基于泛复变函数求解Maxwell方程的方法
武大电动力学课件13介质Maxwell方程
电磁兼容：Maxwell方程是电磁兼容理论的基础，广泛应用于电磁兼容设计、电磁兼容测试等领域。
电磁场理论：Maxwell方程是电磁场理论的核心，广泛应用于电磁场计算、电磁场仿真等领域。
Part Five
Maxwell方程的拓展
电磁场与物质相互作用：Maxwell方程描述了电磁场与物质相互作用的规律，为电磁场在材料科学、生物医学等领域的应用提供了理论支持。
电磁场与能量转换：Maxwell方程描述了电磁场与能量转换的规律，为电磁场在能源、环境等领域的应用提供了理论支持。
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应用前景
电磁波理论：Maxwell方程是电磁波理论的基础，广泛应用于无线通信、雷达、微波等领域。
创新意义：Maxwell方程为电磁学的发展提供了新的思路和方法，推动了电磁学的创新和发展
教育意义：Maxwell方程是物理教育的重要内容，有助于培养学生的科学素养和创新能力
展望价值
理论价值：Maxwell方程是电磁学的基础，对电磁现象的解释和预测具有重要意义
应用价值：Maxwell方程在电磁波、电磁场、电磁感应等领域有广泛应用，对科技发展具有推动作用
推导出Maxwell方程，为后续电磁场理论研究奠定基础
理解Maxwell方程在电磁场理论中的重要性和地位
掌握电磁场与物质相互作用的基本方程
Part Three
Maxwell方程的表述
表述形式
微分形式：描述电磁场与电荷、电流的关系
微分积分形式：描述电磁场与电荷、电流的关系
积分形式：描述电磁场与电荷、电流的关系
非线性介质：在非线性介质中，Maxwell方程需要考虑介质的电导率和磁导率的非线性关系。
解析洛必达法则在复变函数极限中应用
解析洛必达法则在复变函数极限中的应用【摘要】有关复变函数极限问题的研究一直以来都是备受高等数学研究领域关注与重视的问题之一。
同时在求解，并针对复变函数极限问题进行处理的过程当中，难度也十分的大，这就要求相关人员借助于对洛必达法则的合理应用，降低复变函数极限处理难度，提高处理精确性。
基于此，本文以洛必达法则为研究对象，分别从复变函数极限计算、孤立奇点类型判定以及未定式极限转化入手，详细研究了洛必达法则在复变函数极限研究中的应用情况，旨在于引起关注与重视。
【关键词】洛必达法则；复变函数；极限；计算；孤立奇点；未定式；分析有关复变函数极限问题的研究一直以来都是备受高等数学研究领域关注与重视的问题之一。
同时在求解，并针对复变函数极限问题进行处理的过程当中，难度也十分的大，这就要求相关人员借助于对洛必达法则的合理应用，降低复变函数极限处理难度，提高处理精确性。
本文结合实例，在分析应用原理的基础之上，总结相关解题思路，对于求解正确答案而言至关重要。
现做详细分析与说明。
一、洛必达法则在复变函数极限计算中的应用分析在有关复变函数取值的计算过程当中，借助于对洛必达法则的合理应用，能够使一部分不太容易解决，或者是计算步骤过于繁琐的问题变得更加的简单，解题思路更加清晰，计算时间更短，且计算失误可得到有效控制。
可以说是洛必达法则在应用于复变函数极限过程中最主要的一点表现。
现举例对其进行说明。
例一：求解ln（1+a）-a/（cosa-1）在对该式进行分析的过程当中，应当予以确定的基本解题思路在于：首先需要对“ln（1+a）-a”这一式进行变形处理，通过与“（cosa-1）”这一部分的配合，将cos转化为sin。
在此基础之上，以代入“1+a”的方式，再次将sin格式转变成为cos格式，最终通过对基本定理的合理应用，达到高速解出正确答案的目的。
此过程中，主要分两个步骤对该计算式进行处理。
具体如下：二、洛必达法则在复变函数孤立奇点类型中的应用分析在有关复变函数研究过程当中，对于a0而言，其作为f（a）可去奇点、可去极点以及本性奇点的充分必要条件主要涉及到以下两个方面的内容：①f（a）应当属于有限复常数数值；②f（a）倾向于无穷大；③f（a）并不存在。
复变函数积分方法总结
复变函数积分方法总结复变函数是研究复平面上的函数的数学分支，复变函数的积分方法是复分析领域中的重要内容。
在复变函数的积分方法总结中，主要包括以下几个方面的内容：1.概念和基本定理复变函数的积分方法的基础是复积分的概念和基本定理。
首先，复数集合C上的曲线C是指满足连续可微的映射γ:[a,b]→C，其中[a,b]是实数区间。
定义复积分为∫Cf(z)dz=∫abf(γ(t))γ′(t)dt，其中f(z)是连续函数，γ′(t)是γ(t)的导数。
复积分的基本定理包括积分的线性性质、积分之间的关系，以及Cauchy-Goursat定理等。
其中，Cauchy-Goursat定理是指如果f(z)是一个整函数或者在一个简单连通域上解析，那么∫Cf(z)dz=0，其中C是C 上的任意闭曲线。
2.积分路径的选取在计算复积分时，积分路径的选取对结果有影响。
常用的积分路径包括曲线、圆周、分段积分路径等。
对于简单的曲线积分，可以用参数方程表示，然后利用Cauchy-Riemann方程求导，将积分转化为实数函数的定积分。
对于圆周积分，可以利用Cauchy积分定理化简积分表达式。
对于分段积分路径，可以将路径分成若干小段进行计算，然后累加结果。
3.积分的计算复变函数的积分计算可以用多种方法进行。
常用的方法包括换元法、分部积分法、变限积分法和奇偶性等。
对于换元法，可以通过变量替换将复积分转化为常数积分求解。
分部积分法可以通过求导和积分的关系将积分转化为另一种形式。
变限积分法是在计算积分时，将积分限进行变换，然后求导得到关于原积分的方程，从而解得原积分的值。
奇偶性是指其中一函数在定义域上的奇偶函数性质，利用奇偶性可以简化积分计算。
4.应用复变函数的积分方法在物理学、工程学等领域有广泛的应用。
其中，应用最广泛的是在电动力学中的静电场和静磁场的计算中。
根据Maxwell方程组，可以通过计算积分来求解电场和磁场分布。
同时，在流体力学中，可以利用复变函数的积分方法来求解流体的流速分布和流量等问题。
复变函数在物理学中的应用
复变函数在物理学中的应用在物理学中，复变函数也被称为复数函数，是各种复变量所对应的复函数的总称。
它是描述复数物理系统的基础理论，它的应用范围极其广泛。
本文中，将从物理学的角度简要介绍复变函数的应用。
一、复变函数在电磁学中的应用在电磁学中，复变函数可以用来描述电磁场，尤其是描述信号在介质内传播的方式。
例如，Maxwell方程可以用复变函数来求解，Maxwell方程是描述电磁场的基本方程，其中包含的椭圆型和圆柱型的复变函数可以用来描述电磁波在介质中的传播过程。
此外，复变函数还可以用来研究介质中的折射和损耗，以及研究电磁感应器的特性。
二、复变函数在轨道动力学中的应用复变函数在轨道动力学中也有着重要的应用，它可以帮助我们计算太阳系中天体的运动轨迹，并提供许多有用的性质，如洛伦兹力，研究星系的结构，等等。
此外，复变函数也可以用来计算日心运动，可以模拟地球的自转和自轨道运动，反映出太阳系的旋转模式。
三、复变函数在量子力学中的应用复变函数也可以用于量子力学研究中，它可以帮助我们研究量子系统的动力学，提出量子力学的基本方程，描述量子系统的复变概率流，研究量子隧道效应，以及给出量子力学中基本现象的理论模型。
此外，复变函数还可以用来研究量子态的演化，即量子力学中的迭代方程。
四、复变函数在声学中的应用在声学中，复变函数可以帮助我们研究反射，折射，吸收和拨动等基本声学现象，还可以用来研究声学波的反射，折射和衰减等等。
此外，复变函数可以用来分析声学的位相特性，从而获得不同频率信号的指向性和方向性特征。
总之，复变函数在物理学研究中有着重要的地位，它不仅可以用于电磁学，轨道动力学，量子力学和声学等多个领域，而且还可以用于研究物理系统的动力学，热力学，力学等方面。
