解三角形和不等式

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相似三角形的数学方程与不等式

相似三角形的数学方程与不等式相似三角形是高中数学中一个重要的概念，它在几何学和代数学中具有广泛的应用。

相似三角形的数学方程与不等式可以帮助我们解决一系列关于三角形的问题，如确定边长比例、角度关系等。

本文将介绍相似三角形的数学方程与不等式，并探讨其应用。

一、相似三角形的性质相似三角形是指具有相同形状但尺寸不同的两个三角形。

若三角形ABC与三角形DEF相似，可以表示为∆ABC ∼ ∆DEF。

相似三角形具有以下性质：1. 边长比例在相似三角形中，对应边的长度成比例。

假设∆ABC ∼∆DEF，则有以下比例关系：AB/DE = BC/EF = AC/DF2. 角度关系在相似三角形中，对应角的度数相等。

也就是说，∠A = ∠D，∠B = ∠E，∠C = ∠F。

二、相似三角形的数学方程相似三角形的数学方程可以帮助我们推导出边长比例和角度关系。

下面是一些常见的相似三角形数学方程：1. 边长比例的方程若已知两个相似三角形的边长比例，可以构建如下方程：AB/DE = BC/EF = AC/DF通过这个方程，我们可以根据已知条件解出未知的边长。

2. 角度关系的方程若已知两个相似三角形的一个角度关系，可以利用以下方程：∠A/∠D = ∠B/∠E = ∠C/∠F这个方程可用于求解相似三角形中未知的角度。

三、相似三角形的数学不等式相似三角形的数学不等式在解决三角形问题时发挥着重要的作用。

下面是一些常见的相似三角形数学不等式：1. 边长之比的不等式对于∆ABC和∆DEF两个相似三角形，若对应边长之间的比例关系为AB/DE > BC/EF > AC/DF，则可以推导出以下不等式：∠A > ∠D，∠B > ∠E，∠C > ∠F这个不等式告诉我们，若两个三角形的边长比例逐渐增大，则对应角度也逐渐增大。

2. 角度之比的不等式对于∆ABC和∆DEF两个相似三角形，若对应角度之间的关系为∠A > ∠D，∠B > ∠E，∠C > ∠F，则可以推导出以下不等式：AB/DE > BC/EF > AC/DF这个不等式告诉我们，若两个三角形的角度逐渐增大，则对应边长比例也逐渐增大。

《重要不等式与解三角形》专题

《重要不等式与解三角形》专题2019年（）月（）日班级姓名已知ABC ∆的三个内角A 、B 、C 所对的边分别为a b c 、、,向量(4,1),m =-2(cos ,cos 2)2A n A =，且72m n ⋅= . （1）求角A 的大小；（2）若a =b c ⋅取得最大值时ABC ∆的形状.9.解：（1）由2(4,1),(cos ,cos 2)2Am n A =-= 24c o s c o s 22A m n A ⋅=- 21cos 4(2cos 1)2A A +=⋅--22cos 2cos 3A A =-++ 又因为77,2cos 322m n A A ⋅=++=2所以-2cos 解得1cos 2A =分 0,3A A ππ<<∴=（Ⅱ）在2222cos ,ABC a b c bc A a ∆=+-=中，且222122b c bc ∴=+-⋅22b c bc =+-． 222,32b c bc bc bc +≥∴≥-，即3,bc ≤当且仅当b c b c ==⋅取得最大值,又由（Ⅰ）知,,33A B C ππ=∴==所以，ABC ∆为正三角形(2018·大理模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足a sin B ＝ 3b cos A ．若a ＝4，则△ABC 周长的最大值为．答案 12解析由正弦定理a sin A ＝b sin B，可将a sin B ＝3b cos A 转化为sin A sin B ＝3sin B cos A . 又在△ABC 中，sin B >0，∴sin A ＝3cos A ，即tan A ＝ 3. ∵0<A <π，∴A ＝π3.由余弦定理得a 2＝16＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝(b ＋c )2－3bc ≥(b ＋c )2－3⎝⎛⎭⎫b ＋c 22，则(b ＋c )2≤64，即b ＋c ≤8(当且仅当b ＝c ＝4时等号成立)， ∴△ABC 周长＝a ＋b ＋c ＝4＋b ＋c ≤12，即最大值为12.(2018·重庆九校联考)已知a ，b ，c 分别是△ABC 的内角A ，B ，C 的对边，且a sin B ＝3b cos A ，当b ＋c ＝4时，△ABC 面积的最大值为( )A.33B.32C. 3D ．2 3解析：选C 由a sin B ＝3b cos A ，得sin A sin B ＝3sin B cos A ，∴t a n A ＝3，∵0<A <π，∴A ＝π3，故S △ABC ＝12bc sin A ＝34bc ≤34⎝⎛⎭⎫b ＋c 22＝3(当且仅当b ＝c ＝2时取等号)，故选C.(2019·安徽名校联盟联考)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若bc ＝1，b ＋2c cos A ＝0，则当角B 取得最大值时，△ABC 的周长为( )A ．2＋ 3B ．2＋ 2C ．3D ．3＋ 2解析：选A 由b ＋2c cos A ＝0，得b ＋2c ·b 2＋c 2－a 22bc ＝0，整理得2b 2＝a 2－c 2.由余弦定理，得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋3c 24ac ≥23ac 4ac ＝32，当且仅当a ＝3c 时等号成立，此时角B 取得最大值，将a ＝3c 代入2b 2＝a 2－c 2可得b ＝c .又因为bc ＝1，所以b ＝c ＝1，a ＝3，故△ABC 的周长为2＋ 3.△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a sin A sin B ＋bc os 2A ＝2a ，则角A 的取值范围是________．解析：由已知及正弦定理得sin 2A sin B ＋sin Bc os 2A ＝2sin A ，即sin B (sin 2A ＋c os 2A )＝2sin A ，∴sin B ＝2sin A ，∴b ＝2a ，由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝4a 2＋c 2－a 24ac ＝3a 2＋c 24ac ≥23ac 4ac ＝32，当且仅当c ＝3a 时取等号．∵A 为三角形的内角，且y ＝cos x 在(0，π)上是减函数，∴0<A ≤π6，则角A 的取值范围是⎝⎛⎦⎤0，π6. 答案：⎝⎛⎦⎤0，π6 已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos 2A ＋cos 2B ＝2cos 2C ，则cos C 的最小值为( )A.32B.22C.12D ．－12(2)因为cos 2A ＋cos 2B ＝2cos 2C ，所以1－2sin 2A ＋1－2sin 2B ＝2－4sin 2C ，得a 2＋b 2＝2c 2，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2＋b 24ab ≥2ab 4ab ＝12，当且仅当a ＝b 时等号成立，故选C.[解题技法]1．三角形中的最值、范围问题的解题策略解与三角形中边角有关的量的取值范围时，主要是利用已知条件和有关定理，将所求的量用三角形的某个内角或某条边表示出来，结合三角形边角取值范围等求解即可．2．求解三角形中的最值、范围问题的注意点(1)涉及求范围的问题，一定要搞清已知变量的范围，利用已知的范围进行求解，已知边的范围求角的范围时可以利用余弦定理进行转化．(2)注意题目中的隐含条件，如A ＋B ＋C ＝π，0<A <π，b －c <a <b ＋c ，三角形中大边对大角等．[题组训练]1．在钝角△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，B 为钝角，若a cos A ＝ b sin A ，则sin A ＋sin C 的最大值为( )A. 2B.98C ．1D.78解析：选B ∵a cos A ＝b sin A ，由正弦定理可得，sin A cos A ＝sin B sin A ，∵sin A ≠0，∴cos A ＝sin B ，又B 为钝角，∴B ＝A ＋π2，sin A ＋sin C ＝sin A ＋sin(A ＋B )＝sin A ＋cos2A ＝sin A ＋1－2sin 2A ＝－2⎝⎛⎭⎫sin A －142＋98，∴sin A ＋sin C 的最大值为98.2．(2018·哈尔滨三中二模)在△ABC 中，已知c ＝2，若sin 2A ＋sin 2B －sin A sin B ＝sin 2C ，则a ＋b 的取值范围为________．解析：∵sin 2A ＋sin 2B －sin A sin B ＝sin 2C ，∴a 2＋b 2－ab ＝c 2，∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab＝12，又∵C ∈(0，π)，∴C ＝π3.由正弦定理可得a sin A ＝b sin B ＝2sin π3＝433，∴a ＝433sin A ，b ＝433sin B ．又∵B ＝2π3－A ，∴a ＋b ＝433sin A ＋433sin B ＝433sin A ＋433sin ⎝⎛⎭⎫2π3－A ＝4sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π6.又∵A ∈⎝⎛⎭⎫0，2π3，∴A ＋π6∈⎝⎛⎭⎫π6，5π6，∴sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π6∈⎝⎛⎦⎤12，1，∴a ＋b ∈(2,4]．答案：(2,4]3．已知在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos B b ＋cos C c ＝sin A 3sin C .(1)求b 的值；(2)若cos B ＋3sin B ＝2，求△ABC 面积的最大值．解：(1)由题意及正、余弦定理得a 2＋c 2－b 22abc ＋a 2＋b 2－c 22abc ＝3a 3c ，整理得2a 22abc ＝3a3c ，所以b ＝ 3.(2)由题意得cos B ＋3sin B ＝2sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π6＝2，所以sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π6＝1，因为B ∈(0，π)，所以B ＋π6＝π2，所以B ＝π3.由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，所以3＝a 2＋c 2－ac ≥2ac －ac ＝ac ，即ac ≤3，当且仅当a ＝c ＝3时等号成立．所以△ABC 的面积S △ABC ＝12ac sin B ＝34ac ≤334，当且仅当a ＝c ＝3时等号成立．故△ABC 面积的最大值为334.5．(2018·重庆九校联考)已知a ，b ，c 分别是△ABC 的内角A ，B ，C 的对边，且a sinA.33B.32C. 3D ．2 3解析：选C 由a sin B ＝3b cos A ，得sin A sin B ＝3sin B cos A ，∴t a n A ＝3，∵0<A <π，∴A ＝π3，故S △ABC ＝12bc sin A ＝34bc ≤34⎝⎛⎭⎫b ＋c 22＝3(当且仅当b ＝c ＝2时取等号)，故选C.6．(2019·安徽名校联盟联考)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若bc ＝1，b ＋2c cos A ＝0，则当角B 取得最大值时，△ABC 的周长为( )A ．2＋ 3B ．2＋ 2C ．3D ．3＋ 2解析：选A 由b ＋2c cos A ＝0，得b ＋2c ·b 2＋c 2－a 22bc ＝0，整理得2b 2＝a 2－c 2.由余弦定理，得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋3c 24ac ≥23ac 4ac ＝32，当且仅当a ＝3c 时等号成立，此时角B 取得最大值，将a ＝3c 代入2b 2＝a 2－c 2可得b ＝c .又因为bc ＝1，所以b ＝c ＝1，a ＝3，故△ABC 的周长为2＋ 3.。

