【精准解析】黑龙江省大庆实验中学2020届高三上学期期中考试数学(理)试题

合集下载

【解析】黑龙江省大庆市大庆中学2020届高三上学期期中考试数学(理)试题

大庆中学2019--2020学年高三期中考试试题理科数学一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.集合{}|0,M x x x R =>∈, {|12,}N x x x N =-≤∈，则M N =I （） A. {|02,}x x x R <<∈ B. {|02,}x x x Z <<∈ C. {1,2,--1,2} D. {}1,2,3【答案】D 【分析】先求解{|12,}N x x x N =-<∈,再计算M N ⋂即可. 【详解】{}{|12,}{|212,}{|13,}0,1,2,3N x x x N x x x N x x x N =-≤∈=-≤-≤∈=-≤≤∈=又{}|0,M x x x R =>∈,故M N =I {}1,2,3. 故选：D【点睛】本题主要考查了集合的基本运算,属于基础题型. 2.2152log +的值等于（）A. 2+B. 10C. 22+D. 1【答案】B 【分析】根据指数与对数的运算法则求解即可. 【详解】22log 51152212250log +=⋅=⨯=. 故选：B【点睛】本题主要考查了指数的基本运算,属于基础题型. 3.已知,,a b m R ∈，则下列说法正确的是（）A. 若a b >>B. 若a b <，则22am bm <C. 若11a b<，则a b > D. 若33a b >，则a b >【答案】D 【分析】根据不等式的性质可推得D 正确，利用特殊值举例可说明A,B,C 错误. 【详解】解：A.a b >>a 4=，b 2=-时；B.m 0=时，a b <得不出22am bm <；C.11a b<得不出a b >，比如，a 2=-，b 4=； D.3y x =Q 是增函数，33a b ∴>得出a b >．故选D ．【点睛】判断关于不等式的命题真假的常用方法(1)直接运用不等式性质：把要判断的命题和不等式的性质联系起来考虑，找到与命题相近的性质，然后进行推理判断．(2)特殊值验证法：给要判断的几个式子中涉及的变量取一些特殊值，然后进行比较、判断．4.已知()()2,1,,2a b x =-=r r ,且//a b r r，则a b +=r r （）A. 4B. 3【答案】C 【分析】利用向量共线的坐标形式可求x ，求出a b +r r的坐标后可求a b +r r .【详解】因为//a b r r，故221x ⨯=-⨯，所以4x =-，故()2,1a b +=-r r，故a b +=r r 故选C.【点睛】如果()()1122,,,a x y b x y ==r r ，那么：（1）若//a b r r ，则1221x y x y =；（2）若a b ⊥r r，则12120x x y y +=.5.定义在R 上的函数满足2,0()(6),0x x f x f x x -⎧≤=⎨->⎩则()2019f 等于（）A.13B.18C. 3D. 8【答案】D 【分析】当0x >时,()(6)f x f x =-,此时()f x 周期为 6.将()2019f 利用周期性使自变量化成负数再求解即可.【详解】由题得当0x >时,()(6)f x f x =-,此时()f x 周期为6. 故()2019(63363)(3)(3)f f f f =⨯+==-.又当0x ≤时, ()2-=xf x ,故3(3)28f -==.故选：D【点睛】本题主要考查分段函数的求值,注意函数必须在满足的定义域内才能进行求解.属于基础题型.6.位于坐标原点的一个质点P 按下述规则移动：质点每次移动一个单位；移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是12.质点P 移动5次后位于点(2,3)的概率为 A. 51()2B. 2551()2CC. 14/E mgd q =D.235551()2C C【答案】B质点在移动过程中向右移动2次向上移动3次，因此质点P 移动5次后位于点(2,3)的概率为223511()(1)22P C =-。

2019-2020学年黑龙江省大庆实验中学高三(上)期中数学试卷1 (含答案解析)

