3 > logb 3 > 0, 那么 b>a>1 如果0 > loga 3 > logb 3, 那么 1>b>a>0 如果loga 3 > 0 > logb 3, 那么 a>1>b>0
A. (a-1)(c-1)>0 B. ac>1 C. ab=1 D.0<ac<1
5.求下列函数的单调递增区间 1 x2 + x−2 x2 + x−2 (1) y = 2 , (2) y = ( ) 2 (3) y = log 2 ( x 2 + x − 2), (4) y = log 1 ( x 2 + x − 2)
2
复合函数单调性
x
u=g(x) y=f(u)
�u=g(x) 增 增 增
y
x a
a＞1
y
x =1
0＜a＜1
x =1
(a > 1)
图 象
当
y = log
(1,0)
O
X
(1,0)
O
( 0,+∞)
y = log
X
a
x
(0 < a < 1)
定义域 : 当 0<x < 1 时, y < 0。 值 域 : 过定点: (1 ,0),
x > 1 时，y > 0；
当0< x < 1 时，y > 0； 当 x > 1时， y < 0。
x y=a
当a>1时：若x>0，则y>1；若x<0，则0<y<1。
例：
5
0.1
>1
0<5
−0.1
<1
当0<a<1时：若x>0，则0<y<1；若x<0，则y>1。
例：
0 < 0.50.1 < 1
0.5−0.1 > 1
对数性质：
y = f ( x) = log a x
（1）负数和零没有对数； （2）1的对数是零：
性 质
R
即当x ＝1时,y＝0 减函数
增函数 在(0,+∞)上是 在(0,+∞)上是：
一、函数的定义域，值域
1.求下列函数的定义域
1 (1)y = log 2 (5x − 3) (2) y = log 1 (5x − 3)
2
3 4 4 ( , ) U ( ,+∞) 5 5 5
3 4 ( , ] 5 5
12 log 3 12 − log 3 4 = log 3 = log 3 3 4
M log a = log a M − log a N N
log a M n = n log a M
log a m
log 2 2 = 5 log 2 2
5 log 23 4 = log 2 2 3
5
5
(4)
n b = log a b m
log a 1 = 0
（3）底数的对数是1： log a a = 1 （4）对数恒等式：
（5 ）
a
log a N
=N
log a a = n
n
对数运算：
(1) (2) (3)
log a ( M × N ) = log a M + log a N
log15 3 + log15 5 = log15 (3 × 5) = 1
3 ×3 = 3
0.5 2
=3
5
(4)
(a ) = a
r
r s
rs
(3 ) = 3
r
2
0.5*2
=3
2
1
(5)
(ab) = a a
r
(2 × 3) = 2 × 3
2
指数函数 y = a
x
的图像及性质
a>1
y y=1
(0,1)
0<a<1
y=ax
(a>1)
y=ax
(0<a<1)
y
(0,1)
图 象 性 质
y=1 x
当 x > 0 时，y > 1. 当 x < 0 时，. 0< y < 1
0
x
0
当 x < 0 时，y > 1；
定 义 域当 : xR > 0 时， 0< y < 1。 值 域: ( 0,+ ∞ ) 恒 过 点： ( 0 , 1 ) ,即 x = 0 时, y = 1 .
在 R 上是单调 增函数 在 R 上是单调 减函数
二、函数的单调性
3.已知函数y=(1-a)x在R上是减函数，则实数a的取 值范围是( B ) A (1, +∞) B (0,1) C (-∞,1) D (-1,1) 4. 已知不等式a2x>ax-1的解集为{x|x>-1},则实数a的 取值范围是( C ) A (0, 1) B (0,1)∪ (1, +∞) C (1,) D (0, +∞)
R
[3,+∞) (3) y = log 2 (3 − x 2 − 2x ) ( −∞,2]
1 1 (4)已知x ∈ [ −3， 2]，求函数f ( x ) = x − x + 1 4 2 的值域 x x (5)已知x ∈ [1,8]，求函数g( x ) = (log 2 )(log 2 ) 2 4 的值域
1
⎛1⎞ Q f (2 ) = f ⎜ ⎟,函数在(0,1)上单调递减， ⎝2⎠ ⎛1⎞ ⎛1⎞ ⎛1⎞ ∴f⎜ ⎟> f⎜ ⎟> f⎜ ⎟ ⎝4⎠ ⎝3⎠ ⎝2⎠
18.已知f ( x) =| lg x |, 若0 < a < b < c, 且f (a) > f (c) > f (b), 则下列不等式中正确的是 ( D )
2 2
= ( x1 − x2 )[1 +
( x1 + x2 )
x +2+ x +2
2 1
2 2来自百度文库
]
= ( x1 − x2 )
2 ( x12 + 2 + x1 ) + ( x2 + 2 + x2 ) 2 x12 + 2 + x2 +2
2 Q x1 − x2 < 0, x12 + 2 + x1 > 0, x2 + 2 + x2 > 0
分解
�y=f(u) 增 减 减 减 增 减
各自判断
减 减 增
复合
y=f[g(x)]
定义域
6. 已知y=loga(2-ax)在[0，1]上是x的减函数，则实数a 的取值范围是( B) A (0, 1) B (1,2) C (1,+∞) D (2, +∞)
令u = 2 − ax, 则y = log a u 由于a > 0,因此u = 2 − ax为定义域上的减函数， ∴ y = log a u在定义域上为增函数， ∴a > 1
设x1 , x2 ∈ R , 且x1 < x2 , 则 :
2 2 x1 + x12 + 2 − ( x2 + x2 + 2 ) = ( x1 − x2 ) + ( x12 + 2 − x2 + 2)
= ( x1 − x2 ) +
( x1 − x2 )( x1 + x2 )
x +2 + x +2
2 1
3 ( ,2) U (2,+∞) 2
3 (3) y = log ( x −1) ( x − ) 2 6 − 5x − x (4) y = lg( x + 3)
2
(−3,−2) U (−2,1]
2.求下列函数的值域
(1)y = log 2 ( x + 3) (2) y = log 2 ( x 2 + 8)
n
a ,a ≥ 0 = | a | ={ −a , a < 0
指数运算：
(1)
a =n a
a
−n
m n
m
2 3 2 3 5 = 5
(2)
1 = n a
1 − 2 5 = 52
3 2
2 −2 1 3 2 ( ) = =( ) 2 2 3 2 ( ) 3
3+ 2
(3)
a r × a s = a r +s
∴ x1 + x12 + 2 < x2 + x12 + 2
Q y = lg x是增函数， ∴ f ( x1 ) < f ( x2 ) 故f ( x)在R上是增函数。
1 1− x + lg 9. 设 f ( x) = x+2 1+ x
(1)试判定函数f(x)的单调性，并给出证明；
1 1 (2)解关于x的不等式 f [ x( x − )] < 2 2
2 14.已知函数F( x) = (1 + x ) f ( x)( x ≠ 0)是偶函数, 2 −1 且f ( x)不恒为0，试确定f ( x)的奇偶性。
四、特有性质
指数函数y=ax 底大图高 对数函数y=logax 底大图底
y=log2x y=log3x
y = log
1 3
x
y = log
1 2
16.已知函数y = log a x在区间[2， + ∞)上恒有 | y |> 1成立, 求实数a的取值范围.
若a>1， 则在区间[2,+∞)上， logax>1恒成立。 y ∴1<a<2。 若0<a<1，
1 则在区间[2,+∞)上， 1 -1 1 2 2
y
y=logax y=log2x
logax<-1恒成立。 1 ∴ <a<1。 2