三角函数高考真题教师版
高考文科数学真题汇编：三角函数高考题老师版
α是第二象限角，因此23．（2013后得到函数5A．47 [,] 34B．12[,]43C．47[,]34D．13[,]34f(x-1)=f(|x-1|)|x-1|=t；f(t)≤，得到1/3≤；代入x解得选天津文)将函数f(x)=sin xω（其中）的图象向右平移个单位长度，所得图象经过点），则ω的最小值是35.（2014江苏）函数)42sin(3π+=x y 的最小正周期为π。
36.（2014江苏）已知函数cos y x =与sin(2)(0)y x ϕϕ=+<π≤，它们的图象有一个横坐标为3π的交点，则ϕ的值是6π．37、(2017年新课标Ⅱ文)函数f (x )＝2cos x ＋sin x 的最大值为.【解析】f (x )＝2cos x ＋sin x ≤＝,∴f (x )的最大值为.38、（2017?新课标Ⅰ理）已知曲线C 1：y=cosx ，C 2：y=sin （2x+），则下面结论正确的是（ D ）A 、把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C 2B 、把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C 2C 、把C 1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C 2D 、把C 1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C 239、(2017年新课标Ⅱ卷理)函数()23sin 3cos 4f x x x =+-（0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦）的最大值是．【答案】1【解析】()22311cos 3cos cos 3cos 44f x x x x x =-+-=-++ 23cos 12x ⎛⎫=--+ ⎪ ⎪⎝⎭，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，那么[]cos 0,1x ∈，当3cos 2x =时，函数取得最大值1. 40．（2014大纲）若函数()cos 2sin f x x a x =+在区间(,)62ππ是减函数，则a 的取值范围是.【简解】()f x '=cosx(a-4sinx)≤0在x ∈(,)62ππ恒成立；a ≤4sinx 。
三角函数(教师版)--2020-2023高考真题数学专题分类汇编
专题五三角函数--2020-2023高考真题数学专题分类汇编真题卷题号考点考向2023新课标1卷8三角恒等变换给值求值15三角函数的性质及应用余弦型函数的零点问题2023新课标2卷7三角恒等变换给值求值16三角函数的图象与性质由部分图象求解析式、求函数值2022新高考1卷6三角函数的性质及应用求三角函数的解析式、求函数值2022新高考2卷6三角恒等变换三角求值9三角函数的图象与性质求三角函数的单调区间、对称轴、极值点、求切线方程2021新高考1卷4三角函数的性质及应用求三角函数的单调区间2021新高考2卷6三角恒等变换给值求值2020新高考1卷10三角函数的图象与性质由图象求三角函数的解析式15三角函数的应用三角函数解决实际问题2020新高考2卷11三角函数的图象与性质由图象求三角函数的解析式16三角函数的应用三角函数解决实际问题【2023年真题】1.（2023·新课标I卷第8题）已知1sin()3αβ-=，1cos sin6αβ=，则cos(22)αβ+=()A.79 B.19 C.19- D.79-【解析】本题考查两角和与差的正弦公式以及二倍角公式，属于中档题.利用两角和与差的正弦公式先求出sin cos αβ的值，从而可以得到sin()αβ+的值，再结合二倍角的余弦公式即可得出结果.解：因为1sin()sin cos cos sin 3αβαβαβ-=-=，1cos sin 6αβ=，则1sin cos .2αβ=故112sin()sin cos cos sin .263αβαβαβ+=+=+=即2221cos(22)12sin ()12(.39αβαβ+=-+=-⨯=故选B.2.（2023·新课标II 卷第7题）已知α为锐角，15cos 4α+=，则sin 2α=()A.358- B.158-+ C.354- D.154-【答案】D 【解析】【分析】本题考查倍角公式，属于基础题．观察题干，发现未知角为已知角的一半，考虑倍角公式，即可得证.【解答】解：221511cos 36114sin ()sin 222816424ααα+----=====⇒=故选：.D 3.（2023·新课标I 卷第15题）已知函数()cos 1(0)f x x ωω=->在区间[0,2]π有且仅有3个零点，则ω的取值范围是__________.【答案】[2,3).【解析】【分析】本题考查了余弦型函数的零点问题，属中档题.解：令()cos 10f x x ω=-=，得cos 1x ω=，又[0,2]x π∈，则[0,2]x ωωπ∈，所以426πωππ<，得2 3.ω<故答案为：[2,3).4.（2023·新课标II 卷第16题）已知函数()sin()f x x ωϕ=+，如图，A ，B 是直线12y =与曲线()y f x =的两个交点，若||6AB π=，则()f π=.【答案】32-【解析】【分析】主要考查了函数sin()y A x ωϕ=+的性质与图象，诱导公式等，属于一般题.根据AB 的长度求出.ω函数图象过点2(,0)3π，求.ϕ诱导公式得到答案.【解答】解：设相邻的两个交点A ，B 的横坐标为1 t ，2 t ，则21 - 6t t π=又1sin()2x ωϕ+=，522,.0,66x k k k Z k ππωϕππ+=++∈=或当时16t πωϕ+=，256t πωϕ+=，212( - )3t t πω=，故 4.ω=函数图象过点2(,0)3π，8sin ()03πϕ+=，故8 ,.3k k Z πϕπ=-∈2k =时满足图片条件，故2.3πϕ=-23()sin(4.32f πππ=-=-【2022年真题】5.（2022·新高考I 卷第6题）记函数()sin()(0)4f x x b πωω=++>的最小正周期为.T 若23T ππ<<，且()y f x =的图像关于点3(,2)2π中心对称，则(2f π=()A.1 B.32C.52D.3【答案】A 【解析】【分析】本题主要考查三角函数的周期性和对称性，属于中档题.根据周期范围，确定ω范围，再根据对称中心确定21(34k ω=-，k Z ∈，二者结合可得结果.【解答】解：由题可知：22(,)3T πππω=∈，所以(2,3).ω∈又因为()y f x =的图像关于点3(,2)2π中心对称，所以2b =，且33()sin() 2.224f b πππω=⨯++=所以21(34k ω=-，k Z ∈，所以5.2ω=所以5()sin( 2.24f x x π=++所以() 1.2f π=6.（2022·新高考II 卷第6题）若sin()cos())sin 4παβαβαβ+++=+，则()A.tan()1αβ+=-B.tan()1αβ+=C.tan()1αβ-=-D.tan()1αβ-=【答案】C 【解析】【分析】本题考查三角恒等变换的应用法一：利用特殊值法，排除错误选项即可法二，利用三角恒等变换，求出正确选项【解答】解：解法一：设0β=则sin cos 0αα+=，取34απ=，排除B ，D 再取0α=则sin cos 2sin βββ+=，取4πβ=，排除;A 选.C解法二：由sin()cos())]44ππαβαβαβαβ+++=++=++)cos44ππαβαβ=+++，cos )sin 44ππαβαβ+=+故sin()cos cos()sin 044ππαβαβ+-+=，即sin()04παβ+-=，故22sin(sin()cos()0422παβαβαβ-+=-+-=，故sin()cos()αβαβ-=--，故tan() 1.αβ-=-7.（2022·新高考II 卷第9题）（多选）已知函数()sin(2)(0)f x x ϕϕπ=+<<的图象关于点2(,0)3π对称，则()A.()f x 在5(0,12π单调递减B.()f x 在11(,)1212ππ-有两个极值点C.直线76x π=是曲线()y f x =的一条对称轴D.直线2y x =-是曲线()y f x =的一条切线【答案】AD 【解析】【分析】本题考查三角函数的图象与性质，三角函数的单调性、三角函数的对称轴与对称中心，函数的极值，切线方程的求解，属于中档题.【解答】解：由题意得：24()sin()033f ππϕ=+=，所以43k πϕπ+=，即43k πϕπ=-+，k Z ∈，又0ϕπ<<，所以2k =时，23πϕ=，故2()sin(2).3f x x π=+选项5:(0,)12A x π∈时，2232(,)332x πππ+∈，由sin y u =图象知()f x 在5(0,)12π单调递减;选项11:(,1212B x ππ∈-时，252(,)322x πππ+∈，由sin y u =图象知()f x 在11(,1212ππ-有1个极值点;选项:C 由于，故直线76x π=不是()f x 的对称轴;选项:D 令，得21cos(2)32x π+=-，解得222233x k πππ+=+或242233x k πππ+=+，k Z ∈，从而得x k π=或3x k ππ=+，k Z ∈，令0k =，则是斜率为1-的直线与曲线的切点，从而切线方程为3(0)2y x -=--，即3.2y x =-【2021年真题】8.（2021·新高考I 卷第4题）下列区间中，函数()7sin ()6f x x π=-单调递增的区间是()A.0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭B.,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭C.3,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭D.3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭【答案】A 【解析】【分析】本题考查正弦型函数的单调递增区间，属于基础题.由正弦函数图象和性质可知，得()7sin ()6f x x π=-的单调递增区间为22,2,33k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦，分析选项可得答案.【解答】解：由22262k x k πππππ-+-+，得222,33k xk k Z ππππ-++∈，所以()7sin ()6f x x π=-的单调递增区间为22,2,33k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦，当0k =时，一个单调递增区间为2,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，可知20,,233πππ⎛⎫⎡⎤⊆- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，故选：.A 9.（2021·新高考I 卷第6题）若tan 2θ=-，则sin (1sin 2)sin cos θθθθ+=+()A.65-B.25-C.25 D.65【答案】C 【解析】【分析】本题考查三角函数的化简求值，涉及同角三角函数的关系、二倍角公式，属于中档题.利用同角三角函数关系、二倍角公式将其化简为2sin sin cos θθθ+后，添加分母1，转化为齐次式，再分子分母同除2cos θ即可.【解答】解：原式22sin (sin cos 2sin cos )sin cos θθθθθθθ++=+22sin (sin cos )sin sin cos sin cos θθθθθθθθ+==++22222sin sin cos tan tan 422sin cos tan 1415θθθθθθθθ++-====+++，故选：.C 【2020年真题】10.（2020·新高考I 卷第10题、II 卷第11题）（多选）如图是函数()sin y x ωϕ=+的部分图象，则()sin x ωϕ+()A.sin ()3x π+ B.sin (2)3x π- C.cos (2)6x π+D.5cos (2)6x π-【答案】BC 【解析】【分析】本题考查正弦型函数的图象，考查逻辑推理能力，属于中档题.借助图象分别求出,ωϕ，结合诱导公式即可判断.【解答】解：由图象可知222()||36T ππππω==-=，故A 错误;解得2ω=±，点5(,1)12π-在函数图象上，当2ω=时，522,k Z 122k ππϕπ⨯+=-+∈，解得42,k Z 3k πϕπ=-+∈，故44sin 2sin 2sin 2333y x x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-+-=-+ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当2ω=-时，522,k Z 122k ππϕπ-⨯+=-+∈解得2,k Z 3k πϕπ=+∈，故函数解析式为sin 23y x π⎛⎫=-+⎪⎝⎭，又cos 2sin 2sin 26263x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故选.BC11.（2020·新高考I 卷第15题、II 卷第16题）)某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示，O 为圆孔及轮廓圆弧AB 所在圆的圆心，A 是圆弧AB 与直线AG 的切点，B 是圆弧AB 与直线BC的切点，四边形DEFG 为矩形，BC DG ⊥，垂足为C ，3tan 5ODC ∠=，//BH DG ，12EF cm =，2DE cm =，A 到直线DE 和EF 的距离均为7cm ，圆孔半径为1cm ，则图中阴影部分的面积为__________2.cm 【答案】542π+【解析】【分析】本题考查平面图形中的边角关系，扇形的面积公式，是困难题.设上面的大圆弧的半径为x ，连接OA ，过A 作AI BH ⊥交BH 于J ，交DG 于K ，交EF 于I ，过O 作OL DG ⊥于L ，由题中长度关系易得45AGD ︒∠=，可得AOH 为等腰直角三角形，即可得到OL 和DL 的长度，根据3tan 5ODC ∠=可得到22x =12AOH O S S S S =+- 阴影圆扇形求解即可.【解答】解：设上面的大圆弧的半径为x ，连接OA ，过A 作AI BH ⊥交BH 于J ，交DG 于K ，交EF 于I ，过O 作OL DG ⊥于L ，记扇形OAB 的面积为S 扇形，由题中的长度关系易知45AGD ︒∠=，所以45AHO ︒∠=，又90OAH ︒∠=，可得AOH 为等腰直角三角形，可得22OJ AJ x ==，252OL JK x ==-，72DL DK LK DK OJ x=-=-=-，3tan 5OL ODC DL ∠==，2532522x -=，解得x =，12AOH O S S S S =+- 阴影圆扇形222131154()24222cm πππ=⨯⨯+⨯-=+，故答案为54.2π+。
2011年三角函数(文科)教师版
三角函数1.课标文数14.C1[2011·江西卷] 已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴，若P(4，y)是角θ终边上一点，且sinθ＝－255，则y ＝________.1.解析： r ＝x 2＋y 2＝16＋y 2，∵sinθ＝－255，∴sinθ＝y r ＝y 16＋y 2＝－255，解得y ＝－8.2.课标文数7.C1，C6[2011·课标全国卷] 已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y ＝2x 上，则cos2θ＝( )A ．－45B ．－35 C.35 D.452.解析：解法1：在角θ终边上任取一点P(a,2a)(a≠0)，则r 2＝||OP 2＝a 2＋(2a)2＝5a 2，∴cos 2θ＝a 25a 2＝15，∴cos2θ＝2cos 2θ－1＝25－1＝－35.解法2：tanθ＝2a a ＝2，cos2θ＝cos 2θ－sin 2θcos 2θ＋sin 2θ＝1－tan 2θ1＋tan 2θ＝－35. 3.大纲文数14.C2[2011·全国卷] 已知α∈⎝⎛⎭⎫π，3π2，tanα＝2，则cosα＝________. 3.解析：∵tanα＝2，∴sinα＝2cosα，代入sin 2α＋cos 2α＝1得cos 2α＝15，又α∈⎝⎛⎭⎫π，3π2，∴cosα＝－55. 4.课标文数9.C2，C6[2011·福建卷] 若α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且sin 2α＋cos2α＝14，则tanα的值等于( ) A.22 B.33C. 2D. 3 4.解析：因为sin 2α＋cos2α＝sin 2α＋1－2sin 2α＝1－sin 2α＝cos 2α，∴cos 2α＝14，sin 2α＝1－cos 2α＝34，∵α∈⎝⎛⎭⎫0，π2， ∴cosα＝12，sinα＝32，tanα＝sinαcosα＝3，故选D. 5.大纲文数12.C2[2011·重庆卷] 若cosα＝－35，且α∈⎝⎛⎭⎫π，3π2，则tanα＝________. 5.解析：∵cosα＝－35，且α∈⎝⎛⎭⎫π，3π2，∴sinα＝－1－cos 2α＝－45，∴tanα＝sinαcosα＝43. 6.课标文数15.C3，C5[2011·北京卷] 已知函数f(x)＝4cosxsin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6－1. (1)求f(x)的最小正周期； (2)求f(x)在区间⎣⎡⎤－π6，π4上的最大值和最小值． 6.解答：(1)因为f(x)＝4cosxsin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6－1 ＝4cosx ⎝⎛⎭⎫32sinx ＋12cosx －1＝3sin2x ＋2cos 2x －1＝3sin2x ＋cos2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6.所以f(x)的最小正周期为π. (2)因为－π6≤x≤π4，所以－π6≤2x ＋π6≤2π3.于是，当2x ＋π6＝π2，即x ＝π6时，f(x)取得最大值2；当2x ＋π6＝－π6，即x ＝－π6时，f(x)取得最小值－1.7.课标文数12.C3[2011·辽宁卷] 已知函数f(x)＝Atan(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω＞0，|φ|＜π2，y ＝f(x)的部分图象如图1－7，则f ⎝⎛⎭⎫π24＝( )A ．2＋ 3 B. 3 C.33D ．2－ 37.解析：由图象知πω＝2×⎝⎛⎭⎫3π8－π8＝π2，ω＝2.又由于2×π8＋φ＝kπ＋π2(k ∈Z )，φ＝kπ＋π4(k ∈Z )，又|φ|<π2，所以φ＝π4.这时f(x)＝Atan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4.又图象过(0,1)，代入得A ＝1，故f(x)＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4.所以f ⎝⎛⎭⎫π24＝tan ⎝⎛⎭⎫2×π24＋π4＝3，故选B. 8.课标文数15.C4[2011·安徽卷] 设f(x)＝asin2x ＋bcos2x ，其中a ，b ∈R ，ab≠0.若f(x)≤⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎫π6对一切x ∈R 恒成立，则①f ⎝⎛⎭⎫11π12＝0；②⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎫7π10<⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎫π5；③f(x)既不是奇函数也不是偶函数； ④f(x)的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤kπ＋π6，kπ＋2π3(k ∈Z )．⑤存在经过点(a ，b)的直线与函数f(x)的图像不相交． 以上结论正确的是________(写出所有正确结论的编号)．8.解析：f(x)＝asin2x ＋bcos2x ＝a 2＋b 2sin(2x ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫sinφ＝b a 2＋b 2，cosφ＝a a 2＋b 2，因为对一切x ∈R 时，f(x)≤⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎫π6恒成立，所以sin ⎝⎛⎭⎫π3＋φ＝±1. 故φ＝2kπ＋π6或φ＝2kπ－5π6()k ∈Z . 故f(x)＝a 2＋b 2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6， 或f(x)＝－a 2＋b 2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. 对于①，f ⎝⎛⎭⎫11π12＝a 2＋b 2sin2π＝0，或f ⎝⎛⎭⎫11π12＝－a 2＋b 2sin2π＝0，故①正确； 对于②，⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎫7π10＝⎪⎪⎪⎪a 2＋b 2sin ⎝⎛⎭⎫7π5＋π6＝a 2＋b 2⎪⎪⎪⎪sin 47π30＝a 2＋b 2sin 17π30， ⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎫π5＝⎪⎪⎪⎪a 2＋b 2sin ⎝⎛⎭⎫2π5＋π6＝a 2＋b 2⎪⎪⎪⎪sin 17π30＝a 2＋b 2sin 17π30.所以⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎫7π10＝⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎫π5，故②错误； 对于③，解析式f(x)＝a 2＋b 2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，或f(x)＝－a 2＋b 2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6知其既不是奇函数也不是偶函数，故③正确； 对于④，当f(x)＝a 2＋b 2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6时，⎣⎡⎦⎤kπ＋π6，kπ＋2π3(k ∈Z )是f(x)的单调递减区间，故④错误； 对于⑤，要使经过点(a ，b)的直线与函数f(x)的图像不相交，则此直线须与横轴平行，且|b|>a 2＋b 2，此时平方得b 2>a 2＋b 2，这不可能，矛盾，故不存在过点(a ，b)的直线与函数f(x)的图像不相交．故⑤错．9.大纲文数7.C4[2011·全国卷] 设函数f(x)＝cosωx(ω>0)，将y ＝f(x)的图像向右平移π3个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则ω的最小值等于( ) A.13B ．3C ．6D ．9 9.解析：将y ＝f(x)的图像向右平移π3个单位长度后得到的图像与原图像重合，则π3＝2πωk ，k ∈Z ，得ω＝6k ，k ∈Z ，又ω＞0，则ω的最小值等于6，故选C. 10.课标文数6.C4[2011·湖北卷] 已知函数f(x)＝3sinx －cosx ，x ∈R .若f(x)≥1，则x 的取值范围为( ) A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ 2kπ＋π3≤x≤2kπ＋π，k ∈Z B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ kπ＋π3≤x≤kπ＋π，k ∈Z C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ 2kπ＋π6≤x≤2kπ＋5π6，k ∈Z D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪kπ＋π6≤x≤kπ＋5π6，k ∈Z 10.解析：因为f(x)＝3sinx －cosx ＝2sinx －π6，由f(x)≥1，得2sinx －π6≥1，即sinx －π6≥12，所以π6＋2kπ≤x －π6≤5π6＋2kπ，k ∈Z ，解得π3＋2kπ≤x≤π＋2kπ，k ∈Z .11.课标文数17.C8，C4[2011·湖南卷] 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足csinA ＝acosC.(1)求角C 的大小； (2)求3sinA －cos ⎝⎛⎭⎫B ＋π4的最大值，并求取得最大值时角A ，B 的大小． 11.解答：(1)由正弦定理得sinCsinA ＝sinAcosC. 因为0<A<π，所以sinA>0. 从而sinC ＝cosC.又cosC≠0，所以tanC ＝1，则C ＝π4.(2)由(1)知，B ＝3π4－A ，于是3sinA －cos ⎝⎛⎭⎫B ＋π4＝3sinA －cos(π－A)＝3sinA ＋cosA ＝2sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π6. 因为0<A<3π4，所以π6<A ＋π6<11π12.从而当A ＋π6＝π2，即A ＝π3时，2sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π6取最大值2. 综上所述，3sinA －cos ⎝⎛⎭⎫B ＋π4的最大值为2，此时A ＝π3，B ＝5π12. 12.课标文数11.C4，C5[2011·课标全国卷] 设函数f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4，则( ) A ．y ＝f(x)在⎝⎛⎭⎫0，π2单调递增，其图像关于直线x ＝π4对称 B ．y ＝f(x)在⎝⎛⎭⎫0，π2单调递增，其图像关于直线x ＝π2对称C ．y ＝f(x)在⎝⎛⎭⎫0，π2单调递减，其图像关于直线x ＝π4对称 D ．y ＝f(x)在⎝⎛⎭⎫0，π2单调递减，其图像关于直线x ＝π2对称 12.解析：f(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋π4＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝2cos2x ，所以y ＝f(x)在⎝⎛⎭⎫0，π2内单调递减， 又f ⎝⎛⎭⎫π2＝2cosπ＝－2，是最小值．所以函数y ＝f(x)的图像关于直线x ＝π2对称． 13.课标文数6.C42011·山东卷若函f(x)＝sinωx(ω>0)在区间⎣⎡⎦⎤0，π3上单调递增在区间⎣⎡⎦⎤π3，π2上单调递减则ω＝( ) A.23 B.32C ．2D ．3 13.解析：本题考查三角函数的单调性．因为当0≤ωx≤π2时，函数f(x)为增函数，当π2≤ωx≤π时，函数f(x)为减函数，即当0≤x≤π2ω时，函数f(x)为增函数，当π2ω≤x≤πω时，函数f(x)为减函数，所以π2ω＝π3，所以ω＝32.14.课标数学9.C4[2011·江苏卷] 函数f(x)＝Asin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ为常数，A>0，ω>0)的部分图象如图1－1所示，则f(0)的值是________．14.解析：由图象可得A ＝2，周期为4×⎝⎛⎭⎫7π12－π3＝π，所以ω＝2，将⎝⎛⎭⎫7π12，－2代入得 2×7π12＋φ＝2kπ＋32π，即φ＝2kπ＋π3，所以f(0)＝2sinφ＝2sin π3＝62. 15.课标文数7.C4[2011·天津卷] 已知函数f(x)＝2sin(ωx ＋φ)，x ∈R ，其中ω>0，－π<φ≤π.若f(x)的最小正周期为6π，且当x ＝π2时，f(x)取得最大值，则( )A ．f(x)在区间[－2π，0]上是增函数B ．f(x)在区间[－3π，－π]上是增函数C ．f(x)在区间[3π，5π]上是减函数D ．f(x)在区间[4π，6π]上是减函数15.解析：∵2πω＝6π，∴ω＝13.又∵13×π2＋φ＝2kπ＋π2，k ∈Z 且－π<φ≤π，∴当k ＝0时，φ＝π3，f(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎫13x ＋π3，要使f(x)递增，须有2kπ－π2≤13x ＋π3≤2kπ＋π2，k ∈Z ，解之得6kπ－5π2≤x≤6kπ＋π2，k ∈Z ，当k ＝0时，－52π≤x≤π2，∴f(x)在⎣⎡⎦⎤－52π，π2上递增． 