归纳法证明不等式
数学归纳法证明不等式
例4、已知x> 1，且x0，nN，n2． 求证：(1+x)n>1+nx.
证明： （1）当n=2时，左＝(1＋x)2=1+2x+x2
∵ x0，∴ 1+2x+x2>1+2x=右
∴n=1时不等式成立 （2）假设n=k时，不等式成立，即 (1+x)k>1+kx 当n=k+1时，因为x> 1 ，所以1+x>0，于是 左边=(1+x)k+1=(1+x)k(1+x)>(1+x)(1+kx)=1+(k+1)x+kx2； 右边=1+(k+1)x． 因为kx2＞0，所以左边＞右边，即(1+x)k+1>1+(k+1)x． 这就是说，原不等式当n=k+1时也成立． 根据(1)和(2)，原不等式对任何不小于2的自然数n都成立.
1 1 1 1 2° 假设 n＝k 时命题成立，即 1＋ 2＋ 2＋„＋ 2<2－ 2 3 k k 1 1 1 1 当 n＝k＋1 时，1＋22＋32＋„＋k2＋ 2< (k＋1) 1 1 1 1 1 1 1 2－ ＋ <2－ ＋ ＝2－ ＋ － k (k＋1)2 k k(k＋1) k k k＋1 1 ＝2－ 命题成立． k＋1 由 1° 、2° 知原不等式在 n≥2 时均成立．
2.数学归纳法适用范围,主要用于研究与正整数有关 的数学问题。 3. 数学归纳法的关键与难点： 在 “归纳递推 ” 中 , “证明当 n =k+1 时 命题也成立 ”, 必须利用归纳假设 ：“当 n= k (k ≥n 0, k ∈ N *时命题成立 ” 否则便不是 , 数学归纳法。
不等式证明的基本方法
不等式证明的基本方法
1.数学归纳法：归纳法是数学证明中最常用的方法之一，通常用来证
明自然数的性质。
对于不等式证明来说，如果我们希望证明不等式对于所
有自然数都成立，可以使用数学归纳法。
首先证明当自然数为1时不等式
成立，然后假设当自然数为k时不等式成立，再证明当自然数为k+1时不
等式也成立。
通过这种逐步推导的方法，可以证明不等式对于所有自然数
都成立。
2.数学推理法：数学推理法是一种基于数学定理和公理的推理方法，
通过逻辑推理来证明不等式的成立。
这种方法通常需要使用一些已知的数
学定理和性质来推导出不等式。
例如，可以使用数学的四则运算定律、平
方差公式、三角不等式等来推导不等式。
3.数学变换法：数学变换法是一种将不等式进行变换的方法，通过变
换不等式的形式来证明不等式的成立。
这种方法通常需要使用一些数学中
常见的变换方法，例如平方去根、换元法、倍加倍减等。
通过适当的变换，可以将不等式转化为更简单的形式，从而更容易证明。
无论采用哪种方法，不等式的证明都需要逻辑严谨、推理正确，以及
对数学定理和性质的熟练应用。
在实际证明中，常常需要综合运用多种方
法来解决问题，使得证明更加简洁和明了。
此外，证明中的每一步变换和
推理都需要严格地说明和证明，避免出现漏洞和错误。
数学归纳法证明不等式
数学归纳法证明不等式归纳法由有限多个个别的特殊事例得出一般结论的推理方法。
那怎么用归纳法来证明不等式呢? 接下来店铺为你整理了数学归纳法证明不等式，一起来看看吧。
数学归纳法证明不等式的基本知识数学归纳法的基本原理、步骤和使用范围(1)在数学里，常用的推理方法可分为演绎法和归纳法，演绎法一般到特殊，归纳法是由特殊到一般.由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法，通常叫归纳法。
在归纳时，如果逐个考察了某类事件的所有可能情况，因而得出一般结论，那么结论是可靠的.这种归纳法叫完全归纳法(通常也叫枚举法)如果考察的只是某件事的部分情况，就得出一般结论，这种归纳法叫完全归纳法.这时得出的结论不一定可靠。
数学问题中，有一类问题是与自然数有关的命题，因为自然数有无限多个，我们不可能就所有的自然数一一加以验证，所以用完全归纳法是不可能的.然而只就部分自然数进行验证所得到的结论，是不一定可靠的例如一个数列的通项公式是an=(n2-5n+5)2容易验证a1=1，a2=1，a3=1，a4=1，如果由此作出结论——对于任何n∈N+, an=(n2-5n+5)2=1都成立，那是错误的.事实上，a5=25≠1.因此，就需要寻求证明这一类命题的一种切实可行、比较简便而又满足逻辑严谨性要求的新的方法——数学归纳法.(2)数学归纳法是一种重要的数学证明方法，其中递推思想起主要作用。
形象地说，多米诺骨牌游戏是递推思想的一个模型，数学归纳法的基本原理相当于有无限多张牌的多米诺骨牌游戏，其核心是归纳递推.一般地，当要证明一个命题对于不小于某正整数n0的所有正整数n都成立时，可以用一下两个步骤：(1)证明当n=n0(例如n0=1或2等)时命题成立;(2)假设当n=k(k∈N+，且k≥n0)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立.在完成了这两个步骤以后，就可以断定命题对于不小于n0所有自然数都成立.这种证明方法称为数学归纳法.自然数公理(皮亚诺公理)中的“归纳公理”是数学归纳法的理论根据，数学归纳法的两步证明恰是验证这条公理所说的两个性质.数学归纳法的适用范围仅限于与自然数n有关的命题.这里的n是任意的正整数，它可取无限多个值.附录：下面是自然数的皮亚诺公理，供有兴趣的同学阅读.