双曲函数

2 archx ln( x x 1 ) ， x [1, ) ； 另一支为
（3）反双曲正切函数：
1 1 x arthx ln ，x (1, 1) 。 2 1 x
这里仅推导反双曲正弦函数的表达式。
e x ex x e 在 y shx 中令 u ，得 2
e x y e ( x y ) sh( x y) 。 2
（五）反双曲函数
（1）反双曲正弦函数：
arshx ln( x x 2 1 ) ，x (, ) ；
（2）反双曲余弦函数：
archx ln( x x 2 1 ) ，x [1, ) ；
2 2 ch x sh x 1 ； （5）
（6）1 th x
2
1
2
ch x 在这里仅证公式（1） 。
。
shxchy chxshy
e x e x e y e y e x e x e y e y 2 2 2 2
e x y e y x e x y e ( x y ) e x y e y x e x y e ( x y ) 4 4
（六）反双曲函数的图象
y
y
y arshx
o x o
1
y archx
x
y
y arthx
-1
o
1
x
2． y chx 的定义域是(, ) ，值域是[1, ) ，
(0, ) 内 它是偶函数，在(, 0) 内单调减少，在
单调增加。
3． y thx 的定义域是(, ) ，值域是(1, 1 ) ， 它是奇函数，在(, ) 内单调增加。
（三）双曲函数的图象
u 2 2uy 1 0 ， u y y 2 1 ，
∵ u e x 0 ，∴ u y y 2 1 ，
即 e x y y 2 1 ， x ln( y y 2 1 ) ，
故 y shx 的反函数为 y ln( x x 2 1 ) ， x (, Fra Baidu bibliotek).
双 曲 函 数 （见教材P272）
（一）双曲函数的定义
e x e x （1）双曲正弦函数： shx ， 2
e x e x （2）双曲余弦函数： chx ， 2
shx e x e x x x 。 （3）双曲正切函数：thx chx e e
（二）双曲函数的性质
1． y shx 的定义域是(, ) ，值域是(, ) ， 它是奇函数，在(, ) 内单调增加。
y
y shx
y
1
y chx
o
x y
1
o
x
y thx
o
-1
x
（四）双曲函数之间的关系式
（1） sh ( x y ) shxchy chxshy ；
（2） ch ( x y ) chxchy shxshy ；
（3） sh2 x 2shxchx ； （4） ch 2 x ch 2 x sh 2 x ；