2019-2020学年黑龙江省大庆实验中学高三（上）期中数学试卷1一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 在△ABC 中，若|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=3，|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=4，∠BAC =60°，则BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A. 6 B. 4 C. −6 D. −4 2. 已知复数z =4+3i ，则|z|z =( )A. 4−3iB. 4+3iC. 45+35iD. 45−35i3. 已知集合A ={x|x −1>0}，B ={x ∈N|x <4}，则A ∩B =( ) A. (2,4) B. {2,3，4} C. {2,3} D. (2,3)4. 直线过点(−1,2)且与直线2x −3y =0垂直，则直线的方程是( )A. 3x +2y −1=0B. 3x +2y −7=0C. 2x −3y −5=0D. 2x −3y +8=05. 若φ(x)，g(x)都是奇函数，f(x)=aφ(x)+bg(x)+2在(0,+∞)上有最大值5，则f(x)在(−∞,0)上有( )A. 最小值−5B. 最大值−5C. 最小值−1D. 最大值−3 6. 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 4+a 6=10，则S 9=( )A. 20B. 35C. 45D. 90 7. 已知−1<a <4，1<b <2，则a −b 的取值范围是( )A. (−2,3)B. (−2,2)C. (−3,2)D. (−3,3)8. 如图所示，正三棱锥V −ABC 中，D,E,F 分别是VC,VA,AC 的中点，P 为VB 上任意一点，则直线DE 与PF 所成的角的大小是( )A. B.C.D. 随P 点的变化而变化9. 与双曲线C ：x 216−y 29=1有相同的渐近线的双曲线E 的离心率为( )A. 53B. 54C. 53或54D. 53或5310. 已知△ABC 中，已知∠A =45°，AB =√2，BC =2，则∠C =( )A. 30°B. 60°C. 120°D. 30°或150°11. 将半径相同，圆心角之比为1：2的两个扇形作为两个圆锥的侧面，这两个圆锥底面面积依次为S 1，S 2，那么S 1：S 2=( ) A. 1：2 B. 2：1 C. 1：4 D. 4：112.已知F1，F2是椭圆x216+y212=1的左、右焦点，直线l过点F2与椭圆交于A、B两点，且|AB|=7，则△ABF1的周长为()A. 10B. 12C. 16D. 3二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知椭圆x24+m2+y2m2=1与双曲线x2a2−y2b2=1有共同的焦点，且双曲线的离心率为2，则该双曲线的方程为______．14.曲线y=3lnx−1x在点(1,−1)处的切线的斜率为______．15.若tanα=−2，则sinαcosα=____________．16.如图所示，已知正方体ABCD−A1B1C1D1，E，F分别是D1B，A1C上不重合的两个动点，给山下列四个结论：①CE//D1F；②平面AFD//平面B1EC1；③AB1⊥EF；④平面AED⊥平面ABB1A1．其中，正确结论的序号是______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.高中本科硕士博士合计35岁以下101505035245 35～50岁201002013153 50岁以上3060102102随机地抽取一人，求下列事件的概率．(1)50岁以上具有本科或本科以上学位；(2)具有硕士学位．18.已知等差数列{a n}满足：a3=7，a5+a7=26，{a n}的前n项和为S n．(1)求a n及S n；(2)求数列{1S n}的前n项和T n．19.如图，在三棱锥PABC中，∠PAC=∠BAC=90°，PA=PB，点D，F分别为BC，AB的中点．求证：PF⊥AD．20.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为√22，直线l：y=2x与椭圆交于M，N，四边形MF1NF2的面积为4√23．(Ⅰ)求C的方程；(Ⅱ)作与l平行的直线与椭圆交于A，B两点，且线段AB的中点为P，若PF1，PF2的斜率分别为k1，k2，求k1+k2的取值范围．21.已知函数f(x)=xln(x+a)，a∈R．(1)若f(x)不存在极值点，求a的取值范围；(2)若a≤0，证明：f(x)<e x+sin x−1．22.在平面直角坐标系中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l上两点M，N的极坐标分别为(2,0)，(2√33,π2)，圆C的参数方程为{x=2+2cosθ,y=−√3+2sinθ(θ为参数)．(1)设P为线段MN的中点，求直线OP的平面直角坐标方程；(2)判断直线l与圆C的位置关系．23.已知．(1)当a=1时，求不等式f(x)>1的解集；(2)若x∈(0,1)时不等式f(x)>x成立，求a的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：【分析】本题主要考查了向量的数量积运算，解题中一定要注意向量的夹角．直接根据向量的数量积求解即可．【解答】解：∵|AB⃗⃗⃗⃗⃗ |=3，|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=4，∠BAC =60°，由向量数量积的定义可知，BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ||AC⃗⃗⃗⃗⃗ |cos60°=−3×4×12=−6，故选C ．2.答案：D解析：【分析】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，属于基础题．把z =4+3i 代入|z|z ，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：∵z =4+3i ，∴|z|=5，则|z|z =54+3i =5(4−3i)(4+3i)(4−3i)=45−35i ．故选：D ． 3.答案：C解析：【分析】本题考查了集合的交集运算，属于基础题．【解答】解：因为B ={x ∈N|x −4<0}={0,1,2,3}，A ={x|x >1}，所以A ∩B ={2,3}．故选C ．4.答案：A解析：解：设与直线2x−3y=0垂直的直线方程为：3x+2y+m=0，把点(−1,2)代入可得：−3+4+m=0，解得m=−1．∴要求的直线方程为：3x+2y−1=0，故选：A．设与直线2x−3y=0垂直的直线方程为：3x+2y+m=0，把点(−1,2)代入解得m即可得出．本题考查了相互垂直的直线斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．5.答案：C解析：φ(x)、g(x)为奇函数，∴f(x)−2=aφ(x)+bg(x)为奇函数．又f(x)在(0,+∞)上有最大值5，∴f(x)−2有最大值3.∴f(x)−2在(−∞,0)上有最小值−3，∴f(x)在(−∞,0)上有最小值−1．6.答案：C解析：解：∵等差数列{a n}的前n项和为S n，a4+a6=10，∴S9=92(a1+a9)=92(a4+a6)=45．故选：C．利用等差数列的通项公式、前n项和公式直接求解．本题考查等差数列的前9项和的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．7.答案：D解析：【分析】本题考查了不等式的性质，是一道基础题．由1<b<2，得出−b的范围，然后利用不等式的基本性质求解即可．【解答】解：−1<a<4，①，∵1<b<2，∴−2<−b<−1，②，①+②得：−3<a−b<3，故选：D．8.答案：C解析：【分析】本题考查异面直线所成角的求法，是基础题，解题时要注意线线、线面、面面间的位置关系和性质的合理运用．连结VF，BF，则VF⊥AC，BF⊥AC，从而AC⊥平面VBF，由此能求出直线DE与PF所成的角的大小是90°．【解答】解：连结VF，BF，∵正三棱锥V−ABC中，D，E，F分别是VC，VA，AC的中点，∴VF⊥AC，BF⊥AC，又∵VF∩BF=F，VF，BF⊂平面VBF，∴AC⊥平面VBF，又PF⊂平面VBF，∴AC⊥PF，∴直线DE与PF所成的角的大小是90°．故选C．9.答案：C解析：解：与双曲线C：x216−y29=1有相同的渐近线的双曲线E的渐近线方程为：x4±y3=0，可得双曲线的焦点坐标在x轴时，离心率为：ca =√16+94=54．双曲线的焦点坐标在y轴时，离心率为：ca =√9+163=53．故选：C．求出双曲线的渐近线方程，然后求解双曲线的离心率即可．本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．10.答案：A解析：解：由正弦定理得：BCsinA =ABsinC，又∠A=45°，AB=√2，BC=2，所以sinC=√2×√222=12，又AB=√2<BC=2，得到：0<C<A=45°，则∠C=30°．故选：A．由∠A，AB，BC的值，利用正弦定理即可求出sin C的值，又根据AB小于BC得到C度数的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出C的度数．此题考查学生灵活运用正弦定理及特殊角的三角函数值化简求值，是一道基础题．学生做题时注意判断C度数的范围．11.答案：C解析：【分析】本题考查扇形弧长和圆锥底面积的求法，考查数学转化思想方法，是基础题．由已知设两个扇形的半径为r，圆心角分别为θ，2θ，然后求出两扇形的弧长，求出圆锥底面积作比得答案．【解答】解：设两个扇形的半径为r，圆心角分别为θ，2θ，则第一个扇形的弧长为rθ，对应的圆锥底面半径为，第二个扇形的弧长为2rθ，对应的圆锥底面半径为，，，∴S1：S2=1：4．故选：C．12.答案：C解析：【分析】本题考查椭圆的定义．椭圆的简单性质的应用，考查计算能力，属于基础题．利用椭圆的定义可得：|AF1|+|AF2|=2a，|BF1|+|BF2|=2a，并且|AF2|+|BF2|=|AB|，进而得到答案．【解答】解：椭圆x216+y212=1，可得a=4，根据题意结合椭圆的定义可得：|AF1|+|AF2|=2a=8，并且|BF1|+|BF2|=2a=8，又因为|AF2|+|BF2|=|AB|，所以△ABF1的周长为：|AF1|+|BF1|+|AB|=|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=16．故选：C．13.答案：x2−y23=1解析：解：椭圆x24+m2+y2m2=1与双曲线x2a2−y2b2=1有共同的焦点，可得a2+b2=4，即c=2，双曲线的离心率为2，所以a=1，则b=√3，所以双曲线x2a2−y2b2=1的方程为：x2−y23=1．故答案为：x2−y23=1．求出焦点坐标，得到a，b的关系式，利用双曲线的离心率，求解a，b，即可得到双曲线方程．本题考查双曲线的简单性质的应用，椭圆的简单性质的应用，是基本知识的考查．14.答案：4解析：解：曲线y=3lnx−1x的导数为：y′=3x +1x2，可得曲线y=3lnx−1x在点(1,−1)处的切线的斜率为k=3+1=4，故答案为：4．求得函数的导数，由导数的几何意义，代入x=1，可得切线的斜率．本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查导数的几何意义，正确求导是解题的关键，属于基础题．15.答案：−25解析：【分析】本题考查同角三角函数基本关系式在化简求值中的应用，属于基础题．由已知将弦化切代入直接计算即可．【解答】解：若tanα=−2，则．．故答案为−2516.答案：③④解析：解：如图，在D1B，A1C上分别取点E，F，∵ABCD−A1B1C1D1为正方体，则四边形A1BCD1为矩形，∵∠FD1C+∠ECD1<∠A1D1C+∠BCD1=180°，∴CE与D1F不平行，故①错误；不妨取F与A1重合，E与O重合，此时平面平面AFD与平面B1EC1相交，故②错误；AB1⊥A1B，AB1⊥BC，且A1B∩BC=B，则AB1⊥平面A1BCD1，则AB1⊥EF，故③正确；AD⊥平面ABB1A1，而AD⊂平面AED，则平面AED⊥平面ABB1A1，故④正确．∴正确结论的序号是③④．故答案为：③④．由题意画出图形，利用两直线平行，同旁内角互补判断①；取特殊位置判断②；利用线面垂直的判定与性质判断③；由面面垂直的判定判断④．本题考查命题的真假判断与应用，考查棱柱的结构特征，考查空间中直线与直线，直线与平面，平面与平面间的位置关系，是中档题．17.答案：解：(1)由调查结果统计表得：50岁以上具有本科或本科以上学位的概率为：p 1=102−30500=18125．(2)具有硕士学位的概率为： p 2=50+20+10500=425．解析：(1)基本事件总数n =500，由调查结果统计表得50岁以上具有本科或本科以上学位的有102−30=70人，由此能求出50岁以上具有本科或本科以上学位的概率．(2)具有硕士学位的有50+20+10=80人，由此能求出具有硕士学位的概率．本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用． 18.答案：解：(1)等差数列{a n }满足：a 3=7，a 5+a 7=26，则：{a 3=7a 5+a 7=26，解得a 1=3，d =2．所以a n =3+2(n −1)=2n +1． S n =3n +n(n−1)2⋅2=n 2+2n ．(2)由(1)可知，S n =n 2+2n ，则1S n=12(1n −1n+2)，所以T n =1S 1+1S 2+⋯+1Sn−1+1S n，=12(1−13+12−14+13−15+⋯+1n−1−1n+1+1n −1n+2)， =12(1+12−1n+1−1n+2)，=34−12(1n+1+1n+2)．解析：(1)直接利用已知条件求出数列的通项公式和数列的和． (2)利用数列的和公式，进一步利用裂项相消法求出数列的和．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法的应用． 19.答案：证明： ∵∠PAC =∠BAC =90°， ∴AC ⊥AB ，AC ⊥AP ，又∵AB ∩AP =A ，AB ，AP 在平面PAB 内， ∴AC ⊥平面PAB ， ∵PF ⊂平面PAB ，∴AC ⊥PF ．∵PA =PB ，F 为AB 的中点，∴PF ⊥AB ，∵AC ⊥PF ，PF ⊥AB ，AC ∩AB =A ，AC ，AB 在平面ABC 内， ∴PF ⊥平面ABC ， ∵AD ⊂平面ABC ，∴AD ⊥PF 即PF ⊥AD ．解析：考查线线垂直的证明，线面垂直的判定定理，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养. 由AC ⊥AB ，AC ⊥ AP ，得AC ⊥平面PAB ，从而AC ⊥PF ，再推导出PF ⊥AB ，从而PF ⊥平面ABC ，由此能证明AD ⊥PF ．20.答案：解：由(Ⅰ){y =2xx 2a 2+y 2b 2=1可得y 2=4a 2b 24a 2+b 2，e =c a =√22，e 2=a 2−b 2a 2=12， ∴a =√2b,c =b ………(2分) 2c 22=4√23，带入得√2b 3√8b 2+b 2=√23{b=1a=√2，椭圆方程为x 22+y 2=1………(5分)(Ⅱ)设直线AB 的方程为y =2x +m(m ≠0)由{y =2x +m x 22+y 2=1，得9x 2+8mx +2m 2−2=0△=64m 2−36(2m 2−2)>0，得m 2<9，∴m ∈(−3,0)∪(0,3)………(7分)设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，P(x 0,y 0)，则x 1+x 2=−89m,x 1x 2=2m 2−29x 0=−49m,y 0=2x 0+m =m 9k 1+k 2=y 0x 0+1+y 0x 0−1=2x 0y 0x 02−1=8m 281−16m 2=881m 2−16(m ≠0)………(10分)∴k 1+k 2∈(−∞,−87)∪(0,+∞)………(12分)解析：(Ⅰ)利用直线与椭圆的位置关系以及离心率，转化求解即可． (Ⅱ)设直线AB 的方程为y =2x +m(m ≠0)，由{y =2x +m x 22+y 2=1，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，P(x 0,y 0)，利用韦达定理，转化求解直线的斜率即可．本题考查椭圆的简单性质，直线与椭圆的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力．21.答案：解：(1)f(x)的定义域为(−a,+∞)，且f′(x)=ln(x+a)+xx+a，设g(x)=ln(x+a)+xx+a ，则g′(x)=1x+a+a(x+a)2=x+2a(x+a)2．[1]当−2a≤−a，即a≥0时，gˈ(x)>0，所以g(x)在(−a,+∞)上单调递增；又g(1)=ln(1+a)+11+a>0，g(e−2−a)=−1−e2a<0，即g(1)g(e−2−a)<0，所以g(x)在(−a,+∞)上恰有一个零点x0，且当x∈(−a,x0)时，fˈ(x)=g(x)<0；当x∈(x0,+∞)时，fˈ(x)=g(x)>0；所以f(x)在(−a,x0)上单调递减，在(x0,+∞)上单调递增，所以x0是f(x)的极小值点，不合题意，[2]当−2a>−a，即a<0时，令gˈ(x)=0，得x=−2a，当x∈(−a,−2a)时，gˈ(x)<0，当x∈(−2a,+∞)时，gˈ(x)>0；即g(x)在(−a,−2a)上单调递减，在(−2a,+∞)上单调递增．①当g(−a)=ln(−a)+2≥0，即a≤−e−2时，fˈ(x)=g(x)≥g(−2a)≥0恒成立，即f(x)在(−a,+∞)上单调递增，无极值点，符合题意．②当g(−2a)=ln(−a)+2<0，即−e−2<a<0时，g(1−a)=1−a>0，所以g(−2a)g(1−a)<0，所以g(x)在(−2a,+∞)上恰有一个零点x1，且当x∈(−2a,x1)时，fˈ(x)=g(x)<0；当x∈(x1,+∞)时，fˈ(x)=g(x)>0；即f(x)在(−2a,x1)上单调递减，在(x1,+∞)上单调递增，所以x1是f(x)的极小值点，不合题意．综上，a的取值范围是(−∞,−e−2]；(2)因为a≤0，x>−a，所以x>0，f(x)=xln(x+a)≤xlnx，要证明f(x)<e x+sinx−1，只需证明xlnx<e x+sinx−1，当a<x≤1时，因为e x+sinx−1>0，xlnx≤0，所以xlnx<e x+sinx−1成立；当x>1时，设g(x)=e x+sinx−xlnx−1，则gˈ(x)=e x−lnx+cosx−1，设ℎ(x)=gˈ(x)，则ℎ′(x)=e x−1x−sinx，因为x>1，所以ℎˈ(x)>e−1−1>0，所以ℎ(x)在[1,+∞)上单调递增，所以ℎ(x)>ℎ(1)=e+cos1−1>0，即gˈ(x)>0，所以g(x)在[1,+∞)上单调递增，所以g(x)>g(1)>=e+sin1−1>0，即xlnx<e x+sinx−1，综上，若a≤0，则f(x)<e x+sinx−1解析：本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．(1)求出函数的导数，通过讨论a的范围，根据函数的单调性求出a的范围即可．(2)设g(x)=e x +sinx −xlnx −1，根据函数的单调性证明即可．22.答案：解：(1)M ，N 的极坐标分别为(2,0)，(2√33,π2)，所以M 、N 的直角坐标分别为：M(2,0)，N(0,2√33)， P 为线段MN 的中点(1,√33)，∴直线OP 的平面直角坐标方程y =√33x ；(2)圆C 的参数方程{x =2+2cosθy =−√3+2sinθ(θ为参数)，它的直角坐标方程为：(x −2)2+(y +√3)2=4，圆的圆心坐标为(2,−√3)，半径为2，直线l 上两点M ，N 的直角坐标分别为M(2,0)，N(0,2√33)，方程为√3x +3y −2√3=0，圆心到直线l 的距离为：√3−3√3−2√3|√3+9=32<r ，所以，直线l 与圆C 相交．解析：本题考查圆的参数方程，极坐标方程与直角坐标方程的转化，直线与圆的位置关系，考查计算能力．(1)设P 为线段MN 的中点，求直线OP 的平面直角坐标方程； (2)求出圆的圆心与半径，判断圆心与直线的距离与半径的关系，即可判断直线l 与圆C 的位置关系． 23.答案：解：(1)当a =1时，f (x )=|x +1|−|x −1|，即f (x )={−2,x ≤−1,2x,−1<x <1,2,x ≥1.故不等式f (x )>1的解集为{x |x >12}．(2)当x ∈(0,1)时|x +1|−|ax −1|>x 成立等价于当x ∈(0,1)时|ax −1|<1成立．若a ≤0，则当x ∈(0,1)时|ax −1|≥1；若a >0,|ax −1|<1的解集为{x |0<x <2a }，所以2a ≥1，故0<a ≤2．综上，a 的取值范围为(0,2]．解析：本题考查了绝对值不等式的解法和含参数的取值范围，考查了运算能力和转化能力，属于中档题．(1)去绝对值，化为分段函数，即可求出不等式的解集，(2)当x∈(0,1)时不等式f(x)>x成立，转化为|ax−1|<1，分a≤0,a>0解不等式，即可求出a 的范围．。

