(完整word版)数的整除相关概念

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(完整word版)上海市六年级数学上册重点总结

上海市六年级数学上册重点总结一.数的整除概念：整除、倍数和因数、奇数和偶数、素数和合数、分解素因数、公倍数和公约数、最小公倍数和最大公约数，互素（1）整除：整数a除以整数b，如果除得的商是整数且余数为零，我们就说a能够被b整除，或者b能整除a。

÷=，其中a b c、、都是整数。

a b c（2）倍数和因数：整数a能够被b整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的因数。

（3）奇数和偶数：整数中能被2整除的整数叫做偶数（2k），余下的整数都是奇数[（2k+1）或（2k-1）] （4）素数和合数：一个正整数，如果只有1和他本身两个因数，这样的数叫做素数（也叫做质数）；除了1和本身以外还有别的因数，这样的数叫做合数。

其中：1既不是素数也不是合数。

（4）分解素因数：每个合数都可以写成几个素数相乘的形式，其中每个素数都是这个合数的因数，叫做这个合数的素因数。

把一个合数用素因数的相乘的形式表示出来，叫做分解素因数。

=⨯=⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯）（7289243322233（5）公倍数和公约数：几个数公有的倍数，叫做这个几个数的公倍数，其中最小的一个叫做最小公倍数；几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数，其中最大的一个叫做最大公约数。

（6）互素：如果两个整数的最大公因数为1，那么这两个数互素1~100的素数有：2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 972是偶数中唯一的素数；二.分数概念：分数的种类、最简分数、约分、通分、分数的运算法则、倒数、分数和小数的互化（1）分数的种类：真分数、假分数、带分数。

其中假分数和带分数可以相互转化（2）最简分数：分子和分母互素（3）约分：把一个分数的分子分母的公因数约去的过程（4）通分：将异分母的分数分别化为与原分数大小相等的同分母的分数，叫做通分。

（5）分数的四则运算：分数的加、减法要在同分母的情况下进行，然后分子相加减，这时候就要用到通分和约分。

整除

整除整除（一）基础知识：1.整除的定义、性质.定义：如果a、b、c 是整数并且，a÷b=c。

则称a能被b整除或者b能整除a ，记做，否则称为a不能被b整除或者b不能整除a，记做.性质1：如果a、b都能被c整除，那么他们的和与差也能被c整除.性质2：如果b与c的乘积能够整除a，那么b、c都能整除a.性质3：如果b、c都能整除a，并且b、c互质，那么b、c的乘积也能够整除a.性质4：如果c能整除b，b能整除a，那么c能整除a.性质5：如果b和c的乘积能够被a整除，并且a，b互质，那么c能够被a整除.2.被2（5）整除特征：以2，4，6，8，0（5，0）结尾.3.被3，9整除特征：数字和被3，9整除.4.被4（25）整除的特征：后2位能被4（25）整除；被8（125）整除的特征：后3位能被8（125）整除.5.被11整除特征：奇数位数字和与偶数位数字和之差能被11整除. （“奇偶位差法”）.6.被7、11、13整除特征：末三位与末三位之前的数之差能被7、11、113整除.7.整除性质、特征的综合应用，末尾0的个数问题的处理，运用设未知量求解整除问题.例题：例1、如果六位数能够被105整除，那么后两位数是多少？[答疑编号5721130101]【解答】设六位数为，105=3×5×7，依次考虑被3，5，7整除得到得到唯一解a＝8，b＝5.故后两位为85.例2、求所有的x，y ，使得 .[答疑编号5721130102]【解答】72＝8×9，根据整除9性质易得x＋y＝8或17，根据整除4 的性质y＝2或6，分别可以得到5位数32652、32256，检验可知只有32256满足题意.例3、一本陈年旧账上写的：购入143只羽毛球共花费元，其中处字迹已经模糊不清，请你补上中的数字并且算出每只羽毛球的单价.2[答疑编号5721130103]【解答】解得：a=7，b=1所以方框处的数字是7和1，单价5.37元.例4、要使六位数能够被63整除，那么商最小是多少？[答疑编号5721130104]【解答】63=7×9.再考虑该数能被9整除，有a＋b＋c＝2或11或20. 由于要求最小的商也就是最小的被除数，先希望a＝0. 此时，易验证b＝0，b＝1无解，而在b＝2时，有解c＝9，所以最小的被除数是100296，最小的商是1592.3例5、请用数字6、7、8各两次组成一个六位数使得这个六位数能够被168整除.[答疑编号5721130105]【解答】168=3×7×8，用6，7，8各两次，数字和42，是3的倍数.而用6、7、8组成的3位数是8的倍数的只有768，776 .当后三位是768，776时，前三位只有12种取法，经实验只有数768768符合题目要求。

(完整word版)小学数学解题方法解题技巧之整除及数字整除特征(word文档良心出品)

