矩阵的判定条件汇总
矩阵的知识点总结
矩阵的知识点总结一、基本概念1.1 矩阵的定义矩阵是一个由数字排成的矩形阵列。
它由m行n列的数域（通常是实数域或复数域）中的元素所组成，用A=(aij)m×n表示。
1.2 矩阵的分类按行、列的数量可以将矩阵分为行矩阵、列矩阵和方阵；按元素的类型可以分为实矩阵和复矩阵。
1.3 矩阵的转置矩阵A的转置记作A^T，其中A^T的行数等于A的列数，A^T的列数等于A的行数。
1.4 矩阵的秩矩阵的秩是指矩阵中非零行的最大数目。
二、性质2.1 矩阵的加法性质设A、B是同一维数的矩阵，则它们的和A+B也是同一维数的矩阵，它的元素是A和B 对应元素的和。
2.2 矩阵的数乘性质设A是m×n的矩阵，k是数，则kA是m×n的矩阵，它的元素是k与A中对应元素的乘积。
2.3 矩阵的乘法性质设A是m×n的矩阵，B是n×p的矩阵，那么它们的乘积AB是m×p的矩阵。
2.4 矩阵的逆若存在一个矩阵B，使得AB=BA=I，其中I是单位矩阵，则称B是A的逆矩阵，记作A^-1。
2.5 矩阵的行列式对于n阶方阵A，其行列式是一个标量，通常用det(A)或|A|表示，代表了矩阵A的某种代数性质。
三、运算3.1 矩阵的加法设A=(aij)m×n，B=(bij)m×n，那么A+B=(aij+bij)m×n。
3.2 矩阵的数乘设A=(aij)m×n，k是数，则kA=(kaij)m×n。
3.3 矩阵的乘法设A=(aij)m×n，B=(bij)n×p，那么AB=(cij)m×p，其中cij=∑(k=1→n)aij*bkj。
3.4 矩阵的转置对于n×m的矩阵A，它的转置矩阵是m×n的矩阵，且满足(a^T)ij=aji。
四、特殊矩阵4.1 方阵每个元素是一个标量的矩阵，其中行数和列数相等。
4.2 零矩阵所有元素都是零的矩阵。
矩阵的判定条件
关于矩阵正定的若干判别方法数学学院数学与应用数学（师范）专业 2010级赵明尖指导教师吴春摘要:矩阵的正定性是矩阵论中的一个重要概念,研究矩阵的正定性一直都是矩阵分析领域中非常热门的课题。
本文主要讨论了矩阵的定义、性质以及正定性。
全文一共分为两章,第一章,主要阐述矩阵的正定性的定义以及性质；第二章,主要讨论了正定性矩阵的定义判别法和定理判别法。
关键词:正定矩阵；定义；性质；判定Abstract: The positive definiteness of matrix is an important concept in theory of the matrix, Studying positive definiteness of the matrix is always a very popular topic in the area of analysis of the matrix. We mainly discuss the definition, property and positive definiteness of matrix in this paper .The text is divided into two chapters, and the first chapter, we mainly expound the definition and property of the positive definiteness of the matrix; the second chapter, we mainly discuss discriminating method of the definition and the theorem of the positive definiteness of matrix.Key words: positive definiteness of the matrix；definition；property；discrimination1 引言代数学是数学中的一个重要分支，矩阵是高等代数中的重要组成部分，而正定矩阵在矩阵论中占有十分重要的地位。
高中数学矩阵知识点
高中数学矩阵知识点一、矩阵的定义矩阵是一个由数字排列成的矩形阵列，通常用大写字母表示，如A、B、C等。
在高中数学中，我们主要处理的是二维矩阵，即有行和列的矩阵。
二、矩阵的表示矩阵的元素可以用a_{ij}表示，其中i表示行号，j表示列号。
例如，矩阵A的第2行第3列的元素记作a_{23}。
三、矩阵的类型1. 零矩阵：所有元素都是0的矩阵。
2. 单位矩阵：主对角线上的元素为1，其余元素为0的方阵。
3. 对角矩阵：主对角线上的元素可以是任意数，其余位置为0的矩阵。
4. 行矩阵：行数为1的矩阵。
5. 列矩阵：列数为1的矩阵。
四、矩阵的加法和减法两个矩阵相加或相减，必须具有相同的行数和列数。
对应位置的元素相加或相减得到新的矩阵。
五、矩阵的乘法1. 两个矩阵相乘，第一个矩阵的列数必须等于第二个矩阵的行数。
2. 乘积矩阵的元素c_{ij}由第一个矩阵的第i行与第二个矩阵的第j列对应元素相乘后求和得到。
六、矩阵的转置矩阵的转置是将矩阵的行变成列，列变成行得到的新矩阵。
