双曲函数
双曲函数
双曲函数的作用双曲函数（hyperbolic function）可借助指数函数定义Sinh_cosh_tanh双曲正弦sh z ＝(e^z-e^(-z))/2 （1）双曲余弦ch z ＝(e^z+e^(-z))/2 （2）双曲正切th z ＝ sh z /ch z ＝(e^z-e^(-z))/(e^z+e^(-z)) （3）双曲余切cth z ＝ ch z/sh z＝(e^z+e^(-z))/(e^z-e^(-z)) （4）双曲正割sech z ＝1/ch z （5）双曲余割csch z ＝1/sh z （6）其中，指数函数（exponentialCsch_sech_cothfunction）可由无穷级数定义e^z＝1＋z/1！＋z^2/2！＋z^3/3！＋z^4/4！＋...＋z^n/n！＋ (7)双曲函数的反函数（inverse hyperbolic function）分别记为ar sh z、ar ch z、ar th z等。
定义在数学中，双曲函数类似于常见的三角函数（也叫圆函数）。
基本双曲函数是双曲正弦“sinh”，双曲余弦“cosh”，从它们导出双曲正切“tanh”等。
也类似于三角函数的推导。
反函数是反双曲正弦“arsinh”（也叫做“arcsinh”或“asinh”）以此类推。
因为双曲函数出现于某些重要的线性微分方程的解中，譬如说定义悬链线和拉普拉斯方程。
双曲函数接受实数值作为叫做双曲角的自变量。
在复分析中，它们简单的是指数函数的有理函数，并因此是完整的。
射线出原点交双曲线 x2 − y2 = 1 于点 (cosh a,sinh a)，这里的a被称为双曲角，是这条射线、它关于x轴的镜像和双曲线之间的面积。
定义双曲函数（Hyperbolic Function）包括下列六种函数：sinh / 双曲正弦： sinh(x) = [e^x - e^(-x)] / 2cosh / 双曲余弦： cosh(x) = [e^x + e^(-x)] / 2tanh / 双曲正切： tanh(x) = sinh(x) / cosh(x)=[e^x - e^(-x)] / [e^x + e^(-x)]coth / 双曲余切： coth(x) = cosh(x) / sinh(x) = [e^x + e^(-x)] / [e^(x) - e^(-x)]sech / 双曲正割： sech(x) = 1 / cosh(x) = 2 / [e^x + e^(-x)]csch / 双曲余割： csch(x) = 1 / sinh(x) = 2 / [e^x - e^(-x)]其中，e是自然对数的底e≈2.71828 18284 59045...= 1/0! + 1/1! + 1/2! + 1/3! + 1/4! + 1/5!...+ 1/n! +...e^x 表示 e的x次幂,展开成无穷幂级数是:e^x=x^0/0! + x^1/1! + x^2/2! + x^3/3! + x^4/4! + x^5/5!...+ x^n/n! +...如同点 (cost,sint) 定义一个圆，点 (cosh t, sinh t) 定义了右半直角双曲线 x^2 − y^2 = 1。
双曲函数
▪ 悬链线 ▪ 数学证明
双曲函数图册
相关函数 纠错
9 参考文献
5 导数 6 不定积分
二次函数
对勾函数
复变函数
1
定义
双曲函数（hyperbolic function）可借助指数函数定义 [1] 双曲正弦：
编辑 幂指函数 贝塞尔函数 三次函数
双曲余弦：
五次函数
幂函数
初等函数
双曲正切：
词条统计
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中文名 外文名 双曲函数 Hyperbolic function 别 称 领 域 圆函数 数学函数论
目录
1 定义 2 函数性质 3 与三角函数关系 4 恒等式
▪ 加法公式
▪ 减法公式 ▪ 二倍角公式 ▪ 三倍角公式 ▪ 半角公式
7 级数表示 8 实际应用
▪ 阻力落体 ▪ 导线电容 ▪ 粒子运动 ▪ 非线性方程
[（x2+a2）+y2] /[（x2―a2）+y2]=k2 ⒆ 式中 k2 =e4πε0φ/λ ⒇ 令 c=[（k2+1）/（k2―1）]a （21） 则⒆式可化为 （x―c）2+y2=[4k2/（k2―1）2]a 2 （22） 这表明，偶极线的等势面都是轴线平行于z轴的圆柱面，它们的轴线都在z轴上z=c处，其横截面的半径为 R=∣2k/（k2―1） ∣a （23） 这个结果启示，我们可以找到偶极线的两个等势面，使它们分别与原来两导线的表面重合。