量子力学第八章绝热近似与Berry相因子

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北京大学量子力学教材第八章下

然，这与作用前的几率已有所不同。也就是，体系可以从一个态以一定几率跃迁到另一态，这称为量子跃迁。这就需要利用含时间的微扰论。总之，含时间的微扰论就是处理体系所处的位势随时间发生变化时，或变化后，体系所处状态发生的变化。 (1) 含时间的间的微扰论
ˆ 与 t 有关，体系原处于 H ˆ (r, P ˆ ) ，随 t 加一微动 V( t ) H 0
第八章
量子力学中的近似方法
第八章
§8.2 变分法 2
目录
(1) 定理 3 (2) Ritz 变分法 ............................... 3
§8.3 量子跃迁 .............................. 5
(1) 含时间的间的微扰论 (2) 跃迁几率
............................ 6
（这里 ( ) 是已归一化的）
* ( )(
2 2 e 2 2 2 e 2 1 2 ) ( )d r1d r 2 2 r1 2 r2 e 2 z e 2 z e 2 ) ) ( ( ( )d r1d r 2 r1 r 2 r2 r1
由此类推
1 t t t (m) ak (t) ( )m t 0 dt m t 0m dt m 1 t 02 dt1 n i m1m 2 m m 1
Vnn m1 ( t m )e
i nn m 1 t m i n1k t 1
Vn m1n m2 ( t m 1 )e
z 5 16

E 0 H ( z
5 5 e 2 ) ( z ) 2 16 16 a 0
(实验值为 78.86eV)

二能级系统的绝热近似条件_颜玉珍

C
H
( t) =
__
- L# B ( t ) =
C¶ 2
B0 B 1 eiXt
B 1 e- iXt 。 - B0
( 2)
引入频率 80 = CB0, 8 1 = CB1 ( C为旋磁比 ), 上式写为
C
H ( t) =
h 2
80 8 1 eiX t
8 1 e- iXt 。 - 80
( 3)
..
系统的演化满足 Schrodinger方程
在量子力学教材中, 对绝热近似物理意义的描述都是用系统中变量变化的快慢来衡量的。一个
^
_
_
_
_
量子系统, 如果其哈密顿量 H 是一组参量 R ( t)的函数, 设 R ( t )随时间 T 作周期性变化, 且 R (T ) = R ( 0)。
当周期足够大时哈密顿量随时间变化缓慢,
即
9H 9t
U
0,
此即为绝热近似的条件
Ad iaba tic Cond ition of Two States System
YAN Y u- zhen ( D ep artm en t of Phys ics, J iay ing U n iversity, M eizhou 514015, Ch ina )
[ Abstract]W e ob tain the w avefunction of the tw o states system in non- ad iabatic cond it ion by us ing the m ethod of coord inate trans form ation. The geom etric ph ase of th e system is also d iscussed after an evolut ion period. W e p resen t the ad iabatic cond ition of two states system after contrasted it w ith ad iabaticm od els. [ K ey w ords] tw o states system; ad iab at ic approx im ately; non- ad iabatic approxim ately; Berry phase; A - A phase

量子Hall效应与Berry相因子

量子Hall效应与Berry相因子
刘业厚;于肇贤
【期刊名称】《鲁东大学学报（自然科学版）》
【年(卷),期】1993(000)004
【摘要】将绝热过程中的Berry相因于的概念推广到简并系统.在对称规范条件下研究了量子Hall效应与Berry相因子之间的关系,导出了量子Hall电导率与Berry 相因子之间的关系,理论分析与Klitzing,Tsui等人的实验结果一致.
【总页数】7页(P33-39)
【作者】刘业厚;于肇贤
【作者单位】不详;不详
【正文语种】中文
【中图分类】O471.1
【相关文献】
1.二能级量子系统中的Berry相因子 [J], 张存元;吴锋民
2.量子Berry相因子与相位教学 [J], 易学华;余晓光;付凤兰
3.量子Rabi模型中的Berry相的解析解 [J], 陈庆虎;贺树
4.谐振子系统的量子-经典轨道、Berry相及Hannay 角∗ [J], 辛俊丽;沈俊霞
5.含时边界条件量子体系的Berry相因子 [J], 于肇贤;张德兴
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两体系统在旋转磁场中的Berry相解读

