【精准解析】黑龙江省大庆实验中学2020届高三上学期期中考试数学(理)试题
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大庆实验中学 2019-2020 学年度上学期期中考试
高三数学（理科）试题
一、选择题（单选题，共 60 分）
1.若
a
2，
b
1 4
，
wk.baidu.com
a
与
b
的夹角为
120
,则
a
b
（
）
A. 1
1
B.
C. 1
4
4
【答案】A
D. -2
【解析】
【分析】
根据向量的数量积运算即可.
【详解】 a b
a
b
cos120
2
1 (
1)
1
42 4
故选 A
【点睛】本题主要考查数量积的基本运算 a b
a
b
cos
a,b
,属于基础题型.
2.已知复数 z 满足 zi 2i x (x R) ，若 z 的虚部为-2，则 z （ ）．
A. 2
B. 2 2
C. 5
D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】
根据 zi 2i x 求得 z 再根据虚部为-2 求得 x ,进而求得 z 【详解】由 zi 2i x, z 2i x 2 xi ,又 z 的虚部为-2,故 x 2, x 2
6.已知等差数列an 的前 n 项和为 Sn ， a4 1， S8 0 ，当 Sn 取最大值时 n 的值为（
）
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
【答案】B
【解析】
【分析】
利用等差数列求和公式知 a4 a5 0 ,进而得出 Sn 取最大值时 n 的值即可.
【
详
解
】
因
为
S8 0
,
所
以
8(a1 a8 ) 0 2
4.过点 (2, 0) 且与直线 2x 4 y 1 0 平行的直线方程是（ ）
A. x 2 y 1 0
B. 2x y 4 0
C. x 2 y 2 0
D.
x2y2 0
【答案】C
【解析】
【分析】
根据平行线的斜率相等,再利用点斜式得出方程即可.
【详解】直线 2x 4 y 1 0 的斜率为 k 1 ,故过点 (2, 0) 的直线方程为 y 0 1 (x 2)
【 详 解 】 由 f (x) sin(x ) cos(x ) 为 奇 函 数 知 f (0) sin cos 0 , 显 然
-2-
cos 0 , 故 sin cos tan 1,观察选项知 的一个取值是
4
故选 D
【点睛】本题主要考查三角函数的同角关系与三角函数求值问题,属于基础题型.
2
2
化简得 x 2 y 2 0
故选 C 【点睛】本题主要考查直线的方程,包括点斜式的用法与平行线的性质等,属于基础题型.
5.已知 f (x) sin(x ) cos(x ) 为奇函数，则 的一个取值是（ ）
A.
2
B. 2
C.
4
D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】
利用奇函数在 0 处有定义时 f (0) 0 ,化简得 tan 1 再观察满足的选项即可.
对 C, a b 则 3 a 3 b 即 3 a 3 b 0 成立,故 C 正确.
-3-
对 D,因为 y 2x 为增函数所以 a b 时 2a 2b ,故 D 错误.
故选 C
【点睛】本题主要考查不等式的性质与函数的单调性等,属于基础题型. 8.已知三棱锥 A-BCD，点 E、F、G 分别是 BC、AC、AD 的中点，直线 AB 与 CD 所成的角为 60 ， 则Ð EFG 的大小是（ ）
a b
x.
又渐近线与双曲线 C1 相同为 y
2 x ,即 a 3b
2 ,故 b 3a
3, 2
,即
a1 a8 0
,
又
a1 a8 a4 a5 0,a4 1, a5 1,
故等差数列an 公差 d 2 0 ,当 Sn 取最大值时 n 的值为 4
故选 B
【点睛】本题主要考查首项为正公差为负的等差数列的前 n 项和的最大值问题,当 aann1 00 时取得前 n 项和的最大值,属于基础题型.
i 故 z 2 2i ,故 z (2)2 (2)2 2 2
故选 B
【点睛】本题主要考查复数的一般运算与模长公式等,属于基础题型.
3.已知集合 A x x2 2x 3 0 , B x y ln(x) ，则 A B （ ）
A. [3, 0]
B. [3,1]
C. [3,0)
7.若 a b ，则（ ）
A. a b
B. lg(a b) 0
C. 3 a 3 b 0
D. 2a 2b
【答案】C
【解析】
【分析】
对 A,B 举反例说明即可,C,D 根据单调性进行分析即可.
