实数讲义(钱伟杰)
《实数》 讲义
《实数》讲义一、实数的概念在数学的广袤天地中，实数是我们经常打交道的重要概念。
那什么是实数呢？简单来说，实数就是包括有理数和无理数的数的集合。
有理数，大家应该比较熟悉，像整数（正整数、零、负整数）和分数（正分数、负分数），都属于有理数。
比如 5、0、－3 这些整数，以及 1/2、－3/4 这样的分数，都是有理数。
而无理数呢，是指无限不循环小数。
最典型的例子就是圆周率π，约等于 31415926，还有像根号 2 约等于 1414它们的小数部分没有周期性的重复规律，是无限不循环的。
实数可以用数轴上的点来表示。
数轴就像是一个长长的直尺，上面标有刻度，每个实数都对应着数轴上的一个点，反过来，数轴上的每一个点也都对应着一个实数。
二、实数的分类实数的分类方式有多种。
按照定义来分，我们已经知道可以分为有理数和无理数。
如果按照正负来分，实数可以分为正实数、零和负实数。
正实数包括正有理数和正无理数，比如3、π；负实数包括负有理数和负无理数，比如－2、根号 3 。
零既不是正实数也不是负实数。
有理数还可以进一步细分。
整数包括自然数（正整数和零）和负整数。
分数包括有限小数和无限循环小数。
三、实数的运算实数的运算包括加、减、乘、除、乘方和开方。
加法和减法：同号两数相加（减），取相同的符号，并把绝对值相加（减）；异号两数相加（减），取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。
互为相反数的两个数相加得 0 。
乘法：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。
任何数与 0 相乘都得 0 。
除法：除以一个数等于乘以这个数的倒数。
0 不能作除数。
乘方：求 n 个相同因数的积的运算叫做乘方。
正数的任何次幂都是正数，负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。
开方：如果一个数的平方等于 a ，那么这个数叫做 a 的平方根；如果一个数的立方等于 a ，那么这个数叫做 a 的立方根。
正数有两个平方根，它们互为相反数；0 的平方根是 0 ；负数没有平方根。
2024年《实数》实数教学课件
2024年《实数》实数教学课件一、教学内容本节课选自2024年教材《数学》七年级下册，第十章实数部分。
详细内容包括：实数的定义与性质、无理数的概念、实数的分类、实数与数轴的关系以及实数的四则运算。
二、教学目标1. 让学生理解实数的定义，掌握实数的性质，能够区分有理数与无理数。
2. 培养学生运用实数解决实际问题的能力，提高数学运算技巧。
3. 通过实数的学习，培养学生的逻辑思维能力和抽象思维能力。
三、教学难点与重点教学难点：无理数的理解与运算，实数与数轴的关系。
教学重点：实数的定义与性质，实数的分类，实数的四则运算。
四、教具与学具准备1. 教具：多媒体教学设备，实数教学课件，数轴模型。
2. 学具：练习本，铅笔，直尺。
五、教学过程1. 实践情景引入：通过展示生活中的实例，如测量物体长度、计算面积等，引出实数的概念。
2. 知识讲解：(1) 实数的定义与性质：介绍实数的概念，分析实数的性质，如封闭性、有序性等。
(2) 无理数的概念：讲解无理数的定义，举例说明无理数的特点。
(4) 实数与数轴的关系：讲解实数在数轴上的表示方法，分析实数与数轴的关系。
(5) 实数的四则运算：介绍实数的四则运算规则，分析运算过程中的注意事项。
3. 例题讲解：选取典型例题，讲解解题思路，分析解题方法。
4. 随堂练习：布置实数相关练习题，让学生巩固所学知识，及时发现问题并进行解答。
六、板书设计1. 实数的定义与性质2. 无理数的概念3. 实数的分类4. 实数与数轴的关系5. 实数的四则运算6. 典型例题与解题方法七、作业设计1. 作业题目：2. 答案：(1) 是实数：5，3/2，π；不是实数：√2。
(2) 结果为实数。
(3) 见作业本。
八、课后反思及拓展延伸1. 反思：本节课学生对实数的概念和性质掌握情况良好，但对无理数的理解与运算还需加强练习。
2. 拓展延伸：引入复数的概念，让学生了解实数与复数的关系，为后续学习打下基础。
重点和难点解析1. 教学难点：无理数的理解与运算。
2022年浙教初中数学七上《实数》PPT课件4
有理数和无理数统称实数。
有理数
正有理数 零
实
负有理数
数
正无理数
无理数
有限小数或 无限循环小数
无限不循 环小数
负无理数
把数从有理数扩充到实数以后，有理数的 相反数和绝对值的概念同样适用于实数。
例如： 2 和 2互为相反数 ∵ 2 2 2 2 ∴绝对值等于 2 的数是 2 和 2
填空：
教学目标： 1、了解无理数、实数的概念，了解实数的分类 2、知道实数与数轴上的点一一对应 3、理解相反数、绝对值、数的大小比较法则同样适用实数
教学重点与难点： 重点：无理数和实数的概念，以及实数与数轴上的点一一 对应
难点： 2 在数轴上的表示
3.2
自主预习
预习书本P71-73 1、无理数的概念是什么？实数的概念是什
2 1 .41241536 32 7 03 95 04880 61 8782240 6 9
我们把这种无限不循环小数叫做无理数。
想一想：凡是带有根号的数 都是无理数吗？
2 是不是有理数？ 2 是不是整数？ 2 是不是分数？
结论： 2 既不是整数，也不是分数。 所以， 2 不是有理数。
无理数广泛存在着，一般有三种情况：
3 (2)
19285－1.