16.课标文数11.C4，C5[2011·课标全国卷] 设函数f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4，则( ) A ．y ＝f(x)在⎝⎛⎭⎫0，π2单调递增，其图像关于直线x ＝π4对称 B ．y ＝f(x)在⎝⎛⎭⎫0，π2单调递增，其图像关于直线x ＝π2对称 C ．y ＝f(x)在⎝⎛⎭⎫0，π2单调递减，其图像关于直线x ＝π4对称 D ．y ＝f(x)在⎝⎛⎭⎫0，π2单调递减，其图像关于直线x ＝π2对称 16.解析：f(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋π4＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝2cos2x ，所以y ＝f(x)在⎝⎛⎭⎫0，π2内单调递减， 又f ⎝⎛⎭⎫π2＝2cosπ＝－2，是最小值．所以函数y ＝f(x)的图像关于直线x ＝π2对称． 17.课标数学15.C5，C7[2011·江苏卷] 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.(1)若sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π6＝2cosA, 求A 的值； (2)若cosA ＝13，b ＝3c ，求sinC 的值． 17.解答：(1)由题设知sinAcos π6＋cosAsin π6＝2cosA.从而sinA ＝3cosA ，所以cosA≠0，tanA ＝3，因为0＜A ＜π，所以A ＝π3.(2)由cosA ＝13，b ＝3c 及a 2＝b 2＋c 2－2bccosA ，得a 2＝b 2－c 2.故△ABC 是直角三角形，且B ＝π2，所以sinC ＝cosA ＝13.18.课标文数9.C2，C6[2011·福建卷] 若α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且sin 2α＋cos2α＝14，则tanα的值等于( ) A.22 B.33C. 2D. 318.解析：因为sin 2α＋cos2α＝sin 2α＋1－2sin 2α＝1－sin 2α＝cos 2α，∴cos 2α＝14，sin 2α＝1－cos 2α＝34，∵α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴cosα＝12，sinα＝32，tanα＝sinαcosα＝3，故选D. 19.课标文数7.C1，C6[2011·课标全国卷] 已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y ＝2x 上，则cos2θ＝( )A ．－45B ．－35 C.35 D.4519.解析：解法1：在角θ终边上任取一点P(a,2a)(a≠0)，则r 2＝||OP 2＝a 2＋(2a)2＝5a 2，∴cos 2θ＝a 25a 2＝15，∴cos2θ＝2cos 2θ－1＝25－1＝－35.解法2：tanθ＝2a a ＝2，cos2θ＝cos 2θ－sin 2θcos 2θ＋sin 2θ＝1－tan 2θ1＋tan 2θ＝－35. 20.课标数学7.C6[2011·江苏卷] 已知tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝2, 则tanx tan2x的值为________． 20.解析：因为tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝2，所以tanx ＝13，tan2x ＝2×131－19＝2389＝34，即tanx tan2x ＝49. 21.课标文数16.C7[2011·广东卷] 已知函数f(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎫13x －π6，x ∈R .(1)求f(0)的值；(2)设α，β∈⎣⎡⎦⎤0，π2，f ⎝⎛⎭⎫3α＋π2＝1013，f(3β＋2π)＝65，求sin(α＋β)的值． 21.解答：(1)f(0)＝2sin ⎝⎛⎭⎫－π6＝－2sin π6＝－1. (2)∵1013＝f3α＋π2＝2sin 13×3α＋π2－π6＝2sinα， 65＝f(3β＋2π)＝2sin 13×(3β＋2π)－π6＝2sinβ＋π2＝2cosβ，∴sinα＝513，cosβ＝35，又α，β∈⎣⎡⎦⎤0，π2， ∴cosα＝1－sin 2α＝1－⎝⎛⎭⎫5132＝1213， sinβ＝1－cos 2β＝1－⎝⎛⎭⎫352＝45，故sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ＝513×35＋1213×45＝6365. 22.课标数学15.C5，C7[2011·江苏卷] 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.(1)若sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π6＝2cosA, 求A 的值； (2)若cosA ＝13，b ＝3c ，求sinC 的值． 22.解答：(1)由题设知sinAcos π6＋cosAsin π6＝2cosA.从而sinA ＝3cosA ，所以cosA≠0，tanA ＝3，因为0＜A ＜π，所以A ＝π3. (2)由cosA ＝13，b ＝3c 及a 2＝b 2＋c 2－2bccosA ， 得a 2＝b 2－c 2.故△ABC 是直角三角形，且B ＝π2， 所以sinC ＝cosA ＝13.23.课标文数16.C8[2011·安徽卷] 在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边长，a ＝3，b ＝2， 1＋2cos(B ＋C)＝0，求边BC 上的高．23.解答：由1＋2cos(B ＋C)＝0和B ＋C ＝π－A ，得1－2cosA ＝0，cosA ＝12，sinA ＝32.再由正弦定理，得sinB ＝bsinA a ＝22. 由b<a 知B<A ，所以B 不是最大角，B<π2，从而cosB ＝1－sin 2B ＝22.由上述结果知sinC ＝sin(A ＋B)＝22⎝⎛⎭⎫32＋12.设边BC 上的高为h ，则有h ＝bsinC ＝3＋12.24.课标文数9.C8[2011·北京卷] 在△ABC 中，若b ＝5，∠B ＝π4，sinA ＝13，则a ＝________.24.解析：由正弦定理有：a sinA ＝b sinB ，即a 13＝522，得a ＝523.25.大纲文数18.C8[2011·全国卷] △ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，asinA ＋csinC －2asinC ＝bsinB. (1)求B ； (2)若A ＝75°，b ＝2，求a ，c.25.解答：由正弦定理得a 2＋c 2－2ac ＝b 2.由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2accosB.故cosB ＝22，因此B ＝45°.c os45°故a ＝b×sinA sinB ＝2＋62＝1＋3， c ＝b×sinC sinB ＝2×sin60°sin45°＝ 6.26.课标文数14.C8[2011·福建卷] 若△ABC 的面积为3，BC ＝2，C ＝60°，则边AB 的长度等于________．26.解析：方法一：由S △ABC ＝12AC·BCsinC ，得12AC·2sin60°＝3，解得AC ＝2.由余弦定理，得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC·BCcos60°＝22＋22－2×2×2×12＝4，∴ AB ＝2，即边AB 的长度等于2.方法二：由S △AB C ＝12AC·BCsinC ，得12AC·2sin60°＝3，解得AC ＝2.∴AC ＝BC ＝2, 又∠ACB ＝60°，∴△ABC 是等边三角形，AB ＝2，即边AB 的长度等于2. 27.课标文数16.C8[2011·湖北卷] 设△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知a ＝1，b ＝2，cosC ＝14.(1)求△ABC 的周长； (2)求cos(A －C)的值．27.解答：(1)∵c 2＝a 2＋b 2－2abcosC ＝1＋4－4×14＝4，∴c ＝2，∴△ABC 的周长为a ＋b ＋c ＝1＋2＋2＝5.(2)∵cosC ＝14，∴sinC ＝1－cos 2C ＝1－⎝⎛⎭⎫142＝154，∴sinA ＝asinC c ＝1542＝158. ∵a<c ，∴A<C ，故A 为锐角，∴cosA ＝1－sin 2A ＝1－⎝⎛⎭⎫1582＝78. ∴cos(A －C)＝cosAcosC ＋sinAsinC ＝78×14＋158×154＝1116.28.课标文数17.C8，C4[2011·湖南卷] 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足csinA ＝acosC.(1)求角C 的大小； (2)求3sinA －c os ⎝⎛⎭⎫B ＋π4的最大值，并求取得最大值时角A ，B 的大小． 28.解答：(1)由正弦定理得sinCsinA ＝sinAcosC. 因为0<A<π，所以sinA>0. 从而sinC ＝cosC.又cosC≠0，所以tanC ＝1，则C ＝π4.(2)由(1)知，B ＝3π4－A ，于是 3sinA －cos ⎝⎛⎭⎫B ＋π4＝3sinA －cos(π－A)＝3sinA ＋cosA ＝2sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π6. 因为0<A<3π4，所以π6<A ＋π6<11π12.从而当A ＋π6＝π2，即A ＝π3时，2sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π6取最大值2. 综上所述，3sinA －cos ⎝⎛⎭⎫B ＋π4的最大值为2，此时A ＝π3，B ＝5π12. 29.课标文数17.C8[2011·辽宁卷] △ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，asinAsinB ＋bcos 2A ＝2a.(1)求ba； (2)若c 2＝b 2＋3a 2，求B.29.解答：(1)由正弦定理得，sin 2AsinB ＋sinBcos 2A ＝2sinA ，即sinB(sin 2A ＋cos 2A)＝2sinA.故sinB ＝2sinA ，所以ba ＝ 2.(2)由余弦定理和c 2＝b 2＋3a 2，得cosB ＝＋32c.由(1)知b 2＝2a 2，故c 2＝(2＋3)a 2. 可得cos 2B ＝12，又cosB ＞0，故cosB ＝22，所以B ＝45°.30.课标文数15.C8[2011·课标全国卷] △ABC 中，B ＝120°，AC ＝7，AB ＝5，则△ABC 的面积为________．30.解析：解法1：由正弦定理，有AC sinB ＝AB sinC ，即7sin120°＝5sinC ，所以sinC ＝5sin120°7＝5314，所以cosC ＝1－sin 2C ＝1－⎝⎛⎭⎫53142＝1114，又因为A ＋B ＋C ＝180°，所以A ＋C ＝60°， 所以sinA ＝sin(60°－C)＝sin60°cosC －cos60°sinC ＝32×1114－12×5314＝3314，所以S △ABC ＝12AB·ACsinA ＝12×5×7×3314＝1534.解法2：设BC ＝x(x>0)，由余弦定理，有cos120°＝52＋x 2－7210x ，整理得x 2＋5x －24＝0，解得x ＝3，或x ＝－8(舍去)，即BC ＝3，所以S △ABC ＝12AB·BCsinB ＝12×5×3×sin120°＝12×5×3×32＝1534.31.课标文数17.C8[2011·山东卷] 在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.已知cosA －2cosC cosB ＝2c －ab.(1)求sinC sinA 的值； 你(2)若cosB ＝14，△ABC 的周长为5，求b 的长．31.解答：(1)由正弦定理，设a sinA ＝b sinB ＝csinC ＝k.则2c －a b ＝2ksinC －ksinA ksinB ＝2sinC －sinA sinB.所以原等式可化为cosA －2cosC cosB ＝2sinC －sinAsinB.即(cosA －2cosC)sinB ＝(2sinC －sinA)cosB ，化简可得sin(A ＋B)＝2sin(B ＋C)， 又因为A ＋B ＋C ＝π，所以原等式可化为sinC ＝2sinA ， 因此sinCsinA＝2.(2)由正弦定理及sinC sinA ＝2得c ＝2a ，由余弦定理及cosB ＝14得b 2＝a 2＋c 2－2accosB ＝a 2＋4a 2－4a 2×14＝4a 2.所以b ＝2a.又a ＋b ＋c ＝5.从而a ＝1，因此b ＝2. 32.大纲文数8.C8[2011·四川卷] 在△ABC 中，sin 2A≤sin 2B ＋sin 2C －sinBsinC ，则A 的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎤0，π6B.⎣⎡⎭⎫π6，πC.⎝⎛⎦⎤0，π3D.⎣⎡⎭⎫π3，π 32.解析：根据正弦定理有a 2≤b 2＋c 2－bc ，由余弦定理可知a 2＝b 2＋c 2－2bccosA ，所以b 2＋c 2－2bccosA≤b 2＋c 2－bc ，即有cosA≥12，所以角A 的取值范围为⎝⎛⎦⎤0，π3，选择C. 33.课标文数5.C8[2011·浙江卷] 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.若acosA ＝bsinB ，则si nAcosA＋cos 2B ＝( )A ．－12 B.12C ．－1D ．133.解析：∵acosA ＝bsinB ，∴sinAcosA ＝sin 2B ，∴sinAcosA ＋cos 2B ＝sin 2B ＋cos 2B ＝1. 34.大纲文数8.C8[2011·重庆卷] 若△ABC 的内角A 、B 、C 满足6sinA ＝4sinB ＝3sinC ，则cos B ＝( )A.154B.34C.31516D.111634.解析：由正弦定理得sinA ＝a 2R ，sinB ＝b 2R ，sinC ＝c2R，代入6sinA ＝4sinB ＝3sinC ，得6a ＝4b ＝3c ，∴b ＝32a ，c ＝2a ， 由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2accosB ，①将b ＝32a ，c ＝2a 代入①式，解得cosB ＝1116.故选D.35.课标文数21.E5，C9[2011·福建卷] 设函数f(θ)＝3sinθ＋c osθ，其中，角θ的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴非负半轴重合，终边经过点P(x ，y)，且0≤θ≤π. (1)若点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫12，32，求f(θ)的值；(2)若点P(x ，y)为平面区域Ω：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y≥1，x≤1，y≤1上的一个动点试确定角θ的取值范围，并求函数f(θ)的最小值和最大值．35.解答：(1)由点P 的坐标和三角函数的定义可得⎩⎨⎧sinθ＝32，cosθ＝12.于是f(θ)＝3sinθ＋cosθ＝3×32＋12＝2.(2)作出平面区域Ω(即三角形区域ABC)如图1－7所示，其中A(1,0)，B(1,1)，C(0,1)．于是0≤θ≤π2.又f(θ)＝3sinθ＋cosθ＝2sin⎝⎛⎭⎫θ＋π6，且π6≤θ＋π6≤2π3，故当θ＋π6＝π2，即θ＝π3时，f(θ)取得最大值，且最大值等于2；当θ＋π6＝π6，即θ＝0时，f(θ)取得最小值，且最小值等于1.36.课标文数17.C9[2011·江西卷] 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知3acosA ＝ccosB ＋bcosC.(1)求cosA 的值； (2)若a ＝1，cosB ＋cosC ＝233，求边c 的值．36.解答：(1)由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2accosB ，c 2＝a 2＋b 2－2abcosC ，有ccosB ＋bcosC ＝a ，代入已知条件得3acosA ＝a ，即cosA ＝13.cosC 得cosC ＋2sinC ＝3，从而得sin(C ＋φ)＝1，其中sinφ＝33，cosφ＝63，0<φ<π2.则C ＋φ＝π2，于是sinC ＝63，由正弦定理得c ＝asinC sinA ＝32.37.大纲文数18.C9[2011·四川卷] 已知函数f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋7π4＋cos ⎝⎛⎭⎫x －3π4，x ∈R . (1)求f(x)的最小正周期和最小值；(2)已知cos(β－α)＝45，cos(β＋α)＝－45，0<α<β≤π2.求证：[f(β)]2－2＝0.37.解答：(1)∵f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋7π4－2π＋sin ⎝⎛⎭⎫x －3π4＋π2＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4＋sin ⎝⎛⎭⎫x －π4＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4， ∴T ＝2π，f(x)的最小值为－2.(2)由已知得cosβcosα＋sinβsinα＝45， cosβcosα－sinβsinα＝－45.两式相加得2cosβcosα＝0.∵0＜α＜β≤π2，∴β＝π2.∴[f(β)]2－2＝4sin 2π4－2＝0.38.课标文数16.C9[2011·天津卷] 在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.已知B ＝C,2b ＝3a.(1)求cosA 的值； (2)求cos ⎝⎛⎭⎫2A ＋π4的值． 38.解答：(1)由B ＝C ，2b ＝3a ，可得c ＝b ＝32a. 所以cosA ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝34a 2＋34a 2－a 22×32a×32a ＝13.(2)因为cosA ＝13，A ∈(0，π)，所以sinA ＝1－cos 2A ＝223，故cos2A ＝2cos 2A －1＝－79.sin2A ＝2sinAcosA ＝429.所以cos ⎝⎛⎭⎫2A ＋π4＝cos2Acos π4－sin2Asin π4＝⎝⎛⎭⎫－79×22－429×22＝－8＋7218. 39.大纲文数18.C9[2011·重庆卷] 设函数f(x)＝sinxcosx －3cos(x ＋π)cosx(x ∈R )． (1)求f(x)的最小正周期；(2)若函数y ＝f(x)的图象按b ＝⎝⎛⎭⎫π4，32平移后得到函数y ＝g(x)的图象，求y ＝g(x)在⎣⎡⎦⎤0，π4上的最大值． 39.解答：(1)f(x)＝12sin2x ＋3cos 2x ＝12sin2x ＋32(1＋cos2x)＝12sin2x ＋32cos2x ＋32＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋32. 故f(x)的最小正周期为T ＝2π2＝π.(2)依题意g(x)＝f ⎝⎛⎭⎫x －π4＋32＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π4＋π3＋32＋32＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋ 3. 当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π4时，2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－π6，π3，g(x)为增函数，所以g(x)在⎣⎡⎦⎤0，π4上的最大值为g ⎝⎛⎭⎫π4＝332.。
高考大题训练(三角函数教师版)共30题王斌高考总复习高考最后冲刺
1．（2010天津文）（17）（本小题满分12分） 在∆ABC 中，cos cos AC BAB C=。
（Ⅰ）证明B=C ： （Ⅱ）若cos A =-13，求sin 4B 3π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值。
【解析】本小题主要考查正弦定理、两角和与差的正弦、同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦与余弦等基础知识，考查基本运算能力.满分12分. （Ⅰ）证明：在△ABC 中，由正弦定理及已知得s i n B s i n C =cosBcosC.于是sinBcosC-cosBsinC=0，即sin （B-C ）=0.因为B C ππ-<-<，从而B-C=0. 所以B=C.（Ⅱ）解：由A+B+C=π和（Ⅰ）得A=π-2B,故cos2B=-cos （π-2B ）=-cosA=13.又0<2B<π,于是=3.从而sin4B=2sin2Bcos2B=9，cos4B=227cos 2sin 29B B -=-.所以sin(4)sin 4coscos 4sin333B B B πππ+=+=2．(2009四川卷文）在ABC ∆中，A B 、为锐角，角A B C 、、所对的边分别为a b c 、、，且sin A B == （I ）求A B +的值；（II ）若1a b -=，求a b c 、、的值。
解（I ）∵A B 、为锐角，sin A B ==∴ cos A B ====cos()cos cos sin sin 5105102A B A B A B +=-=⨯-⨯=∵ 0A B π<+< ∴ 4A B π+=…………………………………………6分（II ）由（I ）知34C π=，∴sin C =由sin sin sin a b cA B C==得==，即,a c ==又∵1a b -=∴1b -= ∴ 1b =∴a c ==…………………………………………12分.3．（2008江苏）如图，在平面直角坐标系xoy 中，以ox 轴为始边做两个锐角,αβ，它们的终边分别与单位圆相交于A ，B 两点，已知A ，B（1） 求tan()αβ+的值； （2） 求2αβ+的值。
2013年三角函数(文科)教师版
C 单元 三角函数C1 角的概念及任意的三角函数1．C1，C2，C6[2013·四川卷] 设sin 2α＝－sin α，α∈π2，π，则tan 2α的值是________． 1.3 [解析] 方法一：由已知sin 2α＝－sin α，即2sin αc os α＝－sin α，又α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，故sin α≠0，于是cos α＝－12，进而sin α＝32，于是tan α＝－3，所以tan 2α＝2tan α1－tan 2 α＝2×（－3）1－3＝ 3. 方法二：同上得cos α＝－12，又α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，可得α＝2π3，所以tan 2α＝tan 4π3＝ 3. C2 同角三角函数的基本关系式与诱导公式2．C2[2013·全国卷] 已知α是第二象限角，sin α＝513，则cos α＝( ) A ．－1213 B ．－513 C.513 D.12132．A [解析] cos α＝－1－sin 2 α＝－1213. 3．C2，C5[2013·广东卷] 已知函数f(x)＝2cos ⎝⎛⎭⎫x －π12，x ∈R . (1)求f ⎝⎛⎭⎫π3的值； (2)若cos θ＝35，θ∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π，求f ⎝⎛⎭⎫θ－π6. 3．解：C3 三角函数的图像与性质4．C3[2013·江苏卷] 函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的最小正周期为________． 4．π [解析] 周期为T ＝2π2＝π. 5．C3[2013·辽宁卷] 设向量a ＝(3sin x ，sin x)，b ＝(cos x ，sin x)，x ∈0，π2. (1)若|a|＝|b|，求x 的值；(2)设函数f(x)＝a·b ，求f(x)的最大值．5．解：(1)由|a|2＝(3sin x)2＋(sin x)2＝4sin 2 x ，|b|2＝(cos x)2＋(sin x)2＝1.及|a|＝|b|，得4sin 2 x ＝1.又x ∈0，π2，从而sin x ＝12，所以x ＝π6.(2)f(x)＝a·b ＝3sin x·cos x ＋sin 2x ＝32sin 2x －12cos 2x ＋12＝sin2x －π6＋12，当x ＝π3∈0，π2时，sin2x －π6取最大值1.所以f(x)的最大值为32. 6．C3[2013·山东卷] 函数y ＝xcos x ＋sin x 的图像大致为( )6．D [解析] ∵f(－x)＝－xcos(－x)＋sin(－x)＝－(xcos x ＋sin x)＝－f(x)，∴y ＝xcos x ＋sin x 为奇函数，图像关于原点对称，排除选项B ，当x ＝π2，y ＝1>0，x ＝π，y ＝－π<0，故选D. 7．C3、C5、C9[2013·新课标全国卷Ⅰ] 设当x ＝θ时，函数f(x)＝sin x －2cos x 取得最大值，则cos θ＝________．7．－2 55 解析 f(x)＝sin x －2cos x ＝5⎝⎛⎭⎫15sin x －25cos x ，令cos α＝15，sin α＝25，则f(x)＝5sin(x －α)．当θ－α＝2kπ＋π2，即θ＝2kπ＋π2＋α(上述k 为整数)时，f(x)取得最大值，此时 cos θ＝－sin α＝－2 55.C4 函数 的图象与性质8．C4[2013·安徽卷] 设函数f(x)＝sin x ＋sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3. (1)求f(x)的最小值，并求使f(x)取最小值的x 的集合；(2)不画图，说明函数y ＝f(x)的图像可由y ＝sin x 的图像经过怎样的变化得到．8．解：(1)因为f(x)＝sin x ＋12sin x ＋32cos x ＝32sin x ＋32cos x ＝3sinx ＋π6，所以当x ＋π6＝2kπ－π2(k ∈Z)，即x ＝2kπ－2π3(k ∈Z)时，f(x)取得最小值－ 3.此时x 的取值集合为(2)先将y ＝sin x 的图像上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍(横坐标不变)，得y ＝3sin x 的图像；再将y ＝3sin x 的图像上所有的点向左平移π6个单位，得y ＝f(x)的图像． 9．C4，C5，C6，C7[2013·北京卷] 已知函数f(x)＝(2cos 2x －1)sin 2x ＋12cos 4x. (1)求f(x)的最小正周期及最大值；(2)若α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，且f(α)＝22，求α的值． 9．解：(1)因为f(x)＝(2cos 2 x －1)sin 2x ＋12cos 4x ＝cos 2x·sin 2x ＋12cos 4x ＝12(sin 4x ＋cos 4x)＝22sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π4， 所以f(x)的最小正周期为π2，最大值为22.(2)因为f(α)＝22，所以sin ⎝⎛⎭⎫4α＋π4＝1.因为α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，所以4α＋π4∈⎝⎛⎭⎫9π4，17π4.所以4α＋π4＝5π2.故α＝9π16. 10．C4[2013·全国卷] 若函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0)的部分图像如图1－1所示，则ω＝( )A ．