高三上学期期中考试数学(理)试题 Word版含答案

大庆实验中学2020-2021学年度上学期期中考试高三数学（理科）试题注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每道小题答案后，用2B 铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．设命题p ：x R ∀∈，2320x x -+≤，则p ⌝为（）A ．0x R ∃∈，200320x x -+≤ B ．x R ∀∈，320x x -+> C ．0x R ∃∈，200320x x -+>D ．x R ∀∈，320x x -+≥2．若{}0,1,2A =，{}2,a B x x a A ==∈，则A B ⋃=（） A ．{}0,1,2B ．{}0,1,2,3C ．{}0,1,2,4D ．{}1,2,43．已知复数z 在复平面内对应的点的坐标为()1,2-，则下列结论正确的是（） A ．2z i i ⋅=-B ．复数z 的共轭复数是12i -C ．5z =D ．13122z i i =++ 4．已知3a i j =+，2b i =，其中i ，j 是互相垂直的单位向量，则3a b -=（）A ．B ．C ．28D ．245．已知随机变量X 服从二项分布(),B n p ，若()2E X =，()43D X =，则p =（） A ．34B ．23C ．13D ．146．在等差数列{}n a 中，首项10a =，公差0d ≠，n S 是其前n 项和，若6k a S =，则k =（）A ．15B ．16C ．17D ．187．若()cos cos2f x x =，则()sin15f ︒=（） A ．3-B ．12-C ．12D ．3 8．已知函数()()31,0,0x x f x g x x ⎧+>⎪=⎨<⎪⎩是奇函数，则()()1g f -的值为（）A ．10-B ．9-C ．7-D ．19．为得到函数sin 2y x =-的图象，可将函数sin 23y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象（） A ．向右平移3π个单位 B ．向左平移6π个单位 C ．向左平移3π个单位D ．向右平移23π个单位 10．某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图，90后从事互联网行业岗位分布条形图，则下列结论中不正确的是（）注：90后指1990年及以后出生，80后指1980-1989年之间出生，80前指1979年及以前出生A ．互联网行业从业人员中90后占一半以上B ．互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的20%C ．互联网行业中从事运营岗位的人数90后比80前多D ．互联网行业中从事技术岗位的人数90后比80后多11．如图，棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，P 在线段1BC （含端点）上运动，则下列判断不正确的是（）A ．11A PB D ⊥B ．三棱锥1D APC -的体积不变，为83C ．1//A P 平面1ACDD ．1A P 与1D C 所成角的范围是0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦12．已知函数()ln 1f x x =+，若存在互不相等的实数1x ，2x ，3x ，4x ，满足()()()()1234f x f x f x f x ===，则411i if x =⎛⎫= ⎪⎝⎭∑（） A ．0B ．1C ．2D ．3第Ⅱ卷（非选择题共90分）本卷包括必考题和选考题两部分，第13题~21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题、第23题为选考题，考生根据要求作答二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13．已知点A 的极坐标为22,3π⎛⎫⎪⎝⎭，则它的直角坐标为______． 14．若x ，y 满足约束条件25023050x y x y x +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪-≤⎩，则z x y =+的最小值为______．15．已知三棱锥S ABC -中，SA ⊥面ABC ，且6SA =，4AB =，23BC =，30ABC ∠=︒，则该三棱锥的外接球的表面积为______．16．已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且对任意的*n N ∈满足()()2411n n S a +=+，则361111kk kk k kaa a a =++-=-______．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．在ABC △中，内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，且满足2tan tan tan B bA B c=+（Ⅰ）求角A ；（Ⅱ）若13a =，3b =，求ABC △的面积18．如图，在三棱锥P ABC -中，2PA PB AB ===，3BC =，90ABC ∠=︒，平面PAB ⊥平面ABC ，D 、E 分别为AB 、AC 中点．（1）求证：AB PE ⊥；（2）求二面角A PB E --的大小．19．在某市高中某学科竞赛中，某一个区4000名考生的参考成绩统计如图所示．（1）求这4000名考生的竞赛平均成绩x （同一组中数据用该组区间中点作代表）；（2）由直方图可认为考生竞赛成绩z 服正态分布()2,N μσ，其中μ，2σ分别取考生的平均成绩x 和考生成绩的方差2s ，那么该区4000名考生成绩超过84.81分（含84.81分）的人数估计有多少人？（3）如果用该区参赛考生成绩的情况来估计全市的参赛考生的成绩情况，现从全市参赛考生中随机抽取4名学生，记成绩不超过84.81分的考生人数为ξ，求()3P ξ≤（精确到0.001）附：①2204.75s =204.7514.31=；②()2~,z N μσ，则()0.6826P z μσμσ-<<+=，()220.9544P z μσμσ-<<+=；③40.84130.501=20．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且n 、n a 、n S 成等差数列，()22log 11n n b a =+-．（1）证明数列{}1n a +是等比数列，并求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 中去掉数列{}n a 的项后余下的项按与按原顺序组成数列{}n c ，求12100c c c +++的值．21．已知函数()ln x xf x xe x=+．（Ⅰ）求证：函数()f x 有唯一零点；（Ⅱ）若对任意的()0,x ∈+∞，ln 1x xe x kx -≥+恒成立，求实数k 的取值范围请考生在第22、23两题中任意选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑. 22．选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，直线l 经过点()23,0P -，其倾斜角为α，设曲线S 的参数方程为141x k k y ⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩（k 为参数），以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为4sin ρθ=（1）求曲线S 的普通方程和极坐标方程；（2）若直线l 与曲线C 有公共点，求α的取值范围 23．选修4-5：不等式选讲已知x ，y R ∈，且1x y +=．（1）求证：22334x y +≥；（2）当0xy >时，不等式1121a a x y+≥-++恒成立，求a 的取值范围．大庆实验中学2020-2021学年度上学期期中考试高三理科数学答案1．C 2．C 3．D4．A 5．C 6．B 7．A8．B 9．A 10．D11．B12．A13．(-14．315．52π1617．（Ⅰ）3A π=（Ⅱ）解：（Ⅰ）由2tan tan tan B bA B c =+及正弦定理可知，∴sin 2sin cos sin sin cos cos cos B B B A B C A B =+∴()2sin cos cos sin cos sin sin B A B B B A B C⋅⋅=+，所以2cos 1A =，又()0,A π∈，所以3A π=（Ⅱ）由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，得21393c c =+-，所以2340c c --=，即()()410c c -+=，所以4c =，从而11sin 3422ABC S ab A ==⨯⨯=△18．（1）证明见解析；（2）60°解析：（1）连结PD ，∵PA PB =，∴PD AB ⊥，∵//DE BC ，BC AB ⊥，DE AB ⊥ 又∵PD DE D ⋂=，∴AB ⊥平面PDE ，∵PE ⊂平面PDE ，∴AB PE ⊥ （2）法一：∵平面PAB ⊥平面ABC ，平面PAB ⋂平面ABC AB =，PD AB ⊥，PD ⊥平面ABC 则DE PD ⊥，又ED AB ⊥，PD ⋂平面AB D =，DE ⊥平面PAB过D 做DF 垂直PB 与F ，连接EF ，则EF PB ⊥，DFE ∠为所求二面角的平面角，32DE =，2DF =，则tan DEDFE DF∠==A PB E --大小为60°法二：∵平面PAB ⊥平面ABC ，平面PAB ⋂平面ABC AB =，PD AB ⊥，PD ⊥平面ABC 如图，以D 为原点建立空间直角坐标系，∴()1,0,0B ，()0,0,3P ，30,,02E ⎛⎫⎪⎝⎭，∴()1,0,3PB =-，30,,32PE ⎛⎫=- ⎪⎝⎭设平面PBE 的法向量()1,,z n x y =，∴30,330,2x z y z ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩令3z =，得()13,2,3n = ∵DE ⊥平面PAB ，∴平面PAB 的法向量为()20,1,0n = 设二面角A PB E --大小为θ，由图知，1212121cos cos ,2n n n n n n θ⋅===⋅，所以60θ=︒，即二面角的A PB E --大小为60°19．（1）70.5分；（2）634人；（3）0.499 （1）由题意知：中间值 45 55 65 75 85 95 概率0.10.150.20.30.150.1∴450.1550.15650.2750.3850.15950.170.5x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=， ∴4000名考生的竞赛平均成绩x 为70.5分（2）依题意z 服从正态分布()2N μσ，，其中=70.5x μ=，2204.75D σξ==，14.31σ=，∴z 服从正态分布()()2270.5,14.31N N μσ=，，而()()56.1984.810.6826P z P z μσμσ-<<+=<<=，∴()10.682684.810.15872P z -≥==， ∴竞赛成绩超过84.81分的人数估计为0.158********.8⨯=人634≈人（3）全市竞赛考生成绩不超过84.81分的概率10.15870.8413-=，而()~4,0.8413B ξ，∴()()44431410.841310.5010.499P P C ξξ≤=-==-⋅=-=20．（1）证明见解析，21nn a =-；（2）11202（1）证明：因为n ，n a ，n S 成等差数列，所以2n n S n a +=，① 所以()()11122n n S n a n --+-=≥．②①-②，得1122n n n a a a -+=-，所以()()11212n n a a n -+=+≥．又当1n =时，1112S a +=，所以11a =，所以112a +=，故数列{}1n a +是首项为2，公比为2的等比数列，所以11222n n n a -+=⋅=，即21n n a =-（2）根据（1）求解知，()22log 12121n n b n =+-=-，11b =，所以12n n b b +-=，所以数列{}n b 是以1为首项，2为公差的等差数列又因为11a =，23a =，37a =，531a =，663a =，7127a =，8255a =，64127b =，106211b =，107213b =，所以()()1210012107127c c c b b b a a a +++=+++-+++()()127107121322272⨯+⎡⎤=-+++-⎣⎦()72121072147212-⨯=-+-281072911202=-+=21．（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）k ，，1 解析：（Ⅰ）()()21ln 1x xf x x e x +'=++，易知()f x '在()0,e 上为正，因此()f x 在区间()0,1上为增函数，又1210xe ef e e -⎛⎫=< ⎪⎝⎭，()0f I e =>因此()10f f I e ⎛⎫< ⎪⎝⎭，即()f x 在区间()0,1上恰有一个零点，由题可知()0f x >在()1,+∞上恒成立，即在()1,+∞上无零点，则()f x 在()1,+∞上存在唯一零点（Ⅱ）设()f x 的零点为0x ，即000ln 0x x x e x +=，原不等式可化为ln 1x xe x k x--≥，令()ln 1xxe x g x x--=，则()ln x xxe x g x x+'=，由（Ⅰ）可知()g x 在()00,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增，00x x e t =故只求()0g x ，设00x x e t =，下面分析0000ln 0x x x e x +=，设00x x e t =，则0ln x t x =-，可得0000ln ln ln x tx x x t =-⎧⎨+=⎩，即()01ln x t t -=若1t >，等式左负右正不相等，若1t <，等式左右负不相等，只能1t =因此()0000000ln 1ln 1x x e x x g x x x --==-=，即k ，，1求所求 22．（1）S 的普通方程为：2240x y x +-=()04,0x y ≤≤≥或()0,0x y >≥或()0,0x y ≠≥方程写标准式也可S 的极坐标方程为：4cos 02πρθθ⎛⎫=≤< ⎪⎝⎭（不写范围扣2分）（2）0,3πα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦23．（1）见证明；（2）35,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【详解】解：（1）由柯西不等式得)2222211x x ⎡⎤⎛⎡⎤++≥⋅+⎢⎥ ⎢⎥⎣⎦⎝⎢⎥⎣⎦ ∴()()222433x y x y +⨯≥+，当且仅当3x y =时取等号． ∴22334x y +≥；（2）()1111224y x x y x y x y x y ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭，要使得不等式1121a a x y+≥-++恒成立，即可转化为214a a -++≤，当2a ≥时，214a -≤，可得522a ≤≤，当12a -<<，34≤，可得12a -<<，当1a ≤-时，214a -+≤，可得312a -≤≤-， ∴a 的取值范围为：35,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦。

黑龙江省大庆中学2020届高三上学期期中考试数学(理)试题 Word版含答案

大庆中学2019--2020学年高三期中考试试题理科数学一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.集合,,则( )A.B.C.1, D. 2,2.的值等于( )A. B. 10 C. D.3.已知a,b,,则下列说法正确的是A. 若,则B. 若,则C. 若,则D. 若,则4.已知,,且,则A. 1B. 3C.D.5.定义在R上的函数满足则等于A. B. C. 3 D. 86.位于坐标原点的一个质点P按下述规则移动：质点每次移动一个单位；移动的方向为向上或向右,并且向上、向右移动的概率都是质点P移动五次后位于点的概率是( )A. B. C. D.7.圆与圆的公切线有几条( )A. 1条B. 2条C. 3条D. 4条8.如图所示,D,C,B三点在地面同一直线上,,从C,D两点测得A点的仰角分别是,,则A点离地面的高等于A. B.C. D.9.的图象如图所示,为了得到的图象,则只要将的图象( )A. 向右平移个单位长度B. 向右平移个单位长度C. 向左平移个单位长度D. 向左平移个单位长度10.在中,,则的周长为( )A. B.C. D.11.已知数列满足：,,,那么使成立的n的最大值为( )A. 4B. 5C. 24D. 2512.已知椭圆与双曲线有相同的焦点,,点P是两曲线的一个公共点,且,,分别是两曲线,的离心率,则的最小值是( )A. 4B. 6C. 8D. 16二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知a,,i是虚数单位,若,则的值为______．14.在锐角中,,,,则______ ．15.已知,在处有极值,则______ ．16.如图,AB为圆O的直径,点C在圆周上异于点A,,直线P A垂直于圆O所在的平面,点M是线段PB的中点有以下四个命题：平面P AC；平面MOB；平面P AC；平面平面PBC．其中正确的命题的序号是______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.在数列中,设,且满足,且．设,证明数列为等差数列；求数列的前n项和．18.现有4个人去参加某娱乐活动,该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择为增加趣味性,约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏,掷出点数为1或2的人去参加甲游戏,掷出点数大于2的人去参加乙游戏．求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率用X,Y分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数,记,求随机变量的分布列．19.如图,等腰直角中,,平面平面ABC,,,。