七年级下册数学三角形和不等式的复习知识点讲解【精编】

三角形和不等式复习温故而知新(一)三角形知识梳理1、等腰三角形的性质：①等腰三角形的两底角相等（等边对等角）②等腰三角形“三线合一”的性质：顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。

③等腰三角形两底角的平分线相等，两腰上的高、中线也相等等腰三角形的判定：有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角边对等边）2、等边三角形是特殊的等腰三角形，作一条等边三角形的三线合一线，将等边三角形分成两个全等的直角三角形，其中一个锐角等于30º，这它所对的直角边必然等于斜边的一半。

等边三角形的判定：有一个角等于60º的等腰三角形是等边三角形。

3、如果知道一个三角形为直角三角形首先要想的定理有：①勾股定理：222+=（注意区分斜边与直角边）a b c②在直角三角形中，如有一个内角等于30º，那么它所对的直角边等于斜边的一半③在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半4、线段垂直平分线上的点到这一条线段两个端点距离相等。

线段垂直平分线逆定理：到一条线段两端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。

三角形的三边的垂直平分线交于一点，并且这个点到三个顶点的距离相等。

5、角平分线上的点到角两边的距离相等。

角平分线逆定理：在角内部的，如果一点到角两边的距离相等，则它在该角的平分线上。

三角形三条角平分线交于一点，并且交点到三边距离相等，交点即为三角形的内心。

6、互逆命题和互逆定理7、全等三角形课堂复习等腰三角形1、已知，等腰三角形的一条边长等于6，另一条边长等于，则此等腰三角形的周长是（）A．9 B．12 C．15 D．12或152. 等腰三角形的底角为15°,腰上的高为16,那么腰长为______ ____3、等腰三角形的一个角是80度，则它的另两个角是4、等腰三角形的顶角为120°，腰长为4，则底边长为__________C EA D B等边三角形1、如图：等边三角形ABC 中，D 为AC 的中点，E 为BC 延长线上一点，且DB=DE,若△ABC 的周长为12，则△DCE 的周长为___________. 垂直平分线1、如图1，在△ABC 中，已知AC=27，AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交AC 于点E ，△BCE 的周长等于50，求BC 的长.2、如图：△ABC 中，AB=AC,∠BAC=1200,EF 垂直平分AB, EF=2,求AB 与BC 的长。

解三角形周长面积范围类题型

解三角形周长面积范围类题型解三角形与不等式一、解答题（共10小题）1.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知：Ⅰ）求角A的大小；Ⅱ）若a+b+c=3，求△ABC的面积的最大值。