任何一个象下面所说的非空集合N的元素叫做自然数，在这个集合中的某些元素a与b之间存在着一种基本关系：数b是数a后面的一个“直接后续”数，并且满足下列公理：①1是一个自然数;②在自然数集合中，每个自然数a有一个确定“直接后续”数a’;③a’≠1,即1不是任何自然数的“直接后续”数;④由a’ =b’推出a=b,这就是说，每个自然数只能是另一个自然数的“直接后续”数;⑤设M是自然数的一个集合，如果它具有下列性质：(Ⅰ)自然数1属于M,(Ⅱ)如果自然数a属于M，那么它的一个“直接后续”数a’也属于M，则集合M包含一切自然数.其中第5条公理又叫做归纳公理，它是数学归纳法的依据.(3)数学归纳法可以证明与自然数有关的命题，但是，并不能简单地说所有涉及正整数n的命题都可以用数学归纳法证明.例如用数学归纳法证明(1+1)n(n∈N+)的单调性就难以实现.一般来说，n从k=n到k=n+1时，如果问题中存在可利用的递推关系，则数学归纳法有用武之地，否则使用数学归纳法就有困难.数学归纳法证明不等式例题。
归纳法证明不等式用归纳法证明不等式
归纳假设
提出归纳假设
根据已知条件和不等式的性质，提出一个归纳假设，即假设在某个条件下不等 式成立。
验证归纳假设
验证在初始条件下，归纳假设成立。
归纳步骤
归纳递推
根据归纳假设，推导出在更广泛的情况下不等式也成立。
完成证明
通过递推和归纳，最终完成对不等式的证明。
CHAPTER 03
归纳法证明不等式的例子
归纳法证明
利用数学归纳法证明平方和公式，首先需要证明基础步骤，即当$n=1$时，公式成立。然后通过假设 当$n=k$时公式成立，推导出当$n=k+1$时公式也成立。最后，根据数学归纳法，可以得出平方和公 式对于所有正整数$n$都成立。
CHAPTER 04
归纳法证明不等式的注意事 项
初始基础要正确
确定初始基础
在开始归纳法之前，确保选择正确的初 始基础，这可以是已知的不等式或数学 定理。
VS
检查基础条件
确保所选择的初始基础是正确的，并且满 足所给定的条件。
归纳假设要合理
要点一
选择归纳假设
选择一个合理的归纳假设，以便在归纳步骤中使用。
Hale Waihona Puke 要点二验证归纳假设
确保所选择的归纳假设是正确的，并且满足所给定的 条件。
归纳法证明
利用数学归纳法证明等比数列求和公式，首先需要证明基础步骤，即当$n=1$时，公式成立。然后通过假设当 $n=k$时公式成立，推导出当$n=k+1$时公式也成立。最后，根据数学归纳法，可以得出公式对于所有正整数 $n$都成立。
利用数学归纳法证明平方和公式
平方和公式
平方和公式是指一个数列中所有数的平方和的极限存在时，该极限等于数列的各项的平方和。
用数学归纳法证明不等式
用数学归纳法证明不等式在明确数学归纳法本质的基础上，我们来共同研究它在不等式证明中的应用．例1已知x＞－1，且x≠0，n∈N，n≥2．求证：(1＋x)n＞1＋nx．证：(1)当n=2时，左边=(1＋x)2=1＋2x＋x2，右边=1＋2x，因x2＞0，则原不等式成立．(在这里，一定要强调之所以左边＞右边，关键在于x2＞0是由已知条件x≠0获得，为下面证明做铺垫)(2)假设n=k时(k≥2)，不等式成立，即(1＋x)k＞1＋kx．师：现在要证的目标是(1＋x)k+1＞1＋(k＋1)x，请同学考虑．师：现将命题转化成如何证明不等式(1＋kx)(1＋x)≥1＋(k＋1)x．显然，上式中“=”不成立．故只需证：(1＋kx)(1＋x)＞1＋(k＋1)x．提问：证明不等式的基本方法有哪些？(学生可能还有其他多种证明方法，这样培养了学生思维品质的广阔性，教师应及时引导总结)师：这些方法，哪种更简便，更适合数学归纳法的书写格式？学生丙用放缩技巧证明显然更简便，利于书写．当n=k＋1时，因为x＞－1，所以1＋x＞0，于是左边=(1＋x)k+1=(1＋x)k(1＋x)＞(1＋x)(1＋kx)=1＋(k＋1)x＋kx2；右边=1＋(k＋1)x．因为kx2＞0，所以左边＞右边，即(1＋x)k＋1＞1＋(k＋1)x．这就是说，原不等式当n=k ＋1时也成立．根据(1)和(2)，原不等式对任何不小于2的自然数n都成立．(通过例1的讲解，明确在第二步证明过程中，虽然可以采取证明不等式的有关方法，但为了书写更流畅，逻辑更严谨，通常经归纳假设后，要进行合理放缩，以达到转化的目的)例2证明：2n＋2＞n2，n∈N＋．证：(1)当n=1时，左边=21＋2=4；右边=1，左边＞右边．所以原不等式成立．(2)假设n=k时(k≥1且k∈N)时，不等式成立，即2k＋2＞k2．现在，请同学们考虑n=k＋1时，如何论证2k+1＋2＞(k＋1)2成立．师：将不等式2k2－2＞(k＋1)2，右边展开后得：k2＋2k＋1，由于转化目的十分明确，所以只需将不等式的左边向k2＋2k＋1方向进行转化，即：2k2－2=k2＋2k＋1＋k2－2k－3．由此不难看出，只需证明k2－2k－3≥0，不等式2k2－2＞k2＋2k＋1即成立．师：由于使不等式不成立的k值是有限的，只需利用归纳法，将其逐一验证原命题成立，因此在证明第一步中，应补充验证n=2时原命题成立，那么，n=3时是否也需要论证？师：(补充板书)当n=2时，左=22＋2=6，右=22=4，所以左＞右；当n=3时，左=23＋2=10，右=32=9，所以左＞右．因此当n=1，2，3时，不等式成立．(以下请学生板书)(2)假设当n=k(k≥3且k∈N)时，不等式成立．即2k＋2＞k2．因为2k+1＋2=2·2k＋2=2(2k ＋2)－2＞2k2－2=k2＋2k＋1＋k2－2k－3=(k2＋2k＋1)＋(k＋1)(k－3)(因k≥3，则k－3≥0，k＋1＞0)≥k2+2k＋1=(k＋1)2．所以2k+1＋2＞(k＋1)2．