5B ．4C ．3D ．210．B [解析] 根据对称性可得π4为已知函数的半个周期，所以2πω＝2×π4，解得ω＝4. 11．C4[2013·福建卷] 将函数f(x)＝sin(2x ＋θ)⎝⎛⎭⎫－π2<θ<π2的图像向右平移φ(φ>0)个单位长度后得到函数g(x)的图像．若f(x)，g(x)的图像都经过点P ⎝⎛⎭⎫0，32，则φ的值可以是( ) A.5π3 B.5π6 C.π2 D.π611．B [解析] g(x)＝f(x －φ)＝sin[2(x －φ)＋θ]，由sin θ＝32，－π2<θ<π2，得θ＝π3，又sin(θ－2φ)＝32，结合选项，知φ的一个值为5π6，故选B. 12．C4[2013·湖北卷] 将函数y ＝3cos x ＋sin x(x ∈R )的图像向左平移m(m ＞0)个单位长度后，所得到的图像关于y 轴对称，则m 的最小值是( )A.π12B.π6C.π3D.5π612．B [解析] 结合选项，将函数y ＝3cos x ＋sin x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的图像向左平移π6个单位得到y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝2cos x ，它的图像关于y 轴对称，选B.13．C4[2013·江西卷] 设f(x)＝3sin 3x ＋cos 3x ，若对任意实数x 都有|f(x)|≤a ，则实数a 的取值范围是________．13．a≥2 [解析] |f(x)|max ＝2，则a≥2.14．C4[2013·新课标全国卷Ⅱ] 函数y ＝cos(2x ＋φ)(－π≤φ＜π)的图像向右平移π2个单位后，与函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图像重合，则φ＝________.14.5π6 [解析] 由已知，y ＝cos(2x ＋φ)的图像向右平移π2得到y ＝cos(2x －π＋φ)＝－cos(2x ＋φ)．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝－cos ⎝⎛⎭⎫π2＋2x ＋π3＝－cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋56π，两个函数图像重合，故φ＝56π. 15．C4，C7[2013·山东卷] 设函数f(x)＝32－3sin 2 ωx －sin ωx cos ωx(ω>0)，且y ＝f(x)图像的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4.(1)求ω的值；(2)求f(x)在区间π，3π2上的最大值和最小值． 15．解：(1)f(x)＝32－3sin 2ωx －sin ωxcos ωx ＝32－3·1－cos 2ωx 2－12sin 2ωx ＝32cos 2ωx －12sin 2ωx ＝－sin ⎝⎛⎭⎫2ωx －π3.因为图像的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4，又ω＞0，所以2π2ω＝4×π4.因此ω＝1. (2)由(1)知f(x)＝－sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3.当π≤x≤3π2时，5π3≤2x －π3≤8π3.所以－32≤sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3≤1.[来源:学,科,网]因此－1≤f(x)≤32. 故f(x)在区间⎣⎡⎦⎤π，3π2上的最大值和最小值分别为32，－1. 16．C4[2013·天津卷] 函数f(x)＝sin2x －π4在区间0，π2上的最小值为( ) A ．－1 B ．－22 C.22D ．0 16．B [解析] ∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴2x －π4∈⎣⎡⎦⎤－π4，3π4，当2x －π4＝－π4时，f(x)有最小值－22.17．C4[2013·四川卷] 函数f(x)＝2sin(ωx ＋φ)ω>0，－π2<φ<π2的部分图像如图1－3所示，则ω，φ的值分别是( ) A ．2，－π3 B ．2，－π6 C ．4，－π6 D ．4，π317．A [解析] 由半周期T 2＝11π12－5π12＝π2，可知周期T ＝π，从而ω＝2，于是f(x)＝2sin(2x ＋φ)．当x ＝5π12时，f ⎝⎛⎭⎫5π12＝2，即sin ⎝⎛⎭⎫5π6＋φ＝1，于是5π6＋φ＝2kπ＋π2(k ∈Z)，因为－π2<φ<π2，取k ＝0，得φ＝－π3. 18．F3，C4[2013·陕西卷] 已知向量a ＝⎝⎛⎭⎫cos x ，－12，b ＝(3sin x ，cos 2x)，x ∈R ，设函数f(x)＝a·b . (1)求f (x)的最小正周期； (2)求f(x)在⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值和最小值． 18．解： f(x)＝⎝⎛⎭⎫cos x ，－12·(3sin x ，cos 2x)＝3cos xsin x －12cos 2x ＝32sin 2x －12cos 2x ＝cos π6sin 2x －sin π6cos 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6.(1)f(x)的最小正周期为T ＝2πω＝2π2＝π，即函数f(x)的最小正周期为π.(2)∵0≤x≤π2，∴－π6≤2x －π6≤5π6. 由正弦函数的性质，当2x －π6＝π2，即x ＝π3时，f(x)取得最大值1.当2x －π6＝－π6，即x ＝0时，f(0)＝－12，当2x －π6＝56π，即x ＝π2时，f ⎝⎛⎭⎫π2＝12，∴f(x)的最小值为－12.因此，f(x)在0，π2上最大值是1，最小值是－12. 19．C4[2013·浙江卷] 函数f(x)＝sin xcos x ＋32cos 2x 的最小正周期和振幅分别是( ) A ．π，1 B ．π，2 C ．2π，1 D ．2π，219．A [解析] f(x)＝12sin 2x ＋32cos 2x ＝sin2x ＋π3，则最小正周期为π；振幅为1，所以选择A. C5 两角和与差的正弦、余弦、正切20．C5[2013·江西卷] 若sin α2＝33，则cos α＝( ) A ．－23 B ．－13 C.13 D.2320．C [解析] cos α＝1－2sin 2 α2＝13，故选C. 21．C5，C8，F1[2013·四川卷] 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos(A －B)cos B －sin(A －B)sin(A＋C)＝－35.(1)求sin A 的值；(2)若a ＝4 2，b ＝5，求向量BA →在BC →方向上的投影． 21．解：(1)由cos(A －B)cos B －sin(A －B)sin(A ＋C)＝－35，得cos(A －B)cos B －s in(A －B)sin B ＝－35. 则cos(A －B ＋B)＝－35，即cos A ＝－35.又0<A<π，则sin A ＝45.(2)由正弦定理，有a sin A ＝b sin B， 所以，sin B ＝bsin A a ＝22.由题知a>b ，则A>B ，故B ＝π4.根据余弦定理，有(4 2)2＝52＋c 2－2×5c×⎝⎛⎭⎫－35， 解得c ＝1或c ＝－7(负值舍去)．故向量BA →在BC →方向上的投影为|BA →|cos B ＝22. 22．C5和C8[2013·重庆卷] 在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a 2＝b 2＋c 2＋3bc.(1)求A ；(2)设a ＝3，S 为△ABC 的面积，求S ＋3cos Bcos C 的最大值，并指出此时B 的值．22．解：(1)由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－3bc 2bc ＝－32.又因为0<A<π，所以A ＝5π6.(2)由(1)得sin A ＝12，又由正弦定理及a ＝3得S ＝12bcsin A ＝12·asin B sin A·asin C ＝3sin Bsin C ，因此，S ＋3cos Bcos C ＝3(sin Bsin C ＋cos Bcos C)＝3cos(B －C)．所以，当B ＝C ，即B ＝π－A 2＝π12时，S ＋3cos Bcos C 取最大值3. C6 二倍角公式23．C6[2013·新课标全国卷Ⅱ] 已知sin 2α＝23，则cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π4＝( ) A.16 B.13 C.12 D.2323．A [解析] cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π4＝1＋cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π22＝1－sin 2α2＝16，故选A. 24．C6、E1和E3[2013·重庆卷] 设0≤α≤π，不等式8x 2－(8sin α)x ＋cos 2α≥0对x ∈R 恒成立，则α的取值范围为________．24.⎣⎡⎦⎤0，π6∪⎣⎡⎦⎤5π6，π [解析] 根据二次函数的图像可得Δ＝(8sin α)2－4×8cos 2α≤0，即2sin 2 α－cos 2α≤0，转化为2sin 2 α－(1－2sin 2 α)≤0，即4sin 2α≤1，即－12≤sin α≤12.因为0≤α≤π，故α∈⎣⎡⎦⎤0，π6∪⎣⎡⎦⎤5π6，π. C7 三角函数的求值、化简与证明25．C7、C8[2013·全国卷] 设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，(a ＋b ＋c)(a －b ＋c)＝ac.(1)求B ；(2)若sin Asin C ＝3－14，求C. 25．解：(1)因为(a ＋b ＋c)(a －b ＋c)＝ac ，所以a 2＋c 2－b 2＝－ac.由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝－12，因此B ＝120°.(2)由(1)知A ＋C ＝60°，所以cos (A －C)＝cos Acos C ＋sin Asin C ＝cos Acos C －sin Asin C ＋2sin Asin C＝cos(A ＋C)＋2sinAsin C ＝12＋2×3－14＝32，故A －C ＝30°或A －C ＝－30°，因此C ＝15°或C ＝45°. 26．C7，C8[2013·天津卷] 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c.已知bsin A ＝3csin B ，a ＝3，cos B ＝23.(1)求b 的值；(2)求sin2B －π3的值． 26．解：(1)在△ABC 中，由a sin A ＝b sin B，可得bsin A ＝asin B ，又由bsin A ＝3csin B ，可得a ＝3c ，又a ＝3，故c ＝1.由b 2＝a 2＋c 2－2a ccos B ，cos B ＝23，可得b ＝ 6.(2)由cos B ＝23，得sin B ＝53，进而得cos 2B ＝2cos 2 B －1＝－19，sin 2B ＝2sin Bcos B ＝4 59.所以sin2B －π3＝sin 2Bcos π3－cos 2Bsin π3＝4 5＋318. C8 解三角形27．C8[2013·安徽卷] 设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，若b ＋c ＝2a ，3sin A ＝5sin B ，则角C ＝( )A.π3B.2π3C.3π4D.5π627．B [解析] 根据正弦定理，3sin A ＝5sin B 可化为3a ＝5b ，又b ＋c ＝2a ，解得b ＝3a 5，c ＝7a 5.令a ＝5t(t>0)，则b ＝3t ，c ＝7t ，在△ABC 中，由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝25t 2＋9t 2－49t 22×5t×3t ＝－12，所以C ＝2π3. 28．C8[2013·北京卷] 在△ABC 中，a ＝3，b ＝5，sin A ＝13，则sin B ＝( ) A.15 B.59 C.53D ．1 28．B [解析] 由正弦定理得a sin A ＝b sin B ，即313＝5sin B ，解得sin B ＝59. 29．C8，C9[2013·福建卷] 如图1－6，在等腰直角△OPQ 中，∠POQ ＝90°，OP ＝2 2，点M 在线段PQ 上．(1)若OM ＝5，求PM 的长；(2)若点N 在线段MQ 上，且∠MON ＝30°，问：当∠POM 取何值时，△OMN 的面积最小？并求出面积的最小值．图1－629．解：(1)在△OMP 中，∠OPM ＝45°，OM ＝5，OP ＝2 2，由余弦定理得，OM 2＝OP 2＋MP 2－2OP·MP·cos45°，得MP 2－4MP ＋3＝0，解得MP ＝1或MP ＝3.(2)设∠POM ＝α，0°≤α≤60°，在△OMP 中，由正弦定理，得OM sin ∠OPM ＝OP sin ∠OMP ，所以OM ＝OPsin 45°sin （45°＋α），同理ON ＝OPsin 45°sin （75°＋α）.故S △OMN ＝12OM·ON·sin ∠MON ＝14×OP 2sin 2 45°sin （45°＋α）sin （75°＋α）＝1sin （45°＋α）sin （45°＋α＋30°）＝1sin （45°＋α）⎣⎡⎦⎤32sin （45°＋α）＋12cos （45°＋α）＝132sin 2（45°＋α）＋12sin （45°＋α）cos （45°＋α）＝1 34[1－cos （90°＋2α）]＋14sin （90°＋2α） ＝1 34＋34sin 2α＋14cos 2α＝1 34＋12sin （2α＋30°）.因为0°≤α≤60°，30°≤2α＋30°≤150°，所以当α＝30°时，sin(2α＋30°)的最大值为1，此时△OMN 的面积取到最小值．即∠POM ＝30°时，△OMN 的面积的最小值为8－4 3.30．C8[2013·湖北卷] 在△ABC 中，角A ，B ，C 对应的边分别是a ，b ，c.已知cos 2A －3cos(B ＋C)＝1.(1)求角A 的大小； (2)若△ABC 的面积S ＝5 3，b ＝5，求sinB sin C 的值．30．解：(1)由cos 2A －3cos(B ＋C)＝1，得2cos 2A ＋3cos A －2＝0，即(2cos A －1)(cos A ＋2)＝0，解得cos A ＝12或cos A ＝－2(舍去)．因为0＜A ＜π，所以A ＝π3.(2)由S ＝12bc sin A ＝12bc·32＝34bc ＝5 3，得bc ＝20，又b ＝5，知c ＝4.由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc·cos A ＝25＋16－20＝21，故a ＝21.又由正弦定理得sin Bsin C ＝b a sin A·c asin A ＝bc a 2sin 2A ＝2021×34＝57. 31．C8[2013·湖南卷] 在锐角△ABC 中，角A ，B 所对的边长分别为a ，b.若2asin B ＝3b ，则角A 等于( ) A.π3 B.π4 C.π6 D.π1231．A [解析]由正弦定理可得2sin Asin B ＝3sin B ．又sin B≠0，所以sin A ＝32.因为A 为锐角，故A ＝π3，选A . 32．C8[2013·江西卷] 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin Asin B ＋sin Bsin C ＋cos 2B ＝1.(1)求证：a ，b ，c 成等差数列； (2)若C ＝2π3，求a b的值． 32．解：(1)证明：由题意得sin Asin B ＋sin Bsin C ＝2sin 2 B ，因为sin B≠0，所以sin A ＋sin C ＝2sin B ，由正弦定理，有a ＋c ＝2b ，即a ，b ，c 成等差数列．(2)由C ＝2π3，c ＝2b －a 及余弦定理得(2b －a)2＝a 2＋b 2＋ab ，即有5ab －3b 2＝0，所以a b ＝35. 33．C8[2013·辽宁卷] 在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.若asin Bco s C ＋csin Bcos A ＝12b ，且a>b ，则∠B ＝( )A.π6B.π3C.2π3D.5π633．A [解析] 由正弦定理可以得到sin Asin Bcos C ＋sin Csin Bcos A ＝12sin B ，所以可以得到sin Acos C ＋sin Ccos A ＝12，即sin(A ＋C)＝sin B ＝12，则∠B ＝π6，故选A. 34．C8[2013·新课标全国卷Ⅱ] △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知b ＝2，B ＝π6，C ＝π4，则△ABC 的面积为( )A ．2 3＋2 B.3＋1 C ．2 3－2 D.3－134．B [解析]b sin B ＝c sin C ＝2 2.又A ＋B ＋C ＝π，∴A ＝712π，∴△ABC 的面积为12×2×2 2×sin 7π12＝22×6＋24＝3＋1. 35．C8[2013·山东卷] △ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.若B ＝2A ，a ＝1，b ＝3，则c ＝( ) A ．2 3 B ．2 C. 2 D ．135．B [解析] 由正弦定理a sinA ＝b sinB ，即1sinA ＝3sinB ＝32sinAcosA ，解之得cosA ＝32，∴A ＝π6，B ＝π3，C ＝π2，∴c ＝a 2＋b 2＝()32＋12＝2.36．C8[2013·陕西卷] 设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若bcos C ＋ccos B ＝asin A ，则△ABC 的形状为( )A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．不确定36．A [解析] 结合已知bco s C ＋ccos B ＝asin A ，所以由正弦定理可知sin B cos C ＋sin Ccos B ＝sin Asin A ，即sin (B ＋C)＝sin 2＝sin 2＝1，故A ＝90°，故三角形为直角三角形．37．H1，C8，E8[2013·四川卷] 在平面直角坐标系内，到点A(1，2)，B(1，5)，C(3，6)，D(7，－1)的距离之和最小的点的坐标是________．37．(2，4) [解析] 在以A ，B ，C ，D 为顶点构成的四边形中，由平面几何知识：三角形两边之和大于第三边，可知当动点落在四边形两条对角线AC ，BD 交点上时，到四个顶点的距离之和最小．AC 所在直线方程为y ＝2x ，BD 所在直线方程为y ＝－x ＋6，交点坐标为(2，4)，即为所求．38．C8[2013·新课标全国卷Ⅰ] 已知锐角△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，23cos 2 A ＋cos 2A ＝0，a ＝7，c ＝6，则b ＝( )A ．10B ．9C ．8D ．538．D [解析] 由23cos 2A ＋cos 2A ＝0，得25cos 2A ＝1.因为△ABC 为锐角三角形，所以cos A ＝15.在△ABC 中，根据余弦定理，得49＝b 2＋36－12b×15，即b 2－125b －13＝0，解得b ＝5或－135(舍去)． 39．C8[2013·浙江卷] 在锐角△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2asin B ＝ 3b.(1)求角A 的大小； (2)若a ＝6，b ＋c ＝8，求△ABC 的面积．39．解：(1)由2asin B ＝ 3b 及正弦定理a sin A ＝b sin B ，得sin A ＝ 32.因为A 是锐角，所以A ＝π3. (2)由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A 得b 2＋c 2－bc ＝36.又b ＋c ＝8，所以bc ＝283. 由三角形面积公式S ＝12bcsin A ，得△ABC 的面积为7 33. C9 单元综合40．C9[2013·江苏卷] 如图1－4，游客从某旅游景区的景点A 处下山至C 处有两种路径．一种是从A 沿直线步行到C ，另一种是先从A 沿索道乘缆车到B ，然后从B 沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A 处下山，甲沿AC 匀速步行，速度为50 m/min.在甲出发2 min 后，乙从A 乘缆车到B ，在B 处停留1 min 后，再从B 匀速步行到C.假设缆车匀速直线运动的速度为130 m/min ，山路AC 长为1 260 m ，经测量，cos A ＝1213，cos C ＝35. (1)求索道AB 的长；(2)问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？(3)为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？图1－440．解：(1)在△ABC 中，因为cos A ＝1213，cos C ＝35，所以sin A ＝513，sin C ＝45，从而sin B ＝sin[π－(A ＋C)] ＝sin(A ＋C)＝sin Acos C ＋cos Asin C ＝513×35＋1213×45＝6365.由正弦定理AB sin C ＝AC sin B ，得AB ＝AC sin B ×sin C ＝1 2606365×45＝1 040(m)．所以索道AB 的长为1 040 m.(2)假设乙出发t 分钟后，甲、乙两游客距离为d ，此时，甲行走了(100＋50t)m ，乙距离A 处130t m ，所以由余弦定理得d 2＝(100＋50t)2＋(130t)2－2×130t×(100＋50t)×1213＝200(37t 2－70t ＋50)．因为0≤t≤1 040130，即0≤t≤8，故当t ＝3537(min)时，甲、乙两游客距离最短．(3)由正弦定理BC sin A ＝AC sin B，得 BC ＝AC sin B ×sin A ＝1 2606365×513＝500(m)．乙从B 出发时，甲已走了50×(2＋8＋1)＝550(m)，还需走710 m 才能到达C.设乙步行的速度为v m/min ，由题意得－3≤500v －71050≤3，解得1 25043≤v≤62514，所以为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在⎣⎡⎤1 25043，62514(单位：m/min)范围内．41．C9[2013·江苏卷] 已知a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，0<β<α<π.(1)若|a －b |＝2，求证：a ⊥b ；(2)设c ＝(0，1)，若a ＋b ＝c ，求α，β的值．41．(1)由题|a －b|2＝2，即(a －b)2＝a 2－2a·b ＋b 2＝2.又因为a 2＝b 2＝|a|2＝|b|2＝1，所以2－2a·b ＝2，即a·b ＝0，故a ⊥b.(2)因为a ＋b ＝(cos α＋cos β，sin α＋sin β)＝(0，1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧cos α＋cos β＝0，sin α＋sin β＝1，由此得，cos α＝cos(π－β)，由0<β<π，得0<π－β<π，又0<α<π，故α＝π－β.代入sin α＋sin β＝1得，sin α＝sin β＝12，而α>β，所以α＝5π6，β＝π6. 42．C9[2013·新课标全国卷Ⅰ] 函数f(x)＝(1－cos x)·sin x 在[－π，π]的图像大致为()图1－242．C [解析] 函数f(x)是奇函数，排除选项B.当x ∈[0，π]时f(x)≥0，排除选项A.对函数f(x)求导，得f ′(x)＝sin xsinx ＋(1－cos x)cos x ＝－2cos 2 x ＋cos x ＋1＝－(cos x －1)(2cos x ＋1)，当0<x<π时，若0<x<2π3，则f′(x)>0，若2π3<x<π，则f′(x)<0，即函数在(0，π)上的极大值点是x ＝2π3，故只能是选项C 中的图像． 43．[2013·成都一诊] 已知sin x ＋cos x sin x －cos x＝3，则tan x 的值是( ) A ．3 B ．－3 C ．2 D ．－243．C [解析] 由sin x ＋cos x sin x －cos x ＝3，可变形为sin x cos x ＋1sin x cos x－1＝3，即tan x ＋1tan x －1＝3，解得tan x ＝2 44．[2013·广安一诊] 已知曲线y ＝sin x x在点M(π，0)处的切线为l ，若θ为l 的倾斜角，则点P(sin θ，tan θ)在( ) A ．第四象限 B ．第三象限 C ．第二象限 D ．第一象限44．A [解析] 由题意得y′＝⎝⎛⎭⎫sin x x ′＝（sin x ）′·x －x′·sin x x 2＝xcos x －sin x x 2，所以tan θ＝k l ＝y′|x ＝π＝－ππ2＝－1π<0.又θ为l 的倾斜角，则0<θ<π，所以sin θ>0，所以P(sin θ，tan θ)在第四象限．45．[2013·烟台期中] 函数y ＝sin x 的定义域为[a ，b]，值域为⎣⎡⎦⎤－1，12，则b －a 的最大值与最小值之和等于( ) A ． 4π B. 8π3 C ． 2 π D. 4π345．C [解析] 由正弦函数的图像知(b －a)min ＝π6－⎝⎛⎭⎫－π2＝2π3，(b －a)max ＝π6－(－7π6)＝4π3，所以和为2π.故选C. 46．[2013·许昌模拟] 函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4的单调递减区间为____________________． 46.⎣⎡⎦⎤3π8＋kπ，7π8＋kπ(k ∈Z) [解析] 由π2＋2kπ≤2x －π4≤3π2＋2kπ(k ∈Z)，得3π8＋kπ≤x≤7π8＋kπ(k ∈Z)，即函数的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤3π8＋kπ，7π8＋kπ(k ∈Z)．47．[2013·吉林实验中学二模] 把函数y ＝sin x(x ∈R )的图像上所有点向左平行移动π3个单位长度，再把所得图像上所有点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，得到的图像所表示的函数是( ) A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3，x ∈R B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π6，x ∈R C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，x ∈R D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3，x ∈R 47．C [解析] 将函数y ＝sin x(x ∈R)的图像上所有点向左平移π3个单位长度可得函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的图像，将y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的图像上所有点的横坐标缩小为原来的12(纵坐标不变)，可得函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图像，故选C. 48．[2013·南昌调研] K13－3图是函数y ＝sin(ωx ＋φ)(x ∈R )的部分图像，为了得到这个函数的图像，只要将y ＝sin x(x ∈R )的图像上所有点( )A ．向左平移π3个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变 B ．向左平移π3个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 C ．向左平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变 D ．向左平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 48．A [解析] 由图像可知原函数的周期为T ＝56π＋π6＝π，ω＝2πT ＝2，代入x ＝－π6，由五点法得－π6×2＋φ＝0，解得φ＝π3，原函数的解析式为y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3.将y ＝sin x 的图像向左平移π3个单位长度，再把所得图像上各点的横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，即可得y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图像，故选A.。
