第三章 受约束回归问题
第三章受约束回归问题
受约束样本回归模型为:
于是:
YXβ ˆ*e*
e * Y X β ˆ * X β ˆ e X β ˆ * e X β ˆ * β ˆ ) (
团结 信赖 创造 挑战
受约束样本回归模型的残差平方和：RSSR
e * e * e e ( β ˆ * β ˆ ) X X β ˆ * β ˆ ( )
例3.1 建立中国城镇居民食品消费需求函数模型。
根据需求理论，城镇居民对食品的消费需 求函数大致为:
Qf(X,P 1,P 0) (4) Q:城镇居民的食品支出总额，X：城镇居民的消费 支出总额,P1：食品价格指数，P0：居民消费价格 指数。
团结 信赖 创造 挑战
零阶齐次性，当所有商品和消费者货币支出 总额按同一比例变动时，需求量保持不变。
1 32 .1
1982
4 71 .0 4 32 .1
1 02 .0
1 02 .1
6 59 .1
3 25 .0
71.5
1 32 .9
1983
5 05 .9 4 64 .0
1 02 .0
1 03 .7
6 72 .2
3 37 .0
75.3
1 37 .7
1984
5 59 .4 5 14 .3
1 02 .7
1 04 .0
110 .7
1459.7
8 09 .5
114 .5
1 09 .3
1993 2110.8 1058.2
116 .1
116 .5
1694.7
9 43 .1
1 24 .6
112 .2
1994 2851.3 1422.5
1 25 .0
1 34 .2
第三章 线性回归模型的
例3.2 需求方程 我们可以将需求模型建立成双对数的形式，从而 估计需求弹性。 模型设为： lnQ = b0 + b1 ln P+ b2 lnI＋b3 ln Pr＋u 其中， Q 是每天的咖啡销售 I是收入 P 是咖啡每磅的价格 Pr 是相关产品——茶叶每磅的价格
估计结果为： lnQ=0.78 -0.25lnP +0.6I＋ 0.38lnPr t (51.1) (-5.12) (15.12) (3.25) 解释： （1）自价格弹性 是 -.25，表明保持其他不变， 如果价格增加1%，需求量将减少0.25%。这是缺乏 弹性的——弹性的绝对值小于1 （2）收入弹性是0.6 （3）交叉价格弹性是.38，表明保持其他不变， 如果茶叶的价格增加1%，咖啡的需求量增加0.38%。 注： 如果交叉弹性是正的，表明它们是替代品； 如果交叉弹性是负的，表明它们是互补的。
这种“量化”通常是通过引入“虚拟变量”来完 成的。根据这些因素的属性类型，构造只取“0” 或“1”的人工变量，通常称为虚拟变量 dummy 虚拟变量（dummy 虚拟变量 variables），记为D。 variables 例如，反映文化程度的虚拟变量可取为： 例如，反映文化程度的虚拟变量可取为 1， D= 0， 非本科学历 本科学历
参数的含义： 参数的含义：
β
j
∂Y = ∂ ln X
j
∂Y = ＝或 ∂X j X j
∆Y ∆X j X j
度量了在给定解释变量(X)的相对变化时， 度量了在给定解释变量(X)的相对变化时，Y的 (X)的相对变化时 绝对变化。 绝对变化。
例3.4货币供给的增长率对GNP的影响模型为： GNP = b 0 + b 1 lnM + u 斜率b1度量对M的相对变化，GNP的绝对变化— —M变化1%，GNP的绝对变化量为b1/100。 例如：b1=2000，说明货币供给增加1% ，将使 GNP 增加2000/100 = $20 billion.