2.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且cos2B+sin2B＝1，＜B＜π/2。

1）求B；2）若a+b=3，c=2，求△ABC面积的最大值。

3.设△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且b^2=a(c-a)。

1）求角B的大小；2）设b＝x，求△ABC周长的最大值。

4.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知：1）求A；2）若a=1，求△ABC面积的最大值。

5.△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且c^2=a^2+b^2-2abcosC。

Ⅰ）求∠C的值；Ⅱ）若a+b+c=6，求△ABC面积的最大值。

6.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a^2=b(c-a)。

1）求角A的大小；2）若a+b+c=6，求b+c的最大值。

7.△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，设（sinB-sinC）^2=sin^2A-sinBsinC。

1）求A；2）当a=6时，求其面积的最大值，并判断此时△ABC的形状。

8.已知在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且c^2=a^2+b^2-2abcosC。

1）求角C的大小；2）若c=3，求a+b的取值范围。

9.在△ABC中，内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，且满足sin^2A=(b+c-a)(a+b-c)。

1）求sin2A；2）若a=1，△ABC的面积为2，求b+c的值。

10.已知锐角△ABC面积为S，∠A，∠B，∠C所对边分别是a，b，c，∠A，∠C平分线相交于点O，且AO=OC。

1）求∠B的大小；2）△AOC周长的最大值。

1.根据三角形面积公式，可以得出△ABC 的面积最大值为 acsinB，其中 B 为∠ABC 的角度。

高中数学数列、解三角形、不等式综合复习

本讲主要复习了必修（5）数列、解三角形、不等式等三部分知识要点和考点。

在利用这些知识点解决问题时注重函数的思想、数与形结合的思想、方程的数学思想、分类讨论的数学思想、等价转化的数学思想及配方法、特值法、分离参数法等数学思想方法的应用。

考点一：数列、不等式、解三角形等基础知识的考查例1、在下列命题中，把正确命题的序号填在题后的横线上。

（1）当三角形的各角的余切成等差数列时，各角所对边的平方成等差数列（2）已知不等式①②x2－6x+8<0 ③2x2－9x+m<0若同时满足①②的x值也满足③，则m9.（3）一个等差数列和一个等比数列，其首项是相等的正数，若其第（2n+1）项是相等的，则这两个数列的第（n+1）项也是相等的。

（4）方程有解时a的取值范围是在上述命题中正确命题的序号是。

分析：（1）设三个角A，B，C所对的边分别是a，b，c.由已知条件得：2cotB=cotA+cotC然后化为正、余弦。

通分再利用正、余弦定理可证：2b2=a2+c2.（2）可用特值法：先求不等式①②解集的交集。

再对m取特值验证。

也可利用二次函数的图像解决。

（3）利用等差、等比数列的通项公式表示这两个数列的第（n+1）项，然后比较大小。

或取特值验证。

（4）分离参数法：把a分离出来，用表示a，再用均值不等式求解。

解析：（1）由已知得：2cotB=cotA+cotC.利用正、余弦定理可证：2b2=a2+c2.故命题（1）是正确的。

（2）不等式①②的交集是（2，3），取m=0时，不等式化为：显然当2<x<3时，不等式成立。

故命题（2）错误另解：利用二次函数图像求解：设f（x）=2x2－9x+m，如图由已知得：（3）设数列分别是等差数列、等比数列。

首项分别是>0公差和公比分别是d、q，取n=2，q=2，由已知：即：，故==－=故，故命题（3）错误。

（4）由方程得：－（4+a）=.故此命题错误。

考点二：不等式与数列的综合应用的考查例2、已知数列{a}是首项a1＞0，q＞－1且q≠1的等比数列，设数列{b}的通项为b=a－ka（n∈N），数列{a}、{b}的前n项和分别为S，T．如果T＞kS对一切自然数n都成立，求实数k的取值范围．分析：由探寻T和S的关系入手谋求解题思路。

解三角形和不等式教学课件

C
D
A
D
C
A
x
B
某工厂家具车间造A、B型两类桌子，每张桌子需木工和漆工两道工序完成。已知木工做一张A、B型桌子分别需要1小时和2小时，漆工油漆一张A、B型桌子分别需要 3小时和 1小时，又知木工、漆工每天工作分别不得超过8小时和9小时，而工厂生产一张A、B型桌子分别可获利润2千元和3千元。试问工厂每天应生产A、B 型桌子各多少张，才能获得最大利润？
C.
D.
*分析*
应选择C.
*点评*作差比较两个数的大小是最基本的方法，在任何复杂的情况下要坚持这个方法。另外把1等量代换起到了重要的作用，这要认真体会。当然特殊值法也可解之，但作为能力训练，我们还是强调本题给出的解法。
D
C
C
3x+5y-25=0
y
x-4y+3=0
x x=1 2x+y=0
C
A
A
E
200 m
D
B
C
基本不等式的变形：
E
（二）不等式
1、掌握不等式的8个性质； 2、掌握处理线性规划问题的基本思想； 3、掌握基本不等式的形式及其变形；
4、注意利用基本不等式求最值时的三个限制条件；
（一正、二定、三相等）
b
2a-b=0
a+b=4 a-b=1 D a+b=2 a-b=2 C A B
1 2 4 a
[例题3]设 A.
，下列不等式正确的是（） B.
例6．下列函数中，最小值为4的是( (A) (B) (C) (D)
C
)
例7.若lgx+lgy＝1，
2 的最小值是______.

数学必修解三角形数列不等式

一、解三角形一、知识点 1、正弦定理：2sin sin sin a b cR A B C=== （边角灵活转化） 2、余弦定理：2222cos a b c bc A =+-;2222cos b c a ca B =+-;2222cos c a b ab C =+-.（灵活变形） 3、大边对大角，小边对小角（灵活取舍单解、多解）4、内角和：在△ABC 中，有()A B C C A B ππ++=⇔=-+222C A B π+⇔=-222()C A B π⇔=-+. 5、三角形五心内心：内切圆圆心，3内角平分线交点，内心到3边距离相等；外心：外接圆圆心，3垂直平分线交点，外心到3顶点距离相等；重心：3中线交点，每条中线被分成2:1，△ABC 的重心的坐标是123123(,)33x x x y y y G ++++；垂心：3高交点，垂心及顶点四点中任一点是其余三点为顶点的三角形的垂心；旁心：1内角平分线与其他2角的外角平分线交点。

每个三角形都有3个旁心，旁心到三边等距。

【不做要求】二、题型：（1）求未知边角：梳理已知条件，选择用什么定理；（2）判断三角形形状【思路一：等式化成角（正弦定理+内角和+诱导公式）；思路二：等式化成边（两定理联合）】（3）求三角形面积：111222a b c S ah bh ch ===；111sin sin sin 222S ab C bc A ca B ===；()()()S p p a p b p c =---. 二、数列一、知识点： (一)、求通项公式n a 1、已知n s 求n a ：⎩⎨⎧∈≥-==-),2()1(*11N n n S S n S a n n n 注意验证n=1。