黑龙江省大庆实验中学2020届高三综合训练(五)数学(理科)试卷及答案解析

黑龙江省大庆实验中学2020届高三综合训练（五）数学（理科）试卷注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题1.设集合}|3,xA y y x R ==∈，{|}B y y x R ==∈，则A B =( )A. []0,2B. ()0,∞+C. (]0,2D. [)0,22.若201924(1)2iz i i =+--，则复数z 在复平面内对应的点位于（） A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.下列说法错误的是（）A.命题“若2320x x -+=，则1x =”的逆否命题为：“若1x ≠，则2320x x -+≠”B.“1x >”是“||1x >”的充分而不必要条件C.若p 且q 为假命题，则p 、q 均为假命题D.命题:p “存在x ∈R ，使得210x x ++<”，则非:p “任意x ∈R ，均有210x x ++≥”4.在ΔABC 中，AC=1，AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =−1，O 为ΔABC 的重心，则BO ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 的值为A. 1B. 32 C. 53 D. 25.秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入n ，x 的值分别为3，2，则输出v 的值为A. 35B. 20C. 18D. 9 6.函数()()33lg xxf x x -=+⋅的图象大致为（）A. B.C. D.7.二项式(x −a x )8的展开式中x 2的系数是−7，则a =( )A. 1B. 12C. −12D. −18.为了研究国民收入在国民之间的分配，避免贫富过分悬殊，美国统计学家劳伦茨提出了著名的劳伦茨曲线，如图所示.劳伦茨曲线为直线OL 时，表示收入完全平等.劳伦茨曲线为折线OKL 时，表示收入完全不平等.记区域A 为不平等区域，a 表示其面积，S 为OKL △的面积，将Gini aS=称为基尼系数.对于下列说法：①Gini 越小，则国民分配越公平；②设劳伦茨曲线对应的函数为()y f x =，则对(0,1)x ∀∈，均有()1f x x >； ③若某国家某年的劳伦茨曲线近似为2([0,1])y x x =∈，则1Gini 4=； ④若某国家某年的劳伦茨曲线近似为3([0,1])y x x =∈，则1Gini 2=. 其中正确的是：（） A.①④B.②③C.①③④D.①②④ 9.圆锥的母线长为2，其侧面展开图的中心角为θ弧度，过圆锥顶点的截面中，面积的最大值为2，则θ的取值范围是（）A. ),2πB. π⎡⎤⎣⎦C.}D. ,2π⎫⎪⎪⎣⎭10.已知α，β是函数1()sin cos 3f x x x =+-在[0,2)π上的两个零点，则cos()αβ-=（） A.1-B.89-C.2-D.011.椭圆与双曲线共焦点1F 、2F ，它们的交点P 对两公共焦点1F 、2F 的张角为122F PF θ∠=，椭圆与双曲线的离心率分别为1e 、2e ，则（）A.222212cos sin 1e e θθ+= B. 222212sin cos 1e e θθ+=C. 2212221cos sin e e θθ+= D. 2212221sin cos e e θθ+= 12.设函数g (x )=e x +(1−√e)x −a （a ∈R ，e 为自然对数的底数）.定义在R 上的函数f (x )满足f (−x )+f (x )=x 2，且当x ≤0时，f′(x )<x .若存在x 0∈{x |f (x )+12≥f (1−x )+x }，且x 0为函数y =g (x )−x 的一个零点，则实数a 的取值范围为( ) A. (√e2,+∞) B. (√e,+∞) C. [√e,+∞) D. [√e2,+∞) 第II 卷（非选择题）二、填空题（题型注释）13.已知x ，y 满足{y ≥0x +y ≤2y ≥0，则z=2x+y 的最大值为__________．14.用1、2、3、4、5、6六个数字组成的没有重复数字的六位数，要求任何相邻两个数字的奇偶性不同，且1和2相邻，这样的六位数的个数是____________。

黑龙江省大庆市实验中学实验二部2024-2025学年高三上学期期中考试数学试卷

黑龙江省大庆市实验中学实验二部2024-2025学年高三上学期期中考试数学试卷一、单选题1．已知1i1i-=+z ，则z 的共轭复数z 的虚部为（）A ．1B ．iC ．0D ．1-2．设向量()1,a x x =+ ，(),2b x =，则（）A ．“3x =-”是“a b ⊥”的必要条件B ．“3x =-”是“a b ∥”的必要条件C ．“0x =”是“a b ⊥”的充分条件D ．“1x =-”是“a b ∥”的充要条件3．已知某圆锥的高为1，其侧面展开图为半圆，则该圆锥底面圆的半径为（）AB C D 4．实验中学举行知识竞赛，其中5人的得分为：88，80，90，72，96，则这5人成绩的上四分位数是（）A ．90B ．72C ．88D ．805．已知函数(1)y f x =+与()y g x =的定义域均为R ，且它们的图象关于1x =对称，若奇函数()g x 满足()(2)g x g x =-，下列关于函数()f x 的性质说法不一定正确的有（）A ．()f x 关于2x =对称B ．()f x 关于点(4,0)对称C ．4T =是()f x 的一个周期D ．(2027)0f =6．某正六棱台的高为2，上下底面边长分别为2，4，其顶点都在同一球面上，该球的体积为（）A B C ．80πD ．160π7．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若nn S b n=，则称数列{}n b 是数列{}n a 的“均值数列”.已知数列{}n b 是数列{}n a 的“均值数列”，且21232482n n b b b b n n ++++=+ ，则下列结论正确的是（）A ．设数列{}n a 的前n 项积为n T ，则对任意*n ∈N ，都有1n T <B ．设数列{}n a 的前n 项积为n T ，则n T 既有最大值，也有最小值C ．数列{}n S 中没有最大项D ．若对任意1n T <，2504n m m S --≥恒成立，则94m ≥8．勒洛三角形，也称圆弧三角形，是一种特殊三角形，在建筑、工业上应用广泛.如图所示，分别以正三角形ABC 的顶点为圆心，以三角形ABC 边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形即为勒洛三角形.已知正三角形ABC 边长为60，点D ，E 分别为线段AB ，AC 的中点，点P 为圆弧 AB上的一动点，则PA PB PC PD PE ++++的最小值为（）A ．60-B ．300-C ．300-D ．60-二、多选题9．已知ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，则下列说法正确的是().A ．若sin sin AB >，则A B>B ．若222a b c +>，则ABC V 为锐角三角形C ．若cos cos a A b B =，则ABC V 为等腰三角形D ．若2b =，π3A =，的三角形有两解，则a 的取值范围为)10．设等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项积为n T ，且满足条件1202220231,1a a a >⋅>，20222023(1)(1)0a a -⋅-<则下列选项正确的是（）A ．01q <<B ．2022202410a a ⋅->C ．2023T 的值是n T 中最大的D ．使1n T >成立的最大自然数n 等于404411．如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，M ，N ，P 分别是1AA ，1CC ，11C D 的中点，Q 是线段11D A 上的动点（不包含端点），则（）A ．存在点Q ，使B ，N ，P ，Q 四点共面B ．存在点Q ，使//PQ 平面BMNC ．过Q 且与BN 垂直的平面截正方体1111ABCD A B C D -所得截面面积取值范围为(0,D ．点H 是四边形11AA B B 内的动点，且直线PH 与直线AD 夹角为π4，则点H 的轨迹长度为2π3三、填空题12．已知点()1,0A ，点()3,1B -，向量(),4m k = ，若AB与m 的夹角为锐角，则实数k 的取值范围是.13．如图，OPQ 是以O 为圆心，半径为1，圆心角为π3的扇形，C 是扇形弧上的动点，AB在线段OP 上，ABCD 是扇形的内接矩形，则3AB AD +的最大值为.14．已知1a >，对于两点()11,P x y ，()22,Q x y 称PQ d =()11,P x y ，()22,Q x y 间的“镜像距离”，点()11,P x y ，()22,Q x y 都在曲线e ax y =上，且PQ d 的最小值是e，则a 的值为.四、解答题15．ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，()sin sin ,m C B b a =--，(),sin n c b A =+ ，且0m n ⋅=.(1)求角C 的值：(2)若ABC 为锐角三角形，且1c =，求ABC V 周长的取值范围.16．已知数列{}n a 的首项112a =，且满足121n n n a a a +=+.(1)证明：数列11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为等比数列；(2)若12311112024na a a a ++++< ，求满足条件的最大整数n .17．如图在斜三棱柱111ABC A B C -中，3AB AC ==，160B BC ∠=︒，12BB BC ==，平面11BCC B ⊥平面ABC ，E 是棱11B C 上一点，D ，F 分别是AC ，AB 的中点.(1)当1112B C B E =，证明：1B F ∥平面BED ；(2)判断当111B C B E的值为多少时，锐二面角D BE C --的余弦值为3232318．函数()()e xf x x m =+，m 为实数.设()a y f x =是函数()f x 在点()(),a f a 处的切线.()g x 为函数()()()a h x f x f x =-的导函数.(1)求()g a 和()h a 的值；(2)求()g x 的单调性；(3)若对任意x a ≠时，总有()()0a f x f x x a->-，则称实数a 为函数()f x 的“A 类值”，求函数()f x的所有“A类值”.19．在平面直角坐标系xOy中有两个定点()3,0A-，()3,0B，已知动点M在平面xOy中且M到A，B两点的斜率乘积为23-，点D为定点()1,0-(1)求动点M的轨迹方程(2)如图，在空间中有一点C在平面xOy上方，满足CA⊥平面xOy，且4CD=，探究直线CD与CM的夹角是否为定值？若是定值，求出夹角角度，若不是定值，说明理由. (3)在平面xOy上过点(0,6T做直线l，交点M的轨迹于P，Q两点，设Q点关于y轴对称的点为H，连接HP，求当点C到直线HP距离最大时，直线HP与平面ABC夹角的正切值.。

2020年黑龙江省大庆实验中学高考数学综合训练试卷(理科)(四) (解析版)

2020年黑龙江省大庆实验中学高考数学综合训练试卷(理科)(四)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知i是虚数单位，则复数10i1−i=()A. −4+2iB. 4−2iC. −5−5iD. −5+5i2.已知集合A={0,1，2，3}，B={x|2x2−9x+9≤0}，则A∩B=()A. {0,1}B. {1,2}C. {2,3}D. {0,1，2}3.“x=1”是“x2−2x+1=0”的()A. 充要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件4.已知单位向量a⃗，b⃗ 满足：|a⃗+2b⃗ |=√3，则：|a⃗−2b⃗ |=()A. √2B. √5C. √3D. √75.已知tan(α+5π12)=2，则tan(α+π6)的值为()A. 13B. 1C. 2D. 36.函数f(x)=x2|e x−1|的图象大致是()A. B.C. D.7.中国铁路总公司相关负责人表示，到2018年底，全国铁路营业里程达到13.1万公里，其中高铁营业里程2.9万公里，超过世界高铁总里程的三分之二，如图是2014年到2018年铁路和高铁运营里程(单位：万公里)的折线图，以下结论不正确的是()A. 每相邻两年相比较，2014年到2015年铁路运营里程增加最显著B. 从2014年到2018年这5年，高铁运营里程与年价正相关C. 2018年高铁运营里程比2014年高铁运营里程增长80%以上D. 从2014年到2018年这5年，高铁运营里程数依次成等差数列8. 如图，正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，M 是棱DD 1的中点，则过M 且与直线AB和B 1C 1都垂直的直线有( )A. 1条B. 2条C. 3条D. 无数条 9. 已知函数f (x )=sin(ωx +π6)(ω>0)在区间[−π4,2π3]上单调递增，则ω的取值范围为( ) A. (0,83]B. (0,12]C. [12,83]D. [38,2] 10. 如图，双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1(−c,0)，F 2(c,0)，A 为双曲线C 的右支上一点，且|AF 1|=2c ，AF 1与y 轴交于点B ，若F 2B 是∠AF 2F 1的平分线，则双曲线C 的离心率e =( )A. √5−1B. 1+√52C. 3+√52D. √5 11. 设a =log 1312，b =log 1323，c =log 343，则a,b,c 的大小关系为( ) A. a >b >cB. b >c >aC. c >a >bD. c >b >a 12. f(x)={ln |x | , x ≠00 , x =0，则方程[f(x)]2−f(x)=0的不相等实根个数为( ) A. 3 B. 5 C. 6 D. 4二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. (√x 3−13√x 3)10的展开式中含x 2项的系数为______． 14. 已知公差不为零的等差数列{a n }中，a 1=1，且a 2，a 5，a 14成等比数列，{a n }的前n 项和为S n ，b n =(−1)n S n .则数列{b n }的前2n 项和T 2n =______．15. 已知直线y =x +a 与圆x 2+y 2=4交于A 、B 两点，且OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，其中O 为坐标原点，则正实数a 的值为______ ．16. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边为a ，b ，c ，已知2bcosA =2c −√3a ，则∠B =___ ．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 若数列{a n }满足a 1=1，a n+1=3a n (n ∈N ∗).(1)求{a n }的通项公式；(2)等差数列{b n }的各项均为正数，其前n 项和为T n ，且T 3=15，又a 1+b 1，a 2+b 2，a 3+b 3成等比数列，求T n ．18. 已知四棱锥P −ABCD 的三视图如图所示，E 是侧棱PC 上的动点．(1)求证：BD ⊥AE;(2)若点E为PC的中点，求二面角D−AE−B的大小．19.某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20,25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率．(1)求六月份这种酸奶一天的需求量X(单位：瓶)的分布列；(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位：元)，当六月份这种酸奶一天的进货量n(单位：瓶)为多少时，Y的数学期望达到最大值？20. 已知函数f(x)=ax +ln x +1．(1)讨论函数f(x)零点的个数；(2)对任意的x >0，f(x)⩽xe x 恒成立，求实数a 的取值范围．21. 已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右顶点分别为A ，B ，且长轴长为8，T 为椭圆上任意一点，直线TA ，TB 的斜率之积为−34．(1)求椭圆C 的方程；(2)设O 为坐标原点，过点M(0,2)的动直线与椭圆C 交于P ，Q 两点，求OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·MQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围．22. 在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =1+cosαy =sinα (α为参数).以坐标原点O 为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ=1，直线l 的极坐标方程为θ=π4(ρ∈R)．(1)求：①曲线C1的普通方程；②曲线C2与直线l交点的直角坐标；)，点N是曲线C1上的点，求△MON面积的最大值．(2)设点M的极坐标为(6,π323.已知函数f(x)=|x|+|x−4|．(1)若f(x)≥|m+2|恒成立，求实数m的最大值；(2)记(1)中m的最大值为M，正实数a，b满足a2+b2=M，证明：a+b≥2ab．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：解：10i1−i =10i(1+i)(1−i)(1+i)=−10+10i2=−5+5i．故选：D．直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题．2.答案：C解析：解：B={x|32≤x≤3}；∴A∩B={2,3}．故选：C．可求出集合B，然后进行交集的运算即可．考查列举法、描述法的定义，一元二次不等式的解法，以及交集的运算．3.答案：A解析：∵x2−2x+1=0有两个相等的根x=1，∴“x=1”是“x2−2x+1=0”的充要条件．4.答案：D解析：解：单位向量a⃗，b⃗ 满足：|a⃗+2b⃗ |=√3，可得(a⃗+2b⃗ )2=3，化为a⃗2+4a⃗⋅b⃗ +4b⃗ 2=3，即为1+4a⃗⋅b⃗ +4=3，可得a⃗⋅b⃗ =−12，则|a⃗−2b⃗ |=√(a⃗−2b⃗ )2=√a⃗2−4a⃗⋅b⃗ +4b⃗ 2=√1+4×12+4=√7．故选：D．。