受约束回归模型
但是，如果约束条件 受约束回归 但是 如果约束条件为真，则受约束回归 如果约束条件为 无约束回归模型具有相同的解释能力 模型与无约束回归模型具有相同的解释能力， 模型与无约束回归模型具有相同的解释能力 RSSR 与 RSSU的差异变小。 可用RSSR - RSSU的大小来检验约束的真实性 可用 根据数理统计学的知识：
Y1 X 1 = Y X 2 2 0 β μ + 1 I n 2 γ μ 2
(**)
可见，用前n1个样本估计可得前k个参数β的估计， β 而γ不外是用后n2个样本测算的预测误差X2(α - β) γ α
合并两个时间序列为( 1,2,…，n1 ，n1+1,…，n1+n2 )， 无约束回归模型 则可写出如下无约束回 无约束回
Y1 X 1 = Y 0 2 0 β μ + 1 X 2 α μ 2
(*)
如果α=β，表示没有发生结构变化，因此可针对 α β 如下假设进行检验： H0: α=β β
这里，运用了ESSR ＝0。
二、对回归模型增加或减少解释变量
考虑如下两个回归模型
Y = β 0 + β1 X 1 + L + β k X k + µ
Y = β 0 + β 1 X 1 + L + β k X k + β k +1 X k +1 + L β k + q X k + q + µ
(*) (**)
RSSU / σ 2 ~ χ 2 (n − kU − 1)
RSS R / σ 2 ~ χ 2 (n − k R − 1)
《受约束回归》课件
多项式回归案例
总结词
多项式回归是一种扩展的线性回归模型 ，适用于非线性关系的数据。
VS
详细描述
多项式回归通过引入多项式项来扩展线性 回归模型，以适应非线性数据。它通过增 加自变量的幂次来构建更高阶的多项式， 从而更好地拟合数据的复杂模式。例如， 二次多项式回归模型可以表示为 (y = beta_0 + beta_1 x_1 + beta_2 x_1^2 + beta_3 x_2 + beta_4 x_2^2 + ...)。
自适应学习率调整
根据模型训练过程中的表现，动态调 整学习率。
避免学习率过高导致模型发散或学习 率过低导致模型训练缓慢的问题。
深度学习与受约束回归的结合
利用深度学习技术，提取高层次特征，提高受约束回归模型的性能。
结合深度学习中的优化算法，解决受约束回归中的复杂约束条件问题。
谢谢聆听自定义约束条件01约束条件形式
根据用户需求设定
02 03
约束条件描述
自定义约束条件是指用户可以根据自己的需求和假设，自 定义一些约束条件。这些约束条件可以是任何形式和逻辑 ，只要能够满足用户的需求和问题的要求。
实例
在预测产品销售量时，用户可以根据自己的经验和市场情 况，自定义一些约束条件，如“产品销售量与广告投入成 正比”、“产品销售量不会超过某一阈值”等。这些约束 条件可以作为自定义约束条件加入回归模型中。
约束条件的形式
线性约束
线性约束条件是指对回归系数施 加线性限制，如限制回归系数的 总和、平均值或范围等。
非线性约束
非线性约束条件是指对回归系数 施加非线性限制，如限制回归系 数的平方和、立方和等。
稀疏性约束
计量经济学--受约束回归和参数的稳定性检验
（一）不对参数施加零次齐次的约束
• 在出现的对话框中的 • Equation specification中输入被解释变量和解释变 量log(q) c log(x) log(p1) log(p0) • Sample输入1981 1994 • 也可直接输入命令ls log(q) c log(x) log(p1) log(p0) 在出现的Equation中点击Estimate将Sample修改 为1981 1994
武汉大学经济学系数量经济学教研室《2010实验教改项目组》编制
二、人均食品消费的时间趋势图
• 采用两种方式均可得到如下窗口。在Specific中选 择line & symbol，并点击“确定”。或者直接输 入命令 line q并回车。
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（三）检验约束条件的真实性
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（一）Chow稳定性检验
• 在eq03窗口的菜单中依次选择View/Stability Tests/Chow Breakpoint Test…，在对话框中输入分割点1995。
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（一）Chow稳定性检验
• 点击OK以后得到Chow Breakpoint检验的结果，发现 F=10.33821
• 给定=5;临界值，拒绝参数稳定的原假设，表明中国 城镇居民食品人均消费需求在1994年前后发生了显著变化。 • 也可根据伴随概率（0.0005）判断出结果。
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三、模型的估计（1981-1994）
• （一）不对参数施加零次齐次的约束
受约束的回归及检验例题
8.214154 8.462293 7.687186 7.839825 8.021896 7.692857 8.58762 8.48357 8.929247 6.766088 8.436285 5.137562 5.785455