2、已知递推公式求n a （已知首项1a ）（1）c a a n n +=+1型【构造等差数列】（2）c ka a n n +=+1型【构造等比数列*1-k c】（3）)(1n f a a n n +=+型【累加法】（4）)(1n f a a n n =+型【累乘法】 (二)、n a 、n S 的最大最小问题： [不等式法]n a 最大⎩⎨⎧≥≥⇔+-11n n n n a a a a ；n a 最小⎩⎨⎧≤≤⇔+-11n n n n a a a a ；n S 最大⎩⎨⎧≤≥⇔+001n n a a ；n S 最小⎩⎨⎧≥≤⇔+01n n a a ；[函数法]：数列是特殊的函数（特别注意定义域：*N n ∈）(三)、等差等比数列必备知识点：等差数列等比数列备注通项公式d n a a n )1(1-+=11-⋅=n n q a a*推广d m n a a m n )(-+=m n m n q a a -⋅=*变形（m+n=p+q ）q p n m a a a a +=+q p n m a a a a ⨯=⨯两边项数相等*特别m+n=2k （偶数） k n m a a a 2=+2k n m a a a =⨯中项公式112-++=n n n a a a112-+⋅=n n n a a a求和公式d n n na a a n S n n 2)1(2)(11++=+=qq a a q q a S n n n --=--=11)1(11*性质1 等距等差等距等比 *性质2 等距和等差等距和等比(四)、重点题型混合型【等差等比混合--分清主次】(五)数列求和【弄清共有多少项？整理完剩余什么项？】 1、公式法【借助常用结论、公式、构造等差等比】2)1(321+=++++n n n Λ；6)12)(1(3212222++=++++n n n n Λ；4)1(2)1(3212223333+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=++++n n n n n Λ 2、错位相减法【每项为等差等比项之积/2式同乘公比，再1式减2式】 3、裂项相消法【通项可拆成两项差】111)1(1+-=+n n n n ；⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+k n n k t k n n t 11)(； n n n n -+=++111 三、不等式㈠一元二次不等式1、解法：二次项系数化正→∆>0，解对应方程两根，大时取两边小时取中间；0≤∆时结合对应函数图像写出解集；2、注意事项：(1)解集是集合，要用描述法或区间表示。

必修五《解三角形,不等式》专题典例参考资料

解三角形（理）知识要点：一、正弦定理及其变形： sin a A= （R 为三角形外接圆半径）变形1：=C B A sin :sin :sin 变形2：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧======)(sin ;)(sin ;)(sin ;C c B b A a 二、余弦定理及其推论：=2a=2b=2c推论：=A cos =B cos =C cos三、三角形面积公式=∆ABC S l r S ABC ⋅=∆21（r 是内切圆的半径，l 是三角形的周长） 1sin cos 22=+A A π=++C B A重要习题1、在△ABC 中，b ＝22，B ＝45°，则A=60°a ＝______；2、在△ABC 中，已知bc c b a ++=222，则角A 为 ;3、在△ABC 中，已知bc b c a =--2222123且32π=A △ABC 是三角形. 4、在△ABC 中，a ＝3，b ＝7，c ＝2，那么B 等于；最大角的余弦值为 ; △ABC 的面积为 ;5、在△ABC 中，4:3:2sin :sin :sin =C B A 且14=+c b 则△ABC 的面积为。

6、在ABC ∆中，若其面积222S =C ∠=_______；7、已知△ABC 中，a ＝8，b ＝7，B ＝60°，求边c 及S △ABC ‘《不等式》（理）一、一元二次不等式的解法：1、解一元二次不等式的步骤：当0a ≠时求解不等式：20ax bx c ++>（或20axbx c ++<）（1）将原不等式化为一般式（a ）.（2）判断的符号.（3）求（4）根据写解集. 顺口溜：在二次项系数为正的前提下：大于，小于。

2、分式不等式求解步骤：，，，，如：⇒>a x g x f )()(⇒≤a x g x f )()( 3、一元二次不等式恒成立情况小结：20ax bx c ++>（0a ≠）恒成立⇔20ax bx c ++<（0a ≠）恒成立⇔4、[]n m x x f a ,)(∈<，恒成立⇔[]n m x x f a ,)(∈≥，恒成立⇔三．线性规划1、解线性规划问题的一般步骤：第一步：在平面直角坐标系中作出可行域；第二步：在可行域内找到最优解所对应的点；第三步：解方程的最优解，从而求出目标函数的最大值或最小值。

不等式向量解三角形复习

一、不等式的解法：1.一元一次不等式：Ⅰ、(0)ax b a >≠：⑴若0a >，则；⑵若0a <，则；Ⅱ、(0)ax b a <≠：⑴若0a >，则；⑵若0a <，则；2.一元二次不等式：0a >时的解集与∆有关（数形结合:二次函数、方程、不等式联系）3. 高次不等式：数轴标根步骤：正化，求根，标轴，穿线（奇穿偶不穿），定解.4.分式不等式的解法：通解变形为整式不等式； ⑴()0()f x g x >⇔；⑵()0()f x g x <⇔； ⑶()0()f xg x ≥⇔ ；⑷()0()f xg x ≤⇔；5.解含有参数的不等式：解含参数的不等式时，首先应注意考察是否需要进行分类讨论.如果遇到下述情况则一般需要讨论： ①不等式两端乘除一个含参数的式子时，则需讨论这个式子的正、负、零性.②在求解过程中，需要使用指数函数、对数函数的单调性时，则需对它们的底数进行讨论.③在解含有字母的一元二次不等式时，需要考虑相应的二次函数的开口方向，对应的一元二次方程根的状况（有时要分析△），比较两个根的大小,设根为12,x x （或更多）但含参数，要分12x x >、12x x =、12x x <讨论。

例：解关于x 的不等式： 2(1)10ax a x -++< （)R a ∈）例：实系数方程2()20f x x ax b =++=的一个根在（0，1）内，另一个根在（1，2）内，则21b a --∈；22(1)(2)a b -+- ∈ ；3a b +- ∈二、不等式的性质（几个重要不等式）（1）0,0||,2≥≥∈a a R a 则若（2）)2||2(2,2222ab ab baab ba Rb a ≥≥+≥+∈+或则、若（当仅当a=b 时取等号）（3）如果a ,b 都是正数，那么.2a b +（当仅当a=b 时取等号）极值定理：若,,,,x y R x y S xy P +∈+==则：○1如果P 是定值, 那么当x=y 时，S 的值最小； ②如果S 是定值, 那么当x =y 时，P 的值最大.利用极值定理求最值的必要条件：一正、二定、三相等.常用的方法为：拆、凑、平方；例1:设12,,,x a a y 成等差数列，12,,,x b b y 成等比数列，则21212()a a b b +的取值范围是___ 。

解三角形数列不等式考点分析。..