高考理科数学复习专题09三角函数(教师版)
2.专题09三角函数【2021年高考全国I卷理数】函数sinxf(x)=一cosxx—在［,］的图像大致为xA.-ITC.门Tsin( x) ( x)【斛析】由 f ( x) 2cos( x) ( x)称,排除A.又fsin x x2cosx x- 1,f(力f(x),得f(x)是奇函数,其图象关于原点对立.........——2 0 ,排除B, C,应选D.1冗【名师点睛】此题考查函数的性质与图象,渗透了逻辑推理、直观想象和数学运算素养,采取性质法或赋值法,利用数形结合思想解题.解答此题时,A,再注意到选项的区别,利用特殊值得正确答案.【2021年高考全国I卷理数】关于函数f(x)先判断函数的奇偶性,得f(x)是奇函数,排除sin |x| |sin x|有下述四个结论:①f(x)是偶函数③f(x)在［,］有4个零点②f(x)在区间(一,)单调递增2④f(x)的最大值为2其中所有正确结论的编号是A.①②④B.②④C.①④D.①③冗当一x2/时,fx九时,fsin sin x sin2sinx,它在区间一22sinx ,它有两个零点:sin x f x , f x为偶函数,故①正确.单调递减,故②错误.0 ；当兀x 0时,f x sin x sinx当 x 2k ,2k k N 时,f x 2sin x ；当 x 2k , 2k 2 k N 时,f x sinx sinx 0,又f x 为偶函数,f x 的最大值为2,故④正确.综上所述,①④正确,应选 C. 【名师点睛】此题也可画出函数f x sin x sinx 的图象(如以下图),由图象可得①④正确.3.【2021年高考全国n 卷理数】以下函数中,以3为周期且在区间(7, 3)单调递增的是A . f(x)=|cos2x|B . f(x)=|sin2x| C. f(x)=cos|x| D . f(x)=sin|x|【答案】A【解析】作出由于 y sin |x|的图象如以下图1,知其不是周期函数,排除 D ；由于y cos|x| cosx,周期为2兀,排除C ； 作出ycos2x|图象如图2,由图象知,其周期为 -,在区间(一,一)单调递增,A 正确；24 2....一 一 一一一,一___ __________ 兀 •一、一作出y sin2x 的图象如图3,由图象知,其周期为 一,在区间(一,一)单调递减,排除 B,2 4 2应选A.2sin x ,它有一个零点:冗,故f x 在有3个零点:,故③错误.图3【名师点睛】此题主要考查三角函数的图象与性质,渗透直观想象、逻辑推理等数学素养,画出各 函数图象,即可作出选择.此题也可利用二级结论：①函数 y f (x)的周期是函数y f(x)周期 的一半；②y sin x 不是周期函数2222I2sin a cos a,又sin cos 1, 5sin a 1,sin a 一,又 sin 0, sin 5B.【名师点睛】此题是对三角函数中二倍角公式、同角三角函数根本关系式的考查,中等难度,判断 正余弦的正负,运算准确性是关键,题目不难,需细心,解决三角函数问题,研究角的范围后得出 三角函数值的正负很关键,切记不能凭感觉.解答此题时,先利用二倍角公式得到正余弦关系,再利用角范围及正余弦平方和为1关系得出答案.5.【2021年高考全国 出卷理数】设函数f x =sin ( x —)( >0),f X 在0,2有且仅有5个零点,下述四个结论:①f x 在(0,2 )有且仅有3个极大值点 ②f x 在(0,2 )有且仅有2个极小值点4. 2021年高考全国n 卷理数】(0, —),2sin2 a=cos2 o+1,贝U sin OF2B.Q2sin2 a cos2 a 1,4sin c cos 2 2cos a.Q 瓜cos 0 0 , sin0,图2③f x在(0, —)单调递增10④的取值范围是［但,29) 5 10其中所有正确结论的编号是A.①④B.②③C.①②③D.①③④【解析】①假设f(x)在［0,2句上有5个零点,可画出大致图象,由图1可知,f(x)在(0,2时有且仅有3个极大值点.故①正确;②由图1、2可知,f (x)在(0,2时有且仅有2个或3个极小值点.故②错误;④当f x =sin ( x -)=0 时, x —=k Tt (kC Z)5 5,所以x由于f(x)在［0,2 句上有5个零点,所以当k=5时,* 2/当k=6时,12,解得—529w —,10故④正确.③函数f x =sin x 一)5 的增区间为:2k z 九10 130 2k7t取k=0,7,12 ,〜71当 一时,单调递增区间为 一冗x 一冗, 5 24 829 ....................... 7 3当 —时,单倜递增区间为 —x x —%,10 29 29一. 一 _.冗 ........... .. .综上可得,f X 在0,— 单调递增.故③正确.所以结论正确的有①③④.故此题正确答案为 D.【名师点睛】此题为三角函数与零点结合问题,难度大,可数形结合,分析得出答案,要求高,理 解深度高,考查数形结合思想.注意此题中极小值点个数是动态的, 易错,正确性考查需认真计算,易出错.6.【2021年高考天津卷理数】函数 f(x) Asin( x )(A 0,0,| | )是奇函数,将f X 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2倍(纵坐标不变),所得图象对应的函数为C.x .假设g x 的最小正周期为2私且g"那么f,2【解析】••• f(x)为奇函数,,f (0) Asin 0, Z, k 0, 0;g(x)八. 1-I- 2冗Asin - x, T -- 2 区22,f(x)32sin2x, f (一)V 2.应选 C.8【名师点睛】此题主要考查函数的性质和函数的求值问题,解题关键是求出函数 g x ,再根据函数性质逐步得出A,,的值即可.17 .【2021年局考全国 出卷理数】假设sin -,那么cos27 - 98 - 9 819 7-9♦ ♦B D1 9 7【解析】cos2 1 2sin 2 1 2 (―)2 —3 9应选B.【名师点睛】此题主要考查三角函数的求值,考查考生的运算求解水平,考查的核心素养是数学运 算.8.【2021年高考全国卷II 理数】假设f x cosx sinx 在 a,a 是减函数,那么a 的最大值是 花A . 一43冗 C.—— 4【答案】A(2)周期T求对称轴.⑶由 2k 冗 2ku k Z花求增区间；由一 2k ：t23冗—2ku k Z 求 2减区间 9.【2021年高考天津理数】将函数 y sin(2x一)的图象向右平移 一个单位长度,所得图象对应的函5 103 5 ............A,在区间［3—,5—］上单调递增4 4,一一 .3 一B .在区间［,］上单调递减4【解析】由于fcosxsinx A /2cos x —,4所以由0 2k/花2kXk Z)得一43冗——2kXk Z), 4因此 a,a兀 ................ TT 一,从而a 的取大值为一, 4应选A.【名师点睛】 解答此题时,先确定三角函数单调减区间, 再根据集合包含关系确定a 的最大值 .函数y Asin B(A 0,.)的性质:⑴ y max =A+B, y min AB .令k 1可得一个单调递增区间为令k 1可得一个单调递减区间为:应选A.【名师点睛】此题主要考查三角函数的平移变换,三角函数的单调区间的判断等知识,意在考查学 生的转化水平和计算求解水平10.【2021年高考浙江卷】函数 y=2"sin2x 的图象可能是C.在区间［3 ......... ,3-］上单调递增D.在区间3 -［斗［万,2 ］上单调递减【解析】由函数图象平移变换的性质可知:sin 2x的图象向右平移二个单位长度之后10的解析式为y sin 2 x7t 10 7t5sin2x .那么函数的单调递增区间满足 2k%2x 2ku花,即 k ：t — x4.......................... 冗函数的单调递减区间满足： 2 k 冗22x 3冗2k 冗—k Z , IP k u — x243冗 k k ——k4A . 【答案】DB.D.f x2忸sin2x 为奇函数,排除选项 A, B ；...兀. 一_ 一一 ... . . .由于x —,冗时,f x 0,所以排除选项C, 2应选D.............. ....................... ............ 冗 ................................ 【名师点睛】解答此题时,先研究函数的奇偶性,再研究函数在 一,冗上的符号,即可作出判断2有关函数图象的识别问题的常见题型及解题思路:(1)由函数的定义域,判断图象的左、右位置,由函数的值域,判断图象的上、下位置; (2)由函数的单调性,判断图象的变化趋势; (3)由函数的奇偶性,判断图象的对称性; (4)由函数的周期性,判断图象的循环往复.C1: y=cos x, C2： y=sin (2x+ 2^),那么下面结论正确的选项是3得到曲线C 2得到曲线C 2得到曲线C 2得到曲线C 2【解析】由于 C I ,C 2函数名不同,所以先将 C 2利用诱导公式转化成与 C I 相同的函数名,那么_ _ 2 7t _ 27t 冗 _ 冗 . .一 .................................. 1 C 2: y sin(2x ——)cos(2x —— 一)cos(2x —),那么由C 1上各点的横坐标缩短到原来的 一3 3 2 6 2,、、. _ . ....... .. 兀. .............. 4 倍变为y cos2x,再将曲线向左平移 一个单位长度得到c 2,应选D.12【名师点睛】对于三角函数图象变换问题,首先要将不同名函数转换成同名函数,利用诱导公式,【解析】令f x 2l x sin2x ,由于x R, f x2 x sin2 x2〞sin2 x11.【2021年高考全国 出理数】曲线 把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变, 再把得到的曲线向右平移 」个单位长度,6B. 把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变, 再把得到的曲线向左平移—个单位长度,12C. 把C 1上各点的横坐标缩短到原来的1 ............. ....... 一倍,纵坐标不变, 2再把得到的曲线向右平移 」个单位长度, 6 D .把C 1上各点的横坐标缩短到原来的1 ............. .......一倍,纵坐标不变, 2再把得到的曲线向左平移—个单位长度,12y Asin x 或 y Acos x b 的形式...,、一...、_ ____________________________ _ 冗(2)求f x Asin( x ) 0的对称轴,只需令 x ku - k Z,求x ；求f(x)的2对称中央的横坐标,只需令 xkXk Z)即可.5.一.一 —兀 兀 . ..需要重点记住sin cos( -),cos sin( -)；另外,在进行图象变换时,提倡先平移后伸 2 2缩,而先伸缩后平移在测试中也经常出现,无论哪种变换,记住每一个变换总是对变量x 而言.12.【2021年高考全国出理数】设函数 f x cos(x1,那么以下结论错误的选项是A. f(x)的一个周期为 2几8B. y f(x)的图象关于直线x 8^对称 3C. f (x 花)的一个零点为x -6D. f(x)在(/)单调递减【答案】D____ _ _ _…… 2兀 _ _ 【解析】函数f (x)的最小正周期为T —— 2/,那么函数f(x)的周期为T 2k ：tk Z ,取k 1,1可得函数f x 的一个周期为 2任,选项A 正确;一…,―......TT函数f (x)图象的对称轴为 x — k u k Z,即x 38关于直线x —对称,选项B 正确；3冗一 一 .一 ..一,ku — k Z ,取k 3,可得y=f(x)的图象 37tcos x37tcos x —,函数f(x)的零点满足x — ku k Z ,即332, 冗. _ 「I x k 冗—k Z,取 k 60,可得f (x-- -一TT ... .冗)的一个零点为x -,选项C 正确;6-,冗时,x -52,4』,函数f (x)在该区间内不单调,选项 D 错误.23 6 3应选D. 【名师点睛】1)求最小正周期时可先把所给三角函数式化为y Asin( x )或 y Acos( x)的形式,那么最小正周期为T奇偶性的判断关键是解析式是否为13.【2021年高考天津卷理数】设函数f(x) 2sin( x ) , x R ,其中0, | | •假设f (一)2,8【解析】由题意得11 8又T 2- 2 ,所以0 1,所以 2,2k 1—,3 12由 得 —,应选A. 12【名师点睛】关于 y Asin( x )的问题有以下两种题型： ①提供函数图象求解析式或参数的取值范围, 一般先根据图象的最高点或最低点确定A,再根据最小正周期求,最后利用最高点或最低点的坐标满足解析式,求出满足条件的的值；②题目用文字表达函数图象的特点,如对称轴方程、曲线经过的点的坐标、最值等,根据题意自己 画出大致图象,然后寻求待定的参变量,题型很活,一般是求 或 的值、函数最值、取值范围等.【2021年高考北京卷理数】函数 f (x) =sin 22x 的最小正周期是 . , 冗 【答案】- 2【解析】函数f x sin 22x 1 co s4x ,周期为-.2 2【名师点睛】此题主要考查二倍角的三角函数公式 ？三角函数的最小正周期公式,属于根底题 .将所 给的函数利用降哥公式进行恒等变形,然后求解其最小正周期即可f( .) 0,且f(x)的最小正周期大于 2 ,那么12B.12C.24D.2414.2k l 一12............ _,其中k 1,k 2 Z ,所以k215. 【2021年高考江苏卷】tan tan —4一,那么sin 2 一 的值是 ▲3 410tan 21类讨论和转化与化归思想解题.由题意首先求得tan 的值,然后利用两角和的正弦公式和二倍角公 式将原问题转化为齐次式求值的问题,最后切化弦求得三角函数式的值即可 16.【2021年高考全国I 理数】 函数f x 2sinx sin2x,那么f x 的最小值是21【斛析】f x 2cos x 2cos 2x 4cos x 2cos x 2 4 cosx 1 cosx 一 ,21 (1)所以当cosx -时函数单调递减,当 cosx 一时函数单调递增,从而得到函数的递减区间为 2 2 2k ：t 55,2kTt - k Z ,函数的递增区间为 2ku -, 2k u - k Z , 33 33tantan tan 1 tan2 「 九 tan 1 tan 13'tan 一—41 tan2 ,或 tan1 .3【解析】由解得tan得 3tan 2 5tan 2 0,sin 2 sin 2花cos- 4 cos2 冗 sin 一4工~2~sin 2 cos2 2sin 2cos cos_■ 2sin2tan1 tan2 2 sin 2 cos当tan2时,上式=立 2 2 2 22 1 221W ；当tan1 ,,, 一时,上式= 32 [—〔3〕2〔J 〕213一10综上,sin、210【名师点睛】 此题考查三角函数的化简求值,渗透了逻辑推理和数学运算素养.采取转化法,利用分_冗 _ . __ ... .x 2k u — ,k Z 时,函数f x 取得最小值,此时 sinx3【名师点睛】该题考查的是有关应用导数研究函数的最小值问题,在求解的过程中,需要明确相关 的函数的求导公式, 需要明白导数的符号与函数的单调性的关系,确定出函数的单调增区间和单调减区间,进而求得函数的最小值点,从而求得相应的三角函数值,代入求得函数的最小值_........................................ .... ................ 7t..7t ........................................... ..17.【2021年高考北京卷理数】设函数 f (x) =cos( x -)(0),假设f(x)f(-)对任意白^实数x 都成64立,那么3的最小值为【名师点睛】此题主要考查三角函数的图象和性质,考查考生的逻辑推理水平以及运算求解水平, 考查的核心素养是逻辑推理、数学运算查的核心素养是数学运算所以当 所以f x .2min二垓",故答案是空3sin2 x 2由于f对任意白^实数x 都成立,所以f -取最大值,4所以-42ku6由于0,所以当 0时,..... ............. 2 w 取取小值为一318.【2021年高考全国出理数】函数cos兀的零点个数为Q0 x花3x619 7t由题可知3x解得xx4」,或7J ,故有3个零点.【名师点睛】 此题主要考查三角函数的图象与性质, 考查数形结合思想和考生的运算求解水平,考19.【2021年高考江苏卷】 函数y sin 2x一〕的图象关于直线x —对称, 23值是减区间.【解析】化简三角函数的解析式:【名师点睛】此题经三角函数式的化简将三角函数的问题转化为二次函数的问题,二次函数、二次 方程与二次不等式统称 三个二次〞,它们常结合在一起,有关二次函数的问题,数形结合,密切联 系图象是探求解题思路的有效方法 .一般从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值 符号四个方面分析.21.【2021年高考北京卷理数】在平面直角坐标系xOy 中,角〞与角3均以Ox 为始边,它们的终边关1于y 轴对称.右sin-,贝U cos( ) =.【解析】由题意可得 sin kXk Z),由于花所以20,【名师点睛】 由对称轴得kXk Z),再根据限制范围求结果.函数y Asin(A>0,3>0)的性质:(1) ymaxAB, y min(2)最小正周期 ⑶由 x-ku k Z~. 一冗 ~2k u k Z 求增区间；由一2k/2 3冗—2k 冗 k 220.【2021年高考全国n 理数】函数x sin 2 x \ 3 cosx3 4(x花0,一2)的最大值是 f x 1 cos 2 x \ 3 cosx cos 2 x _ 3 cosxcosx由自变量的范围:0 -可得: ’2cosx 0,1 ,当cosx 立时, 2函数f x 取得最大值1.1,cos 2是数学运算.23.【2021年高考江苏卷】假设tan(」) 4【考点】两角和的正切公式【名师点睛】三角函数求值的三种类型(2)给值求值：关键是找出式与待求式之间的联系及函数的差异.一般有如下两种思路: ①适当变换式,进而求得待求式的值；②变换待求式,便于将式的值代入,从而到达解题的目的. (3)给值求角：实质是转化为“给值求值〞,先求角的某一函数值, 再求角的范围,进而确定角.24.【2021年高考浙江卷】设函数 f(x) sinx,x R .【解析】 由于和 关于y 轴对称,所sinsincoscos2.2 3(或 cos cos2J ) 3 所以coscos cos sin sin2. 2c • 2/cossin2sin 1【名师点睛】此题考查了角的对称关系,以及诱导公式,常用的一些对称关系包含：假设 边关于y 轴对称,那么冗2ku,k Z ,假设 与 的终边关于x 轴对称,那么2kRk Z ,假设 与 的终边关于原点对称,那么22.【2021年高考全国n 理数】 sin a cos 3 1, cos a sin 3 0 ,那么sin( a3)【解析】由于sin cos 1, cos sin0, 所以sincos1,所以sin因止匕sin1sin cos cos sin 一22cos. 2sin【名师点睛】 此题主要考查三角恒等变换,考查考生分析问题、解决问题的水平, 4考查的核心 【解析】tan tan[( 4)-]tan( ) tan — 4 41 tan( ) tan —4 41 16_ 1」 6(1)给角求值：关键是正确选用公式, 以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数.(1) ［0,2工函数f (x )是偶函数,求 的值;；(2) [1即 sinxcos cosxsin sinxcos cosxsin ,故 2sinxcos 0 , 所以cos 0 . 又 [0, 2冗),1 3cos 2x 『2 3【名师点睛】此题主要考查三角函数及其恒等变换等根底知识,同时考查运算求解水平25.【2021年高考浙江卷】函数f (x) sin 2 x cos 2 x 2V3sin xcosx(x f(—)的值.3f(x)的最小正周期及单调递增区间.单调递增区间是［—k ,2 6 3(2)求函数y［f(x万『［f(x产值域・【解析】(1)由于 f(x sin(x )是偶函数,所以,对任意实数x 都有sin(x ) sin( x ),(1)由.2sin 一3.32 , cos —2.3 2 1 2“于(万)(2)得f (23 )2.(2)由 cos2x.2sin x 与 sin 2x2sin xcosx 得 f (x)cos2x、、3sin2x]•因此,或上7tx127t4sin 27tx 一12sin 2 xcos 2xcos 2x&os2x 2久in2x2因此,函数的值域是［1,3 .3 y ,1 一 ]•(1)求 (2)求2sin(2 x -). 6所以 ^3cosx 3sin x .于是tan x又x 0,冗即x 0时,f x 取到最大值3;5工时,f x 取到最小值 266所以f(x)的最小正周期是 .由正弦函数的性质得 一 2k2-2斛得一k x — k , k63所以,f(x)的单调递增区间是32x -——2k ,k Z , 6 2Z ,[-k ,— k ], k Z . 6 3【名师点睛】此题主要考查了三角函数的化简,以及函数y Asin x的性质,是高考中的常考知识点,属于根底题,强调根底的重要性；三角函数解做题中,涉及到周期,单调性,单调区间 以及最值等考点时,都属于考查三角函数的性质,首先应把它化为三角函数的根本形式即y Asin x ,然后利用三角函数 y Asin u 的性质求解.26.【2021年高考江苏卷】向量a (cosx, sin x),b (3,扃x [0,4(1)假设 a// b,求x 的值; (2)记f(x) a b ,求f (x)的最大值和最小值以及对应的一 5冗 _(1) x ——；(2) x 0 时, 6x 取到最大值3；5冗x ——时,f x 取到最小值 2 J3 . 6(1)由于 a (cosx,sin x),(3, V 3) , all b,假设 cosx 0, 那么 sin x 0 ,与 sin 2 xcos 2 x 1 矛盾,故 cosx0.(2) f (x)a b (cos x,sin x) (3,、3) 3cos x \ 3 sin x「 兀2,3cos(x -).6由于x0,所以 冗 冗7冗x -[-,-],6 6 6从而cos(x27.【2021年高考浙江卷】角 a 的顶点与原点 O 重合,始边与x 轴的非负半轴重合,它的终边过点45)(1)求sin ( a+兀)的值;5 〜(2)右角3满足sin ( a+优=一,求cos 3的值.134【答案】(1) — ; (2) COS5【解析】(1)由角 的终边过点 所以sin( 访 sin【名师点睛】此题主要考查三角函数的定义、诱导公式、两角差的余弦公式,考查考生分析问题、 解决问题的水平,运算求解水平,考查的数学核心素养是数学运算求解三角函数的求值问题时,需综合应用三角函数的定义、诱导公式及三角恒等变换 (1)首先利用三角函数的定义求得 sin ,然后利用诱导公式,计算 sin (妙兀)的值;结合同角三角函数的根本关系,计算 cos( )的值,要注意该值的,利用两角差的余弦公式,通过分类讨论,求得 cosB 的值(1)求cos2的值；(2)求tan( )的值.【答案】(1)—；(2)-.25 11【解析】(1)由于tan 4 , tan §n 一3cos4— cos 356T 16 瓦或cos —3 4『P( -, 一Win5 5(2)由角 由 sin( 由 ( 34的终边过点P( 一,一)得cos 5 5 、5 3 , 、 12)而得.问)行) 得 cos cos( )cossin()sin ,所以cos史或cos6516 65(2)根据sin (廿3)的值, 正负,然后根据 28.【2021年高考江苏卷】为锐角,tan4一,cos( 3所以sin 由于sin 22cos因此tan(因此,tan( ) tan[2 (tan 2 tan( )2"1 tan 2 tan( )11由于tan4-, 八一,所以tan 2 3 2 tan 1 tan 2 24一,7【名师点睛】本小题主要考查同角三角函数关系、两角和(差)及二倍角的三角函数,考查运算求 解水平.三角函数求值的三种类型:(1)给角求值：关键是正确选用公式,以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数. (2)给值求值：关键是找出式与待求式之间的联系及函数的差异. 般有如下两种思路:①适当变换式,进而求得待求式的值;②变换待求式,便于将式的值代入,从而到达解题的目的.(3)给值求角：实质是转化为 给值求值〞,先求角的某一函数值, 再求角的范围,进而确定角. _ .............. .... ... 冗29.【2021年局考山东卷理数】设函数 f(x) sin( x —) sin( x 6」),其中0 2 3. 花 f(-) 0. 6 (1)求 (2)将函数y f (x)的图象上各点的横坐标伸长为原来的 2倍 (纵坐标不变),再将得到的图象 向左平移」个单位,得到函数y g(x)的图象,求g(x)在［-,3」］上的最小值 44 4 3 【答案】(1) 2 ; (2)最小值为 一. 2_ __ 冗冗【斛析】(1)由于 f (x) sin( x —) sin( x —), 62一, o 9 所以cos——,因此,cos2 2cos 2 17 25(2)由于,为锐角,所以(0, ).又由于cos(所以sin(...1 cos 2(2、5 ----- , 5所以f(x) .3 1——sin x cos x cos x 2 23；「 3 ———sin x —cos x2 23(』sin x -cos x)2 2、.3sin( x -). 3,-.一. Tt由题设知f (-) 0,6- Tt Tt . 一所以」」ku, k Z.6 3故6k 2 , k Z ,又0 3 ,所以2.(2)由(1)得f (x) >/3sin 2x —3所以g (x) . 3 sin x ——4 3 ?3 sin x —12所以x122 3, 3〜…,.,、 3所以当x 一一,即x 一时,g(x)取得最小值一.12 3 4 2【名师点睛】此类题目是三角函数问题中的典型题目,可谓相当经典.解答此题时,关键在于能利用三角公式化简函数、进一步讨论函数的性质,此题易错点在于一是图象的变换与解析式的对应,二是无视设定角的范围.难度不大,能较好地考查考生的根本运算求解水平及复杂式子的变形水平(1) 2; (2) f(x)的最小正周期是。
高中必修4三角函数第二节任意角的三角函数_教师版
C．π4或54π
D．π4或74π
【答案】 C 作出角π4与54π的正弦线、余弦如图所示．
由图可知，角π4与54π的正弦线、余弦线长度相等，且符号相同．
5．下列不等式中，成立的是( ) A．sin1>sin2 C．tan1>tan2
B．cos1<cos2 D．cot1<cot2
【答案】 C 如图，由单位圆中的三角函数线可知，sin1<sin2，cos1>cos2，tan1>tan2，故选 C．
＝3×222－2＋4×12＋1＝1.
27．已知 tan(π＋α)＝－12，求下列各式的值．
(1)
－α － α－ ＋
＋α －α
；
(2)sin(α－7π)·cos(α＋5π)．
【答案】 tan(π＋α)＝－12⇒tanα＝－12， (1)原式＝－42ccoossαα－＋s3insiαnα＝－42－＋t3antaαnα
一、以考查知识点为主试题
【容易题】
1．已知角 α 的终边经过点(－4,3)，则 cosα＝( )
A．45
B．35
C．－35
D．－45
【答案】 D 考查了三角函数的定义．
由条件知：x＝－4，y＝3，则 r＝5，∴cosα＝xr＝－45.
2．如果角 α 的终边经过点(2sin30°，－2cos30°)，则 sinα＝( )
25．若 sinα＝mm－ ＋35，cosα＝4m－＋25m，π2<α<π，则 m＝________.
