判断一个数能否被3整除的方法的数学证明

我记得在初中（或者是在小学），数学书上给出了判断一个数是否能被3整除的方法：若一个数所有位上的数字加起来能被3整除，那么这个数就能被3整除。比如582，它的所有位上的数字之和为：5+8+2=15，15能被3整除，所以582能被3整除，但这个方法的道理何在？它是怎样证明的呢？下面是我的证明方法

首先定义一个取余函数()n m ,mod ，这个函数表示m 除以n 后的余数，比如

()()()25,17mod ,05,15mod ,13,13mod ===等等

那么，我们容易发现

()13,10mod =；

()13,100mod =；

()13,1000mod =；

()13,10000mod =；

…… ……

对于任一个数来说，比如n A A A 21，它可以表示成如下形式：

n n n n A A A A A A ++⨯+⨯=-- 2211211010，那么有

()()

()()()()()()

()

3,mod 3,mod 3,mod 3,mod 3,mod 3,10mod 3,10mod 3

,1010mod 3,mod 2121221

1221121n n n n n n n n n A A A A A A A A A A A A A A A +++=++=++⨯+⨯=++⨯+⨯=---- 得证。

比如对上面的数582来说，我们可以写成：

582=500+80+2，而

500=5×（99+1）=5×99+5；

80=8×（9+1）=8×9+8；

2=2；

则

582与582-5×99-8×9=5+8+2=15同余的，因为减去的数都是3的倍数，

那么既然582与15同余，且15能被3整除，那么582也就能被3整除。

我们也还可以作推广：若一个数所有位上的数字加起来能被9整除，那么这个数就能被9整除。这个命题的证明方法与上面的完全似，这里就不再赘述。