解三角形数列不等式考点分析。

必修五所学三章都为高考考察重点，且是与高考数学联络严密的知识点，温习中应惹起大家注重，本文经过对考点停止剖析来指点温习。

一、解三角形考点剖析〔1〕判别三角形的外形；〔2〕正余弦定理的复杂运用；〔3〕测量效果。

这些标题难度不大，题型是中档题与复杂题，主要考察考生运用正余弦定理及三角公式停止恒等变形的才干；化简、求值或判别三角形外形为主，也能够与其他知识相结合，重点与三角恒等或平面向量交汇。

例1、台风中心此A 地以每小时20千米的速度向正南方向移动，离台风中心30千米内的地域为风险区，城市B 在A 的正西方40千米处，城市B 处于风险区内的时间为多长？解：如图，设台风中心从A 地到C 地用时为t ，|AC|＝20t ，在▲ABC 中，由余弦定理得：t t A AC AB AC AB BC 280024001600cos ||||2||||||22-+=-+=，依题意，只需30||≤BC ，城市B 就处于风险区内，由此得： 121222122min max =--+=-t t 〔小时〕，所以城市B 处于风险区内的时间为1小时。

点评：正确了解方位角，画出契合实践状况的图形，普通是以时间为变量表达出图形中的线段，然后应用正、余弦定理，结合详细效果情境列式处置，这是应用正、余弦定理处置实践效果的重要思绪之一。

例2、▲ABC 的内角A 、B 、C 所对的边区分为a ，b ，c ，它的外接圆半径为6，三边a ，b ，c ，角A 、C 和▲ABC 的面积S 满足以下条件：22)(a c b S --=和〔1〕求B sin 的值；〔2〕求▲ABC 的面积的最大值。

剖析：此题从所给条件▲ABC 的面积S 满足以下条件：22)(a c b S --=能获取的信息是应用面积公式B ac S sin 21=与的关系式树立起等量关系，结合余弦定理第一问可求得；由条件外接圆半径为6应联想正弦定理以及条件34sin sin =+C A 可得a ＋c ＝16为定值，应与基本不等式联络解第二问。

8年级上(三角形、特殊三角形、不等式)

第一章全等三角形 1．1全等三角形教学目标：1了解全等形及全等三角形的的概念； 2 理解全等三角形的性质；3 在图形变换以及实际操作的过程中发展学生的空间观念，培养学生的几何直觉；4 学生通过观察、发现生活中的全等形和实际操作中获得全等三角形的体验在探索和运用全等三角形性质的过程中感受到数学的乐趣。

重点：探究全等三角形的性质难点：掌握两个全等三角形的对应边，对应角能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形引导学生完成课本P 3思考：归纳:一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形全等。

“全等”用“≌”表示，读作“全等于”两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上，如⊿ABC 和⊿DEF 全等时，点A 和点D ，点B 和点E ，点C 和点F 是对应顶点，记作⊿ABC ≌⊿DEF 。

把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角思考：如果⊿ABC ≌⊿DEF ，对应边有什么关系？对应角呢？归纳:全等三角形性质：全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等。

思考：（1）下面是两个全等的三角形，按下列图形的位置摆放，指出它们的对应顶点、对应边、对应角DDD（2）将⊿ABC 沿直线BC 平移，得到⊿DEF ，说出你得到的结论，说明理由？B- 2 -（3）如图，⊿ABE ≌⊿ACD, AB 与AC ，AD 与AE 是对应边，已知：∠A=43°，∠B=30°，求∠ADC 的大小。

BC作业：课题：1．2 三角形全等的判定(1) SSS教学目标①经历探索三角形全等条件的过程，体会利用操作、归纳获得数学结论的过程． ②掌握三角形全等的“边边边”条件，了解三角形的稳定性． ③通过对问题的共同探讨，培养学生的协作精神．教学难点三角形全等条件的探索过程．给出例l ，如下图△ABC 是一个钢架，AB ＝AC ，AD 是连接点A 与BC 中点D 的支架，求证△ABD ≌△ACD ．ABD让学生独立思考后口头表达理由，由教师板演推理过程．例2 如图是用圆规和直尺画已知角的平分线的示意图，作法如下：①以A 为圆心画弧，分别交角的两边于点B 和点C ；②分别以点B 、C 为圆心，相同长度为半径画两条弧，两弧交于点D ； ③画射线AD ．AD 就是∠BAC 的平分线．你能说明该画法正确的理由吗?例3 如图四边形ABCD 中，AB ＝CD ，AD ＝BC ，你能把四边形ABCD 分成两个相互全班级：初二（上）任教者：Jay song 二O 一四年- 3 -等的三角形吗?你有几种方法?你能证明你的方法吗?试一试．A BCD五、巩固练习：六、反思小结回顾反思本节课对知识的研究探索过程、小结方法及结论，提炼数学思想，掌握数学规律．七、布置作业：课题：1.2 三角形全等的判定(2) SAS教学目标①经历探索三角形全等条件的过程，培养学生观察分析图形能力、动手能力． ②在探索三角形全等条件及其运用的过程中，能够进行有条理的思考并进行简单的推理．③通过对问题的共同探讨，培养学生的协作精神．教学难点指导学生分析问题，寻找判定三角形全等的条件．知识重点应用“边角边”证明两个三角形全等，进而得出线段或角相等．总结规律：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等．(SAS)补充强调：角必须是两条相等的对应边的夹角，边必须是夹相等角的两对边．三、应用新知，体验成功出示例1，如图，有—池塘，要测池塘两端A 、B 的距离，可先在平地上取一个可以直接到达A 和B 的点C ，连接AC 并延长到D ，使CD ＝CA ，连接BC 并延长到E ，使CE ＝CB ．连接DE ，那么量出DE 的长就是A 、B 的距离，为什么?让学生充分思考后，书写推理过程，并说明每一步的依据．- 4 -A B C DE AB CDEFM (若学生不能顺利得到证明思路，教师也可作如下分析：要想证AB ＝DE ，只需证△ABC ≌△DEC△ABC 与△DEC 全等的条件现有……还需要……)明确证明分别属于两个三角形的线段相等或者角相等的问题，常常通过证明这两个三角形全等来解决．补充例题：2、已知：如图AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE求证： △ABD ≌△ACE 证明:∵∠BAC=∠DAE （已知）∠ BAC+ ∠ CAD= ∠DAE+ ∠ CAD ∴∠BAD=∠CAE 在△ABD 与△ACEAB=AC （已知） ∠BAD= ∠CAE （已证） AD=AE （已知）∴△ABD ≌△ACE （SAS) 思考：求证：1.BD=CE 2. ∠B= ∠C 3. ∠ADB= ∠AEC 变式1：已知：如图，AB ⊥AC,AD ⊥AE,AB=AC,AD=AE. 求证： △DAC ≌△EABBE=DC ∠B= ∠ C ∠ D= ∠ E BE ⊥CD四、再次探究，释解疑惑出示探究4，我们知道，两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等．由“两边及其中一边的对角对应相等”的条件能判定两个三角形全等吗?为什么?让学生模仿前面的探究方法，得出结论：两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等．五、巩固练习六、小结提高1．判定三角形全等的方法；2．证明线段、角相等常见的方法有哪些?让学生自由表述，其他学生补充，让学生自己将知识系统化，以自己的方式进行建构．七、布置作业班级：初二（上）任教者：Jay song 二O一四年- 5 -C课题： 1.2 三角形全等的判定(3) “ASA”“AAS”．教学目标①探索并掌握两个三角形全等的条件：“ASA”“AAS”，并能应用它们判别两个三角形是否全等．②经历作图、比较、证明等探究过程，提高分析、作图、归纳、表达、逻辑推理等能力；并通过对知识方法的总结，培养反思的习惯，培养理性思维．③敢于面对教学活动中的困难，能通过合作交流解决遇到的困难．教学重点理解，掌握三角形全等的条件：“ASA”“AAS”．教学难点探究出“ASA”“AAS”以及它们的应用．教学过程（师生活动）创设情境复习：师：我们已经知道，三角形全等的判定条件有哪些?生：“SSS”“SAS”师：那除了这两个条件，满足另一些条件的两个三角形是否也可能全等呢?今天我们就来探究三角形全等的另一些条件。