【答案】 8
由题意，得
m－3 m＋5>0 4－2m m＋5 <0
，
m－3 m＋5
2＋
4－2m m＋5
10 三角函数的图象与性质(教师版)
第十、十一讲 三角函数的图象与性质★★★高考在考什么 【考题回放】1.已知函数x b x a x f cos sin )(-=（a 、b 为常数，0≠a ，R x ∈）在4π=x 处取得最小值，则函数)43(x f y -=π是（ D ） （A ）偶函数且它的图象关于点)0,(π对称（B ）偶函数且它的图象关于点)0,23(π对称 （C ）奇函数且它的图象关于点)0,23(π对称 （D ）奇函数且它的图象关于点)0,(π对称2．定义在R 上的函数)(x f 既是偶函数又是周期函数，若)(x f 的最小正周期是π，且当]2,0[π∈x 时，x x f sin )(=，则)35(πf 的值为 （ D ） （A ）21- （B ）21 （C ）23-（D ）233．函数y = －x ·cos x 的部分图象是( D )4．① 存在)2,0(πα∈使31cos sin =+a a ② 存在区间（a ，b ）使x y cos =为减函数而x sin ＜0 ③ x y tan =在其定义域内为增函数 ④ )2sin(2cos x x y -+=π既有最大、最小值，又是偶函数⑤ |62|sin π+=x y 最小正周期为π以上命题错误的为____________.①②③⑤ 5．把函数y=cos(x +34π)的图象向右平移φ个单位，所得的图象正好关于y 对称，则φ的最小正值为3π 6．设函数f （x ）=a sin ωx +b cos ωx （ω＞0）的最小正周期为π，并且当x =12π时，有最大值f （12π）=4.（1）求a 、b 、ω的值；（2）若角α、β的终边不共线，f （α）=f （β）=0，求tan （α+β）的值.【专家解答】（1）由ωπ2=π，ω＞0得ω=2. ∴f （x ）=a sin2x +b cos2x .由x =12π时，f （x ）的最大值为4，得⎪⎩⎪⎨⎧==⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+=+.3224232422b a b a b a ，（2）由(1)得f （x ）=4sin （2x +3π）, 依题意4sin （2α+3π）=4sin （2β+3π）=0.∴sin（2α+3π）－sin （2β+3π）=0. ∴cos（α+β+3π）sin （α－β）=0∵α、β的终边不共线，即α－β≠k π（k ∈Z ）， 故sin （α－β）≠0. ∴α+β=k π+6π（k ∈Z ）.∴tan（α+β）=33.★★★高考要考什么 【考点透视】本专题主要涉及正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质. 掌握两种作图方法：“五点法”和变换作图（平移、对称、伸缩）；三角函数的性质包括定义域、值域（最值），单调性、奇偶性和周期性.【热点透析】三角函数的图象和性质是高考的热点，在复习时要充分运用数形结合的思想，把图象和性质结合起来本节主要帮助考生掌握图象和性质并会灵活运用 常见题型：1 考查三角函数的图象和性质的基础题目，此类题目要求考生在熟练掌握三角函数图象的基础上要对三角函数的性质灵活运用2 三角函数与其他知识相结合的综合题目，此类题目要求考生具有较强的分析能力和逻辑思维能力在今后的命题趋势中综合性题型仍会成为热点和重点，并可以逐渐加强3 三角函数与实际问题的综合应用此类题目要求考生具有较强的知识迁移能力和数学建模能力，要注意数形结合思想在解题中的应用★★★突破重难点【范例1】右图为y=Asin (ωx+ϕ)的图象的一段，求其解析式。
第9讲 三角函数性质中范围最值问题(教师版)
第9讲 三角函数中的范围最值问题题型一 与三角函数对称性相关的最值范围问题【例1】若将函数()sin2cos2f x x x =+的图象向左平移ϕ（0ϕ>）个单位，所得的图象关于y 轴对称，则ϕ的最小值是（ ） A.4πB.38π C.8πD.58π【答案】C 【玩转跟踪】1、【广州市2020届高三第一学期第一次调研】将函数2sin cos 33y x x ππ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象向左平移()0ϕϕ>个单位，所得图象对应的函数恰为奇函数，则ϕ的最小值为 A.12π B. 6π C. 4π D. 3π【答案】B【解析】将函数2sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向左平移()0ϕϕ>个单位，所得图象对应的函数：()2sin 23y x πϕ⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦，又其为奇函数，∴2sin 203πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， ()22k πZ 3k πϕ+=∈，， k π23πϕ=-，()Z k ∈，又0ϕ>当k 1=时， ϕ的最小值为6π，故选：B2、【河南省2020届高三12月联考】若函数()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭关于直线x m =（0m <）对称，则m 的最大值为（ ） A.4π-B.1112π-C.512π-D.712π-【答案】C【解析】由题意得， ()232m k k Z πππ+=+∈，即()212k m k Z ππ=+∈， 0m <， 1k ∴=-时， m 的最大值为512π-.3、【2020河南省林州市第一中学模拟】定义运算12142334a a a a a a a a =-，将函数()sin (0)cos wxf x w wx=>的图象向左平移23π个单位长度，所得图象对应的函数为偶函数，则w 的最小值是（ ） A.14 B. 54 C. 74 D. 34【答案】B4.【2020届湖北省重点中学高三上学期第三次月考】已知函数．(1)若函数)(x f y =的图像关于直线对称,求a 的最小值;(2)若存在使成立,求实数m 的取值范围. 分析：(1)先利用降幂公式进行化简,然后利用辅助角公式将)(x f 化为)32sin(2)(π+=x x f ,最后根据正弦函数的对称性求出对称轴,求出a 的最小值即可； (2) 根据的范围求出320π+x 的范围,再结合正弦函数单调性求出函数f (x 0)的值域,从而可求出m ＝的取值范围． 答案（1）12π（2）(][)+∞⋃-∞-,12，题型二 与三角函数的单调性相关的最值问题【例2】已知0ω>, ()sin 4f x x πω⎛⎫=+⎪⎝⎭在2ππ⎛⎫⎪⎝⎭，上单调递减，则ω的取值范围是（ ） A.15[ 24⎤⎥⎦， B. 13[ 24⎤⎥⎦， C. 102⎛⎫⎪⎝⎭， D. ](0 2， 【答案】A 【玩转跟踪】2()[2sin()sin ]cos 3f x x x x x π=++(0)x a a =>05[0,],12x π∈0()20mf x -=05[0,],12x π∈00021()20()sin(23mf x m f x x π-=⇒==+1、【皖江名校2020届高三12月份大联考】若函数的图象在区间上只有一个极值点，则的取值范围为（ ）A.B.C. D. 【答案】B【解析】结合题意，函数唯一的极值点只能是，所以有 得。
(新高考)高考二轮精品专题六 三角函数与解三角形 教师版
1．高考对三角函数的考查主要在于三角函数的定义、图象和性质、三角恒等变换，主要考查三角函数图象的变换、三角函数的性质（单调性、奇偶性、周期性、对称性及最值），三角恒等变换通常还与解三角交汇命题．2．解三角形的考查主要在具体面积、角的大小、面积与周长的最值或范围的考查，本部分要求对三角恒等变换公式熟悉．一、三角函数1．公式（1）扇形的弧长和面积公式如果半径为r 的圆的圆心角α所对的弧的长为l ，那么角α的弧度数的绝对值是l rα=．相关公式：①l =|α|r②21122S lr r α==（2）诱导公式：正弦余弦正切α+k ⋅2πsin αcos αtan αα+π―sin α―cos αtan α―α―sin αcos α―tan απ―αsin α―cos α―tan α2πα+cos α―sin α2πα-cos αsin α32πα+―cos αsin α32πα-―cos α―sin α（3）同角三角函数关系式：sin 2α+cos 2α=1，sin tan cos ααα=（4）两角和与差的三角函数：sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin βsin(α―β)=sin αcos β―cos αsin βcos(α+β)=cos αcos β―sin αsin βcos(α―β)=cos αcos β+sin αsin βtan tan tan()1tan tan αβαβαβ++=-tan tan tan()1tan tan αβαβαβ--=+（5）二倍角公式：sin 22sin cos ααα=2222cos 2cos sin 12sin 2cos 1ααααα=-=-=-22tan tan 21tan ααα=-（6）降幂公式：21cos 2sin 2αα-=，21cos 2cos 2αα+=2．三角函数性质性质y =sin x ，x ∈Ry =cos x ，x ∈R奇偶性奇函数偶函数单调性在区间()2,222k k k ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦Z 上是增函数，在区间()32,222k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z 上是减函数在区间[―π+2kπ，2kπ](k ∈Z )上是增函数，在区间[2kπ，π+2kπ](k ∈Z )上是减函数最值在()22x k k ππ=+∈Z 时，y max ；在()22x k k ππ=-∈Z 时，y min在x =2kπ(k ∈Z )时，y max ；在x =2kπ+π(k ∈Z )时，y min对称中心(kπ，0)(k ∈Z )(),02k k ππ⎛⎫+∈⎪⎝⎭Z 对称轴()2x k k ππ=+∈Z x =kπ(k ∈Z )正切函数的性质图象特点定义域为{|,}2x x k k ππ≠+∈Z 图象与直线2x k k ππ=+∈Z ，没有交点最小正周期为π在区间,22k k k ππππ⎛⎫-++∈ ⎪⎝⎭Z ，上图象完全一样在,22k k k ππππ⎛⎫-++∈ ⎪⎝⎭Z ，内是增函数图象在,22k k k ππππ⎛⎫-++∈ ⎪⎝⎭Z ，内是上升的对称中心为,02k k π⎛⎫∈⎪⎝⎭Z ，图象关于点,02k k π⎛⎫∈⎪⎝⎭Z ，成中心对称3．函数y =A sin(ωx +φ)的图象及变换（1）φ对函数y =sin(x +φ)的图象的影响（2）ω(ω>0)对y =sin(ωx +φ)的图象的影响（3）A(A >0)对y =A sin(ωx +φ)的图象的影响4．函数y =A sin(ωx +φ)的性质（1）函数y =A sin(ωx +φ)(A >0，ω>0)中参数的物理意义（2）函数y =A sin(ωx +φ)(A >0，ω>0)的有关性质二、解三角形1．正余弦定理定理正弦定理余弦定理内容(为外接圆半径)；；变形形式，，；，，；；；；2．利用正弦、余弦定理解三角形（1）已知两角一边，用正弦定理，只有一解．（2）已知两边及一边的对角，用正弦定理，有解的情况可分为几种情况．在中，已知，和角时，解得情况如下：为锐角为钝角或直角直角图形关系式解的个数一解两解一解一解上表中为锐角时，，无解．为钝角或直角时，，均无解．（3）已知三边，用余弦定理，有解时，只有一解．（4）已知两边及夹角，用余弦定理，必有一解．3．三角形中常用的面积公式（1）(表示边上的高）；（2）；（3）（为三角形的内切圆半径）．4．解三角形应用题的一般步骤一、选择题．1．在平面直角坐标系xOy 中，α为第四象限角，角α的终边与单位圆O 交于点P (x 0，y 0)，若cos 356πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则x 0=（ ）ABCD【答案】C【解析】∵,02πα⎛⎫∈-⎪⎝⎭，∴,636πππα⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭，又3cos 65πα⎛⎫+=< ⎪⎝⎭，所以,063ππα⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭，所以4sin 65πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，∴0cos cos cos cos sin sin 666666x ππππππαααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫==+-=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦341552=-⨯=，故选C ．【点评】本题容易忽视6πα+的范围，而导致sin 6πα⎛⎫+⎪⎝⎭出错．2．已知 tan 2θ―4tan θ+1=0，则2cos 4πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．12B ．13C ．14D ．15【答案】C（70分钟）经典训练题【解析】由 tan 2θ―4tan θ+1=0，可得1tan 4tan θθ+=，所以sin cos 4cos sin θθθθ+=，即22sin cos 4cos sin θθθθ+=⋅，即1cos sin 4θθ⋅=，211cos 2121sin 212sin cos 124cos 422224πθπθθθθ⎛⎫++-⨯⎪--⎛⎫⎝⎭+===== ⎪⎝⎭，故选C ．【点评】本题考查同角三角函数的关系、降幂公式、二倍角公式，解答本题的关键是由条件有1tan 4tan θθ+=，从而可得1cos sin 4θθ⋅=，由21cos 21sin 22cos 422πθπθθ⎛⎫++ ⎪-⎛⎫⎝⎭+== ⎪⎝⎭12sin cos 2θθ-=可解，属于中档题．3．已知函数f (x )=2sin(ωx +φ)，(0,2πωϕ><的部分图象如图所示，f (x )的图象过,14A π⎛⎫⎪⎝⎭，5,14B π⎛⎫- ⎪⎝⎭两点，将f (x )的图象向左平移712π个单位得到g (x )的图象，则函数g (x )在30,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为（）A ．―2B ．2C ．―3D ．―1【答案】A【解析】由图象知，5244T πππ=-=，∴T =2π，则1ω=，∴f (x )=2sin(x +φ)，将点,14A π⎛⎫⎪⎝⎭的坐标代入得，2sin 14πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即1sin 42πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，又2πϕ<，∴12πϕ=-，则()2sin 12f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，将f (x )的图象向左平移712π个单位得到函数()72sin 2sin 2cos 12122g x x x x πππ⎛⎫⎛⎫=+-=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴g (x )在30,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为32cos 4π=，故选A ．【点评】本题主要考了三角函数图象，以及三角函数的性质和三角函数图象的变换，属于中档题．4．已知a 、b 、c 分别是△ABC 的内角A 、B 、C 的对边，若sin cos sin CA B<，则ΔABC 的形状为（ ）A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．等边三角形【答案】A【解析】因为在三角形中，sin cos sin CA B<变形为sin C <sin B cos A ，由内角和定理可得sin(A +B)<cos A sin B ，化简可得：sin A cos B <0，∴cos B <0，所以2B π>，所以三角形为钝角三角形，故选A ．【点评】本题考查了解三角形，主要是公式的变形是解题的关键，属于较为基础题．5．（多选）已知函数f(x)=3sin x +sin 3x ，则（ ）A ．f(x)是奇函数B ．f(x)是周期函数且最小正周期为2πC ．f(x)的值域是[―4，4]D ．当x ∈(0，π)时，f(x)>0【答案】ABD【解析】A ．f (―x )=3sin(―x )+sin(―3x )=―3sin x ―sin 3x =―f (x )，故f(x)是奇函数，故A 正确；B ．因为y =sin x 的最小正周期是2π，y =sin 3x 的最小正周期为23π，二者的“最小公倍数”是2π，故2π是f(x)的最小正周期，故B 正确；C ．分析f(x)的最大值，因为3sin x ≤3，sin 3x ≤1，所以f(x)≤4，等号成立的条件是sin x =1和sin 3x =1同时成立，而当sin x =1，即()22x k k ππ=+∈Z 时，()3362x k k ππ=+∈Z ，sin 3x =―1，故C 错误；D ．展开整理可得()2()3sin sin cos 2cos sin 2sin 4cos 2f x x x x x x x x =++=+，易知当x ∈(0，π)时，f(x)>0，故D 正确，故选ABD ．【点评】正确理解奇函数和偶函数的定义，必须把握好两个问题：（1）定义域关于原点对称是函数()f x 为奇函数或偶函数的必要非充分条件；（2）()()f x f x -=-或()()f x f x -=是定义域上的恒等式．奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称，反之也成立．利用这一性质可简化一些函数图象的画法，也可以利用它去判断函数的奇偶性．二、解答题．6．已知m =(2sin x ，sin x ―cos x )，n =(3cos x ，sin x +cos x )，函数f(x)=m ⋅n ．求函数f(x)的最大值以及取最大值时x 的取值集合．【答案】f(x)的最大值为2，,3x x k k ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭Z ．【解析】()()()cos sin cos sin cos f x x x x x x x =⋅=+-+m n2cos 22sin 26x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，所以函数f(x)的最大值为2，当2262x k πππ-=+，即,3x k k ππ=+∈Z 取得，即集合为,3x x k k ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭Z ．【点评】本题与向量的坐标运算结合，考查三角函数的最值，属于基础题．7．已知函数2()cos 222x x x f x =+-．（1）求函数f(x)在区间[0，π]上的值域；（2）若方程f(ωx)=3(ω>0)在区间[0，π]上至少有两个不同的解，求ω的取值范围．【答案】（1）[―2，2]；（2）5,12⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．【解析】（1）()2cos 2sin(2224x x x f x x x x π=+-==+，令4U x π=+，∵x ∈[0，π]，5,44U ππ⎡⎤∴∈⎢⎥⎣⎦，由y =sin U 的图象知，sin U ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，即sin 4x π⎡⎤⎛⎫+∈⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，2sin 24x π⎛⎫⎡⎤∴+∈ ⎪⎣⎦⎝⎭，所以函数f(x)的值域为[―2，2]．（2）()2sin()(0)4f x x πωωω=+>，∵f(ωx)=3，2sin(4x πω∴+=，即sin()4x πω+=，∵x ∈[0，π]，,444x πππωωπ⎡⎤∴+∈+⎢⎥⎣⎦，且()243x k k ππωπ+=+∈Z 或()2243x k k ππωπ+=+∈Z ，由于方程f(ωx)=3(ω>0)在区间[0，π]上至少有两个不同的解，所以243ππωπ+≥，解得512ω≥，所以ω的取值范围为5,12⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．【点评】考查三角函数的值域时，常用的方法：（1）将函数化简整理为f(x)=A sin(ωx +φ)，再利用三角函数性质求值域；（2）利用导数研究三角函数的单调区间，从而求出函数的最值．8．已知函数f(x)=3sin x cos x +cos 2x +1．（1）求f(x)的最小正周期和值域；（2）若对任意x ∈R ，2()()20f x k f x -⋅-≤的恒成立，求实数k 的取值范围．【答案】（1）最小正周期π，值域为15,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（2）1710k ≥．【解析】（1）f(x)=3sin x cos x +cos 2x +1cos 21133212cos 2sin 222262x x x x x π+⎛⎫=++=++=++ ⎪⎝⎭，∴f(x)的为最小正周期22T ππ==，值域为()15,22f x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦．（2）记f(x)=t ，则15,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，由f 2(x)―k ⋅f(x)―2≤0恒成立，知t 2―kt ―2≤0恒成立，即kt ≥t 2―2恒成立，∵t >0，∴222t k t t t-≥=-．∵()2g t t t =-在15,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时单调递增，max 5541722510g g ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭，∴k 的取值范围是1710k ≥．【点评】本题主要考查了三角函数的恒等变换的应用，正弦函数的性质，考查了函数思想，属于中档题．9．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边为a ，b ，c ，且3(sin B +sin C )2―3sin 2(B +C)=8sin B sin C ．（1）求cos A 的值；（2）若△ABC 的面积为，求a +b +c 的最小值．【答案】（1）13；（2）4+．【解析】（1）由3(sin B +sin C )2―3sin 2(B +C)=8sin B sin C ，∵A +B +C =π，所以228(sin sin )sin sin sin 3B C A B C +=+，由正弦定理可得228()3b c a bc +=+，则22223b c a bc +-=，由余弦定理可得2221cos 23b c a A bc +-==．（2）由1cos 3A =，得sin A =，∵1sin 2ABC S bc A ==△，∴bc =12，由22223b c a bc +-=，得222224216333a b c bc bc bc bc =+-≥-==，∴a ≥4，当且仅当b =c =23时，等号成立．又b +c ≥2bc =43，当且仅当b =c =23时，等号成立．∴a +b +c ≥4+43，当且仅当b =c =23时，等号成立．即a +b +c 的最小值为4+．【点评】求解三角形中有关边长、角、面积的最值（范围）问题时，常利用正弦定理、余弦定理与三角形面积公式，建立a +b ，ab ，a 2+b 2之间的等量关系与不等关系，然后利用函数或基本不等式求解．10．设函数f(x)=12cos 2x ―43sin x cos x ―5．（1）求f(x)的最小正周期和值域；（2）在锐角△ABC 中，角A ､B ､C 的对边长分别为a ､b ､c ．若f(A)=―5，a =3，求△ABC 周长的取值范围．【答案】（1）π，[―43+1，43+1]（2）(3+3，33]．【解析】（1）f (x )=12cos 2x ―43sin x cos x ―5=12cos 2x ―23sin 2x ―56cos 221216x x x π⎛⎫=-+=++ ⎪⎝⎭，T π∴=，值域为[―43+1，43+1]．（2）由f(A)=―5，可得212cos cos A A A =，因为三角形为锐角△ABCsin A A =，即tan A =，3A π=，由正弦定理sin sin sin a b c A B C ==，得2sin b B =，22sin 2sin()3c C B π==-，所以212sin sin()2(sin sin )32a b c B B B B B π⎡⎤++=++-=++⎢⎥⎣⎦32(sin ))26B B B π==++，因为△ABC 为锐角三角形，所以02B π<<，02C π<<，即022032B B πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，解得62B ππ<<，所以2363B πππ<+<sin(16B π<+≤，即36B π+<+≤，所以周长的取值范围为区间(3+3，33]．【点评】在解三角形的周长范围时，将a +b +c 转化为含一个角的三角函数问题，利用三角函数的值域，求周长的取值范围，是常用解法．11．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且(a +b )(sin A ―sin B )=(b +c )sin C ．（1）求角A 的大小；（2）若点D 是BC 的中点，且AD =2，求△ABC 的面积的最大值．【答案】（1）23π；（2）23．【解析】（1）由题意得(a +b)(a ―b)=(b +c)c ，∴b 2+c 2―a 2=―bc ，1cos 2A ∴=-，()0,A π∈，23A π∴=．（2）1()2AD AB AC =+u u u r u u u r u u u r ，()()2222211244AD AB AC AB AC AB AC AB AC =++⋅=+-⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，()1224AB AC AB AC ∴≥⋅-⋅，当且仅当AB =AC 时，等号成立，∴AB ⋅AC ≤8，11sin120822S AB AC =⋅︒≤⨯=故△ABC 的面积的最大值是23．【点评】用三角形中线向量进行转化是解题关键．12．如图，在△ABC 中，AB =2AC ，∠BAC 的角平分线交BC 于点D ．（1）求ABD ADCS S △△的值；（2）若AC =1，BD =2，求AD 的长．【答案】（1）2；（2）1．【解析】（1）∵AD 为∠BAC 的角平分线，∴∠BAD =∠CAD ，即sin ∠BAD =sin ∠CAD，∴1sin 21sin 2ABDADC AB AD B AB AD S S AC AD A ACC D ⋅∠∠==⋅V V ，又∵AB =2AC ，∴2ABD ADC S S =△△．（2）由（1）知2ABD ADC S AB S AC ==△△，而1212ABDADC BC h S BC S CDCD h ⋅==⋅△△，2AB BD AC CD ∴==且AC =1，BD =2，∴2AB =，CD =∵∠BAD =∠CAD ，∴cos ∠BAD =cos ∠CAD ，在△ABD 中，22222422cos 2224AB AD BD AD AD BAD AB AD AD AD+-+-+∠===⋅⨯⨯，在△ACD 中，2222211122cos 2212AD AD AC AD CD CAD AC AD AD AD +-++-∠===⋅⨯⨯，∴2212242AD AD AD AD ++=，∴AD =1．【点评】本题考查三角形面积公式和余弦定理的应用，解题的关键在于对角平分线的性质的理解和运用，考查解题和运用能力．13．在ΔABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，且(a +b +c)(a +b ―c)=3ab ．（1）求角C 的值；（2）若c =2，且ΔABC 为锐角三角形，求a +b 的取值范围．【答案】（1）3C π=；（2）(23，4]．【解析】（1）由题意知(a +b +c)(a +b ―c)=3ab ，∴222a b c ab +-=，由余弦定理可知，222cos 122a b c C ab +-==，又∵C ∈(0，π)，∴3C π=．（2）由正弦定理可知，2sin sin sin 3a b A B π===a A =，b B =，∴)2sin sin sin sin 3a b A B A A π⎡⎤⎛⎫+=+=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦2cos 4sin 6A A A π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，又∵ΔABC 为锐角三角形，∴022032A B A πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<=-<⎪⎩，则2363A πππ<+<，所以4sin 46A π⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭，综上a +b 的取值范围为(23，4]．【点评】本题主要考查了利用正弦定理和三角函数的恒等变换求解三角形问题，对于解三角形问题，通常利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系求角，利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值．利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，经常利用三角形内角和定理，三角形面积公式，结合正、余弦定理解题．一、选择题．1．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，则“b cos A ―c <0”，是“△ABC 为锐角三角形”的（ ）条件．A ．充分必要B ．充分不必要C ．必要不充分D ．既不充分也不必要【答案】C高频易错题即sin(A +B)=sin A cos B +sin B cos A >sin B cos A ，∴sin A cos B >0，因为sin A >0，∴cos B >0，所以B 为锐角．当B 为锐角时，△ABC 不一定为锐角三角形；当△ABC 为锐角三角形时，B 一定为锐角，所以“b cos A ―c <0”是“△ABC 为锐角三角形”的必要非充分条件，故选C ．【点评】判断充分必要条件，一般有三种方法：（1）定义法；（2）集合法；（3）转化法．我们要根据实际情况灵活选择方法，本题选择的是定义法判断充分必要条件．二、填空题．2．