【点拨】 (1)本题要根据开立方与立方的互逆关系来计算，计
算时若被开方数是带分数，则应先化成假分数，再开立方；
若被开方数是和或差的形式，则应先计算出和或差的值，再
开立方． (2)本题的易错之处就是未将被开方数的带分数化成假分数或
是未先计算和或差的值就开立方了．
【解析】
3 (1)
【跟踪练习 3】 一个正方体木块的体积是 125 cm3，现 将它锯成 8 块大小相同的小正方体木块，求每个小正 方体木块的表面积．
(完整版)实数讲义
当 时， ，例如
5、立方根的概念及性质（例8）
（1）立方根的定义：一般地，如果一个数 的立方等于 ，即 ，那么这个数 就叫做 的立方根，也叫做 的三次方根.如 ，2叫做8的三次方根.
(2)立方根的性质：一个正数有一个正的立方根，一个负数有一个负的立方根，0的立方根是0.
（3）立方根的表示：数 的立方根用符号“ ”来表示，读作“三次根号 ”。其中， 称为被开方数，3称为根指数。
12、近似数（例15）
接近实际的数或在计算中按要求所取的与某个准确数接近的数，我们把它叫做近似数.
注意：近似数产生的原因主要有两种：（1）有些需要度量的数，由于受到测量工具精度的限制，得到完全准确的数值几乎是不可能的，这就需要用和准确数尽可能接近的数来表示；（2）有时没有必要完全准确，用近似数表示就可以了.
6、开立方（例9）
求一个数的立方根的运算，叫做开立方.
（1）开立方是一种运算，是与加、减、乘、除、乘方一样的运算，是求立方根的过程，立方和开立方互为逆运算.
（2）由立方根的性质可知开立方的结果是唯一的.
7、无理数（例10）
（1）无理数：无限不循环小数叫做无理数.
（2）无理数的常见类型主要有以下3种：
（3）对于带有“文字单位”的近似数，在确定其精确到哪一位时，分为两种情况：文字单位前面是整数，如18亿，则它精确到文字单位这一位（亿位）；文字单位前面是小数，如2.61万，则先将它还原为普通数26100，此时1所在的数位（百位）就是它精确到的数位.
三、例题讲解
1、下列各数中，没有平方根的是（）
A.1 B.0 C. D.
所有带根号且被开方数是开方开不尽的数；
圆周率 及一些含有 的数；
无理数与有理数的和、差，无理数乘或除以一个不为0的有理数所得的结果.
《实数》PPT课件 (公开课)2022年浙教版 (1)
⒈判断下列各式哪些是一元一次方程？
(1)5x=0
√
(2)y2=4+y
x
√ (3)3m+2=1-m
(4)1+3x
x
(5) 3 4 x
x
⒉你能写出一个一元一次方程吗？
3、小强、小杰、张明参加投篮比赛，每人投20次.小强投进10个
球小，明小各杰投比进张多明少多个投进2个，三人平均每人投进142个x球 1.问2 小 杰14和 设第一次射击的成绩为x个， 可列方程为____3_______
尝试检验法 先估计范围, 再代入检验
1.下列方程是一元一次方程的是(_2_)_，__(3_)_，__(_5_)
1123x;
x
22x10; 35x2x3;
9
42x23x10; 5x0; 60.3x4y1,
2. 若 x 2 是关于 2x3mn0的方程的解，
则3m-n的值为
．
有的温度计有华氏、摄氏两种温标，华氏(℉)、摄氏(℃)
则k= _____-。6
在小学我们已经学过,方程是指含有未知数的等式.