2016届原创§49 三角方程及三角不等式

法1：原不等式等价于 sin x 3 cos x＞0 即 2 sin( x )＞0 3
③通解公式 x0是主值区间上的特解
①0若 sinx=a，则当|a|＞1时，无解当a=1时， x 2k (k Z ) 2 当a=－1时， x 2k (k Z )
2 k x k ( 1 ) x0 (k Z ) 当|a|＜1时，
②0若 cosx=a，则当|a|＞1时，无解当，则 a=1时， ③0若 tanx=a
sin x cos x
sin x＞cosx
sin x＜cosx
sin x＜x＜tanx
sin x＜tanx sin x＞tanx
练习3. 三角不等式
(5)(1998年全国)已知点P（sinα－cosα，tanα）在第一象限，则在［0，2π］内α的取值范围是【B】
3 5 3 A. ( ， ) ( ， ) 2 4 4 2 3 5 C. ( ， ) ( ， ) 2 4 4
方程cosx=a
x0
x0
方程tanx=a
x0
y=a x0=arctana
练习2.解三角方程 (3)(1985年全国)方程 2 sin( x ) 1 的解集是_______ 6 1 ,则 1 法1：即解 sin( x ) ,令 t x sin t 6 2 6 2 三法画图象 “代表”+ kT
(2)复式变换法：
2.复式变换法作图
(1).双重变换法 (2).多重变换法单式变换是基础和谐函数是代表一根二序三变量运算主体纯字母④ 图象变换点变换⑤ 常用结论要熟知⑥ 以点代线是小作复杂变换用参量
注①：“根”是指要变换的最原始的图象
① ② ③

必修五解三角形不等式知识点

1、三角形三角关系：A+B+C=180°；C=180°—(A+B)；2、三角形三边关系：a+b>c; a-b<c3、三角形中的基本关系：sin()sin ,A B C +=cos()cos ,A B C +=-tan()tan ,A B C +=-sincos ,cos sin ,tan cot 222222A B C A B C A B C+++===4、正弦定理：在C ∆AB 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，R 为C ∆AB 的外接圆的半径，则有2sin sin sin a b cR C===A B ． 5、正弦定理的变形公式：①化角为边：2sin a R =A ，2sin b R =B ，2sin c R C =；②化边为角：sin 2a R A =，sin 2b R B =，sin 2c C R=； ③::sin :sin :sin a b c C =A B ；④sin sin sin sin sin sin a b c a b cC C++===A +B +A B ．6、两类正弦定理解三角形的问题：①已知两角和任意一边，求其他的两边及一角. ②已知两角和其中一边的对角，求其他边角.(对于已知两边和其中一边所对的角的题型要注意解的情况（一解、两解、三解）)7、余弦定理：在C ∆AB 中，有2222cos a b c bc =+-A 等，变形： 222cos 2b c a bc+-A =等，8、余弦定理主要解决的问题：①已知两边和夹角，求其余的量。

②已知三边求角） 9、三角形面积公式：111sin sin sin 222C S bc ab C ac ∆AB =A ==B ．=2R 2sinAsinBsinC=R abc 4=2)(c b a r ++=))()((c p b p a p p ---10、如何判断三角形的形状：判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式设a 、b 、c 是C ∆AB 的角A 、B 、C 的对边，则：①若222a b c +=，则90C =；②若222a b c +>，则90C <；③若222a b c +<，则90C >． 11、三角形的四心：垂心——三角形的三边上的高相交于一点重心——三角形三条中线的相交于一点（重心到顶点距离与到对边距离之比为2:1）外心——三角形三边垂直平分线相交于一点（外心到三顶点距离相等）内心——三角形三内角的平分线相交于一点（内心到三边距离相等） 12 、三角函数中诱导公式及辅助角公式（和差角、倍角等）。

解三角形、不等式

2
６＋2 6 ；（2）（ 3 － 2 ）
2
（ 6 －1）；
2
1 52
1 ； 6 5
(4)当 a＞b＞0 时，log 1 a
2
log 1 b
2
[补充例题] 例 2、比较(a＋3)（a－５）与（a＋2）（a－4）的大小。分析：此题属于两代数式比较大小，实际上是比较它们的值的大小，可以作差，然后展开，合并同类项之后，判断差值正负(注意是指差的符号，至于差的值究竟是多少，在这里无关紧要)。根据实数运算的符号法则来得出两个代数式的大小。比较两个实数大小的问题转化为实数运算符号问题。
6 已知 a 7, b 3, A 1100 则三角形 ABC 有（）解 A 一 B 两 C 无解
7.在 ABC 中，三个内角之比 A : B : C 1 : 2 : 3 ，那么 a : b : c 等于____ 8.在 ABC 中， B=135
0
C=15
0
a=5 ,则此三角形的最大边长为_____
a b c sin A ， sin B ，又 sinC 1 , c c c a b c 则 c sin A sin B sinC a b c 从而在直角三角形 ABC 中， sin A sin B sin C
的定义，有
A b C a (图 1．1-2) c B
思考：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？（由学生讨论、分析）可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：如图 1．1-3，当 ABC 是锐角三角形时，设边 AB 上的高是 CD，根据任意角三角函数的定义，有 CD= a sin B b sin A ,则同理可得从而
成立。 (2)特别地,如果 a 0,b 0, 用 a和 b 分别代替a、b , 可得a b 2 ab ,也可写成 2.两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数 ab 例题分析： 1 若 0 a b 且 a b 1 ，则下列四个数中最大的是 1 Ａ．Ｂ． a 2 b2 Ｃ．2ab 2