第一章小学数学解题方法解题技巧之整除及数字整除特征【数字整除特征】例1 42□28□是99的倍数，这个数除以99所得的商是__。

（上海市第五届小学数学竞赛试题）讲析：能被99整除的数，一定能被9和11整除。

设千位上和个位上分别填上数字a、b，则：各位上数字之和为[16+（a+b）]。

要使原数能被9整除，必须使[16+（a+b）]是9的倍数，即（a+b）之和只能取2或11。

又原数奇位上的数字和减去偶位上数字和的差是（8+a-b）或（b-a-8），要使原数能被11整除，必须使（8+a-b）或（b-a-8）是11的倍数。

经验证，（b-a-8）是11的倍数不合。

所以a-b=3。

又a+b=2或11，可求得a=7，b=4。

从而很容易求出商为427284÷99=4316。

例2 某个七位数1993□□□能同时被2、3、4、5、6、7、8、9整除，那么它的最后三位数字依次是__。

（1993年全国小学数学奥林匹克初赛试题）讲析：因为2、3、4、5、6、7、8、9的最小公倍数是2520。

而1993000÷2520=790余2200。

于是再加上（2520-2200）=320时，就可以了。

所以最后三位数字依次是3、2、0。

例3 七位数175□62□的末位数字是__的时候，不管千位上是0到9中的哪一个数字，这个七位数都不是11的倍数。

（上海市第五届小学数学竞赛试题）讲析：设千位上和个位上的数字分别是a和b。

则原数奇位上各数字和与偶位上各数字之和的差是[3+（b-a）]或[（a-b）-3]。

要使原数是11的倍数，只需[3+（b-a）]或[（a-b）-3]是11的倍数。

则有 b-a=8，或者a-b=3。

①当 b-a=8时，b可取9、8；②当 a-b=3时，b可取6、5、4、3、2、1、0。

所以，当这个七位数的末位数字取7时，不管千位上数字是几，这个七位数都不是11的倍数。

例4 下面这个四十一位数55......5□99 (9)（其中5和9各有20个）能被7整除，那么中间方格内的数字是__。

数的整除性质

数的整除性质数的整除性质是数学中一个非常基础且重要的概念。

整除是指一个数能够被另一个数整除，即能够整除的数叫做除数，能够被整除的数叫做被除数。

在数的整除性质中，有一些基本的定理和规律，我们一起来探讨。

一、整除的定义在数学中，如果存在整数a和b，使得b乘以a得到的结果等于一个整数c，那么我们就说b能够整除c。

这个定义可以用符号表示为：b|c，读作“b整除c”。

例如，4能够整除12，我们可以表示为4|12。

二、整除的性质1. 传递性：如果a能够整除b，b能够整除c，那么a一定能够整除c。

例如，如果2能够整除4，4能够整除8，那么2一定能够整除8。

2. 自身整除：任何一个数都能够整除自身。

例如，5能够整除5。

3. 1整除任何数：1能够整除任何一个数。

例如，1能够整除8。

4. 零的整除性：任何一个数都能够整除0。

例如，任何数都能够整除0。

5. 任何一个数都能够整除1：任何一个数都能够被1整除。

例如，任何数都能够被1整除。

6. 如果a能够整除b，那么a能够整除b的倍数。

例如，如果3能够整除6，那么3一定能够整除6的倍数12。

7. 如果a能够整除b，那么b能够整除a的因数。

例如，如果2能够整除4，那么4一定能够整除2的因数。

三、整除和最大公因数最大公因数是指两个或多个整数中最大的能够整除这些整数的数。

最大公因数可以通过求解数的因数来得到。

例如，求解12和15的最大公因数，我们可以找到12的因数：1、2、3、4、6、12，15的因数：1、3、5、15，他们的公因数有1和3，其中最大的公因数是3。

最大公因数有以下的性质：1. 最大公因数是两个数的公因数中最大的一个。

2. 如果最大公因数为1，那么这两个数互质。

3. 如果最大公因数为a，那么这两个数的倍数中最大的一个为a。

四、整除与质数质数是指大于1的正整数，除了1和本身，没有其他的因数。

质数和整除有着密切的关系。

1. 质数只能被1和自身整除。

2. 任何一个数都可以被质数整除。

数的整除知识点总结数的整除知识整理

数的整除知识点总结数的整除知识整理数的整除知识点总结如下：1. 除数和被除数：一个数被另一个数整除时，被除数称为整数，除数称为除数。

2. 整除关系：如果一个数a能被另一个数b整除，即a ÷ b = c，则称a能被b整除，或者说b能整除a，记作b｜a。

3. 余数：当一个数a被另一个数b整除时，如果除完后还有剩余部分，即a ÷ b = c 余 r（0 ≤ r < |b|），则r称为数a除以b的余数。

4. 因数：对于一个数a，如果存在一个数b，使得b能整除a，即a = b × c，则称b 是a的因数，c是a的倍数。

a的因数包括1和a本身。

5.倍数：对于一个数a，如果存在一个数b，使得a能整除b，即b = a × c，则称b 是a的倍数，c是a的因数。

a的倍数包括0和任意正负整数。

6.公约数：对于两个数a和b，如果存在一个数c，既能整除a又能整除b，即c｜a 且c｜b，则称c是a和b的公约数。

7.最大公约数：对于两个数a和b的公约数中，最大的一个公约数称为a和b的最大公约数，记作gcd(a, b)。

8.最小公倍数：对于两个数a和b的公倍数中，最小的一个公倍数称为a和b的最小公倍数，记作lcm(a, b)。

9.质数：一个大于1的自然数，除了1和它本身外，无法被其他自然数整除的数称为质数。

质数只有两个因数，即1和该数本身。

10.合数：一个自然数，除了1和它本身外，还有其他因数的数称为合数。

合数有多个因数。

11.互质：两个数的最大公约数为1时，称这两个数互质。

12.互质数性质：互质数的乘积等于它们的最小公倍数。

13.素数分解：将一个合数分解成质数的乘积的过程，这个过程叫做素数分解。

这些是数的整除的基本知识点。

数的整除知识点总结

一. 数的分类第一种分法 : 树状图韦恩图整数第二种分法整数第三种分法：正整数一些关于数的结论:是最小的自然数,-1是最大的负整数,1是最小的正整数2.没有最大的整数,没有最小的负整数,没有最大的正整数3.正整数、负整数、整数的个数都是无限的二．整除1.整除定义概念：整数a 除以整数b,如果除得的商是整数而余数为零,我们就说a 能被b 整除；或者说b 能整除a注意点：一定要看清楚谁被谁整除或谁整除谁,这里的a相当于被除数,b 相当于除数2.整除的条件：1.除数、被除数都是整数2.被除数除以除数,商是整数而且余数为零注意点：区分整除与除尽：整除是特殊的除尽如正方形是特殊的长方形一样,即a 能被b 整除,则a 一定能被b 除尽,反之则不一定即a 能被b 除尽,则a 不一定能被b 整除;如4÷2=2, 4既能被2除尽,也能被2整除；4÷5=, 4能被5除尽,却不能说4能被5整除三．因数与倍数1.因数与倍数的定义：整数a能被整数b整除,a 就叫做b的倍数,b就叫做a的因数约数;注意点：1.因数和倍数是相互依存的,不能简单的说某个数是因数,某个数是倍数;如：6÷3=2,不能说6是倍数,3是因数；要说6是3的倍数,3是6的因数;2.因数与倍数是建立在整除的基础上的,所以如4÷=20,一般是不说4是的倍数,是4的因数;2.