因此，复变函数的研究对于我们理解物理系统的特性，尤其是复杂的物理系统，特别重要。
一类Maxwell方程的弱解存在唯一性证明
一类Maxwell方程的弱解存在唯一性证明旷雨阳;李兴华;黄宝勤【摘要】采用Galerkin方法构造一类带有初边值条件问题的Maxwell方程的近似解,在一定的假设条件下,得出此近似解的弱解能量估计式,并采用此近似解的极限并结合能量估计式证明了该问题的弱解存在唯一性.【期刊名称】《安徽大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2018(042)004【总页数】6页(P50-55)【关键词】Maxwell方程;弱解;Galerkin方法;Banach-Semhaus定理【作者】旷雨阳;李兴华;黄宝勤【作者单位】安顺学院数理学院 ,贵州安顺 561000;安顺学院数理学院 ,贵州安顺 561000;安顺学院数理学院 ,贵州安顺 561000【正文语种】中文【中图分类】O156偏微分方程的基本问题之一是研究各种边值问题解的存在性.Sobolev空间[1-2]的引入为求解边值问题提供了新的有效的途径，用这种方法求出的解称为弱解或广义解[3-4] .研究弱解的存在性有很多方法，常用的有切片法、Galerkin方法、半群方法等[5-12].论文将应用Galerkin方法证明此类Maxwell方程弱解的存在唯一性.其中:Ω∈R3为有界区域且边界∂Ω∈C1，QT=Ω×(0,T]，ST=∂Ω×(0,T] ，N为∂Ω 的单位外法向量，H=(H1,H2,H3)∈(L2(Ω))3为向量值函数，G(x,t)和H0(x)分别为给定的边界条件和初始条件.1 预备知识定义1[4] 如果赋范空间X到它的第二共轭空间X**的自然映射T是满射的，则称X是自反的，记作X=X**.定义2[4] 设X是一个赋范空间，{xn}⊂X，x0∈X，如果对任意有界线性泛函f,都有称{xn}弱收敛到x0，记作为点列{xn}的弱极限.定理1[4] 设(X,(·,·))是内积空间，若令则有|(x,y)|≤‖x‖·‖y‖, ∀x,y∈X，当且仅当x=λy (λ∈K)时等号成立. 特别地，当f∈L2(Ω), g∈L2(Ω)时，有f·g∈L1(Ω)，且定理2(Banach-Steinhuas定理)[4] 设X，Y是Banach空间，M是X的某个稠密子集，An(n=1,2,…)，A∈L(x,y)(L(x,y)表示X到Y的有界线性算子)，则∀x∈X,都有的充分且必要条件为(1)‖An‖有界；(2) ∀2 假设条件H(2.1) (1) 设函数a(x,t)在QT关于t可微且存在常数r0, R0,使得0<r0<a(x,t)≤R0, (x,t)∈QT.(2) 向量值函数G(x,t)满足G(x,t)∈H1(0,T;H(curl,Ω)),Gt(x,t)∈(L2(QT))3.(3) H0(x)∈H0(curl,Ω)∩(L(Ω))3.(4) F(x,t)∈H1(0,T;H(dir,Ω)).其中H(curl,Ω)={G(·)∈(L2(Ω))3:×G∈(L2(Ω))3},H0(curl,Ω)={G(·)∈(L2(Ω))3:×G∈(L2(Ω))3,N×G=0,x∈∂Ω},H(dir,Ω)={G(·)∈(L2(Ω))3:·G∈(L2(Ω))3}.3 弱解的定义及近似解的构造定义3 若向量值函数H(x,t)满足： (1)H-G∈L2(0,T;H0(curl , Ω))；(2) 对任意的函数K(x,t)∈H1(0,T;H0(curl,Ω))，K(x,T)=0，a.e，x∈Ω，有则称H(x,t)为问题(1)～(3)的弱解.在不改变本质的前提下，为了简单，不妨设a不依赖于t，即a(x,t)=a(x)，且G(x,t)=0, x∈∂Ω，否则令即可.考虑如下初边值问题的解的存在性定义4 若向量值函数H(x,t)满足(1) H∈L2(0,T;H0(curl,dir,Ω))；(2) 对任意的函数K(x,t)∈H1(0,T;H0(curl,Ω))，K(x,T)=0，a.e，x∈Ω，有则称H(x,t)为问题(4)～(6)的弱解,其中:H0(curl,dir,Ω)=H0(curl,Ω)∩H(dir,Ω).首先考虑如下特征值问题其中:Ls是强椭圆算子. 则存在特征值系列{λk(s)}和对应的特征值函数且可视为空间H0(curl,dir,Ω)的一组基.进一步，可以选择在空间(L2(Ω))3 规范正交.现构造如下近似系列：对一个给定的正整数M>0，定义其中:dkM(t)待定.因为为(L2(Ω))3中的基，则F(x,t)和H0(x)可按基展开如下其中：若为方程(4)的解，则(7)(8)将 (7) 、(8) 两式关于作内积，得djM(t)应满足如下常微分方程组(9)djM(0)=hj, j=1,2,…,M.(10)根据常微分方程组解的存在性，(9)、(10) 为线性常微分方程的初值问题，故存在唯一的解，因此 djM(t) 被方程组 (9)、(10) 所决定，且4 弱解的存在唯一性证明引理1 假设H(2.1) 成立，则存在正常数c3 和 c4，有(11)(12)其中:c3,c4仅依赖于已知数据，但不依赖于M.证明设H和K为(L2(Ω))3中的向量, 在此空间上定义内积为从的构造，知满足如下方程组(13)(14)(15)对方程(13)两边分别关于和作内积，则容易证明估计式 (11)、(12) .定理3 若假设H(2.1) 满足，则问题 (1)～(3) 有唯一的弱解H(x,t)∈L(0,T;H0(curl,Ω))∩L(0,T;(L2(Ω))3)，进一步有Ht∈(L2(QT))3.证明由引理1，知和在(L2(QT))3中有界，而(L2(QT))3为自反Banach空间，因此存在子列M=Mk→+ 和s=sk→0，当k→+时，在(L2(QT))3中分别有×H(x,t) .另一方面，因在L(0,T;(L1(Ω))3) 中有界，且故存在子列在L(0,T;(L2(Ω))3)中，有满足且J(x,t)∈L(0,T;(L2(Ω))3)为某一向量.对任一试探函数K(x,t)∈H1(0,T;H0(curl,Ω))，满足K(x,T)=0，有(16)当sk→0时，由柯西不等式和引理1，有类似地，当sk→0时,有进一步，由H0(x)的假设知，在(L2(Ω))3中,有因此，在(16) 式中，两边令sk→0，有为了证明 H(x,t)为(1)～(3)式的弱解，只需证明J(x,t)=H(x,t)，a.e，(x,t)∈QT即可. 首先证明∬QTJ(x,t)Hdxdt.因为即由的弱收敛性，有(17)下证对方程(13)，选取作为试探函数，有∬QT(FM·Kk)dxdt，其中: 由Kk的定义知故Is>0. 又∬QTat|×Kk|2dxdt=根据Banach-Semhaus定理，有∬QTa(×Kk)dxdt=其中:K*(x,t)=H(x,τ)dτ. 又因为在(L2(QT))3中，有故∬QTF·Hdxdt，有∬QTFMk·Kkdxdt≤∬QT(F·K*)dxdt.又对任意的试探函数K(x,T)=0，有选择K(x,t)=H(x,τ)dτ=K*(x,t)，(x,t)∈QT作为试探函数，有∬QTat|×K*|2dxd t+∬QTF·K*dxdt.因此，有(18)由(17)、(18)式，有∬QTJ·Hdxdt.(19)现证明在QT中一致有J(x,t)=H(x,t). 对任意的向量w(x,t)∈(L2(QT))3，有即由的弱收敛性和等式 (19) ，有∬QT[J·H-J·w]dxdt≥∬QTw[H-w]dxdt.故∬QT[J-w]·[H-w]dxdt≥0. 取w=H+δV，V∈L2(QT)为任意向量，δ为任意数，则-δ∬QT[J-H-δV]Vdxdt≥0，由δ的任意性，有∬QT(J-H-δV)Vd xdt=0.令δ→0，有∬QT[J-H]·Vdxdt=0，由V的任意性，有J(x,t)=H(x,t)，a.e，(x,t)∈QT，这就证明了解的存在性.