这只要下列等式成立就可以了： a1= ∣c1∣=[（k12+1）/（k12―1）]a （24） R1=∣2k1/（k12―1） ∣a （25） a2= ∣c2∣=[（k22+1）/（k22―1）]a （26） R2=∣2k2/（k22―1） ∣a （27） d=a1+a2 （28） 由（24）至（27）式得 a12―R12=a2= a22―R22 （29） 原来两导线表面的方程是 R1：（x―a1）2+y2= R12 （30） R2：（x+a2）2+y2= R22 （31） 利用（29）式，可以把（30）和（31）式分别化为 x2+y2+ a2= 2a1 x （32） x2+y2+ a2= ―2a2 x （33） 利用（32）和（33）两式，由⒅式得出，半径为R1和R2的两导线的电势分别为 φ1=（λ/4πε0）In[（a1+a）/ （a1―a）] （34） φ2=―（λ/4πε0）In[（a2+a）/ （a2―a）] （35） 于是两导线的电势差便为 U=φ1+φ2=（λ/2πε0）In[（a1+a）（a2―a）/ R1R2] （36） 用已知的量消去未知数，可以得出 U=（λ/2πε0）In[（d2―R12―R2）/ 2R1R2+√[（d2―R12―R2）/ 2R1R2]2―1] （37） 最后得出原来两导线为l一段的电容为 C=Q/U=2πε0l/ In[（d2―R12―R22）/ 2R1R2+√[（d2―R12―R22）/ 2R1R2]2―1] （38） 单位长度的电容为 c=2πε0/ In[（d2 ― R12 ―R22） / 2R1R2+√ [（d2―R12―R22） / 2R1R2 ] 2―1] （39） 利用反两曲余弦关系式 archx= In[（x+√x2―1）] （40） 对本题的精确解表示作简洁表示 c=2πε0/ arch[（d2―R12―R22）/ 2R1R2] （41） 最后一式可以在一般手册上查到。
双曲函数
双曲函数双曲函数在数学中，双曲函数类似于常见的（也叫圆函数的）三角函数。
基本双曲函数是双曲正弦“sinh”，双曲余弦“cosh”，从它们导出双曲正切“tanh”等。
也类似于三角函数的推导。
反函数是反双曲正弦“arsinh”（也叫做“arcsinh”或“asinh”）以次类推目录定义介绍双曲函数实变双曲函数复变双曲函数1、定义2、性质反双曲函数三角函数恒等式加法公式减法公式二倍角公式半角公式三倍角公式导数不定积分级数表示实际应用1、阻尼落体2、导线电容3、粒子运动4、非线性方程悬链线数学证明参考文献展开定义介绍实变双曲函数复变双曲函数1、定义2、性质反双曲函数三角函数恒等式加法公式减法公式二倍角公式半角公式三倍角公式导数不定积分级数表示实际应用1、阻尼落体2、导线电容3、粒子运动4、非线性方程悬链线数学证明参考文献展开编辑本段定义双曲函数（hyperbolic function）可借助指数函数定义Sinh_cosh_tanh双曲正弦sh z =(e^z-e^(-z))/2 ⑴双曲余弦ch z =(e^z+e^(-z))/2 ⑵双曲正切th z = sh z /ch z =(e^z-e^(-z))/(e^z+e^(-z)) ⑶cth z = ch z/sh z=(e^z+e^(-z))/(e^z-e^(-z)) ⑷双曲正割sch z =1/ch z ⑸双曲余割xh(z) =1/sh z ⑹其中，指数函数（exponentialCsch_sech_cothfunction）可由无穷级数定义e^z=1+z/1！+z^2/2！+z^3/3！+z^4/4！+…+z^n/n！+… ⑺双曲函数的反函数（inverse hyperbolic function）分别记为arsh z、arch z、arth z 等。
编辑本段介绍在数学中，双曲函数类似于常见的三角函数（也叫圆函数）。
基本双曲函数是双曲正弦“sinh”，双曲余弦“cosh”，从它们导出双曲正切“tanh”等。
高考数学中的双曲函数性质详解
高考数学中的双曲函数性质详解在高中数学的学习中，双曲函数是比较重要的一部分内容，也是高考考试中必须要掌握的知识点。
在日常生活中，我们并不会有太多机会用到双曲函数，但是在数学中，双曲函数却是非常重要的。
下面，我们就来详细了解一下双曲函数性质。
双曲函数的定义在双曲线的研究中，常常会涉及到双曲函数。
双曲函数是指定义在实数域上的两个函数：双曲正弦函数（sinh x）和双曲余弦函数（cosh x）。
- 双曲正弦函数（sinh x）的定义：sinh x = (e^x – e^-x)/2。
- 双曲余弦函数（cosh x）的定义：cosh x = (e^x + e^-x)/2。
其中，e代表自然对数的底数。
双曲函数的图像双曲函数的图像是一个平滑的曲线，类似于超过x轴和下降到x轴的一条曲线。
双曲正弦函数的图像与指数函数的图像非常相似，而双曲余弦函数的图像则与平移后的指数函数的图像非常相似。
双曲函数的性质接下来我们来看看双曲函数的一些性质。
双曲正弦函数和双曲余弦函数都有以下性质：1. 它们的定义域都是实数集。