两体系统在旋转磁场中的Berry相自从1984年Berry提出绝热近似下的几何相问题，这个领域吸引了大批研究者。

他们讨论了几何相的理论基础、应用前景和实验验证。

本论文关注于这样一个模型：两个定域电子在旋转磁场中，它们不仅受到磁场对它们的作用，而且要受到电子和电子之间的相互作用。

磁感应强度B|-的方向随时间周期性变化，但保持它的模不变，也就是B|-张开一个S~2的光滑微分流形。

我们考虑B|-做周期运动，即在S~2上会形成一个闭合曲线。

经过大量计算，我们找出了两个有解析解的模型，而本论文主要讨论这两个模型。

首先计算在同一个磁场中电子和电子之间的相互作用为XXX模型的Berry相。

经过分析，可以发现有两个瞬时本征态的Berry相精确为零，而不为零的瞬时本征态的Berry相只受到了参数θ的影响，并且电子之间的相互作用系数对其没有影响。

我们还找到了Berry相和z方向Pauli矩阵平均值之间的关系。

其次我们用微扰论的方法讨论两电子在完全相同的旋转磁场中的Berry相，并且考虑电子之间的相互作用为XXZ的模型。

另外我们发现Berry相不仅受到了参数θ的影响，而且我们还可以看到，与XXX模型不同的是，电子之间的相互作用系数x_J和z_J会影响Berry相。

类似于XXX模型，在此模型中，我们也找到了Berry相和z方向Pauli矩阵平均值之间的关系。

同主题文章[1].张忠灿,方祯云,胡陈果,孙世军. Berry几何相与量子跃迁' [J]. 高能物理与核物理. 2000.(12)[2].蒋占峰,李润东,刘伍明. 室温下无耗散的量子自旋流' [J]. 物理. 2005.(04)[3].黄昆. 无辐射跃迁的绝热近似和静态耦合理论' [J]. 中国科学A辑. 1980.(10)[4].肖青,孙昌璞. 高阶量子绝热近似方法和Berry相因子的性质' [J]. 东北师大学报(自然科学版). 1993.(01)[5].胡岗,丁达夫. 利用随机共振系统获取高信噪比' [J]. 北京师范大学学报(自然科学版). 1992.(03)[6].郑国桐,陈炽庆,裘志洪. 用_Λ~(238)U超核聚变检验裂变机制的可行性探讨' [J]. 计算物理. 1988.(04)[7].郭淑梅. 强磁场中氢原子波函数的研究' [J]. 辽宁师专学报(自然科学版). 2008.(04)[8].章兴国,李星文. 绝热近似方程对Ising模型的应用' [J]. 河北大学学报(自然科学版). 1986.(04)[9].潘学玲,李毓成. 强磁场中氢分子离子H_2~+ 的电子能级' [J]. 应用基础与工程科学学报. 1998.(03)[10].惠萍. 异核氢分子离子HD~+在磁场中的哈密顿量' [J]. 广东教育学院学报. 2006.(03)【关键词相关文档搜索】：理论物理; 绝热近似; Berry相; 两粒子系统; 旋转磁场; XXX模型; XXZ模型【作者相关信息搜索】：天津大学;理论物理;杜九林;杨大宝;。

Berry 相位争论分析 ━━可积与不可积？动力学与几何？

i e r ' A r dr ' 0 r a c
(3.7)
结合下面(9)式叙述表明，在 B ≠0 区域此处相位积分不仅与两端点有关，并且与路径有关，而电子行进的路径又没有明确的轨道，因而这才是可积的(这个相位是“不可积的”！只在 B =0 的区域它与路径无关，也正说明，磁场毕竟是一种物理实在，不能通过数学变换将其彻底地转化为某种含义确定的相位)。这个相位存在表明，即使粒子路径限制在电磁场场强为零的区域，粒子不受定域力的作用，但电磁势（沿粒子路径的积分）仍会影响粒子运动的相位。于是，在通电情况下，C 点的合振幅成为
[第 3 讲]
Berry 相位争论分析 ━━可积与不可积？动力学与几何？
I，前言 II，关于 Berry 相位的争论 1，Berry 之前的看法——Schiff 为代表 2，Berry, Simon 的推导论证 3，不同看法（I）——Berry 相位是动力学相因子? 4，不同看法（II）——Berry 相位只能从含时 Schrodinger 方程导出? 5，不同看法（III）——能量本征态叠加有 Berry 相位? III，“Berry 相位本质”争论的澄清 1，一个反例：一维准定态的矢量平移总是拓扑平庸的 2，正确的说法：一盆有小孩的洗澡水 3，不必从含时 Schrodinger 方程导出 Berry 相位 4，“不同能级本征态叠加中的 Berry 相位”问题分析 IV，Berry 相位几何本质的再澄清 1，二维流形上矢量平移及协变导数计算 2，二维球面和乐（Holonomy）相因子计算 3，流形上的协变计算 V，小结 ※ ※
343
ψ t = e
n
i n t - i

量子力学课件第八章

第八章 WKB 近似WKB （Wenzel ，Kramers, Brillouin ）1方法是得到一维定态Schrödinger 方程的近似解的一种技术（它的基本思想同样可应用于许多其他形式的微分方程和三维Schrödinger 方程的径向部分）。

此法对计算束缚态能量和势垒穿透率都是非常有用的。

它的基本思想如下：假设能量为E 的粒子穿过势能V(x)的区域，其中V(x)为常量。

当E>V 时，则波函数的形式为()ikxx Ae ψ±=，其中k ≡正号表示粒子向右运动，而负号表示它向左运动（当然，通解是两项的线性组合）。

波函数为振荡函数，具有固定的波长（λ=2π/k ）和不变的振幅（A ）。

现在设想V(x)不是一个常量，但是变化相比λ非常缓慢，因此包含许多全波长的区域中的势能可以认为基本上是不变的。

这样，除了波长和振幅随x 缓慢的变化外，可以合理地认为ψ实际上仍然保持正弦形式。

这就是隐藏在WKB 近似后面的核心思想。

它将依赖x 的问题有效地分为两种不同层次：快速振荡和由振幅和波长逐渐变化的调制。

同理，当E<V （其中V 为常量）时，ψ的指数形式为：()xx Ae κψ=其中κ≡如果V(x)不是常量，但是相比1/κ变化很缓慢，除了A 和κ随x 缓慢的变化外，则解可以认为基本上仍然保持指数形式。

现在仍然有一处整个方法不适用的地方，这就是经典转折点的邻域，此处E ≈V 。

因为此处的λ（或者1/κ）趋于无穷大，从而，相比之下V(x)就很难说是“缓慢的”变化了。

我1在荷兰此为KWB ，在法国此为BWK ，在英国此为JWKB （J 为Jeffreys ）们将会看到，对于转折点的恰当地处理将是WKB 近似最难的一个部分，尽管最终的结果形式简洁并易于应用。

8.1经典区域定态Schrödinger 方程()2222d V x E m dx ψψψ-+=可以改写为下列形式：2222d p dx ψψ=- [8.1]其中()p x ≡ [8.2]这是具有总能量E 和势能V(x)的粒子的动量的经典表示式。