下面证明解的唯一性：设H1(x,t)和H2(x,t)为问题(1)～(3)的两个弱解，令H(x,t)=H1(x,t)-H2(x,t)，则对任意的试探函数K(x,t)∈H1(0,T;H0(curl,Ω))，有∬QT[-H·Kt+a(x)(×H)·(×K)] dxdt=0.令K(x,t)=H(x,τ)dτ，(x,t)∈QT，则K(x,t)∈H1(0,T;H0(curl,Ω))，且K(x,T)=0，(K(x,t))t=-H(x,t)，×H=-×(K(x,t))t，故因为×K(x,T)=0, x∈Ω，故故又由假设 H(2.1) 中的 (1) 知a(x)≥r0>0，故故在QT上，a.e，有H(x,t)=0. 即在QT上，a.e，有H1(x,t)=H2(x,t)，唯一性得证. 综上所述，问题(1)～(3)有唯一的弱解.参考文献：【相关文献】[1] 陈恕行. 现代偏微分方程导论[M]. 北京：科学出版社， 2005.[2] 陈亚浙. 二阶抛物型偏微分方程[M]. 北京：北京大学出版社， 2003.[3] 伍卓群，尹景学，王春朋. 椭圆与抛物型方程引论[M]. 北京：科学出版社， 2003.[4] 张恭庆，林源渠. 泛函分析讲义[M]. 北京：北京大学出版社， 1987.[5] 刘衍胜. 抽象空间中微分方程弱解的存在性和唯一性[J]. 工程数学学报， 1996， 13 (2): 34-40.[6] 王祥. 高阶变形的Novikov方程弱解的全局存在性[J]. 纯粹数学与应用数学， 2015， 31 (2):11-21.[7] 郭秋香，曾有栋. 具有双重变指数的非线性抛物方程组弱解的存在性[J]. 福州大学学报 (自然科学版)， 2014， 42 (1): 23-29.[8] 夏莉，李敬娜，姚正安. 一类奇异抛物方程最大弱解的存在性[J]. 兰州大学学报(自然科学版)，2012， 48 (3): 52-55.[9] YIN H M. Existence and regularity of weak solution to Maxwell’s equations with a thermal effect[J]. Mathematical Methods in Applied Analysis， 2006， 29: 1199-1213. [10] MASSAR M， TSOULI N， HAMYDY A. Existence of weak solutions for a quasilinear equation in RN[J]. Journal of Mathematical Analysis and Applications， 2012， 395 (2): 673-683.[11] YANG S X. Existence and uniqueness of weak solutions for quasilinear parabolic systems[J]. Journal of Mathematical Research & Exposition， 1993， 13 (4): 537-539. [12] QIU M L， MEI L Q. Existence of weak solutions for a class of quasilinear parabolic problems in weighted sobolev space[J]. Advances in Pure Mathematics， 2013， 3 (1):204-208.。
泛函方程及其解法
泛函方程及其解法泛函方程是数学中的一个重要概念，它描述了函数与函数之间的关系。
泛函方程的解法是研究泛函方程的一个关键问题，它在数学、物理、工程等领域都有广泛的应用。
本文将介绍泛函方程的基本概念和解法，并以几个具体的例子来说明。
一、泛函方程的基本概念泛函方程是指未知函数是函数的方程。
一般形式的泛函方程可以写成如下形式：F[y(x)] = 0其中，y(x)是未知函数，F是一个泛函，它是一个函数对函数的映射。
泛函方程的解是使得方程成立的函数。
二、泛函方程的解法泛函方程的解法有多种方法，下面介绍几种常用的解法。
1. 变分法变分法是一种常用的解泛函方程的方法。
它通过对泛函进行变分，得到泛函方程的欧拉-拉格朗日方程，然后求解该方程得到泛函方程的解。
2. 特解法特解法是一种通过猜测特定形式的解来求解泛函方程的方法。
通过猜测合适的特解形式，将其代入泛函方程，然后确定特解的参数，最终得到泛函方程的解。
3. 近似解法近似解法是一种通过构造逼近序列来求解泛函方程的方法。
通过构造逼近序列，逐步逼近泛函方程的解，最终得到泛函方程的近似解。
三、泛函方程的应用举例1. 最小作用量原理最小作用量原理是变分法的一个重要应用。
它是说在自然界中，物体在运动过程中所经历的路径是使作用量取极小值的路径。
作用量是一个泛函，它描述了物体在运动过程中所受到的作用力与路径的关系。
通过最小作用量原理，可以求解物体在运动过程中的轨迹。
2. 热传导方程热传导方程是描述物体内部温度分布随时间变化的方程。
它是一个泛函方程，通过求解热传导方程，可以得到物体内部温度分布随时间的解。
3. 波动方程波动方程是描述波动现象的方程。
它是一个泛函方程，通过求解波动方程，可以得到波动现象的解。
四、总结泛函方程是数学中的一个重要概念，它描述了函数与函数之间的关系。
泛函方程的解法有多种方法，包括变分法、特解法和近似解法等。
泛函方程在数学、物理、工程等领域都有广泛的应用，如最小作用量原理、热传导方程和波动方程等。
Maxwell课件
时域有限差分法
时域有限差分法是一种在时域中对Maxwell方程组进行离散化和数值求 解的方法，通过将电磁场的时间和空间变量进行离散化，用差分近似代 替偏微分，用迭代方法求解得到时间步进解。
该方法适用于求解具有复杂形状和任意激励源的问题，如天线、微波器 件、自由空间散射等。
时域有限差分法具有计算精度高、适用范围广等优点，但需要处理时间 步进解的稳定性问题，同时对于大规模问题的计算量和内存需求也是一 个需要考虑的问题。
电磁波散射
当电磁波遇到物体表面时，会发生散射现象。散射现象可以 用Maxwell方程组结合物体表面的边界条件来求解。
电磁波的传播与散射
电磁波传播
Maxwell方程组是描述电磁波传播的基础，可以用来研究电磁波在介质中的 传播特性。
电磁波散射
当电磁波遇到物体表面时，会发生散射现象。散射现象可以用Maxwell方程组 结合物体表面的边界条件来求解。
有限差分法
有限差分法是一种将连续的空间离散 化，用差分近似代替偏微分的方法， 将Maxwell方程组的微分形式转换为
差分形式进行数值求解。
该方法适用于求解具有规则几何形状 的问题，如波导、谐振腔、平板波导 等，也可以用于求解自由空间中的电
磁波传播问题。
有限差分法具有计算量小、编程简单 等优点，但需要处理边界条件和截断 误差等问题，同时对于复杂问题的网 格剖分和数值稳定性也是一个需要考
Maxwell课件
xx年xx月xx日
目 录
• Maxwell方程 • Maxwell方程的求解方法 • Maxwell方程的应用
01
Maxwell方程
静电场中的高斯通量定理
总结词：基ห้องสมุดไป่ตู้性质
EMC设计(三)Maxwell方程式的应用
EMI / EMC设计讲座（三）Maxwell方程式的应用1.Maxwell方程式的应用到目前为止，Maxwell方程式的基本概念已经介绍过了。
但是，要如何将此物理和高等微积分的知识，与PCB中的EMC产生关联呢？为了彻底了解，必须再将Maxwell方程式简化，才能将它应用到PCB布线上。
为了应用它，我们可以将Maxwell方程式和Ohm定律产生关联：Ohm定律（时域）： V = I * ROhm定律（频域）： Vrf=Irf * ZV是电压，I是电流，R是电阻，Z是阻抗（R + jX），rf是指射频能量。