sinh x和cosh x的定义域都是实数集，也就是说，可以输入任何实数作为变量值进行计算。
2. 它们关于y轴对称。
因为sinh x 和 sinh (-x) 是相等的，而cosh x 和 cosh (-x) 也是相等的，因此它们都关于y轴对称。
3. 它们的反函数是对数函数。
双曲正弦函数和双曲余弦函数都有反函数，分别为双曲正弦反函数（arsinh）和双曲余弦反函数（arcosh）。
它们的反函数都是对数函数，分别为自然对数和复合对数。
4. 它们在x趋向于无穷大或负无穷大时的趋势是一样的。
双曲正弦函数和双曲余弦函数在x趋向于无穷大或负无穷大时的趋势都是一样的，即它们都是指数函数的一半。
5. 它们的导数、积分函数都有一定的规律。
sinh x的导数是cosh x，cosh x的导数是sinh x。
它们的积分函数也有一定的规律：∫cosh x dx = sinh x + C，∫sinh x dx = cosh x + C。
双曲函数(Hyperbolic functions)
我们所熟知的三角函数也被叫做circular function，因为sin、cos满足 \sin^2x+\cos^2 x=1 可以看出是从一个单位圆的方程 x^2+y^2=1 中演化过来的。
而圆锥曲线我们知道还有双曲线、抛物线、椭圆等，那么其他圆锥曲线是否也可以演化出类似的函数出来？是有的，比如今天介绍的双曲函数，是从单位双曲线方程 x^2-y^2=1 中演化出来的。
先回忆一下三角函数有哪些：sin 正弦，cos 余弦，tan 正切， sec 正割，csc(cosec) 余割，cot 余切详细关系见下图：那么我们的双曲函数也有这些函数，这不过就是在上面六个三角函数后加一个“h”，表示“hyperbolica”，双曲的...一、函数定义sinh 双曲正弦，cosh 双曲余弦，tanh 双曲正切， sech 双曲正割，csch(cosech) 双曲余割，coth 双曲余切接下去是各个双曲函数的表达式：二、函数图像下面是各个双曲函数的图像以及对应定义域、值域等：y=\sinhx=\frac{e^x-e^{-x}}{2}2. y=\cosh x=\frac{\mathrm{e}^{x}+\mathrm{e}^{-x}}{2}3. y=\tanhx=\frac{\mathrm{e}^{x}-\mathrm{e}^{-x}}{\mathrm{e}^{x}+\mathrm{e}^{-x}}4. y=\operatorname{sech}x=\frac{1}{\operatorname{cosh}x}=\frac{2}{\mathrm{e}^{x}+\mathrm{e}^{-x}}5. y=\operatorname{cosech} x=\frac{1}{\sinh x}=\frac{2}{\mathrm{e}^{x}-\mathrm{e}^{-x}}6. y=\operatorname{coth} x=\frac{1}{\tanhx}=\frac{\mathrm{e}^{x}+\mathrm{e}^{-x}}{\mathrm{e}^{x}-\mathrm{e}^{-x}}三、几何意义从上面这张图中能看出来双曲函数自变量的几何意义，是红色所围成面积的两倍，或者看下图也是一样的：那么与三角函数之间的关系呢？四、双曲恒等式我们知道三角函数有非常多的恒等式，这也是三角函数成为高中生噩梦的很大一部分原因，如果不清楚有哪些恒等式可以点击下文：那么类似的，双曲函数也有很多恒等式，并且可以这么说在三角函数中有的恒等式，在双曲函数中都有类似的，下面给出了一些当然这些恒等式我们都是可以证明的，比如高数书上就给了两个例子：所以给出恒等出我们都可以通过sinh、cosh定义带入进行计算，可能计算上会有一点复杂。
双曲函数_精品文档
双曲函数双曲函数是一类特殊的数学函数，与三角函数密切相关。
双曲函数的研究与应用在数学、物理学、工程学等领域有着广泛的应用。
在本文中，我们将介绍双曲函数的定义、性质以及一些常见的应用。
定义：双曲函数是指一组涉及指数函数的函数族，其定义域为实数集，它们的计算结果和性质与三角函数非常类似。
我们可以通过指数定义来简单地记双曲函数：双曲正弦函数（sinh）：sinh(x) = (e^x - e^(-x))/2双曲余弦函数（cosh）：cosh(x) = (e^x + e^(-x))/2双曲正切函数（tanh）：tanh(x) = sinh(x)/cosh(x)双曲余切函数（coth）：coth(x) = 1/tanh(x) = cosh(x)/sinh(x) 双曲正割函数（sech）：sech(x) = 1/cosh(x)双曲余割函数（csch）：csch(x) = 1/sinh(x)性质：双曲函数具有许多有趣的性质，使得它们在数学和应用中都有广泛的应用。