记作A^T。
七、行列式行列式是一个与方阵相关的标量值，它提供了矩阵是否可逆的重要信息。
行列式的值可以通过拉普拉斯展开或对角线乘积减去小对角线乘积的方法计算。
八、逆矩阵一个矩阵A的逆矩阵记作A^-1，它满足以下条件：AA^-1 = A^-1A = I，其中I是单位矩阵。
并非所有矩阵都有逆矩阵，只有可逆矩阵（或称为非奇异矩阵）才有逆矩阵。
九、矩阵的应用矩阵在现实生活中有广泛的应用，如在解决线性方程组、图像处理、金融建模、物理学中的向量分析等领域。
十、常见矩阵运算性质1. 交换律：矩阵加法不满足交换律，即A + B ≠ B + A。
2. 结合律：矩阵加法满足结合律，即(A + B) + C = A + (B + C)。
3. 分配律：矩阵乘法满足分配律，即(A + B)C = AC + BC。
4. 单位元：矩阵乘法满足单位元的存在，即IA = AI = A，其中I是单位矩阵。
矩阵可对角化的判定条件及推广
矩阵可对角化的判定条件及推广
矩阵的对角化是矩阵理论的一个重要概念，它指的是有一种转换，使给定的方阵成为一个主对角线向量组成的对角矩阵。
矩阵可对角化是一个重要的判定条件，当满足所有下列条件时，矩阵可以对角化：
1、矩阵必须是n阶可逆矩阵，且n>1，即A必须为n阶可逆方阵；
2、所有特征值都是不同的，只有不同的特征值才能保证对角矩阵的特性；
3、矩阵的特征向量必须互相垂直，它们的内积必须为零，两个向量只有在这种状态下才能够形成一个正交矩阵；
4、矩阵的特征向量必须是单位向量，这种向量的模为1，只有确保矩阵的行列式的值不为0，才能让对角矩阵与原矩阵相同。
对角化矩阵的概念可以拓展到实数矩阵，在这种情况下，矩阵可先进行置换变换，让特征值互不相同，然后进行双对角化，将原矩阵分解为两个对角矩阵的乘积，然后将每个矩阵的特征向量分别作为其特征值的正交基，最后将所有对角矩阵的特征值按照其特定顺序汇总起来，从而形成一个新的对角矩阵。
补充到此，实数矩阵也同样满足上述矩阵可对角化的四条条件。
综上所述，矩阵可对角化的判定条件是：矩阵是可逆矩阵，并且特征值各不相同，特征向量互相垂直，且为单位向量，这四条条件同时满足时，矩阵可以对角化。
此外，对角化的概念也可以拓展到实数矩阵，用置换变换与双对角化使实数矩阵可对角化，实数矩阵也必须满足上述四条条件。
矩阵可逆的判定条件
矩阵可逆的判定条件
矩阵可逆的判定条件是一个重要而又有趣的数学问题，它尤其重要，因为可逆矩阵常常被应用于线性规划和求解方程组，以及研究矩阵的几何性质。
一般来说，假设$A$是一个$n times n$的矩阵，要想判断它是否可逆，可以用三种方法。
第一种方法是通过求矩阵的行列式$Delta$来判断，即如果$Delta
eq 0$，则$A$是可逆矩阵，反之则不是可逆矩阵，这是最直接的方法。
第二种是利用矩阵的秩来判断。
假设$A$的矩阵秩是$r$，那么如果$r=n$，即$A$的秩为它的阶数，则$A$是可逆的；反之，如果$r<n$，则$A$是不可逆的。
第三种方法是通过求解A的逆矩阵（如果存在）来判断。
具体的做法是，记$A^{-1}$表示矩阵$A$的逆矩阵，如果$A^{-1}$存在，则说明$A$可逆；反之，$A^{-1}$不存在，则说明$A$是不可逆的。
以上三种方法都可以用来判断一个矩阵是否可逆，但是它们并不相互等价。
将它们拆开来看，第一种方法是求矩阵的行列式，由于行列式的几何意义是可以用来判断矩阵的秩的，因此第二种方法实际上是基于第一种方法的简化。
而第三种方法则与第一种和第二种方法有着更直接的联系，但是它的实现可能更加复杂，因此在这里，我们不会详细叙述它。
总之，我们可以说，矩阵可逆的判定条件是一个有趣而又重要的数学问题，有三种方法可以用来判断一个矩阵是否可逆：求矩阵的行列式，求矩阵的秩，以及求逆矩阵。
无论如何，判断一个矩阵是否可逆都是不容易的，希望这篇文章能够让读者有所收获。
对称正定矩阵判定
对称正定矩阵判定
对称正定矩阵是线性代数中非常重要的概念之一。
它是一个方阵，满足两个条件：首先，它是对称的，也就是说，矩阵的转置和矩阵本身是相等的；其次，它是正定的，也就是说，对于任意非零向量v，v的转置与矩阵相乘后的结果v'Av都大于零。
对称正定矩阵在许多领域都有广泛的应用。
在数值计算中，它们可以用来解决线性方程组和最小二乘问题。
在优化问题中，它们可以用来求解最大值和最小值。
在统计学中，它们可以用来估计参数和计算置信区间。
判断一个矩阵是否为对称正定矩阵有多种方法。
其中一种方法是通过计算矩阵的特征值来判断。
如果矩阵的所有特征值都大于零，那么它就是正定的。
另一种方法是通过计算矩阵的主子式来判断。
如果矩阵的所有主子式都大于零，那么它就是正定的。
除了判断对称正定矩阵外，我们还可以对其进行一些运算。
例如，可以对其进行矩阵乘法、矩阵加法和矩阵的转置等运算。
这些运算可以帮助我们解决各种实际问题。
对称正定矩阵在数学和应用领域都有重要的地位。
它们不仅是理论的基础，也是解决实际问题的工具。
无论是在科学研究还是工程应用中，对称正定矩阵都发挥着重要的作用。
因此，掌握对称正定矩阵的性质和判断方法是非常有必要的。