如果射频电流存在于PCB走线中，且此走线具有一个固定的阻抗值，则一个射频电压将被产生，而且和射频电流成正比。
请注意，在电磁波模型中，R是被Z取代，Z是复数（complex number），它具有电阻（属于实数）和电抗（属于虚数）。
就阻抗等式而言，有许多种形式存在，这取决于我们是否要检视平面波的阻抗、电路阻抗….等。
对导线或PCB走线而言，可以使用下列公式：=2πfL，是在此公式中，唯一和导线或PCB走线有关的元件。
其中，XL=1/2(2πfC), ω=2πfXc当一个元件的电阻值和电感值都是已知，例如：一个「附导线的铁粉珠（ferritebead-on-lead）」、一个电阻、一个电容、或其它具有寄生元件的装置，必须考虑阻抗大小会受到频率的影响，这时可以应用下列的公式：当频率大于数kHz时，电抗值通常会比R大；但在某些情况下，这并不会发生。
电流会选择阻抗最小的路径。
低于数kHz时，阻抗最小的路径是电阻；高于数kHz时，电抗最小的路径成为主宰者。
此时，因为大多数电路是在数kHz以上的频率中工作，而「电流会选择阻抗最小的路径」这种想法变成不正确，因为它无法正确解释「电流如何在一条传输线中流动」。
对承载电流频率超过10 kHz的导线而言，因为其电流总是选择阻抗最小的路径，其阻抗等同于电抗最小的路径。
《Maxwell方程式》课件
该方程式是在前人研究的基础上 逐步完善的，Maxwell将其整合
为一个完整的理论体系。
Maxwell方程式的提出经历了漫 长的探索过程，Maxwell在实验 和理论上都做出了杰出的贡献。
02
CHAPTER
maxwell方程式的基本概念
电场和磁场的基本概念
总结词
理解电场和磁场的基本概念是理解Maxwell方程式的基础。电场是由电荷产生 的，而磁场是由电流和磁荷产生的。
03
无线通信
无线通信利用电磁波传递 信息，如手机、无线网卡 、蓝牙等。
雷达
雷达通过发射电磁波并接 收反射回来的信号，可以 探测目标的位置、速度和 方向等信息。
电磁炉
电磁炉利用电磁波产生涡 流加热食物，具有高效、 环保、安全等优点。
电磁波的干扰和防护
电磁干扰
电磁波的干扰可能导致电子设备性能 下降、信号传输错误等问题，如电磁 噪声、电磁辐射等。
Maxwell方程式是物理学中的 基本方程之一，它描述了电磁 场的运动规律和相互作用。
该方程式的提出为电磁学的发 展奠定了基础，对现代科技领 域产生了深远的影响。
Maxwell方程式在通信、电子 、能源等领域都有着广泛的应 用，是现代工业和科技发展的 重要支撑。
maxwell方程式的历史发展
Maxwell在19世纪60年代提出 了著名的Maxwell方程式，这标
05
CHAPTER
maxwell方程式的实验验证
实验验证的方法和步骤
01
02
03
04
实验准备
准备实验所需的设备，如磁场 测量仪、电场测量仪、粒子加
速器等。
实验设置
设置实验环境，包括磁场和电 场的强度、方向等参数。
maxwell方程的一类解
maxwell方程的一类解
马克斯韦用等式标准化了电磁学中的物理现象，从而创立了电磁学，并成功应用于解决电磁问题。
他的电磁学理论可以通过求解马克斯韦方程（Maxwell equations）获得。
马克斯韦方程
是一组非常重要的波动方程，它中包含有四个基本方程，即费米的有序电流定律（Farady's law of induction）、印刷机定律（Ampère - Maxwell law）、Gauss定律（Gauss law）和电磁
波定律（Maxwell displacement current law）。
用哈密顿方法求解马克斯韦方程，是最方便和有效的方法。
哈密顿方法可以从一种物理学角度来求解马克斯韦方程，并可以以一定程度上简化此求解过程。
在此基础上，可以求得马克斯韦方程的一类解。
根据它提出的基本方程，电场强度和磁场强度都可以用一组波动方程来表示，而且这种表达式具有数学的表示形式，可以更高效地传输信息。
该类解还能够以一种整体的方式描述物理现象，从而帮助我们更好地理解它们之间的关系。
这种解可以用来解释实验室中的许多电磁学现象，从而为研究者提供了丰富的参考信息。
通过求解马克斯韦方程可以得到电磁学的完整的定义和框架，而求出马克斯韦方程的一类解，可以为研究者提供详细的信息，帮助他们掌握电磁学的实质内容。
因此，在电磁学的研究中，马克斯韦方程的一类解被广泛应用，对理解电磁学有着重要的意义。
仿真 麦克斯韦方程
仿真麦克斯韦方程引言麦克斯韦方程是电磁学中最重要的方程组之一，描述了电磁场的演化规律。
它由麦克斯韦于19世纪70年代提出，揭示了电磁波的存在和传播。
在科学研究和工程应用中，我们常常需要通过仿真的方法来解决麦克斯韦方程，以探究电磁场的行为和应用。
仿真方法在仿真麦克斯韦方程时，我们通常使用数值法，将方程离散化为一个巨大的线性方程组，并通过迭代求解该方程组得到电磁场的分布。
常用的数值方法有有限差分法、有限元法和时域有限差分法等。
这些方法都基于麦克斯韦方程的差分形式，通过对空间和时间的离散化，将连续的方程转化为离散的方程进行求解。
有限差分法有限差分法是一种简单而有效的数值方法，通过在空间和时间上进行差分，将偏导数转化为差分方程。
以二维情况为例，我们将空间离散化为网格点，时间离散化为时间步长，通过有限差分近似替代偏导数，得到一个巨大的线性方程组。
然后通过迭代方法，如雅可比迭代、高斯-赛德尔迭代或共轭梯度法等，求解该线性方程组，得到电磁场的分布。
有限元法有限元法是一种广泛应用于结构力学和电磁学中的数值方法。
它将计算域分割为有限个小单元，并在每个单元上建立适合问题的基函数。
通过将原方程进行积分和近似处理，得到离散化的方程组。
然后通过求解该方程组，得到电磁场的分布。
有限元法具有适用于复杂几何结构和高维问题的优势，但计算量通常较大。
时域有限差分法时域有限差分法是一种用于求解电磁波传播的数值方法。
它基于麦克斯韦方程的时域形式，将时间域离散化为时间步长，在空间上进行差分近似，得到一个巨大的线性方程组。
通过迭代求解该方程组，可以模拟电磁波的传播过程。
时域有限差分法具有较高的计算效率和较好的稳定性，适用于频率不变和频率变化较小的问题。
仿真应用麦克斯韦方程的仿真在工程和科学研究中有广泛应用。
以下列举几个常见的应用场景：电磁波传播通过仿真麦克斯韦方程，可以模拟电磁波在不同介质中的传播过程。
这对于电磁波的传播特性研究、天线设计和无线通信系统的优化都非常重要。
4.各种泛函的解法2小时
一、根据物理原理的直接分解 根据物理含义，直接导出泛函，并通过线性组合
U (r ) = ∑ cv ( r )
v =1 n
直接求解对应微分方程的解 F {U ( r )} =0
v =1 n v =1
将基函数代入
U (r ) = ∑ cv (r )
v =1 n
=
cv c* Av ,u ∑∑ u cv c* Bv ,u ∑∑ u
v =1 u =1 v =1 u =1 n n
n
=λ
可以得到右式，并 求解特征值方程， 获得特征值与系数
∑c
v =1
n
v
Av ,u λ Bv ,u = 0
[n]
cv v = 1, 2, n
并求解现行方程组，或得相应的系数
二、确定性方程的变分解 由已知的线性正算子的确定性方程导出变分方程
J {U } = AU ,U U , f f ,U = min
将近似解代入如上方程
J {U } = A ∑ cv (r ), ∑ cv (r )
[n] v =1 n v =1 n n n n
使得求解未知函数的问题转化为求解未知展开系数 {cv | v = 1, 2, } 的问题 基函数的选择成为解法的关键， 直接影响着收敛速度与精度 要求满足其次边界条件