以下是一些常用的性质：1. 对称性：双曲函数是奇函数还是偶函数取决于参数的奇偶性。
sinh(x)和csch(x)是奇函数，cosh(x)、tanh(x)和sech(x)是偶函数，而coth(x)则既不是奇函数也不是偶函数。
2. 增长性：双曲函数的增长速度比指数函数稍慢。
当x的值变得非常大或非常小时，双曲函数的增长速度将远远超过指数函数。
3. 反函数：每个双曲函数都有它的反函数，例如，sinh(x)的反函数是ln(x + √(x^2 + 1))。
4. 三角关系：双曲函数和三角函数之间存在着许多关系。
例如，sinh(x)和cosh(x)之间满足勾股定理：sinh^2(x) + cosh^2(x) = 1。
这类似于三角函数中的勾股定理：sin^2(x) + cos^2(x) = 1。
应用：双曲函数在数学、物理学和工程学中具有广泛的应用。
以下是一些常见的应用领域：1. 振动现象：双曲函数在描述振动现象中起着重要的作用。
双曲函数公式
双曲函数公式
双曲函数：
1、定义：双曲函数是一种定义域为实数域或复数域，取值域为实数或复数的函数，其曲线是关于原点成对的对称的双曲线，即上下对称的双曲线。
2、基本形式：双曲函数的一般形式表达式为：y=A*tanh（BX+C）或者y=A*coth（BX+C），A、B、C均为常数，A为双曲函数的拉伸系数，B决定双曲函数的斜率，C决定双曲函数的位移。
3、特点：
（1）双曲函数的大致形状和正弦函数类似，但是它的斜率比正弦函数更快；
（2）双曲函数是非线性函数，它可以用来模拟非线性系统；
（3）双曲函数的函数值不会无限接近于零，也就是说，双曲函数的函数值是有界的；
（4）双曲函数的导数和自身具有固定的比例关系，该关系仅仅取决于双曲函数的参数B。
4、应用：双曲函数在电动机控制、机器人控制、电参量控制、自动控
制等方面有着重要的应用，并且可以用来替代正弦函数和余弦函数在相应领域内的应用。
双曲函数公式
双曲函数公式
双曲函数是一种特殊函数，它由双曲线表示，它具有独特的性质，使它在很多领域都有用处。
双曲函数表示为：
y=a*sinh(x*b)+c
其中，a，b，c为常数。
双曲函数的特性有：
1. 对称性：双曲函数的函数图像关于y轴是对称的，也就是说，函数图像对称的两边的点的横坐标相等，而其纵坐标则是相反的；
2. 单调性：双曲函数的函数图像从一端到另一端是单调的，即从一端到另一端的函数值的变化是单调的；
3. 连续性：双曲函数的函数图像是连续的，也就是说，函数图像上每个点都与其他点没有断点；
4.无限性：双曲函数的函数图像是无限的，也就是说，函数图像一直延伸到正负无穷大，而不会停止。
双曲函数有很多应用，比如在物理学中，它被用来描述电荷在自由空间中的运动；在数学中，它被用来描述正弦函数、余弦函数等函数的变化；在工程学中，它被用来描述抛物线的变化等。
双曲函数的另一个重要用途是，它可以用来求解椭圆方程，这使得椭圆在很多领域都得到了应用。
因此，双曲函数是一种特殊函数，它具有独特的性质，使它在很多领域都有用处，它的应用极其广泛。
高等数学第六节 双曲函数
2 1x yarcxot1h lnx1.
2 x1
下面我们给出公式 y = arsh x 的推导： 在 ysh xexex中e令 xu,于是可得
2
u22yu10,
解之得
uy y2 1.
因为 u = ex > 0，所以上式取正号， 即
sh(xy).
2
因为 ch (x)exex chx，所以函数 y ch x
2
是偶函数 ； 因为
s(h x)exexexex sh x.
2
Hale Waihona Puke 2th (x)s(h x)sh xth x. c(h x) cx h
co( txh )c(h x)ch xcoxt. h s(h x) sh x
所以函数 y sh x ，y th x ，y coth x 为奇函数.
注意：双曲函数 不像三角函数那样具有周期性.
双曲函数的反函数叫做反双曲函数，分别 记为 arsh x ，arch x ，arth x ， arcoth x .
反双曲函数还有如下的表达式：
yarx shlnx( x21)，
uy 1y2, ex y 1y2, xlny( 1y2).
故 y = sh x 的反函数为
ylnx( 1x2).
y
1
y = th x
O
x
-1
双曲余切函数 coxt e e h x x e e x x 即 c sx h x h ,x (,0 ) (0 ,) .
y y = coth x
1
O
x
-1
这些函数之间存在着下述关系： sh (x y) = sh x ch y ch x sh y . ch (x y) = ch x ch y sh x sh y . sh 2x = 2sh x ch x. ch 2x = ch2 x + sh2 x. ch2 x sh2 x = 1 .