8.718191 9.130025 7.960899 7.842133 8.473847 8.088037 9.003277 8.567924 8.92516 6.892154 9.832364 6.41495 7.328562
K 3078.22 1684.43 2742.77 1973.82 5917.01 1758.77 939.1 694.94 363.48 2511.99 973.73 516.01 3785.91 8688.03 2798.9 1808.44 1118.81 2052.16 6113.11 9228.25 2866.65 2545.63 4787.9 3255.29 8129.68 5260.2 7518.79 984.52 18626.94 610.91 1523.19
L 113 67 84 27 327 120 58 31 16 66 58 28 61 254 83 33 43 61 240 222 80 96 222 163 244 145 138 46 218 19 45
Unrestricted regression lnY lnK lnL 8.222204 8.032107 4.727388 7.274147 7.429183 4.204693 7.468724 7.916724 4.430817 7.280208 7.587726 3.295837 8.546616 8.685587 5.78996 7.736814 7.47237 4.787492 7.204276 6.844922 4.060443 6.487334 6.543826 3.433987 5.913989 5.895724 2.772589 7.371716 7.828831 4.189655 6.424399 6.881134 4.060443 6.426391 6.246126 3.332205 8.395972 8.239042 4.110874 8.656785 9.069701 5.537334 7.485138 7.936982 4.418841 7.125339 7.50022 3.496508 6.700362 7.020021 3.7612 7.549451 7.626648 4.110874
第三章受约束回归问题
F
(RSSR RSSU ) /(kU kR ) RSSU /(n kU 1)
~
F (kU
kR , n kU
1)
5/18/2020
结论
如果约束条件无效， RSSR 与 RSSU的差异 较大，计算的F值也较大。
于是，可用计算的F统计量的值与所给定的 显著性水平下的临界值作比较，对约束条 件的真实性进行检验。
105.1
105.4
1344.1
731.3
108.2
107.0
1992 1671.7 884.8
108.6
110.7
1459.7
809.5
114.5
生产函数的1阶齐次性条件：α+β=1
模型施加约束条件后进行回归，称为受约束回 归（restricted regression）;
未加任何约束的回归称为无约束回归 （unrestricted regression）。
5/18/2020
一、模型参数的线性约束
多元回归模型:
Y 0 1X1 2 X 2 k X k
Q
AX
P P 1 2 3 10
对上式进行对数变换，得到:
ln(Q) 0 1 ln X 2 ln P1 3 ln P0 (6)
5/18/2020
考虑到零阶齐次性时
ln(Q) 0 1 ln( X / P0 ) 2 ln(P1 / P0 )
(7)
(7)式相当于是对（6）式施加如下约束而得: 1 2 3 0
98.3
96.5
1988 1104.0 567.0
120.7
125.2
1085.5
613.8
101.7
92.4
第三章多元线性回归模型
第三章 多元线性回归模型一、名词解释1、多元线性回归模型：在现实经济活动中往往存在一个变量受到其他多个变量影响的现象，表现在线性回归模型中有多个解释变量，这样的模型被称做多元线性回归模型，多元是指多个解释变量2、调整的可决系数2R ：又叫调整的决定系数，是一个用于描述多个解释变量对被解释变量的联合影响程度的统计量，克服了2R 随解释变量的增加而增大的缺陷，与2R 的关系为2211(1)1n R R n k -=----。
3、偏回归系数：在多元回归模型中，每一个解释变量前的参数即为偏回归系数，它测度了当其他解释变量保持不变时，该变量增加1单位对被解释变量带来的平均影响程度。
4、正规方程组：采用OLS 方法估计线性回归模型时，对残差平方和关于各参数求偏导，并令偏导数为0后得到的方程组，其矩阵形式为ˆX X X Y β''=。
5、方程显著性检验：是针对所有解释变量对被解释变量的联合影响是否显著所作的检验，旨在对模型中被解释变量与解释变量之间的线性关系在总体上是否显著成立作出判断。