矩阵知识点归纳总结
矩阵知识点归纳总结一、矩阵的表示1. 矩阵的定义矩阵是由m行n列数字构成的矩形数组，通常用大写字母表示，如A、B、C等。
矩阵的元素用小写字母表示，如a_ij表示第i行第j列的元素。
2. 矩阵的大小矩阵的大小由其行数和列数确定，通常用m×n表示。
例如一个3×2的矩阵表示有3行2列的矩阵。
3. 矩阵的类型根据矩阵的大小和元素的性质，可以分为方阵、对角阵、零矩阵等。
方阵是行数等于列数的矩阵，对角阵是只有主对角线上有非零元素的矩阵，零矩阵则所有元素均为零。
二、矩阵的运算1. 矩阵的加法如果两个矩阵A和B的大小相同，即都是m×n的矩阵，那么它们的和C=A+B也是一个m×n的矩阵，其中C的第i行第j列的元素等于A的第i行第j列的元素加上B的第i行第j列的元素。
2. 矩阵的数乘如果一个矩阵A的大小为m×n，那么它的数乘kA也是一个m×n的矩阵，其中k是一个常数，且kA的每个元素等于A相应位置的元素乘以k。
3. 矩阵的乘法矩阵的乘法是一种较为复杂的运算，如果矩阵A的大小为m×n，矩阵B的大小为n×p，那么它们的乘积C=AB是一个m×p的矩阵，其中C的第i行第j列的元素等于A的第i行和B的第j列对应元素的乘积之和。
4. 矩阵的转置矩阵的转置是指将矩阵的行和列互换得到的新矩阵，它通常用A^T表示。
例如，如果A 是一个m×n的矩阵，那么它的转置A^T就是一个n×m的矩阵，其中A^T的第i行第j列的元素等于A的第j行第i列的元素。
5. 矩阵的逆如果一个方阵A存在逆矩阵A^-1，那么称A是可逆的。
A的逆矩阵满足AA^-1 = A^-1A = I，其中I是单位矩阵。
逆矩阵A^-1可以用来求解线性方程组和矩阵方程。
三、矩阵的特征1. 矩阵的秩矩阵的秩是指矩阵中非零行列式的个数，它也等于矩阵的列空间维数和行空间维数的最小值。
矩阵知识点归纳
矩阵知识点归纳矩阵，作为数学中一个重要的概念，在多个领域都有着广泛的应用。
接下来，咱们就一起来好好梳理一下矩阵的相关知识点。
首先，咱们来聊聊矩阵的定义。
简单来说，矩阵就是一个按照矩形排列的数字或者符号的阵列。
比如说，一个 m 行 n 列的矩阵，就可以写成 A ＝ aij，其中 i 表示行，j 表示列，aij 就是第 i 行第 j 列的元素。
矩阵有很多类型，比如零矩阵，就是所有元素都为零的矩阵；单位矩阵，主对角线元素都为 1，其余元素都为 0 的矩阵；还有对称矩阵，满足 A ＝ A^T（A^T 表示 A 的转置矩阵）。
接下来谈谈矩阵的运算。
矩阵的加法和减法，要求两个矩阵的行数和列数都相同，然后对应位置的元素相加或相减。
矩阵的乘法就有点特别啦。
一般来说，只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时，它们才能相乘。
比如说，一个 m×n 的矩阵 A和一个 n×p 的矩阵 B 相乘，得到的矩阵 C 是 m×p 的，其中 C 的元素Cij 是 A 的第 i 行与 B 的第 j 列对应元素乘积的和。
矩阵的转置也很重要。
把矩阵 A 的行换成同序数的列得到的新矩阵，就叫做 A 的转置矩阵，记作 A^T 。
再来说说逆矩阵。
对于一个 n 阶方阵 A，如果存在另一个 n 阶方阵B，使得 AB ＝ BA ＝ I（I 是单位矩阵），那么 B 就是 A 的逆矩阵，记作 A^（－1) 。
不是所有的矩阵都有逆矩阵哦，只有行列式不为零的矩阵才有逆矩阵。
矩阵的秩也是一个关键概念。
矩阵 A 的秩就是 A 中线性无关的行向量或者列向量的最大个数。
在实际应用中，矩阵有着非常重要的作用。
比如说在图像处理中，图像可以用矩阵来表示，通过对矩阵的运算和变换，可以实现图像的旋转、缩放、平移等操作。
在解线性方程组的时候，也会用到矩阵。
可以把线性方程组写成矩阵形式 Ax ＝ b，然后通过矩阵的运算来求解。
在经济学中，投入产出模型就用到了矩阵，能够帮助分析经济系统中各个部门之间的相互关系。
两个矩阵相似的必要条件(一)
两个矩阵相似的必要条件(一)两个矩阵相似的必要条件相似矩阵的定义相似矩阵是线性代数中的一个概念，它指的是两个矩阵具有相同的特征值。
如果两个矩阵相似，它们可以通过合适的线性变换互相转化。
必要条件矩阵A和B相似的必要条件是它们有相同的特征多项式，即它们的特征多项式的系数相同。
具体来说，假设A和B是两个n阶矩阵，它们的特征多项式分别为fA(x)和fB(x)，则A和B相似的必要条件是：1.两个矩阵的特征多项式相等：fA(x) = fB(x)这意味着特征多项式的系数相同，即各个幂次的特征值个数相同。
例如，如果矩阵A的特征多项式为fA(x) = (x-1)(x-2)^2，矩阵B的特征多项式为fB(x) = (x-1)(x-2)(x-3)，则A和B不相似，因为它们的特征多项式的系数不同。
2.两个矩阵的每个特征值的代数重数相同：矩阵的特征值的代数重数是指特征值在特征多项式中的重数。
如果两个矩阵的每个特征值的代数重数相同，则它们有可能相似。
例如，如果矩阵A的特征值1的代数重数为2，而矩阵B的特征值1的代数重数只有1，则A和B不相似。