双曲函数的导数
双曲函数的导数
双曲函数的导数：
1. 什么是双曲函数？
双曲函数是一类以三角函数解析式的变形为基础的特殊函数，它表示的是极坐标系当中等值线的参数方程。
双曲函数可以大致分为正双曲函数和负双曲函数，由参数决定，分别为 $Cosh(x)$ 和 $Sinh(x)$ 。
2. 双曲函数的导数
双曲函数的导数表达式由以下公式给出：
（1）正双曲函数的导数：$Cosh'(x)=Sinh(x)$
（2）负双曲函数的导数：$Sinh'(x)=Cosh(x)$
3. 双曲函数的导数的性质
（1）非负性：正双曲函数的导数都是非负的；
（2）减小性：负双曲函数的导数都是单调递减的；
（3）图像：双曲函数的图像表明，其导数图像在原点水平翻转180度。
4. 双曲函数的导数的应用
（1）由于双曲函数的导数具有单调递减的特性，因此可以应用于压缩
函数的形成中；
（2）由于双曲函数的导数有非负性质，因此可以应用于激励函数的建立；
（3）此外，双曲函数的导数也可用于求解非线性系统，如有限时钟问题、斯塔克斯方程（Stokes方程）等。
双曲函数
探究双曲函数PB07210142,梁海波双曲函数是我们在大学时期微积分课程中新接触的东东，但仿佛仅在《高等数学导论》第一章有所提及，貌似与后来知识没有关系。
本人在做题时发现，双曲函数与后来的微积分，特别是积分求解有许多联系。
首先，我们先认识下双曲函数。
双曲正弦:2xx e e shx --=双曲余弦: 2xx e e chx -+=双曲正切: x x xx e e e e thx --+-= 双曲函数与三角函数有很多相似的性质,在求解积分的过程中,三角函数与双曲函数地位相当,下面对其相似之处进行比较,由于三角函数性质在以前接触较多,这里不在赘述.chx shx thx =chxshy shxchy y x sh ±=±)(shxshy chxchy y x ch ±=±)(122=-x sh x chx ch x sh x ch 222=+shx x sh -=-)(chx x ch =-)(shxchx x sh 22=下面说反双曲函数。
以下记法与书上不同，这样写便于与反三角函数想对比。
)1ln(2-+±=x x arcchx)1ln(2++=x x arcshx)11ln(21xx arcthx -+= 求解积分的问题中，有很多式子含有12-x ，12+x 以及它的倒数与根式形。
书后的简明积分表也给出了相关的公式，但这些公式复杂难记，没能把握住其与双曲函数的内在关系。
我们在解这类问题时往往会采用换元法，令x=sint 或x=sht 等。
其实这样设的目的就是利用了反三角函数，反双曲函数的微分，下面对这些公式作一定的改写。
（１）dx x ⎰+211＝c x +arctanc arcthx dx x +=-⎰211 （２）||112arcchx dx x =-⎰c x dx x +=-⎰arcsin 112 c x dx x +=--⎰arccos 112 c arcshx dx x +=+⎰112 （３）2212arcsin 211x x x dx x -+=-⎰ 2212211x x arcshx dx x ++=+⎰ 12||21122-+-=-⎰x x arcchx dx x从形式上简化，实质是从思想上的简化，这样去理解公式不仅便于记忆，更加深了我们对双曲函数的理解。
泰勒级数的双曲函数
泰勒级数的双曲函数泰勒级数是高等数学中的一个重要概念，可以将各种函数近似表示成无穷多项式的形式，从而使得我们更加容易地对函数进行研究和计算。
其中，双曲函数是一类具有重要物理意义的函数，应用极广。
在本文中，我将讨论泰勒级数如何用于表示双曲函数。
首先，让我们了解一下双曲函数是什么。
双曲函数是指如下两个函数：$$\sinh(x)=\frac{e^x-e^{-x}}{2}$$$$\cosh(x)=\frac{e^x+e^{-x}}{2}$$这两个函数在数学以及物理学中都有广泛的应用。
在物理学中，它们常常用来描述具有不稳定平衡态的系统。
我们可以发现，双曲函数的定义中都是指数函数$e^x$和$e^{-x}$的线性组合。
因此，我们可以考虑使用泰勒级数来近似表示它们。
对于一个可导的函数$f(x)$，我们可以将它在某个点$x_0$处展开为如下泰勒级数：$$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n$$其中，$f^{(n)}(x_0)$表示$f(x)$在$x_0$处的$n$阶导数。
由于双曲函数是可导的函数，我们同样可以利用泰勒级数来表示它们。
对于$\sinh(x)$，我们将其在$x=0$处展开，则有：$$\sinh(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}$$同样地，对于$\cosh(x)$，我们也可以将其在$x=0$处展开，得到：$$\cosh(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{2n}}{(2n)!}$$这两个级数在数学中被称为双曲正弦级数和双曲余弦级数。
值得注意的是，由于级数中含有无穷多项，实际应用中需要根据需要选取一定多项进行截断。
