第三章 受约束回归问题
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11/4/2016
可用二者的差 :RSSR - RSSU的大小来检验约 束的真实性
根据数理统计学的知识：
RSSU / 2 ~ 2 (n kU 1)
RSSR / 2 ~ 2 (n k R 1)
(RSSR RSSU ) / 2 ~ 2 (kU k R )
11/4/2016
例1.2 生产函数的一阶齐次性检验
生产函数的数学形式为
Q A K L
Q 为产出，K 为资本投入，L 为劳动力投入。很容易推出参数 , 分别 是资本和劳动的产出弹性。那么由产出弹性的经济意义，应该有 ,
0 1,
0 1
在最初提出的C-D生产函数中，假定参数满足 + =1 ，也就是假定研 究对象满足规模报酬不变条件。
11/4/2016
如果对（2）式回归得出: 则由约束条件可得：
ˆ , ˆ , ˆ ,, ˆ 0 1 3 k 1
ˆ 1 ˆ 2 1
ˆ ˆ k k 1
然而，对所研究的具体问题能否施加约束？需 进一步进行相应的检验。 常用的检验有：F检验、x2检验与t检验。
11/4/2016
X：人均消费 X1：人均食品 消费 GP：居民消 费价格指数 FP：居民食品 消费价格指数 XC：人均消 费（90年价） Q：人均食品 消费（90年价） P0：居民消费 价格缩减指数 （1990=100） P1：居民食品 消费价格缩减 指数 （1990=100
11/4/2016
中 国 城 镇 居 民 人 均 食 品 消 费
11/4/2016
按零阶齐次性表达式回归:
ˆ ) 3.83 1.07 ln( X / P ) 0.09 ln( P / P ) ln(Q 0 1 0
（75.86）(52.66) (-3.62)
11/4/2016
为了比较，改写该式为：
ˆ 3.83 1.07 (ln X ln P ) 0.09 (ln P ln P ) ln Q 0 1 0 3.83 1.07 ln X 0.09 ln P1 0.98 ln P0
与
ˆ ) 3.63 1.05 ln( X ) 0.08 ln( P ) 0.92 ln( P ) ln(Q 1 0
接近。 意味着：所建立的食品需求函数满足零阶齐次 性特征。
11/4/2016
例 1.1 中国城镇居民对食品的人均消费需求实 例中，对零阶齐次性检验： 无约束回归:RSSU=0.00324， kU=3 受约束回归:RSSR=0.00332， KR=2 样本容量n=14， 约束条件个数 kU - kR=3-2=1
生产函数的1阶齐次性条件：α+β=1
模型施加约束条件后进行回归，称为受约束回 归（restricted regression）; 未加任何约束的回归称为无约束回归 （unrestricted regression）。
11/4/2016
一、模型参数的线性约束
多元回归模型:
施加约束:
Y 0 1 X 1 2 X 2 k X k
lo g Q A lo g L lo g K u
利用美国主要金属工业企业的数据（27个企业的数据），C-D生产函数估计结 果如下（Eviews输出结果）：
11/4/2016
22
从结果看LogL和logK的系数和小于1，但为确定这种差异是统计显著的， 常进行有约束的 Wald 系数检验、 F 检验。选择 View/Coefficient Tests/WaldCoefficient Restrictions，在编辑对话框中输入约束条件。为检验 + =1 的规 模报酬不变的假设，输入下列约束：
(7)
(7)式相当于是对（6）式施加如下约束而得: 1 2 3 0
因此，对（7）式进行回归，就意味着原需求函 数满足零阶齐次性条件。
11/4/2016
表 3.5.1 中国城镇居民消费支出（元）及价格指数
X 1981 1982 1983 1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 456.8 471.0 505.9 559.4 673.2 799.0 884.4 1104.0 1211.0 1278.9 1453.8 1671.7 2110.8 2851.3 3537.6 3919.5 4185.6 4331.6 4615.9 4998.0 5309.0 X1 420.4 432.1 464.0 514.3 351.4 418.9 472.9 567.0 660.0 693.8 782.5 884.8 1058.2 1422.5 