3.两个矩阵的每个特征值的几何重数相同：矩阵的特征值的几何重数是指特征值对应的特征向量的个数。
如果两个矩阵的每个特征值的几何重数相同，则它们有可能相似。
例如，如果矩阵A的特征值1的几何重数为2，而矩阵B的特征值1的几何重数只有1，则A和B不相似。
总结判断两个矩阵是否相似的必要条件包括它们的特征多项式相等，每个特征值的代数重数相同以及每个特征值的几何重数相同。
注意，这些条件只是相似的必要条件，而不是充分条件。
也就是说，满足这些条件的两个矩阵有可能相似，但不一定相似。
要判断两个矩阵是否相似，还需要进一步进行其他的分析和计算。
希望本文能帮助读者了解两个矩阵相似的必要条件，并为进一步研究和应用提供参考。
矩阵不可逆的判定条件
矩阵不可逆的判定条件矩阵是线性代数中的重要概念，它在各个领域都有广泛的应用。
在矩阵运算中，有一个重要的概念是可逆矩阵。
可逆矩阵是指存在逆矩阵的矩阵，即矩阵A存在逆矩阵B，使得A乘以B等于单位矩阵。
然而，并非所有的矩阵都是可逆的，有一些特定的条件需要满足才能判断矩阵是否不可逆。
在线性代数中，一个矩阵是不可逆的条件是其行列式的值为0。
行列式是矩阵的一个重要的数值特征，可以通过对矩阵的元素进行一系列的运算得到。
如果一个矩阵的行列式等于0，那么这个矩阵就是不可逆的。
那么，如何判断一个矩阵的行列式是否为0呢？一个简单的方法是使用高斯消元法。
高斯消元法是一种求解线性方程组的常用方法，它可以将一个矩阵转化为行阶梯形矩阵，从而得到矩阵的行列式的值。
如果行列式的值为0，那么这个矩阵就是不可逆的。
另外一个判断矩阵不可逆的方法是使用矩阵的秩。
矩阵的秩是指矩阵中线性无关的行或列的最大个数。
如果一个矩阵的秩小于它的维数，那么这个矩阵就是不可逆的。
这是因为可逆矩阵的秩等于它的维数。
除了行列式和秩，还有一个方法可以判断矩阵的可逆性，那就是使用矩阵的特征值。
特征值是矩阵的一个重要的数值特征，可以通过解矩阵的特征方程得到。
如果一个矩阵的所有特征值都不为0，那么这个矩阵就是可逆的。
反之，如果存在特征值为0，那么这个矩阵就是不可逆的。
判断一个矩阵是否不可逆可以通过行列式、秩和特征值这些数值特征来进行。
当矩阵的行列式为0，秩小于维数或存在特征值为0时，这个矩阵就是不可逆的。
不可逆矩阵在线性代数中有着重要的作用。
在求解线性方程组时，如果系数矩阵是不可逆的，那么这个线性方程组就没有唯一解。
此外，在矩阵的运算中，可逆矩阵可以用来求解矩阵的逆、解线性方程组等。
因此，判断矩阵是否可逆对于线性代数的学习和应用都是至关重要的。
总结一下，判断一个矩阵是否不可逆可以通过行列式、秩和特征值等数值特征来进行。
不可逆矩阵在线性代数中有着重要的作用，它会影响到线性方程组的解的存在性以及矩阵的运算等。
判断矩阵正定方法
判断矩阵正定方法在线性代数中，一个矩阵被称为正定矩阵（positive definite matrix），如果对于任意非零向量x，都有x^T A x > 0，其中A是一个n×n的实对称矩阵，x^T表示x的转置。
正定矩阵是很重要的数学概念，在数学分析、优化和统计学等领域中都有广泛应用。
判定一个矩阵是否为正定矩阵有多种方法，下面将介绍几种常见的方法。
1.特征值方法：一个实对称矩阵A为正定矩阵，当且仅当A的所有特征值都大于0。
对于一个实对称矩阵A，可以通过求解其特征值来判断其是否为正定矩阵。
如果A的所有特征值均大于0，则A为正定矩阵；如果A的所有特征值都大于等于0，但存在至少一个特征值为0，则A被称为半正定矩阵。
如果存在至少一个特征值小于0，则A不是正定矩阵。
2.主子式方法：对于一个实对称矩阵A，如果对于任意正整数k(1≤k≤n)，A的所有k阶主子式（取A的前k行和前k列所得到的矩阵的行列式）都大于0，则A为正定矩阵。
3.正定性与正定次序数：对于一个实对称矩阵A，如果存在置换矩阵P，使得P^TAP=D为对角矩阵，且对角元素都大于0，则A为正定矩阵。
这里的D被称为A的正定次序数。
4.其他方法：除了上述方法外，还有一些其他方法也可以用于判断矩阵的正定性，比如Cholesky分解、Sylvester判别准则和线性规划等。
Cholesky分解利用正定矩阵的特点，将其分解为一个下三角矩阵和其转置的乘积，如果分解成功，则矩阵为正定矩阵。
Sylvester判别准则利用特征值的性质和矩阵的顺序主子式来判断正定性。
线性规划则是将矩阵和向量组成线性规划问题，通过求解问题的最优解来判断矩阵的正定性。
总结起来，判断矩阵是否为正定矩阵可以通过特征值、主子式、置换矩阵以及其他方法来进行。
不同的方法适用于不同的情况，其中特征值方法是最常用且最简便的方法。
在实际应用中，判断矩阵的正定性是非常重要的，因为正定矩阵具有许多重要的数学性质和应用，比如在优化算法中的拟牛顿法和共轭梯度法中的Hessian矩阵的正定性检验，以及在统计学中的协方差矩阵的正定性检验等。
矩阵的合同与相似及其等价条件汇总