运用已学的知识，根据下列问题中的条件，分别列
出方程：
1、一件衣服按 8 折销售的售价为72元,这件衣服的原价是多
少元? 设这件衣服的原价为x元,可列出方程
_0__.8_x____7_2_;
2、物体在水下，水深每增加米承受的压力就会增加1个大气
压.当“蛟龙”号下潜至3500米时，它承受的压力约为340个
列出方程后，还必须找出符合方程的未知数的值．
能使方程左右两边的值相等 的未知数的值叫方程的解.
例１: 判断下列t的值是不是
方程2t+1=7-t的解： （1） t=-2 （2） t＝1 (3) t=2
实数课件浙教版七年级数学上册
D. 3
2.正实数的绝对值是 负实数的绝对值是
，０的绝对值是
，
.
的相反数是 __ ___ 绝对值是
．
2.正实数的绝对值是 它本身
，０的绝对值是 0 ，
负实数的绝对值是 它的相反数
.
的相反数是 __ ___ 绝对值是
．
选做题
5.不用计算器，判断6的算术平方根在哪两个整数之间，与哪个整数比 较接近，请写出你的判断过程.
下图数轴中, 正方形的对角线长为____,以原点为圆心, 对角线长为半径画弧截得一点, 该点与原点的距离是____,该点表示的数是____.
-1
0
1
探究
如图是由两个边长为1的正方形拼成的长方形, 其面积是2. 现剪下两个角重新拼成一个正方形,新正方形的边长是_____
下图数轴中, 正方形的对角线长为____,以原点为圆心, 对角线长为半径画弧截得一点, 该点与原点的距离是____,该点表示的数是____.
有理数和无理数统称为实数 即实数可以分为有理数和无理数
有理数 实数
无理数
说一说
无理数和有理数一样，也有正负之分.
如：
正 的， 是 负 的.
大于 0 的实数. 包括所有的正有理数和正无理数.
小于 0 的实数. 包括所有的负有理数和负无理数.
有理数
初中阶段对数的认识范围扩充为
新加入 无理数
实数
思考:实数如何分类？
实数的分类
正 有 理 数
有 理 数0
有 限 循 环 小 数 或 无 限 循环 小 数
实 数
负 有 理 数
无
理
数负 正
无 无
理 理
数 数无 限
图形认识初步讲义(钱伟杰)
上海中小学课外辅导专家泽仕学堂学科教师辅导讲义）线段的比较分、秒为单位的角的度量制，叫做角度制成．角的互余互补关系互为补角北偏西45【答案】B【解析】图形B无论怎样折叠都有一个侧面重合，这样就缺少一个侧面，所以图形举一反三：【变式】已知O为圆锥的顶点，M为圆锥底面圆上一点，点P在点时，所爬过的最短路线的痕迹如图所示．若沿OM将圆锥侧面剪开并展平，所得侧面展开图【答案】D从不同方向看. (河北)将正方体骰子(相对面上的点数分别为1和6，2和5，3和4)放置于水平桌面上，如图1将骰子向右翻滚90°，然后在桌面上按逆时针方向旋转90°，则完成一次变换．若骰子的初始位置为图解析】第一次变换：将骰子向右翻滚【答案】D【变式2】如图，是由一些完全相同的小立方块搭成的几何体的三种视图，那么搭成这个几何体所用的小立方块的个个 B. 6个 C. 7个 D. 8个【答案】D类型三.互余互补的有关计算A．330°B．315°解：因为∠AOE＝90°，所以∠2＝90°-∠1＝90又∠AOD＝180°-∠1所以∠3＝12∠AOD＝答：∠2为62°40′，∠3类型四.方向角∵∠ACB与35°互余，∴∠ACB=90＝【点评】解决有关方位角问题，只要分清方向，正确地画出图形，问题便迎刃而解．举一反三：【变式】点，带队老的北偏东计算∠类型五.利用数学思想方法解决有关线段或角的计算方程的思想方法.如图所示，B、C是线段AD上的两点，且CD解：设AB＝x cm，则3cm2CD x=∵AB＝AD+DB＝14x，AB＝AC+CB＝14y∵CD＝AC－AD＝9y－5x＝4x＝4，∴x）当点D，C均不在线段AB上时，如图所示：方法同上，解得）如图所示，当点不在线段）如图所示，当点C在线段AB上而点D不在线段综上可得：AB的长为14cm，87cm，11253cm．类型六.钟表上的角解：设时针转过的度数为12x＝90+x解得9011 x=主任签字：泽仕学堂教务处配套习题一、选择题1．