1766.0 1904.7 1942.6 1926.9 1932.1 1958.3 2014.0 GP 102.5 102.0 102.0 102.7 111.9 107.0 108.8 120.7 116.3 101.3 105.1 108.6 116.1 125.0 116.8 108.8 103.1 99.4 98.7 100.8 100.7 FP 102.7 102.1 103.7 104.0 116.5 107.2 112.0 125.2 114.4 98.8 105.4 110.7 116.5 134.2 123.6 107.9 100.1 96.9 95.7 97.6 100.7 XC (1990年价 ) 646.1 659.1 672.2 690.4 772.6 826.6 899.4 1085.5 1262.5 1278.9 1344.1 1459.7 1694.7 2118.4 2474.3 2692.0 2775.5 2758.9 2723.0 2744.8 2764.0 Q (1990年价 ) 318.3 325.0 337.0 350.5 408.4 437.8 490.3 613.8 702.2 693.8 731.3 809.5 943.1 1265.6 1564.3 1687.9 1689.6 1637.2 1566.8 1529.2 1539.9 P0 (1990=100) 70.7 71.5 75.3 81.0 87.1 96.7 98.3 101.7 95.9 100.0 108.2 114.5 124.6 134.6 143.0 145.6 150.8 157.0 169.5 182.1 192.1 P1 (1990=100) 132.1 132.9 137.7 146.7 86.1 95.7 96.5 92.4 94.0 100.0 107.0 109.3 112.2 112.4 112.9 112.8 115.0 117.7 123.3 128.1 130.8 (当年价 ) (当年价 ) (上年 =100) (上年 =100)
11/4/2016
建立1981~1994年中国城镇居民对食品的消费 需求模型:
ˆ ) 3.63 1.05 ln( X ) 0.08 ln( P1 ) 0.92 ln( P0 ) ln(Q
(9.03) (25.35) (-2.28) (-7.34)
各变量的弹性之和 1 2 3 0.05 ，比较接 近于零，但不为零。
11/4/2016
模型参数约束回归案例
例3.1 建立中国城镇居民食品消费需求函数模型。
根据需求理论，城镇居民对食品的消费需 求函数大致为: Q f ( X , P1 , P0 ) (4) Q:城镇居民的食品支出总额，X：城镇居民的消费 支出总额,P1：食品价格指数，P0：居民消费价格 指数。
11/4/2016
(1)
1 2 1
k 1 k
得:
Y 0 1 X 1 (1 1 ) X 2 k 1 X k 1 k 1 X k *
(2)
* * 或: Y * 0 1 X 1* 3 X 3 k 1 X k 1
第三章 受约束回归问题
一、模型参数的线性约束 二、对回归模型增加或减少解释变量 三、参数的稳定性检验 四、非线性约束
11/4/2016
受约束回归
在建立回归模型时，有时根据经济理论需要对 模型中的参数施加一定的约束条件。
例如：需求函数的0阶齐次性条件：当所有商品和 消费者货币支出总额按同一比例变动时，需求量保 持不变 。
ˆ ˆ ˆ ˆ e e e e ( β β ) X X( β β ) * * * *
于是
e *e* e e
(3)
e′e为无约束样本回归模型的残差平方和：RSSU 受约束与无约束模型都有相同的总离差平方 和TSS（因为受约束与无约束模型都有相同 的被解释变量和样本）
零阶齐次性，当所有商品和消费者货币支出 总额按同一比例变动时，需求量保持不变。
Q f ( X / P0 , P1 / P0 )
(5)
为了进行比较，将同时估计（4）式与（5）式。
11/4/2016
首先,确定具体的函数形式 根据恩格尔定律，居民对食品的消费支出与 居民的总支出间呈幂函数的变化关系:
特征：
1800 1600 1400 1200 1000 800 600 400 200 82 84 86 88 90 92 94 96 98 00 Q
消费行为在 1981~1995 年间表现 出较强的一致性； 1995年之后呈现出另 外一种变动特征。 因此：我们只建立 1981~1994年中国城 镇居民对食品的消费 需求模型。