二、单项选择题1、C ：F 统计量的意义2、A ：F 统计量的定义3、B ：随机误差项方差的估计值1ˆ22--=∑k n e iσ4、A ：书上P92和P93公式5、C ：A 参看导论部分内容；B 在判断多重共线等问题的时候，很有必要；D 在相同解释变量情况下可以衡量6、C ：书上P99，比较F 统计量和可决系数的公式即可7、A ：书P818、D ：A 截距项可以不管它；B 不考虑beta0；C 相关关系与因果关系的辨析 9、B ：注意！只是在服从基本假设的前提下，统计量才服从相应的分布10、D ：AB 不能简单通过可决系数判断模型好坏，还要考虑样本量、异方差等问题；三、多项选择题1、ACDE ：概念性2、BD ：概念性3、BCD ：总体显著，则至少一个参数不为04、BC ：参考可决系数和F 统计量的公式5、AD ：考虑极端情况，ESS=0，可发现CE 错四、判断题、 1、√2、√3、×4、×：调整的可决系数5、√五、简答题 1、 答：多元线性回归模型与一元线性回归模型的区别表现在如下几个方面：一是解释变量的个数不同；二是模型的经典假设不同，多元线性回归模型比一元线性回归模型多了个“解释变量之间不存在线性相关关系”的假定；三是多元线性回归模型的参数估计式的表达更为复杂。
§3.6 受约束回归
= e X(β β)
e’e为无约束样本回归模型的残差平方和RSSU 为无约束样本回归模型的残差平方和 样本回归模型的残差平方 受约束与无约束模型都有相同的 受约束与无约束模型都有相同的TSS 模型都有相同的 由（*）式 ） 从而 RSSR ≥ RSSU ESSR ≤ ESSU
二、对回归模型增加或减少解释变量
考虑如下两个回归模型
Y = β 0 + β1 X 1 + + β k X k +
Y = β 0 + β 1 X 1 + + β k X k + β k +1 X k +1 + β k + q X k + q +
(*) (**)
(*)式可看成是（**）式的受约束回归： 式可看成是（ ）式的受约束回归 受约束回归： 式可看成是
这意味着， 通常情况下， 这意味着 ， 通常情况下 ， 对模型施加约束 条件会降低模型的解释能力。 条件会降低模型的解释能力。
根据数理统计学的知识： 根据数理统计学的知识：
( RSS R RSSU ) /(kU k R ) F= ~ F (kU k R , n kU 1) RSSU /(n kU 1)
(**)
如果对（**）式回归得出
β 0 , β 1 , β 3 ,, β k 1
β k = β k 1
则由约束条件可得： β 2 = 1 β 1
主要介绍F检验 主要介绍 检验 在同一样本下， 无约束样本回归模型为 在同一样本下，记无约束样本回归模型为 Y = Xβ+ e 受约束样本回归模型为 受约束样本回归模型为
§3.6 受约束回归
计量经济学习题与解答4
其中括号内数值为参数标准差。请检验以下零假设：
（1）产出量的资本弹性和劳动弹性是等同的；
（2）存在不变规模收益，即 。
3-14．对模型 应用OLS法，得到回归方程如下：
要求：证明残差 与 不相关，即： 。
3-15．
3-16．考虑下列两个模型：
Ⅰ、
Ⅱ、
要求：（1）证明： ， ，
（3）首先计算两人受教育的年数分别为
10.36+0.13112+0.21012=14.452
10.36+0.13116+0.21016=15.816
因此，两人的受教育年限的差别为15.816-14.452=1.364
例2．以企业研发支出（R&D）占销售额的比重为被解释变量（Y），以企业销售额（X1）与利润占销售额的比重（X2）为解释变量，一个有32容量的样本企业的估计结果如下：
（2）针对备择假设H1： ，检验原假设H0： 。易知计算的t统计量的值为t=0.32/0.22=1.468。在5%的显著性水平下，自由度为32-3=29的t分布的临界值为1.699（单侧），计算的t值小于该临界值，所以不拒绝原假设。意味着R&D强度不随销售额的增加而变化。在10%的显著性水平下，t分布的临界值为1.311，计算的t值小于该值，拒绝原假设，意味着R&D强度随销售额的增加而增加。
Statetax
-1.006 (0.40)
-1.004 (0.37)
RSS
4.763e+7
4.843e+7
4.962e+7
5.038e+7
R2
0.349
0.338
0.322
高中数学人教A版选修2-3第三章：3.1回归分析的基本思想及其初步应用 课件
从散点图可以看到，样本点散布在某一条直线的 附近，而不是一条直线上，所以不能用一次函数 ｙ＝ｂｘ＋ａ来描述它们之间的关系。
这时我们用下面的线性回归模型来描述身高和体
重的关系：ｙ＝ｂｘ＋ａ+ｅ
其中ａ和ｂ为模型的未知参数，
e是y与 yˆ 之间的误差,通常ｅ称为随机误差。
产生随机误差ｅ的原因是什么？
(1)所用确定性函数模拟不恰当； (2)忽略了某些因素的影响； (3)观测误差，如使用的测量工具不同等。
4.线性回归模型y=bx+a+e中, 把自变量x称为解释变量， 把因变量y称为预报变量。
^
^
5.残差: ei yi yi
n
^
6.残差平方和:
( yi yi )2
i 1
n
7.总偏差平方和: ( yi y)2
i 1
n
^
( yi y)2
8.相关指数：R2
1
i 1 n
( yi y)2
新课讲解
例 从某大学中随机选出8名女大学生，其 身高和体重数据如下表：
编号 1 2 3 4 5 6 7 8 身高 165 165 157 170 175 165 155 170 体重 48 57 50 54 64 61 43 59
求根据一名女大学生的身高预报她的体重的 回归方程，并预报一名身高为172ｃｍ的女 大学生的体重。