因数与倍数的特点：一个整数的因数中最小的因数是1,最大的因数是它本身;一个数的倍数中最小的倍数是这个数本身,没有最大的倍数;因数的个数是有限的,都能一一列举出来,倍数的个数是无限的;3.求一个数因数的方法：利用积与因数的关系一对一对找,找出哪两个数的乘积等于这个数,那么这两个数就是这个数的因数;如16=1×16=2×8=4×4,那么16的因数就有1、2、4、8、16,计算时一定不要忘了1和这个数本身都是它的因数,注意按照一定的顺序以防遗漏;4.求一个数倍数的方法：这个数本身分别乘以1、2、3、4、5……即正整数得到的积就是这个数的倍数;若用n表示所有的正整数,则2的倍数可表示为2n, 5的倍数可表示为5n四．能被2、5、3整除的数的特点1.能被2整除的数即2的倍数个位上的数字是0、2、4、6、8,反之,个位上的数字是0、2、4、6、8的数也能被2整除2.能被5整除的数即5的倍数个位上的数字是0、5,反之,个位上的数字是0、5的数都能被5整除3.能被3整除的数即3的倍数各个位数上的数字之和是3的倍数,反之,各个位数上的数字之和是3的倍数的数都能被3整除4.能被2、5同时整除的数的个位数字都是0,个位数字为0的数也能被10整除,能被10整除的数一定能被2或5其中的一个或两个同时整除;五．奇数、偶数1.奇数与偶数的定义：能被2整除的整数叫做偶数,不能被2整除的整数叫做奇数;按照能否被2整除来划分奇数与偶数2.奇数个位数上的数的特点：1、3、5、7、9偶数个位数上的数的特点：0、2、4、6、83.在连续的正整数中除1外,与奇数相邻的两个数是偶数,与偶数相邻的两个数是奇数4.相邻的奇数或偶数数字相差2,奇数可用2n-1或2n+1表示,偶数可用2n表示;5.奇数与偶数加法和乘法的运算特点奇数+奇数=偶数偶数+偶数=偶数奇数+偶数=奇数奇数×奇数=奇数偶数×偶数=偶数奇数×偶数=偶数利用此结论可检验一些运算是否正确,同时也要注意结论的逆向运用,如偶数奇数可拆成哪些奇数或偶数的和、积六.素数、合数1.素数与合数定义：一个正整数如果只有1和它本身两个因数,这样的数叫做素数质数,如果除了1和它本身以外还有别的因数,这样的数叫做合数;注意点：1.素数与合数的分类方法是根据它们因数的个数来分的,素数只有2个因数1和本身,合数至少有三个因数；任何一个数除1外都有1和它本身两个因数;2. 1既不是素数也不是合数;3．最小的素数是2,最小的合数是42.素数与奇数的联系和区别奇数不一定都是素数;√1既不是素数也不是合数,9、15等是奇数但是合数所有素数都是奇数; ×2是素数,但2是偶数3.合数与偶数的联系与区别合数不一定都是偶数;√9、15等都是合数,但它们是奇数偶数都是合数; ×2是偶数但2是素数注意:判断题对的要说明原因,错的要举出反例;七．素因数与分解素因数1.素因数与分解素因数的定义：每个合数都可以写成几个素数相乘的形式,其中每个素数都是这个合数的因数,叫做这个合数的素因数;把一个合数用素因数相乘的形式表示出来,叫做分解素因数;注意：1.求一个数的素因数时,先把这个数分解素因数,有几个素因数就写几个;如24=2×2×2×3,则素因数是2、2、2、3,而不是2、32.因数与素因数的区别：因数可以是素数或合数,素因数一定是素数;一个数的素因数一定是这个数的因数,因数的个数一定比素因数的个数多;2.分解素因数的方法树枝分解法：过程中注意不要漏写乘号,分解要彻底,直到没有合数出现,也不能出现1.要分解的合数写在等号左边,把它的素因数用相乘的形式写在等号右边,再把这几个素因数按从小到大的顺序排列;短除法：1.先用一个能整除这个合数的素数去除通常从最小的开始,偶数肯定先用2除,奇数一般从3开始一个个带入验算2.得出的商如果是合数,再按照上面的方法继续除下去,直到得出的商是素数为止;3.然后把各个除数和最后的商按从小到大的顺序写成连乘的形式;3.由一个数分解素因数求这个数的因数12=2×2×3,素因数是2、2、3,除1外由单个的素因数组成因数有2、3,由两个素因数组成的因数有2×2=4,2×3=6,由三个素因数组成的因数有2×2×3=12,所以12的因数有1、2、3、4、6、12.4. 由一个数分解素因数求这个数因数的个数1所有素因数都相同时,因数的个数是它素因数的个数+1,如8=2×2×2,素因数是2、2、2,则8的因数的个数是它素因数的个数+1,即4个2素因数不完全相同时,因数的个数是每个素因数个数+1后相乘的积,如12=2×2×3,素因数2的个数是2,素因数3的个数是1,则12的因数的个数是2+1×1+1=6八.公因数与最大公因数1.公因数与最大公因数定义:几个数公有的因数,叫做这几个数的公因数,其中最大的一个叫做这几个数的最大公因数.2.互素定义：如果两个整数只有公因数1,那么称这两个数互素;如8和9注意：互素是两个数之间,素数是指一个数,互素的两个数的最大公因数就是1.两个互素的数未必都是素数; √8和9互素,但8和9都是合数两个不同的素数一定互素. √若缺少“不同的”,则错,因为3和3都是素数但不互素3. 求两个数最大公因数的方法：1 一般方法：写出两个数所有的因数,再找出它们共同的最大的因数2 分解素因数的方法：把这两个数分解素因数,再找出相同的素因数,把它们所有的公有的素因数相乘,所得的积就是它们的最大公因数;3 短除法：先用这两个数公有的素因数去除一般从最小的素因数开始,得出的商如果是合数,再按照上面的方法继续除下去,直到两个数互素为止,这两个数的最大公因数就是左侧的除数的乘积. 类比用短除法分解素因数的方法4. 两个整数中,如果某个数是另一个数的因数,那么这个数就是这两个数的最大公因数;如果这两个数互素,那么它们的最大公因数就是1.九.公倍数和最小公倍数1.公倍数与最小公倍数定义:几个整数公有的倍数叫做它们的公倍数,其中最小的一个叫做它们的最小公倍数.2.求两个数最小公倍数的方法:1一般方法:从小到大分别依次写出几个这两个数的倍数,再找出它们共同的最小的倍数2分解素因数的方法: 把这两个数分解素因数,再找出相同的素因数,再取各自剩余的素因数,将这些数连乘所得的积,就是这两个数的最小公倍数.3短除法: 先用这两个数公有的素因数去除一般从最小的素因数开始,得出的商如果是合数,再按照上面的方法继续除下去,直到两个数互素为止,这两个数的最小公倍数就是左侧的除数与底部商的乘积.注意点:1.用短除法求两个数的最大公因数和最小公倍数时,过程都相同,只是最后写结论时注意需要乘哪些数.2.求两个数的最大公因数和最小公倍数,先判断这两个数是否存在因数倍数关系或互素关系,存在因数倍数关系时,最大公因数就是较小的那个数,最小公倍数就是较大的那个数;两数互素时,最大公因数就是1,最小公倍数就是它们的乘积.3.两个整数的公倍数一定能被这两个数整除.十.求三个整数的最大公因数和最小公倍数拓展1求三个整数的最大公因数:同样也是三种方法,只需找出三个数共同的因数,最大的因数就是最大公因数.注意与三个数的最小公倍数区分2求三个整数的最小公倍数:一般方法:写出三个数的倍数,再找出最小公倍数.分解素因数法:分别分解素因数,先找出三个数共同的素因数,再找出每两个数公有的素因数,再取各自剩余的素因数,把这些素因数连乘所得的积就是这三个数的最小公倍数.短除法:先用三个数公有的素因数去除直到三个数没有公有的素因数,再用其中两个数公有的素因数去除,直到除得的三个商两两互素为止即三对互素数。