其中k 为无约束模型解释变量个数， kR为受约束模 型解释变量个数，于是：
U
( RSSR RSSU ) /(kU k R ) F ~ F (kU k R , n kU 1) RSSU /(n kU 1)
11/4/2016
结论
如果约束条件无效， RSSR 与 RSSU的差异 较大，计算的F值也较大。 于是，可用计算的F统计量的值与所给定的 显著性水平下的临界值作比较，对约束条 件的真实性进行检验。 注意，kU - kR恰为参数关系约束条件的个 数。
A ( K ) ( L ) A K L A K L
即当资本与劳动的数量同时增长倍时，产出量也增长 倍。1937年， 提出了C-D生产函数的改进型，即取消了 + =1 的假定，允许要素的产出 弹性之和大于1或小于1。
11/4/2016
21
例1.2 Cobb-DouBaidu Nhomakorabealas生产函数估计形式如下：
Q AX
1
P1 2 P0 3
对上式进行对数变换，得到:
ln(Q ) 0 1 ln X 2 ln P1 3 ln P0 (6)
11/4/2016
考虑到零阶齐次性时
ln(Q ) 0 1 ln( X / P0 ) 2 ln( P1 / P0 )
11/4/2016
由（3）式
RSSR ≥ RSSU
从而
ESSR ≤ ESSU
（ESS为回归平方和） 这意味着，通常情况下，对模型施加约束条 件会降低模型的解释能力。 （模型的拟合优度=回归平方和/总平方和) 但是，如果约束条件为真，则受约束回归 模型与无约束回归模型具有相同或者近似的解 释能力，RSSR 与 RSSU的差异变小。
(0.003315 0.003240 ) / 1 F 0.231 0.003240 / 10
零阶齐次性检验
11/4/2016
取=5%，查得临界值F0.05(1,10)=4.96 结论：不能拒绝中国城镇居民对食品的人均消费 需求函数具有零阶齐次特性这一假设。 说明： 这里的F检验适合所有关于参数线性约束的检验
F检验
在同一样本下，记无约束样本回归模型为:
ˆ e Y Xβ
受约束样本回归模型为: ˆ * e* Y Xβ 于是:
ˆ * Xβ ˆ e Xβ ˆ * e X(β ˆ * β ˆ) e* Y Xβ
11/4/2016
受约束样本回归模型的残差平方和：RSSR
可用二者的差 :RSSR - RSSU的大小来检验约 束的真实性
根据数理统计学的知识：
RSSU / 2 ~ 2 (n kU 1)
RSSR / 2 ~ 2 (n k R 1)
(RSSR RSSU ) / 2 ~ 2 (kU k R )
11/4/2016
例1.2 生产函数的一阶齐次性检验
生产函数的数学形式为
Q A K L
Q 为产出，K 为资本投入，L 为劳动力投入。很容易推出参数 , 分别 是资本和劳动的产出弹性。那么由产出弹性的经济意义，应该有 ,
0 1,
0 1
在最初提出的C-D生产函数中，假定参数满足 + =1 ，也就是假定研 究对象满足规模报酬不变条件。
11/4/2016
如果对（2）式回归得出: 则由约束条件可得：
ˆ , ˆ , ˆ ,, ˆ 0 1 3 k 1
ˆ 1 ˆ 2 1
ˆ ˆ k k 1
然而，对所研究的具体问题能否施加约束？需 进一步进行相应的检验。 常用的检验有：F检验、x2检验与t检验。
11/4/2016
X：人均消费 X1：人均食品 消费 GP：居民消 费价格指数 FP：居民食品 消费价格指数 XC：人均消 费（90年价） Q：人均食品 消费（90年价） P0：居民消费 价格缩减指数 （1990=100） P1：居民食品 消费价格缩减 指数 （1990=100
11/4/2016
中 国 城 镇 居 民 人 均 食 品 消 费
11/4/2016
按零阶齐次性表达式回归:
ˆ ) 3.83 1.07 ln( X / P ) 0.09 ln( P / P ) ln(Q 0 1 0
（75.86）(52.66) (-3.62)
11/4/2016
为了比较，改写该式为：
ˆ 3.83 1.07 (ln X ln P ) 0.09 (ln P ln P ) ln Q 0 1 0 3.83 1.07 ln X 0.09 ln P1 0.98 ln P0
与
ˆ ) 3.63 1.05 ln( X ) 0.08 ln( P ) 0.92 ln( P ) ln(Q 1 0
接近。 意味着：所建立的食品需求函数满足零阶齐次 性特征。
11/4/2016