量子力学-量子散射的近似方法 Ⅱ. 玻恩近似;Rutherford散射 Ⅲ. 有心势中的分波法和相移

42 K2 42
sin2
K2 42
2
t
而仍处于 Hˆ 0本征值为 BB0的本征态，即自旋向下态的概率为
PBB0 cos2
K2 2
42
t
K2 K2 42
sin2
K2
2
42
t
0 1
10
2
电子所处的态随时间在这两个态之间震荡。
2
当
0
2BB0
时，电子所处的态
B. 绝热定理由公式
(t)
am (t)
um(t)
e
i
tti
Em (t)dt
m
am (t) am (0)eim (t)
我们就有绝热定理：若体系在 ti 0 的初始时刻处于 un(0) ，即 am(0) nm , 则在绝热近似条件下，t 时刻体系仍处于
瞬时本征态 un (t) , 体系的绝热近似波函数为
dn d
即
dn (, )d
比例常数一般是 (, ) 的函数；如入
射方向为轴 z（且束和靶都不极化），则
第二十七讲回顾
Ⅱ. 磁共振 A. 跃迁概率和跃迁率 B. 严格求解—Rabi 振荡 C. 一级近似公式的精确性
Ⅲ. 绝热近似 A. 绝热近似的条件 B. 绝热定理
Ⅲ. 磁共振
电子置于均匀磁场 B0 （在 Z 方向）中，则
Hˆ 0
s
B0
ems me
B0
于是简并态（对自旋）发生分裂，其能量
差
E E E 0 2BB0
2 mm
m B02
(Vm (B))z m / B02
这表明 Vm(B) 是平行磁场 Bˆ (t) ，即

北京大学量子力学教材第八章上

ˆ 于是 E1 0 0 H1 0
e 2 ( a 3 ) 2
d r1
2 ( r1 r2 ) a e
2 r2 sin 2 d 2 d 2 dr2 2 (r12 r2 2r1r2 cos )1 2
以 r1 方向为 z 方向
r l 1 Pl (cos )( 2 ) 1 r1 r 1 l0 r12 1 P (cos )( r1 ) l l r2 r2 l 0 E1 0 2e 2 (a )
求 E k ， k 的步骤是通过逐级逼近来求精确解，即将 E k ， k 对展开。由于涉及的项
0 0 0 较小，因此， E k 应接近 E 0 k ， k 接近 k 。所以，可以从 E k ， k 出发求 E k ， k 。当 0 ，
ˆ 0 ， 0 ， E E0 即H k k k k 1
B．二级微扰：当微扰较大时，或一级微扰为零时，则二级微扰就变得重要了，由 2 项得
ˆ ' 0 a ( 2) H ˆ ' 0 a (1) E 0 ' 0 a ( 2) E1 ' 0 a (1) E 2 0 H 0 i ik 1 i ik k i ik k i ik k k
7
e 2
e2 4 0
ˆ H ˆ H ˆ H 0 1
设即
ˆ 的基态为 0 H 0
s, s z , r1 , r2 0 u100 (r1 )u100 (r2 ) 00 1 a 3
1 ( r1 r2 ) a
e
00
E0 0 2
2e 2 e2 2 2a 4 0 4 0 a
x a x a

贝利相位的介绍

nRt
En R t m n
（6）
4
考虑一般含时薛定谔方程
i t Hˆ Rt t
t
t 可用 n Rt 展开，即
（7）
t an t n R t an t eint n R t （8）
n
n
（8）式代入（7）式得
i an t eint nRt an t n t eint nR t
在绝热近似条n 件下，利用（6）式，上式可简化为
am t am t mRt mRt （11）
积分得到
a
m
t
a
m
0
exp
t
0
mRt
t
mRt
dt
（12）
其中初始条件 am0 1
式（2）对时间求导
mRt mRt mRt mRt 0 （13）
即 Re mRt mRt 0
2022/3/22
（14）
n
n
i an t ein n 由（4）式
t
t
n
n
t
Rt
1
En
n
an t ein
Rt
t
En
R t
n Rt
a t e n R t 2022/3/22 n
in t
an t eint n R t
0 （9）
n
n
5
mRt 左乘上式，可得
am t an t eintmt m Rt n Rt （10）
例如周期变化的磁场的矢势 At 可作为 Rt
Rt 的周期变化在参量空间定义了一条闭合曲线 C
若假定周期 T足够大，以致哈密顿算符随时间的变化很缓慢(此称为绝热变化过程) ，致使系统在每

量子力学概论中文版-考研试题文档资料系列

译者的话本书译自David J.Griffiths教授所著《量子力学概论》第二版。

Griffiths教授是美国著名的物理教育学家，他所撰写的许多教材都被美国著名高校所使用。

其中《量子力学概论》一书是美国许多一流理工科大学，包括麻省理工学院（MIT）和加州大学洛杉矶分校（UCLA）等一些著名高校物理系学生的教学用书，在欧美被认为是最合适、最现代的教材之一。

