数学物理方法答案(7) 刘连寿
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2 T (t ) a T (t ) 0
由 u(0,t)=0 得 X(0)=0 由 u (l,t)=0 得 X(l )=0
x
（2）求解本征值 由 X( x ) X ( x ) 0
X(0)=0 ， X(l)=0
1 (n+ ) x 2 X (x )=sin n l
得 (x )=
F0 后的振动，设杆的横截面积为 S，杨氏模量为 Y ．
解：定解为：
utt a 2u xx 0 u(0, t ) 0, Fx u( x,0) 0 , YS
u x (l , t ) 0 ut ( x,0) 0
初始条件 u( x , 0)
F0 x ，根据胡克定律 (0, x ) YS
Bn n n x0 sin n a n l l n 2I sin x0 n a l l 2I
故，
u ( x, t ) 2I n n a n sin x0 sin t sin x0 l l l n 1 n a
6. 长为 l 的杆，一端固定，另一端受力 F0 而被拉长，求解杆在去掉力
t
n
0
F0 x 2 n 1 x ) 得： u( x , 0) An sin( YS 2 l n 0
( 1) n 8lF0 2 l F0 x (2 n 1) x 1 sin A c dx n 2l l YS 2YS (2 n 1)2
8 F0l u ( x, t ) 2YS
u ( x, t ) ( An cos
n 1
n n n at Bn sin at ) sin x l l l
其中系数
An 2 l n ( ) sin d 0 l l l n l / n0 h 2 n n 0 n h 0 (1 ) sin d ] sin d [ l n 0 / 0 l ( n 1) l l l l 0
初始条件 u( x , 0) 的证明.杆两端受压,杆中点位移为零，由左方两个 相似三角形对应成比例,可得
u( x ,0) l ， u( x,0) l l x 2 2
l 2（ -x） ， 2
由右方两个相似三角形两个对应边成比例,可得
-u( x ,0) l l 与u ( x , 0 ) 2（ ， - x） 形 式 相 同 l l 2 x 2 2
（2） 通解为：
， (x )=(
n
(2n+1) 2 ) 2l
பைடு நூலகம்
2 n 1 2 n 1 2 n 1 x) u ( x , t ) [A cos( at ) B sin( at )]sin( n n l 2 2 2 l l n 0
（3）由 u ( x , 0) 0 得 B
4. 演奏琵琶是把弦的某一点向旁拨开一个小距离，然后放手让其自
由振动。设弦长为 l ，被拨开的点在弦长 距离为，试求解弦的振动。
1 （ n0 为正整数）处，拨开 n0
解：按题意，实际上是求下列定解问题： 其泛定方程为： utt a 2uxx 0 边界条件：
u (0, t ) 0 u (l , t ) 0
1 4h l 2 (x ) h (l x ) x 2 2p 2 l n x X (x)=sin( )， n l
（２）分离变量后得Ｘ（ｘ）本征值问题的解为： 本 征 值 =(
n 1,2,
n 2 ) , l
本征函数
（３）Ｔ（ｔ）方程的解．将Ｔ（ｔ）方程，得解
Tn t An cos n at n at Bn sin l l
段的相对伸长为
u( x ,0) u(0,0) x
，故
F0 u( x ,0) u(0,0) u( x ,0) P Y Y S x x F x u( x , 0) 0 YS
（1） 由泛定方程及边界条件可得：
( X 0端固定)
1 (n+ ) x 2 X (x )=sin n l
初始条件为：
u ( x, 0) 0 I x x0 2 ( , 0) u x t 0 x x0
n 第一类齐次边界条件， 故其本证值为：
n n 本征函数为： sin x ， l l
2
其通解为：
2n0 h n sin 2 n (n0 1) n0 2n0 h n 1 (1 ) sin 2 2 n n0 (n0 1)
2n0 2 h n 2 2 sin n (n0 1) n0
显然 Bn 0 故通解为：
u ( x, t )
( ( x) 0)
2n0 2 h 1 n n at n sin cos sin x 2 2 (n0 1) n 1 n n0 l l
（４）作特解的线性叠加，得
n at n at n x u ( x , t ) [A cos( ) B sin( )]sin( ) n n l l l n 1
（５）根据本征函数的正交性，由初始条件定系数 An ,
Bn
4h n x 由 (l x ) x u ( x ,0) An sin l l2 n 1
n
(2n+1) 2l
（3）求 T (t ) 将 代入 T (t ) 方程： T (t ) (
n
n
2 n 1 2 2 ) a Tn (t ) 0 2l
2 n 1 2 n 1 at ) T (t ) A cos( at ) B sin( n n n 2l 2l
初始条件：
l n0 h 0 x0 l x n0 u ( x, 0) ( x) l n0 h (1 x) xl n0 l (n0 1) ut t 0 ( x) 0
这是第一类齐次边界条件，用分离变数法可得：
l
l / n0
sin
n 1 n 1 cos (1) n d l n n0 n
l
l / n0
sin
n l2 n l2 n l 2 d cos 2 2 sin (1) n l nn0 n0 n n0 n
An
2
2 h n 2n0 h n 2h n 2 2 sin cos cos n0 n n0 n n0 n
x0
l n cos x l n l x0 I
n n cos ( x0 ) cos ( x0 ) n l l 2I n n l sin x0 Bn n l l n a n n 0,sin l l
第七章
分离变量法
7.1 直角坐标系中的分离变量法 1.求解下列本证值问题的本证值和本证函数 （1） X X 0, X (0) 0, X (l ) 0 ； （2） X X 0, X (0) 0, X (l ) 0 ； （3） X X 0, X (a) 0, X (b) 0 ； （4） X X 0, X (0) 0, X hX 0x l 0 .