例 1.1 中国城镇居民对食品的人均消费需求实 例中，对零阶齐次性检验： 无约束回归:RSSU=0.00324， kU=3 受约束回归:RSSR=0.00332， KR=2 样本容量n=14， 约束条件个数 kU - kR=3-2=1
生产函数的1阶齐次性条件：α+β=1
模型施加约束条件后进行回归，称为受约束回 归（restricted regression）; 未加任何约束的回归称为无约束回归 （unrestricted regression）。
11/4/2016
一、模型参数的线性约束
多元回归模型:
施加约束:
Y 0 1 X 1 2 X 2 k X k
lo g Q A lo g L lo g K u
利用美国主要金属工业企业的数据（27个企业的数据），C-D生产函数估计结 果如下（Eviews输出结果）：
11/4/2016
22
从结果看LogL和logK的系数和小于1，但为确定这种差异是统计显著的， 常进行有约束的 Wald 系数检验、 F 检验。选择 View/Coefficient Tests/WaldCoefficient Restrictions，在编辑对话框中输入约束条件。为检验 + =1 的规 模报酬不变的假设，输入下列约束：
(7)
(7)式相当于是对（6）式施加如下约束而得: 1 2 3 0
因此，对（7）式进行回归，就意味着原需求函 数满足零阶齐次性条件。
11/4/2016
表 3.5.1 中国城镇居民消费支出（元）及价格指数
X 1981 1982 1983 1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 456.8 471.0 505.9 559.4 673.2 799.0 884.4 1104.0 1211.0 1278.9 1453.8 1671.7 2110.8 2851.3 3537.6 3919.5 4185.6 4331.6 4615.9 4998.0 5309.0 X1 420.4 432.1 464.0 514.3 351.4 418.9 472.9 567.0 660.0 693.8 782.5 884.8 1058.2 1422.5 1766.0 1904.7 1942.6 1926.9 1932.1 1958.3 2014.0 GP 102.5 102.0 102.0 102.7 111.9 107.0 108.8 120.7 116.3 101.3 105.1 108.6 116.1 125.0 116.8 108.8 103.1 99.4 98.7 100.8 100.7 FP 102.7 102.1 103.7 104.0 116.5 107.2 112.0 125.2 114.4 98.8 105.4 110.7 116.5 134.2 123.6 107.9 100.1 96.9 95.7 97.6 100.7 XC (1990年价 ) 646.1 659.1 672.2 690.4 772.6 826.6 899.4 1085.5 1262.5 1278.9 1344.1 1459.7 1694.7 2118.4 2474.3 2692.0 2775.5 2758.9 2723.0 2744.8 2764.0 Q (1990年价 ) 318.3 325.0 337.0 350.5 408.4 437.8 490.3 613.8 702.2 693.8 731.3 809.5 943.1 1265.6 1564.3 1687.9 1689.6 1637.2 1566.8 1529.2 1539.9 P0 (1990=100) 70.7 71.5 75.3 81.0 87.1 96.7 98.3 101.7 95.9 100.0 108.2 114.5 124.6 134.6 143.0 145.6 150.8 157.0 169.5 182.1 192.1 P1 (1990=100) 132.1 132.9 137.7 146.7 86.1 95.7 96.5 92.4 94.0 100.0 107.0 109.3 112.2 112.4 112.9 112.8 115.0 117.7 123.3 128.1 130.8 (当年价 ) (当年价 ) (上年 =100) (上年 =100)
11/4/2016
建立1981~1994年中国城镇居民对食品的消费 需求模型:
ˆ ) 3.63 1.05 ln( X ) 0.08 ln( P1 ) 0.92 ln( P0 ) ln(Q