三、回归直线方程：最小二乘法
1、所求回归直线方程为 yˆ = bˆ x + aˆ ，其中：
n
n
y bˆ =
(xi - x)(yi - y)
i=1 n
=
(xi - x)2
xi
- nxy
i
i=1
应用回归方程约束条件的检验ppt课件
121 k1 k
得: Y 0 1 X 1 ( 1 1 ) X 2 k 1 X k 1 k 1 X k *
或: Y * 0 1 X 1 * 3 X 3 k 1 X k * 1 * (**)
10
如果对（**）式回归得出: ˆ0,ˆ1,ˆ3, ,ˆk1 则由约束条件可得： ˆ2 1ˆ1 ˆk ˆk1
34
拉格朗日统计量LM本身是一个关于拉格朗 日乘数的复杂的函数，在各约束条件为真的情 况下，服从一自由度恰为约束条件个数的渐近
2分布。
同样地，如果为线性约束，LM服从一精确的
2分布：
LMnR 2
(*)
35
n为样本容量，R2为如下被称为辅助回归的可 决系数:
e ˆ R ˆ 0 ˆ 1 X 1 ˆ 2 X 2 ˆ k X k
RR /S 2~ S 2 ( n k R 1 )
( R R S R U ) S / S 2 ~ S 2 ( k U k R )
于是：
F ( R R R S U R /S n U ( S ) k / S U S k U ( 1 ) S k R )~ F ( k U k R ,n k U 1 )
不加任何约束的回归称为无约束回归。
3
• 例如： ——需求函数的0阶齐次性条件
4
城镇居民食品消费需求函数模型。
根据需求理论，居民对食品的消费需求函数 大致为:
Qf(X,P 1,P 0)
Q:居民对食品的需求量， X：消费者的消费支出总额 P1：食品价格指数， P0：居民消费价格总指数。
5
根据恩格尔定律，居民对食品的消费支出与居 民的总支出间呈幂函数的变化关系:
回归方程约束条件的检验
回归方程约束条件的检验
计量经济学-受约束回归检验-、Eviews6
数学与统计学院实验报告院（系）：数学与统计学学院学号：姓名：实验课程：计量经济学指导教师:实验类型（验证性、演示性、综合性、设计性）：综合性实验时间：2017年3月22日一、实验课题受约束回归检验二、实验目的和意义1. 表6.1.2是英国1946～1963年居民储蓄与收入数据，单位是百万英镑。
表6.1.2（1）试建立储蓄关于收入的回归模型，并检验。
（2）试分析（1）中建立的模型的参数稳定性。
a. 构造约束回归的F统计量进行检验；b. 构造LR统计量进行检验；c. 构造WD统计量进行检验；d. 构造LM统计量进行检验；e. 用Chow检验法或Chow预测检验法检验。
Ps：要求写出详细操作步骤、计算结果及结果的分析。
三、解题思路1、首先画散点图，观察两变量是否存在一定相关关系；再运用spss 进行回归模型检验（输入x、y两变量—quick—estimate equation—yc x）2、通过散点图，明显发现该模型存在结构性变化，断点在1958年；即对数据进行分段参数检验。
并用F、LR、WD、LM检验的理论知识进行验算。
四、实验过程记录与结果1、试建立储蓄关于收入的回归模型，并检验。
●散点图：两变量为正相关，所以存在一定关系。
●有条件约束模型：所以回归模型为：Y=-1.082071+0.117845*X2、试分析（1）中建立的模型的参数稳定性。
无条件约束模型：（以19658年为断点）（1）1946-1957年（2）1958-1963年3、Chow检验：4、Chow forecast test：五、结果的讨论和分析1、通过spss检验，发现该结构具有显著性的结构变化。
（四1）RSS R≈0.572、以1958年为断点，分别得到两个模型。
（四2）RSS U=RSS1+RSS2≈0.23+0.14●F检验：F=*~F(k+1,(n1+n2)-2(k+1),)=*≈3.78~F(2,14)=3.74F>F0.05,即可拒绝原假设，所以该模型存在结构性变化●LR检验LR=n*㏑(1+x)~x2(1) x==18*㏑[1+(0.57-0.37)/0.37] ≈7.78~x2(1)=3.84通过数据，可以发现，LR检验为显著性检验，即模型具有结构性变化●WD检验WD=n*x=9.73> x2(1)通过数据，可以发现，WD检验也为显著性检验，即模型具有结构性变化LM检验LM=n*（x/（1+x））=6.32>x^2（1）通过数据，可以发现，LM检验也为显著性检验，即模型具有结构性变化3、Chow检验法或Chow预测检验法检验（四（3、4））通过chow检验法可以得出用理论知识手算检验与用计算机检验所得的检验统计量是大致相同的，即该模型存在结构性变化六、实验小结通过本次实验，让我对四种检验方法理论有了进一步的了解，掌握了每个检验方法的统计思想。
06受约束回归
这里的F检验适合所有关于参数线性约束的检验
如：多元回归中对方程总体线性性的F检验：
H0： j=0 受约束回归模型为： j=1,2,…,k
Y 0 *
( RSSR RSSU ) /(kU k R ) (TSS ESSR RSSU ) / k F RSSU /(n kU 1) RSSU /(n k 1) (TSS RSSU ) / k ESSU / k RSSU /(n k 1) RSSU /(n k 1)