当选取的项数越多时，展开后的函数表示越精确，但是计算量也越大。
当然，我们也可以通过级数表示的方式来证明双曲函数的一些性质。
例如，我们可以利用双曲余弦级数和双曲正弦级数来证明以下公式：$$\cosh^2(x)-\sinh^2(x)=1$$通过代入上述级数并带入求和符号内，可以得到：$$\begin{aligned}&\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{2n}}{(2n)!}\cdo t\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{2n}}{(2n)!}-\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}\cdot\sum_{n=0}^{\inf ty}\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}\\=&\sum_{n=0}^{\infty}\sum_{m=0}^{ n}\frac{x^{2m}}{(2m)!}\cdot\frac{x^{2(n-m)}}{(2(n-m))!}-\sum_{n=0}^{\infty}\sum_{m=0}^{n}\frac{x^{2m+1}}{(2m+1)!}\cd ot\frac{x^{2(n-m)}}{(2(n-m)+1)!}\\=&\sum_{n=0}^{\infty}\left(\sum_{m=0}^{n}\frac{x^{2m} }{(2m)!}\cdot\frac{x^{2(n-m)}}{(2(n-m))!}-\sum_{m=0}^{n}\frac{x^{2m+1}}{(2m+1)!}\cdot\frac{x^{2(n-m)}}{(2(n-m)+1)!}\right)\\=&1\end{aligned}$$在最后一步的变形中，我们使用了基本的数学公式，例如$1/2!=1/2\cdot1$等，将两个求和符号内的三角函数转化为了两个待证明的和式形式，最终证明了此公式的正确性。
双曲函数简介.doc
双曲函数双曲函数在数学中，双曲函数类似于常见的（也叫圆函数的）三角函数。
基本双曲函数是双曲正弦“sinh ”，双曲余弦“cosh ”，从它们导出双曲正切“tanh ”等。
也类似于三角函数的推导。
反函数是反双曲正弦“arsinh ”（也叫做“arcsinh ”或“asinh ”）以次类推定义 双曲函数（hyperbolic function ）可借助指数函数定义双曲正弦(sinh/sh) 2xx e e shx --=双曲余弦(cosh/ch) 2xx e e chx -+=双曲正切(tanh/th) chx shxe e e e thx xx x x =+-=-- 双曲余切(coth/cth) shxchxe e e e thx cthx x x x x =-+==--1 双曲正割(sech) x x ee chx hx -+==21sec双曲余割(csch)x x ee shx hx --==21csc 其中，指数函数（exponential function ）可由无穷级数定义(Tayor 展开)),(,!!3!21!320+∞-∞∈++++++==∑∞=x n x x x x n x e nn n xΛΛ e 是自然对数的底 e ≈2.71828 18284 59045...=ΛΛ++++++!1!31!21!11!01n ⑺双曲函数的反函数（inverse hyperbolic function ）分别记为ar sh z 、ar ch z 、ar th z 等。
简单介绍在数学中，双曲函数类似于常见的三角函数（也叫圆函数）。
基本双曲函数是双曲正弦“sinh ”，双曲余弦“cosh ”，从它们导出双曲正切“tanh ”等。
也类似于三角函数的推导。
反函数是反双曲正弦“arsinh ”（也叫做“arcsinh ”或“asinh ”）以此类推。
双曲函数出现于某些重要的线性微分方程的解中，譬如说定义悬链线和拉普拉斯方程。
双曲函数
e x+ y − e −( x+ y ) = = sh( x + y ) 。 2
（ 五 ） 反双曲函数
（1）反双曲正弦函数：
（二）双曲函数的性质
1． y = shx 的定义域是 (−∞, + ∞ ) ，值域是 ( −∞, + ∞ ) ， 它是奇函数，在 (−∞, + ∞) 内单调增加。
2． y = chx 的定义域是 (−∞, + ∞) ，值域是 [1, + ∞) ， 它是偶函数，在 (−∞, 0) 内单调减少，在 (0, + ∞) 内 单调增加。
1 1+ x ， x ∈ (−1, 1) 。 arthx = ln 2 1− x
这里仅推导反双曲正弦函数的表达式。
e x − e−x 在 y = shx = 中令 e x = u ，得 2
u 2 − 2uy − 1 = 0 ， u = y ± y 2 + 1 ，
∵ u = e x > 0 ，∴ u = y + y 2 + 1 ，
见教材P272 P272） 双 曲 函 数 （见教材P272）
（一）双曲函数的定义
e x − e− x （1）双曲正弦函数： shx = ， 2