本书的特点为：（1）立足于“量子力学入门水平”，包含了大学量子力学最主要的内容，讲解直接从薛定谔方程开始。

强调实验基础和基本概念，力图改变了量子力学难于理解、难于接受的教学状况。

作者从务实的角度出发，着重于交互式的写作，采用对话式的语言，叙述简明，文笔流畅，使人感到耳目一新。

（2）不仅仅局限于知识的讲授，而是让读者真正从具体问题中体会到量子力学的精髓。

针对量子力学不易理解的特点，本书首先从简单的概率论和微分方程入手，让学生能迅速对一些简单的量子力学问题“上手”，而不仅仅是望着深奥的知识兴叹。

（3）充分体现现代物理内容，在讲述量子力学的同时，把问题扩展到多个前沿的研究领域，如统计物理、固体物理、粒子物理等。

在物理学各个分支中常用的部分既有精辟的叙述，又有实际举例。

（4）作者通过把一些内容移到课外习题的方式来缩减内容，使学生可以通过自学来掌握量子力学相当大的一部分内容，使得本书主线清晰，内容简练。

为此，作者在练习题选择上特别下功夫。

例题与习题对数学的要求并不高；习题分为容易、中等和较难三个层次，可供不同基础的学生选择。

对难的题目还附有提示。

有利于学生对量子力学的掌握。

鉴于上述特点，我们认为这本书非常适合我国学生在学习量子力学中使用。

该教材的翻译出版会对量子力学的教学起到积极的作用。

本书的1－4章、12章由胡行翻译，5－9章由贾瑜翻译，10－11章由李玉晓翻译，最后由贾瑜对全书进行了统一。

×××教授审校了全书，霍裕平院士为中译本写了序言，译者对此表示衷心感谢。

绝热近似

吉林建工学院
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4– 4 面缺陷
第四章晶体中的缺陷
2 长光学支与长声学支格波本质上有何差别？有何差别？
• 光学支格波的特征每个原胞内不同原子作相对振光学支格波的特征:每个原胞内不同原子作相对振每个而且原胞质心保持不动。振动频率较高，动，而且原胞质心保持不动。振动频率较高，它包含了晶格振动频率最高的振动模式。包含了晶格振动频率最高的振动模式。 • 声学支格波的特征原胞中的不同原子振动方向相声学支格波的特征:原胞中的不同原子振动方向相原胞中的不同原胞作整体运动，振动频率较低，同，原胞作整体运动，振动频率较低，它包含了晶格振动频率最低的振动模式。晶格振动频率最低的振动模式。 • 任何晶体都存在声学支格波，但简单晶格（非复任何晶体都存在声学支格波，但简单晶格（声学支格波式格子）晶体不存在光学支格波光学支格波。式格子）晶体不存在光学支格波。
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4– 4 面缺陷
第四章晶体中的缺陷
3 Debye模型 Debye模型
• (1)、高温情况与杜隆珀高温情况:与杜隆高温情况与杜隆-珀替定律一样
CV = 3 Nk B
• (2)、低温情况
CV ~ T
3
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4– 4 面缺陷
第四章晶体中的缺陷
5简要说明简谐近似下晶体不会发生热膨胀的物理原因；势能的非简谐项起了哪些作用？原因；势能的非简谐项起了哪些作用？
v hω j (q )
n j (q) =
1
e
hw j ( q ) /( k BT )
−1
对于一给定的晶体，对于一给定的晶体，它所对应的声子种类和数目不是固定不变的，而是在一定的条件下发生变化。是固定不变的，而是在一定的条件下发生变化。

专题讲座13-绝热定理与Berry相

绝热定理与Berry 相绝热定理：假定体系的哈密顿由最初的iH 缓慢的变化到终始的fH ，绝热定理指出，如果体系的状态最初是在iH 的第n 本征态，由于哈密顿的变化，体系将演变到fH 的第n 本征态。

例子：假设粒子处于无限深势阱的基态i n ix a πψ⎛⎫=⎪⎝⎭ 现在，假设势阱的右壁缓慢移动到2a 处，则绝热定理指出，粒子现在将处于宽度为2a 势阱的基态i n 2fx a πψ⎛⎫=⎪⎝⎭讨论：1．与微扰不同，绝热定理所要求的哈密顿的变化不一定是一个小量，只需变化非常缓慢。

2．在这个过程中粒子能量不守恒，和外界有能量交换，比如势阱变宽后，粒子能量降低，外界从体系吸取了能量。

3．如果势阱壁突然移动，粒子将仍然处于iψ，这个态是新哈密顿本征态的线性叠加，在这种情况下粒子能量是守恒的。

绝热定理的证明当哈密顿不随时间变化时，我们有定态方程 n n n H E ψψ= 如果粒子最初是在nψ态，它随时间的变化为/()n iE t n n t eψ-ψ=如果哈密顿是随时间变化的，本征函数和本征值也将随时间变化()()()n nnH t t E t t ψψ= 但是本征函数仍然是正交归一完备的()()n mn mt t ψψδ=含时薛定鄂方程 ()()()i t H t tt∂ψ=ψ∂的解可以写作 ()()()()n i t n n nt c t et θψψ=∑其中''1()()tn n t E t d tθ≡-⎰把这个解代入薛定鄂方程，得到()nni i n n nn n n n nn nni c c ic e ceH θθψψψθψ⎡⎤++=⎢⎥⎣⎦∑∑nni i n nn n nnc ec eθθψψ→=-∑∑左乘*mψ并积分，得到nni i n nm n n mnnc ec eθθδψψ=-∑∑即()n m i m nn mnc c eθθψψ-=-∑对()()()n nnH t t E t t ψψ= 两边对时间求导n nnn nn H H E E ψψψψ+=+左乘*mψ并积分，n nnm n m m n n mH H E E ψψψψδψψ+=+因为H 是厄密算苻，所以nnmm mH E ψψψψ=如果mn≠，有()nm n n m mH E Eψψψψ=-这样我们有'''()(/)()()n mtn mim nn mni E t E t d tm nmm m nn m n mc c eHc c eE Eθθψψψψψψ-⎡⎤--⎣⎦≠=-⎰=---∑∑这个结果是严格的，没有用任何近似。