e’e为无约束样本回归模型的残差平方和RSSU 受约束与无约束模型都有相同的TSS 由（*）式 从而 RSSR RSSU ESSR ESSU
这意味着，通常情况下，对模型施加约束条件会降低 模型的解释能力。
但是，如果约束条件为真，则受约束回归模型与无约束 回归模型具有相同的解释能力，RSSR 与 RSSU的差异变小。 可用RSSR - RSSU的大小来检验约束的真实性
ˆ ˆ X ˆ ˆ Y ˆ XY ˆ Y 这里，运用了ESSR ＝0。 0 1 0 0 1 2 ESS (Y ˆ ˆ )2 0 ˆ Y ) ( 0 0
二、对回归模型增加或减少解释变量
考虑如下两个 Y 0 1 X 1 k X k 回归模型： (*)
2 2 2 2 2 ~ 2 (n k 1) RSS / RSS / ~ ( n k 1 ) U (U RSS R RSS U ) /( k U k R ) R(R U R R ) /(k UR k R )
多元线性回归模型(习题与解答)
多元线性回归模型(习题与解答)第三章多元线性回归模型一、习题（一）基本知识类题型3-1．解释下列概念：1)多元线性回归2)虚变量3)正规方程组4)无偏性5)一致性6)参数估计量的置信区间7)被解释变量预测值的置信区间8)受约束回归9)无约束回归10)参数稳定性检验3-2．观察下列方程并判断其变量是否呈线性？系数是否呈线性？或都是？或都不是？1)i i i X Yεββ++=3102)i i i X Yεββ++=log103)i i i X Yεββ++=log log104)i i i X Yεβββ++=)(2105)i ii X Yεββ+=106)i i i X Yεββ+−+=)1(1107)i i i i X X Yεβββ+++=10221103-3．多元线性回归模型与一元线性回归模型有哪些区别？3-4．为什么说最小二乘估计量是最优的线性无偏估计量？多元线性回归最小二乘估计的正规方程组，能解出唯一的参数估计的条件是什么？3-5．多元线性回归模型的基本假设是什么？试说明在证明最小二乘估计量的无偏性和有效性的过程中，哪些基本假设起了作用？3-6．请说明区间估计的含义。
（二）基本证明与问答类题型3-7．什么是正规方程组？分别用非矩阵形式和矩阵形式写出模型：i ki k i i i u x x x y+++++=ββββL22110，n i,,2,1L =的正规方程组，及其推导过程。
3-8．对于多元线性回归模型，证明：（1）∑=0i e（2）0)ˆˆˆ(ˆ110=+++=∑∑iki k i i i e x x e yβββL3-9．为什么从计量经济学模型得到的预测值不是一个确定的值？预测值的置信区间和置信度的含义是什么？在相同的置信度下如何才能缩小置信区间？为什么？3-10．在多元线性回归分析中，t检验与F检验有何不同？在一元线性回归分析中二者是否有等价的作用？3-11．设有模型：u x x y+++=22110βββ，试在下列条件下：（1）121=+ββ（2）21ββ=分别求出1β和2β的最小二乘估计量。
含有不等式约束的回归问题的残差分析
含有不等式约束的回归问题的残差分析
统计学中，回归分析是一种重要的统计技术，它可以帮助研究人员了解定量数据之间的关系。
而残差分析是回归分析的一个重要组成部分，它可以用来评估回归模型的质量，并帮助我们改进模型。
本文将研究含有不等式约束的回归问题的残差分析。
首先，我们需要了解不等式约束的回归问题。
这种情况下，回归是在至少一个变量的范围内进行的，而有时这些变量甚至不可能出现在该范围之外。
例如，在建筑物设计中，一种变量可能是每一层楼的高度，而另一种变量可能是一座大楼的总高度，这意味着每一层楼的高度必须小于总高度，否则就会导致逻辑错误。
因此，当需要对该变量进行回归时，就需要考虑使用不等式约束。
残差是一种重要的测量质量的指标，当进行不等式约束的回归问题的残差分析时，需要注意几个重要的方面。
首先，建立残差分析模型时，应确保最小二乘法满足约束条件。
其次，应确保残差分析模型具有良好的稳定性，这就是说，残差分析模型中的参数不能发生变化。
最后，应确保残差分析模型的参数合理，因为不合理的参数会导致模型不准确，从而影响结果的可靠性。
在做实际应用时，不等式约束的回归问题的残差分析可以采用两种方法：一种是对变量的非线性变换，另一种是对约束条件的线性变换。
在做非线性变换时，应尽可能使结果趋于简单，而线性变换则是考虑应用约束条件。
总之，含有不等式约束的回归问题的残差分析是一项重要的统计
技术，可以使模型具有稳定性，进而帮助研究人员更好地了解定量数据之间的关系。
本文通过对不等式约束的回归问题的残差分析进行研究，介绍了这种问题的概念、分析方法和实际应用，为改进回归模型的质量提供了参考。
计量经济学受约束回归和参数的稳定性检验共33页
谢谢！
51、 天 下 之 事 常成 于困约 ，而败 于奢靡 。——陆 游 52、 生 命 不 等 于是呼 吸，生 命是活 动。——卢 梭
53、 伟 大 的 事 业，需 要决心 ，能力 ，组织 和责任 感。 ——易 卜 生 54、 唯 书 籍 不 朽。——乔 特
55、 为 中 华 之 崛起而 读书。 ——周 恩来
计量经济学受约束回归和参数的稳定
性检验