高2018级2020年10月黑龙江省大庆中学高三上学期期中考试理科数学试题及参考答案

2021届黑龙江省大庆中学高三上学期期中考试高三年级理科数学试题考试时间：120分钟；试卷总分：150分注意事项：1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2.请将答案正确填写在答题卡上一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求。

.1已知集合{|(4)0}A x N x x =∈-≤,{|22}B x x =-≤≤,则=A B （ ).A {|02}x x ≤≤ .B {|02}x x << .C {012}，， .D {12}， .2设复数()12i z i -=,在复平面内z 对应的点位于（ ).A 第一象限 .B 第二象限 .C 第三象限 .D 第四象限.3给出如下四个命题：①若“p 且q ”为假命题,则p ,q 均为假命题②命题“若a b >,则221a b >-”的否命题为“若a b ≤,则221a b ≤-” ③命题“x R ∃∈,211x +<”的否定是“x R ∀∈,211x +≥” ④在ABC 中,“A B >”是“sin sin A B >”的充要条件其中错误的命题的是（ ) .A ①.B ② .C ③ .D ④.4己知-a =（2，1）,,4b x =（）,且a b ⊥,则=a b +（ ) .A 1 .B 3 .C .D 5.5若x ,y 满足28390,0x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎨⎪≥≥⎩,则2z x y =+的最大值为（ ) .A 1 .B 2 .C 7 .D 8.6《张丘建算经》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题：“今有女善织,日增功速,初日织三尺,末日织五尺,今共织四十四尺,问织几日？”其中“日增功速”的具体含义是每天比前一天多织同样多的布.则此问题中,该女每天比前一天多织布的尺数为（ ) .A 110 .B 15 .C 14 .D 25.7某四棱锥的三视图如图所示,在此四棱锥的侧面中,直角三角形的个数为（ ).A 1 .B 2 .C 3 .D 4.8已知sin 222cos 2,a a =-则tan a =（ ).A 2.B 0 .C 12.D 102或 .9若直线220(0,0)ax by a b -+=>>被圆222410x y x y ++-+=截得弦长为4,则41a b+的最小值是（ ).A 9.B 4 .C 12.D 14.10设双曲线C ：2221y x b-=（a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,P 是C 上一点,且F 1P ⊥F 2P .若△PF 1F 2的面积为4,则离心率e =（ ).A 3 .B 2 .C 5 .D 10.11设函数()ln |21|ln |21|f x x x =++-,则f (x )（ ).A 是偶函数,且在1(,)2+∞单调递增 .B 是奇函数,且在11(,)22-单调递减.C 是偶函数,且在1(,)2-∞-单调递增 .D 是奇函数,且在1(,)2-∞-单调递增12.已知函数()f x 的导函数为()f x ',任意x ∈R 均有()()e xf x f x '-=,且()10f =,若函数()()g x f x t =-在[)1,x ∈-+∞上有两个零点,则实数t 的取值范围是（ ).A ()1,0-.B 21,e ⎛⎫--⎪⎝⎭ .C [)1,0- .D 21,e ⎛⎤-- ⎥⎝⎦二、填空题：本大题共4小题,每小题5分。