utt a 2 uxx 0 u(0, t ) 0, u(l , t ) 0 4h u( x, 0) 2 (l x ) x, ut ( x, 0) 0 l
l 2
x2 抛物线的标准形式为： u 2 p
顶点在 ( ,h) ，故 (u h)=-
l 2
n 1
n n n a sin x Cn sin x l l l n 1
I x x0 2 0 x x0 Cn 2 l n f ( x) sin xdx l 0 l x0 l 2 x0 I n sin xdx odx odx 0 x x 0 0 l 2 l 2 x0 I n sin xdx x l 0 2 l I
5. 长为 l 两端固定的弦，用宽为 2 的细棒敲击弦上 x x0 点，亦即在
x x0 处施加冲力，设其冲量为 I ,弦的单位长密度为 ，求解弦的振
动[参考 6-1 习题 2] 解：其泛定方程为： utt a 2uxx 0 其定解方程为：
u (0, t ) 0 u (l , t ) 0
2. 单簧管直径均匀的细管，一端封闭而另一端开放，试求管内空气 柱的本征振动，即求解
u tt a 2 u xx 0 u 0,t 0, u x l ,t 0.
解：(1)分离变量 .令 u( x , t ) X ( x )T (t )
X( x ) X ( x ) 0
（4）管内本征振动为：
u ( x , t ) u ( x )T (t ) n n n
2n1 2n1 2n1 [ A cos( at ) B sin( at )]sin( x) n n 2l 2l 2l
n 0,1,2
3. 一根均匀固定于 x 0 和 x l 两端，假设初始时刻速度为零，而初 始时刻弦的形状是一抛物线，抛物线的顶点为 ( , h) ，求弦振动的位 移。 解： （1）定解为
(2)由表 11-2 得本征值与本征函数分别为
n (x )=（
(3)特解的线性叠加
n 2 ） l
， X (x )=cos
n
n x l
n at n at n x ] cos( ) B sin u ( x , t ) [A cos n n l l l n 0
u ( x, t ) ( An cos
n 1
n n n at Bn sin at ) sin x l l l
由 u ( x, 0) 0 可知 An 0
u ( x, t ) Bn sin
n 1
n n at sin x l l
ut ( x, 0) Bn
2n0 h l / n0 2n0 h l n n sin d sin d 2 l n 0 / l l l ( n0 1) 0 l
l 2n0 h n sin d l n / l ( n0 1) 0 l
2
其中 0 sin
l / n0
n l2 n l2 n d 2 2 sin cos l n n0 nn0 n0
2 l 4h n x 16 h[1 ( 1)n ] An c (l x ) x sin dx l l2 l 3 h3
由 0 u ( x , 0) Bn (
t
n 1
n a n x )sin( ) 得 B 0 n l l
16 h [1 ( 1)n ] n at n x u ( s, t ) cos( )sin( ) 3 3 l l n 1 n
n 0
( 1) n (2 n 1)2
cos
(2 n 1) at (2 n 1) x sin 2l 2l
7. 长为 l 的杆 ，两端受压从而长度缩小为 l (1 2 ) ,放手后任其自 由振动，求解杆的振动。
u a 2u 0 tt xx u (0, t ) 0, u (l , t ) 0 x 解：(1)定解 问题为 ： u ( x, 0) 2 ( l x), u ( x, 0) 0 t 2
由 u(0,t)=0 得 X(0)=0 由 u (l,t)=0 得 X(l )=0
x
（2）求解本征值 由 X( x ) X ( x ) 0
X(0)=0 ， X(l)=0
1 (n+ ) x 2 X (x )=sin n l
得 (x )=
F0 后的振动，设杆的横截面积为 S，杨氏模量为 Y ．
解：定解为：
utt a 2u xx 0 u(0, t ) 0, Fx u( x,0) 0 , YS
u x (l , t ) 0 ut ( x,0) 0
初始条件 u( x , 0)
F0 x ，根据胡克定律 (0, x ) YS
Bn n n x0 sin n a n l l n 2I sin x0 n a l l 2I
故，
u ( x, t ) 2I n n a n sin x0 sin t sin x0 l l l n 1 n a
6. 长为 l 的杆，一端固定，另一端受力 F0 而被拉长，求解杆在去掉力
t
n
0
F0 x 2 n 1 x ) 得： u( x , 0) An sin( YS 2 l n 0
( 1) n 8lF0 2 l F0 x (2 n 1) x 1 sin A c dx n 2l l YS 2YS (2 n 1)2