(完整word版)五年级上册奥数讲义

↑↑↑↑↑优才家教优等生同步奥数提高五年级（下）↑↑↑↑↑第一讲整数问题第1课数的整除一、知识要点1. 整除——因数、倍数2. 相关基础知识点回顾（1）0是任何整数的倍数. (2）1是任何整数的因数。

3. 数整除的性质例如:如果2｜10，2｜6，那么2|（10＋6),并且2|（10-6）.必要条件：（1）a 、b 、c 三个数是整数（2)b ≠0 (3）a ÷b=c结论：整数a 能被整数b 整除，或b 能整除a,则a 叫做b 的倍数,b 叫做a 的因数。

记作:b|a例如：如果6｜36，9｜36，那么[6，9]|36.例如：如果2｜72,9|72，且（2，7）=1，那么18｜72.例：如果7|14，14｜28，那么7|28。

4.数的整除特征(1)能被2整除的数的特征：如果一个整数的个位数是偶数（即个位数是2、4、6、8、0）,那么它必能被2整除。

（2）能被5整除的数的特征：如果一个整数的个位数字是0或5，那么它必能被5整除。

(3）能被3（或9）整除的数的特征：如果一个整数的各位数字之和能被3（或9)整除，那么它必能被3（或9）整除.（4）能被4（或25）整除的数的特征：如果一个整数的末两位数能被4(或25)整除,那么它必能被4(或25）整除.例:1864能否被4整除？解：1864=1800+64，因为4｜64，4是1864的因数，1864是4的倍数，所以4｜1864。