故当n=k＋1时，原不等式也成立．根据(1)和(2)，原不等式对于任何n∈N都成立．师：通过例2可知，在证明n=k＋1时命题成立过程中，针对目标k2＋2k＋1，采用缩小的手段，但是由于k的取值范围(k≥1)太大，不便于缩小，因此，用增加奠基步骤(把验证n=1．扩大到验证n=1，2，3)的方法，使假设中k的取值范围适当缩小到k≥3，促使放缩成功，达到目标．例3求证：当n≥2时，(在这里，学生极易出现错误，错误的思维定势认为从n=k到n=k＋1时，只增加一项，求和式中最后一项即为第几项的通项，教师在这里要着重分析，化解难点．)问题的特点，巧妙合理地利用“放缩技巧”，使问题获得简捷的证明：师：设S(n)表示原式左边，f(n)表示原式右边，则由上面的证法可知，从n=k到n=k＋1命题的转化途径是：要注意：这里S＇(k)不一定是一项，应根据题目情况确定．。
数学归纳法证明不等式
数学归纳法证明不等式数学归纳法是一种证明数学命题的重要方法，它基于数学归纳的思想，通过证明一个命题在一些特定条件下成立，并且在此条件下该命题的下一步也具有同样的性质，从而证明该命题对于一切满足该条件的情况都成立。
在这里，我们将使用数学归纳法来证明一个不等式。
不等式是数学中常见的一种关系式，它描述了两个数或者更多数之间大小关系的性质。
在这里，我们将使用数学归纳法来证明一个形如：$2^n>n^2$的不等式，其中$n$是一个正整数。
首先，我们需要证明当$n=1$时，不等式$2^n>n^2$成立。
当$n=1$时，不等式变为$2^1>1^2$，显然成立。
其次，我们需要证明对于任意一个正整数$k$，如果当$n=k$时不等式$2^k>k^2$成立，那么当$n=k+1$时，不等式$2^{k+1}>(k+1)^2$也成立。
也就是说，我们需要证明如果$2^k>k^2$，那么$2^{k+1}>(k+1)^2$。
根据我们的假设，我们知道$2^k>k^2$。
将不等式两边都乘以2，我们得到$2^{k+1}>2k^2$。
由于$k$是一个正整数，所以$k^2>k$。
将这个不等式代入前面的结果中，我们得到$2^{k+1}>2k^2>k^2+k^2>k^2+k>(k+1)^2$。
也就是说，如果$2^k>k^2$，那么$2^{k+1}>(k+1)^2$。
通过对$n=1$和$n=k+1$的情况都进行证明，我们完成了对于任意正整数$n$的证明。
根据数学归纳法的原理，这意味着不等式$2^n>n^2$对于一切$n$都成立。
综上所述，我们使用数学归纳法成功地证明了不等式$2^n>n^2$，其中$n$是一个正整数。
数学归纳法证明不等式的两个技巧
数学归纳法证明不等式的两个技巧数学归纳法是一种数学证明方法，常用于证明自然数的性质。
它的基本思想是：首先证明当n为一些特定的自然数时，不等式成立；然后假设当n为一些自然数时，不等式也成立；最后利用这个假设证明当n为n+1时，不等式仍然成立。
下面将介绍两种常用的数学归纳法证明不等式的技巧。
技巧一：基础情况的证明在使用数学归纳法证明不等式时，首先需要证明基础情况，即当n为一些特定的自然数时，不等式是否成立。
例如，我们想要证明对于任意的正整数n，都有1+2+3+...+n≤n²。
基础情况是n=1时，不等式左边为1，右边为1²=1，不等式成立。
技巧二：归纳假设的运用假设当n为一些自然数时，不等式也成立，即假设1+2+3+...+n≤n²成立。
然后我们要利用这个假设来证明当n为n+1时，不等式仍然成立。
例如，我们要证明对于任意的正整数n，都有1+2+3+...+n+(n+1)≤(n+1)²。
根据归纳假设，我们可以得到1+2+3+...+n≤n²，所以我们可以将不等式右边的(n+1)²展开为n²+2n+1现在，我们需要证明1+2+3+...+n+(n+1)≤n²+2n+1、我们可以逐步将左边拆分成两部分，即(1+2+3+...+n)+(n+1)。
根据归纳假设，我们知道前一部分不大于n²，所以该不等式可以进一步简化为n²+(n+1)≤n²+2n+1最后，可以发现左边的n²+(n+1)小于等于右边的n²+2n+1，因为(n+1)小于等于2n+1、所以，我们得到了当n为n+1时，不等式仍然成立。
综上所述，通过基础情况的证明和归纳假设的运用，可以使用数学归纳法证明不等式。
这两个技巧可以帮助我们在证明过程中合理利用已有的条件和假设，从而简化证明的过程。
第四讲 数学归纳法证明不等式 知识归纳 课件(人教A选修4-5)
b1
bn
③
用数学归纳法证明如下： (1)当 n＝1 时，b1＝1，有 a1≤a1，③成立． (2)假设当 n＝k 时，③成立，即若 a1，a2，…，ak 为非负 实数，b1，b2，…，bk 为正有理数， 且 b1＋b2＋…＋bk＝1，则 a 1 ＋akbk. 当 n＝k＋1 时，已知 a1，a2，…，ak，ak＋1 为非负实数， b1，b2，…，bk，bk＋1 为正有理数， 且 b1＋b2＋…＋bk＋bk＋1＝1，
…a
bk 1 bk 1 k
)
1 －b
k＋1a k 1 .
bk 1
b1 b2 bk 因 ＋ ＋…＋ ＝1，由归纳假设可得 1－bk＋1 1－bk＋1 1－bk＋1 a
b1 1 bk 1 1
a
b2 1 bk 1 2
…a
bk 1 bk 1 k
b1 b2 ≤a1· ＋ a2 · ＋…＋ 1－bk＋1 1－bk＋1
1
b1
b1
b2
综上，对 a1≥0，a2≥0，b1，b2 为正有理数且 b1＋b2＝1，总 有 a 1 a ≤a1b1＋a2b2.