8 F0l u ( x, t ) 2YS
u ( x, t ) ( An cos
n 1
n n n at Bn sin at ) sin x l l l
其中系数
An 2 l n ( ) sin d 0 l l l n l / n0 h 2 n n 0 n h 0 (1 ) sin d ] sin d [ l n 0 / 0 l ( n 1) l l l l 0
初始条件 u( x , 0) 的证明.杆两端受压,杆中点位移为零，由左方两个 相似三角形对应成比例,可得
u( x ,0) l ， u( x,0) l l x 2 2
l 2（ -x） ， 2
由右方两个相似三角形两个对应边成比例,可得
-u( x ,0) l l 与u ( x , 0 ) 2（ ， - x） 形 式 相 同 l l 2 x 2 2
（2） 通解为：
， (x )=(
n
(2n+1) 2 ) 2l
பைடு நூலகம்
2 n 1 2 n 1 2 n 1 x) u ( x , t ) [A cos( at ) B sin( at )]sin( n n l 2 2 2 l l n 0
（3）由 u ( x , 0) 0 得 B
4. 演奏琵琶是把弦的某一点向旁拨开一个小距离，然后放手让其自
由振动。设弦长为 l ，被拨开的点在弦长 距离为，试求解弦的振动。
1 （ n0 为正整数）处，拨开 n0
解：按题意，实际上是求下列定解问题： 其泛定方程为： utt a 2uxx 0 边界条件：
u (0, t ) 0 u (l , t ) 0
1 4h l 2 (x ) h (l x ) x 2 2p 2 l n x X (x)=sin( )， n l
（２）分离变量后得Ｘ（ｘ）本征值问题的解为： 本 征 值 =(
n 1,2,
n 2 ) , l
本征函数
（３）Ｔ（ｔ）方程的解．将Ｔ（ｔ）方程，得解
Tn t An cos n at n at Bn sin l l
段的相对伸长为
u( x ,0) u(0,0) x
，故
F0 u( x ,0) u(0,0) u( x ,0) P Y Y S x x F x u( x , 0) 0 YS
（1） 由泛定方程及边界条件可得：
( X 0端固定)
1 (n+ ) x 2 X (x )=sin n l
初始条件为：
u ( x, 0) 0 I x x0 2 ( , 0) u x t 0 x x0
n 第一类齐次边界条件， 故其本证值为：
n n 本征函数为： sin x ， l l
2
其通解为：
2n0 h n sin 2 n (n0 1) n0 2n0 h n 1 (1 ) sin 2 2 n n0 (n0 1)
2n0 2 h n 2 2 sin n (n0 1) n0
显然 Bn 0 故通解为：
u ( x, t )
( ( x) 0)
2n0 2 h 1 n n at n sin cos sin x 2 2 (n0 1) n 1 n n0 l l
（４）作特解的线性叠加，得
n at n at n x u ( x , t ) [A cos( ) B sin( )]sin( ) n n l l l n 1
（５）根据本征函数的正交性，由初始条件定系数 An ,
Bn
4h n x 由 (l x ) x u ( x ,0) An sin l l2 n 1
n
(2n+1) 2l
（3）求 T (t ) 将 代入 T (t ) 方程： T (t ) (
n
n
2 n 1 2 2 ) a Tn (t ) 0 2l
2 n 1 2 n 1 at ) T (t ) A cos( at ) B sin( n n n 2l 2l
初始条件：
l n0 h 0 x0 l x n0 u ( x, 0) ( x) l n0 h (1 x) xl n0 l (n0 1) ut t 0 ( x) 0
这是第一类齐次边界条件，用分离变数法可得：
l
l / n0
sin
n 1 n 1 cos (1) n d l n n0 n
l
l / n0
sin
n l2 n l2 n l 2 d cos 2 2 sin (1) n l nn0 n0 n n0 n
An
2
2 h n 2n0 h n 2h n 2 2 sin cos cos n0 n n0 n n0 n
x0
l n cos x l n l x0 I
n n cos ( x0 ) cos ( x0 ) n l l 2I n n l sin x0 Bn n l l n a n n 0,sin l l
第七章
分离变量法
7.1 直角坐标系中的分离变量法 1.求解下列本证值问题的本证值和本证函数 （1） X X 0, X (0) 0, X (l ) 0 ； （2） X X 0, X (0) 0, X (l ) 0 ； （3） X X 0, X (a) 0, X (b) 0 ； （4） X X 0, X (0) 0, X hX 0x l 0 .
