九年级数学每日一题(026--030)参考答案

九年级数学每日一题（026--030）
P —026 填空或证明：
在△ABC 和△DEF 中，AB =AC ，DE =DF ，AB ≠DE ，
∠BAC =∠EDF =α，点N 、P 分别是BE 、CF 的中点， （1）若点A 与点D 重合，点E 、F 分别在边AB 、AC 上（如图1），则AN 与AP 的数量关系是 、∠P AN 与α数量关系是 ； （2）将图1中的△DEF 绕点A （D ）旋转，（如图2），问（1）的两个结论是否仍然成立？证明你的结论； （3）将图2中的△DEF 沿某一方向平移（如图3），设AD 的中点为M ，完成图3并判断△MNP 的形状（不证明）．
◤P —026答案◢：（1）AN =AP ，∠P AN =α；（2）成立。

易证△AEB ≌△AFC ，故BE=CF ，∠ABN=∠ACP. 因为点N 、P 分别是BE 、CF 的中点，所以BN=CP ，从而可证△ABN ≌△ACP ，所以AN=AP ，∠BAN=∠CAP ，从而∠BAN+∠PAB=∠CAP+∠PAB ，即∠P AN =∠BAC=α.
（3）△MNP 的形状是等腰三角形，图略。

P —027如图27-1，在平面直角坐标系中，四边形ABCD 的顶点B 、C 的坐标分别是B （1，0）、C （3，0），A 点在双曲线)0(2
>=
x x
y 上，且AB ∥CD ∥y 轴，AD ∥x 轴. （1） 试判断四边形ABCD 的形状.
（2） 如图27-2若点P 是DB 延长线上一点，PE ⊥x 轴于E ，M 是PD 的中点，连EM 、
AM.求证：AM=EM.
（3） 如图27-3，在（2）的条件下，连结AE 交DB 的延长线于N ，试判断线段BN 2、
MN 2、DM 2之间有何数量关系?并证明.
◤P —027答案◢：（1）四边形ABCD 是正方形；（2）延长EM 交CD 于点N ，连接AE 、
B N
F C E
P A （D ） 图1 A （D ） B N
F E P 图2
图3
AN ，可证△EMP ≌△NMD ，所以EM=NM ，EP=ND=EB ，又可证△ABE ≌△ADN ，所以AE=AN ，进而可证△AEN 是等腰直角三角形，从而AM=EM ；（3）MN 2=BN 2+DM 2。

如图，过点A 作AQ ⊥AN ，且AQ=AN ，连接DQ 、MQ ，可证△ADQ ≌△ABN ，所以DQ=BN ，且易得∠MDQ=90°，故2
2
2
MQ MD DQ =+，又可证△AMQ ≌△AMN ，故MQ=MN ，从而MN 2=BN 2+DM 2。

P —028已知Rt △ABC 和Rt △ADE ，∠ACB=∠AED=90°，∠BAC=∠DAE=30°，P 为线段BD 的中点，连接PC ，PE.
（1）如图1，若AC=AE ，C 、A 、E 依次在同一条直线上，则∠CPE= ；PC 与PE 存在的等量关系是 ；
（2）如图2，若AC ≠AE ，C 、A 、E 依次在同一条直线上，猜想∠CPE 的度数及PC 与PE 存在的等量关系，并写出你的结论；（不需要证明）
（3）如图3，在图2的基础上，若将Rt △ADE 绕点A
任意旋转一个角度，使C 、A 、E 不在一条直线上，试探究∠CPE 的度数及PC 与PE 存在的等量关系，写出你的结论并说明理由.
◤P —028答案◢：（1）120°，PC=PE ；（2）∠CPE=120°，PC=PE ；（3）∠CPE=120°，PC=PE 。

理由如下：分别取AB 、AD 的中点M 、N ，连接PM 、CM 、PN 、EN ，可证△CMP ≌△PNE ，故PC=PE ，∠PCM=∠EPN=α，∠CPM=∠PEN=β，∠MPN=∠MAN=γ，而∠ACM=∠CAM=∠EAN=∠AEN=30°，在四边形PCAE 中
，
(αβ++
P
E
D
C B
A
图 3
P
E D
C B A
图 1
P
D
C B A 图 2
故αβγ++=120°，即∠CPE=120°。

P —029已知等腰三角形ABC 和ADE 的顶角共顶点，∠BAC=∠DAE 。

线段BD 和EC 的垂
直平分线相交于点P ，连接PB ，PC ，PD ，PE. （1）B 、A 、E 依次在同一条直线上。

若∠BAC=90°（图1），则∠BPC+∠DPE= ；
若∠BAC=60°（图2），则∠BPC+∠DPE= ； （2）B 、A 、E 依次在同一条直线上。

若∠BAC=α（图3），猜想∠BPC+∠DPE 的值（用α
表示），并证明你的结论；
（3）在图1的基础上，若Rt △ABC 绕点A 旋转角度β，图4，试探究∠BPC+∠DPE 的值，
并写出你的结论（不必证明）.
◤P —029答案◢：（1）180°，120°；（2）∠BPC+∠DPE=2α。

因为线段BD 和EC 的垂直平分线相交于点P ，所以PD=PB ，PC=PE ，又AB=AC ，AD=AE ，故AB+AE=AD+AC ，即BE=CD ，从而△DPC ≌△BPE ，所以∠PDC=∠PBE ，∠PCD=∠PEB ，故∠BPD=∠BAD=180°α-，∠CPE=∠CAE=180°α-，因此∠BPC+∠DPE=360°-∠BPD -∠CPE=2α。

（3）∠BPC+∠DPE=180°。

P —030（1）将两块不相等的等腰Rt △ABC 和Rt △AED 如图1摆放，G 为线段DC 的中点，连接BG 、EG ，求证:BG=EG ，BG ⊥EG ； （2）将（1）中Rt △AED 绕A 顺时针旋转45°如图2，连接EB ，再将△AEB 绕点E 顺时针旋转90°至△EDH 处，连接BD 、CH ，G 为线段DC 的中点，四边形BDHC 为何四边形?写出你的结论，并说明理由.
（3）将（1）中Rt △AED 绕A 逆时针旋转α°(0<α<180)时， 如图3，(1)中结论是否仍然成立?并说明理由.
◤P —030答案◢：（1）BG=EG=
2
CD ，∠BGE=∠BGD+∠DGE=2∠BCD+2∠DCE=90°，故BG ⊥EG ；（2）四边形BDHC 为平行四边形。

由旋转可知，点D 在AC 上，且
DH=AB=BC ，∠
HDC=45°，而∠BCD=45°，故DH ∥BC ，从而四边形BDHC 为平行四边形。

（3）（1）中结论仍然成立。

证明如下：延长EG 至点F ，使GF=EG ，连接BE 、BF 、CF ，设CF 和EA 的延长线交于点H 。

可证△DGE ≌△CGF ，从而可得CF=DE=AE ，且DE ∥CF ，故∠H=∠
图1图3图2
图4C C
C
D
DEA=90°，而∠ABC=90°，所以∠BCF+∠BAH=180°，又∠EAB+∠BAH=180°，所以∠EAB=∠FCB，从而可证△ABEE≌△CBF，故BE=BF，进而可证△BEF是等腰直角三角形，从而可证BG=EG，BG⊥EG。

D。