量子Rabi模型中的Berry相的解析解

动波近似下的著名的Ｊａｙｎｅｓ — Ｃｕｍｍｉｎｇｓ（ＪＣ）模型来描述Ｌ３］．近年来，超导量子比特与一维传输线共振器【４］或者ＬＣ电路系统可以在实验上实现量子Ｒａｂｉ模型，这类系统称为电路量子电动力学系统，特别是最近实验上制备的ＬＣ共振器与超导磁通量子比特的感抗耦合系统１Ｊ，其超导量子比特一振子的耦合强度达到０．０１一１．原先的．ＪＣ模型的描述已经失效反旋波效应
十分必须的．对很多问题，能级比较准确就可以了，系统的波函数有时更为重要．
本文利用该系统的宇称对称性，给出对转动波近似下结果的修正，获得了包含反旋波效应的简洁的解析
描述．更多的Ｆｏｃｋ态几乎可以给出非常严格的系统的Ｒａｂｉ模型重新需要研究，特别是在ｇ／ Ⅲ 一０．１量级的耦合区域．量子Ｒａｂｉ模型的完全研究分两类，一类是基于光子的Ｆｏｃｋ态研究［８－９］，得出用连带连分数表示方程的
复杂结果［加Ｉ１；另一类是基于不同的极化子变换或平移算符［Ｉ１，实际上等效不同的光子相干态，也就是无穷多的光子数态．这些复杂的结果显然不利于分析物理过程，那么更简洁的又能抓住物理本质的研究是
：十
１
一Ｒ
１
＝＋告＋Ｒ
其中Ｒ＝￣／＋４ｇ（＋１）．另外，基波函数和对应的能量不能纳入上述普遍描述，其本征态为裸态，具体
为
ｆＧＳ＞＝（１

量子力学第八章

AB效应：假如粒子的运动区域，磁感强度为0，但矢势力不为0，通过求解薛定谔方程发现粒子的运动仍然受到磁场的影响，这说明电磁场具有非局域的全空间性质。也就是说：电磁场的矢势和标势本身就是有物理意义的量，可以产生可观测的物理效应，而且具有规范不变性，并非想像的只有电场强度和磁感强度才是可观测的物理量，势只是描述手段。叫阿哈罗诺夫(Y. Aharonov)-波姆(Bohm)效应。
塞曼效应：在原子、分子物理学和化学中的光谱分析里是指原子的光谱线在外磁场中出现分裂的现象。
荷兰物理学家塞曼于1896年发现了钠黄线在磁场中变宽的现象,后来又观察到了镉蓝线在磁场中的分裂。
塞曼在洛仑兹的指点和洛仑兹经典电子论的指导下, 解释了正常塞曼效应和分裂后的谱线的偏振特性,并且估算出的电子的荷质比与几个月后汤姆逊从阴极射线得到的电子荷质比相同.
量子霍尔效应
二维电子气在恒定磁场中的运动，其霍尔电阻是量子化的，即
这里，n是正整数量子数。这种现象称为量子霍尔效应。
并在此基础上精确测定了精细结构常数，克利钦因此获得1985年度诺贝尔奖。
量子霍尔效应可以通过前面的朗道能级解释。 1982年美国贝尔实验室的三个科学家崔琦、
斯托姆耳和劳林还发现了分数量子霍尔效应，即出现在霍尔电阻平台上的量子数为分数，即
故原子中电子处于某能级的总能量可表示为
=0
E'n En m(n) g(n) B B
并在此基础上发展了量子流体理论，并获得了1998年度的诺贝尔物理学奖。在霍尔电阻中有一常量，称为克利钦常数
RK h / e2
该常数于1990年作为电阻的基准值。此外，量子霍尔效应也可能并不需要外加磁场的存在，属于量子反常霍尔效应，1988年由美国物理学家霍尔丹提出理论预言，由中国物理学家于2013年实验发现。