utt a 2 uxx 0 u(0, t ) 0, u(l , t ) 0 4h u( x, 0) 2 (l x ) x, ut ( x, 0) 0 l
l 2
x2 抛物线的标准形式为： u 2 p
顶点在 ( ,h) ，故 (u h)=-
l 2
n 1
n n n a sin x Cn sin x l l l n 1
I x x0 2 0 x x0 Cn 2 l n f ( x) sin xdx l 0 l x0 l 2 x0 I n sin xdx odx odx 0 x x 0 0 l 2 l 2 x0 I n sin xdx x l 0 2 l I
5. 长为 l 两端固定的弦，用宽为 2 的细棒敲击弦上 x x0 点，亦即在
x x0 处施加冲力，设其冲量为 I ,弦的单位长密度为 ，求解弦的振
动[参考 6-1 习题 2] 解：其泛定方程为： utt a 2uxx 0 其定解方程为：
u (0, t ) 0 u (l , t ) 0
2. 单簧管直径均匀的细管，一端封闭而另一端开放，试求管内空气 柱的本征振动，即求解
u tt a 2 u xx 0 u 0,t 0, u x l ,t 0.
解：(1)分离变量 .令 u( x , t ) X ( x )T (t )
X( x ) X ( x ) 0
（4）管内本征振动为：
u ( x , t ) u ( x )T (t ) n n n
2n1 2n1 2n1 [ A cos( at ) B sin( at )]sin( x) n n 2l 2l 2l
n 0,1,2
3. 一根均匀固定于 x 0 和 x l 两端，假设初始时刻速度为零，而初 始时刻弦的形状是一抛物线，抛物线的顶点为 ( , h) ，求弦振动的位 移。 解： （1）定解为
(2)由表 11-2 得本征值与本征函数分别为
n (x )=（
(3)特解的线性叠加
n 2 ） l
， X (x )=cos
n
n x l
n at n at n x ] cos( ) B sin u ( x , t ) [A cos n n l l l n 0
u ( x, t ) ( An cos
n 1
n n n at Bn sin at ) sin x l l l
由 u ( x, 0) 0 可知 An 0
u ( x, t ) Bn sin
n 1
n n at sin x l l
ut ( x, 0) Bn
2n0 h l / n0 2n0 h l n n sin d sin d 2 l n 0 / l l l ( n0 1) 0 l
l 2n0 h n sin d l n / l ( n0 1) 0 l
2
其中 0 sin
l / n0
n l2 n l2 n d 2 2 sin cos l n n0 nn0 n0
2 l 4h n x 16 h[1 ( 1)n ] An c (l x ) x sin dx l l2 l 3 h3
由 0 u ( x , 0) Bn (
t
n 1
n a n x )sin( ) 得 B 0 n l l
16 h [1 ( 1)n ] n at n x u ( s, t ) cos( )sin( ) 3 3 l l n 1 n
n 0
( 1) n (2 n 1)2
cos
(2 n 1) at (2 n 1) x sin 2l 2l
7. 长为 l 的杆 ，两端受压从而长度缩小为 l (1 2 ) ,放手后任其自 由振动，求解杆的振动。
u a 2u 0 tt xx u (0, t ) 0, u (l , t ) 0 x 解：(1)定解 问题为 ： u ( x, 0) 2 ( l x), u ( x, 0) 0 t 2