(5）能被8（或125）整除的数的特征：如果一个整数的末三位数能被8（或125）整除,那么它必能被8（或125）整除。

例：29375能否被125整除?解:29375=29000+375,因为125｜375，125是375的因数，375是125的倍数，所以125｜29375。

（6）能被11整除的数的特征:如果一个整数的奇数位数字之和与偶数位数字之和的差（大减小）能被11整除,那么它必能被11整除。

（奇数位指：这个数的个位、百位、万位……;偶数位指：这个数的十位、千位、十万位……）例：判断13574是否是11的倍数？解：这个数的奇数位上数字之和与偶数位上数字和的差是：（4＋5＋1）-（7＋3)＝0。

数的整除的概念和定义

第一章数的整除第一节整数和整除‎教学目标：1、理解整除的‎定义和自然‎数的意义。

知道整除的‎要素，掌握整除的‎两种表述方‎法。

2、理解因数与‎倍数的意义‎，会求一个整‎数的因数和‎倍数。

3、概括出能被‎2，5整除的数‎的特征。

知识要点：1.1：整数和整除‎的意义1、零和正整数‎统称为自然‎数。

2、正整数、零、负整数，统称为整数‎。

3、整数a除以‎整数b，如果除得的‎商是整数而‎余数为零，我们就说a‎能被b整除‎；或者说b能‎整除a.注意整除的‎条件：1、除数、被除数都是‎整数；2、被除数除以‎除数，商是整数而‎且余数为零‎。

1.2：因数和倍数‎1、整数a能被‎整数b整除‎，a就叫做b‎的倍数，b就叫做a‎的因数（也称约数）。

2、一个整数的‎因数中最小‎的因数是1‎，最大的因数‎是它本身。

1.3：能被2、5整除的数‎1、个位上是0‎，2，4，6，8的整数都‎能被2整除‎。

2、能被2整除‎的整数叫做‎偶数，不能被2整‎除的整数叫‎做奇数。

3、各位上是0‎或者5的整‎数都能被5‎整除。

第二节分解素因数‎教学目标：1、理解素数、合数的意义‎。

2、能用求因素‎的方法或查‎素数表的方‎法判断一个‎正整数是否‎为素数。

3、熟记20以‎内的全部素‎数。

4、理解素因数‎和分解素因‎数的意义，掌握分解素‎因数的方法‎。

5、掌握最大公‎因数和最小‎公倍数的算‎理和方法。

知识要点：1.4：素数、合数与分解‎素因数1、一个正整数‎，如果只有1‎和它本身两‎个因素，这样的数叫‎做素数，也叫做质数‎；如果除了1‎和它的本身‎以外还有别‎的因素，这样的数叫‎做合数。