设锐角三角形ABC 的三个内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若a =2，B =2A ，则b 的取值范围为___________．【答案】(22，23)【解析】由sin2sin b a A A=，得4cos b A =，由0290045A A ︒<<︒⇒︒<<︒，01803903060A A ︒<︒-<︒⇒︒<<︒，故3045cos A A ︒<<︒⇒<<cos A <<b =4cos A ∈(22，23)．【点评】该题考查的是有关解三角形的问题，涉及到的知识点有正弦定理，以及锐角三角形的条件，属于简单题目．三、解答题．3．已知a >0，函数()2sin(2)26f x a x a b π=-+++，当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，―5≤f (x )≤1．（1）求常数a ，b 的值；（2）设()2g x f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭且lg g (x )>0，求g (x )的单调区间．【答案】（1）2a =，5b =-；（2）递增区间为,6k k k πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭Z ，；递减区间为,63k k k ππππ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭Z ，．【解析】（1）由0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以72,666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，则1sin(2),162x π⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，所以[]2sin(2)2,6a x a a π-+∈-，所以f (x )∈[b ，3a +b]，又因为―5≤f (x )≤1，可得531b a b =-⎧⎨+=⎩，解得2a =，5b =-．（2）由（1）得()4sin(2)16f x x π=-+-，则()74sin(214sin(21266g x f x x x πππ⎛⎫=+=-+-=+- ⎪⎝⎭，又由lg g (x )>0，可得g (x )>1，所以4sin(2116x π+->，即1sin(2)62x π+>，所以5222666k x k k πππππ+<+<+∈Z ，，当222662k x k k πππππ+<+≤+∈Z ，时，解得6k x k k πππ<≤+∈Z ，，此时函数g (x )单调递增，即g (x )的递增区间为,6k k k πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭Z ，；当5222266k x k k πππππ+<+<+∈Z 时，解得63k x k k ππππ+<<+∈Z ，，此时函数g (x )单调递减，即g (x )的递减区间为,63k k k ππππ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭Z ，．【点评】本题主要考查了三角函数的图象与性质的综合应用，其中解答中根据三角函数的性质，求得函数的解析式，熟练应用三角函数的性质是解答的关键，着重考查推理与运算能力．一、选择题．1．如图所示，扇形OQP 的半径为2，圆心角为3π，C 是扇形弧上的动点，四边形ABCD 是扇形的内接矩形，则S ABCD 的最大值是（）AB．CD ．23【答案】A【解析】如图，记∠COP =α，在Rt △OPC 中，2cos OB α=，2sin BC α=，在Rt △OAD中，OA DA BC α===，所以2cos AB OB OA αα=-=，设矩形ABCD 的面积为S，(2cos )2sin S AB BC ααα=⋅=⋅精准预测题24sin cos 2sin 22ααααα==+-)6πα=+，由03πα<<，所以当262ππα+=，即6πα=时，S =，故选A ．【点评】本题考查在实际问题中建立三角函数模型，求解问题的关键是根据图形建立起三角模型，将三角模型用所学的恒等式变换公式进行求解．2．已知函数()2sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，现将()y f x =的图象向左平移12π个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到函数y =g (x )的图象，则g (x )的解析式为（ ）A ．221124x y +=B ．sin 3y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭C ．2sin 43y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭D ．2sin 3y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭【答案】C【解析】将()y f x =的图象向左平移12π个单位得2sin 22sin 21263y x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，再所得图象上各点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到()2sin 43y g x x π⎛⎫==+⎪⎝⎭，故选C ．【点评】在三角函数平移变换中，y =sin ωx 向左平移ϕ个单位得到的函数解析式为y =sin[ω(x +φ)]=sin(ωx +ωφ)，而不是y =sin(ωx +)，考查运算求解能力，是基础题．3．（多选）如图是函数()sin()(0,0,||)f x A x A ωϕωϕπ=+>><的部分图象，则下列说法正确的是（ ）A ．ω=2B ．,06π⎛⎫-⎪⎝⎭是函数，f (x )的一个对称中心C ．23πϕ=D ．函数f (x )在区间4,5ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上是减函数【答案】ACD【解析】由题知，A =2，函数f (x )的最小正周期11521212T πππ⎛⎫=⨯-=⎪⎝⎭，所以22T πω==，故A 正确；因为1111112sin 22sin 212126f πππϕϕ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+=+=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以11262k ππϕπ+=+，k ∈Z ，解得423k πϕπ=-，k ∈Z ，又|φ|<π，所以23πϕ=，故C 正确；函数()22sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，因为22sin 22sin 06633f ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=⨯-+==≠ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以,06π⎛⎫-⎪⎝⎭不是函数f (x )的一个对称中心，故B 错误；令23222232m x m πππππ+≤+≤+，m ∈Z ，得51212m x mx πππ-≤≤+，m ∈Z ，当m =―1时，1371212x ππ-≤≤-，因为4137,,51212ππππ⎡⎤⎡⎤--⊆--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，所以函数f (x )在区间4,5ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上是减函数，故D 正确，故选ACD ．【点评】已知()(sin 0,0)()f x A x A ωϕω+>>=的部分图象求其解析式时，A 比较容易看图得出，困难的是求待定系数ω和φ，常用如下两种方法：（1）由2Tπω=，即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标0x ，则令00x ωϕ+=(或0x ωϕπ+=)，即可求出φ．（2）代入点的坐标，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图形解出ω和φ，若对A ，ω的符号或对φ的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求．二、解答题．4．已知函数f(x)=cos(ωx)(ω>0)的最小正周期为π．（1）求ω的值及函数()()0,42g x x f x x ππ⎛⎫⎡⎤=--∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，的值域；（2）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对应的边长分别为a ，b ，c ，若0,2A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()12f A =-，△ABC 的面积为33，b ―c =2，求a 的值．【答案】（1）ω=2，值域为[―1，2]；（2）4．【解析】（1）因为函数f(x)=cos(ωx)的最小正周期为π，由2T ππω==，2ω=，又因为ω>0，所以ω=2．此时f(x)=cos 2x ，则得()2cos 24g x x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，即g(x)=3sin 2x ―cos 2x ，即()2sin 26g x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，52,666x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，[]2sin 21,26x π⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，所以所求函数的值域为[―1，2]．（2）由题意得1cos 22A =-，因为0,2A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则得2A ∈(0，π)，所以223A π=，解得3A π=，因为△ABC 的面积为33，则得1sin 2bc A =，即1sin 23bc π=，即bc =12．又因为b ―c =2，由余弦定理，得a =b 2+c 2―2bc cos A =b 2+c 2―bc =(b ―c )2+bc =22+12=4，所以a =4．【点评】本题考查求三角函数的值域，考查余弦定理解三角形，以及三角形面积公式．三角函数问题中，首先需利用诱导公式、二倍角公式、两角和与差的正弦（余弦）公式化函数为一个角的一个三角函数形式（主要是f(x)=A sin(ωx +ϕ)+k 形式），然后利用正弦函数性质确定求解．5．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a sin(A +B ―C )=c sin(B +C )．（1）求角C 的大小；（2）若2a +b =8，且△ABC 的面积为23，求△ABC 的周长．【答案】（1）3C π=；（2）6+23．【解析】（1）∵a sin(A +B ―C)=c sin(B +C)，∴sin A sin(π―2C)=sin C sin A ，∴2sin A sin C cos C =sin C sin A ，∵sin A sin C ≠0，1cos 2C ∴=，0C π<<，3C π∴=．（2）由题意可得12=∴ab =8，∵2a +b =8联立可得，a =2，b =4，由余弦定理可得，c 2=12，c =23，此时周长为6+23．【点评】本题主要考查了三角形的内角和诱导公式在三角化简中的应用，还考查了三角形的面积公式及余弦定理，属于基础题．6．如图，矩形ABCD 是某个历史文物展览厅的俯视图，点E 在AB 上，在梯形DEBC 区域内部展示文物，DE 是玻璃幕墙，游客只能在△ADE 区域内参观．在AE 上点P 处安装一可旋转的监控摄像头，∠MPN 为监控角，其中M 、N 在线段DE （含端点）上，且点M 在点N 的右下方．经测量得知：AD =6米，AE =6米，AP =2米，4MPN π∠=．记∠EPM =θ（弧度），监控摄像头的可视区域△PMN 的面积为S 平方米．（1）分别求线段PM 、PN 关于θ的函数关系式，并写出θ的取值范围；（2）求S 的最小值．【答案】（1）4sin cos PM θθ=+，PN =，30arctan 34πθ≤≤-；（2）8(2―1)平方米．【解析】（1）在△PME 中，∠EPM =θ，4PE AE AP =-=米，4PEM π∠=，34PME πθ∠=-，由正弦定理得sin sin PM PEPEM PME=∠∠，所以sin 4sin sin cos PE PEM PM PME θθ⨯∠===∠+；同理在PNE △中，由正弦定理得sin sin PN PEPEN PNE=∠∠，所以sin sin PE PEN PN PNE ⨯∠===∠当M 与E 重合时，θ=0；当N 与D 重合时，tan ∠APD =3，即∠APD =arctan 3，3πarctan 3arctan 344πθπ=--=-，所以30arctan 34πθ≤≤-．（2）△PMN 的面积214sin 2cos sin cos S PM PN MPN θθθ=⨯⨯∠=+481cos 21sin 2cos 21sin 222θθθθ===++++，因为30arctan 34πθ≤≤-，所以当242ππθ+=，即30,arctan 384ππθ⎡⎤=∈-⎢⎥⎣⎦时，S)81=-，所以可视区域△PMN 面积的最小值为8(2―1)平方米．【点评】本题考查解三角形的应用．掌握三角函数的性质是解题关键．解题方法是利用正弦定理或余弦定理求出三角形的边长，面积，利用三角函数的恒等变换化函数为基本三角函数形式，然后由正弦函数性质求最值．7．在ΔABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．（1）若23cos 2A +cos 2A =0，且△ABC 为锐角三角形，a =7，c =6，求b 的值；（2）若a =3，3A π=，求b +c 的取值范围．【答案】（1）5b =；（2）b +c ∈(3，23]．【解析】（1）22223cos cos 223cos 2cos 10A A A A +=+-=Q ，∴21cos 25A =，又∵A 为锐角，1cos 5A =，而a 2=b 2+c 2―2bc cos A ，即2121305b b --=，解得b =5或135b =-（舍去），∴b =5．（2）由正弦定理可得()22sin sin 2sin sin 36b c B C B B B ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=+=+-=+⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，203B π<<Q ，∴5666B πππ<+<，∴1sin 126B π⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭，∴b +c ∈(3，23]．【点评】本题考查三角函数的恒等变换，三角形的正弦定理和余弦定理的运用，以及运算能力，属于中档题．。
高考数学真题09 三角函数的图象与性质问题(教师版)
C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 个单位长度，得到曲线C2
D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 个单位长度，得到曲线C2
8．答案1解析依题意，f(x)＝sin2x＋ cosx－ ＝－cos2x＋ cosx＋ ＝－ 2＋1，因为x
∈ ，所以cosx∈[0,1]，因此当cosx＝ 时，f(x)max＝1．
9．(2013·全国Ⅰ)设当x＝θ时，函数f(x)＝sinx－2cosx取得最大值，则cosθ＝________.
9．答案－ 解析f(x)＝sinx－2cosx＝ ＝ sin (x－φ)，其中sinφ＝ ，
则 ＜ωπ＋ ≤3π，解得 ＜ω≤ ，即ω∈( ， ]．故选C．
【知识总结】
1．三种三角函数的图象和性质
正弦函数y＝sinx
余弦函数y＝cosx
正切函数y＝tanx
图象
定义域
R
R
{x|x≠ ＋kπ，k∈Z}
值域
[－1,1] (有界性)
[－1,1] (有界性)
R
零点
{x|x＝kπ，k∈Z}
{x|x＝ ＋kπ，k∈Z}
专题09三角函数的图象与性质问题
【高考真题】
1．(2022·北京)已知函数f(x)＝cos2x－sin2x，则()
A．f(x)在(－ ，－ )上单调递减B．f(x)在(－ ， )上单调递增
C．f(x)在(0， )上单调递减D．f(x)在( ， )上单调递增
1．答案C解析因为f(x)＝cos2x－sin2x＝cos2x．对于A选项，当－ ＜x＜－ 时，－π＜2x＜－ ，则
三角函数的最值高考真题教师版
三角函数的最值一．选择题（共3小题）1．（2015•全国）函数(sin cos 1)(sin cos 1)y x x x x =+-的最大值为( )A ．1B ．34C ．34-D ．1-2．（2013•天津）函数()sin(2)4f x x π=-在区间[0，]2π上的最小值是( )A ．1-B ．CD ．03．（2012•山东）函数2sin()(09)63x y x ππ=-的最大值与最小值之和为( )A ．2B ．0C ．1-D ．1-二．填空题（共5小题）4．（2020•北京）若函数()sin()cos f x x x ϕ=++的最大值为2，则常数ϕ的一个取值为 ．5．（2018•北京）设函数()cos()(0)6f x x πωω=->，若()()4f x f π对任意的实数x 都成立，则ω的最小值为 ． 6．（2016•江苏）在锐角三角形ABC 中，若sin 2sin sin A B C =，则tan tan tan A B C 的最小值是 ．7．（2013•上海）函数4sin 3cos y x x =+的最大值是 ．8．（2011•上海）函数sin()cos()26y x x ππ=+-的最大值为 ． 三．解答题（共4小题）9．（2019•全国）已知函数22()2sin 4cos 1f x x x =-+．（1）求()f x 的最小正周期；（2）设g ()()2x x f =，求()g x 在区间[0，]3π的最大值与最小值．10．（2015•福建）已知函数2()cos 10cos 222x x x f x =+． （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期；（Ⅱ）将函数()f x 的图象向右平移6π个单位长度，再向下平移(0)a a >个单位长度后得到函数()g x 的图象，且函数()g x 的 最大值为2．()i 求函数()g x 的解析式；()ii 证明：存在无穷多个互不相同的正整数0x ，使得0()0g x >．11．（2010•湖南）已知函数2()22sin f x x x -．（Ⅰ）求函数()f x 的最大值；（Ⅱ）求函数()f x 的零点的集合．12．（2010•北京）已知函数2()2cos2sin 4cos f x x x x =+-． （Ⅰ）求()3f π的值； （Ⅱ）求()f x 的最大值和最小值．三角函数的最值参考答案与试题解析一．选择题（共3小题）1．（2015•全国）函数(sin cos 1)(sin cos 1)y x x x x =+-的最大值为( )A ．1B ．34C ．34-D ．1-【解答】解：函数(sin cos 1)(sin cos 1)y x x x x =+-2(sin cos )1x x =-21sin 214x =- 11cos4142x -=⨯- 17cos488x =--， 当cos 41x =-时，函数y 取得最大值为173884max y =-=-． 故选：C ．2．（2013•天津）函数()sin(2)4f x x π=-在区间[0，]2π上的最小值是( )A ．1-B ．CD ．0【解答】解：由题意[0,]2x π∈，得2[44x ππ-∈-，3]4π，∴sin(2)[4x π-∈1]∴函数()sin(2)4f x x π=-在区间[0,]2π的最小值为． 故选：B ．3．（2012•山东）函数2sin()(09)63x y x ππ=-的最大值与最小值之和为( )A ．2B ．0C ．1-D ．1-【解答】解：因为函数2sin()(09)63x y x ππ=-， 所以7[,]6336x ππππ-∈-，所以2sin()[63x ππ-∈，所以函数2sin()(09)63x y x ππ=-的最大值与最小值之和为2故选：A ．二．填空题（共5小题）4．（2020•北京）若函数()sin()cos f x x x ϕ=++的最大值为2，则常数ϕ的一个取值为 2π ．【解答】解：()sin()cos sin cos cos sin cos sin cos (1sin )cos )f x x x x x x x x x ϕϕϕϕϕθ=++=++=+++，其中cos θ=，sin θ，所以()f x 2，所以22cos (1sin )4ϕϕ++=，即22sin 4ϕ+=，所以sin 1ϕ=， 所以22k πϕπ=+，k Z ∈时ϕ均满足题意，故可选0k =时，2πϕ=． 故答案为：2π． 5．（2018•北京）设函数()cos()(0)6f x x πωω=->，若()()4f x f π对任意的实数x 都成立，则ω的最小值为 23 ． 【解答】解：函数()cos()(0)6f x x πωω=->，若()()4f x f π对任意的实数x 都成立， 可得：246k ππωπ-=，k Z ∈，解得283k ω=+，k Z ∈，0ω> 则ω的最小值为：23． 故答案为：23． 6．（2016•江苏）在锐角三角形ABC 中，若sin 2sin sin A B C =，则tan tan tan A B C 的最小值是 8 ．【解答】解：由sin sin()sin()sin cos cos sin A A B C B C B C π=-=+=+，sin 2sin sin A B C =， 可得sin cos cos sin 2sin sin B C B C B C +=，①由三角形ABC 为锐角三角形，则cos 0B >，cos 0C >，在①式两侧同时除以cos cos B C 可得tan tan 2tan tan B C B C +=，又tan tan tan tan()tan()1tan tan B C A A B C B C π+=--=-+=--②， 则tan tan tan tan tan tan tan 1tan tan B C A B C B C B C+=--， 由tan tan 2tan tan B C B C +=可得22(tan tan )tan tan tan 1tan tan B C A B C B C=--， 令tan tan B C t =，由A ，B ，C 为锐角可得tan 0A >，tan 0B >，tan 0C >，由②式得1tan tan 0B C -<，解得1t >，2222tan tan tan 111t A B C t t t=-=---， 2211111()24t t t -=--，由1t >得，211104t t--<， 因此当且仅当2t =时，tan tan tan A B C 的最小值为8；另解：由已知条件sin 2sin sin A B c =，sin(B 十)2sin sin C B C =，sin cos B C 十cos sin 2sin cos B C B C =，两边同除以cos cos B C ，tan B 十tan 2tan tan C B C =，tan tan(A B -=十tan tan )1tan tan B C C B C+=-， tan tan tan tan A B C A ∴=十tan B 十tan C ，tan tan tan tan A B C A ∴=十2tan tan 22tan B C A令tan tan tan 0A B C x =>， 即22x x ，即8x ，或0x （舍去），所以x 的最小值为8．当且仅当2t =时取到等号，此时tan tan 4B C +=，tantan 2B C =，解得tan 2B =，tan 2C =，tan 4A =，（或tan B ，tan C 互换），此时A ，B ，C 均为锐角．7．（2013•上海）函数4sin 3cos y x x =+的最大值是 5 ．【解答】解：函数434sin 3cos 5(sin cos )5sin()55y x x x x x =+=+=+∅，（其中，4cos 5∅=，3sin )5∅= 故函数的最大值为5，故答案为5．8．（2011•上海）函数sin()cos()26y x x ππ=+-的最大值为 ．【解答】解：123sin()cos()cos cos()sin(2)26623y x x x x x ππππ+=+-=-=++ 三．解答题（共4小题）9．（2019•全国）已知函数22()2sin 4cos 1f x x x =-+．（1）求()f x 的最小正周期；（2）设g ()()2x x f =，求()g x 在区间[0，]3π的最大值与最小值． 【解答】解：22()2sin 4cos 11cos22(1cos2)13cos2f x x x x x x =-+=--++=-．（1）()f x 的最小正周期22T ππ==；（2）g ()()3cos(2)3cos 22x x x f x ==-=-， [0x ∈，]3π， 3cos [3x ∴-∈-，3]2-． 即()g x 在区间[0，]3π的最大值为32-，最小值为3-．10．（2015•福建）已知函数2()cos 10cos 222x x x f x =+． （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期；（Ⅱ）将函数()f x 的图象向右平移6π个单位长度，再向下平移(0)a a >个单位长度后得到函数()g x 的图象，且函数()g x 的 最大值为2．()i 求函数()g x 的解析式；()ii 证明：存在无穷多个互不相同的正整数0x ，使得0()0g x >．【解答】解：（Ⅰ）2()cos 10cos 5cos 510sin()52226x x x f x x x x π=+=++=++， ∴所求函数()f x 的最小正周期2T π=；（Ⅱ）()i 将函数()f x 的图象向右平移6π个单位长度后得到10sin 5y x =+的图象， 再向下平移(0)a a >个单位长度后得到函数()10sin 5g x x a =+-的图象， 函数()g x 的最大值为2，1052a ∴+-=，解得13a =，∴函数()10sin 8g x x =-．()ii 要证明存在无穷多个互不相同的正整数0x ，使得0()0g x >， 就是要证明存在无穷多个互不相同的正整数0x ，使得010sin 80x ->，即04sin 5x >，由45<003πα<<，使得04sin 5α=， 由正弦函数的性质可知，当0(x α∈，0)πα-时，均有4sin 5x >， 因为sin y x =的周期为2π，所以当0(2x k πα∈+，02)k ππα+-， ()k Z ∈时，均有4sin 5x >． 因为对任意的整数k ，000(2)(2)213k k πππαπαπα+--+=->>，所以对任意的正整数k ，都存在正整数0(2k x k πα∈+，02)k ππα+-，使得4sin 5k x >， 即存在无穷多个互不相同的正整数0x ，使得0()0g x >．11．（2010•湖南）已知函数2()22sin f x x x -．（Ⅰ）求函数()f x 的最大值；（Ⅱ）求函数()f x 的零点的集合．【解答】解：（Ⅰ）2()22sin 2cos212sin(2)16f x x x x x x π=-+-=+- 故函数()f x 的最大值等于211-=（Ⅱ）由()0f x =得cos x 22sin x x =，于是sin 0x =sin x =x 即tan x 由sin 0x =可知x k π=；由tan x 3x k ππ=+．故函数()f x 的零点的集合为{|x x k π=或3x k ππ=+，}k Z ∈12．（2010•北京）已知函数2()2cos2sin 4cos f x x x x =+-． （Ⅰ）求()3f π的值； （Ⅱ）求()f x 的最大值和最小值． 【解答】解：（Ⅰ）2239()2cos sin 4cos 12333344f ππππ=+-=-+-=-； （Ⅱ）22()2(2cos 1)(1cos )4cos f x x x x =-+--23cos 4cos 1x x =--2273(cos ),33x x R =--∈， 因为cos [1x ∈-，1]，所以当cos 1x =-时，()f x 取最大值6；当2cos 3x =时，取最小值73-．。
高考数学真题08 三角恒等变换问题(教师版)