b2 2
b1
②
(3)(2)中命题的推广形式为 设 a1，a2，…，an 为非负实数，b1，b2，…，bn 为正有理数． 若 b1＋b2＋…＋bn＝1， a 1 a … a n ≤a1b1＋a2b2＋…＋anbn. 则
[例 2]
求证 tan α· 2α＋tan 2α· 3α＋…＋tan(n－ tan tan
tan nα 1)α· nα＝ tan －n(n≥2，n∈N＋)． tan α
证明：(1)当 n＝2 时，左边＝tan α· 2α， tan tan 2α 2tan α 1 右边＝ －2＝ · －2 tan α 1－tan2α tan α 2 ＝ 2 －2 1－tan α 2tan2α tan α· 2tan α ＝ ＝ 1－tan2α 1－tan2α ＝tan α· 2α，等式成立． tan
：数学归纳法证明不等式
第四讲：数学归纳法证明不等式数学归纳法证明不等式是高中选修的重点内容之一，包含数学归纳法的定义和数学归纳法证明基本步骤，用数学归纳法证明不等式。
数学归纳法是高考考查的重点内容之一，在数列推理能力的考查中占有重要的地位。
本讲主要复习数学归纳法的定义、数学归纳法证明基本步骤、用数学归纳法证明不等式的方法：作差比较法、作商比较法、综合法、分析法和放缩法，以及类比与猜想、抽象与概括、从特殊到一般等数学思想方法。
在用数学归纳法证明不等式的具体过程中，要注意以下几点：（1）在从n=k 到n=k+1的过程中，应分析清楚不等式两端（一般是左端）项数的变化，也就是要认清不等式的结构特征；（2）瞄准当n=k+1时的递推目标，有目的地进行放缩、分析； （3）活用起点的位置；（4）有的试题需要先作等价变换。
例题精讲例1、用数学归纳法证明n n n n n 212111211214131211+++++=--++-+-分析：该命题意图：本题主要考查数学归纳法定义，证明基本步骤 证明：1︒当n=1时，左边=1-21=21，右边=111+=21，所以等式成立。
2︒假设当n=k 时，等式成立，即k k k k k 212111211214131211+++++=--++-+-。
那么，当n=k+1时，221121211214131211+-++--++-+-k k k k 221121212111+-+++++++=k k k k k )22111(1212131214131211+-+++++++++=++-+-k k k k k k )1(21121213121+++++++++=k k k k k这就是说，当n=k+1时等式也成立。
综上所述，等式对任何自然数n 都成立。
点评：数学归纳法是用于证明某些与自然数有关的命题的一种方法．设要证命题为P （n ）．（1）证明当n 取第一个值n 0时，结论正确，即验证P （n 0）正确；（2）假设n=k （k ∈N 且k≥n 0）时结论正确，证明当n=k+1时，结论也正确，即由P （k ）正确推出P （k+1）正确，根据（1），（2），就可以判定命题P （n ）对于从n 0开始的所有自然数n 都正确．要证明的等式左边共2n 项，而右边共n 项。
数学归纳法证明不等式
二.用数学归纳法证明几何问题
例2.平面上有n( n N , n 3)个点, 其中任何三点都不在 同一条直线上, 过这些点中任意两点作 直线, 这样的直线 共有多少条? 证明你的结论.
特别提示:
用数学归纳法证几何问题,应特别注意语言叙述正确,清 楚,一定要讲清从n=k到n=k+1时,新增加量是多少.一般 地,证明第二步常用的方法是加一法,即在原来的基础上, 再增加一个,也可以从k+1个中分出一个来,剩下的k个利 用假设.
例2.证明不等式sin n n sin ( n N )
例3.证明贝努利不等式: 如果x是实数, 且x 1, x 0, n为大于1的自然数, 那么有 (1 x ) 1 nx
n
注： 事实上， 把贝努利不等式中的正整数 n 改为实数 仍有 类似不等式成立 . 当 是实数,且 或 0 时 ,有 (1 x ) ≥ 1 x ( x 1) 当 是实数,且 0 1 时 ,有 (1 x ) ≤ 1 x ( x 1)
若 k 1 个正数 a1 , a2 , , ak , ak 1 都相等 ,则它们都是 1. 其和为 k 1 ,命题成立.
若这 k 1 个正数 a1 , a2 , , ak , ak 1 不全相等 , 则其中 必有大于 1 的数,也有小于 1 的数(否则与 a1a2 ak ak 1 1 矛盾).不妨设 a1 1, a2 1 „„
一.用数学归纳法证明等式问题
通过计算下面的式子, 猜想出 1 3 5 ( 1)n ( 2n 1) 的结果, 并加以证明. 1 3 _____;1 3 5 ______ 1 3 5 7 ______;1 3 5 7 9 _______
第四讲 数学归纳法证明不等式 知识归纳 课件(人教A选修4-5)
b1
b1
b2
综上，对 a1≥0，a2≥0，b1，b2 为正有理数且 b1＋b2＝1，总 有 a 1 a ≤a1b1＋a2b2.
b2 2
b1
②
(3)(2)中命题的推广形式为 设 a1，a2，…，an 为非负实数，b1，b2，…，bn 为正有理数． 若 b1＋b2＋…＋bn＝1， a 1 a … a n ≤a1b1＋a2b2＋…＋anbn. 则
1 下面用数学归纳法证明当 0＜c≤ 时，xn＜ c对任意 n≥1 成 4 立． 1 (1)当 n＝1 时，x1＝0＜ c≤ ，结论成立． 2 (2)假设当 n＝k(k∈N*)时结论成立，即：xk＜ c.因为函数 f(x) 1 ＝－x2＋x＋c 在区间(－∞， ]内单调递增，所以 xk＋1＝f(xk) 2 ＜f( c)＝ c，这就是说当 n＝k＋1 时，结论也成立． 故 xn＜ c对任意 n≥1 成立． 因此，xn＋1＝xn－x2 ＋c＞xn，即{xn}是递增数列． n 1 由(i)(ii)知，使得数列{xn}单调递增的 c 的范围是(0， ]． 4