Rayleigh-Ritz法 变分法 泛函解法 加权余量法 Trefftz法 Weinstein法 矩量法 边界积分方程法
解析法 电磁分析方法 高频方法 数值方法 混合方法 积分类方法 微分类方法
浅谈《复变函数》在力学专业中的应用
霪繁拶鏊鬻攀
其次分析了留数定理在计算非线性振动发 生混沌门槛值中的应用。因此，学生想 要学好力学专业中振动方面的专业课， （（复变函数》课程显然是必不可少的。 这就要求老师在《复变函数》教学过程 中，不仅要清晰地向学生讲述该学科的基 本知识，而且还应该帮助学生建立起该学 科与学生所学专业的联系，使学生破疑解 难，增强学生的学习兴趣和学习主动 性。
考虑振动方程
戈＋茚戈＋ｘ—Ｘ２＝ＢｙＣＯＳＯ）ｔ，ｃｏ＞Ｏ （８）
令
膏＝Ｙ
（９）
｛．
，弘ｙ
（、１‘０。）７
【夕＝一Ｔ＋ｘ２＋ｅ（ｙｃｏｓｃｏｔ一６ｙ）
』≯－ｓｅ３ ｉ哦ｔ－∥ｔｏ）
Ｑ，，
ｋ》ｈ２（孚）ｌａｎｈ（譬）
Ｍ（气）２ ｎ矾忡∞（…。凇
＝．．６—３７Ｊ ｓｉｎｃｏｔ（１
其中Ｊ＝
２
ｔｔａｎｈｔ ｓｉｎ（２６０ｔ）ｄｔ
在现实生产中，有许多非线性振动问题都可用微分方程来描 述，例如宽槽双振头电磁振动给料机的振动、实现电子闭环控制 的电磁振动系统的振动等。为了研究非线性系统丰富的动力学行 为，通常需要利用一些方法（平均法、ＫＢＭ法、多尺度法等）求解
万方数据
该模型，得到动力系统的平均方程。如果平均方程过于复 杂，就需要对其进一步化简。
圭ｆ（口２一口４＋口５一口７）】可’＝０
（６） 其中：
８ａ＝３ａ１＋口３＋％＋３ａ８ ８ｂ＝口２＋３ａ４—３ａ５一口７
由于式（６）中只有ｒ／２ｑ是共振项，
所以：ｇ＝４（ａ＋ｉｂ）ｑ２行。代入式（３）可得与系统拓扑等 价的系统方程为
力＝ｉｑ＋４ｃ（ａ＋ｊ６）７７２历
从以上的分析过程与文献【４１分析过程比较，可以看出前者
２００２：１ ２ ６ ９
matlab中maxwell方程拟合
一、引言随着科学技术的发展，电磁场理论一直是物理学和工程领域的重要研究对象。
Maxwell方程组作为描述电磁场的基本方程，在实际应用中扮演着至关重要的角色。
在过去的几十年中，Maxwell方程组的拟合方法在Matlab评台上得到了广泛的研究和应用。
本文旨在探讨在Matlab中使用Maxwell方程进行拟合的方法和技巧，为相关研究和实际应用提供参考。
二、Maxwell方程组概述Maxwell方程组是描述电磁场的基本方程，包括四个方程：高斯定律、高斯磁定律、法拉第电磁感应定律和安培环路定律。
这些方程描述了电场和磁场的产生、传播和相互作用规律，是电磁场理论的重要基础。
在实际应用中，常常需要通过实验数据对Maxwell方程组进行拟合，以验证理论模型的准确性和适用范围。
三、Matlab中的Maxwell方程拟合方法1. 数据准备在进行Maxwell方程拟合之前，首先需要准备实验数据。
实验数据应当包括电场和磁场的强度、位置和时间等信息，以便进行后续的拟合计算。
2. 模型建立在Matlab中建立Maxwell方程组的拟合模型是关键的一步。
可以通过符号计算工具箱(Symbolic Math Toolbox)对Maxwell方程组进行符号化处理，并建立相应的数值模型。
在建立模型时，需要考虑实验数据的特点和需求，选择适合的Maxwell方程组形式和参数，以便进行拟合计算。
在模型建立过程中需要关注参数选择、边界条件和数值稳定性等问题，以保证拟合模型的准确性和可靠性。
3. 拟合计算通过Matlab的优化工具箱(Optimization Toolbox)进行Maxwell方程组的拟合计算。
可以采用最小二乘法、非线性最小二乘法或其他优化方法进行拟合计算，得到最优的拟合结果。
在拟合计算过程中需要注意数值稳定性和计算效率，选择适当的计算方法和参数设置，以保证拟合计算的精度和可靠性。
四、案例分析以电磁场实验数据为例，通过Matlab进行Maxwell方程组的拟合计算。
Maxwell方程基于两个局部高斯积分的稳定化有限元方法
Maxwell方程基于两个局部高斯积分的稳定化有限元方法李敏;陈豫眉【摘要】文章对Maxwell方程提出了基于局部高斯积分的稳定化有限元方法,并给出了先验误差估计.通过利用Mini元进行有限元离散,新的稳定项仅仅取决于Bubble函数,算法优势是使用两个局部高斯方法代替了投影算子,同投影方法起到了相同的效果,没有增加额外的项.【期刊名称】《绵阳师范学院学报》【年(卷),期】2014(033)002【总页数】7页(P1-7)【关键词】Maxwell方程;Bubble函数;inf-sup条件【作者】李敏;陈豫眉【作者单位】西华师范大学数学与信息学院,四川南充637002;西华师范大学数学与信息学院,四川南充637002【正文语种】中文【中图分类】O241.820 引言许多科学和工程问题都涉及到Maxwell 方程，例如:在等离子物理中，微波设备，衍射电磁波中. 因此数值求解Maxwell 方程一直备受关注. 有限元方法是求解Maxwell 方程数值解的方法之一. 有限元方法又包括:混合元，协调元，非协调元和间断元等. 其中混合有限元法是求解Maxwell 方程数值解的有效方法之一. 但是混合有限元法求解要求有限元空间满足inf-sup 条件，而工程中常用的一些低阶等阶元不满足该条件.文献［1］中给出了Maxwell 方程在低频异构媒介中的局部Garlerkin 方法;文献［2-4］给出了时域谐波Maxwell 方程的混合不连续Garlerkin 格式，证明了散度的强制性;文献［5］中研究了不连续Garlerkin 方法下Maxwell 方程的特征值问题;文献［6］中给出了非混合的Maxwell 方程的内罚方法，并证明在不连续Garlerkin 方法下的能量范数的收敛性;文献［7］中给出了Maxwell 方程再光谱中的不连续Garlerkin 方法;文献［8］中对高频时域谐波Maxwell 方程给出了稳定的内罚方法;文献9中还给出了Maxwell 方程的L2 投影法.文献［10-12］对Stokes 问题给出了基于高斯积分的稳定化有限元方法，文章将基于局部高斯积分的稳定化有限元方法应用到了Maxwell 方程，使用满足LBB 条件的Mini 元去逼近低阶有限元空间. 新的稳定方法避免了构建投影算子，是基于两个局部高斯积分下的一种稳定方法，与构建投影算子达到了同样的功效，同时没有增加额外的项，且新的稳定项仅仅取决于Mini 元上的Bubble 函数.1 Maxwell 方程的变分格式考虑如下Maxwell 方程:设Ω∈R2 是一个多角形区域，∂Ω 为其边界，其中u 代表电场强度，f 是给定的源项，p 为拉格朗日乘数.k ＞0 为波数，且，其中ω ＞0 为给定的时间频率，ε0，μ0 分别是介电常数和磁场渗透率.记Wm，p(Ω)为sobolev 空间上的标准记号，其范数为半范数记为，且其范数为定义如下有限元空间设有限元空间(1)的变分格式为:求(u，p)∈(X，Y)满足即令则2 有限元空间设τh ={K}为Ω 上规则的三角剖分，令h=maxKhK，其中hK 是每个三角形单元K 的最大直径.给出如下Mini 元空间定义如下分片多项式空间和Bubble 函数其中P0(K)为单元上的分片常数，P1(K)是K 上的一次多项式，B(K)代表单元上的Bubble 函数.(Xh，Qh)⊂(X，Y)中，且满足离散的inf-sup 条件其中γ 是独立于h 的常数.考虑如下有限元空间对任意的(vh，ph)∈(Vh，Sh)由文献［13］得因此(2)的离散变分形式为:求(uh，ph)∈(Vh，Sh)满足3 基于局部高斯积分的稳定化方法加入稳定项其中∫K，ig(x)dx，(i=1，k)为单元K 上的i 点高斯积分，α 为稳定参数.