量子Berry相因子与相位教学

量子Berry相因子与相位教学第26卷第3期2007年3月大学物理C0LLEGEPHYSICSV o1.26NO.3Mar.2007量子Berry相因子与相位教学易学华,余晓光,付凤兰(1.井冈山学院物理系,江西吉安343009;2.湖南大学应用物理系,湖南长沙410082;3.井冈山学院医务所,江西吉安343009)摘要:回顾了经典物理和量子力学中的相位问题,着重讨论了量子几何Berry相位及在量子力学中如何进行量子相位教学的问题.关键词:量子力学;Berry相因子;量子Hail效应;相位教学中图分类号:0413.1文献标识码:A文章编号:1000—0712(2007)03—0012—04众所周知,相位(phase)无论是在经典物理还是在量子物理中都占有很重要的地位.比如,在经典物理中,研究周期运动时,常常需要比较两个简谐振动的步调是否一致,位移是否同时到达极大,是否同时为零;或比较同一振动中位移,速度,加速度随时间周期性变化的步调上的关系.研究波动或振动的相位差在分析光波或声波的干涉现象,确定其强度分布时是极为重要的.对相位的研究在宏观物理中占有很重要的地位,在微观物理中具有更为深刻的物理意义,对非动力学相位的研究揭示了相位更深一层的物理本质.可以说,相位对应了物理学上的一切相互作用.杨振宁先生在1954年提出的规范场实质上就是相位场,这一理论揭开了物理学新的一幕;大统一宇宙学也是以相位为出发点进行研究的.总之,离开了相位,要想完全揭示微观体系的行为是十分困难的.几何Berry相位的发现,促使人们重新审视许多根本的物理问题,如电磁势的物理效应,介观环中的持续电流的几何效应,约瑟夫森效应以及量子Hall效应等,有力地推动了物理学的基础研究和量子力学的相位教学.1量子力学中的相位及其作用1)量子力学中的虚数单位i在经典物理或电工学中,引入虚数单位i是为了运算的方便,但是在量子力学中引入虚数单位i, 就不是为了方便了,而是本质上的需要.如果去掉i,那么薛定谔方程就将变为一个与描写热传导或扩散现象差不多的经典方程,完全不可能用来描写微观粒子的运动.在量子力学中最重要的或最微妙的是波函数的相位,而波函数的相位必须靠虚数单位i 来表示….2)量子物理中的相位在量子物理中,物质具有波粒二象性,粒子状态用物质波即波函数来描述.例如,具有一定动量p和一定能量E的粒子,满足一维Schr6dinger方程: i矗一()其解为=,tboexpi)(2)这是一种单色波,其中垒就是量子物理中的相位,譬为空间相位,一和粒子的能量有关,具有动力学性质,称为动力学相位.3)量子理论中相位的作用粒子波函数是由振幅和相位组成的.量子力学告诉我们:有观测意义的不是波函数本身,而是它的模的平方JJ,JJ是我们能够观测到的概率.但除此以外还有相位因子,它是模为1的数,它的变化不影响模的平方.这个相位是极其重要的,因为它是所有干涉现象的根源,而它的物理意义收稿日期:2006—03—06基金项目:江西省科技厅工业攻关资助项目[赣科发计字(2003)218,工业攻关计划32];江西省教育厅教改课题资助项目(赣教高字[2005]95号);吉安市2005年度指导性重点科技计划资助项目(吉市科计字[2005325号);井冈山学院自然科学基金资助项目.作者简介:易学华(1965一),男,江西宜春人,井冈山学院物理系讲师,湖南大学应用物理系博士生,主要从事量子相位和金属材料模拟研究及理论物理教学工作.第3期易学华等:量子Berry相因子与相位教学13是隐含难解的.对量子力学的建立和发展作出卓越贡献的狄拉克在1970年4月的一次演讲中说过:"相位这个物理量巧妙地隐藏在大自然中,正因为它隐藏得如此巧妙,人们才没能更早地建立量子力学".2Berry几何相位的提出及其计算公式自从Berry于1984年提出在量子Hamiltonian系统作周期性绝热演化过程中存在几何相位以来,就引起了人们的广泛注意.人们已经在原子分子物理,核物理,量子信息,量子光学,凝聚态物理以及规范场论等各个领域对几何相位做了许多实验验证和理论分析引.这些工作为从物理上解释几何相位提供了丰富的材料,并由此建立了几何相位的数学基础.量子力学中的绝热定理告诉我们:量子系统在缓慢变化的环境中将保持定态.因此,在绝热变化过程中,系统波函数在演化过程中将保持不变,与定态时完全一样,即由f))=exp{一÷jH(z,)dz(0))来描述?这里指数因子exP{一亡j.H(￡)dt}为动力学因子,由系统的哈密顿量决定.但Berry却发现,对于一非简并量子系统,如果其哈密顿量在某参数空间中作绝热演化而形成一条闭合曲线(即该量子系统作周期性绝热演化),则当系统完成一周演化其哈密顿量回到原值时[即H(T)=H(O)],其波函数为l(T))=expER(洲d}.exp[iy(c)]l(0))与上述过程比较,这里出现了一个新的相因子exp [iy(C)],这个新的相因子由哈密顿量在参数空间中的演化路径的几何结构决定,称作几何相因子,也叫Berry相因子.其计算式为y(C)=y(T)一y(0)=i寸)<,(R)l(R))?dR(3)其中l(R))为系统处于该瞬时的哈密顿量H[R(t)]所对应的本征态.此式在计算Berry相位时要求l(R))具有单值性,这有两方面的原因:第一,只有在l(R))为单值的情况下才能比较绝热过程中的初态(t=0)和终态(t:T)的态矢,从而定义几何相位y;第二,只有在l(R))为单值的情况下态矢梯度(R)才有意义,如l)一exp[i(R)]J,2>,则<l)=i+<l)即<l)依赖于单值本征态l(R))的相位选择.运用stocks定理还可求得y(c)=一llds?V(R)(4)其中m尝×,,1((R)lH(R)l(R))}.'J式(4)并不要求l(R))本征函数是单值的.因为式(4)与Vn无关,但计算很繁杂.3相位教学到目前为止,已有不少量子力学教科书¨以专题的形式比较详细地讲述了量子Berry相位.但当前面临课时减少,而相关的知识和内容又日益增多的情况,要想详细地讲述Berry几何相位并非一件易事.鉴于量子力学中最重要的或最微妙的是波函数中的相位n],那么在量子力学教学过程中就很有必要强调相位的重要性,并把Berry相位及其在许多物理领域中的应用作一些介绍.学生在学习量子力学时,了解近20多年来引起物理学界普遍关注的Berry相因子及其几何拓扑背景无疑是大有裨益的.但要严格系统地阐述Berry相因子的几何拓扑背景将涉及到拓扑,现代微分几何等方面的许多知识,而这些知识又超出了当前本科学生的数学基础. 如何在有限课时的前提下,让学生理解并掌握量子力学中的Berry几何相位,是值得我们这些从事量子力学教学的工作者们一起探讨的问题.我们在教学过程中引入量子几何相位的一种思路是:在引入量子相位时,首先可从SchrSdinger方程出发,求出其解,提出量子相位的概念,并说明量子相位的作用,指出量子力学中引入虚数单位i并不是为了数学上的方便,而是客观本质上的需要;接着根据绝热定理简捷而清楚地推导出Berry相因子及Berry相14大学物理第26卷位的计算公式;最后指出量子相位的广泛应用,并举一两个实例来进一步说明Berry相因子的意义及其实际应用.下面举两个例子,它们有助于学生对Berry相位的理解和掌握.例1自旋为的粒子在二能级体系中的几何相位.由于任何二能级体系的哈密顿量都可以化成一个类似于自旋为的粒子在磁场中的哈密顿量,二能级量子系统不仅较能体现量子力学的特色,而且比较简单.在量子力学范畴里,自旋S=的粒子在磁场中的旋度,极化,共振等现象,以及在粒子物理中正,反粒子的振荡等都属于二能级体系,因此对于自旋为的粒子在二能级体系中的几何相位颇具代表性.自旋为的粒子在磁场中的哈密顿量为H=～.O-=一百1/2B.(..i.in0一exp(-sin0expicos0i)c5,●JjJ\(i)一/,'这里/1是粒子磁矩;仃为Pauli矩阵;0,是球坐标系中的方位角,是时间￡的函数;B是磁场,在球坐标中可表为B=B(sin0cos,sin0sin,COS0)讨论本征方程白『)=一B『)(6)l/1)(口=±1)是自旋波函数,口=+1表示自旋向上,口=一1表示自旋向下.该哈密顿量的本征函数可统一表示为n:cos(旦)唧(一i号)cos唧(i詈)当=+1当=一1(7)可以用式(3)来计算Berry相位.对于本征函数式(7)可求得:(+』未:一丢cos(一一):丢cos所以y+(i+』d0JjuIiJ0一j未u1l即y(f)=干In(f)(9)其中(c)=一27rcos0是二能级参数空间的立体角.也可用式(4)来计算Berry相位.