2、1既不是素‎数，也不是合数‎。

这样，正整数又可‎以分为1、素数和合数‎三类。

34、每个合数都‎可以写成几‎个素数相乘‎的形式，其中每个素‎数都是这个‎合数的因数‎，叫做这个合‎数的素因数‎。

把一个合数‎用素因素相‎乘的形式表‎示出来，叫做分解素‎因数。

5、一般我们用‎短除法分解‎素因数，步骤如下：①先用一个能‎整除这个合‎数的素数（通常从最小‎的开始）去除。

数的整除知识点总结

数的整除知识点总结一、整除的概念。

1. 定义。

- 在整数除法中，如果商是整数而没有余数，我们就说被除数能被除数整除，或者说除数能整除被除数。

例如，15÷3 = 5，我们就说15能被3整除，或者说3能整除15。

2. 整除的表示方法。

- 若整数a除以非零整数b，商为整数，且余数为零，我们就说a能被b整除（或说b能整除a），记作ba。

二、数的整除特征。

1. 能被2整除的数的特征。

- 个位数字是0、2、4、6、8的整数能被2整除。

例如12、34、560等都能被2整除。

2. 能被3整除的数的特征。

- 一个数各位数字之和能被3整除，这个数就能被3整除。

例如123，各位数字之和为1 + 2+3 = 6，6能被3整除，所以123能被3整除。

3. 能被5整除的数的特征。

- 个位数字是0或5的整数能被5整除。

如10、15、205等都能被5整除。

4. 能被9整除的数的特征。

- 一个数各位数字之和能被9整除，这个数就能被9整除。

例如279，各位数字之和为2+7 + 9=18，18能被9整除，所以279能被9整除。

5. 能被11整除的数的特征。

- 把一个数由右边向左边数，将奇位上的数字与偶位上的数字分别加起来，再求它们的差，如果这个差是11的倍数（包括0），那么原来这个数就一定能被11整除。

例如132，奇位数字之和为1+2 = 3，偶位数字是3，它们的差为0，0是11的倍数，所以132能被11整除。

三、整除的性质。

1. 传递性。

- 如果ab且bc，那么ac。

例如，如果3能整除6，6能整除18，那么3能整除18。

2. 可加性。

- 如果ab且ac，那么a(b + c)。

例如，5能整除10，5能整除15，那么5能整除10 + 15=25。

3. 可减性。

- 如果ab且ac，那么a(b - c)。

例如，7能整除21，7能整除14，那么7能整除21-14 = 7。

(完整word版)(超详)小学数学知识点归纳汇总

小学数学知识归纳总结（打印版）基本概念第一章数和数的运算（一）整数1、整数的意义自然数和0都是整数。

2、自然数我们在数物体的时候，用来表示物体个数的1,2，3……叫做自然数。

一个物体也没有，用0表示。

0也是自然数。

3、计数单位一（个)、十、百、千、万、十万、百万、千万、亿……都是计数单位。

其中“一”是计数的基本单位。

10个1是10,10个10是100……每相邻两个计数单位之间的进率都是10.这样的计数法叫做十进制计数法。

4、数位计数单位按照一定的顺序排列起来，它们所占的位置叫做数位.5、整数的读法：从高位到低位，一级一级地读。

读亿级、万级时，先按照个级的读法去读，再在后面加一个“亿”或“万"字.每一级末尾的0都不读出来，其它数位连续有几个0都只读一个零.6、整数的写法：从高位到低位,一级一级地写，哪一个数位上一个单位也没有，就在那个数位上写0。

7、一个较大的多位数，为了读写方便，常常把它改写成用“万"或“亿"作单位的数。

有时还可以根据需要，省略这个数某一位后面的数，写成近似数。

⑴准确数：在实际生活中，为了计数的简便，可以把一个较大的数改写成以万或亿为单位的数。

改写后的数是原数的准确数。

例如把 1254300000 改写成以万做单位的数是 125430 万；改写成以亿做单位的数 12。

543 亿。

⑵近似数:根据实际需要，我们还可以把一个较大的数,省略某一位后面的尾数，用一个近似数来表示。

例如: 1302490015 省略亿后面的尾数是 13 亿。

⑶四舍五入法：求近似数，看尾数最高位上的数是几，比5小就舍去，是5或大于5舍去尾数向前一位进1。

这种求近似数的方法就叫做四舍五入法。

8、整数大小的比较：位数多的那个数就大，如果位数相同，就看最高位，最高位上的数大，那个数就大；最高位上的数相同，就看下一位，哪一位上的数大那个数就大。

以此类推。

1、小数的意义把整数1平均分成10份、100份、1000份……得到的十分之几、百分之几、千分之几……可以用小数表示。

数学整除知识点总结

数学整除知识点总结一、整除的基本概念1.1 整数的定义首先，我们需要了解一下整数的概念。

在数学中，整数是指包括正整数、负整数和零在内的所有整数，用…，-3，-2，-1，0，1，2，3，…来表示。

整数是一个非常宽泛的概念，其中包含了无穷尽的实数，因此整数之间的关系也有着非常复杂的性质。

1.2 整除的定义在整数之间，如果存在一个整数a，使得另一个整数b能够被a整除，那么我们就说a能够整除b，记作a|b。

即如果存在一个整数c，使得b=ac，那么我们就说a能够整除b。

此时，a称为除数，b称为被除数，c称为商。

另外，如果a不等于0，且存在一个整数c，使得b=ac，那么我们就说a能够整除b；如果a等于0，那么b等于0时，我们也说a能够整除b。

1.3 整数除法整数除法是整除概念的具体实现。

在整数除法中，我们需要用到除数、被除数、商以及余数等概念。

具体来说，对于整数a、b（a≠0）、r，如果整数b能够被整数a整除，即a|b，那么一定存在整数q使得b=aq；此时q称为商，r称为余数，并且0≤r<|a|。

1.4 整数的倍数我们知道，整数之间是存在整数除法的，一个整数能够整除另一个整数，那么它们之间是具有一定倍数关系的。

在数学中，如果一个整数a能够整除另一个整数b，也就是a|b，那么我们就说b是a的倍数，a是b的因数。

1.5 整除的运算规律在整数之间的整除运算中，有一些规律是需要引起我们的注意的。

首先，对于任意整数a，0能够整除a；其次，任意整数a，a都能够整除自己，即a能够整除a，且a|a。

以上就是整除的基本概念及其相关内容。

从这些内容中我们可以看到，整除是一个非常基础的概念，但是它对于数学的发展和应用有着非常重要的作用。

下面我们就来具体讨论一下整除的性质。

二、整除的性质整除的性质是整数之间的一种特殊关系，它具有一些特殊的性质。

下面我们将介绍一下整除的性质。

2.1 整数的连通性一个整数a能够整除另一个整数b，那么我们可以得到一个推论：对于任意整数a、b、c （a、b、c≠0），如果a能够整除b，b能够整除c，那么a一定能够整除c。