分析下列说法，正确的有（）①长方体、正方体都是棱柱；②三棱柱的侧面是三角形；③圆锥的三视图中：主视图、左视图是三角形，俯视图是圆；④球体的三种视图均为同样大小的图形；⑤直六棱柱有六个侧面、侧面为长方形．A．2种 B．3种 C．4种 D．5种2.在4个图形中，只有一个是由如图所示的纸板折叠而成，请你选出正确的一个（）．3.下面说法错误的是( )A.M是线段AB的中点，则AB=2AMB.直线上的两点和它们之间的部分叫做线段C.一条射线把一个角分成两个角，这条射线叫做这个角的平分线D.同角的补角相等4.从点O出发有五条射线，可以组成的角的个数是( )A. 4个B. 5个C. 7个D. 10个5.用一副三角板画角，下面的角不能画出的是（）A．15°的角 B．135°的角C．145°的角 D．150°的角6．如图所示，已知射线OC平分∠AOB，射线OD，OE三等分∠AOB，又OF平分∠AOD，则图中等于∠BOE 的角共有()．A．1个B．2个C．3个D．4个7.已知：线段AC和BC在同一条直线上，如果AC=5cm，BC=3cm，线段AC和BC中点间的距离是（）A．6 B．4 C．1 D．4或18. 平面内两两相交的6条直线，其交点个数最少为m个，最多为n个，则m+n等于（）A.12B.16C.20D.以上都不对二、填空题9．把一个周角7等分，每一份是________的角（精确到秒）．10．若∠α是它的余角的2倍，∠β是∠α的2倍，那么把∠α和∠β拼在一起(有一条边重合)组成的角是________度．11．如图是用一样的小立方体摆放的一组几何体，观察该组几何体并探索：照这样摆下去，第五个几何体中共有_______个小立方体，第n个几何体中共有_______个小立方体．12．如图所示的是由几个相同的小正方体搭成的几何体从不同的方向看所得到的图形，则搭成这个几何体的小正方体的个数是_______．13.如图，点B、O、C在同一条直线上，∠AOB=90°，∠AOE=∠BOD，下列结论：①∠EOD=90°；②∠COE=∠AOD；③∠COE=∠BOD；④∠COE+∠BOD=90°.其中正确的是.14.如图，∠AOB是钝角，OC、OD、OE是三条射线，若OC⊥OA，OD平分∠AOB,OE平分∠BOC，那么∠DOE的度数是．三、解答题15．钟表在12点钟时三针重合，经过多少分钟秒针第一次将分针和时针所夹的锐角平分？。
《实数》 讲义
《实数》讲义一、实数的定义实数，是数学中最基本的概念之一。
简单来说，实数就是有理数和无理数的统称。
有理数，包括整数和分数。
整数如－3、0、5 等，分数如 1/2、－3/4 等。
这些数都可以表示为两个整数的比值。
而无理数，则是无限不循环小数，比如圆周率π约等于 31415926，以及根号 2 约等于 14142135实数的概念让我们能够描述和处理各种数量关系，无论是在日常生活中的测量、计算，还是在科学研究中的复杂运算，实数都扮演着至关重要的角色。
二、实数的性质1、有序性实数具有有序性，即任意两个实数 a 和 b，要么 a ＜ b，要么 a ＝ b，要么 a ＞ b。
例如，3 ＜ 5，－25 ＞－3 等。
这种有序性让我们能够比较数的大小，从而进行排序和选择。
2、稠密性实数是稠密的，这意味着在任意两个不相等的实数之间，总是存在着无穷多个其他实数。
比如在 1 和 2 之间，有 11、12、125 等等无数个实数。
3、四则运算封闭性实数对四则运算（加、减、乘、除，除数不为 0）是封闭的。
也就是说，两个实数进行四则运算的结果仍然是实数。
例如，3 ＋ 5 ＝ 8，6 25 ＝ 35，4 × 2 ＝ 8，8 ÷ 2 ＝ 4 等。
三、实数的表示方法1、小数表示实数可以用小数来表示。
有限小数，如 025、314 等，能准确地表示为有理数。
无限循环小数，如 0333（1/3），也是有理数。
无限不循环小数，如π、根号 2 等，则是无理数。
2、数轴表示我们可以用数轴来直观地表示实数。
数轴上的每一个点都对应着一个唯一的实数，反之，每一个实数也都能在数轴上找到对应的点。