21、没有人陪你走一辈子，所以你要 适应孤 独，没 有人会 帮你一 辈子， 所以你 要奋斗 一生。 22、当眼泪流尽的时候，留下的应该 是坚强 。 23、要改变命运，首先改变自己。
24、勇气很有理由被当作人类德性之 首，因 为这种 德性保 证了所 有其余 的德性 。--温 斯顿． 丘吉尔 。 25、梯子的梯阶从来不是用来搁脚的 ，它只 是让人 们的脚 放上一 段时间 ，以便 让别一 只脚能 够再往 上登。
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(7)
(7)式相当于是对（6）式施加如下约束而得: 1 2 3 0
因此，对（7）式进行回归，就意味着原需求函 数满足零阶齐次性条件。
11/4/2016
表 3.5.1 中国城镇居民消费支出（元）及价格指数
X 1981 1982 1983 1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 456.8 471.0 505.9 559.4 673.2 799.0 884.4 1104.0 1211.0 1278.9 1453.8 1671.7 2110.8 2851.3 3537.6 3919.5 4185.6 4331.6 4615.9 4998.0 5309.0 X1 420.4 432.1 464.0 514.3 351.4 418.9 472.9 567.0 660.0 693.8 782.5 884.8 1058.2 1422.5 1766.0 1904.7 1942.6 1926.9 1932.1 1958.3 2014.0 GP 102.5 102.0 102.0 102.7 111.9 107.0 108.8 120.7 116.3 101.3 105.1 108.6 116.1 125.0 116.8 108.8 103.1 99.4 98.7 100.8 100.7 FP 102.7 102.1 103.7 104.0 116.5 107.2 112.0 125.2 114.4 98.8 105.4 110.7 116.5 134.2 123.6 107.9 100.1 96.9 95.7 97.6 100.7 XC (1990年价 ) 646.1 659.1 672.2 690.4 772.6 826.6 899.4 1085.5 1262.5 1278.9 1344.1 1459.7 1694.7 2118.4 2474.3 2692.0 2775.5 2758.9 2723.0 2744.8 2764.0 Q (1990年价 ) 318.3 325.0 337.0 350.5 408.4 437.8 490.3 613.8 702.2 693.8 731.3 809.5 943.1 1265.6 1564.3 1687.9 1689.6 1637.2 1566.8 1529.2 1539.9 P0 (1990=100) 70.7 71.5 75.3 81.0 87.1 96.7 98.3 101.7 95.9 100.0 108.2 114.5 124.6 134.6 143.0 145.6 150.8 157.0 169.5 182.1 192.1 P1 (1990=100) 132.1 132.9 137.7 146.7 86.1 95.7 96.5 92.4 94.0 100.0 107.0 109.3 112.2 112.4 112.9 112.8 115.0 117.7 123.3 128.1 130.8 (当年价 ) (当年价 ) (上年 =100) (上年 =100)
11/4/2016
如果对（2）式回归得出: 则由约束条件可得：
ˆ , ˆ , ˆ ,, ˆ 0 1 3 k 1
ˆ 1 ˆ 2 1
ˆ ˆ k k 1
然而，对所研究的具体问题能否施加约束？需 进一步进行相应的检验。 常用的检验有：F检验、x2检验与t检验。
11/4/2016
11/4/2016
例1.2 生产函数的一阶齐次性检验
生产函数的数学形式为
Q A K L
Q 为产出，K 为资本投入，L 为劳动力投入。很容易推出参数 , 分别 是资本和劳动的产出弹性。那么由产出弹性的经济意义，应该有 ,
0 1,
0 1
在最初提出的C-D生产函数中，假定参数满足 + =1 ，也就是假定研 究对象满足规模报酬不变条件。
A ( K ) ( L ) A K L A K L
即当资本与劳动的数量同时增长倍时，产出量也增长 倍。1937年， 提出了C-D生产函数的改进型，即取消了 + =1 的假定，允许要素的产出 弹性之和大于1或小于1uglas生产函数估计形式如下：
(1)
1 2 1
k 1 k
得:
Y 0 1 X 1 (1 1 ) X 2 k 1 X k 1 k 1 X k *
(2)
* * 或: Y * 0 1 X 1* 3 X 3 k 1 X k 1
11/4/2016
可用二者的差 :RSSR - RSSU的大小来检验约 束的真实性
根据数理统计学的知识：
RSSU / 2 ~ 2 (n kU 1)
RSSR / 2 ~ 2 (n k R 1)
(RSSR RSSU ) / 2 ~ 2 (kU k R )