厂=e++v//=il—_一expP口十expLPexp(一i础～+'exp(一i础1sinl_口J(+l白l一)=(c.s(导)exp(i詈),sin(导)exp(一i号))'VHsinexp(一i号)cos唧(i詈)1I1一e)(10)同理(一l奇l+)=吾B(+ie)(--)这样有m同理有(8)',一=Iml奇)×(+lV白l————r——一,-●,●,9,一2Lc-,|,,,I_',,,,,I_',,ppXXee,-●f/,-●,/～2～2,,J●_l\,,J●_,\nnSS=.●一r十l—r×,,●●,,ll一厂一.一P×l—r,,,I_'l,一)mm第3期易学华等:量子Berry相因子与相位教学15 一(13)代入式(8)得y+(c)=一dS.v+(R)=一』『ds?一10(c)=7cc.s(14)同理有y一(c)=一dS.v一(R)=lo(c)=一7cc.s即y(c)=干1(c)(15)与利用式(3)计算的结果相一致.例2量子Hall效应与Berry相位的关系.1980年,物理学家冯?克利青因从金属一氧化物一半导体场效应晶体管(MOSFET)中发现量子Hall效应而获得1985年诺贝尔物理学奖.在计算Hall电导率时,采用公式i[一oJ1]wil一Jb其中J:(I.I).当系统处于基态非简并时w_i.J=(.I)])我们知道,上式右边方括号内的积分实际上就是Berry相位y(C.),于是上式又可写成H=ey(c.)(18)HlI对于基态简并有wiezJ?d=(.I)](19)同理,上式右边方括号中的积分正是Berry相位y(C),即有wey(cz)(20)其中k为有限整数.从以上两种情况可知,量子Hall 电导率实质上是一种特殊的Berry相位,因而它具有Berry相位的几何特性.4结束语近年来,几何相位及其引起的量子效应已被公认,并得到实验的验证和广泛支持,随着材料科学与技术的发展,已能制备出许多宏观量子器件,使得量子几何效应已从实验研究进入初步应用阶段.在超导量子干涉,量子Hall效应,量子信息,光纤通信, Hubbard模型,声子极化,核磁共振,跃迁和散射过程,粒子物理等方面几何相位引起了一系列新奇的现象n.几何相位乃至整个相位物理将在各个领域中得到广泛的发展和应用.可见,相位物理在整个物理学特别是量子力学中有着广阔的发展前景. 因此,希望广大从事物理教学的工作者在量子力学教学中重视量子几何相位的教学.参考文献:[1]倪光炯.朝花夕赏:量子力学妙在何处[J].科学, 1998,50(2):38—42.[2]杨振宁.负一的平方根,复相位与薛定谔[J].自然杂志,1988,11(1):58—61.[3]BerryMV.Quantalphasefactorsaccompanyingadiabat—icchanges[J].ProcRoySoc,1984,A392:45—57.[4]ShapereA,WilczekF.QuantumGeometricalPhasein Physics[M].Singapore:WorldScientific,1989:187.[5]ZhuSL,WangZD.Unconventionalgeometricquantum computation[J].PhysRevLett,2003,91(18):187902.[6]李华钟.介观物理的粒子自旋轨道耦合和量子几何相位[J].物理学进展,1999,19(4):386—408.[7]WangZD,ZhuSL.Nonadiabaticnoncyclicgeometric phaseandpersistentcurrentinone—dimensionalrings[J]. PhysRevB,1999,6o(15):10668—10671.[8]YiXX,WangLC,ZhengTY.Berryphaseinacorn—positesystem[J].PhysRevLett,2004,92(15):150406.[9]曾谨言.量子力学:卷Ⅱ[M].3版.北京:科学出版社,2000:227—233.[10]苏汝坚.量子力学[M].2版.北京:高等教育出版社,2002:283'287.[11]熊钰庆,何宝鹏.量子力学导论[M].广州:广东高等教育出版社,2000:282—285.[12]ZhuSL,WangZD.Universalquantumgatesbasedon apairoforthogonalcyclicstates:ApplicationtONMR systems[J].PhysRevA,2003,67:022319.[13]李华钟.简单物理系统的整体性——贝里相位及其他[M].上海:上海科技出版社,1998.(下转2O页)20大学物理第26卷增加,当>1.1R时,增加迅速,特别是当d>1.18R(即接近距离极限)时,增加得非常快.不过此时线圈的尺寸和电流都很大,如当d=1.18R时,中间线圈半径大约是主线圈的11倍,而电流是主线圈电流的652倍.3)从轴向上看,在主线圈之间磁场均匀性较好,但在接近主线圈时突然变差.数值计算发现,当>1.1R时,在主线圈以外,还有一段均匀性超过0.95的区域.4)均匀性最好的三线圈磁场的参数为:距离d介于1.18至1.188之间,中间线圈电流和大小同时符合式(5)和式(6),此时中间线圈的电流远大于主线圈,不过在技术上可简单地通过多匝密绕线圈实现.例如,d=1.183R时,J:1841J,只需密绕1841匝,然后与主线圈串联通电即可.5)均匀性最好的三线圈磁场的空间分布很理想,特别是两主线圈之间是一几乎标准的圆柱体.例如,对d/R=1.18的三线圈,均匀度为0.95以上的空间可以分成三个部分:一个是直径约为6R,高约为2R的圆柱体;一个是两主线圈所在处的直径约1.8R,高约0.28R的两个圆柱体;一个是底面直径约5.7R,高约0.72R的两个圆锥体.参考文献:[1]张引科,等.共轴三线圈磁场的均匀性[J].大学物理,2004,23(6):11—14.[2]张引科,等.3个共轴线圈形成的匀强磁场[J].物理实验,2003,23(10):43.47.[3]曾晓英.平行共轴三线圈产生均匀磁场的原理和计算[J].广东工业大学,200219(1):5—7.[4]晷会萍,等.平行共轴三线圈磁场均匀性分析[J].陕西师范大学(自然科学版),2002,30(2):41—44.[5]向裕民.圆环电流磁场的普遍分布[J].大学物理,1999,18(1):14—17.[6]张伟,等.同轴等大线圈互感系数及相互作用力.的近似解析公式[J].大学物理,2004,23(8):36.37. ThefurtherstudyaboutthehomogeneityofmagneticfieldofthreecoaxialcoilsCHENJun—bin,ZHUXia,ZHANGFu—zhi(DepartmentofPhysics,LogisticsEngineeringUniversity,Chongqing400016,China) Abstract:Accordingtoanalysisandnumeralcalculation,thehomogeneityofvectorfieldwit hanevencentreisdefined.Alsotheequalhomogeneitysurfaceofthreecoaxialcoilsareworkedondifferentpa rametersandthebestparameterwhichhadn'tbeenobtainedinotherrelativearticlesaregiven. Keywords:homogeneity;threecoaxialcoils;bestparameter(上接15页)ThequantumBerry'SphasefactoranditsteachingYIXue.hua一,YUXiao—guang,FUFeng.1an(1.DepartmentofPhysics,JinggangshanUniversity,Ji'an,Jiangxi343009,China;2.Depart mentofPhysics,HunanUniversity,Changsha410082,China;3.OfficeofHospital,JinggangshanUniversity, Ji'an,Jiangxi343009,China)Abstract:Thephaseproblemofclassicalphysicsandquantummechanicsarereviewed,theng eometricalBerry'Sphaseandhowtoperformitsteachinginquantumphysicsarediscussed. Keywords:quantummechanics;Berryphasefactor;quantumHalleffect;phaseteaching。