b1
b2
－
－
①
若 a1，a2 中至少有一个为 0，则 a 1 a 2 ≤a1b1＋a2b2 成立；
若 a1，a2 均不为 0，又 b1＋b2＝1，可得 b2＝1－b1，于是 a1 a1 a1 在①中令 x＝ ，r＝b1，可得( )b1≤b1· ＋(1－b1)， a2 a2 a2 即 a 1 · 1b ≤a1b1＋a2(1－b1)，亦即 a 1 a 2 ≤a1b1＋a2b2. a2
1－a2 1 1 同时，ak＋1＝a ＋a<1＋a＝ < ， 1－a 1－a k 1 ∴当 n＝k＋1 时，命题也成立，即 1<ak＋1< . 1－a 1 综合(1)、 (2)可知， 对一切正整数 n， 1<an< 有 . 1－a
如何应用数学归纳法证明不等式
如何应用数学归纳法证明不等式数学归纳法是一种常见的数学证明方法，通过证明初始情况成立和任意情况都成立，来证明一般情况成立。
在不等式证明中，也可以应用数学归纳法。
本文将介绍如何应用数学归纳法证明不等式。
第一步，证明初始情况成立。
通常，需要选取一个最小的自然数来作为初始情况，然后证明不等式在该自然数下成立。
以证明$a^n-1$能够被$(a-1)$整除为例。
当$n=1$时，$a^1-1=a-1$，由于$a-1$显然能够整除$a-1$，因此初始情况成立。
第二步，假设任意情况成立。
即假设当$n=k(k \in N^*)$时，$a^k-1$能够被$(a-1)$整除。
第三步，证明一般情况也成立。
即证明当$n=k+1$时，$a^{k+1}-1$也能够被$(a-1)$整除。
由于$a^{k+1}-1 = a^k \cdot a - 1 = (a^k-1) \cdot a + (a-1)$，而根据假设，$a^k-1$能够被$(a-1)$整除，因此$a^{k+1}-1$也能够被$(a-1)$整除。
通过上述三步，我们得到了$a^n-1$能够被$(a-1)$整除。
类似的，可以应用数学归纳法证明其他的不等式。
例如证明$1+2+...+n=\frac{n(n+1)}{2}$，我们可以选取$1$作为初始情况；假设当$n=k(k \in N^*)$时，$1+2+...+k=\frac{k(k+1)}{2}$；然后证明当$n=k+1$时，$1+2+...+k+(k+1)=\frac{(k+1)(k+2)}{2}$。
当然，在进行数学归纳法证明时，选择初始情况和需要证明的语句都需要谨慎选择。
总结一下，数学归纳法是一种常见的数学证明方法，可以应用在不等式证明当中。
通过证明初始情况成立、假设任意情况成立、证明一般情况也成立这三步，可以有效地证明不等式。
5.3数学归纳法证明不等式2 课件(人教A版选修4-5)
3、一定要用上假设
练习巩固
4.用数学归纳法证明 1×2＋2×3＋3×4＋…＋n(n＋1) ＝
证明: 1)当n=1时，左边=1×2=2,右边= 1×1×2×3 =2. 命题成立
3
2)假设n=k时命题成立,即 1×2＋2×3＋3×4＋…＋k(k+1)＝
1 n(n + 1)(n + 2) 3
1 k (k 1)( k 2) 3
则当n k 1时，左边＝ 2 2 3 3 4 ... k (k 1) (k 1)(k 2) 1
利用 假设
1 k (k 1)( k 2) (k 1)( k 2) 3 1 ( k 1)( k 1)( k 2) 从n=k到n=k+1有什么变化 3
数学归纳法主要步骤:
找准起点 奠基要稳
数学归纳法是一种证明与正整数有关的数学命题的重要方法。 主要有两个步骤、一个结论:
第一步：验证当n取第一个值n0（如 n0=1或2等）时结论正确 第二步：假设n=k (k∈N＋ ， 且k≥ n0)时结论正确， 证明n=k+1时结论也正确
结论：由（1）、（2）得出结论正确
数学归纳法是一种完全归纳法 ，它是在可靠的基 础上，利用命题自身具有的传递性，运用“有限”的 手段，来解决“无限”的问题。它克服了完全归纳法 的繁杂、不可行的缺点，又克服了不完全归纳法结论 不可靠的不足，使我们认识到事情由简到繁、由特殊 到一般、由有限到无穷。
（1）思考题：问题 1中大球中有很多个小球，如 何证明它们都是绿色的？ 模拟演示 （2）课本作业 P50. 习题4. 1 （3）补充作业: 用数学归纳法证明：如果{an}是一个等差数列， 那么an=a1+(n-1)d对于一切n∈N*都成立。
5.3数学归纳法证明不等式 课件(人教A版选修4-5)
因为kx2＞0，所以左边＞右边，即(1+x)k+1>1+(k+1)x．
这就是说，原不等式当n=k+1时也成立． 根据(1)和(2)，原不等式对任何不小于2的自然数n都成立.
1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 3 k ( k 1) k ( k 1)2
2.当 n≥ 2 时,求证: 1
1 2
1
1 3
1 n
n
2 . 证明： （1） 当n 2 时，左式 1 1 17 2 右式 2 2
若 k 1 个正数 a1 , a2 ,, ak , ak 1 都相等,则它们都是 1. 其和为 k 1 ,命题成立.
若这 k 1 个 正数 a1 , a2 ,, ak , ak 1 不全 相等,则 其中 必有大于 1 的数,也有小于 1 的数(否则与 a1a2 ak ak 1 1 矛盾).不妨设 a1 1, a2 1 .
证明:⑴当 n 1 时,有 a1 1 ，命题成立. ⑵ 设 当 n k (k≥1) 时 ， 命 题 成 立 ， 即 若 k 个 正数 a1 , a2 ,, ak 的乘积 a1a2 ak 1,那么它们的和 a1 a2 ak ≥ k . 那么当 n k 1 时 ,已知 k 1 个正 数 a1 , a2 ,, ak , ak 1 满 足 a1a2 ak ak 1 1 .