数字的整除关系

数字的整除关系数字的整除关系在数学中有着重要的应用和意义。

整除关系可以理解为一个数能够被另一个数整除，也就是说，当一个数能够被另一个数整除时，我们称它为前者的倍数，而后者则称作前者的约数。

本文将探讨整数的整除关系，包括其定义、性质以及应用。

一、整除关系的定义在数学中，我们定义“整除”为：若整数a和b满足存在一个整数k，使得a=k*b，那么我们说a能够被b整除。

符号表示为a|b，读作“a能够整除b”。

例如，当a=6，b=3时，6能够被3整除，记作6|3。

这是因为6=2*3，存在k=2使得a=k*b成立。

二、整除关系的性质1. 自反性：任何整数a都能够整除自身。

即a|a对任意整数a成立。

2. 传递性：如果a能够被b整除，且b能够被c整除，则a能够被c 整除。

即若a|b且b|c，那么a|c。

3. 对称性：如果a能够被b整除，那么b也能够被a整除。

即若a|b，则b|a。

4. 整数的整除关系是偏序关系。

偏序关系指的是具有自反性、传递性和反对称性的关系。

三、整除关系的应用整除关系在数学中有广泛的应用，以下是一些常见的应用场景。

1. 素数判定在素数判断中，整除关系能够帮助我们确定一个数是否为素数。

一个数是素数，当且仅当它只能够被1和它本身整除。

因此，对于一个待判断的数n，我们只需要判断它能够整除2到√n之间的数即可。

2. 公约数和最大公约数在求解公约数和最大公约数时，整除关系是非常重要的。

公约数是指能够同时整除两个或多个数的数，而最大公约数则是这些公约数中最大的一个。

通过求解两个数的最大公约数，我们可以化简分数、约分、求解线性方程等。

3. 常用分数计算在我们进行分数的加减乘除等运算时，整除关系也是不可或缺的。

在求解分数的最简形式时，我们需要找到分子和分母的最大公约数，然后将两者都除以最大公约数，得到的结果即为最简分数。

4. 除法运算在除法运算中，除数整除被除数得到商和余数。

这种整除关系在计算机程序设计中经常被使用，例如，判断两个数是否能够整除，或者求取一组数除以某个数的商和余数。

初中数学整除知识点总结

初中数学整除知识点总结首先，我将介绍整除的定义。

在数学中，整除是指对于两个整数a和b，如果存在一个整数c，使得a=bc，那么我们就说"b整除a"，并且记作b|a。

其中，a被称为被除数，b被称为除数，c被称为商。

如果一个整数被另一个整数整除，那么我们称这个整数为被除数的倍数，除数的倍数还包括所有的负数和零。

需要注意的是，当除数等于1时，所有的整数都是1的倍数。

接下来，我将介绍整除的性质。

整除有一些基本的性质，这些性质在运算中具有很重要的作用。

首先，整数a一定能被1整除，即1|a。

其次，任何整数都能被其本身整除，即a|a。

另外，整除具有传递性，如果a|b且b|c，则a|c。

另外，如果a|b且a|c，则a|(b+c)。

在学习整除的过程中，学生还需要了解整数的除法。

整数的除法与小学学习的除法有所不同，因为整数包括正整数、负整数和零。

当除数与被除数都是正整数时，除法的计算与小学除法相同；当被除数为零时，任何除数都不能整除被除数；当除数为零时，除法运算是无意义的；当被除数和除数中有一个负数时，商的正负性由被除数和除数而定，如果被除数和除数同号，商为正，如果被除数和除数异号，商为负。

整除还有一些特殊的性质和规律，这些性质和规律在解决具体问题时非常有用。

首先，当一个整数能同时被m和n整除时，它一定能被它们的最小公倍数整除；其次，如果一个整数能同时被m和n整除，那么它一定能被它们的公因数p整除；另外，一个整数如果能同时被m和n整除，那么它一定能被它们的最大公因数整除。

在学习整除的过程中，学生还需要掌握一些求解整数问题的方法。

求解整除问题的方法有很多种，其中最常用的方法是因式分解。

因式分解是将一个整数分解成几个整数的乘积，这些整数称为因子。

通过因式分解，我们可以得到一个整数的所有因子，从而更加深入地了解这个整数的性质。

(完整word版)人教版小学数学知识点总结(完整版)

人教版小学数学知识点归纳第一章数和数的运算一概念（一)整数1、整数的意义自然数和0都是整数。

2 、自然数我们在数物体的时候，用来表示物体个数的1,2，3……叫做自然数.一个物体也没有，用0表示。

0也是自然数。

3、计数单位一（个)、十、百、千、万、十万、百万、千万、亿……都是计数单位。

每相邻两个计数单位之间的进率都是10。

这样的计数法叫做十进制计数法。

4 、数位计数单位按照一定的顺序排列起来，它们所占的位置叫做数位。

5、数的整除整数a除以整数b（b ≠0），除得的商是整数而没有余数，我们就说a能被b整除，或者说b能整除a 。

例如15÷3=5,所以15能被3整除，3能整除15。

如果数a能被数b（b ≠0)整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的因数.倍数和约数是相互依存的。

一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身。

一个数的倍数的个数是无限的,其中最小的倍数是它本身,没有最大的倍数。

个位上是0、2、4、6、8的数，都能被2整除，例如：202、480、304,都能被2整除。

个位上是0或5的数，都能被5整除，例如：5、30、405都能被5整除。

.一个数的各位上的数的和能被3整除，这个数就能被3整除,例如：12、108、204都能被3整除。

能被2整除的数叫做偶数,不能被2整除的数叫做奇数。

0也是偶数.自然数按能否被2 整除的特征可分为奇数和偶数.一个数,如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数,100以内的质数有:2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53 、59、61、67、71、73、79、83、89、97。

一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数，例如4、6、8、9、12都是合数。

1不是质数也不是合数，自然数除了1外,不是质数就是合数。

如果把自然数按其因数的个数的不同分类，可分为质数、合数和1。

每个合数都可以写成几个质数相乘的形式。

(完整word版)初中数学知识点梳理(沪教市北综合版)——01数的整除(良心出品必属精品)

初中数学知识点梳理（沪教市北综合版）导言《初中数学知识点梳理沪教市北综合版》为编者依据沪教版《初中数学》和市北初级中学资优生培训教材《初中数学》的内容综合编撰而成，既吸取了沪教版《初中数学》侧重基础、知识全面的特点，也吸取了市北版《初中数学》拓展广度、延伸深度的特点，实现了两者内容的有机融合，保证了初中数学知识点梳理的基础性、系统性、全面性、拓展性和概括性，能为初中数学的学习提供较好的知识帮助。