例如，0 对应的点在数轴的正中间，正数在 0 的右边，负数在 0 的左边。
四、实数的运算1、加法实数的加法遵循交换律和结合律。
交换律：a ＋ b ＝ b ＋ a例如，2 ＋ 3 ＝ 3 ＋ 2 ＝ 5结合律：（a ＋ b) ＋ c ＝ a ＋（b ＋ c)例如，（1 ＋ 2) ＋ 3 ＝ 1 ＋（2 ＋ 3) ＝ 62、减法减法是加法的逆运算。
整式加减讲义(钱伟杰)
泽仕学堂学科教师辅导讲义c 、只有是同类项才能合并。
d 、合并同类项的结果可能是单项式也可能是多项式。
知识点8、去括号法则：括号前面是正号，去掉括号不变号；括号前面是负号，去掉括号要变号。
板块一 单项式与多项式【例1】下列说法正确的是( )A ．单项式23x -的系数是3-B ．单项式3242π2ab -的指数是7C ．1x是单项式 D ．单项式可能不含有字母【例2】多项式2332320.53x y x y y x ---是 次 项式，关于字母y 的最高次数项是 ，关于字母x 的最高次项的系数 ，把多项式按x 的降幂排列 。
【例3】已知单项式4312x y -的次数与多项式21228m a a b a b +++的次数相同，求m 的值。
【例4】若A 和B 都是五次多项式，则( )A ．AB +一定是多项式 B ．A B -一定是单项式C ．A B -是次数不高于5的整式D ．A B +是次数不低于5的整式【例5】若m 、n 都是自然数，多项式222m n m n a b ++-的次数是( )A ．mB ．2nC ．2m n +D ．m 、2n 中较大的数【例6】同时都含有字母a 、b 、c ，且系数为1的7次单项式共有( )个。
A ．1B ．3C ．15D ．36板块二 整式的加减【例7】若2222m a b +与3334m n a b +--是同类项，则m n += 。
【例8】单项式21412n a b --与283m m a b 是同类项，则100102(1)(1)n m +⋅-=( )A ．无法计算B ．14C ．4D ．1【例9】若5233m n x y x y -与的和是单项式，则n m = 。
【例10】下列各式中去括号正确的是( )A ．()222222a a b b a a b b --+=--+ B ．()()222222x y x y x y x y -+--+=-++- C ．()22235235x x x x --=-+D ．()3232413413a a a a a a ⎡⎤---+-=-+-+⎣⎦【例11】已知222223223A x xy y B x xy y =-+=+-，，求(2)A B A --例题精讲主任签字：泽仕学堂教务处。
《实数》课件精品公开课
《实数》课件精品公开课一、教学内容本节课选自教材第九章《实数》的第一节，详细内容包括实数的定义、性质及其分类。
重点讲解无理数的概念及其与有理数的区别，实数的运算法则，以及实数在数轴上的表示。
二、教学目标1. 让学生掌握实数的定义，理解无理数的概念，并能正确区分有理数与无理数。
2. 使学生掌握实数的运算法则，并能熟练进行实数的加减乘除运算。
3. 培养学生运用数轴表示实数的能力，提高数形结合的思维能力。
三、教学难点与重点难点：无理数的理解及其运算；实数在数轴上的表示。
重点：实数的定义；实数的运算法则；数轴上的实数表示。
四、教具与学具准备教具：多媒体课件、黑板、粉笔。
学具：直尺、圆规、计算器。
五、教学过程1. 实践情景引入：通过生活中的实例，如测量物体长度、计算面积等，引出实数的概念。
2. 知识讲解：（1）实数的定义：包括有理数和无理数。
（2）实数的性质：封闭性、可比较性、可运算性。
（3）实数的分类：整数、分数、无理数。
（4）无理数的理解：通过平方根、立方根等例子，让学生直观感受无理数的存在。
3. 例题讲解：（1）实数的加减乘除运算。
（2）实数在数轴上的表示。
4. 随堂练习：（1）判断题目：区分有理数和无理数。
（2）计算题目：实数的加减乘除运算。
（3）作图题目：在数轴上表示给定的实数。
六、板书设计1. 实数的定义及性质。
2. 实数的分类：整数、分数、无理数。