矩阵的相似与合同及其等价条件研究（数学与统计学院（数学与统计学院 09 09级数学与应用数学一班）指导老师：王晶晶引言矩阵的相似与合同及其等价三者在线性代数中是很重要的概念，在线性代数的学习中，矩阵的相似与合同作为研究工具，得到广泛的应用[1-10]，起着非常重要的作用，能够把要处理的问题简单化[9]，本文对矩阵的等价，合同，相似进行了简单的介绍并对其判别方法给了具体的例子进行解释说明，对矩阵的应用学习有一定的帮助其判别方法给了具体的例子进行解释说明，对矩阵的应用学习有一定的帮助. .1 矩阵的等价与相似及其合同的基本概念1.1矩阵等价的定义[1]定义 1.1 1.1 如果矩阵如果矩阵A 可以有矩阵B 经过有限次初等变换得到，称A 与B 是等价的.由于要与矩阵的相似，合同进行比较，上述概念可以约束条件得到：定义1.2 1.2 如果如果n 阶矩阵A 可以由n 阶矩阵B 进过有限次初等变换得到，则称A 与B 是等价的是等价的. .根据初等变换和初等矩阵的关系以及可逆矩阵的充分必要条件，可以用数学语言描述：定义1.3 1.3 设矩阵设矩阵A ,B 为n 阶矩阵，如果存在n 阶可逆矩阵P 和Q ,使得B PAQ =,则称矩阵A 与B 等价，记作A ∽B . 1.2 矩阵相似的定义[2]定义 1.4 1.4 设矩阵设矩阵A ，B 为n 阶矩阵，如果存在一个是n 阶可逆矩阵P ，使得B AP P =-1,则称矩阵A 与矩阵B 相似，记作A ～B .1.2.1 n 阶矩阵的相似关系，具有下列性质[3]:性质1.1 1.1 反身性，即任一反身性，即任一n 阶矩阵A 与自身相似与自身相似. .性质1.2 1.2 对称性，即如果对称性，即如果A ～B ，则B ～A . 性质1.3 1.3 传递性，如果传递性，如果A ～B ，B ～C ，则A ～C . 性质1.4P A k AP P k P A k A k P 221122111)(+=+--. . （（21,k k 是任意常数）性质1.5 ))(()(2111211P A P P A P P A A P ---=.性质1.6 若矩阵A 与矩阵B 相似，则m A 与mB 相似相似. . . （（m 为正整数）为正整数）证明证明 存在一个可逆矩阵存在一个可逆矩阵P ，使得B AP P =-1，那么，那么()P A P B APPmmm11--==，故可以得到mA 与相mB 相似相似. .性质1.7 1.7 如果矩阵如果矩阵A 、B 都是满秩，则A ～B ，那么1-B ～1-A . 证明证明 存在一个可逆矩阵P ，使得B AP P =-1，那么()P A P B APP11111-----==，故可以得到1-B ～1-A .性质1.8 1.8 如果矩阵如果矩阵A ～B ，那么B A =.证明证明 存在一个可逆矩阵存在一个可逆矩阵P ，使得B AP P =-1，又因为B AP P =-1，11=-P P ，故可以得到B A =.性质1.9 1.9 相似矩阵或者都可逆，或者都不可逆相似矩阵或者都可逆，或者都不可逆相似矩阵或者都可逆，或者都不可逆..并且当它们都可逆时候，它们的逆矩阵也相似逆矩阵也相似. .证明证明 设AP P B 1-=，若矩阵B 可逆，()P A P APPB 11111-----==，从而1-B 和1-A也相似也相似. .若B 不可逆，则AP P 1-不可逆，即A 也不可逆也不可逆. .性质1.10 相似矩阵有相同的特征值相似矩阵有相同的特征值. .证明证明 设AP P B 1-=，AP P EP P B E 11---=-l l()P A E P -=-l 1AE -=l故矩阵A 的特征值与矩阵B 有相同的特征值有相同的特征值. .性质1.11 相似矩阵有相同的迹相似矩阵有相同的迹. .证明证明 可以设矩阵A 与矩阵B 相似，那么存在一个可逆矩阵P ,使得B AP P =-1，()()AP Pt B t rr 1-=()PAPt r1-=()A t r =例 1 ÷÷øöççèæ=3002A ，÷÷øöççèæ=2003B ，求分别求矩阵A 、B 的特征多项式，特征值秩的特征多项式，特征值秩,,迹，行列式，矩阵A 与B 是否相似，它们之间有什么关系？是否相似，它们之间有什么关系？解 从已知可知从已知可知63002==A ，,2)(=A Rank 5)(=A t r对于A 的特征多项式32--=-l l l A E )3)(2(--=l l故A 的特征值为2和3.对于矩阵B ,62003==B ，,2)(=B Rank 5)(=B t r矩阵B 的特征多项式)3)(2(23--=--=l l l l B .故矩阵B 的特征值是2和3.存在一个可逆矩阵存在一个可逆矩阵÷÷øöççèæ=0110P 使得B AP P =-1，从定义矩阵B 与矩阵A 相似相似.. 从结果看到相似矩阵有相同的特征多项式、相同的特征值、相等的行列式的值、相等的迹[2-4].例2 设实数域上的3级实对称矩阵÷÷÷øöçççèæ------=124242421A ，对角矩阵÷÷÷øöçççèæ-=400050005B .求矩阵A 、B 的特征值，特征多项式并且矩阵A 与矩阵B 相似吗？如果相似求出可逆矩阵P .