信号检测习题

信号检测与估计理论——习题讲解
（1）贝叶斯准则判决表示式 两个假设下观测信号的概率密度函数分别为
p(x |
H0 )
(
1
2
2 n
)
N
N
2 exp[
k 1
xk2
2
2 n
]
和
p(x |
H1 )
(
1
2
2 n
)
N
2
N
exp[
k 1
(
xk sk
2
2 n
)2
]
于是，似然比检验为
H
(x)
P(x | H1) P(x | H0)
k 1
k 1
2
Var(l | H0 ) E[( ( xk sk | H 0 ) E(l | H 0 ))2 ]
k 1
2
2
E[( nk sk )2 ]
sk2
2 n
k 1
k 1
在假设 H1 下，l(x) 的均值和方差分别为
2
2
2
E(l | H1) E[ ( xk sk | H1)] E[ (sk nk )sk ] sk2
E(l | H0 ) E[ xk sk | H0 ] E[ nk sk ] 0
k 1
k 1
N
N
N
V ar(l | H0 ) E[( (xk sk | H0 ) E(l | H0 ))2] E[( nk sk )2]
s
2
k
2 n
k 1
k 1
k 1
在假设 H1，l(x)的均值和方差为
现在我们把这类二元确知信号的检测 问题推广为一般情况。
设两个假设下的观测信号分别为
H0 : xk nk , k 1, 2,L , N H1 : xk sk nk , k 1, 2,L , N
其中，sk (k 1, 2,L , N) 是确知信号，但各
sk的值可以是不同的；各次观测噪声nk是均
信号检测与估计理论——习题讲解
信号检测与估计理论（习题课） 指导老师：张烨
信号检测与估计理论——习题讲解
3.4 考虑二元确知信号的检测问题。若两个 假设下的观测信号分别为
H0 : xk nk , k 1, 2 H1 : x1 s1 n1
x2 s2 n2
其已测中 知 相， 观 互s测 统1和噪 计s声独2为立n确k；~知设N信似号(然0，,比且门2 )满限足，为且s1两。次0, s观2 0;
sk2
k 1
2 n
这样判决概率为
P(H1 | H0 ) p(l | H0 )dl Q[ln d d 2]
P(H1 | H1) p(l | H1)dl Q[ln d d 2]
Q[Q1(P(H1 | H0 )) d ]
式中Q[u0 ]
u0
1
2
1
2
exp[
u2 2
]du
信号检测与估计理论——习题讲解
1
2
2 n
exp[
x12 x22
2
2 n
]
已知两次观测 统计相互独立
信号检测与估计理论——习题讲解
和 p(x | H1) p(x1, x2 | H1) p(x1 | H1) p(x2 | H1)
1
2
2 n
exp[
( x1
s1)2 (x2
2
2 n
s2 )2
]
于是似然比检验为
于是，偏移系数d 2 为
N
d 2
[E(l
H
def
(x)
p(x | H1) p(x | H0)
1
exp[
2 n
2
xk sk
k 1
1
2
2 n
2
sk2 ]
k 1
1
H
0
两边取对数，移项
信号检测与估计理论——习题讲解
考虑到s1 0，s2 0 ，化简得判断表示式
H
def 2
l(x)
xk sk
k 1
1
2 n
ln
1 2
2
sk2
k 1
N
N
N
E(l | H1) E[ xksk | H1] E[ (sk nk )sk ] sk2
k 1
k 1
k 1
N
N
N
V ar(l | H1) E[( (xksk | H1) E(l | H1))2] E[(
nksk )2]
s
2
k
2 n
k 1
k 1
k 1
信号检测与估计理论——习题讲解
信号检测与估计理论——习题讲解
（1）求采用贝叶斯准则时的最佳判决式。
（2）求判决概率 P(H1 | H0 ) 和 P(H1 | H1) 的计算式。
解 （1）两个假设下观测信号的概率密度函 数分别为
p(x | H0 ) p(x1, x2 | H0 ) p(x1 | H0 ) p(x2 | H0 )
值为零、方差为 2 的独立同分布高斯噪声。
设似然比检测门限 已知。
信号检测与估计理论——习题讲解
（1）求采用贝叶斯准则时的最佳判决表示式， 并化简为最简形式，检验统计量记为 l(x) 。 （2）画出检测器的结构；根据检验统计量l(x) ， 说明该检测器是一种相关检测器。 （3）研究检测器的性能，求判决概率 P(H1 | H0) 和 P(H1 | H1) 的计算式。 （4）若 sk s(k 1,2,L , N) ，求判决表示式， 画出检测器的结构，研究检测器的性能。
def
H
0
（2）下面研究检测性能。
为求判决概率，先求两个假 设条件下的概率密度函数
N
因检验统计量 l(x) xk sk在两个假设下都是高
斯随机变量。
k 1
在假设
H
下，l
0
(x)
的均值和方差分别为
信号检测与估计理论——习题讲解
2
2
E(l | H0 ) E[ (xk sk | H0 )] E[ nk sk ] 0
k 1
k 1
k 1
2
Var(l | H1) E[( ( xk sk | H1) E(l | H1))2 ] k 1
2
2
E[( nk sk )2 ]
sk2
2 n
k 1
k 1
信号检测与估计理论——习题讲解
于是，偏移系数d 2为
2
d 2
[E(l | H1) E(l | H 0 )]2 Var(l | H0 )
1
exp[
2 n
N
xk sk
k 1
1
2
2 n
N
sk2 ]
k 1
1
H
0
信号检测与估计理论——习题讲解
化简得到判决表示式
H
N
l(x) xk sk k 1
1
2 n
ln
1 2
N
sk2
k 1
def
H
0
（2）检测器的结构 根据判决表示式，检测器的结构如下图所示
信号检测与估计理论——习题讲解
xk
sk
N
xk sk
k 1
判决器
H1成立 H0成立
N
因为检验统计量 l(x) xk sk 是相关运算，所 k 1
以，检测器是一种相关检测器。
信号检测与估计理论——习题讲解
（3）检测性能分析
在两个假设下，检验统计量l (x)都是高斯随机变量。
在假设 H0下，l(x) 的均值和方差Hale Waihona Puke Baidu别为
N
N