3. 实数的运算法则。
4. 数轴上的实数表示。
七、作业设计1. 作业题目：（3）在数轴上表示实数3、2、√5。
2. 答案：（1）π、√2、3/2、5都是实数。
（2）和：2/3 + √3 + 4 + 1/2 = 9/2 + √3；差：2/3 √3 = 2/3 √3；积：2/3 × √3 = √3/3；商：2/3 ÷ √3 =2/(3√3)。
（3）见附件。
八、课后反思及拓展延伸1. 反思：本节课学生对实数的概念有了更深入的了解，但部分学生对无理数的理解仍存在困难，需要在今后的教学中加强引导。
《实数》课件精品公开课
《实数》课件精品公开课一、教学内容本节课选自教材第十五章《实数》的第一节，详细内容包括实数的定义、分类和性质，特别是无理数的概念及其与有理数的区别，实数的运算规则，以及实数在数轴上的表示。
二、教学目标1. 理解并掌握实数的定义，能够区分有理数和无理数，了解实数的分类。
2. 能够运用实数的性质进行基本的运算，并理解实数在数轴上的表示。
3. 培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力，通过实数的探究活动，提高学生的数学素养。
三、教学难点与重点教学难点：无理数的概念及其运算，实数与数轴的关系。
教学重点：实数的定义及其性质，实数运算规则的理解和应用。
四、教具与学具准备1. 教具：多媒体课件、黑板、实数教学挂图。
2. 学具：练习本、铅笔、直尺、数轴图。
五、教学过程1. 实践情景引入：通过展示生活中的实例（如黄金分割比），引导学生思考非整数实数的存在和意义。
分组讨论：学生讨论实数在日常生活中的应用。
2. 例题讲解：例1：讲解无理数的平方根，如√2。
例2：实数运算，如（√3 + √2）（√3 √2）。
3. 随堂练习：练习1：判断下列数是有理数还是无理数。
练习2：在数轴上表示出给定的实数。
4. 知识巩固：小组活动：学生按小组进行实数运算比赛。
教师指导：巡回指导，解答学生疑问。
学生分享：小组代表展示解题过程和答案。
教师点评：点评并强调实数学习的要点。
六、板书设计板书分为三部分：1. 实数的定义和分类。
2. 实数的性质和运算规则。
3. 实数与数轴的关系。
七、作业设计1. 作业题目：计算题：计算下列实数的和、差、积、商：（3+√5）和（2√3）。
应用题：在数轴上标出实数1, √2, √3, 2的位置，并说明它们之间的关系。
2. 答案：计算题答案：和=5+√15，差=1+√2，积=6+5√3，商=（65√3）/10。
应用题答案：按照大小顺序排列，1<√2<√3<2。
八、课后反思及拓展延伸1. 反思：通过课后作业和随堂练习的反馈，教师应反思教学过程中学生对实数概念的理解和运用情况，及时调整教学方法。
实数第1课时课件沪科版数学七年级下册
一、学习目标
1.了解无理数发现的历程，知道无理数是客观存在的； 2.知道实数的概念并能对实数进行正确的分类，会判断一个数是 有理数还是无理数；(重点) 3.会将循环小数化为分数.
二、新课导入
试一试 通过裁剪和拼接，将两个边长为1的正方形，拼成一个大正方形.
方法如图：
反过来，任何有限小数和无限循环小数都可以写成分数情势，因此有
理数是有限小数或无限循环小数.
2 是一个无限不循环小数，它不是有理数.
三、概念剖析
此外， 3 =1.732 050 80...， 3 3 =1.442 249 57...， π=3.141 592 65...；
这些都是无限不循环小数. 无限不循环小数叫做无理数. 无理数可分为正无理数与负无理数，如 2 ， 3 ，π是正无理数； 2 ， 3 ，-π是负无理数.
分母不为0.
【当堂检测】
3.把下列各数分别填入相应的括号内：
1 3 2 ，4
，
7
，
，
5 2
，
2
20
， 3 ，
4 5 ， 3 8 ， 9 ，0 ，
0.373 773 7773 （相邻两个3之间的7的个数逐渐加1）
1, 4
5 2
, 3 8
,
4 9
,0
有理数
3 2, 7, ,
2,
20 , 3
5
0.373 773 7773
4.把下列各数写出分数情势.