【详解】对 A,当 a 1, b 2 时 a b ,故 A 错误.
对 B, 当 a 1,b 0 时 lg(a b) lg1 0 ,故 B 错误.
D. [1, 0)
【答案】C
-1-
【解析】 【分析】
解出集合 A, B 中的范围,再求交集即可.
【详解】由 x2 2x 3 0 有 (x 1)(x 3) 0 ,即 3 x 1,又 ln(x) 中 x 0 即 x 0 . 故 A B [3,0)
故选 C 【点睛】本题主要考查二次不等式的求解与集合的基本运算,属于基础题型.
即可能为 60 或120
故选 C
【点睛】本题主要考查立体几何中平行与角的运用,注意中位线的用法即可,属于基础题型.
9.已知双曲线 C1
:
x2 3
y2 4
1 ，双曲线 C2 的焦点在
y 轴上，它的渐近线与双曲线 C1 相同，则
双曲线 C2 的离心率为（ ）
A. 7 3
B. 7 2
C. 3
D. 7 或 3
A. 30
B. 60
C. 60 或120
D. 30 或
150
【答案】C 【解析】 【分析】 画出图像分析可得 Ð EFG 和直线 AB 与 CD 所成的角相等或者互补.
【详解】由题得 EF 为 ABC 的中位线,故 EF ∥ AB ,同理得 FG ∥ CD ,故 AB 与 CD 所成的 角为 EF 与 FG 所成的角,又 Ð EFG 和直线 EF 与 FG 所成的角相等或者互补.
-4-
7 2
【答案】B
【解析】
【分析】
由双曲线 C2 的焦点在
y 轴上,设 C2
:
y2 a2
x2 b2
1 ,则渐近线方程为
y
a b
x .又渐近线与双
曲线 C1 相同,列出关于 a, b 的关系式化简求离心率即可.
【详解】因为双曲线 C2 的焦点在 y 轴上,故设 C2
:
y2 a2
x2 b2
1 ,则渐近线方程为 y
高三数学（理科）试题
一、选择题（单选题，共 60 分）
1.若
a
2，
b
1 4
，
wk.baidu.com
a
与
b
的夹角为
120
,则
a
b
（
）
A. 1
1
B.
C. 1
4
4
【答案】A
D. -2
【解析】
【分析】
根据向量的数量积运算即可.
【详解】 a b
a
b
cos120
2
1 (
1)
1
42 4
故选 A
【点睛】本题主要考查数量积的基本运算 a b
a
b
cos
a,b
,属于基础题型.
2.已知复数 z 满足 zi 2i x (x R) ，若 z 的虚部为-2，则 z （ ）．
A. 2
B. 2 2
C. 5
D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】
根据 zi 2i x 求得 z 再根据虚部为-2 求得 x ,进而求得 z 【详解】由 zi 2i x, z 2i x 2 xi ,又 z 的虚部为-2,故 x 2, x 2
6.已知等差数列an 的前 n 项和为 Sn ， a4 1， S8 0 ，当 Sn 取最大值时 n 的值为（
）
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
【答案】B
【解析】
【分析】
利用等差数列求和公式知 a4 a5 0 ,进而得出 Sn 取最大值时 n 的值即可.
【
详
解
】
因
为
S8 0
,
所
以
8(a1 a8 ) 0 2
4.过点 (2, 0) 且与直线 2x 4 y 1 0 平行的直线方程是（ ）
A. x 2 y 1 0
B. 2x y 4 0
C. x 2 y 2 0
D.
x2y2 0
【答案】C
【解析】
【分析】
根据平行线的斜率相等,再利用点斜式得出方程即可.
【详解】直线 2x 4 y 1 0 的斜率为 k 1 ,故过点 (2, 0) 的直线方程为 y 0 1 (x 2)
【 详 解 】 由 f (x) sin(x ) cos(x ) 为 奇 函 数 知 f (0) sin cos 0 , 显 然
-2-
cos 0 , 故 sin cos tan 1,观察选项知 的一个取值是
4
故选 D
【点睛】本题主要考查三角函数的同角关系与三角函数求值问题,属于基础题型.