专题08 三角恒等变换问题【高考真题】1．(2022·新高考Ⅱ)若sin(α＋β)＋cos(α＋β)＝22cos(α＋π4)sin β，则( )A ．tan(α－β)＝1B ．tan(α＋β)＝1C ．tan(α－β)＝－1D ．tan(α＋β)＝－11．答案 C 解析 由已知得，sin αcos β＋cos αsin β＋cos αcos β＋sin αsin β＝2(cos α－sin α)sin β，即sin αcos β ＋cos αsin β＋cos αcos β＋sin αsin β＝0，即sin(α－β)＋cos(α－β)＝0．所以tan(α－β)＝－1．故选C ． 2．(2022·浙江)若3sin α－sin β＝10，α＋β＝π2，则sin α＝__________，cos2β＝__________．2．答案31010 45 解析 α＋β＝π2，∴sin β＝cos α，即3sin α－cos α＝10，即10(31010sin α－1010cos α) ＝10，令sin θ＝1010，cos θ＝31010，则10sin(α－θ)＝10，∴α－θ＝π2＋2k π，k ∈Z ，即α＝θ＋π2＋2k π，∴sin α＝sin(θ＋π2＋2k π)＝cos θ＝31010，则cos2β＝2cos 2β－1＝2sin 2α－1＝45．故答案为31010与45．【知识总结】1．同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1⇒sin α＝±1－cos 2α. (2)商的关系：sin αcos α＝tan α⎝⎛⎭⎫α≠k π＋π2(k ∈Z ). 2．三角函数的诱导公式3．三角恒等变换 (1) 和角差角公式：cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β，cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β， sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β，sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β， tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β，tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β.(2)二倍角公式： sin 2α＝2sin αcos α，cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α，tan 2α＝2tan α1－tan 2α.(3)降幂公式：sin 2α＝1－cos 2α2，cos 2α＝1＋cos 2α2.(4)辅助角公式：a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)，其中tan φ＝ba .【同类问题】 题型一 给角求值 1．tan 105°等于( )A ．2－3B ．－2－3C ．3－2D ．－31．答案 B 解析 tan 105°＝tan(60°＋45°)＝tan 60°＋tan 45°1－tan 60°·tan 45°＝3＋11－3＝(3＋1)2(1－3)(1＋3)＝4＋23－2＝－2－3．2．sin 10°1－3tan 10°等于( ) A ．1 B ．14 C ．12 D ．322．答案 B 解析sin 10°1－3tan 10°＝sin 10°cos 10°cos 10°－3sin 10°＝2sin 10°cos 10°4⎝⎛⎭⎫12cos 10°－32sin 10°＝sin 20°4sin (30°－10°)＝14．3．化简tan 27.5°＋1tan 27.5°－7sin 27.5°＋cos 27.5°等于( )A ．33 B ．233C ． 3D ．2 3．答案 B 解析 原式＝tan 27.5°＋1tan 27.5°－8sin 27.5°＋1＝sin 27.5°＋cos 27.5°sin 27.5°－8sin 27.5°cos 27.5°＋cos 27.5°＝11－2sin 215°＝ 1cos 30°＝233． 4．sin 40°(tan 10°－3)等于( )A ．2B ．－2C ．1D ．－14．答案 D 解析 sin 40°·(tan 10°－3)＝sin 40°·⎝⎛⎭⎫sin 10°cos 10°－3＝sin 40°·sin 10°－3cos 10°cos 10°＝sin 40°·2⎝⎛⎭⎫12sin 10°－32cos 10°cos 10°＝sin 40°·2(cos 60°·sin 10°－sin 60°·cos 10°)cos 10°＝sin 40°·2sin (10°－60°)cos 10°＝sin40°·－2sin 50°cos 10°＝－2sin 40°·cos 40°cos 10°＝－sin 80°cos 10°＝－1．5．cos 20°·cos 40°·cos 100°＝ ．5．答案 －18解析 cos 20°·cos 40°·cos 100°＝－cos 20°·cos 40°·cos 80°＝－sin 20°·cos 20°·cos 40°·cos 80°sin 20°＝－12sin 40°·cos 40°·cos 80°sin 20°＝－14sin 80°·cos 80°sin 20°＝－18sin 160°sin 20°＝－18sin 20°sin 20°＝－18．6．cos 40°cos 25°1－sin 40°的值为( ) A ．1 B ．3 C ． 2 D ．2 6．答案 C 解析 原式＝cos 220°－sin 220°cos 25°(cos 20°－sin 20°)＝cos 20°＋sin 20°cos 25°＝2cos 25°cos 25°＝2．7．tan 67.5°－1tan 67.5°的值为( )A ．1B ．2C ．2D ．47．答案 C 解析 tan 67.5°－1tan 67.5°＝sin 67.5°cos 67.5°－1sin 67.5°cos 67.5°＝sin 67.5°cos 67.5°－cos 67.5°sin 67.5°＝sin 267.5°－cos 267.5°sin 67.5°cos 67.5°＝－cos 135°12sin 135°＝2．8．求值：3－tan 12°(2cos 212°－1)sin 12°＝ ． 8．答案 8 解析 原式＝3－sin 12°cos 12°cos 24°sin 12°＝3cos 12°－sin 12°cos 24°sin 12°cos 12°＝2sin (60°－12°)14sin 48°＝2sin 48°14sin 48°＝8．9．已知m ＝2sin 18°，若m 2＋n ＝4，则1－2cos 2153°m n等于( )A ．－14B ．－12C ．14D ．129．答案 B 解析 因为m ＝2sin 18°，m 2＋n ＝4，所以n ＝4－m 2＝4－4sin 218°＝4cos 218°，因此 1－2cos 2153°m n ＝－cos 306°2sin 18°·2cos 18°＝－cos 54°2sin 36°＝－sin 36°2sin 36°＝－12． 10．(多选)下列各式中，值为12的是( )A ．cos 2π12－sin 2π12 B ．tan 22.5°1－tan 222.5°C ．2sin 195°cos 195°D ．1＋cosπ6210．答案 BC 解析 cos 2π12－sin 2π12＝cos ⎝⎛⎭⎫2×π12＝cos π6＝32，故A 错误；tan 22.5°1－tan 222.5°＝12·2tan 22.5°1－tan 222.5＝ 12tan 45°＝12，故B 正确；2sin 195°cos 195°＝2sin(180°＋15°)cos(180°＋15°)＝2sin 15°cos 15°＝sin 30°＝12，故C 正确；1＋cosπ62＝2＋34＝2＋32≠12，故D 错误． 题型二 给值求值11．(2021·全国乙)cos 2π12－cos 25π12等于( )A ．12B ．33C ．22D ．3211．答案 D 解析 因为cos 5π12＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－5π12＝sin π12，所以cos 2π12－cos 25π12＝cos 2π12－sin 2π12＝cos ⎝⎛⎭⎫2×π12 ＝cos π6＝32．12．(2020·全国Ⅰ)已知α∈(0，π)，且3cos 2α－8cos α＝5，则sin α等于( )A ．53 B ．23 C ．13 D ．5912．答案 A 解析 由3cos 2α－8cos α＝5，得3(2cos 2α－1)－8cos α＝5，即3cos 2α－4cos α－4＝0，解得cos α＝－23或cos α＝2(舍去)．又因为α∈(0，π)，所以sin α>0，所以sin α＝1－cos 2α＝1－⎝⎛⎭⎫－232＝53． 13．(2019·全国Ⅱ)已知α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，2sin 2α＝cos 2α＋1，则sin α等于( ) A ．15 B ．55 C ．33 D ．25513．答案 B 解析 由2sin 2α＝cos 2α＋1，得4sin αcos α＝1－2sin 2α＋1，即2sin αcos α＝1－sin 2α．因为α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以cos α＝1－sin 2α，所以2sin α1－sin 2α＝1－sin 2α，解得sin α＝55． 14．(2021·全国甲)若α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，tan 2α＝cos α2－sin α，则tan α等于( ) A ．1515 B ．55 C ．53 D ．15314．答案 A 解析 方法一 因为tan 2α＝sin 2αcos 2α＝2sin αcos α1－2sin 2α，且tan 2α＝cos α2－sin α，所以2sin αcos α1－2sin 2α＝ cos α2－sin α，解得sin α＝14．因为α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以cos α＝154，tan α＝sin αcos α＝1515． 方法二 因为tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2sin αcos α1－sin 2αcos 2α＝2sin αcos αcos 2α－sin 2α＝2sin αcos α1－2sin 2α，且tan 2α＝cos α2－sin α，所以2sin αcos α1－2sin 2α＝cos α2－sin α，解得sin α＝14．因为α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以cos α＝154，tan α＝sin αcos α＝1515． 15．若cos ⎝⎛⎭⎫π6－α＝13，则cos ⎝⎛⎭⎫2π3＋2α等于( )A ．29B ．－29C ．79D ．－7915．答案 C 解析 ∵cos ⎝⎛⎭⎫π6－α＝13．∴cos ⎝⎛⎭⎫π6－α＝sin ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π6－α＝sin ⎝⎛⎭⎫π3＋α＝13，∴cos ⎝⎛⎭⎫2π3＋2α＝1 －2sin 2⎝⎛⎭⎫π3＋α＝1－29＝79． 16．已知sin ⎝⎛⎭⎫α－π3＋3cos α＝13，则sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π6等于( ) A ．23 B ．29 C ．－19 D ．－7916．答案 D 解析 ∵sin ⎝⎛⎭⎫α－π3＋3cos α＝13，∴sin αcos π3－cos αsin π3＋3cos α＝13，∴12sin α－32cos α ＋3cos α＝13，∴12sin α＋32cos α＝13，∴cos ⎝⎛⎭⎫α－π6＝13，∴sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π6＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫α－π6＋π2＝cos 2⎝⎛⎭⎫α－π6＝2cos 2⎝⎛⎭⎫α－π6－1＝2×⎝⎛⎭⎫132－1＝－79． 17．已知cos ⎝⎛⎭⎫π2－α＝2cos(π－α)，则tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α等于( ) A ．－3 B ．13 C ．－13D ．317．答案 C 解析 由cos ⎝⎛⎭⎫π2－α＝2cos(π－α)得sin α＝－2cos α，即tan α＝－2，∴tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝ tan π4＋tan α1－tan π4tan α＝1－21－1×(－2)＝－13． 18．已知α，β∈⎝⎛⎭⎫3π4，π，sin(α＋β)＝－35，sin ⎝⎛⎭⎫β－π4＝1213，则cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝ ． 18．答案 －5665 解析 因为α，β∈⎝⎛⎭⎫3π4，π，所以3π2<α＋β<2π，π2<β－π4<3π4，因为sin(α＋β)＝－35，sin ⎝⎛⎭⎫β－π4 ＝1213，所以cos(α＋β)＝45，cos ⎝⎛⎭⎫β－π4＝－513，所以cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝cos ⎣⎡⎦⎤α＋β－⎝⎛⎭⎫β－π4＝cos(α＋β)cos ⎝⎛⎭⎫β－π4＋sin(α＋β)sin ⎝⎛⎭⎫β－π4＝45×⎝⎛⎭⎫－513＋⎝⎛⎭⎫－35×1213＝－5665． 19．已知cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝1010，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则sin ⎝⎛⎭⎫2θ－π3＝ ． 19．答案 4－3310 解析 由题意可得cos 2⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝1＋cos ⎝⎛⎭⎫2θ＋π22＝110，cos ⎝⎛⎭⎫2θ＋π2＝－sin 2θ＝－45，即 sin 2θ＝45．因为cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝1010>0，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以0<θ<π4，2θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，根据同角三角函数基本关系式，可得cos 2θ＝35，由两角差的正弦公式，可得sin ⎝⎛⎭⎫2θ－π3＝sin 2θcos π3－cos 2θsin π3＝45×12－35×32＝4－3310．20．设α，β∈(0，π)，sin(α＋β)＝513，tan α2＝12，则cos β＝________．20．答案 －1665 解析 因为tan α2＝12，所以sin α＝2sin α2cos α2＝2sin α2cos α2sin 2α2＋cos 2α2＝2tanα21＋tan 2α2＝45，cos α＝cos 2α2－sin 2α2＝cos 2α2－sin 2α2cos 2α2＋sin 2α2＝1－tan 2α21＋tan2α2＝35∈⎝⎛⎭⎫12，22．又α∈(0，π)，所以a ∈⎝⎛⎭⎫π4，π3，又β∈(0，π)，所以α＋β∈⎝⎛⎭⎫π4，4π3．又sin(α＋β)＝513∈⎝⎛⎭⎫0，12，所以α＋β∈⎝⎛⎭⎫56π，π，所以cos(α＋β)＝－1213，所以cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝－1665．题型三 给值求角与多选题21．已知A ，B 均为钝角，且sin 2A 2＋cos ⎝⎛⎭⎫A ＋π3＝5－1510，sin B ＝1010，则A ＋B 等于( ) A ．3π4 B ．5π4 C ．7π4 D ．7π621．答案 C 解析 因为sin 2A 2＋cos ⎝⎛⎭⎫A ＋π3＝5－1510，所以1－cos A 2＋12cos A －32sin A ＝5－1510，即12－ 32sin A ＝5－1510，解得sin A ＝55，因为A 为钝角，所以cos A ＝－1－sin 2A ＝－1－⎝⎛⎭⎫552＝－255．由sin B ＝1010，且B 为钝角，得cos B ＝－1－sin 2B ＝－1－⎝⎛⎭⎫10102＝－31010．所以cos(A＋B )＝cos A cos B －sin A sin B ＝⎝⎛⎭⎫－255×⎝⎛⎭⎫－31010－55×1010＝22．又A ，B 都为钝角，即A ，B ∈⎝⎛⎭⎫π2，π，所以A ＋B ∈(π，2π)，所以A ＋B ＝7π4．22．已知α，β均为锐角，cos α＝277，sin β＝3314，则cos 2α＝ ，2α－β＝ ．22．答案 17 π3 解析 因为cos α＝277，所以cos 2α＝2cos 2α－1＝17．又因为α，β均为锐角，sin β＝3314，所以sin α＝217，cos β＝1314，因此sin 2α＝2sin αcos α＝437，所以sin(2α－β)＝sin 2αcos β－cos 2αsin β＝437×1314－17×3314＝32．因为α为锐角，所以0<2α<π．又cos 2α>0，所以0<2α<π2，又β为锐角，所以－π2<2α－β<π2，又sin(2α－β)＝32，所以2α－β＝π3．23．已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝12，tan β＝－17，则2α－β的值为 ．23．答案 －3π4 解析 ∵tan α＝tan [(α－β)＋β]＝tan (α－β)＋tan β1－tan (α－β)tan β＝12－171＋12×17＝13>0，且α∈(0，π)，∴0<α<π2．又∵tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×131－⎝⎛⎭⎫132＝34>0，∴0<2α<π2．∵tan β＝－17<0，β∈(0，π)，∴π2<β<π，∴－π<2α－β<0．∵tan(2α－β)＝tan 2α－tan β1＋tan 2αtan β＝34＋171－34×17＝1，∴2α－β＝－3π4．24．已知锐角α，β满足sin α＝55，cos β＝31010，则α＋β等于( ) A ．3π4 B ．π4或3π4 C ．π4 D ．2k π＋π4(k ∈Z )24．答案 C 解析 由sin α＝55，cos β＝31010，且α，β为锐角，可知cos α＝255，sin β＝1010，故cos(α ＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝255×31010－55×1010＝22，又0<α＋β<π，故α＋β＝π4．25．已知方程x 2＋3ax ＋3a ＋1＝0(a >1)的两根分别为tan α，tan β，且α，β∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，则α＋β＝ ．25．答案 －3π4 解析 依题意有⎩⎪⎨⎪⎧tan α＋tan β＝－3a ，tan α·tan β＝3a ＋1，所以tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan α·tan β＝－3a 1－3a ＋1＝1．又⎩⎪⎨⎪⎧tan α＋tan β<0，tan α·tan β>0，所以tan α<0且tan β<0，所以－π2<α<0且－π2<β<0，即－π<α＋β<0，结合tan(α＋β)＝1，得α＋β＝－3π4．26．设α，β∈[0，π]，且满足sin αcos β－cos αsin β＝1，则sin(2α－β)＋sin(α－2β)的取值范围为 ． 26．答案 [－1，1] 解析 由sin αcos β－cos αsin β＝1，得sin(α－β)＝1，又α，β∈[0，π]，∴－π≤α－β≤π，∴α－β＝π2，∴⎩⎪⎨⎪⎧0≤α≤π，0≤β＝α－π2≤π，即π2≤α≤π，∴sin(2α－β)＋sin(α－2β)＝sin ⎝⎛⎭⎫2α－α＋π2＋sin(α－2α＋π)＝cos α＋sin α＝2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4．∵π2≤α≤π，∴3π4≤α＋π4≤5π4，∴－1≤2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4≤1，即sin(2α－β)＋sin(α－2β)的取值范围为[－1，1]．27．已知x ，y ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，sin(x ＋y )＝2sin(x －y )，则x －y 的最大值为( ) A ．π3 B ．π6 C ．π4 D ．π827．答案 B 解析 由sin(x ＋y )＝2sin(x －y )得sin x cos y ＋cos x sin y ＝2sin x cos y －2cos x sin y ，则tan x ＝3tan y ，所以tan(x －y )＝tan x －tan y 1＋tan x tan y ＝2tan y 1＋3tan 2y＝21tan y＋3tan y ≤33，当且仅当tan y ＝33时等号成立，由于f (x )＝tan x 在x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2上单调递增，又x ，y ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则x －y 的最大值为π6． 28．(多选)下列四个选项中，化简正确的是( ) A ．cos(－15°)＝6－24B ．cos 15°cos 105°＋sin 15°sin 105°＝cos(15°－105°)＝0C ．cos(α－35°)cos(25°＋α)＋sin(α－35°)sin(25°＋α)＝cos[(α－35°)－(25°＋α)]＝cos(－60°)＝cos 60°＝12D ．sin 14°cos 16°＋sin 76°cos 74°＝1228．答案 BCD 解析 对于A ，方法一 原式＝cos(30°－45°)＝cos 30°·cos 45°＋sin 30°sin 45°＝32×22＋12×22＝6＋24． 方法二 原式＝cos 15°＝cos(45°－30°)＝cos 45°cos 30°＋sin 45°sin 30°＝22×32＋22×12＝6＋24，A 错误．对于B ，原式＝cos(15°－105°)＝cos(－90°)＝cos 90°＝0，B 正确．对于C ，原式＝cos[(α－35°)－(25°＋α)]＝cos(－60°)＝cos 60°＝12，C 正确．对于D ，原式＝cos 76°cos 16°＋sin 76°sin 16°＝cos(76°－16°)＝cos 60°＝12，D 正确．29．(多选)已知cos(α＋β)＝－55，cos 2α＝－513，其中α，β为锐角，以下判断正确的是( ) A ．sin 2α＝1213 B ．cos(α－β)＝19565 C ．cos αcos β＝8565 D ．tan αtan β＝11829．答案 AC 解析 因为cos(α＋β)＝－55，cos 2α＝－513，其中α，β为锐角，所以sin 2α＝1－cos 22α ＝1213，故A 正确；因为sin(α＋β)＝255，所以cos(α－β)＝cos [2α－(α＋β)]＝cos 2αcos(α＋β)＋sin 2αsin(α＋β)＝⎝⎛⎭⎫－513×⎝⎛⎭⎫－55＋1213×255＝29565，故B 错误；cos αcos β＝12[cos(α＋β)＋cos(α－β)]＝12⎝⎛⎭⎫－55＋29565＝8565，故C 正确；sin αsin β＝12[cos(α－β)－cos(α＋β)]＝12⎣⎡⎦⎤29565－⎝⎛⎭⎫－55＝21565，所以tan αtan β＝218，故D 错误．30．(多选)下列结论正确的是( )A ．sin(α－β)sin(β－γ)－cos(α－β)cos(γ－β)＝－cos(α－γ)B ．315sin x ＋35cos x ＝35sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6C ．f (x )＝sin x 2＋cos x2的最大值为2D ．tan 12°＋tan 33°＋tan 12°tan 33°＝130．答案 AD 解析 对于A ，左边＝－[cos(α－β)cos(β－γ)－sin(α－β)·sin(β－γ)]＝－cos[(α－β)＋(β－γ)]＝－cos(α－γ)，故A 正确；对于B ，315sin x ＋35cos x ＝65⎝⎛⎭⎫32sin x ＋12cos x ＝65sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6，故B 错误；对于C ，f (x )＝sin x 2＋cos x2＝2sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π4，所以f (x )的最大值为2，故C 错误；对于D ，tan 12°＋tan 33°＋tan 12°tan 33°＝tan(12°＋33°)·(1－tan 12°tan 33°)＋tan 12°tan 33°＝1，故D 正确．。
1三角函数(教师版)
（1） 与 （2） 与
例2：求证角θ为第三象限角的充分必要条件是
例3求下列三角函数的值
(1)sin1480°10′(2) （3） .
练习：
求值：sin(-1320°)cos1110°+cos(-1020°)sin750°+tg4950°
题型三：同角三角函数
例1：已知sinα= ,并且α是第二象限的角,求cosα,tanα的值。
练习3
（1）钟表经过十分钟，时针转了多少度？分针转了多少度？（2）若将钟表拨慢十分钟，则时针转了多少度？分针转了多少度？
考点二：三角函数弧度制
题型一：角度制与弧度制的互化
例1把下列各角的弧度数化为度数，度数化为弧度数并指明它们各自所在象限：
（1） （2） （3） （4）
题型二：用弧度制表示区间角问题
（2）求 、 、 的值．
17、化简：tanα（cosα－sinα）＋
2.
题型二：象限角与非象限角
例2.请写出一个象限的角与非象限角。象限，试确定 , 的终边所在象限.
练习2：
已知角 是第三象限，试确定 的终边所在象限.
题型四：任意角在实际生活中的应用
例4.将钟表上的时针作为角的始边，分针作为终边，那么当钟表上显示八点五分时，时针与分针构成的角度是多少？
第二象限角
第三象限角
第四象限角
终边在 轴上的角
终边在 轴上的角
终边在坐标轴上的角
知识点4：弧度制
我们规定，长度等于半径的弧所对的圆心角叫做1弧度的角； 用弧度来度量角的单位制叫做弧度制。在弧度制下，1弧度记做1rad.
①角度与弧度之间的转换：
1）将角度化为弧度：
2017三角函数高考真题教师版
（A）-3⎧1π⎪⎪42⎪ω+ϕ=3π＜x＜2k+，k∈Z，故单调减区间为，2k+），k∈Z，故选D.中，∠B=∠C=75°，∠E=30°，BC=2，由正弦定理可得BC2015-2017三角函数高考真题1、（2015全国1卷2题）sin20o cos10o-cos160o sin10o=（）311（B）（C）-（D）2222【答案】D【解析】原式=sin20o cos10o+cos20o sin10o=sin30o=12，故选D.2、（2015全国1卷8题）函数f(x)=cos(ωx+ϕ)的部分图像如图所示，则f(x)的单调递减区间为（）（A）(kπ-1313,kπ+),k∈Z（B）(2kπ-,2kπ+),k∈Z 44441313（C）(k-,k+),k∈Z（D）(2k-,2k+),k∈Z4444【答案】Dω+ϕ=ππ【解析】由五点作图知，⎨，解得ω=π，ϕ=，所以f(x)=cos(πx+)，544⎪⎩42令2kπ<πx+π4<2kπ+π,k∈Z，解得2k-1344（2k-13 44考点：三角函数图像与性质3、（2015全国1卷12题）在平面四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=75°，BC=2，则AB的取值范围是.【答案】（6-2，6+2）【解析】如图所示，延长BA，CD交于E，平移AD，当A与D重合与E点时，AB最长，在△BCEBE=sin∠E sin∠C，即2BE=sin30o sin75o，解得BE=6+2，平移AD，当D与C重合时，AB最短，此时与AB（π πxxx ππ3π 3π π ππ π 244244 时 ，4 ≤ x ≤ + = x anx ) > f (BF BC交于 △F ，在 BCF 中，∠B=∠BFC=75°，∠FCB=30°，由正弦定理知， =sin ∠FCB sin ∠BFC，即 BF 2 =sin 30o sin 75o，解得 BF= 6 - 2 ，所以 AB 的取值范围为（ 6 - 2 ， 6+ 2 ）.考点：正余弦定理；数形结合思想4、 2015 全国 2 卷 10 题）如图，长方形 ABCD 的边 AB = 2 ，BC = 1，O 是 AB 的中点， 点 P 沿着边 BC ， CD 与 DA 运动，记 ∠BOP = x ．将动 P 到 A 、 B 两点距离之和表示为x 的函数 f ( x ) ，则 y = f ( x ) 的图像大致为（）DP Cx AOByyy y2222π 4π 3π π4 2 4 4 2(A) (B) (C) (D)3π 4πx【 解 析 】 由 已 知 得 ， 当 点 P 在 BC 边 上 运 动 时 ， 即 0 ≤ x ≤πP A P B t a 2n+ 4 + t ；当点 P 在 CD 边上运动时，即 π3π π, x ≠ 时，4 2P A + PB = ( 1 1 π- 1)2 + 1 + ( + 1)2 + 1 ，当 x = 时，P A + PB = 2 2 ；当点 P 在tan x tan x 2 AD 边上运动时，即3π 4≤ x ≤ π 时， P A + PB = tan 2 x + 4 - tan x ，从点 P 的运动过程可以看出，轨迹关于直线 x =考点：函数的图象和性质．π π π2 对称，且 f ( 4 2 ) ，且轨迹非线型，故选 B ．；（Ⅱ）若AD=1，DC=，求BD和AC的长．∆ADC=AC⋅AD sin∠CAD，因为（ϕ4为y=f(x)图像的对称轴,且f(x)在 ⎛π5π⎫，⎪单调,则ω的最大值为,0对称,则f(x)=A5、（2015全国2卷17题）∆ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，∆ABD面积是∆ADC面积的2倍．（Ⅰ）求sin∠Bsin∠C22【解析】（Ⅰ）S∆ABD=11AB⋅AD sin∠BAD，S22S∆ABD=2S∆ADC，∠BAD=∠CAD，所以AB=2A C．由正弦定理可得sin∠B AC1==．sin∠C AB2（Ⅱ）因为S∆ABD:S∆ADC=BD:DC，所以BD=2．在∆ABD和∆ADC中，由余弦定理得AB2=AD2+BD2-2A D⋅BD cos∠ADB，AC2=AD2+DC2-2AD⋅DC cos∠ADC．AB2+2AC2=3A D2+BD2+2D C2=6．由（Ⅰ）知AB=2A C，所以AC=1．考点：1、三角形面积公式；2、正弦定理和余弦定理．6、2016全国1卷12题）已知函数f(x)=sin(ωx+ϕ)(ω>0，≤π2),x=-π4为f(x)的零点,x=π⎝1836⎭（A）11（B）9（C）7（D）5【答案】B考点：三角函数的性质【名师点睛】本题将三角函数单调性与对称性结合在一起进行考查叙述方式新颖,是一道考查能力的好题.注意本题解法中用到的两个结论:①f(x)=A s in(ωx+ϕ)(A≠0,ω≠0)的单调区间长度是半个周期;②若f(x)=A s in(ωx+ϕ)(A≠0,ω≠0)的图像关于直线x=x0或f(x)=-A.（ （ ．及 C = 得 ab = 6．再利用余弦定理得 (a + b )2 = 25 ．再根据 c = 77、（2016 全国 1 卷 17 题） ∆ABC 的内角 A ,B ,C 的对边分别为 a ,b ,c ,已知2cos C (a cos B+b cos A) = c.（I ）求 C ；（II ）若 c = 7, ∆ABC 的面积为 3 3,求 ABC 的周长．2试题分析： I ）先利用正弦定理进行边角代换化简得得 cos C = 1 π,故 C = ； II）根据 2 31 3 3 π ab sin C =2 2 3可得 ∆AB C 的周长为 5 + 7 ．考点：正弦定理、余弦定理及三角形面积公式【名师点睛】三角形中的三角变换常用到诱导公式,sin (A + B ) = sin C,cos (A + B ) = - cos C , t an (A + B ) = - tan C,就是常用的结论,另外利用正弦定理或余弦定理处理条件中含有边或角的等式,常考虑对其实施“边化角”或“角化边.”-(k∈Z)（B）x=+(k∈Z)-+解析：平移后图像表达式为y=2sin2 x+⎪，令2 x+⎪=kπ+，得对称轴方程：x=+(k∈Z)，9、（2016全国2卷9题）若cos -α⎪=，则sin2α=∵cos -α⎪=，sin2α=cos -2α⎪=2cos2 -α⎪-1=，由正弦定理得：b8、（2016全国2卷7题）若将函数y=2sin2x的图像向左平移象的对称轴为kππkππ（A）x=2626kππ(k∈Z)（D）x=kππ(k∈Z)（C）x=212212π12个单位长度，则平移后图⎛π⎫⎝12⎭⎛π⎫πkππ⎝12⎭226故选B．