(9.03) (25.35) (-2.28) (-7.34)
各变量的弹性之和 1 2 3 0.05 ，比较接 近于零，但不为零。
11/4/2016
模型参数约束回归案例
例3.1 建立中国城镇居民食品消费需求函数模型。
根据需求理论，城镇居民对食品的消费需 求函数大致为: Q f ( X , P1 , P0 ) (4) Q:城镇居民的食品支出总额，X：城镇居民的消费 支出总额,P1：食品价格指数，P0：居民消费价格 指数。
11/4/2016
(1)
1 2 1
k 1 k
得:
Y 0 1 X 1 (1 1 ) X 2 k 1 X k 1 k 1 X k *
(2)
* * 或: Y * 0 1 X 1* 3 X 3 k 1 X k 1
第三章 受约束回归问题
一、模型参数的线性约束 二、对回归模型增加或减少解释变量 三、参数的稳定性检验 四、非线性约束
11/4/2016
受约束回归
在建立回归模型时，有时根据经济理论需要对 模型中的参数施加一定的约束条件。
例如：需求函数的0阶齐次性条件：当所有商品和 消费者货币支出总额按同一比例变动时，需求量保 持不变 。
ˆ ˆ ˆ ˆ e e e e ( β β ) X X( β β ) * * * *
于是
e *e* e e
(3)
e′e为无约束样本回归模型的残差平方和：RSSU 受约束与无约束模型都有相同的总离差平方 和TSS（因为受约束与无约束模型都有相同 的被解释变量和样本）
零阶齐次性，当所有商品和消费者货币支出 总额按同一比例变动时，需求量保持不变。
Q f ( X / P0 , P1 / P0 )
(5)
为了进行比较，将同时估计（4）式与（5）式。
11/4/2016
首先,确定具体的函数形式 根据恩格尔定律，居民对食品的消费支出与 居民的总支出间呈幂函数的变化关系:
特征：
1800 1600 1400 1200 1000 800 600 400 200 82 84 86 88 90 92 94 96 98 00 Q
消费行为在 1981~1995 年间表现 出较强的一致性； 1995年之后呈现出另 外一种变动特征。 因此：我们只建立 1981~1994年中国城 镇居民对食品的消费 需求模型。
其中k 为无约束模型解释变量个数， kR为受约束模 型解释变量个数，于是：
U
( RSSR RSSU ) /(kU k R ) F ~ F (kU k R , n kU 1) RSSU /(n kU 1)
11/4/2016
结论
如果约束条件无效， RSSR 与 RSSU的差异 较大，计算的F值也较大。 于是，可用计算的F统计量的值与所给定的 显著性水平下的临界值作比较，对约束条 件的真实性进行检验。 注意，kU - kR恰为参数关系约束条件的个 数。
A ( K ) ( L ) A K L A K L
即当资本与劳动的数量同时增长倍时，产出量也增长 倍。1937年， 提出了C-D生产函数的改进型，即取消了 + =1 的假定，允许要素的产出 弹性之和大于1或小于1。
11/4/2016
21
例1.2 Cobb-DouBaidu Nhomakorabealas生产函数估计形式如下：
Q AX
1
P1 2 P0 3
对上式进行对数变换，得到:
ln(Q ) 0 1 ln X 2 ln P1 3 ln P0 (6)
11/4/2016
考虑到零阶齐次性时
ln(Q ) 0 1 ln( X / P0 ) 2 ln( P1 / P0 )
11/4/2016
由（3）式
RSSR ≥ RSSU
从而
ESSR ≤ ESSU
（ESS为回归平方和） 这意味着，通常情况下，对模型施加约束条 件会降低模型的解释能力。 （模型的拟合优度=回归平方和/总平方和) 但是，如果约束条件为真，则受约束回归 模型与无约束回归模型具有相同或者近似的解 释能力，RSSR 与 RSSU的差异变小。
(0.003315 0.003240 ) / 1 F 0.231 0.003240 / 10
零阶齐次性检验
11/4/2016
取=5%，查得临界值F0.05(1,10)=4.96 结论：不能拒绝中国城镇居民对食品的人均消费 需求函数具有零阶齐次特性这一假设。 说明： 这里的F检验适合所有关于参数线性约束的检验
F检验
在同一样本下，记无约束样本回归模型为:
ˆ e Y Xβ
受约束样本回归模型为: ˆ * e* Y Xβ 于是:
ˆ * Xβ ˆ e Xβ ˆ * e X(β ˆ * β ˆ) e* Y Xβ
11/4/2016
受约束样本回归模型的残差平方和：RSSR