3 1.5= 2 ；
-3=
3 1
；
.5 0.5= 9 ；
. 137 0.124.5= 1100 . 解：原式= 1245 12 1233 137 .
全等三角形复习讲义(钱伟杰)
泽仕学堂学科教师辅导讲义
证明文字命题，第一是要根据题意画出合适的图形；第二要根据题意和图形写出已知和求证；第三是写出证明过程。
全等三角形证明时特殊的辅助线： 在本章中，作辅助线的目的就是为了构造全等三角形，有几种特殊的辅助线需要注意：①涉及三角形的中线问题时，常采用延长中线一倍的方法，构造出一对全等三角形；②涉及角平分线问题时，经过角平分线上一点向两边作垂线，可以得到一对全等三角形；③证明两条线段的和等于第三条线段时，用“截长补短”法可以构造一对全等三角形．三、全等三角形习题精选
五大判定定理记忆与应用 ．下列命题中正确的是（ ）
．全等三角形的高相等 B ．全等三角形的中线相等．全等三角形的角平分线相等 D ．全等三角形对应角的平分线相等下列说法正确的是 （ ）
G C B
F E
A
A
D C
E B
A D
A
泽仕学堂教务处。
北师大八年级上册第二章实数讲义(无)
实数第一局部重点一、无理数1.定义无穷不循环小数称为无理数。
有理数：整数、分数、有限小数、无穷循环小数无理数：无穷不循环小数，此中有开方开不尽的数，如π、、等2.有理数和无理数的差别〔1〕有理数都能够化为小数。
此中整数能够看作小数点后边是零的小数，比如；分数都能够化为有限小数或无穷循环小数，比如，。
（2〕有限小数和无穷循环小数都能够化为分数，也就是说，全部有理数都能够用分数来表示；而无穷不循环小数不可以化为分数，它是无理数。
典型例题1. 判断正误，在后边的括号里对的用“√〞，错的记“×〞表示，并说明原因。
(1)无理数都是无穷小数〔〕(2)无穷小数都是无理数〔〕(3)带根号的数都是无理数〔〕(4)有理数都是有限小数〔〕(5)关于任何实数 a 与 b,|a－ b|=|b－a|恒建立〔〕(6)两个无理数之和必定是无理数〔〕-π +π(7) 两个无理数之积不必定是无理数〔〕〕(8) 任何有理数都有倒数〔〕(9)最小的负数是－ 1〔〕(10) a 的相反数的绝对值是它自己〔〕(11)实数 a、b，假定 |a|=2,|b|=3 且 ab>0，那么 a－ b=－1〔〕2.把以下各数分别填入相应的会合里-|-3|，，－，-，sin60，°0，-，-，-，，〔-〕×0，3-2，cot45，° ··中无理数会合｛｝负分数会合｛｝整数会合｛｝非负数会合｛｝3. 有以下三个命题：此中正确的选项是〔〕〔 1〕假定α，β是不相等的无理数，那么αβ +﹣αβ是无理数；αβ ﹣+αβ =αβ﹣+βα﹣ 1+1= 〔α﹣1〕〔β +1〕+1，令α=-1，β=+1〔2〕假定α，β是不相等的无理数，那么是无理数；令α=，β=2〔3〕假定α，β是不相等的无理数，那么+是无理数；-π+π；-+第二局部重点一、平方根〔1〕算术平方根：假如一个正数x 的平方等于a，即 x2=a，这个正数x 叫 a 的算数平方根，记作，读作根号 a。
二元一次方程组讲义钱伟杰
x y
1，和 2
x
y
2，都是某二元一次方程的解,则这个二元一次方程是___＿＿__． 4
21．在ｙ＝ｋx＋b 中，当 x=１时,y=４：当 x=2 时，y＝10,则 k=＿__＿_＿，b＝_＿___＿_＿. 22.有一个两位数，它的两个数字之和为 11，把这个两位数的个位数字与十位数字对调,所得的新数比
A．4 个
B．５个
C.6 个
Ｄ。７个
8．若 x:y=３:２,且 3ｘ+２y=13，则 x、ｙ的值分别为
(）
Ａ．3、2
B．2、３
C.４、1
D．１、4
--
-9．若二元一次方程 3ｘ－ｙ=７,2x+3ｙ=１，y=ｋx－９有公共解,则 k 的值为
（)
A.３
B.—３
C．－４
D．4
10.某班共有学生４9 人．一天，该班某男生因事请假,当天的男生人数恰为女生人数的一半。若设该 班男生人数为ｘ,女生人数为ｙ,则下列方程组中,能正确计算出 x、y 的是
2．二元一次方程组的解法：
（１）代入消元法（简称“代入法" )：代入法的主要步骤:将其中一个方程中的某个未知数用
含有另一个未知数的代数式表示出来，并代入另一个方程中，从而消去一个未知数，化二元一次方程组
为一元二次方程．
（2）加减消元法（简称“加减法” ）:加减法的主要步骤:通过两式相加（减）消去其中一个
３.如果 2004x mn1 2005y 2m3n4 2006是二元一次方程,那么 m2 n3 的值是
课内练习与训练
. ．
一、选择题
1．方程 x+ｙ=5 的解有
（)
Ａ。1 个
B．2 个
C.3 个
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泽仕学堂学科教师辅导讲义
知识点二：实数的性质 例1、
的相反数是_________；﹣
的绝对值是_________．
的倒数是 _________； （3﹣）的相反数是 _________
例2、2010的相反数是_________；=_________．
例3、计算：=_________．（结果保留根号）
练习：
1.下列各组数中，互为相反数的是（ ）。
A.2和
12
B.2和12
-
C.-2和2-
D.2和
1
2
2. －6的相反数是______，绝对值等于______.