2
2
化简得 x 2 y 2 0
故选 C 【点睛】本题主要考查直线的方程,包括点斜式的用法与平行线的性质等,属于基础题型.
5.已知 f (x) sin(x ) cos(x ) 为奇函数，则 的一个取值是（ ）
A.
2
B. 2
C.
4
D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】
利用奇函数在 0 处有定义时 f (0) 0 ,化简得 tan 1 再观察满足的选项即可.
对 C, a b 则 3 a 3 b 即 3 a 3 b 0 成立,故 C 正确.
-3-
对 D,因为 y 2x 为增函数所以 a b 时 2a 2b ,故 D 错误.
故选 C
【点睛】本题主要考查不等式的性质与函数的单调性等,属于基础题型. 8.已知三棱锥 A-BCD，点 E、F、G 分别是 BC、AC、AD 的中点，直线 AB 与 CD 所成的角为 60 ， 则Ð EFG 的大小是（ ）
a b
x.
又渐近线与双曲线 C1 相同为 y
2 x ,即 a 3b
2 ,故 b 3a
3, 2
,即
a1 a8 0
,
又
a1 a8 a4 a5 0,a4 1, a5 1,
故等差数列an 公差 d 2 0 ,当 Sn 取最大值时 n 的值为 4
故选 B
【点睛】本题主要考查首项为正公差为负的等差数列的前 n 项和的最大值问题,当 aann1 00 时取得前 n 项和的最大值,属于基础题型.
i 故 z 2 2i ,故 z (2)2 (2)2 2 2
故选 B
【点睛】本题主要考查复数的一般运算与模长公式等,属于基础题型.
3.已知集合 A x x2 2x 3 0 , B x y ln(x) ，则 A B （ ）
A. [3, 0]
B. [3,1]
C. [3,0)
7.若 a b ，则（ ）
A. a b
B. lg(a b) 0
C. 3 a 3 b 0
D. 2a 2b
【答案】C
【解析】
【分析】
对 A,B 举反例说明即可,C,D 根据单调性进行分析即可.
【详解】对 A,当 a 1, b 2 时 a b ,故 A 错误.
对 B, 当 a 1,b 0 时 lg(a b) lg1 0 ,故 B 错误.
D. [1, 0)
【答案】C
-1-
【解析】 【分析】
解出集合 A, B 中的范围,再求交集即可.
【详解】由 x2 2x 3 0 有 (x 1)(x 3) 0 ,即 3 x 1,又 ln(x) 中 x 0 即 x 0 . 故 A B [3,0)
故选 C 【点睛】本题主要考查二次不等式的求解与集合的基本运算,属于基础题型.
即可能为 60 或120
故选 C
【点睛】本题主要考查立体几何中平行与角的运用,注意中位线的用法即可,属于基础题型.
9.已知双曲线 C1
:
x2 3
y2 4
1 ，双曲线 C2 的焦点在
y 轴上，它的渐近线与双曲线 C1 相同，则
双曲线 C2 的离心率为（ ）
A. 7 3
B. 7 2
C. 3
D. 7 或 3
A. 30
B. 60
C. 60 或120
D. 30 或
150
【答案】C 【解析】 【分析】 画出图像分析可得 Ð EFG 和直线 AB 与 CD 所成的角相等或者互补.
【详解】由题得 EF 为 ABC 的中位线,故 EF ∥ AB ,同理得 FG ∥ CD ,故 AB 与 CD 所成的 角为 EF 与 FG 所成的角,又 Ð EFG 和直线 EF 与 FG 所成的角相等或者互补.
-4-
7 2
【答案】B
【解析】
【分析】
由双曲线 C2 的焦点在
y 轴上,设 C2
:
y2 a2
x2 b2
1 ,则渐近线方程为
y
a b
x .又渐近线与双
曲线 C1 相同,列出关于 a, b 的关系式化简求离心率即可.
【详解】因为双曲线 C2 的焦点在 y 轴上,故设 C2
:
y2 a2
x2 b2
1 ,则渐近线方程为 y