基于局部高斯积分的稳定化方法为:求(uh，ph)∈(Vh，Sh)满足定义空间L:［L2(Ω)］2×2，Lh:［R0(Ω)］2×2以及正交投影算子Π:L→Lh，满足若令π=I-Π，由以上性质可将稳定项S(uh，vh)表示如下问题(8)即为:求(uh，ph)∈(Vh，Sh)，满足注:设uh =u1 +ub，uh∈Vh，uh∈Qh，ub∈Bh，则其中由此可得新的新的稳定项仅仅取决于Mini 元上的Bubble 函数.4 先验误差估计定义范数及空间引理4.1 对任意的(uh，ph)∈(Vh，Sh)，可得证明由(3)得故引理4.2 设(u，p)∈(X，Y)，(uh，ph)∈(Vh，Sh)分别是(2)和(8)的解，则B(u-uh，p-ph;vh，qh)+S证明由(2)和(8)两式想减即得.定理4.1 设(u，p)∈(X，Y)和(uh，ph)∈(Vh，Sh)分别是(2)和(8)的解，则存在独立于h，k，α 的正常数c，满足证明设，令η=u-wh，ε=wh -uh，则u-uh =η+ε.易知设rh 为p 的投影近似，令ηp =p-rh，εp =rh -ph，则p-ph =ηp +εp. 由(16)得则即由(14)得则其中又，则由(21)，(22)及上式得且结合(5)，(6)，(21)，(23)，(24)得由三角不等式可得定理得证.定理4.2 设(u，p)∈(X，Y)和(uh，ph)∈(Vh，Sh)分别是(2)和(8)的解，则存在独立于h，k，a 的正常数c，满足证明设且满足(6)，(16)得由Cauchy-Schwarz 不等式和(9)-(11)，得由(10)得由文献［14］易知存在vh∈Vh，满足由三角不等式得结合以上各式可得定理得证.参考文献:［1］ I. Perugia，D. Schötzau，P. Monk.Stabilized interior penalty methods for low-frequency time-harmonic Maxwell equations.Math. Comp.，2003(72):1179 -1214.［2］ P. Houston，I. Perugia，D. Schötzau.Mixed discontinuous Galerkin approximation of the Maxwell operator:Non -stabilized formulation.J. Sci. Comp.，2005(22):325 -356.［3］ P. Houston，I. Perugia，D.Schötzau. Mixed discontinuous Galer kin approximation of the Maxwell operator .SIAM J. Numer.Anal.，2004(42):434 -459.［4］ I. Perugia，D. Schötzau，P. Monk. Stabilized interior penalty methods for the time- harmonic Maxwell equations. Comput.Methods Appl.Mech.Eng.，2002(191):4675 -4697.［5］ J. S. Hesthaven ，T. Warburton. High order nodal discontinuous Galerkin methods for the Maxwell eigenvalue problem. Royal Soc. London SerA.，2004(190):493 -524.［6］ P. Houston，I. Perugia，A. Schneebeli，D. Sch tzau.Interior penalty methods for the in- definite time-harmonic Maxwell equations.Numer. Math.，2005(100):485 -518.［7］ L. Kopriva，S. Woodruff，M. Hussaini. Discontinuous spectral element approximation of Maxwell＇s equations，in Discontinuous Galerkin Methods. Comput. Methods Appl. Mech. Eng.，2000(52):355 -361. ［8］ I. Perugia ，D. Sch tzau.The hp -local discontinuous Galerkin method for low -frequency time -harmonic Maxwell p.，2003(72):1179 -1214.［9］ H. Y. Duan，J. Feng，P. Lin ，R. C. E. Tan.The local projected finite element method for Maxwell problem. SIAM J.Numer.anal，2009(47):1274 -1303.［10］H. B. Zheng，Y. R. Hou，F. Shi，L. N. Song.A finite element variational multiscale method for incompressible flows based on two local Gauss integrations. J. Comput. Phys.，2009(228):5961 -5971.［11］J. Li，Y. N. He.A stabilized finite element method based on two local Gauss integrationsfor the Stokes equations. J. Comput.Math，Appl.，2008(214):58 -65.［12］H. B. Zheng，J. P. Yu，K.T. Li，F. Shi. A variational multiscale method with bubble stabilization for Oseen problem based on two local Gauss integrations .J. Comput. Math，Appl.，2012(219):3701 -3708.［13］P. Ciarlet，Jr，Z. Jun. Fully discrete finite element approaches for time-dependent Maxwell equationa.Numer.Math.，1999(82):193 -219. ［14］李敏，周国霞，陈豫眉. 方程的低阶混合稳定化有限元方法［J］. 四川理工学报，2013(26):89 -93.。
Maxwell课件
干涉测量法
通过测量电磁波干涉现象 的条纹数量和分布，可以 计算出电磁波的波长、波 数和传播方向。
电磁波的干涉与衍射实验
干涉实验
通过将电磁波通过两个或多个狭缝，可以观察到电磁波的干涉现象，如明暗条纹交替出现、条纹间距与波长成正 比等。
衍射实验
通过将电磁波通过一个或多个孔径较小的狭缝，可以观察到电磁波的衍射现象，如远处的狭缝出现清晰的像、像 的形状与狭缝形状相似等。
快速动态变化的电磁现象。
动态响应
时变麦克斯韦方程可以用来研究 物体在快速变化的电磁场中的动 态响应，例如高速运动物体在电
磁场中的相互作用。
瞬态过程
时变麦克斯韦方程还可以描述电 磁场的瞬态过程，例如脉冲响应
和信号传输等。
量子力学对麦克斯韦方程的修正
量子电动力学
量子力学对麦克斯韦方程的修正涉及量子电动力学理论， 该理论考虑了光的量子性质和物质的波粒二象性。
辐射反应
在量子电动力学中，需要考虑电子和其他带电粒子在发射 或吸收光子时的辐射反应，这需要对麦克斯韦方程进行修 正。
相对论性
量子电动力学还与狭义相对论相结合，考虑了光子和物质 的相对论性质，从而对麦克斯韦方程进行更精确的修正。