e x + e− x （2）双曲余弦函数： chx = ， 2
shx e x − e − x （3）双曲正切函数： thx = = x −x 。 chx e + e
双曲函数.2
d=a1+a2 （28）
由（24）至（27）式得
a12―R12=a2= a22―R22 （29）
原来两导线表面的方程是
R1：（x―a1）2+y2= R12 （30）
R2：（x+a2）2+y2= R22 （31）
记
f=1/（coshξ+r）,g=sinhξ/（coshξ+r） （64）
尝试
φ=a0+a1f+a2g （65）
注意存在关系式
df/dξ=－fg
dg/dξ=1－g2－rg
g2=1－2rf+（r2－1）f2 （66）
将（65）式代入（63）式，并在（66）式的帮助下使所得方程中各项只含有f和g的幂次项，且g的幂次项不大于1。合并f和g的同次幂项并取其系数为零，就得到方程（63）对应的非线性代数方程组
－6βk3b1（r2－1）2=0,
－6βk3a1（r2－1）=0,
－2kb1（r2－1）（－6βk2r+ a1）=0,
－k（－6βk2r a1+ a12－b12+ b12r2）=0,
b1（4βk3+ka0－ka0r2+3ka1 r－7βk3 r2+ cr2－c）=0,
利用反两曲余弦关系式
archx= In[（x+√x2―1）] （40）
对本题的精确解表示作简洁表示
c=2πε0/ arch[（d2―R12―R22）/ 2R1R2] （41）
最后一式可以在一般手册上查到。
3、粒子运动轨迹
一电荷量为q、静质量为m0的粒子从原点出发，在一均匀电场E中运动，E=Eez沿z轴方向，粒子的初速度沿y轴方向，试证明此粒子的轨迹为
双曲函数
双曲正切
单调性
e x e x e x e x
单调递增
2e x 2 1 x x 1 2x e e e 1
极限
e x e x lim x + e x e x
e x e x lim x - e x e x
1
-1
双曲正切
1 x2
(ar chx)
1 x2 1
1 1 x2
双曲函数间的关系
sh( x y) shxchy chxshy
sh( x y) shxchy chxshy
sh2x 2shxchx
ch( x y) chxchy shxshy
ch( x y) chxchy shxshy
shx
单调性
极限
+
-
双曲正弦
函数图像
shx
双曲正弦
值域
(, )
导数
e e ' e x e x ' ) ( shx) ( 2 2 chx
x
x
双曲正弦的反函数
e x e x y 2 e y e y x 2
令 ue
y
( x (-，), y (-，)) + + ( x (-，), y (-，)) + +
(chx) shx
1 (thx) ch 2 x
导数总结
(arcsin x)
1 1 x2 1 (arctan x) 1 x2 1
(arccos x)
1
1 x2 1 (arc cot x) 1 x2
(ar shx) (ar thx)
(完整版)双曲函数公式汇总
(完整版)双曲函数公式汇总引言双曲函数是数学中的一类特殊函数，与三角函数类似，但具有不同的性质和公式。
本文将对双曲函数的定义、性质和常见公式进行汇总，并提供相应的示例。
双曲函数的定义双曲函数包括双曲正弦函数（sinh）、双曲余弦函数（cosh）、双曲正切函数（tanh）以及它们的反函数。
它们的定义如下：- 双曲正弦函数（sinh）：$sinh(x)=\frac{{e^x-e^{-x}}}{{2}}$- 双曲余弦函数（cosh）：$cosh(x)=\frac{{e^x+e^{-x}}}{{2}}$- 双曲正切函数（tanh）：$tanh(x)=\frac{{sinh(x)}}{{cosh(x)}}$双曲函数的性质双曲函数具有以下性质：1. 对于任意实数 x，有 $cosh^2(x) - sinh^2(x) = 1$。
2. 双曲正弦函数是奇函数，即 $sinh(-x) = -sinh(x)$。
3. 双曲余弦函数是偶函数，即 $cosh(-x) = cosh(x)$。
4. 双曲正切函数是奇函数，即 $tanh(-x) = -tanh(x)$。
常见公式下面列举了一些双曲函数的常见公式及其证明：- 双曲函数的和差公式：- $sinh(x_1 + x_2) = sinh(x_1)cosh(x_2) + cosh(x_1)sinh(x_2)$ - $cosh(x_1 + x_2) = cosh(x_1)cosh(x_2) + sinh(x_1)sinh(x_2)$ - $tanh(x_1 + x_2) = \frac{{tanh(x_1)+tanh(x_2)}}{{1 +tanh(x_1)tanh(x_2)}}$- 双曲函数的倍角公式：- $sinh(2x) = 2sinh(x)cosh(x)$- $cosh(2x) = cosh^2(x) + sinh^2(x)$- $tanh(2x) = \frac{{2tanh(x)}}{{1 + tanh^2(x)}}$- 双曲函数的倒数公式：- $sinh^{-1}(x) = ln(x + \sqrt{x^2 + 1})$- $cosh^{-1}(x) = ln(x + \sqrt{x^2 - 1})$- $tanh^{-1}(x) = \frac{{1}}{{2}}ln(\frac{{1+x}}{{1-x}})$示例以下是一些双曲函数的示例：- 计算 $sinh(0.5)$：sinh(0.5) = (e^0.5 - e^-0.5) / 2 ≈ 0.xxxxxxx- 计算 $cosh(-1)$：cosh(-1) = (e^-1 + e^1) / 2 ≈ 1.xxxxxxx- 计算 $tanh(2)$：tanh(2) = sinh(2) / cosh(2) ≈ 0.xxxxxxx结论本文简要介绍了双曲函数的定义、性质和常见公式，并给出了相关示例。