高三试卷数学(理)丨黑龙江省大庆实验中学2020届高三综合训练(三)数学(理)试卷及参考答案

大庆实验中学2020届高三综合训练（三）数学试卷参考答案1．已知集合{|A x y ==，{}2|76<0B x x x =-+，则()R C A B ⋂=（）A ．{}|1<<3x x B ．{}|1<<6x x C ．{}|13x x ≤≤D ．{}|16x x ≤≤【答案】A 【详解】解：{|A x y ==={}|30x x -≥={}|3x x ≥，即{}|3R C A x x =<，又{}2|76<0B x x x =-+={}|(1)(6)<0x x x --={}|16x x <<，即()R C A B ⋂={}|1<<3x x ，故选A.2．i 是虚数单位，复数z =，则（）A ．1322z -=B ．34z =C ．3322z i =-D ．3344z i =+【答案】D 【详解】3333444z i +===+1122z -=，3||2z =故选：D 3．下列命题中是真命题的是（）①“1x >”是“21x ”的充分不必要条件；②命题“0x ∀>，都有sin 1x ”的否定是“00x ∃>，使得0sin 1x >”；③数据128,,,x x x 的平均数为6，则数据12825,25,,25x x x --- 的平均数是6；④当3a =-时，方程组232106x y a x y a-+=⎧⎨-=⎩有无穷多解.A ．①②④B ．③④C ．②③D ．①③④【答案】A【详解】①1x >，则有21x ≥，但21x ≥，则1x >或1x <-，所以“1x >”是“21x ≥”的充分不必要条件，所以①正确；②命题“0x ∀>，都有sin 1x ≤”的否定是“00x ∃>，使得0sin 1x >”，所以②正确；③由()6E X =，可得(25)2()52657E X E X -=-=⨯-=，故③错误；④当3a =-时，26a x y a -=即为963x y -=-，即3210x y -+=，所以方程组232106x y a x y a -+=⎧⎨-=⎩有无穷多解，④正确.故选：A.4．二项式261(2x x-的展开式中3x 的系数为（）A ．52-B ．52C ．1516D ．316-【答案】A 【详解】通项为()()6212316611122rrrr r r rr T Cx C x x --+⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭令1233r -=，则3r =，()333334615122T C x x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭故选：A5．设不等式组00x y x +≥⎧⎪⎨-≤⎪⎩表示的平面区域为Ω，若从圆C ：224x y +=的内部随机选取一点P ，则P 取自Ω的概率为（）A ．524B ．724C ．1124D ．1724【答案】B【详解】作出Ω中在圆C 内部的区域，如图所示，因为直线0x y +=，0x -=的倾斜角分别为34π，6π，所以由图可得P 取自Ω的概率为3746224πππ-=.故选：B 6．马拉松是一项历史悠久的长跑运动，全程约42千米.跑马拉松对运动员的身体素质和耐力是极大的考验，专业的马拉松运动员经过长期的训练，跑步时的步幅（一步的距离）一般略低于自身的身高，若某运动员跑完一次全程马拉松用了2.5小时，则他平均每分钟的步数可能为（）A ．60B ．120C ．180D ．240【答案】C 【详解】解：42千米＝42000米，2.5小时＝150分钟，故运动员每分钟跑42000150280÷=米；若运动员每分钟跑120步，280120 2.33÷=，则运动员的身高超过2.33米不太可能；若运动员每分钟跑240步，280240 1.17÷=，则运动员的身高稍超过1.17米不太可能；若运动员每分钟跑180步，280180 1.56÷=，则运动员的身高超过1.56米，基本符合实际，故选：C .7．已知m ，n 是两条不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，则下列命题中错误的是（）A ．若m //α，α//β，则m //β或m β⊂B ．若m //n ，m //α，n α⊄，则n //αC ．若m n ⊥，m α⊥，n β⊥，则αβ⊥D ．若m n ⊥，m α⊥，则n //α【答案】D【详解】选项A ：若m //α，α//β，根据线面平行和面面平行的性质，有m //β或m β⊂，故A 正确；选项B ：若m //n ，m //α，n α⊄，由线面平行的判定定理，有n //α，故B 正确；选项C ：若m n ⊥，m α⊥，n β⊥，故α，β所成的二面角为090，则αβ⊥，故C 正确；选项D ，若m n ⊥，m α⊥，有可能n ⊂α，故D 不正确.故选：D 8．设函数1()ln1xf x x x+=-，则函数的图像可能为（）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【详解】1()ln1xf x x x+=-定义域为：(1,1)-11()lnln ()11x xf x x x f x x x-+-=-==+-，函数为偶函数，排除,A C 11()22ln 30f =>，排除D 故选B 9．框图与程序是解决数学问题的重要手段，实际生活中的一些问题在抽象为数学模型之后，可以制作框图，编写程序，得到解决，例如，为了计算一组数据的方差，设计了如图所示的程序框图，其中输入115x =，216x =，318x =，420x =，522x =，624x =，725x =，则图中空白框中应填入（）A ．6i >，7S S =B ．6i 7SS =C ．6i >，7S S =D ．6i ，7S S=【答案】A 【详解】根据题意为了计算7个数的方差，即输出的()()()22212712020207S x x x ⎡⎤=-+-+⋯+-⎣⎦，观察程序框图可知，应填入6i >，7SS =，故选：A.10．已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右两个焦点分别为1F ，2F ，若存在点P 满足1212::4:6:5PF PF F F =，则该双曲线的离心率为（）A ．2B ．52C ．53D ．5【答案】B【详解】122155642F F e PF PF ===--.选B.11．已知抛物线C ：24x y =的焦点为F ，过点F 的直线l 交抛物线C 于A ，B 两点，其中点A 在第一象限，若弦AB 的长为254，则AF BF =（）A ．2或12B ．3或13C ．4或14D ．5或15【答案】C 【详解】设直线的倾斜角为θ，则222425cos cos 4p AB θθ===，所以216cos 25θ=，2219tan 1cos 16θθ=-=，即3tan 4θ=±，所以直线l 的方程为314y x =±+.当直线l 的方程为314y x =+，联立24314x yy x ⎧=⎪⎨=+⎪⎩，解得11x =-和24x =，所以()40401AF BF -==--；同理，当直线l 的方程为314y x =-+.14AF BF =，综上，4AF BF =或14.选C.12．已知四棱锥P ABCD -的四条侧棱都相等，底面是边长为2的正方形，若其五个顶点都在一个表面积为814π的球面上，则PA 与底面ABCD 所成角的正弦值为（）A ．23B ．23或3C．3D ．13或3【答案】D【详解】因为P ABCD -的四条侧棱都相等，底面是边长为2的正方形，则点P 在面ABCD 内的射影落在正方形ABCD 的中心，连接,AC BD 交于点E ，设球心为O ,连接,PO BO ,则E 在直线PO 上，PO BO R ==，由28144R ππ=,解得94R =，又2BDBE ==所以74OE==,所以971442PE R OE=-=-=或97444PE R OE=+=+=，当12PE=时，32PA==,则PA与底面ABCD所成角的正弦值为112332PEAP==,当4PE=时，PA===则PA与底面ABCD所成角的正弦值为3PEAP==,即PA与底面ABCD所成角的正弦值为13或3，故选D.13．已知平面向量a与b的夹角为3π，1)a=-，1b||=，则|2|a b-=________.【详解】由1)a=-可得||2a==，则||||cos13a b a bπ⋅=⋅=，所以|2|a b-===故答案为:14．已知各项均为正数的等比数列{}n a的前n项积为n T，484a a=，1122log3bT=（0b>且1b≠），则b=__________.【答案】由于0na>，24864a a a⋅==，所以62a=，则11111162T a==，∴1122log11log23b bT=⨯=，2log23b=，233b==故答案为：15．某三棱锥的三视图如图所示，且图中的三个三角形均为直角三角形，则x y+的最大值为________.【答案】16【详解】由三视图之间的关系可知2210802x y=--,整理得22128x y+=,故22222()2()2562xx y x y x yy=++=++≤,解得16x y+,当且仅当8x y==时等号成立,故答案为:1616．已知曲线1C ：()2xf x e x =--，曲线2C ：()cosg x ax x =+，（1）若曲线1C 在0x =处的切线与2C 在2x π=处的切线平行，则实数a =________；（2）若曲线1C 上任意一点处的切线为1l ，总存在2C 上一点处的切线2l ，使得12l l ⊥，则实数a 的取值范围为________.【答案】－21,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【详解】(1)()2x f x e '=--,则曲线1C 在0x =处的切线的斜率1(0)3k f '==-,2()sin ,g x a x C '=-在2x π=处的切线的斜率212k g a π⎛⎫'==- ⎪⎝⎭,依题意有13a -=-,即2a =-;(2)曲线1C 上任意一点处的切线的斜率1()2xk f x e '==--,则与1l 垂直的直线的斜率为110,22x e ⎛⎫∈ ⎪+⎝⎭,而过2C 上一点处的切线的斜率[]2()sin 1,1k g x a x a a '==-∈-+,依题意必有10112a a -≤⎧⎪⎨+≥⎪⎩,解得112a -≤≤,故答案为:12;,12⎡⎤--⎢⎥⎣⎦.17．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 且()()()sin sin sin c a C A a b B -+=+，2sin sin cos 2CA B =，（1）求C ；（2）若ABC的面积为c ．解：（1）()()()sin sin sin c a C A a b B -+=+ ，由正弦定理得:()()()c a c a a b b -+=+，∴222a b c ab +-=-，又由余弦定理得：222cos 2a b c C ab+-=，1cos 22ab C ab -∴==-，即：1cos 2C =-，∵0C π<<，∴23C π=.（2）因为21cos sin sin cos 22C C A B +==，所以()2sin cos 1cos 1cos A B C πA B =-=+-+⎡⎤⎣⎦()1cos 1cos cos sin sin A B A B A B=-+=-+化简得()cos 1A B -=，∵23C π=，则A ，0,3B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴33ππA B -<-<，∴0A B -=，得：A B =，因为ABC的面积为，所以212sin 234πS ab a ===，得216a =，∴4a b ==由余弦定理知：2222212cos 44244482c a b ab C ⎛⎫=+-=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭，∴c =18．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形//AB CD ，AB AD ⊥，PA ⊥平面ABCD ，E 是棱PC 上的一点.（1）证明：平面ADE ⊥平面PAB ；（2）若PE EC λ=，F 是PB的中点，AD =，22AB AP CD ===，且二面角F AD E --的正弦值为10，求λ的值.【详解】(1)因为PA ⊥平面ABCD ,AD ⊂平面ABCD ,所以PA AD ⊥,又AB AD ⊥,PA AB A = ,所以AD ⊥平面PAB ,又AD ⊂平面ADE ,所以平面ADE ⊥平面PAB ;(2)以A 为原点,AD ,AB ,AP 分别为x ,y ,z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系:则(0,0,0)A ,(0,2,0)B ,(0,0,2)P,C,D ,(0,1,1)F ,由(1)知AD ⊥平面PAB ,故AD PB ⊥,又F 是PB 的中点,AB AP =,∴PB AF ⊥,且AF A AD = ,∴PB ⊥平面ADF ,∴平面ADF 的一个法向量为(0,2,2)PB =-,∵PE EC λ=,∴2,,1111PE PC λλλλλλλ⎛⎫-== ⎪ ⎪++++⎝⎭ ,∴2,,111AE AP PE λλλλ⎛⎫=+= ⎪ ⎪+++⎝⎭,设平面ADE 的法向量为(,,)n x y z = ,则0n AD ⋅=且0n AE ⋅=r uu u r ,0=且20111x y zλλλλλ++=+++,∴0x =,令1y =,则2z λ=-,∴平面ADE 的一个法向量0,1,2n λ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ,∵二面角F AD E --的正弦值为10,∴()cos ,10PB n = ,31010=,∴1λ=或4.19．甲、乙两位同学参加某个知识答题游戏节目，答题分两轮，第一轮为“选题答题环节”第二轮为“轮流坐庄答题环节”.首先进行第一轮“选题答题环节”，答题规则是：每位同学各自从备选的5道不同题中随机抽出3道题进行答题，答对一题加10分，答错一题（不答视为答错）减5分，已知甲能答对备选5道题中的每道题的概率都是23，乙恰能答对备选5道题中的其中3道题；第一轮答题完毕后进行第二轮“轮流坐庄答题环节”，答题规则是：先确定一人坐庄答题，若答对，继续答下一题…，直到答错，则换人（换庄）答下一题…以此类推.例如若甲首先坐庄，则他答第1题，若答对继续答第2题，如果第2题也答对，继续答第3题，直到他答错则换成乙坐庄开始答下一题，…直到乙答错再换成甲坐庄答题，依次类推两人共计答完20道题游戏结束，假设由第一轮答题得分期望高的同学在第二轮环节中最先开始作答，且记第n 道题也由该同学（最先答题的同学）作答的概率为n P （120n ≤≤），其中11P =，已知供甲乙回答的20道题中，甲，乙两人答对其中每道题的概率都是13，如果某位同学有机会答第n 道题且回答正确则该同学加10分，答错（不答视为答错）则减5分，甲乙答题相互独立；两轮答题完毕总得分高者胜出.回答下列问题（1）请预测第二轮最先开始作答的是谁？并说明理由（2）①求第二轮答题中2P ，3P ；②求证12n P⎧-⎫⎨⎬⎩⎭为等比数列，并求n P （120n ≤≤）的表达式.【详解】(1)设甲选出的3道题答对的道数为ξ,则23,3~B ξ⎛⎫ ⎪⎝⎭,设甲第一轮答题的总得分为x ,则105(3)1515x ξξξ=--=-,所以2151515315153Ex E ξ=-=⨯⨯-=;(或法二:设甲的第一轮答题的总得分为x ,则x 的所有可能取值为30,15,0,-15,且33328(30)327P x C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭,2231212(15)3327P x C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭,213126(0)3327P x C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,30311(15)327P x C ⎛⎫=-== ⎪⎝⎭,故得分为x 的分布列为:x30150-15812130151515272727Ex =⨯+⨯-⨯=;设乙的第一轮得分为y ,则y 的所有可能取值为30,15,0,则33351(30)10C P y C ===,2132356(15)10C C P y C ===,1232353(0)10C C P y C ===,故y 的分布列为:x30150P110610310故163015121010Ey =⨯+⨯=,∵Ex Ey >,所以第二轮最先开始答题的是甲.(2)①依题意知11P =,213P =,31122533339P =⨯+⨯=,②依题意有()111121213333n n n n P P P P ---=⨯+-⨯=-+(2n ≥),∴1111232n n P P -⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭,(2n ≥),又11122P -=,所以12n P ⎧-⎫⎨⎬⎩⎭是以12为首项,13-为公比的等比数列,∴1111223n n P -⎛⎫-=⨯- ⎪⎝⎭,∴1111223n n P -⎛⎫=+⨯- ⎪⎝⎭(120n ≤≤).20．如图，设F 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左焦点，直线：2a x c=-与x轴交于P 点，AB 为椭圆的长轴，已知8AB=，且2PA AF =，过P 点作斜率为k 直线l 与椭圆相交于不同的两点M N 、，（1）当14k =时，线段MN 的中点为H ，过H 作HG MN ⊥交x 轴于点G ，求GF ；（2）求MNF ∆面积的最大值.【详解】（1）∵8AB =,∴4a =，又∵2PA AF =，即()2222310aa a c e e c -=-⇒-+=∴12e =∴2c =,22212b a c =-=∴椭圆的标准方程为2211612x y +=点P 的坐标为()8,0-，点F 的坐标为()2,0-直线l 的方程为()184y x =+即48x y =-联立224811612x y x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩可得21348360y y -+=，设()()1122,,M x y N x y ，()00,H x y 则124813y y +=，123613y y =所以12024213y y y +==，0024848481313x y =-=⨯-=-直线HG 的斜率为4-，直线HG 的方程为24841313y x ⎛⎫-=-+ ⎪⎝⎭令0y =，解得213x =-即2,013G ⎛⎫- ⎪⎝⎭所以22421313G F GF x x ⎛⎫=-=---= ⎪⎝⎭（2）直线l 的方程为()8y k x =+，当0k =时，三角形不存在当0k ≠时，设1m k=，直线l 的方程为8x my =-联立22811612x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩可得()2234481440m y my +-+=，设()()1122,,M x y N x y ()()()2224843414457640m m m ∆=--+⨯=->，解得2m >或2m <-1224834m y y m +=+，12214434y y m =+222248144143434m MN m m m ⎛⎫=+⋅-⨯ ⎪++⎝⎭222241434m m m +⋅-=+点F 到直线l 的距离2228611d m m -==++2211223434MNFm m m S MN d m m ∆=⋅=⨯=++7216=≤=当且仅当=m =时（此时适合于△＞0的条件）取等号,所以当114k m ==±时，直线l为()814y x =±+时，MNF ∆面积取得最大值为21．已知函数()()1ln 1f x x x =++，()ln 1x g x e x -=++（1）讨论()f x 的单调性；（2）设()()()h x f x g x =-，若()h x 的最小值为M ，证明：2211M e e--<<-.【详解】(1)()()1ln 1ln ln 1f x x x x x x =++=++()1ln 1f x x x+'=+，设()()221111ln 1,x m x x m x x x x x-=++=-='()01m x x >'⇒>；()001m x x <⇒<<'所以()m x 在()0,1上单调递减，在()1,+¥上单调递增()()min 120m x m ==>，即()0f x ¢>所以()f x 在()0,+¥上单调递增(2)()()()()1ln ln ln x xh x f x g x x x e x x x e --=-=+--=-()ln 1x h x e x -=++'，设()ln 1x F x e x -=++()11x x x e x F x e x xe='-=-+，设()x G x e x =-()10x G x e ='->，所以()G x 在()0,+¥上单调递增()()010G x G >=>，即()0F x '>，所以()F x 在()0,+¥上单调递增()()12120,10e e F e e F e e ------=>=-<所以()F x 在()0,+¥上恰有一个零点()210,x e e --∈且()00ln 10*x e x -++=()h x 在()00,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增()00000001ln ln ln 1x M h x x x x x x e ==-=++，()210,x e e --∈由（1）知()0f x 在()0,+¥上单调递增所以()()()2102211f e f x f e e e ----=<<=-所以2211M e e --<<-22．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l的参数方程为1222x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为4πρθ⎛⎫=+⎪⎝⎭．（1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）设点()2,1P ，直线l 与曲线C 的交点为A 、B ，求PA PB PB PA+的值．【详解】解：（1）l 的参数方程消去参数，易得l 的普通方程为10x y --=，曲线C：()2cos sin 2πρθθθ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，即()22cos sin ρρθθ=+，∴22220x y x y +--=，所以曲线C 的直角坐标方程为：22220x y x y +--=.（2）l的参数方程22,21,2x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），设A 对应参数为1t ，B 对应参数为2t ，将l 的参数方程与22220x y x y +--=联立得：210t +-=，得：12t t +=，121t t ⋅=-，所以2212122112PA PBt t t t PB PAt t t t ++=+=()()2212121221222411t t t t t t -⨯-+-+====-即4PA PBPB PA +=.23．设a 、b 、c 均为正数，（Ⅰ）证明：222a b c ab bc ca ++≥++；（Ⅱ）若1ab bc ca ++=，证明a b c ++≥.【详解】（Ⅰ）因为a ，b ，c 均为正数，由重要不等式可得222a b ab +，222b c bc +，222c a ca +，以上三式相加可得222222222a b b c c a ab bc ca +++++++，即222a b c ab bc ca ++++；（Ⅱ）因为1ab bc ca ++=，由（Ⅰ）可知2221a b c ++，故2222()222123a b c a b c ab bc ca ++=++++++=，所以a b c ++得证．。

黑龙江省大庆中学2020届高三数学上学期期中试题文

黑龙江省大庆中学2020届高三数学上学期期中试题文总分：150 时间：120分钟注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷。

