向量,三角恒等变换,解三角形,数列基本公式

向量知识点一、向量有关概念

1、字母表示法：如a r 、AB u u u r

； 2、几何表示法：用一条______________表示向量； 3、坐标表示法：在平面直角坐标系中，设向量OA u u u r

的始点为坐标原点， 终点坐标为A （X ，Y ），则向量OA u u u r

坐标记为（X ，Y ）

四、两个向量的夹角

1、定义：已知两个_______向量a r 与b r ，作OA a =u u u r r ，OB b =u u u r r ，则AOB θ∠=叫做向量a r 与b r

的夹角。

2、范围：0

0180θ≤≤，a r 与b r 同向时，夹角θ=_______；a r 与b r

反向时，夹角θ=_______

3、向量垂直：如果向量a r 与b r 的夹角是_______时，则a r 与b r

垂直，记为_______

五、平面向量基本定理及坐标表示

1、定理：如果1e u r 、2e u u r

是同一平面内的两个_______向量，那么对于这一平面内的任意向量a r ，_______一对实数1λ、2λ，使a r

=___________，其中，___________叫做表示这一平面所有向量的一组基底。

2、平面向量的正交分解：把一个向量分解为两个_______的向量，叫做把向量正交分解。

3、平面向量的坐标表示：在平面直角坐标系中，分别取与X 轴、Y 轴方向相同的两个单位向量i r 、j r

作为基底，

对于平面内的一个向量a r ，有且只有一对实数对X ，Y ，使a xi y j =+r r r

，把有序实数对_______叫做向量a r 的坐标，记作a r =_______，其中_____叫做a r 在X 轴上的坐标，其中_____叫做a r 在Y 轴上的坐标。即a xi y j =+r r r

a r

=（X ，Y ）

六、平面向量的坐标运算：

1、向量坐标求法：已知()11,A x y ，()22,B x y ，则()2121,AB x x y y =--u u u r

，即一个向量的坐标等于该向量_______

的坐标减去_______的坐标。

2、向量坐标加法、减法、数乘运算：设()11,a x y =r ，()22,b x y =r

加法：a r +b r =()1212,x x y y ++ 减法：a r -b r =()1212,x x y y -- 数乘： ()()1111,,a x y x y λλλλ==r

3、平面向量共线与垂直的表示：设()11,a x y =r ，()22,b x y =r

，其中0b ≠r ，则

a r 与

b r 共线（或a b r r P ）11

122122

0x y a b x y x y x y λλ⇔=⇔==⇔-=r r a r b ⊥⇔r 121200a b x x y y =⇔+=r r g

七、平面向量数量积

A

B

O

1、已知两个非零向量a r 与b r ，它们的夹角为θ，把数量_______叫做a r 与b r 的数量积（或内积），记作a r 。b r

，即a r 。b r

=_______，并规定零向量与任一向量的数量积为_______

注：两个非零向量a r 和b r

的数量积是一个数量，不是向量，其值为两向量的模与它们夹角的余弦的乘积，其符号

由夹角的余弦决定。 当)

0,90

θ⎡∈⎣0a b ⇔>r r g ； 当0900a b θ=⇔=r r g 当(00

90,180θ⎤∈⎦0a b ⇔

； 数量积是内积，用a b r r g

表示，不能用a b ⨯r r 或ab r r

表示 2、一向量在另一向量方向上投影

定义： _______（_______）叫做a r 在b r 的方向上（b r 在a r 的方向上）的投影。如图OA a =u u u r r ，OB b =u u u r r

，过B 作1

BB 垂直于直线OA ，垂足为1B ，则1cos OB b θ=r

g

1cos OB b θ=r

g 叫做向量b r 在a r 的方向上

当θ为锐角时，如图1，它是_______； 当θ为钝角时，如图2，它是_______；

当θ为直角时，如图3，它是_______； 当θ=0

0时，它是_______； 当θ=0

180时，它是_______；

a b r r g 的几何意义：数量积a b r r g 等于a r 的长度a r

与______________的乘积

3、平面向量数量积的重要性质：

设a r 、b r 都是非零向量，e r

是与b r 方向相同的单位向量，θ是a r 与e r 的夹角，则 e r 。a r = a r 。e r =_______ 当a r 与b r 同向时，a b r r g =_______； 当a r 与b r 反向时，a b r r

g =_______； 特别是a r 。a r =22a a =r r

a =

=r

a r

b ⊥⇔r a b r r g =_______ |cos |a b a b θ=r r r r

g

g 4、平面向量数量积的运算律

交换律：a r +b r =_______ 数乘结合律：()

a b λ=r r

g

______________=______________ 分配律：（a r +b r ）c r

g =______________ ()

2

222a b

a a

b b +=++r r r r r r g

()()

22a b a b a b

-+=-r r r r r r g ()

2

222222a b c a b c a b a c b c ++=++++++r r r

r r r r r r r r r g g g

八、向量的应用：

1证明线段平行问题，包括相似问题，常用向量平行（共线）的充要条件

1

1

01

B 图1

图2

图3