数学归纳法证明不等式
01
02
03
例子一：n=5时的情况
假设n=10时，不等式成立，即$a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 + a_6 + a_7 + a_8 + a_9 + a_{10} geq b_1 + b_2 + b_3 + b_4 + b_5 + b_6 + b_7 + b_8 + b_9 + b_{10}$。
02
CHAPTER
数学归纳法证明不等式的步骤
验证基础情况
首先验证n=1时，不等式是否成立。
基础情况成立
如果基础情况成立，则可以继续进行归纳步骤。
初始步骤
归纳步骤
归纳假设
假设当n=k时，不等式成立，即$P(k)$成立。
归纳推理
基于归纳假设，推导当n=k+1时，不等式也成立，即$P(k+1)$成立。
应用归纳假设
在归纳推理过程中，需要利用归纳假设$P(k)$来推导$P(k+1)$。
要点一
要点二
完成归纳
当归纳步骤完成后，可以得出结论，对于任意正整数n，不等式都成立。
归纳假设的应用
03
CHAPTER
应用数学归纳法证明不等式的例子
假设n=5时，不等式成立，即$a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 geq b_1 + b_2 + b_3 + b_4 + b_5$。
确定数列的通项公式
通过数学归纳法，可以证明数列的通项公式，进而研究数列的性质和规律。
不等式的推导和证明方法
不等式的推导和证明方法不等式是数学中不可或缺的一个概念，它用于表示数值之间的关系。
不等式的形式可以很简单，例如$x>2$，也可以非常复杂，例如 $\sqrt{x^2+y^2}>\frac{x+y}{2}$。
在解决各类数学问题时，推导和证明不等式的方法是非常重要的一步。
本文将介绍一些常见的不等式的推导和证明方法。
一、数学归纳法数学归纳法是一种证明数学命题的通用方法。
若要证明某个命题对于自然数 $n$ 成立，则需要证明该命题在 $n=1$ 时成立，并证明若该命题在 $n=k$ 时成立，则该命题在 $n=k+1$ 时也成立。
不等式的证明中，归纳法常常被用于证明柯西不等式、阿贝尔不等式等一些数列不等式。
例如，考虑柯西不等式：$(a_1^2+a_2^2+\cdots+a_n^2)(b_1^2+b_2^2+\cdots+b_n^2)\geq(a_1b _1+a_2b_2+\cdots+a_nb_n)^2$。
对于 $n=1$，该不等式显然成立。
假设对于 $n=k$ 时该不等式成立，即$$(a_1^2+a_2^2+\cdots+a_k^2)(b_1^2+b_2^2+\cdots+b_k^2)\geq(a_1b_1+a_2b_2+\cdots+a_kb_k)^2$$现在考虑 $n=k+1$ 时该不等式是否成立。
根据柯西不等式，有\begin{align*}&(a_1^2+a_2^2+\cdots+a_{k+1}^2)(b_1^2+b_2^2+\cdots+b_{k+1 }^2)\\=&[(a_1^2+a_2^2+\cdots+a_k^2)+a_{k+1}^2][(b_1^2+b_2^2+\cd ots+b_k^2)+b_{k+1}^2]\\\geq&(a_1b_1+a_2b_2+\cdots+a_kb_k+a_{k+1}b_{k+1})^2\end{align*}因此，该命题对于 $n=k+1$ 成立，由数学归纳法可知对于所有$n\in\mathbb{N}$，柯西不等式成立。
5.3数学归纳法证明不等式 课件(人教A版选修4-5)
思考 1：证明贝努利不等式 如果 x 是实数，且 x 1 ， x 0 ， n 为大于 n 1 的自然数，那么有 (1 x) 1 nx .
注： 事实上， 把贝努利不等式中的正整数 n 改为实数 仍有 类似不等式成立. 当 是实数,且 或 0 时,有 (1 x ) ≥ 1 x ( x 1) 当 是实数,且 0 1 时,有 (1 x ) ≤ 1 x ( x 1)
1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 3 k ( k 1) k ( k 1)2
2.当 n≥ 2 时,求证: 1
1 2
1
1 3
1 n
n
2 . 证明： （1） 当n 2时，左式 1 1 17 2 右式 2 2 当n 2时，不等式成立
当n=k+1时，因为x> 1 ，所以1+x>0，于是 左边=(1+x)k+1 =(1+x)k(1+x)>(1+x)(1+kx)=1+(k+1)x+kx2； 右边=1+(k+1)x．
因为kx2＞0，所以左边＞右边，即(1+x)k+1>1+(k+1)x．
这就是说，原不等式当n=k+1时也成立． 根据(1)和(2)，原不等式对任何不小于2的自然数n都成立.
当n k 1时，不等式成立。 由（1）（2）可知，对一切n N，且n 2，不等式都成立。
3. 用 数学 归 纳法 证明 : An 5n 2 3n1 1(n N * )
能被 8 整除.
证:(1)当 n=1 时,A1 =5+2+1=8,命题显然成立. (2)假设当 n=k 时,Ak 能被 8 整除,即 Ak 5k 2 3k 1 1 是 8 的倍数.那么: Ak 1 5k 1 2 3k 1
归纳法证明不等式
完成归纳
01
02
03
04
验证n=1时，不等式是否成立
假设当n=k时，不等式成立
利用归纳假设，推导出当n=k+1时，不等式也成立
通过初始步骤和归纳步骤，证明了不等式对所有的自然数n都成立
03
CHAPTER
归纳法证明不等式的应用
总结词
归纳法在证明等差数列求和公式时非常有用，通过递推的方式，我们可以逐步推导出整个数列的和。
详细描述
总结词
归纳法不仅可以用于证明等式，还可以用于证明不等式。通过逐步推导，我们可以证明一些重要的不等式。
要点一
要点二
详细描述
例如，我们可以利用归纳法证明算术平均数总是大于等于几何平均数。首先，我们可以从两个数的算术平均数和几何平均数的定义出发，通过逐步推导，我们可以证明对于任意两个正数，算术平均数总是大于等于几何平均数。此外，我们还可以利用归纳法证明其他的三角不等式、Cauchy不等式等。
归纳法证明不等式是一种常用的方法，它可以通过观察和实验来发现和证明不等式的性质和规律。使用归纳法证明不等式可以帮助我们更好地理解不等式的性质和证明方法，同时也可以帮助我们更好地掌握数学思维和证明技巧。
02
CHAPTER
归纳法证明不等式的原理
基于自然数的归纳公理
归纳公理的推理步骤
初始步骤
归纳假设
在数学中，我们通常需要证明一个命题对于所有的自然数或实数都是成立的，而归纳法只能用于证明对于所有的自然数或实数的前n个值成立的命题。
对于一些不等式证明问题，使用归纳法可能会很复杂和困难，特别是那些涉及到复杂函数或无穷序列的不等式证明。
在证明一些重要的不等式时，如AM-GM不等式、Cauchy-Schwarz不等式等，使用归纳法并不是最佳选择，而需要采用更高级的数学技巧和工具。
2014年人教A版选修4-5课件 2.用数学归纳法证明不等式
1 (2) 求满足不等式 (1 + )n n 的正整数 n 的范围. 2. n 解: (2) 经计算, (1 + 1 )3 = 64 3, 3 27 1 猜想: 当 n≥3 时, (1 + )n n. n 证明: ① 当 n=3 时, 已验证不等式成立. ② 假设 n=k (k≥3) 时, 不等式成立, 那么当 n=k+1 时, (1 + 1 )k +1 = (1 + 1 )k (1 + 1 ) k +1 k +1 k +1 (1 + 1 )k (1 + 1 ) (放缩) k k +1 k(1 + 1 ) (假设) k +1 =k+ k k +1
(2) 假设 n=k 时, 2k≥2k 成立,
(下面是要用这个假设推出 2k+1≥2(k+1). )
那么当 n=k+1 时, 2k+1=22k ≥2(2k) =2(k+k)≥2(k+1). (这里用了放缩: k≥1) 注意适当放缩. 即 n=k+1 时, 不等式也成立. 由(1)(2)知, 对一切正整数 n, 2n≥2n 都成立. (与等式证明相比较, 你认为证明不等式应注意什么?)