⎛π⎫3⎝4⎭57117（A）（B）（C）-（D）-255525【解析】D⎛π⎫3⎛π⎫⎛π⎫7⎝4⎭5⎝2⎭⎝4⎭2510、（2016全国2卷13题）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos A=cos C=5，a=1，则b=．1321【解析】1345∵cos A=，cos C=，513312sin A=，sin C=，5134 5，sin B=sin(A+C)=sin A c os C+cos Asin C=a21=解得b=．sin B sin A1363 65，11、（2016全国3卷5题）若tanα=34，则cos2α+2sin2α=（）644816(A)(B)(C)1(D)252525【答案】A【解析】试题分析：由tanα=3““，BC边上的高等于BC,则cos A=（）（（B）（C）-（D）-3A弦A=o2⨯+⨯92=（9、已知曲线C:y=cos x，C:y=sin 2x+⎪，则下面结论正确的是（）3⎭12A．把C上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个3434，得sinα=,cosα=或sinα=-,cosα=-，所以45555161264cos2α+2sin2α=+4⨯=，故选A．252525考点：1、同角三角函数间的基本关系；2、倍角公式．【方法点拨】三角函数求值：①给角求值”将非特殊角向特殊角转化，通过相消或相约消去非特殊角，进而求出三角函数值；②给值求值”关键是目标明确，建立已知和所求之间的联系．12、2016全国3卷8题）在△ABC中，B=π143（A）310101031010101010【答案】C【解析】试题分析：设BC边上的高线为AD，则BC=D，所以AC=AD2+DC2=5AD，AB=2A D．由余定理，知c A2+B s2A⋅B2-A=2AC25BA C2D2C-A1D，故选C．-5A1D020A D 考点：余弦定理．13、2016全国3卷14题）函数y=sin x-3cos x的图像可由函数y=sin x+3cos x的图像至少向右平移_____________个单位长度得到．【答案】2π3考点：1、三角函数图象的平移变换；2、两角和与差的正弦函数．【误区警示】在进行三角函数图象变换时，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也经常出现在题目中，所以也必须熟练掌握，无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母x而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角”变化多少．14、（2017年全国1卷9题）⎛2π⎫⎝π16122 6 【解析】 C : y = cos x ， C : y = sin 2x + ⎪3 ⎭ ⎝ y = cos x = cos x + - ⎪ = sin x + ⎪ ．横坐标变换需将 ω = 1 变成 ω = 2 ， 即 y = sin ⎛ x + ⎫⎪ −−−−−−−−来 2− y = sin ⎛ 2 x + C 1上各点横坐标缩短它原 ⎪ = sin 2 x + ⎪ −− y = sin 2x + ⎪ = sin 2 x + ⎪ ． π π ⎫ 2 2 ⎭ 2 ⎭ 2 ⎭ 2π ⎫ 3 ⎭ 根据“左加右减”原则，“ x + ”到“ x + ”需加上 ，即再向左平移 ．17、 △ABC 的内角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ，已知 △ABC 的面积为． . （1）∵ △ABC 面积 S = a ∵由正弦定理得 sin 2A = sinB sinC sin 2 A ，由 sin A ≠ 0 得 sin B sin C = .（2）由（1）得 sin B sin C = ， cos B cos C =单位长度，得到曲线 C2B ．把C 上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移1 π 个单位长度，得到曲线 C21 πC ．把 C 上各点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 个1单位长度，得到曲线 C2D ．把 C 上各点的横坐标缩短到原来的 2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移1单位长度，得到曲线 C 2【答案】D⎛2π ⎫ 1 2首先曲线 C 、 C 统一为一三角函数名，可将 C : y = cos x 用诱导公式处理．121⎛ ⎛ π ⎫ ⎝ ⎝ 2 ⎭π 1 π ⎫ ⎛ π ⎫ → ⎝ ⎝ ⎝ 4 ⎭⎛ ⎛ π ⎫ →⎝ ⎝ 3 ⎭π 12个注意 ω 的系数，在右平移需将 ω = 2 提到括号外面，这时 x + π π平移至 x + ，4 3π π π π4 3 12 1215、（2017 年全国 1 卷 17 题）a 23sin A（1）求 sin B s in C ；（2）若 6cos B c os C =1 ， a = 3 ，求 △ABC 的周长．【解析】本题主要考查三角函数及其变换，正弦定理，余弦定理等基础知识的综合应用2 3sinA1 .且 S = bc s in A2∴ a 2 1= bc s in A3sin A 23 ∴ a 2 = bc sin 2 A232 232 13 6∵ A + B + C = π⋅ sin B ， c = ⋅ sin C函数 f (x ) = sin 2 x + 3 cos x - 3 （ x ∈ ⎢0, ⎥ ）的最大值是．【解析】∵ f (x ) = sin 2 x + 3 cos x - x ∈ ⎢0, ⎥ ⎪ ， sin 2 x + cos 2 x = 1max = 1) 2 ( 2 结合 sin 2 B + cos 2 B = 1 求出 cos B ；②利用二倍角公式，化简sin B = 8sin 2 ，两边约去sin ，求得 tan ，进而求得 c os B .在第（Ⅱ）中，利用（Ⅰ）中结论，利用勾股定理和∴ cos A = cos (π - B - C ) = - cos (B + C ) = sin B sinC - cos B cos C =又∵ A ∈ (0 ，π)1 2∴ A = 60︒ ， sin A = 3 2， cos A =1 2由余弦定理得 a 2 = b 2 + c 2 - bc = 9 ①由正弦定理得 b = a asin A sin A∴ bc = a 2 sin 2 A⋅ sin B s in C = 8 ②由①②得 b + c = 33∴ a + b + c = 3 + 33 ，即 △ABC 周长为 3 + 3316、（2017 年全国 2 卷 14 题）⎡ π ⎤ 4⎣ 2 ⎦【命题意图】本题考查三角函数同角基本关系及函数性质—最值，意在考查考生转化与化归思想和运算求解能力3 ⎛ ⎡ π ⎤⎫4 ⎝ ⎣ 2 ⎦⎭∴ f (x ) = - cos 2 x + 3 cos x +14设 t = cos x ， t ∈ [0,1]，∴ f (x ) = -t 2 + 3t + 14函数对称轴为 t =3 ∈[0,1]，∴ f (x )217 、（ 2017 年 全 国 2 卷 17 题 ） ∆ABC 的 内 角 A, B, C 的 对 边 分 别 为 a, b , c , 已 知Bsin( A + C =8 sin ． 2(1)求 cos B(2)若 a + c = 6 , ∆ABC 面积为 2,求 b .【命题意图】本题考查三角恒等变形，解三角形．【 试 题 分 析 】 在 第 （ Ⅰ ） 中 ， 利 用 三 角 形 内 角 和 定 理 可 知 A + C = π - B ， 将s i n A + C ) = 8s i n B 2转化为角 B 的方程，思维方向有两个：①利用降幂公式化简 s in 2 B 2，B2B B2 24 （Ⅱ）由 cosB = 得 sin B = ，故 S∆ABC = 2 ac sin B = 17 18、（2017全国3卷6题）设函数 f (x) = cos(x + ) ，则下列结论错误的是（）= 2 D ． f (x) 在 ( , π) 单调递减面积公式求出 a + c 、ac ，从而求出 b ．（Ⅰ）【基本解法 1】由题设及 A + B + C = π ,sin B = 8sin 2 B 2，故sin B = （1-cosB ）上式两边平方，整理得 17cos 2B-32cosB+15=0解得 cosB=1（舍去）， c osB =【基本解法 2】15 17由题设及 A + B + C = π ,sin B = 8sin 2B B B B B，所以 2sin cos = 8sin 2 ，又 sni ≠ 0 ，2 2 2 2 2B 1 所以 tan = ， cos B = 2 41 - tan 21 + tan2 B2 = 15 B 17 215 8 1 417 17 ac 又 S∆ABC =2，则ac = 172由余弦定理及 a + c = 6 得b 2 = a 2 +c 2 - 2ac cos B（a +c ）- 2ac(1+ cosB) 17 15= 36 - 2 ⨯ ⨯ (1+ )2 17= 4所以 b=2【知识拓展】解三角形问题是高考高频考点，命题大多放在解答题的第一题，主要利用三角 形的内角和定理，正、余弦定理、三角形面积公式等知识解题，解题时要灵活利用三角形的边角关系进行“边转角”“角转边”，另外要注意 a + c, ac, a 2 + c 2 三者的关系，这样的题目小而活，备受老师和学生的欢迎．π3A ． f (x) 的一个周期为 -2πC ． f ( x + π ) 的一个零点为 x =π6B ． y = f ( x ) 的图像关于直线 x =π28π 3对称【解析】函数 f (x ) = cos x + ⎪ 的图象可由 y = cos x 向左平移 如图可知， f (x ) 在 , π ⎪ 上先递减后递增，D 选项错误，故选D.-O【解析】（1）由 sin A + 3 cos A = 0 得 2sin A + ⎪ = 0 ，即 A + = k π (k ∈ Z ) ，又 A ∈ (0, π ) ，（ B C b c【答案】D⎛ π ⎫ π ⎝ 3 ⎭ 3个单位得到，⎛ π ⎫⎝ 2 ⎭y2π 3π π365π 3x19、 2017全国3卷17题）∆ABC 的内角A ， ， 的对边分别为a ， ，，已知 sin A + 3 cos A = 0 ， a = 2 7 ， b = 2 ．（1）求c ；（2）设 D 为 BC 边上一点，且 AD ⊥ AC ，求 △ABD 的面积．⎛ π ⎫ ⎝3 ⎭ π 3 π 2π∴ A + = π ，得 A =3 3.1由余弦定理 a 2 = b 2 + c 2 - 2bc ⋅ cos A .又∵ a = 2 7, b = 2,cos A = - 代入并整理得2(c + 1)2 = 25 ，故 c = 4 .（2）∵ AC = 2, BC = 2 7, AB = 4 ，由余弦定理 cos C = a 2 + b 2 - c 2 2 7=2ab 7.∵ AC ⊥ AD ，即 △ACD 为直角三角形，则 AC = CD ⋅ cosC ，得 CD = 7 .由勾股定理 AD = CD 2 - AC 2 = 3 .又 A =△S ABD 2π 2π π π，则 ∠DAB = - = ，3 3 2 6 1 π=AD ⋅ AB ⋅ sin = 3. 2 6。
高一三角函数经典练习题(教师版)-(1)
《三角函数》一、选择题：1，α终边有一点)0(),2,(<-a a a ,则αsin =（ ）A.55-B.552- C.55 D.5522，若角0600的终边上有一点()a ,4-，则a 的值是（ ）3，）A 4， A 5， 6A 7，）8，若θ是第二象限角，则( )A ．sin 2θ＞0 B ．cos 2θ＜0 C ．tan 2θ＞0 D ．cot 2θ＜09，若α是第四象限的角，则πα-是（ ） A.第一象限的角 B.第二象限的角 C.第三象限的角 D.第四象限的角10，给出下列各函数值：①)1000sin(0-；②)2200cos(0-； ③)10tan(-；④917tancos 107sin πππ.其中符号为负的有（ ）A ．①B ．②C ．③D ．④ 1112） A 1314 A 15C ．{}3,1- D ．{}1,1-16，如果1弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长为（ ）A ．5.0sin 1 B ．sin0.5C ．2sin0.5D ．tan0.517， 已知扇形的周长是6cm ，面积是2cm 2,则扇形的中心角的弧度数是 （ ）A.1B.1或4；C.4D.2或4 二、填空题 1234.___4， 0、5， b 8取值范围为 10度数是 。
11，与02002-终边相同的最小正角是_______________。
三，解答题1，弧度角度互化：30°；45°；3π；2π；120°；135°；150°；54π2,若（-4，3）是角α终边上一点，求)5cos()3sin()4tan()3cos(π+α⋅α-ππ-α⋅π-α的值.33sin(24）23cot cos()sin (3)tan cos ()απαπααπα⋅+⋅+⋅--6,求值：1)tan 3α=，求2cos()3sin()4cos()sin(2)παπααπα--+-+-的值2)3)sin120cos330sin(690)cos(660)tan 675cot 765⋅+--++4)6)7)已知α是第三象限角,且)sin()2cos()sin()(πααπαπα----=f（1）化简)(αf ；（2）若51)si n (=+απ,求)(αf ；（3）若︒-=1860α,求)(αf8)(1)（2（39)。
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2015-2017三角函数高考真题1、（2015全国1卷2题）o o o o sin 20cos10cos160sin10- =（ ） （A）（B（C ）12- （D ）12【答案】D【解析】原式=o o o o sin 20cos10cos 20sin10+ =o sin30=12，故选D. 2、（2015全国1卷8题）函数()f x =cos()x ωϕ+的部分图像如图所示，则()f x 的单调递减区间为（ ）（A ）13(,),44k k k Z ππ-+∈ （B ）13(2,2),44k k k Z ππ-+∈ （C ）13(,),44k k k Z -+∈ （D ）13(2,2),44k k k Z -+∈【答案】D【解析】由五点作图知，1+4253+42πωϕπωϕ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得=ωπ，=4πϕ，所以()cos()4f x x ππ=+，令22,4k x k k Z πππππ<+<+∈，解得124k -＜x ＜324k +，k Z ∈，故单调减区间为（124k -，324k +），k Z ∈，故选D. 考点：三角函数图像与性质3、（2015全国1卷12题）在平面四边形ABCD 中，∠A=∠B=∠C=75°，BC=2，则AB 的取值范围是 .【答案】【解析】如图所示，延长BA ，CD 交于E ，平移AD ，当A 与D 重合与E 点时，AB 最长，在△BCE 中，∠B=∠C=75°，∠E=30°，BC=2，由正弦定理可得sin sin BC BEE C=∠∠，即o o2sin 30sin 75BE=，解得BE，平移AD ，当D 与C 重合时，AB 最短，此时与AB交于F ，在△BCF 中，∠B=∠BFC=75°，∠FCB=30°，由正弦定理知，sin sin BF BCFCB BFC=∠∠，即o o2sin 30sin 75BF =，解得BF=62-，所以AB 的取值范围为（62-，6+2）.考点：正余弦定理；数形结合思想4、（2015全国2卷10题）如图，长方形ABCD 的边2AB =，1BC =，O 是AB 的中点，点P 沿着边BC ，CD 与DA 运动，记BOP x ∠=．将动P 到A 、B 两点距离之和表示为x 的函数()f x ，则()y f x =的图像大致为（ ）【解析】由已知得，当点P 在BC 边上运动时，即04x π≤≤时，2tan 4tan PA PB x x +=++；当点P 在CD 边上运动时，即3,442x x πππ≤≤≠时，2211(1)1(1)1tan tan PA PB x x +=-++++，当2x π=时，22PA PB +=；当点P 在AD 边上运动时，即34x ππ≤≤时，2tan 4tan PA PB x x +=+-，从点P 的运动过程可以看出，轨迹关于直线2x π=对称，且()()42f f ππ>，且轨迹非线型，故选B ．考点：函数的图象和性质．(D)(C)(B)(A)xyπ4π23π4π22π3π4π2π4yxxyπ4π23π4π22π3π4π2π4yxDPCBOAx5、（2015全国2卷17题）ABC ∆中，D 是BC 上的点，AD 平分BAC ∠，ABD ∆面积是ADC ∆面积的2倍．（Ⅰ） 求sin sin BC∠∠； （Ⅱ）若1AD =，DC =BD 和AC 的长．【解析】（Ⅰ）1sin 2ABD S AB AD BAD ∆=⋅∠，1sin 2ADC S AC AD CAD ∆=⋅∠，因为2ABDADC S S ∆∆=，BAD CAD ∠=∠，所以2AB AC =．由正弦定理可得sin 1sin 2B AC C AB ∠==∠．（Ⅱ）因为::ABD ADC S S BD DC ∆∆=，所以BD =在ABD ∆和ADC ∆中，由余弦定理得2222cos AB AD BD AD BD ADB =+-⋅∠，2222cos AC AD DC AD DC ADC =+-⋅∠．222222326AB AC AD BD DC +=++=．由（Ⅰ）知2AB AC =，所以1AC =．考点：1、三角形面积公式；2、正弦定理和余弦定理．6、（2016全国1卷12题）已知函数()sin()(0),24f x x+x ππωϕωϕ=>≤=-， 为()f x 的零点,4x π=为()y f x =图像的对称轴,且()f x 在51836ππ⎛⎫⎪⎝⎭，单调,则ω的最大值为 （A ）11 （B ）9 （C ）7 （D ）5 【答案】B考点：三角函数的性质【名师点睛】本题将三角函数单调性与对称性结合在一起进行考查,叙述方式新颖,是一道考查能力的好题.注意本题解法中用到的两个结论:①()()()sin 0,0f x A x A ωϕω=+≠≠的单调区间长度是半个周期;②若()()()sin 0,0f x A x A ωϕω=+≠≠的图像关于直线0x x = 对称,则()0f x A = 或()0f x A =-.7、（2016全国1卷17题）ABC ∆的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知2cos (cos cos ).C a B+b A c =（I ）求C ； （II ）若c ABC =∆,求ABC 的周长． 试题分析：（I ）先利用正弦定理进行边角代换化简得得1cos C 2=,故C 3π=；（II ）根据1sin C 2ab =．及C 3π=得6ab =．再利用余弦定理得 ()225a b +=．再根据c =可得C ∆AB 的周长为5+．考点：正弦定理、余弦定理及三角形面积公式 【名师点睛】三角形中的三角变换常用到诱导公式,()()sin sin ,cos cos ,A B C A B C +=+=-()tan tan A B C+=-,就是常用的结论,另外利用正弦定理或余弦定理处理条件中含有边或角的等式,常考虑对其实施“边化角”或“角化边.”8、（2016全国2卷7题）若将函数y =2sin 2x 的图像向左平移π12个单位长度，则平移后图象的对称轴为（A ）()ππ26k x k =-∈Z （B ）()ππ26k x k =+∈Z （C ）()ππ212Z k x k =-∈ （D ）()ππ212Z k x k =+∈ 解析：平移后图像表达式为，令，得对称轴方程：，故选B ．9、（2016全国2卷9题）若π3cos 45α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin2α=（A ）725 （B ）15（C ）15- （D ）725-【解析】D∵，，10、（2016全国2卷13题）ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若4cos 5A =，5cos 13C =，1a =，则b = ．【解析】 ∵，，，， ， 由正弦定理得：解得． 11、（2016全国3卷5题）若3tan 4α= ，则2cos 2sin 2αα+=（ ） (A)6425 (B) 4825 (C) 1 (D)1625【答案】A 【解析】π2sin 212y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ππ2π+122x k ⎛⎫+= ⎪⎝⎭()ππ26Z k x k =+∈3cos 45πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭2ππ7sin 2cos 22cos 12425ααα⎛⎫⎛⎫=-=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭21134cos 5A =5cos 13C =3sin 5A =12sin 13C =()63sin sin sin cos cos sin 65B AC A C A C =+=+=sin sin b a B A =2113b =试题分析：由3tan 4α=，得34sin ,cos 55αα==或34sin ,cos 55αα=-=-，所以2161264cos 2sin 24252525αα+=+⨯=，故选A ．考点：1、同角三角函数间的基本关系；2、倍角公式．【方法点拨】三角函数求值：①“给角求值”将非特殊角向特殊角转化，通过相消或相约消去非特殊角，进而求出三角函数值；②“给值求值”关键是目标明确，建立已知和所求之间的联系．12、（2016全国3卷8题）在ABC △中，π4B ，BC 边上的高等于13BC ,则cos A （ ）（A （B （C ）1010 （D ）31010【答案】C 【解析】试题分析：设BC 边上的高线为AD ，则3BC AD =，所以AC ==，AB =．由余弦定理，知222222cos210AB AC BC A AB AC +-===⋅，故选C ． 考点：余弦定理．13、（2016全国3卷14题）函数sin y x x =-的图像可由函数sin y x x =+的图像至少向右平移_____________个单位长度得到． 【答案】32π 考点：1、三角函数图象的平移变换；2、两角和与差的正弦函数．【误区警示】在进行三角函数图象变换时，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也经常出现在题目中，所以也必须熟练掌握，无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母x 而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角”变化多少． 14、（2017年全国1卷9题） 9、已知曲线1:cos C y x =，22π:sin 23C y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则下面结论正确的是（）A ．把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线2CB ．把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线2CC ．把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线2CD ．把1C 上各点的横坐标缩短到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线2C 【答案】D【解析】1:cos C y x =，22π:sin 23⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C y x首先曲线1C 、2C 统一为一三角函数名，可将1:cos C y x =用诱导公式处理．πππcos cos sin 222⎛⎫⎛⎫==+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭y x x x ．横坐标变换需将1=ω变成2=ω，即112πππsin sin 2sin 2224⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+−−−−−−−−−→=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭C 上各坐短它原y x y x x 点横标缩来 2ππsin 2sin 233⎛⎫⎛⎫−−→=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭y x x ．注意ω的系数，在右平移需将2=ω提到括号外面，这时π4+x 平移至π3+x ， 根据“左加右减”原则，“π4+x ”到“π3+x ”需加上π12，即再向左平移π12．15、（2017年全国1卷17题）17、ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知ABC △的面积为23sin a A． （1）求sin sin B C ；（2）若6cos cos 1B C =，3a =，求ABC △的周长．【解析】本题主要考查三角函数及其变换，正弦定理，余弦定理等基础知识的综合应用.（1）∵ABC △面积23sin a S A=.且1sin 2S bc A =∴21sin 3sin 2a bc A A = ∴223sin 2a bc A =∵由正弦定理得223sin sin sin sin 2A B C A =，由sin 0A ≠得2sin sin 3B C =.（2）由（1）得2sin sin 3B C =，1cos cos 6B C =∵πA B C ++=∴()()1cos cos πcos sin sinC cos cos 2A B C B C B B C =--=-+=-=又∵()0πA ∈，∴60A =︒，sin A =1cos 2A =由余弦定理得2229a b c bc =+-= ①由正弦定理得sin sin a b B A =⋅，sin sin a c C A=⋅ ∴22sin sin 8sin a bc B C A=⋅= ②由①②得b c +=∴3a b c ++=+ABC △周长为316、（2017年全国2卷14题）函数()23sin 4f x x x =-（0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦）的最大值是 ． 【命题意图】本题考查三角函数同角基本关系及函数性质—最值，意在考查考生转化与化归思 想和运算求解能力【解析】∵ ()23sin 0,42f x x x x π⎛⎫⎡⎤=-∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，22sin cos 1x x +=∴ ()21cos 4f x x x =-+设cos t x =，[]0,1t ∈，∴ ()214f x t =-+函数对称轴为[]0,1t =，∴ ()max 1f x = 17、（2017年全国2卷17题）ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,已知2sin()8sin 2BA C +=． (1)求cos B(2)若6a c += , ABC ∆面积为2,求.b【命题意图】本题考查三角恒等变形，解三角形．【试题分析】在第（Ⅰ）中，利用三角形内角和定理可知A C B π+=-，将2sin 8)sin(2B C A =+转化为角B 的方程，思维方向有两个：①利用降幂公式化简2sin 2B ，结合22sin cos 1B B +=求出cos B ；②利用二倍角公式，化简2sin 8sin 2B B =，两边约去2sin B ，求得2tan B，进而求得B cos .在第（Ⅱ）中，利用（Ⅰ）中结论，利用勾股定理和面积公式求出a c ac +、，从而求出b ． （Ⅰ） 【基本解法1】由题设及2sin 8sin ,2BB C B A ==++π，故 sin 4-cosB B =（1）上式两边平方，整理得 217cos B-32cosB+15=0 解得 15cosB=cosB 171（舍去），= 【基本解法2】由题设及2sin 8sin ,2B BC B A ==++π，所以2sin 82cos 2sin 22B B B =，又02sin ≠B ，所以412tan =B ，17152tan 12tan 1cos 22=+-=B BB （Ⅱ）由158cosB sin B 1717==得，故14a sin 217ABC S c B ac ∆==又17=22ABC S ac ∆=，则由余弦定理及a 6c +=得2222b 2cos a 2(1cosB)1715362(1)2174a c ac Bac =+-=-+=-⨯⨯+=（+c ）所以b=2【知识拓展】解三角形问题是高考高频考点，命题大多放在解答题的第一题，主要利用三角形的内角和定理，正、余弦定理、三角形面积公式等知识解题，解题时要灵活利用三角形的边角关系进行“边转角”“角转边”，另外要注意22,,a c ac a c ++三者的关系，这样的题目小而活，备受老师和学生的欢迎．18、（2017全国3卷6题）设函数π()cos()3f x x =+，则下列结论错误的是（）A ．()f x 的一个周期为2π-B ．()y f x =的图像关于直线8π3x =对称 C ．()f x π+的一个零点为π6x =D ．()f x 在π(,π)2单调递减【答案】D【解析】函数()πcos 3f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象可由cos y x =向左平移π3个单位得到，如图可知，()f x 在π,π2⎛⎫⎪⎝⎭上先递减后递增，D 选项错误，故选D.π19、（2017全国3卷17题）ABC ∆的内角A，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin 0A A =，a =，2b =．（1）求c ；（2）设D 为BC 边上一点，且AD AC ⊥，求ABD △的面积．【解析】（1）由sin 0A A =得π2sin 03A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即()ππ3A k k +=∈Z ，又()0,πA ∈，∴ππ3A +=，得2π3A =. 由余弦定理2222cos a b c bc A =+-⋅.又∵12,cos 2a b A ===-代入并整理得()2125c +=，故4c =.（2）∵2,4AC BC AB ===，由余弦定理222cos 2a b c C ab +-==. ∵AC AD ⊥，即ACD △为直角三角形，则cos AC CD C =⋅，得CD =由勾股定理AD =又2π3A =，则2πππ326DAB ∠=-=， 1πsin 26ABDS AD AB =⋅⋅=△。