绝热近似在量子系统中的应用

绝热近似在量子系统中的应用量子力学是描述微观世界的基础理论，它在各个领域都有广泛的应用。

在一个量子系统中，微小的扰动常常会导致体系的性质发生剧变。

为了解决这一问题，科学家们引入了绝热近似的概念，它在量子系统的研究中发挥着重要的作用。

绝热近似是一种近似方法，通过假设外界场强的变化非常缓慢，从而可以忽略系统因外界扰动而发生的变化。

这一近似方法在量子系统中的应用非常广泛，例如在量子力学中的哈密顿量演化、量子计算和量子模拟等领域。

首先，绝热近似在量子力学中的哈密顿量演化中扮演着重要角色。

绝热演化是指一个量子系统由于外界场强的变化而从一个稳定态演化到另一个稳定态的过程。

绝热近似的核心思想是系统始终处于纯态，且与外界场强的变化无关。

根据绝热定理，如果外界场强的变化率远小于系统的能级间距，那么系统将一直保持在该纯态上。

这种近似方法在量子系统的哈密顿量演化中被广泛应用，例如在量子隧穿和量子相干控制等领域。

其次，绝热近似在量子计算领域也有重要的应用。

量子计算是利用量子力学的特性进行计算的一种新型计算方式。

绝热近似为量子计算提供了一种有效的工具。

在量子计算中，绝热演化可以用于实现量子门操作，即将一个量子比特从初始态演化为目标态。

通过精心设计外界场强的变化方式，可以实现特定的量子门操作。

绝热近似在量子计算中的应用，不仅大大简化了计算过程，还提高了计算精度和可控性。

此外，绝热近似还在量子模拟中有广泛的应用。

量子模拟是通过用一个可调控的量子系统模拟另一个复杂的量子系统。

绝热近似在量子模拟中被应用于设计和实现模拟过程。

通过调整外界场强的变化方式，可以使得被模拟系统的演化与模拟系统的演化趋于一致。

这种近似方法使得量子模拟更加高效和可靠，为解决各种实际问题提供了有力的工具。

综上所述，绝热近似在量子系统的研究中具有重要的应用。

它不仅在量子力学中的哈密顿量演化中发挥作用，还在量子计算和量子模拟等领域发挥着重要作用。

通过这一近似方法，科学家们能够更好地理解和控制量子系统的性质，为量子技术的发展提供了重要的理论和实验基础。