《不等式》与《解三角形》

《不等式与解三角形》zdj11 ()()()),1000001201n n a b b a a b b c b c a b c R a c b c a b c ac bc a b c ac bc a b c d a c b d a b c d ac bd a b a b n N n a b n N n ++⊗>⇔<⊗>>⇒>⊗>∈⇔+>+⎧⎨⊗>>⇒>><⇒<⎩⊗>>⇒+>+⊗>>>>⇒>⊗>>⇒>∈>⊗>>∈>反对称性：；传递性：且；可加性：；基本性质可乘性：且；且；性加法：且；乘法：且；乘方：且；质运算性质开方：且；不等式()()()()(){}{}22121212110<10002||a b ab a b ax bx c ax bx c a x x x x x x x x x x x R ⎧⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎨⎪⊗>>⇒⎪⎪⎩⎩++>++>≠⊗<><<⊗∅ 倒数：且；标准形式：或；解法：数形结合法； 3步骤：一化、二算、三作、四写；若解集具有或或的形式，则、一定为其对应方程的根；反解一元不等式若解集为或，则根据“不等号”与“解集”确定对应函数的图象，进而依据图象列条件处理二次题4不等式型()()()()00000Ax By C B Ax By C Ax By C Ax By C Ax ⎧⎪⎪⎧⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎨⎪→→∆→⎨⎪⎪⎪→∆→→⎪⎪⎪⎪⎩⎩++><><++>++=++<+ ；含参不等式：定型定开口定判别式定根的大小；二次方程根的分布问题：依据对应二次函数图象处理，列条件需要考虑“开口判别式对称轴特殊点”；直线定界，特殊点定域；二元一次不等式1时，表示直线上下方区域；表示平面区域，判定方法表示直线线性规划()()()()000By C x y z l l ⎧⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 下上方区域；2定义：求线性目标函数在线性约束条件下的最值问题，称为线性规划问题，满足线性约束条件的解叫做可行解，由所有的可行解组成的集合叫做可行域，使目标函数取得最值的可行解叫做最优解；利用图解法设变量、、；得线性约束条件及目标函数；作可行域；3处理线性规划作直线，并平移，确定最优解所对应的位置；求最优解，进而问题的步骤()()())()1,22y b z ax by z x a z a b a b R a b +⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩⎪⎪⎪-⎪⎧=+=⎪⎪-⎨⎪⎪⎪⎩⎩+∈= 求目标函数的最值；4求整点最优解的方法：平移直线，网格定点；调整优解法；型如的整式问题利用截距处理；型如的分式问题利用斜率公式处理；5题型型如形式：其中，当且仅当时取“=?条件：一正、二定、应用均值不等式()()()214,,1110,01243x y R xy P x y x y x y R x y S x y xy S a b a b x y R a b t x y x y x y x y a b a b ab a +++⎧⎪⎧∈=+⎪⎪⎪⎪⎪∈+=⎪⎨⎪⎨⎪⎛⎫⎪⎪+∈+++ ⎪⎪⎪⎝⎭⎪⎪⎪⎩⎩>>+=≤≤ 三等、四同；已知、，若积为定值，则当时，和有最小值已知、，若和为定值，则当时，和有最大值；类型已知分式、、为常数为定值则整式的最值可利用处理；若实数且；；结论()())(()()()()()()()max min 117440,4ab b ab k y x k x a f x a f x a f x a f x a f x a f x ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎧≥+≥⎪⎪⎨⎡⎪=+>∞⎣⎩⎧⎧⎪⊗⎪⎨⎪>⇔><⇔<⎨⎪⎩⎪⊗><⎪⎩⎩ ；；对号函数的单调性：在-与上是增函数；在与上是减函数；数形结合法；恒成立问题分离参数法：恒成立；恒成立；常见题型不等式有解问题：或有解问题可利用数轴数形结合处理；()()()22222222212sin sin sin 22cos 2cos 2a b c R R ABC A B C a b c bc A b a c ac B c b a a ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⊗===∆⊗=+-=+-=+-定义：由三角形中的已知元素求出所有未知元素的过程；正弦定理：其中为外接圆半径；依解余弦定理：；；据三角形()()cos 1111sin sin sin 2222sin 2sin 2sin sin 23cos cos ABC ABC b C S BC h h BC S ab C ac B bc A ABC A B A B A B A B a b A B ABC A B A B π∆∆⎧⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⊗=⋅===⎪⎨⎪⎪⎩⎪⎧⎪∆=⇔=+=>⇔>⇔>⎪⎪⎨⎪⎪∆<⇔>⎩⎪⎪⎩ ；三角形面积公式：其中为边上的高；；中，或；；结论：中，；。

解三角形、数列、不等式

问2 写出余弦定理及其变式, 余弦定理能解决哪类三角形问题?
问3 怎样推导正弦定理和余弦定理?
1
例1 在ΔABC中，若sin2A= sin2B+ sin2C+ sinB⋅sinC，则角A等于 π 2π 3π 5π A. B. C. D. 3 3 4 6
例2 在ΔABC 中, 若 a cos A = b cos B , 则ΔABC 的形状是 A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰三角形或直角三角形
2
3 例6 已知锐角三角形 ABC 中，sin(A+B)= , 5 （1）求证：tanA = 2tanB; （2）设AB=3, 求AB边上的高.
1 sin(A－B)= , 5
例7 在ΔABC 中，∠A 的平分线 AD 与边 BC 相交于点 D, 求证：
BD AB = . DC AC
例8 连接直角三角形的直角顶点与斜边的两个三等分点, 所得到的两条线段的长分别为 sinα π 和 cosα (0 < α < ) , 求斜边的长. 2
D.
3 2 5
6. 在ΔABC 中, 若 b = a sinC, c = a cosB, 则 ΔABC 是 B. 等腰三角形 A. 直角三角形 C. 等腰三角形或直角三角形 D. 等腰直角三角形 7.
在∆ABC 中, A=60°, a=1, 求此三角形的最大周长.
8.
在ΔABC 中, a, b, c 分别是角 A, B, C 的对边, 已知 a + c = 10 , C = 2A , cosA =
检测题答案或提示....................................................................................................................39

第13讲解三角形中恒等式与不等式问题(学生版)