3. 3641
的相反数是______，－2
3
的倒数是______. 4.如果｜a ｜＝－a ，那么实数a 的取值范围是______．
5.已知b ＜a ＜c ，化简｜a －b ｜＋｜b －c ｜＋｜c －a ｜＝______． 知识点三：实数与数轴
实数与数轴上的点一一对应
例1、如图，数轴上A 、B 两点分别对应实数a 、b ，则下列结论正确的是（ ）
A 、ab ＞0
B 、a ﹣b ＞0
C 、a+b ＞0
D 、|a|﹣|b|＞0
例2、和数轴上的点成一一对应关系的数是（ ） A 、自然数 B 、有理数 C 、无理数 D 、实数 练习：
1.如图所示，数轴上点P 所表示的可能是（ ）
A 、
B 、
C 、
D 、
2. 已知实数x 、y 、z 在数轴上的对应点如图
y x
z
试化简：x z x y y z x z x z
---++++
-。
3.实数a 、b 、c 在数轴上的对应关系如图2-5-1，化简a b c a b c a ---+--。
知识点四：实数有意义
例1、若二次根式有意义，则x 的取值范围是_________．
例2、当a_________时，在实数范围内一有意义．
例3、若二次根式有意义，则x 的取值范围是_________．
练习： 1.若二次根式
有意义，则x 的取值范围是_________．
2.当_______x 时，32-x 有意义；
3.下列各式中，无意义的是（ ） A.23-
B.33
)3(-
C.2)3(-
D.310-
4.要使二次根式
1x +有意义，字母x 必须满足的条件是（ ）
A ．x ≥1
B ．x ＞－1
C ．x ≥－1
D ．x ＞1 知识点五：实数的运算及化简
1.在实数范围内，有理数的运算法则、运算律仍然适用，并能正确运用.
2.运算法则：（1）b a b a ⋅=
⋅ (a ≥0,b ≥0)； （2）
b a
b
a =
(a ≥0,b ＞0)；
（3）()01
≠=
-a a
a
m m
； （4）任何非零数的零次方都等于1 3.实数的化简主要是根式的化简，根式的化简的目的是：（1）使被开方数不含开的尽的因数；（2）使被开方数不含分母
例1、求下列各式的值:
（1）44.1; （2）3027.0-; （3）6
10-;
（4）
649 ; （5）2524
1+; （6） 327
102---.
例2、化简:
（1）44.1-21.1; （2）2328-+; （3）92731⋅+; （4）
0)31(3
3
122-++;
（5）2)75)(75(++- （6）2224145-
练习：
1．化简：（1）5312-⨯ （2）2
36⨯
（3）2)75)(75(++- （4）2224145-
2.若054=-++-y x x ，求xy 的值
3.已知，a 、b 互为倒数，c 、d 互为相反数，求13+++-d c ab 的值。
课堂练习
一、选择题
1、代数式12
+x ，x ，y ,2
)1(-m ,3
3x 中一定是正数的有（ ）。
A 、1个
B 、2个
C 、3个
D 、4个 2、若73-x 有意义，则x 的取值范围是（ ）。
A 、x ＞37-
B 、x ≥ 3
7
- C 、x ＞37 D 、x ≥37
主任签字：
泽仕学堂教务处 .。