双曲函数的积分公式与导数公式
双曲函数的积分公式与导数公式双曲函数是数学中的一个重要概念，它具有广泛的应用。
在本文中，我们将探讨双曲函数的积分公式和导数公式。
通过了解这些公式，我们可以更好地理解和应用双曲函数。
1. 双曲函数的定义在开始讨论双曲函数的积分和导数公式之前，我们先来回顾一下双曲函数的定义。
双曲函数是指sinh(x)、cosh(x)、tanh(x)等函数，它们可以通过指数函数来表示。
2. 双曲函数的积分公式双曲函数的积分公式是指求解双曲函数的不定积分的公式。
根据双曲函数的定义，我们可以得到以下积分公式：∫cosh(x) dx = sinh(x) + C∫sinh(x) dx = cosh(x) + C∫tanh(x) dx = ln|cosh(x)| + C其中C是任意常数。
这些积分公式与三角函数的积分公式相似，但由于双曲函数的性质不同，所以它们的积分公式也不同于三角函数的积分公式。
3. 双曲函数的导数公式双曲函数的导数公式是指求解双曲函数的导数的公式。
根据双曲函数的定义，我们可以得到以下导数公式：d/dx(cosh(x)) = sinh(x)d/dx(sinh(x)) = cosh(x)d/dx(tanh(x)) = sech^2(x)其中sech(x)表示双曲函数的倒数，即sech(x) = 1/cosh(x)。
这些导数公式告诉我们如何求解双曲函数的导数，并可以应用于各种双曲函数的求导问题。
4. 双曲函数的性质与应用双曲函数具有一些特殊的性质，这些性质使得它们在数学和科学领域中具有广泛的应用。
以下是一些双曲函数的性质和应用：(1) 双曲函数可以用来描述弧长、曲线和曲面的形状。
(2) 双曲函数在电工、物理学、概率论等领域中具有重要的应用。
(3) 双曲函数在微分方程、积分方程等数学领域的求解中发挥着重要作用。
通过了解双曲函数的性质和应用，我们可以更好地理解和应用这些公式，进而解决各种数学和科学问题。
总结：本文主要讨论了双曲函数的积分公式和导数公式。
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（6）1 th x
2
1
2
ch x 在这里仅证公式（1） 。
。
shxchy chxshy
e x e x e y e y e x e x e y e y 2 2 2 2
e x y e y x e x y e ( x y ) e x y e y x e x y e ( x y ) 4 4
2． y chx 的定义域是(, ) ，值域是[1, ) ，
(0, ) 内 它是偶函数，在(, 0) 内单调减少，在
单调增加。
3． y thx 的定义域是(, ) ，值域是(1, 1 ) ， 它是奇函数，在(, ) 内单调增加。
（三）双曲函数的图象
双 曲 函 数 （见教材P272）
（一）双曲函数的定义
e x e x （1）双曲正弦函数： shx ， 2
e x e x （2）双曲余弦函数： chx ， 2
shx e x e x x x 。 （3）双曲正切函数：thx chx e e
（二）双曲函数的性质
1． y shx 的定义域是(, ) ，值域是(, ) ， 它是奇函数，在(, ) 内单调增加。
（六）反双曲函数的图象
y
y
y arshx
o x o
1
y archx
x
y
y 2uy 1 0 ， u y y 2 1 ，
∵ u e x 0 ，∴ u y y 2 1 ，
即 e x y y 2 1 ， x ln( y y 2 1 ) ，
故 y shx 的反函数为 y ln( x x 2 1 ) ， x (, ).
e x y e ( x y ) sh( x y) 。 2
（五）反双曲函数
（1）反双曲正弦函数：
arshx ln( x x 2 1 ) ，x (, ) ；
（2）反双曲余弦函数：
archx ln( x x 2 1 ) ，x [1, ) ；
y
y shx
y
1
y chx
o
x y
1
o
x
y thx
o
-1
x
（四）双曲函数之间的关系式
（1） sh ( x y ) shxchy chxshy ；
（2） ch ( x y ) chxchy shxshy ；
（3） sh2 x 2shxchx ； （4） ch 2 x ch 2 x sh 2 x ；
2 archx ln( x x 1 ) ， x [1, ) ； 另一支为
（3）反双曲正切函数：
1 1 x arthx ln ，x (1, 1) 。 2 1 x
这里仅推导反双曲正弦函数的表达式。
e x ex x e 在 y shx 中令 u ，得 2