第13讲解三角形中恒等式与不等式问题【考点分析】考点一：解三角形中常用恒等式①射影定理：Ab B ac A c C a b B c C b a cos cos ,cos cos ,cos cos +=+=+=②三角形内角和定理：22,ππ=++=++C B A C B A ，所以()()C C B A sin sin sin =-=+π，同理()A C B sin sin =+，()B C A sin sin =+，()()C C B A cos cos cos -=-=+π，同理()A C B cos cos -=+，()B C A cos cos -=+，()()C C B A tan tan tan -=-=+π，同理()A C B tan tan -=+，()B C A tan tan -=+，所以2cos 22sin 2sin C C B A =⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+π，同理2cos 2sin A C B =⎪⎭⎫ ⎝⎛+，2cos 2sin B C A =⎪⎭⎫ ⎝⎛+，③正切恒等式：CB AC B A tan tan tan tan tan tan =++考点二：解三角形中常见不等式关系①任意三角形的内角和为180°；三条边满足：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边.②大边对大角，小边对小角，B A b a B A sin sin >⇔>⇔>，所以在ABC ∆中B A B A sin sin >>是的充要条件③在锐角ABC ∆中，一定有A C C B B A cos sin ,cos sin ,cos sin >>>，即一个角的正弦值一定大于另一个角的余弦值，从而可以得到锐角ABC ∆中，一定有CB AC B A cos cos cos sin sin sin ++>++【典型例题】【例1】在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，AB c =，AC b =，BC a =，则下列关系不成立的是（）A ．cos a cB =⋅B ．tan tan 1A B ⋅=C ．cos b c A =⋅D ．tan a b B =【例2】已知ABC ∆的内角A 、B 、C 满足()()sin 2si 1n s n 2i A A B C C A B +-+=--+，面积S 满足12S ≤≤，记a 、b 、c 分别为A 、B 、C 所对的边，则下列不等式一定成立的是（）A ．()8bc b c +>B ．()ab a b +>C ．612abc ≤≤D ．1224abc ≤≤【例3】ABC 的三边分别为a ,b ,c ,若ABC 是锐角三角形,则（）A ．sin cos A B <B ．tan tan 1A B >C ．cos()0A B +>D ．sin()sin A B C+>【例4】（多选题）在ABC 中，角、、A B C 的对边分别为a b c 、、，则下列关系恒成立的是（）A ．若A B >，则sin sin A B>B ．()cos 22cos2A B C +=C ．sin sin 22A B C +=D ．若cos2cos2A B >，则A B<【例5】（多选题）在ABC 中，给出下列四个命题，其中正确的命题是（）A ．若A B <，则sin sin A B<B ．若sin sin A B <，则A B <C ．若A B >，则11tan 2tan 2A B >D ．若A B >，则22cos cos A B>【例6】如图，已知△ABC 内有一点P ，满足PAB PBC PCA α∠=∠=∠=．(1)证明：sin sin PB ABC AB α=．(2)若90ABC ∠= ，1AB BC ==，求PC ．【例7】在锐角ABC 中，已知sin sin 2sin sin sin 6c C a A b A C B π⎡⎤⎛⎫-=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，其中,,a b c 分别是ABC 的内角,,A B C 的对边.(1)求角A 的大小；(2)试比较2b 与a 的大小.【例8】在ABC 中，求证：（1）()()222222tan tan 0a b c A a b c B --+-+=；（2）2222cos 2cos 211A B a b a b-=-.【题型专练】1．在ABC 中，内角A ，B ､C 所对的边分别为a ､b ､c ，ABC 的面积为S ，下列与ABC 有关的结论，正确的是（）A ．若ABC 为锐角三角形，则sin cos A B>B ．若A B >，则sin sin A B>C ．若cos cos a A b B =，则ABC 一定是等腰三角形D ．若ABC 为非直角三角形，则tan tan tan tan tan tan A B C A B C++=2．对于ABC ，有如下命题，其中正确的有（）A ．若sin 2sin 2AB =，则ABC 是等腰三角形B ．若ABC 是锐角三角形，则不等式sin cos A B >恒成立C ．若222sin sin cos 1A B C ++<，则ABC 为锐角三角形D ．若2||AC AB AB ⋅> ，则ABC 为钝角三角形3．下列命题中是真命题的有（）A ．存在α，β，使()tan tan tan αβαβ-=-B ．在ABC 中，若sin 2sin 2A B =，则ABC 是等腰三角形C ．在ABC 中，“A B >”是“sin sin A B >”的充要条件D ．在ABC 中，若5cos 13A =，4sin 5B =则cosC 的值为3365或63654．在ABC 中，下列说法正确的是（）A ．若ABC 是锐角三角形，则sin cos A B<B ．若A B >，则sin sin A B>C ．不存在ABC 满足cos cos 0A B +≤D ．若2C π>，则22sin sin sin C A B>+5．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边外别为a ，b ，c ，下列说法中正确的是（）A ．若A B >，则sin sin A B>B ．若cos cos a b B A =，则ABC 为等腰三角形C ．sin sin sin +=+a b c A B CD ．若tan tan tan 0A B C ++<，则ABC 为钝角三角形6．在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若3a =)cos cos 0A C C b A ++=.（1）求角A ；（2）若AD 为ABC 的角平分线，证明：111AC AB AD +=.7．在ABC 中，A B C <<，且tan A ，tan B ，tan C 均为整数．(1)求A 的大小；(2)设AC 的中点为D ，求证：BC BD =．8．在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知()tan tan 2tan tan cos cos A B A B B A+=+．（1）证明：2a b c +=；（2）求C 的最大值．9．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，D 为AB 的中点.（1）证明：CD =.（2）已知4a =，6b =，4CD =，求ABC 的面积.。

高考数学难点突破(三角形中的三角函数式-不等式的证明策略-解不等式-不等式的综合应用)

解：(1)在 Rt△PAB 中，∠APB=60° PA=1，∴AB= 3 (千米)
在 Rt△PAC 中，∠APC=30°，∴AC= 3 (千米) 3
在△ACB 中，∠CAB=30°+60°=90°
BC AC 2 AB 2 ( 3 )2 ( 3)2 30
3
3
30 1 2 30(千米 /时) 36
cos
1 cos2 3 sin 2
4
4
cos cos2
3 4
,
依题设条件有
cos cos2
3
2, cos B
4
cos B
1 , cos 2 cos2
3
2
2.
4
整理得 4 2 cos2α+2cosα－3 2 =0(M)
(2cosα－ 2 )(2 2 cosα+3)=0，∵2 2 cosα+3≠0，
弦成正比，角和这一点到光源的距离
r
的平方成反比，即
I=k·
sin r2
，
其中 k 是一个和灯光强度有关的常数，那么怎样选择电灯悬挂的高度 h，
才能使桌子边缘处最亮？
6.(★★★★)在△ABC 中，a、b、c 分别为角 A、B、C 的对边，4sin 2 B C cos2 A 7 .
2
2
(1)求角 A 的度数；
故 f(x)的值域为(－∞，－ 1 )∪［2，+∞ ) . 2
●锦囊妙计
本难点所涉及的问题以及解决的方法主要有：
(1)运用方程观点结合恒等变形方法巧解三角形；
(2)熟练地进行边角和已知关系式的等价转化；
(3)能熟练运用三角形基础知识，正、余弦定理及面积公式与三角函数公式配合，通过