一 数学归纳法 二 用数学归纳法证明不等式
(第一课时)
第一课时 第二课时
1. 数学归纳法证明不等式与证明等式有 什么不同? 2. 与等式证明相比, 数学归纳法证明不 等式的+) 成立与否? 能对你的判断 进行证明吗? n=1 时, 左边=2, 右边=2, 不等式成立. n=2 时, 左边=4, 右边=4, 不等式成立.
第 2 题.
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归纳法证明不等式数学归纳法证明不等式的本质数学归纳法证明不等式的典型类型是与数列或数列求和有关的问题，凡是与数列或数列求和有关的问题都可统一表述成f(n)?g(n)(n?n?)的形式或近似于上述形式。
这种形式的关键步骤是由n?k时，命题成立推导n?k?1时，命题也成立。
为了表示的方便，我们记?左n?f(k?1)?f(k)，?右n?g(k?1)?g(k)分别叫做左增量，右增量。
那么，上述证明的步骤可表述为f(k?1)?f(k)??左k?g(k)??左k?g(k)??右k?g(k?1) 例1．已知an?2n?1，求证：本题要证后半节的关键是证 an1a1a2n????n?(n?n?) 23a2a3an?122k?1?11?中k??右k即证k?2? 2?12而此式显然成立，所以可以用数学归纳法证明。
而要证前半节的关键是证12k?1?1?左k??中k即证?k?2 22?1而此式显然不成立，所以不能用数学归纳法证明。
如果不进行判断就用数学归纳法证前半节，忙乎半天，只会徒劳。
有时，f(n)?g(n)(n?n?)中f(n),g(n)是以乘积形式出现，且f(n)?0,g(n)?0是显然成立的。
此时，可记?左k?f(k?1)g(k?1)，?右k? f(k)g(k)分别叫做左增倍，右增倍。
那么，用数学归结法证明由n?k时，成立推导n?k?1成立，可表述为f(k?1)?f(k)??左k?g(k)??左k?g(k)??右k?g(k?1)和前面所讲相似，上述四步中，两个“=”和“<”都显然成立，而“≤”是否成立，就需要判断和证明了，既“?左k??右k”若成立，既可用数学归纳法证明；若不成立，则不能用数学归纳法证明。
因此，可以这样说，此时，数学归纳法证明不等式的本质是证“左增倍≤右增倍”，而判断能否用数学归纳法证明不等式的标准就是看“左增倍≤右增倍”是否成立。
第二篇：归纳法证明不等式归纳法证明不等式由于lnx>0则x>1设f(x)=x-lnxf'(x)=1-1/x>0则f(x)为增函数f(x)>f(1)=1则x>lnx则可知道等式成立。
(运用的是定理，f(x),g(x)>0.且连续又f(x)>=g(x).则在相同积分区间上的积分也是>=)追问请问这个“定理”是什么定理?我是学数学分析的，书上能找到么?回答能你在书里认真找找，不是定理就是推论埃。
叫做积分不等式性数学归纳法不等式的做题思路：1、n等于最小的满足条件的值，说明一下这时候成立，一般我们写显然成立，无须证明2、假设n=k的时候成立，证明n=k+1的时候也是成立的，难度在这一步。
(含分母的一般用放缩法，含根号的常用分母有理化。
)3、总结，结论成立，一般只要写显然成立。
这题大于号应该为小于号。
当n=1,11+1/√2+1/√3+......+1/√(k-1)+1/√k2√n已知f(n)=1+1/2+1/3+...+1/n(n属于正整数),求证:当n>1时,f(2^n)>n+2/2(1)n=2时代入成立(2)假设n=a时候成立则n=a+1时f(2^(a+1))=f(2^a)+1/(2^a+1)+1/(2^a+2)+1/(2^a+3)+……1/(2^(a+1))>f(2^a)+1/(2^(a+1))+1/(2^(a+1))+1/(2^(a+1))+……1/(2^(a+1))后面相同项一共有2^a个所以上面又=f(2^a)+2^a/(2^(a+1))=f(2^a)+1/2因为f(2^a)>(a+2)/2故上面大于/2因此n=a时上式成立的话n=a+1也成立1/2^2+1/3^2+1/4^2+…+1/n^2“1/2^2”指2的平方分之1证明：数学归纳法：1、∵当n=2时有1/2^2=1/4∴符合原命题。
2、假设当n=k时1/2^2+1/3^2+1/4^2+…+1/k^2则当n=k+1时有1/2^2+1/3^2+1/4^2+…+1/k^2+1/(k+1)^2综上可得1/2^2+1/3^2+1/4^2+…+1/n^2第三篇：用数学归纳法证明不等式人教版选修4—5不等式选讲课题：用数学归纳法证明不等式教学目标：1、牢固掌握数学归纳法(请您继续关注麦档网：)的证明步骤，熟练表达数学归纳法证明的过程。
2、通过事例，学生掌握运用数学归纳法，证明不等式的思想方法。
3、培养学生的逻辑思维能力，运算能力和分析问题，解决问题的能力。
重点、难点：1、巩固对数学归纳法意义和有效性的理解，并能正确表达解题过程，以及掌握用数学归纳法证明不等式的基本思路。
2、应用数学归纳法证明的不同方法的选择和解题技巧。
教学过程：一、复习导入：1、上节课学习了数学归纳法及运用数学归纳法解题的步骤，请同学们回顾，说出数学归纳法的步骤？（1）数学归纳法是用于证明某些与自然数有关的命题的一种方法。
（2）步骤：1）归纳奠基;2）归纳递推。
2、作业讲评：（出示小黑板）习题：用数学归纳法证明：2+4+6+8+……+2n=n(n+1)如采用下面的证法，对吗？证明：①当n=1时，左边=2=右边，则等式成立。
②假设n=k时，（k∈n，k≥1）等式成立，即2+4+6+8+……+2k=k(k+1)当n=k+1时，2+4+6+8+……+2k+2(k+1)∴ n=k+1时，等式成立。
由①②可知，对于任意自然数n，原等式都成立。
（1）学生思考讨论。
（2）师生总结： 1）不正确2）因为在证明n=k+1时，未用到归纳假设，直接用等差数列求和公式，违背了数学归纳法本质：递推性。
二、新知探究明确了数学归纳法本质，我们共同讨论如何用数学归纳法证明不等式。