第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B 铅笔涂在答题卡中相应的位置。

第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。

答案写在试卷上均无效，不予记分。

一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设i 是虚数单位,若复数,则复数z 的模为( )z =1+2i A. 1 B. C. D. 22352.设集合,集合,则等于A ={x|y =x ‒1}B ={x|2x ‒x 2>0}(∁R A)∩B A. B. C. D. (0,2)[1,2)(0,1)⌀3.设向量a ＝(－1，2)，b ＝(m ，1)，如果向量a ＋2b 与2a －b 平行，那么a 与b 的数量积等于( )A ．－ B ．－C ．D ．721232524.如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名工人某日的产量数据单位：件,若这两组数据的中位数相等,且平均值也相等,则x 和y 的值分别为A. 3,5B. 5,5C. 3,7D. 5,75.不等式成立的一个必要不充分条件是( )2x 2‒5x ‒3≥0A. B. 或 C. D.或x ≥0x <0x >2x <‒12x ≤‒12x ≥36.已知直线a ,b 和平面,下列四个说法α,,则；,,则a 与b 不平行；①a ∥αb ⊂αa ∥b ②a ∩α=P b ⊂α若,,则；,,则．③a ∥b b ⊥αa ⊥α④a ∥αb ∥αa ∥b 其中说法正确的是( )A. B. C. D. ①②②③③④①④7.等比数列的各项均为正数,且,则 {a n }a 5a 6+a 4a 7=18log 3a 1+log 3a 2+…+log 3a 10=( A. 12B. 10C. 8D.8.函数的部分图象如图所示,则( )y =Asin(ωx +φ)(A >0,|φ|<π,ω>0)A.B. y =2sin(2x ‒π6)y =2sin(2x ‒π3)C.D. y =2sin(x +π6)y =2sin(x +π3)9.若直线被圆截得弦长为4,则的最小x 2+y 2+2x ‒4y +1=04a +1b 值是A. 9B. 4C. D. 121410.若函数的导函数的图象如图所示,则的图象y =f(x)y =f'(x)y =f(x)可能( )A. B.C. D.11.已知双曲线C ：的左、右焦点分别为、若双曲线C 上存在一点P ,x 2a 2‒y 2b 2=1(a >0,b >0)F 1F 2.使得为等腰三角形,且,则双曲线的离心率为( )△PF 1F 2cos∠PF 1F 2=18A. B. C. 2D. 3433212.已知函数,若关于x 的方程恰有3个不同的实数解,f(x)=x +1e x +1[f(x)]2+mf(x)‒1+m =0则实数m 的取值范围是( )A. B.(‒∞,2)∪(2,+∞)(1‒1e ,+∞)C.D. (1‒1e ,1)(1,e)二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若x ,y 满足约束条件,则的最大值为______．{x ‒y +1≥0x ‒2y ≤0x +2y ‒2≤0z =x +y 14.函数的最大值是f(x)=sin 2x +3cosx ‒34(x ∈[0,π2])______．15.如图,在正方体中,E ,F 分别是,DC 的ABCD ‒A 1B 1C 1D 1DD 1中点,则异面直线与EF 所成角的大小为_______．AD 116.如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形,此图由三个半圆构成,三个半圆的直径分别为直角三角形ABC 的斜边BC 、直角边AB 、直角边AC ,的三边所围成的区域若,过点A 作△ABC BC =10于D ,当面积最大时,黑色区域的面积为______．AD ⊥BC △ABD 三、解答题（本大题共7小题，共70.0分）（一）必考题：共60分17.如图,已知面ABCD ,四边形ABEF 为矩形,四边形AF ⊥ABCD 为直角梯形,,,AB ∥CD ,．AD =AF =CD =1AB =2求证：面BCE ；(1)AC ⊥求三棱锥的体积．(2)E ‒BCF 18.的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知,,．△ABC a =27b =2求c ；(1)设D 为BC 边上一点,且,求的面积．(2)AD ⊥AC 19.某高校共有学生15000人,其中男生10500人,女生4500人,为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况,采用分层抽样的方法,收集300名学生每周平均体育运动时间的样本数据单位：小时．Ⅰ应收集多少位女生的样本数据？Ⅱ根据这300个样本数据,得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图如图所示,其中样本数据的分组区间为：,,,,,,[0,2](2,4](4,6](6,8](8,10](10,12]估计该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率；Ⅲ在样本数据中,有60位女生的每周平均体育运动时间超过4小时,请完成每周平均体育运动时间与性别列联表,并判断是否有的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”95% P(K 2≥k 0) 0.10 0.05 0.010 0.005k 02.7063.8416.6357.879附：．K 2=n(ad ‒bc )2(a +b)(c +d)(a +c)(b +d)20.已知,椭圆的离心率,F 是椭圆E 的右焦点,直线AF 的斜率A(0,‒2)E:x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)32为,O 为坐标原点．63求椭圆的方程；(1)设过点A 的动直线l 与椭圆E 相交于P ,Q 两点,当的面积最大时,求直线l 的方程．(2)ΔOPQ 21.已知函数是自然对数的底数．f(x)=e x‒x ‒1(e 求证：；(1)e x ≥x +1若不等式在上恒成立,求正数a 的取值范围．(2)f(x)>ax ‒1x ∈[12,2]（二）选考题：共10分，请考生在第22，23题中任选一题作答。

黑龙江省大庆实验中学2020届高三5月模拟测试理科数学试题(含答案)