解 由矩阵由矩阵A 的特征多项式为11020242421124242421-+---=---l l l l l l l100242421---=l l l )4()5(2+-=l l 故矩阵A 的特征值为5和—和—4. 4.容易知道矩阵B 的特征多项式和矩阵A 的相同，的相同，故矩阵B 的特征值为5和-4.-4.那么存在一个可逆矩阵那么存在一个可逆矩阵P ,÷÷÷÷÷÷øöççççççèæ--=325310315152552325154551P 验证得到B AP P =-1，那么矩阵A 与矩阵B 相似，它们有相同的特征值和特征多项式相似，它们有相同的特征值和特征多项式. . 1.3 矩阵合同的定义[2]定义1.5 设A ，B 为n 阶矩阵，如果存在一个n 阶可逆矩阵C ，使得B AC C T=，则称A 与B 合同，记作B A @. n 阶矩阵的合同关系具有下列性质：阶矩阵的合同关系具有下列性质：⑴ 反身性反身性: : : 即任一即任一n 级矩阵与自身合同级矩阵与自身合同. . ⑵ 对称性对称性: : : 即如即如A 与B 合同，则B 与A 合同合同. .⑶ 传递性传递性: : A 与B 合同，B 与C 合同，则A 与C 合同合同. . ⑷ 合同的两矩阵有相同的二次型标准型合同的两矩阵有相同的二次型标准型. . ⑸ 任何一个实对称矩阵合同于一个对角矩阵任何一个实对称矩阵合同于一个对角矩阵. .⑹ 两个实对称矩阵合同，它们的秩相等，而且正惯性指数相等两个实对称矩阵合同，它们的秩相等，而且正惯性指数相等. .2. 合同矩阵与相似矩阵的关系2.1 矩阵的相似与合同的相同点[5].⑴ 从上面可以看到，相似关系满足反身性、对称性、传递性；合同关系也具有从上面可以看到，相似关系满足反身性、对称性、传递性；合同关系也具有反身性、对称性、传递性反身性、对称性、传递性. .⑵ 相似相似相似 、合同矩阵均有相同的秩、合同矩阵均有相同的秩. .若矩阵若矩阵A 相似与矩阵B ，则)()(B Ra n k A Ra n k=，若矩阵A 合同于矩阵B ，则)()(B Ra n k A Ra n k =.可见，如果两个矩阵相似或合同，那么它们的秩相同可见，如果两个矩阵相似或合同，那么它们的秩相同. .⑶ 相似与合同的矩阵要求是同型的方阵相似与合同的矩阵要求是同型的方阵相似与合同的矩阵要求是同型的方阵. . 若矩阵若矩阵A 于矩阵B 相似，则要求A 、B 都是方阵；若A 合同与B ，则要求A 、B 都方阵方阵..就是说相似与合同的矩阵要求是同型矩阵，而且都是方阵就是说相似与合同的矩阵要求是同型矩阵，而且都是方阵. . 2.2 矩阵的相似与合同的不同点[5].矩阵的相似与合同有一些不同之处，如矩阵的相似与合同有一些不同之处，如A ～B ，则B A =，A 与B 有相同的特征值征值..但若A @B ，那么A 与B 的行列式的值不一定相等；A 与B 也不一定有相同的特征值征值..例1 1 设设÷÷÷øöçççèæ----=542452222A ,÷÷÷÷÷÷÷øöçççççççèæ---=32455032454513145252T ,÷÷÷øöçççèæ=1000010001B , 不难验证：不难验证：B AT T T=，有B A @.我们可以知道上面的矩阵等式满足矩阵的合同同时满足矩阵的相似，能够知道矩我们可以知道上面的矩阵等式满足矩阵的合同同时满足矩阵的相似，能够知道矩阵T 为正交矩阵，故A ～B ，矩阵A 的行列式可以等于B 的行列式，下面举出合同但是行列式不等的情况行列式不等的情况. .例2 ÷÷øöççèæ=3221A ，÷÷øöççèæ--=12441B ，÷÷øöççèæ-=2001C .经过验证可以知道经过验证可以知道1-=A ，4-=B ，然而B AC C T=，B A ¹，可以得到矩阵A 合同于B ，但是行列式可以不等，但是行列式可以不等. .我们知道矩阵相似具有相同的特征值，这是因为相似矩阵有相同的特征多项式我们知道矩阵相似具有相同的特征值，这是因为相似矩阵有相同的特征多项式我们知道矩阵相似具有相同的特征值，这是因为相似矩阵有相同的特征多项式. .我们设A ～B ，则有可逆矩阵P ，使得AP P B 1-=，于是，于是111()E B E P AP P E P P AP l l l ----=-=-=1()P E A P l --=E A l -故特征值相同故特征值相同. .然而对于矩阵然而对于矩阵A 合同与矩阵B ，但是它们的特征值不一定相同，但是它们的特征值不一定相同::例3 设÷÷÷÷øöççççèæ=121211A ，÷÷øöççèæ=43001B ，÷÷øöççèæ-=10211C 不难验证不难验证B AC C T=,即B A @，但是A 的特征值为21和23，B 的特征值为1和43 显然，矩阵的相似与矩阵的合同是不同的概念显然，矩阵的相似与矩阵的合同是不同的概念. .2.3 矩阵等价、合同与相似的联系[7].结论2.1 2.1 相似矩阵一定是等价矩阵，等价矩阵未必为相似矩阵相似矩阵一定是等价矩阵，等价矩阵未必为相似矩阵相似矩阵一定是等价矩阵，等价矩阵未必为相似矩阵. .