(出示小黑板)例1观察下面两个数列，从第几项起an始终小于bn？证明你的结论。
｛an=n｝:1,4,9,16,25,36,49,64,81, ……｛bn=2｝:2,4,8,16,32,64,128,256,512, …… （1）学生观察思考（2）师生分析（3）解：从第5项起，an ＜ bn ，即 n2＜2,n∈n+（n≥5）证明：（1）当 n=5时，有52＜25，命题成立。
（2）假设当n=k（k≥5）时命题成立即k＜2当n=k+1时，因为（k+1）2=k2+2k+1＜k2+2k+k=k2+3k＜k2+k2=2k2由（1）（2）可知n2＜2n（n∈n+，n≥5）学生思考、小组讨论：①放缩技巧：k2+2k+1＜k2+2k+k；k2+3k＜k2+k2②归纳假设：2k<2×2例2证明不等式│sin nθ│≤n│sinθ│(n∈n+)k nn22k分析：这是一个涉及正整数n的三角函数问题，又与绝对值有关，在证明递推关系时，应注意利用三角函数的性质及绝对值不等式。
证明：（1）当 n=1时，上式左边=│sinθ│=右边，不等式成立。
（2）假设当n=k（k≥1）时命题成立，即有│sin kθ│≤k│sinθ│当n=k+1时，│sin （k+1）θ│=│sin kθcosθ+cos kθsin θ│ ≤│sinkθcosθ│+│cos kθsin θ│ =│sin kθ││cosθ│+│cos kθ││sin θ│ ≤│sin kθ│+│sin θ│ ≤k│sinθ│+│sin θ│ =（k+1）│sinθ│所以当n=k+1时，不等式也成立。
由（1）（2）可知，不等式对一切正整数n均成立。
学生思考、小组讨论：①绝对值不等式: │a+b│≤ │a│+│b│②三角函数的有界性：│sinθ│≤1,│cosθ│≤1 ③三角函数的两角和公式。
（板书）例3 证明贝努力（bernoulli）不等式:如果x是实数且x＞-1，x≠0,n为大于1的自然数，那么有（1+x）＞1+nx 分析：①贝努力不等式中涉几个字母？（两个：x,n）②哪个字母与自然数有关？(n是大于1的自然是数)（板书）证：（1）当n=2时，左边=（1+x）=1+2x+x，右边=1+2x，因x＞0，则原不等式成立．（在这里，一定要强调之所以左边＞右边，关键在于x＞0是由已知条件x≠0获得，为下面证明做铺垫）（2）假设n=k时（k≥2），不等式成立，即（1+x）＞1+kx．师：现在要证的目标是（1+x）＞1+（k+1）x，请同学考虑．生：因为应用数学归纳法，在证明n=k+1命题成立时，一定要运用归纳假设，所以当k+1kn=k+1时．应构造出归纳假设适应的条件．所以有：（1+x）=（1+x）（1+x），因为x＞k-1（已知），所以1+x＞0于是（1+x）（1+x）＞（1+kx）（1+x）．师：现将命题转化成如何证明不等式（1+kx）（1+x）≥1+（k+1）x．显然，上式中“=”不成立．k+1k2n故只需证：（1+kx）（1+x）＞1+（k+1）x．提问：证明不等式的基本方法有哪些？生：证明不等式的基本方法有比较法、综合法、分析法．（提问的目的是使学生明确在第二步证明中，合理运用归纳假设的同时，其本质是不等式证明，因此证明不等式的所有方法、技巧手段都适用）生：证明不等式（1+kx）（1+x）＞1+（k+1）x，可采用作差比较法．（1+kx）（1+x）-[1+（k+1）x] =1+x+kx+kx-1-kx-x=kx＞0（因x≠0，则x＞0）．所以，（1+kx）（1+x）＞1+（k+1）x．生：也可采用综合法的放缩技巧．（1+kx）（1+x）=1+kx+x+lx=1+（k+1）x+kx．因为kx＞0，所以1+（k+1）x+kx＞1+（k+1）x，即（1+kx）（1+x）＞1+（1+k）x成立．生：……（学生可能还有其他多种证明方法，这样培养了学生思维品质的广阔性，教师应及时引导总结）师：这些方法，哪种更简便，更适合数学归纳法的书写格式？学生用放缩技巧证明显然更简便，利于书写．（板书）将例3的格式完整规范．证明：（1）当n=2时，由x≠0得（1+x）=1+2x+x＞1+2x,不等式成立。
（2）假设n=k（k≥2）时，不等式成立，即有（1+x）＞1+kx 当n=k+1时，（1+x）k+1=（1+x）（1+x）＞（1+x）（1+kx）kk=1+x+kx+ kx＞1+x+kx=1+（k+1）x 所以当n=k+1时，不等式成立由①②可知，贝努力不等式成立。
（通过例题的讲解，在第二步证明过程中，通常要进行合理放缩，以达到转化目的）三、课堂小结1．用数学归纳法证明，要完成两个步骤，这两个步骤是缺一不可的．但从证题的难易来分析，证明第二步是难点和关键，要充分利用归纳假设，做好命题从n=k到n=k+1的转化，这个转化要求在变化过程中结构不变．2．用数学归纳法证明不等式是较困难的课题，除运用证明不等式的几种基本方法外，经常使用的方法就是放缩法，针对目标，合理放缩，从而达到目标．四、课后作业1．课本p53：1，3，5 2．证明不等式：第四篇：数学归纳法证明不等式学案§2.3用数学归纳法证明不等式学习目标：1. 理解数学归纳法的定义、数学归纳法证明基本步骤;2.重、难点：应用数学归纳法证明不等式.一、知识情景：关于正整数n的命题(相当于多米诺骨牌),我们可以采用下面方法来证明其正确性：10.验证n取时命题( 即n＝n?时命题成立) (归纳奠基）20.假设当时命题成立，证明当n=k＋1时命题(归纳递推）.30. 由10、20知，对于一切n≥n?的自然数n命题！(结论）要诀: 递推基础不可少,归纳假设要用到,结论写明莫忘掉.二、数学归纳法的应用：例1. 用数学归纳法证明不等式sinn?≤nsin?.（n?n?）例2证明贝努力（bernoulli）不等式:已知x?r,且x> ?1，且x?0，n?n*，n≥2．求证：(1+x)n>1+nx.1；例3 证明: 如果n(n为正整数)个正数a1,a2,?,an的乘积a1a2?an?1,那么它们的和a1?a2???an≥n.三、当堂检测1、（1）不等式2n?n4对哪些正整数n成立？证明你的结论。