大庆实验中学2020届高三综合训练（一）数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．1．已知集合M ＝{x |﹣1＜x ＜3}，N ＝{x |y ＝lg （x 2﹣1）}，则M ∩N ＝（） A ．{x |﹣1＜x ＜3}B ．{x |﹣1＜x ＜1}C ．{x |1＜x ＜3}D ．{x |﹣1＜x ≤1}2．已知复数z 满足z •（1+2i ）＝|3﹣4i |（i 为虚数单位），则在复平面内复数z 对应的点位于（） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．已知a ＝0.40.3，b ＝0.30.3，c ＝0.30.4，则（） A ．a ＞c ＞bB ．a ＞b ＞cC ．c ＞a ＞bD ．b ＞c ＞a4．现有甲、乙两台机床同时生产直径为40mm 的零件，各抽测10件进行测量，其结果如图，不通过计算从图中数据的变化不能反映和比较的数字特征是（） A ．极差 B ．方差 C ．平均数 D ．中位数 5．给出如下四个命题：①若“p 或q ”为假命题，则,p q 均为假命题；②命题“若2x ≥且3y ≥，则5x y +≥”的否命题为“若2x <且3y <，则5x y +<”； ③若,a b 是实数，则“2a >”是“24a >”的必要不充分条件； ④命题“若,x y =则sin sin x y =”的逆否命题为真命题.其中正确命题的个数是（） A ．3 B ．2 C ．1 D ．06．在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若b cos C ﹣c cos B ＝2c •cos C ，则角C 的取值范围为（） A ．B ．C ．D ．7．已知平面向量，，均为单位向量，若，则的最大值是（）A ．B ．3C ．D ．8．我国传统的房屋建筑中，常会出现一些形状不同的窗棂，窗棂上雕刻有各种花纹，构成种类繁多的精美图案．如图所示的窗棂图案，是将边长为2R 的正方形的内切圆六等分，分别以各等分点为圆心，以R 为半径画圆弧，在圆的内部构成的平面图形．若在正方形内随机取一点，则该点在窗棂图案上阴影内的概率为（） A ．B ．C ．D ．9．已知函数f （x ）是定义在R 上的奇函数，当x ＜0时，f （x ）＝2﹣|x +2|．若对任意的x ∈[﹣1，2]，f （x +a ）＞f （x ）成立，则实数a 的取值范围是（）A ．（0，2）B ．（0，2）∪（﹣∞，﹣6）C ．（﹣2，0）D ．（﹣2，0）∪（6，+∞）10．已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的左、右顶点分别为A，B，左焦点为F，P为C上一点，且PF⊥x 轴，过点A的直线l与线段PF交于点M（异于P，F），与y轴交于点N，直线MB与y轴交于点H，若（O为坐标原点），则C的离心率为（）A．2B．3C．4D．511．已知函数，在区间[0，π]上有且仅有2个零点，对于下列4个结论：①在区间（0，π）上存在x1，x2，满足f（x1）﹣f（x2）＝2；②f（x）在区间（0，π）有且仅有1个最大值点；③f（x）在区间上单调递增；④ω的取值范围是，其中所有正确结论的编号是（）A．①③B．①③④C．②③D．①④12．设函数恰有两个极值点，则实数t的取值范围是（）A．∪（1，+∞）B．∪[1，+∞）C．D．[1，+∞）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．二项式（﹣）5的展开式中x﹣2的系数是．14．在今年的疫情防控期间，某省派出5个医疗队去支援武汉市的4个重灾区，每个重灾区至少分配一个医疗队，则不同的分配方案共有种．（用数字填写答案）15．已知抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l，过点F且斜率为的直线交抛物线于点M（M在第一象限），MN ⊥l，垂足为N，直线NF交y轴于点D，则|MD|＝．16．在四面体ABCD中，CA＝CB，DA＝DB，AB＝6，CD＝8，AB⊂平面α，l⊥平面α，E，F分别为线段AD，BC的中点，当四面体以AB为轴旋转时，直线EF与直线l夹角的余弦值的取值范围是．三、解答题：本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17题第21题为必考题，考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答．17．（12分）已知S n是公差不为零的等差数列{a n}的前n项和，S3＝6，a3是a1与a9的等比中项．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设数列，数列{b n}的前2n项和为P2n，若，求正整数n的最小值．18.（12分）19．（12分）已知椭圆与抛物线D：y2＝﹣4x有共同的焦点F，且两曲线的公共点到F的距离是它到直线x＝﹣4（点F在此直线右侧）的距离的一半．（1）求椭圆C的方程；（2）设O为坐标原点，直线l过点F且与椭圆交于A，B两点，以OA，OB为邻边作平行四边形OAMB．是否存在直线l，使点M落在椭圆C或抛物线D上？若存在，求出点M坐标；若不存在，请说明理由．20．（12分）为丰富学生课外生活，某市组织了高中生钢笔书法比赛，比赛分两个阶段进行：第一阶段由评委给出所有参赛作品评分，并确定优胜者；第二阶段为附加赛，参赛人员由组委会按规则另行确定．数据统计员对第一阶段的分数进行了统计分析，这些分数X都在[70，100）内，在以组距为5画分数的频率分布直方图（设“”）时，发现Y满足，n∈N*，5n≤X＜5（n+1）．（1）试确定n的所有取值，并求k；（2）组委会确定：在第一阶段比赛中低于85分的参赛者无缘获奖也不能参加附加赛；分数在[95，100）的参赛者评为一等奖；分数在[90，95）的同学评为二等奖，但通过附加赛有的概率提升为一等奖；分数在[85，90）的同学评为三等奖，但通过附加赛有的概率提升为二等奖（所有参加附加赛的获奖人员均不降低获奖等级）．已知学生A和B均参加了本次比赛，且学生A在第一阶段评为二等奖．（i）求学生B最终获奖等级不低于学生A的最终获奖等级的概率；（ii）已知学生A和B都获奖，记A，B两位同学最终获得一等奖的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．21.已知函数2()23()x x f x e ax a e a R −=−+∈，其中 2.71828...e =为自然对数的底数．（1）讨论()f x 的单调性；（2）当(0,)x ∈+∞时，222e ()3e 10()x x x a a x af x −−+−−+>恒成立，求a 的取值范围．（二）选考题：10分．请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的方程为x 2﹣2x +y 2＝0．以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为．（1）写出曲线C 的极坐标方程，并求出直线l 与曲线C 的交点M ，N 的极坐标；（2）设P 是椭圆上的动点，求△PMN 面积的最大值．[选修4-5：不等式选讲] 23．已知f （x ）＝x 2+2|x ﹣1|．（1）解关于x 的不等式：；（2）若f （x ）的最小值为M ，且a +b +c ＝M （a ，b ，c ∈R +），求证：．大庆实验中学2020届高三综合训练（一）数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．解：N ＝{x |x 2﹣1＞0}＝{x |x ＞1或x ＜﹣1}，M ＝{x |﹣1＜x ＜3}， ∴M ∩N ＝{x |1＜x ＜3}．故选：C ．2．解：由z •（1+2i ）＝|3﹣4i |＝5，得，∴在复平面内复数z 对应的点的坐标为（1，﹣2），位于第四象限，故选：D ．3．解析：0.30.3＞0.30.4，即b ＞c ＞0，而，即a ＞b ，∴a ＞b ＞c ，故选：B ． 4．C由于极差反映了最大值与最小值差的关系，方差反映数据的波动幅度大小关系，平均数反映所有数据的平均值的关系，中位数反映中间一位或两位平均值的大小关系，因此由图可知，不通过计算不能比较平均数大小关系. 故选C . 5．【答案】B对于①，若 “p 或q ”为假命题，则p ，q 均为假命题，故①正确；对于②，命题“若x ≥2且y ≥3，则x +y ≥5”的否命题为“若x ＜2或y ＜3，则x +y ＜5”，故②错；对于③，因为2a <−时24a >，所以若a ，b 是实数，则“a ＞2”是“a 2＞4”的充分不必要条件，故③错；对于④，命题“若x y =，则sin sin x y =”为真命题，则其的逆否命题为真命题，故④正确．故选：B ．6．【分析】由已知利用正弦定理，两角差的正弦函数公式，二倍角的正弦函数公式可得sin （B ﹣C ）＝sin2C ，在锐角三角形中可求B ＝3C ，可得，且，从而解得C 的取值范围．【解答】解：∵b cos C ﹣c cos B ＝2c •cos C ，∴由正弦定理可得：sin B cos C ﹣sin C cos B ＝2sin C cos C ， ∴sin （B ﹣C ）＝sin2C ， ∴B ﹣C ＝2C ， ∴B ＝3C ，∴，且，∴．故选：A．7．解：∵平面向量，，均为单位向量，（+）2＝+2•+＝3，故||＝；∴＝•+﹣（+）•＝﹣（）≤+|+|•|﹣|＝+；当且仅当与反向时取等号．故选：C．8．解：连接A、B、O，得等边三角形OAB，则阴影部分的面积为S阴影＝12×（×πR2﹣×R2×sin60°）＝（2π﹣3）R2，故所求概率为．故选：B．9．解析：依题意作出f（x）的图象，y＝f（x+a）的图象可以看成是y＝f（x）的图象向左（a＞0时）或向右（a ＜0时）平移|a|个单位而得，当a＞0时，y＝f（x）的图象至少向左平移6个单位（不含6个单位）才能满足f（x+a）＞f（x）成立，当a＜0时，y＝f（x）的图象向右平移至多2个单位（不含2个单位）才能满足f（x+a）＞f（x）成立（对任意的x∈[﹣1，2]），故x∈（﹣2，0）∪（6，+∞），故选：D．10．解：不妨设P在第二象项，|FM|＝m，H（0，h）（h＞0），由知N（0，﹣2h），由△AFM～△AON，得（1），由△BOH～△BFM，得（2）（1），（2）两式相乘得，即c＝3a，离心率为3．故选：B．11．解析：∵x∈[0，π]，∴，令，则由题意，在上只能有两解和∴，（*）因为在上必有，故在（0，π）上存在x1，x2满足f（x1）﹣f（x2）＝2；①成立；对应的x（显然在[0，π]上）一定是最大值点，因对应的x值有可能在[0，π]上，故②结论错误；解（*）得，所以④成立；当时，，由于，故，此时y＝sin z是增函数，从而f（x）在上单调递增．综上，①③④成立，故选：B．12．解：求导得有两个零点等价于函数φ（x）＝e x﹣（2x+1）t有一个不等于1的零点，分离参数得，令，，h（x）在递减，在递增，显然在取得最小值，作h（x）的图象，并作y＝t的图象，注意到h（0）＝1，，（原定义域x＞0，这里为方便讨论，考虑h（0）），当t≥1时，直线y＝t与只有一个交点即φ（x）只有一个零点（该零点值大于1）；当时在两侧附近同号，不是极值点；当时函数φ（x）＝e x﹣（2x+1）t有两个不同零点（其中一个零点等于1），但此时在x＝1两侧附近同号，使得x＝1不是极值点不合．故选：D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．解：展开式通项，依题意，，得r＝3，所以：x﹣2的系数是．故答案为：﹣80．14．解：根据题意，将5个医疗队分派到4个重灾区，每个重灾区至少分配一个医疗队，则其中有一个重灾区安排两个医疗队，剩下3个重灾区各安排一个医疗队，分2步进行分析：先选出一个重灾区分配有两个医疗队，有C41种分配法，再为剩下的3个重灾区各分配一个医疗队，有种分配法，所以不同的分配方案数共有．故答案为：240．15．解：设准线l与x轴交于E．易知F（1，0），EF＝2，由抛物线定义知|MN|＝|MF|，由于∠NMF＝60°，所以△NMF为等边三角形，∠NFE＝60°，所以三角形边长为|NM|＝＝2|FE|＝4，又OD是△FEN的中位线，MD就是该等边三角形的高，，故答案为：2．16．解：∵在四面体ABCD中，CA＝CB，DA＝DB，AB＝6，CD＝8，AB⊂平面α，l⊥平面α，E，F分别为线段AD，BC的中点，∴AB⊥CD，又GE∥CD，GF∥AB，∴GE⊥GF，得EF＝5．当四面体绕AB旋转时，由GF∥AB，即EF绕GF旋转，故EF与直线l所成角的范围为[90°﹣∠GFE，90°]，∴直线EF与直线l夹角的余弦值的取值范围是．故答案为：[0，]．三、解答题：本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17题第21题为必考题，考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必做题：60分．17．【分析】（1）设出等差数列的公差为d，且不为0，运用等比数列的中项性质和等差数列的通项公式和求和公式，解方程可得首项和公差，即可得到所求通项公式；（2）求得，再由数列的裂项相消求和，计算可得P2n，解不等式可得所求最小值．【解答】解：（1）公差d不为零的等差数列{a n}，由a3是a1与a9的等比中项，可得，即a1（a1+8d）＝（a1+2d）2，化为a1＝d，又S 3＝3a 1+3d ＝6，可得a 1＝d ＝1，所以数列{a n }是以1为首项和公差的等差数列，故综上；（2）由（1）可知，所以＝，所以，故n 的最小值为505． (2)法二：所以当n 为奇数时+11111+=21212123n n b b n n n n −++−+++－112123n n =+−+－ ()()()21234212+++11111155743411=141n n nP b bb b b b n n n −=+++=−+−++−+−+−++ 所以，故n 的最小值为505． 18.19．解：（1）由题意知F（﹣1，0），因而c＝1，即a2＝b2+1，又两曲线在第二象限内的交点Q（x Q，y Q）到F的距离是它到直线x＝﹣4的距离的一半，即4+x Q＝2（﹣x Q+1），得，则，代入到椭圆方程，得．由，解得a2＝4，b2＝3，∴所求椭圆的方程为．（2）当直线AB的斜率存在且不为0时，设直线AB的方程为y＝k（x+1），由，得（3+4k2）x2+8k2x+4k2﹣12＝0，设M（x0，y0），A（x1，y1），B（x2，y2），则2122834kx xk−+=+，，由于OABM为平行四边形，得，故，若点M在椭圆C上，则，代入得，解得k无解；若点M在抛物线D上，则，代入得，解得k无解．当直线斜率不存在时，易知存在点M（﹣2，0）在椭圆C上．故不存在直线l，使点M落在抛物线D上，存在直线l，使点M（﹣2，0）落在椭圆C上．20．解：（1）根据题意，X在[70，100）内，按组距为5可分成6个小区间，分别是[70，75），[75，80），[80，85），[85，90），[90，95），[95，100），∵70≤X＜100，由5n≤X＜5（n+1），n∈N*，∴n＝14，15，16，17，18，19，每个小区间对应的频率值分别是P＝5Y＝．，解得k＝，∴n的对值是14，15，16，17，18，19，k＝．（2）（i）由于参赛学生很多，可以把频率视为概率，由（1）知，学生B的分数属于区间[70，75），[75，80），[80，85），[85，90），[90，95），[95，100）的概率分别是：，我们用符号A ij（或B ij）表示学生A（或B）在第一轮获奖等级为i，通过附加赛最终获奖等级为j，其中j≤i（i，j＝1，2，3），记W＝“学生B最终获奖等级不低于学生A的最终获奖等级”，则P（W）＝P（B1+B21+B22A22+B32A22）＝P（B1）+P（B21）+P（B22）P（A22）+P（B32）P（A22）＝+＝．（ii）学生A最终获得一等奖的概率是P（A21）＝，学生B最终获得一等奖的概率是P（）＝，P （ξ＝0）＝（1﹣）（1﹣）＝， P （ξ＝1）＝， P （ξ＝2）＝， ∴ξ的分布列为：E ξ＝＝．21. （1）求出函数的导数，通过讨论a 的范围，求出函数的单调区间即可；（2）令()()221210x g x e x a x ax a =−−−+−+只需在()0,x ∈+∞使()min 0g x >即可，通过讨论a 的范围，求出函数的单调区间，求出函数的最值，从而确定a 的范围即可．解：（1）由题意可知，()22223'23x x x x x e ae a f x e a a e e −−−=−−= ()()3x x x e a e a e−+=，当0a =时，()'0xf x e =>，此时()f x 在R 上单调递增；当0a >时，令()'0f x =，解得()ln 3x a =，当()(),ln 3x a ∈−∞时，()'0f x <，()f x 单调递减；当()()ln 3,x a ∈+∞时，()'0f x >，()f x 单调递增；当0a <时，令()'0f x =，解得()ln x a =−，当()(),ln x a ∈−∞−时，()'0f x <，()f x 单调递减；当()()ln ,x a ∈−+∞时，()'0f x >，()f x 单调递增；综上，当0a =时，()f x 在R 上单调递增；当0a >时，()(),ln 3x a ∈−∞时，()f x 单调递减， ()()ln 3,x a ∈+∞时单调递增；当0a <时，()(),ln x a ∈−∞−时，()f x 单调递减， ()()ln ,x a ∈−+∞时单调递增．（2）由()()222310x x ex a a e x a f x −−+−−+>，可得，()2212100x e x a x ax a −−−+−+>，令()()221210x g x e x a x ax a =−−−+−+，只需在()0,x ∈+∞使()min 0g x >即可，()()()()'1222x x x g x e x a e x a e x a =−−+−+=−−，①当0a ≤时，0x a −>，当0ln2x <<时，()'0g x <，当ln2x >时，()'0g x >，所以()g x 在()0,ln2上是减函数，在()ln2,+∞上是增函数，只需()()22ln22ln22ln 22ln280g a a =−+−−++>，解得ln24ln22a −<<+，所以ln240a −<≤；②当0ln2a <<时，()g x 在()0,a 上是增函数，在(),ln2a 上是减函数，在()ln2,+∞上是增函数，则()()2000g ln g ⎧>⎪⎨≥⎪⎩，解得0ln2a <<， ③当ln2a =时，()'0g x ≥，()g x 在()0,+∞上是增函数，而()209ln2ln 20g =−−>成立， ④当ln2a >时，()g x 在()0,ln2上是增函数，在()ln2,a 上是减函数，在(),a +∞上是增函数，则()()2100090a g a e g a a ⎧=−>⎪⎨=−−≥⎪⎩，解得ln2ln10a <<．综上，a 的取值范围为()ln24,ln10−.（二）选考题：10分．请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．解：（1）曲线C 的方程为x 2﹣2x +y 2＝0．转换为极坐标方程为：ρ＝2cos θ．联立，得M （0，0），．（2）易知|MN |＝1，直线．设点P （2cos α，sin α），则点P 到直线l 的距离．∴（其中）． ∴△PMN 面积的最大值为．[选修4-5：不等式选讲]23．解：（1）当x＜0时，等价于x2+2|x﹣1|＞﹣2，该不等式恒成立，……（1分）当0＜x≤1时，f（x）＞等价于x2﹣2x＞0，该不等式解集为ϕ，……（2分）当x＞1时，等价于x2+2x﹣2＞2，解得，………（3分）综上，x＜0或，所以不等式的解集为．…………………（5分）证明：（2），易得f（x）的最小值为1，即a+b+c＝M＝1……………………………（7分）因为a，b，c∈R+，所以，，，所以≥2a+2b+2c＝2，……………………（9分）当且仅当时等号成立．…………………………………………（10分）。

黑龙江省大庆实验中学2020-2021学年度高三第一次线上教学质量检测数学理科试题参考答案

所以 x1 + ln x1 −1 0 .
因为 (x) = x + ln x −1在 (0, +) 上是单调增函数，且(1) = 0 ，所以 x1 1 ，由（1）可知， f (x) = xex 在 (1, +) 是单调递增，
所以 a
=
x1e x1
e .又 1 e
x1
，
F
1 e
=
1
1
ee
e
−
a
∴ sin ( B + C ) = 2sinAcosA ，
∴ sinA = 2sinAcosA .
∵ A(0, ) ，∴ sinA 0 ，
∴ cosA = 1 ，∴ A = .
2
3
（2）∵ a = 2 ， sinBsinC = sin2 A ，∴ bc = a2 = 4 .由 a2 = b2 + c2 − 2bccosA ，得 4 = b2 + c2 − 4 ，
∴ P ( X 90) = P ( X + 2 ) = 1 (1− 0.9544) = 0.0228
2 ∴估计笔试成绩不低于 90 分的人数为 0.02285000 = 114 人
（2） Y 的取值分别为 0，3，5，8，10，13，则
P (Y = 0) = (1− 3) (1− 2)2 = 1
x2
3) ( kx1x2 + 1−
) ( =
3 kx1x2 + 1+
)3 x2 )，
3 x1
其中 kx1x2
=
−
8k 4k 2 +
3
=
x1
+
x2
，
实验三部第一次线上教学质量检测答案第 3 页共 5 页

大庆中学2019-2020学年高三上学期数学(理)期中试题及答案

20.(12 分) 已知椭圆
的两个焦点 F1 , F2 和上下两个顶点 B1 , B2 是一个边
④ 设随机变量服从正态分布 N (0,1) ，若 P( 1) 0.2 ，则 P(1 0) 0.6 ；则正确命题的序号为 _______．（写出所有正确命题的序号）三．解答题（本大题共 6 道题，共 70 分） 17.（12 分）数列 an 的前 n 项和为 S n ， a1 1 ， an 1 2 S n 1 (n N ) ，等差数列 bn 满
2．已知复数 A．4
（是虚数单位），它的实部和虚部的和是( B．6
8
a1
11．定义行列式运算
a2 b2
b1
a1b2 a 2 b1
，将函数
f ( x)
3 1
2 3
sin x cos x
的图象向左平移 t (t 0) 个
3．二项式(2 − 3 ) 的展开式中常数项是 (
√x
x
1
单位，所得图象对应的函数为偶函数，则 t 的最小值为( D．-28 ) A.
F D O A E B C
+ 1 ② 命题 p : “ x R ，�� + ≥ 1 ”是真命题； ��
③ 已知线性回归方程为
ˆ 3 2 x ，当变量 x 增加 2 个单位，其预报值平均增加 4 个单位； y
2− 3ⅈ 1− i
B．
x x 1或x 0
C．2 ) C．7
C．
x x 4
) D．3
D．
x 1 x 4
10.P 是 ABC 所在平面内一点，若 CB PA PB ，其中 R ，则 P 点一定在( A. ABC 内部 B.AC边所在直线上 C.AB边所在直线上 D.BC边所在直线上