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高阶的电磁现象。
产生高次谐波
非线性麦克斯韦方程可以解释如何 通过在强电场下产生的非线性效应 来生成高次谐波，这是线性方程无 法描述的。
光学孤子
非线性麦克斯韦方程还描述了光学 孤子的形成，即一种在非线性介质 中传播的光脉冲，其形状和速度不 会改变。
时变麦克斯韦方程
时变源
时变麦克斯韦方程考虑了随时间 变化的电磁场和源，适用于描述
恒定磁场方程
利用傅里叶变换由时域形式的 maxwell方程
利用傅里叶变换由时域形式的 maxwell方程傅立叶变换是一种数学工具，可以将函数从时域（时间域）转换到频域（频率域）。
它在许多领域中有广泛的应用，包括信号处理、图像处理、电磁学、量子力学等。
在电磁学领域中，傅立叶变换也被广泛应用于分析和解决Maxwell方程。
麦克斯韦方程是描述电磁场的基本方程组。
在时域中，它们的形式为：1.高斯定律：∇·E = ρ/ε₀2.麦克斯韦法则：∇×E = -∂B/∂t3.高斯定律：∇·B = 04.麦克斯韦法则：∇×B = μ₀J + μ₀ε₀∂E/∂t其中，E表示电场，B表示磁场，ρ表示电荷密度，J表示电流密度，ε₀和μ₀分别是真空中的电介质常数和磁导率。
这些方程描述了电场和磁场在空间和时间上的变化关系。
为了利用傅立叶变换来解决这些方程，我们首先将方程从时域转换到频域。
对于一个函数f(t)，其傅立叶变换F(ω)定义为：F(ω) = ∫[f(t)e^(-iωt)] dt其中，ω是频率。
通过对随时间变化的函数f(t)进行傅立叶变换，我们可以得到其在各个频率上的振幅和相位信息。
对于Maxwell方程中的电场和磁场，我们可以分别将它们进行傅立叶变换，得到它们在频域中的表示。
假设电场和磁场的傅立叶变换分别为E(ω)和B(ω)，那么Maxwell方程在频域中的形式为：1. ∇·E(ω) = ρ(ω)/ε₀2. ∇×E(ω) = -iωB(ω)3. ∇·B(ω) = 04. ∇×B(ω) = μ₀J(ω) + μ₀ε₀iωE(ω)这些方程描述了电场和磁场在频域中的变化关系。
通过对这些方程进行求解，我们可以得到电场和磁场在频域中的分布和传播特性。
傅立叶变换的应用使Maxwell方程的求解变得更加简化和方便。
通过将方程从时域转换到频域，我们可以将复杂的微分方程转换为代数方程。
这大大简化了问题的求解过程，并且可以通过代数方法进行更加直观和易于理解的分析。
基于泛复变函数求解Maxwell方程的方法
文章编号：１００３—６５２０（２００６｝０４－００３４—０３
Ｍｅｔｈｏｄ ｔｏ Ｓｏｌｖｅ ｔｈｅ．Ｍａｘｗｅｌｌ Ｅｑｕａｔｉｏｎｓ Ｂａｓｅｄ ｏｎ Ｈｙｐｅｒｃｏｍｐｌｅｘ Ｆｕｎｃｔｉｏｎ
ＢＩＡＮ Ｘｉｎｇｒｎｉｎｇ，ＷＥＮ Ｙｕａｎｆａｎｇ，ＨＵＡＮＧ Ｆｅｉｒａｎ
（Ｓｃｈｏｏｌ ｏｆ Ｅｌｅｃｔｒｉｃａｌ ａｎｄ Ｅｌｅｃｔｒｏｎｉｃｓ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，Ｈｕａｚｈｏｎｇ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ ｏｆ Ｓｃｉｅｎｃｅ
认工，Ｙ，鬈）一∑∑口。ｃｏｓ（铆墟）ｃｏｓ（ｐｎｙ）ｃｏｓｈ（鬈／五万汪再ｊ；万ｒ）＋
６，，，ｌ ｓｉｎ（∞船）ｓｉｎ（ｐ拶）ｓｉｎｈ（√丽万ｑ罚；孬＿）， 代人方程的边界条件很容易求得电位的解：
ｄ如ｚｙ“，㈡扣：半罩。蛰∑争．ｓ，ｉｎ∑（ｍｎｘ／ａ）ｓｉ砌…ｎ‘（ｍｙ／ａ）． “Ⅲ一奇数Ｒ一奇 ！ｉ翌ｈ（！（！翌！』垒２ １±鱼！匹』垒２：２：竺兰２ ｓｉｎｈ（（（栅／ｎ）２＋（，两／６）２）１１２ｃ）。
Ｒ／ａｘ２＋ａ２Ｒ／ａｙ２＋ａ２Ｒ／ａｚ２一ａＺＲ／ｃ２ａｔ２一ｏ’
，●Ｊ、●，【 ∥ａｚ２＋ａ２∥ａｙ２＋ａ２∥ａｚ２一ａ２９／ｃ２ａｔ２一ｏ
２００６年４月
高电压技术
第３２卷第４期 ·３５·
在洛仑兹规范ａＰ／ａｚ＋ａＱ／ａｙ＋ａＲ／ａｚ＋ａ∥ｃ２３ｔ＝Ｏ 情况下，方程组的特征方程是：ｅｉ＋ｅ；＋ｅｌ—ｄ／ｃ２— ０，（ｅ１，ｅ２，ｅ３，ｅ４）取四维复数（ａｉ，ｂｊ，ｃｋ，ｄ）ｃ１４］，这 里，令泛复变量叩一ｚ８１＋ｙｅ２＋ｚｅ３＋ｔｅ４，如果，（＇７）、 ｇ（矽、＾（叩）、９（叩）是＇７的泛复解析函数且满足，ｏ’ （ｒ１）ｅ１＋９７（叩）ｅ２＋＾７（ｒ１）ｅ３＋∥（ｒ１）ｅ４／ｃ２一ｏ，则ｐ＝ｆ （１７）、Ｑ—ｇ（叩）、Ｒ＝ｈ（ｒ／）、９—９（砂是方程的泛复解， 对应的实分量是方程的实解。
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砜，其它几个面电位为零。
·ｔｔｉｃ ｍｅｔａｌ ｔｒｏｕｇｈ（ｎｏ ｅｌｅｃｔｒｉｃ ｃｈａｒｇｅ ｉｎｓｉｄｅ） 求解原理和例１相同，先由电位方程及边界条 件列出特征方程，再通过求得特征方程的特解得到
生成元叩一ｅｌｘ＋ｅ‘２Ｙ＋ｅ３ｚ—ｚＪ（ａｍ）ｚ＋（触）２＋ ｘａｍｉ＋ｙｆｌｎｊ，由关于叩的泛复解析函数ｅ７是方程的 解直接列出电位表达式：
代人边界条件易求得：口一兀几，ａ。一ｏ
ｂ。一４Ｕｏ／ｎ７ｃｓｉｎｈ（ｒａｒｂ／ａ）、
如川＝警。量凼甓糍貉巡。 儿 Ｈ暑奇数
“ｏ¨“１＼，＂Ⅵ，／“／
例２立方体槽的电位分布求解分析实际金属槽
都是立方体的，本例分析了它一个截面上的电位分
布情况。就立体情况使用泛复变函数的方法求解其
内部电场分布。图２为立方体金属槽，槽顶电位为
在电磁场问题中由Ｅ一一ａＡ／ａ￡一Ｖ９、Ｂ—Ｖ ×Ａ、Ｄ＝ｅＥ、Ｈ＝Ｂ／Ｉ－ｔ求得（Ｄ，Ｅ，．Ｂ，Ｈ）一组物理量。 现以求解下列方程组为例说明泛复变函数在解偏微 分方程组中的具体方法：
｛ａｕ／ａｘ＋ＯＨ扫》＋ａｔｌ／３ｚ＝Ｏ ＜ａ２ｕ／ａｘ２＋ａ２ｕ／ａｙ２＋ａ２甜／ａ≯一ｏ。 【ａ４ ｕ／ａｘ４＋ａ４ ｕ／ａｙ４＋ａ４ ｕｌａｚ４一。 先列出该方程组的特征方程
ｒ８１＋ｅ２＋如一０
＜Ｐ；＋馥＋Ｐ；一０，
ｌ硝＋程＋砖一。
若取ｅ。为主单位元，ｅ１一ｌ，ｅ２一一１／２＋√３ｉ／２，ｅ。一
一１／２－－ｆ３ｉ／２；再取泛复变量７ｌ＝ｘｅｌ＋ｙｅ２＋ｚｅ３一ｚ
＋（一１／２＋√３ｉ／２）ｙ＋（一１／２一√３ｉ／２）ｚ，则关于＇７ 的解析函数，（叩）一“是方程的解，Ｕ可取实数也可 取复数。如果待求解的方程是复色波形式，则只需 把在各单色波下求得的解叠加即可。如果用传统的 分离变量法或复势函数法则很难求得这种多维高次 偏微分方程，用泛复变函数的方法则很简单。
ｐｅｏ一—。：Ｆ撒Ｘ．ａ商ＦＸ．∑ａ数型ｆ三教‰ｅｍｓｎｌｉ７ｃｎ３“罂“‘ｓ口ｉｎ“ 型“ ｓｂｉ泓 ｎ丝“ｃ，’
其次，将９看作各单色波作用效果叠加，在单色波作
用下式（４）的特征根可取为：ｅ，一ａｉ、ｅ２一序、ｅ。＝豫，
则生成元刁一ｅｌｚ＋ｅｚｙ＋ｅ３ｚ：ａｉｘ＋序了＋豫ｚ。
由于关于叩的泛复解析函数ｅ，是方程的解，故
Ｙ一厂（ｚ）及厂：Ｇ Ｃ Ｘ—Ｄ ｃ Ｙ，
（１）
泛复变函数将古典的解析函数向高维推广，不仅可
在函数论中得到许多定理和公式，而且在代数方程
根的新数量、偏微分方程高阶与低阶的关系、方程与
各种域中等式的扩展、奇异电磁场的描述、空间流场
的直接处理等方面得到了较好应用。
２用泛复变函数方法求解Ｍａｘｗｅｌｌ方程的通解
·３６·Ａｐｒ．２００６
Ｈｉｇｈ Ｖｏｌｔａｇｅ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ
Ｖ０１．３２ Ｎｏ．４
沿用单色波的求解方法得到相应的解，本文用例３ 进行了相关研究（见图３）。
Ｚ
， Ｘ
图３立方体金一檀Ｉ内部有电荷】 Ｐｉｇ．３ Ｃｕｂｉｃ ｍｅｔａｌ ｔｒｏｕ曲（ｄｅｃｔｒｉｃ ｃＩｌａｒ寥蛔ｓｌ瞳） 例３立方体金属槽加盖后各面均保持接地，
槽内填充均匀电荷（ｐｖ＝ｐ０），则槽内部电位方程为