X：人均消费 X1：人均食品 消费 GP：居民消 费价格指数 FP：居民食品 消费价格指数 XC：人均消 费（90年价） Q：人均食品 消费（90年价） P0：居民消费 价格缩减指数 （1990=100） P1：居民食品 消费价格缩减 指数 （1990=100
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中 国 城 镇 居 民 人 均 食 品 消 费
(0.003315 0.003240 ) / 1 F 0.231 0.003240 / 10
零阶齐次性检验
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取=5%，查得临界值F0.05(1,10)=4.96 结论：不能拒绝中国城镇居民对食品的人均消费 需求函数具有零阶齐次特性这一假设。 说明： 这里的F检验适合所有关于参数线性约束的检验
特征：
1800 1600 1400 1200 1000 800 600 400 200 82 84 86 88 90 92 94 96 98 00 Q
消费行为在 1981~1995 年间表现 出较强的一致性； 1995年之后呈现出另 外一种变动特征。 因此：我们只建立 1981~1994年中国城 镇居民对食品的消费 需求模型。
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模型参数约束回归案例
例3.1 建立中国城镇居民食品消费需求函数模型。
根据需求理论，城镇居民对食品的消费需 求函数大致为: Q f ( X , P1 , P0 ) (4) Q:城镇居民的食品支出总额，X：城镇居民的消费 支出总额,P1：食品价格指数，P0：居民消费价格 指数。
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第三章 受约束回归问题
一、模型参数的线性约束 二、对回归模型增加或减少解释变量 三、参数的稳定性检验 四、非线性约束
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受约束回归
在建立回归模型时，有时根据经济理论需要对 模型中的参数施加一定的约束条件。
例如：需求函数的0阶齐次性条件：当所有商品和 消费者货币支出总额按同一比例变动时，需求量保 持不变 。
生产函数的1阶齐次性条件：α+β=1
模型施加约束条件后进行回归，称为受约束回 归（restricted regression）; 未加任何约束的回归称为无约束回归 （unrestricted regression）。
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一、模型参数的线性约束
多元回归模型:
施加约束:
Y 0 1 X 1 2 X 2 k X k
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由（3）式
RSSR ≥ RSSU
从而
ESSR ≤ ESSU
（ESS为回归平方和） 这意味着，通常情况下，对模型施加约束条 件会降低模型的解释能力。 （模型的拟合优度=回归平方和/总平方和) 但是，如果约束条件为真，则受约束回归 模型与无约束回归模型具有相同或者近似的解 释能力，RSSR 与 RSSU的差异变小。
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按零阶齐次性表达式回归:
ˆ ) 3.83 1.07 ln( X / P ) 0.09 ln( P / P ) ln(Q 0 1 0
（75.86）(52.66) (-3.62)
11/4/2016
为了比较，改写该式为：
ˆ 3.83 1.07 (ln X ln P ) 0.09 (ln P ln P ) ln Q 0 1 0 3.83 1.07 ln X 0.09 ln P1 0.98 ln P0
其中k 为无约束模型解释变量个数， kR为受约束模 型解释变量个数，于是：
U
( RSSR RSSU ) /(kU k R ) F ~ F (kU k R , n kU 1) RSSU /(n kU 1)
11/4/2016
结论
如果约束条件无效， RSSR 与 RSSU的差异 较大，计算的F值也较大。 于是，可用计算的F统计量的值与所给定的 显著性水平下的临界值作比较，对约束条 件的真实性进行检验。 注意，kU - kR恰为参数关系约束条件的个 数。
Q AX
1
P1 2 P0 3
对上式进行对数变换，得到:
ln(Q ) 0 1 ln X 2 ln P1 3 ln P0 (6)
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考虑到零阶齐次性时
ln(Q ) 0 1 ln( X / P0 ) 2 ln( P1 / P0 )
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建立1981~1994年中国城镇居民对食品的消费 需求模型:
ˆ ) 3.63 1.05 ln( X ) 0.08 ln( P1 ) 0.92 ln( P0 ) ln(Q
(9.03) (25.35) (-2.28) (-7.34)
各变量的弹性之和 1 2 3 0.05 ，比较接 近于零，但不为零。