证明 设n 级矩阵A 、B 相似，从定义知道存在n 阶矩阵P ，使得B AP P =-1，从等价的定义B A @.反过来，对于矩阵÷÷øöççèæ=010001A ，÷÷øöççèæ=010121B ，A 与B 等价，但是A 与B 并不相似.结论2.2 2.2 合同矩阵一定是等价矩阵，等价矩阵未必是合同矩阵合同矩阵一定是等价矩阵，等价矩阵未必是合同矩阵合同矩阵一定是等价矩阵，等价矩阵未必是合同矩阵. .证明证明 设设n 阶方阵B A ,合同，由定义1.5有，存在n 阶可逆矩阵1P ，使得B AP P T=1， 若记11,P Q P P T== , ,则有则有B PAQ =因此由定义1.3得到n 阶方阵B A ,等价等价. .反过来对于矩阵÷÷øöççèæ=1001A ,÷÷øöççèæ=1021B 等价，但是A 与B 并不合同，即等价矩阵未必合同．矩阵未必合同．2.4矩阵合同与相似的关系[7]结论 2.3 2.3 如果如果M 与N 都是n 级对称矩阵，且有相同的特征值，则M 与N 既合同又相似同又相似. .证明证明 设设M 、N 的特征值均为1l 、2l 、 n l ，因为M 与N 都是n 级实对称矩阵，则一定存在n 阶正交矩阵P ，使得：÷÷÷øöçççèæ=-n MP P l l 11同理，可以找到一个正交矩阵Q ，使得：，使得：÷÷÷øöçççèæ=-n NQ Q l l 11从上面两式有：从上面两式有：NQ Q MP P 11--=将上式两边分别左乘Q 和又乘1-Q ，得：，得：MPQ QP N 1`-= ()()11`1---=PQ M PQ由于由于 E QQ E PP TT==, 故 TPQ 可逆，又由于：可逆，又由于：（1111)()()TTPQ PQ PQ Q P ----=TTQP PQ =E =所以1-PQ 是正交矩阵是正交矩阵故M ～N N M @,结论2.4 2.4 若若n 阶矩阵A 与B 中只要有一个正交矩阵，则AB 与BA 相似且合同．相似且合同． 证明证明 不妨不妨A 是正交矩阵是正交矩阵,,则A 可逆取可逆取,,A P =, 有()()BA BA A A ABA A ABP P ===---111，则AB 与BA 相似，相似， 又A 是正交阵，所以AB 与BA 既相似又合同既相似又合同. .结论2.5 2.5 若若A ～B ,且B A @，C ～D 且D C @，则，则÷÷øöççèæC A 00～÷÷øöççèæD B 00，÷÷øöççèæ@÷÷øöççèæD B C A 0000证明证明 从已知，从已知，C ～B , C ～D ，故存在可逆矩阵1P ，2P 使得使得B APP=-111 DCP P =-212令 ÷÷øöççèæ=2100P P P 则 ÷÷øöççèæ=---1211100P P P且 ÷÷øöççèæ=÷÷øöççèæ---21211110000CP P APP P C A P÷÷øöççèæ=D B00 故 ÷÷øöççèæC A 00～÷÷øöççèæD B 00 又因为D C B A @@，，，故存在可逆矩阵1T ，2T ， 使得使得 1122,TT T AT B T CT D ==令÷÷øöççèæ=2100T T T 则 ÷÷øöççèæ=T TTT T T 2100 然而然而 112200000000T TT T A A T T T T C C T æöæöæöæö=ç÷ç÷ç÷ç÷èøèøèøèø 11220000TT T T T T æöæö=ç÷ç÷èøèø 11220000T T B T AT D T CT æöæö==ç÷ç÷èøèø 故 ÷÷øöççèæC A 00@÷÷øöççèæD B 003 相似矩阵的应用3.1 相似矩阵的简单应用[8]在矩阵mA 的求解过程中，很难得到它的值，然而可以找到与矩阵A 相似的简单的矩阵，可把矩阵化简为对角矩阵，使得BP P A 1-=，其中P 为可逆矩阵为可逆矩阵,,B 对角矩阵，可知矩阵A 与矩阵B 相似，那么()P B P BP P A mmm11--==，从而可以使得不宜求的矩阵简单化。
关于矩阵等价 合同 相似以及可对角化的性质和判别条件的总结
6.对于实对称矩阵A、B，A B A与B合同，反之不成立
A B A和B具有相同的特征值 A与B合同
矩阵A与B等价、合同、相似的判别条件
矩阵A与B等价
可逆矩阵PQ,使得B PAQ r( A) r(B),且A与B为同型矩阵
故矩阵A与B等价 r( A) r(B)，反之不一定成立
r( A) r(B) A 与 B 同号 矩阵A与B合同 A与B具有相同的特征值 A与B的正、负特征值个数分别相等， 即正特征值个数相等，负特征值个数相等
可逆矩阵C，使得CT AC B
xT
Ax与xT
Bx有相同的正负惯性指数
1.矩阵A与B合同 A与B的特征值中，正特征值个数相等，负特征值个数相等
r A r B
A B
A有n个线性无关的特征向量
2.n阶矩阵A可对角化
对于A的每个特征值i ,其重数ki
A有n个不同的特征值
n
r iE
A
A为实对称矩阵
0
A
a11a22
ann
aii 0,i 1, 2, , n.