Ｖ ２９（ｚ，Ｙ，ｚ）＝一＆／￡一一ｌ口ｂ／￡
（４）
其边界条件为：各个面的电位都为０。求解这种复
色波时先将其用Ｆｏｕｒｉｅｒ法分解成单色波：
譬。 。蚤Ⅲ一。奇数”蚤＝奇。数扭蚤奇数‰ｉｎ警ｓ“ｉｎ字ｓ“；ｎ譬。，
上式两边同时乘以正弦因子后分别对ｚ、Ｙ、２在相 应区域上积分，注意到三角函数的正交性，得
ａｎｄ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｗｕｈａｎ ４３００７４，Ｃｈｉｎａ）
Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｈｙｐｅｒｃｏｍｐｌｅｘ ｆｕｎｃｔｉｏｎ－ｔｈｅ ｐｏｐｕｌａｒｉｚａｔｉｏｎ ｏｆ ｃｏｍｐｌｅｘ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｏｎ ｈｉｇｈ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎ，ｈａｓ ｓｕｐｅｒｉｏｒｉｔｙ ｏｎ ｓｏｌ— ｖｉｎｇ ｐａｒｔｉａｌ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ－ｗｈｉｃｈ ｓｉｍｐｌｉｆｉｅｓ ｔｈｅ ｐｒｏｃｅｓｓ ｏｆ ｓｏｌｖｉｎｇ ｍａｎｙ ｐｒｏｂｌｅｍｓ．Ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ ｐｒｅｓｅｎｔｓ ａ ｎｅｗ ａｐｐｒｏａｃｈ ｆｏｒ ｓｏｌｖｉｎｇ ｔｈｅ Ｅｌｅｃｔｒｏｍａｇｎｅｔｉｃ Ｆｉｅｌｄ ｐｒｏｂｌｅｍｓ．Ｂｙ ｕｓｉｎｇ ｔｈｅ ｔｈｅｏｒｙ ｏｆ Ｈｙｐｅｒｃｏｍｐｌｅｘ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｗｅ ｃａｎ ｓｉｍ— ｐｌｉｆｙ ｔｈｅ ｓｏｌｕｔｉｏｎ ｐｒｏｃｅｓｓ ｏｆ ｍａｎｙ ｐｒｏｂｌｅｍｓ ａｓ ｗｅｌｌ ａｓ ｏｂｔａｉｎ ａ ｕｎｉｖｅｒｓａｌ ｍｅｔｈｏｄ ｔｏ ｓｏｌｖｅ ｔｈｅ Ｍａｘｗｅｌｌ ｅｑｕａｔｉｏｎ．Ｔｈｅ ｅｘａｍｐｌｅｓ ｄｅｍｏｎｓｔｒａｔｅ ｔｈｅ ｆｅａｓｉｂｉｌｉｔｙ ａｎｄ ｓｉｍｐｌｉｃｉｔｙ ｏｆ ｔｈｅ ｍｅｔｈｏｄ ｗｉｔｌｌ ｔｈｅ ｓａｍｅ ｒｅｓｕｌｔｓ ａｓ ｕｓｉｎｇ ｔｈｅ ｃｌａｓｓｉｃａｌ ｍｅｔｈｏｄ＆ Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：ｈｙｐｅｒｃｏｍｐｌｅｘ ｆｕｎｃｔｉｏｎ；ｅｌｅｃｔｒｏｍａｇｎｅｔｉｃ ｆｉｅｌｄ；Ｍａｘｗｅｌｌ ｅｑｕａｔｉｏｎ；ｐａｒｔｉａｌ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ；Ｆｏｕｒｉｅｒ ｍｅｔｈｏｄ
以一个三元高次偏微分方程组和两个电磁场问题求解为例，用提出的方法得到了与经典求解法一致的结果。在待 求场域可用偏微分方程（组）、边界条件可用初等函数方程表示的情况下，该方法具有概念清晰、简单便捷的优点。
关键词：泛复变函数；电磁场；Ｍａｘｗｅｌｌ方程；偏微分方程组；傅立叶方法
中国分类号：ＴＭｌ５３
文献标识码：Ａ
０引 言 在许多情况下，古典的偏微分方程和场论的方
法很难求得Ｍａｘｗｅｌｌ方程（组）的解析解，于是出现 了许多新的求解方法，如解析方法中的复势函数法 用于求解场域为较规则几何图形的情况（同轴电缆、 电机定子和转子间的气隙、三相输电线路等）可求得 较准确的解［１。２１；数值方法中的有限元法、有限差分 法则将待求场域在空间上离散，借助计算机求出多 元代数方程的解，在场域不规则的情况下其优势较 明显睁８Ｉ。但上述方法求解过程较复杂，需繁琐的计 算过程或较大的编程量和计算量。泛复变函数是复 变函数在高维情况下的推广形式，它能使求解过程 大为简化，故本文初步探讨了用泛复变函数的理论 求解Ｍａｘｗｅｌｌ方程（组）的方法，预期在待求场域可 用偏微分方程（组）、边界条件可用初等函数方程表 示的情况下，为电磁场问题的求解提供一条概念清 晰、操作简单的途径睁１２］。
３应用举例
例１矩形槽的电位 Ｙ 分布求解分析 图１金属 槽若槽底和侧壁连成一体 并接地，槽顶与底盖绝缘， ｂ 槽顶相对于底盖电位为 图１矩形金属槽
砜。则金属槽内部的电位Ｆｉｇ·１ Ｒ竺纽ｎＰｌａｒ眦ｔａｌ
。
方程为 Ｖ ２妒（ｚ，ｙ）一０，（Ｏ＜ｚ＜ａ，０＜Ｙ＜易），（３）
此种情况下边界条件为
仪ｏ，３，）＝０，（ｏ＜Ｙ＜６）；９（ａ，ｙ）一０，（Ｏ＜Ｙ＜６）； 认ｚ，ｏ）一０，（ｏ＜Ｘ＜口）；Ｐ（ｚ，６）一ｒｉｏ，（ｏ＜Ｘ＜ｎ）。
文章编号：１００３—６５２０（２００６｝０４－００３４—０３
Ｍｅｔｈｏｄ ｔｏ Ｓｏｌｖｅ ｔｈｅ．Ｍａｘｗｅｌｌ Ｅｑｕａｔｉｏｎｓ Ｂａｓｅｄ ｏｎ Ｈｙｐｅｒｃｏｍｐｌｅｘ Ｆｕｎｃｔｉｏｎ
ＢＩＡＮ Ｘｉｎｇｒｎｉｎｇ，ＷＥＮ Ｙｕａｎｆａｎｇ，ＨＵＡＮＧ Ｆｅｉｒａｎ
（Ｓｃｈｏｏｌ ｏｆ Ｅｌｅｃｔｒｉｃａｌ ａｎｄ Ｅｌｅｃｔｒｏｎｉｃｓ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，Ｈｕａｚｈｏｎｇ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ ｏｆ Ｓｃｉｅｎｃｅ
Ｒ／ａｘ２＋ａ２Ｒ／ａｙ２＋ａ２Ｒ／ａｚ２一ａＺＲ／ｃ２ａｔ２一ｏ’
，●Ｊ、●，【 ∥ａｚ２＋ａ２∥ａｙ２＋ａ２∥ａｚ２一ａ２９／ｃ２ａｔ２一ｏ
２００６年４月
高电压技术
第３２卷第４期 ·３５·
在洛仑兹规范ａＰ／ａｚ＋ａＱ／ａｙ＋ａＲ／ａｚ＋ａ∥ｃ２３ｔ＝Ｏ 情况下，方程组的特征方程是：ｅｉ＋ｅ；＋ｅｌ—ｄ／ｃ２— ０，（ｅ１，ｅ２，ｅ３，ｅ４）取四维复数（ａｉ，ｂｊ，ｃｋ，ｄ）ｃ１４］，这 里，令泛复变量叩一ｚ８１＋ｙｅ２＋ｚｅ３＋ｔｅ４，如果，（＇７）、 ｇ（矽、＾（叩）、９（叩）是＇７的泛复解析函数且满足，ｏ’ （ｒ１）ｅ１＋９７（叩）ｅ２＋＾７（ｒ１）ｅ３＋∥（ｒ１）ｅ４／ｃ２一ｏ，则ｐ＝ｆ （１７）、Ｑ—ｇ（叩）、Ｒ＝ｈ（ｒ／）、９—９（砂是方程的泛复解， 对应的实分量是方程的实解。
·３４·
第３２卷第４期 ２００６年 ４月
高电压技术
Ｈｉｇｈ Ｖｏｌｔａｇｅ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ
Ｖ０１．３２ Ｎｏ．４ Ａｐｒ． ２００６
基于泛复变函数求解Ｍａｘｗｅｌｌ方程的方法
卞星明，文远芳，黄斐然 （华中科技大学电气与电子工程学院，武汉４３００７４）
摘要：根据泛复变函数是复变函数在高维情况下的推广形式，将这种方法用于电磁场边值问题的解析计算。并
４与分离变量法的比较
与传统的分离变量法相比，用泛复变函数的方 法求解电磁场问题很容易得到待求方程的特征根， 从而确定叩，再由关于叩的泛复解析函数厂（７７）（电磁 场问题的求解中一般取与偏微分方程本征函数系相 一致的泛复解析函数护）是方程的泛复解，写出待 求量的表达式，代人边界条件后就可迅速求得方程 的解。分离变量法需将待求量写成多个单变量函数 相乘的形式，再代人原方程分离变量后得到一系列 方程组，逐个求解这些方程后才能根据边界条件确 定出方程的解，求解过程较复杂、计算量较大。当遇 到复色波情况时，用分离变量法首先要将复色波分 解为单色波的形式，再对每个单色波分离变量，因此 分离变量的次数随着分解所得单色波的个数、变量 个数的增加而迅速增加，故使用非常有限。而用泛 复变函数的方法只要将复色波展开为单色波，就可
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再次用Ｆｏｕｒｉｅｒ方法将上述方程组展开为单色波