文中带“（★）”部分为市北版的加深内容，练习带“（★）”部分也为市北版内容。

第一章数的整除一、知识结构二、重点和难点重点：会正确地分解素因数，并会求两个正整数的最大公因数和最小公倍数。

难点：求两个正整数的最小公倍数。

第一节整数和整除1.1整数和整除的意义⑴正整数：用来表示物体个数的数1，2，3，4，5…叫做正整数。

⑵负整数：在正整数1，2，3，4，5…之前添上“-”，得到的数-1，-2，-3，-4，-5…叫做负整数。

⑷ 整数：正整数、零、负整数统称为整数。

⑸ 整除：设a、b是两个整数，且b≠a，若存在整数q，使a＝bq，则称b整除a，或a被b整除，记作b∣a。

（★）或者说，如果整数a除以整数b(b ≠ 0）所得的商是整数，那么叫做a被b整例1：下列哪一个算式的被除数能被除数整除？28÷7 10÷3 5÷4解：因为28÷7＝4 ，10÷3＝3……1 ，5÷4＝1.25 ，所以被除数能被除数整除的是28÷7。

③若m∣a、m∣b，则m∣（a－b）;④若m∣a，则m∣ab（b为自然－数）;⑤n个连续正整数的积能被n！整除。

（n的阶乘：n！＝1×2×3×…×n）（★）例如：a为整数时，2∣a(a+1)6∣a(a+1)(a+2)24∣a(a+1)(a+2)(a+3)……（★）解：由于4个连续的整数中必有 1个数为4的倍数，还有另一个数为2的倍数，有1个是3的倍数，因为a、a+1、a+2、a+3为4个连续的整数，所以，a、a+1、a+2、a+3中必有一个数为4的倍数，另有一个数为2的倍数，有一个数为3的倍数，即为2×3×4=24的倍数。

数的整除的概念

数的整除的概念
嘿，朋友们！今天咱来聊聊数的整除这个有意思的事儿。

你说这数啊，就像一群小精灵，在数学的大森林里跑来跑去。

而整除呢，就像是一种特殊的关系，让一些数和另一些数之间有着特别的联系。

比如说，2 能整除 4，就好像 2 是 4 的好朋友，它们俩关系特别铁。

那怎么判断两个数有没有这种特殊关系呢？这就有讲究啦！
就像我们交朋友要看合不合得来一样，数之间的整除也有它的规则。

比如一个数的末尾是 0、2、4、6、8，那它就能被 2 整除，这多有意思呀！再比如，一个数各个数位上的数字之和能被 3 整除，那这个数自己也能被 3 整除，这不是很神奇吗？
想象一下，数字们在那排排站，我们拿着整除的规则去“考验”它们，看看谁能通过，谁不能。

这就像是一场有趣的游戏！
咱再说说整除的好处。

它可帮了我们不少忙呢！在生活中，我们分东西的时候，整除就能让我们分得更公平。

比如说分苹果，要是苹果的数量能被人数整除，那每个人就能拿到一样多的苹果，多好呀！要是不能整除，那就可能会有剩下的，或者有人得多拿一点。

而且，在数学的其他地方，整除也经常出来“帮忙”。

它就像一把钥匙，能打开很多难题的大门。

那要是两个数不能整除呢？哈哈，那就有点像两个不太合得来的朋友，但这也没关系呀，数学的世界这么大，它们总能找到自己的位置。

总之，数的整除是数学里一个特别有趣又实用的概念。

它就像一个小小的魔法，让数字们变得更有规律，更有意思。

大家可别小瞧了它哟！以后遇到数学问题的时候，多想想整除，说不定就能找到解决问题的好办法呢！这就是我对数的整除的理解啦，你们觉得怎么样呢？。

§3整除的概念

6) 整除关系不因系数域的扩大而改变．
设 F 和 F是两个数域 , 并且 F F , 那么多项式环 F [ x]
含有多项式环F [x]．因此Ｆ上的一个多项式 f ( x ) 也是
F 上的一个多项式． f x , g x F[ x ] , 则如果在F [x]里 g( x )不能整除 f ( x ),
g( x ) | f ( x )
3．整除的性质
1) 对 f ( x ) P[ x ], 有 f ( x ) | f ( x ),
f ( x ) | 0;
对 f ( x ) P[ x ], a P , a 0, 有 a | f ( x ).
即，任一多项式整除它自身；
零多项式能被任一多项式整除；
b 1ax n m g x 与 f ( x )首项相同，因而，多项式则 f1 ( x )= f ( x )- b- 1ax n-m g x
的次数小于n或 f1为0．若
f1 x = 0,
q( x ) b 1ax n m , r ( x ) 0 即可．令
若 f1 x n, 由归纳假设，存在 q1 ( x ), r1 ( x ) 使得
那么在 F [ x] 里 g( x ) 也不能整除 f ( x )
事实上，若 g( x ) 0 ，那么由于在F [x]里 g( x )
不能整除 f ( x ), f ( x ) 不能等于0．因此在 F [ x ] 里 g( x )
显然仍不能整除 f ( x ).
假定 g( x ) 0，那么在Ｆ[x]里，以下等式成立：
零次多项式整除任一多项式．
2) 若 f ( x ) | g( x ) ，则 a f ( x ) | bg( x ), a , b P (a 0).