5.矩阵A与B相似：即可逆矩阵P，使得B P1AP.
r A r B
A、B具有相同的特征多B具有许多相同的性质
A、B具有相同的特征值 AB
tr A tr B,即： aii bii
A1 B1、AT B、A* B、f ( A) f (B)，其中f (x)为关于x的多项式
矩阵A与B的相似问题一般只对实对称矩阵而言，
即矩阵A与B均为实对称矩阵。
实对称矩阵A与B相似 A与B具有相同的特征值
此外还可以根据A与B相似的必要条件进行判别
A
Ann
是
否
是
A是否为实对称矩阵
矩阵的总结知识点
矩阵的总结知识点一、矩阵的基本概念1. 矩阵的定义矩阵是一个按照矩形排列的数学对象。
矩阵的概念最早出现在线性代数理论中，它是由m行n列的数字排成的矩形阵列。
通常表示为一个大写字母，比如A，而矩阵中的元素通常用小写字母表示，比如a_ij，表示在第i行第j列的元素。
2. 矩阵的类型根据矩阵的形状和性质不同，可以将矩阵分为多种类型，比如方阵、对称矩阵、对角矩阵、三角矩阵等。
方阵是指行数和列数相等的矩阵，对称矩阵是指矩阵关于主对角线对称，对角矩阵是指除了主对角线上的元素外，其他元素都为零，而三角矩阵是指上三角或下三角矩阵。
3. 矩阵的运算矩阵的运算包括矩阵的加法、减法、数乘、矩阵的乘法等。
其中，矩阵的加法和减法要求相加的矩阵具有相同的形状，即行数和列数相同；而矩阵的数乘是指矩阵中的每个元素都乘以一个标量；矩阵的乘法是指矩阵A的列数等于矩阵B的行数时，可以进行矩阵乘法运算。
4. 矩阵的转置和逆矩阵矩阵的转置是指将矩阵的行和列对调得到一个新的矩阵，记作A^T。
而逆矩阵是指如果一个矩阵A存在逆矩阵A^(-1)，使得A*A^(-1)=I，其中I是单位矩阵，则称矩阵A可逆，否则称矩阵A为奇异矩阵。
二、矩阵的应用1. 线性方程组的求解矩阵可以用来表示和求解线性方程组，线性方程组可以表示成AX=B的形式，其中A是系数矩阵，X是未知数矩阵，B是常数矩阵。
通过矩阵的基本变换和行列式的计算，可以求解线性方程组的解。
2. 数据处理和分析在数据处理和分析领域，矩阵可以用来表示和处理大规模的数据集。
比如，在机器学习算法中，可以通过矩阵的运算和矩阵分解来进行数据的降维和特征的提取。
3. 控制理论在控制理论中，矩阵可以用来描述线性系统的状态方程和控制方程，通过对状态矩阵和控制矩阵的计算和分析，可以得到系统的稳定性和控制性能。
4. 计算机图形学在计算机图形学中，矩阵可以用来描述和处理图形的旋转、平移、缩放等变换，通过矩阵的运算和矩阵乘法，可以实现图形的变换和动画效果。
矩阵不可逆的判定条件
矩阵不可逆的判定条件
在线性代数中，一个矩阵A是可逆的，当且仅当存在一个矩阵B，使得AB=BA=I，其中I表示单位矩阵。
换句话说，矩阵A可逆，当且仅当它的行列式不为零。
因此，矩阵不可逆的判定条件就是其行列式为零。
具体地，设矩阵A的行列式为det(A)，如果det(A)=0，那么矩
阵A不可逆；反之，如果det(A)≠0，那么矩阵A可逆。
需要注意的是，如果矩阵A不可逆，那么它也称为奇异矩阵；如果矩阵A可逆，那么它也称为非奇异矩阵。
矩阵不可逆的原因可能有很多，比如矩阵行列式为零、存在行（列）与其他行（列）线性相关等。
在实际应用中，矩阵的可逆性通常与解线性方程组、矩阵的特征值、矩阵的秩等问题相关。
因此，在研究这些问题时，需要对矩阵的可逆性进行判定。
- 1 -。
两个矩阵相等的条件
两个矩阵相等的条件矩阵是一种非常重要的数学概念，在很多领域都有着广泛的应用。
在矩阵计算中，判断两个矩阵相等，是一件非常重要的事情。
在本文中，我们将探讨判断两个矩阵相等的条件。
一、矩阵的定义首先，我们需要了解矩阵的定义。
矩阵是一个由数值排列成的矩形数组，其中每个数值称为元素。
通常用大写字母表示矩阵，如A，B 等。
二、矩阵相等的定义在矩阵相等的定义中，当且仅当两个矩阵的元素完全相同，即相同的行和列位置上的元素相等，我们可以称这两个矩阵相等。
例如，对于两个矩阵A和B，当且仅当A和B的所有元素都相等时，A=B。
三、矩阵相等的条件在矩阵相等的条件中，我们也需要了解一些基础的方法。
以下是几种判断矩阵相等的方法：1. 判断每个元素是否相等。
这是最常见的一种方法，但是对于大型矩阵来说，这种方法非常耗时。
2. 对每个元素取绝对值，并判断总和是否相等。
这种方法可以避免负数的干扰，但是存在一些较小的矩阵，绝对值之和可能相等但元素不等的情况。
3. 将矩阵转化为向量，并判断向量相等。
这种方法可以减少比较的时间，但是对于存在多个相同元素的情况，这种方法不适用。
4. 对每列元素排序，并判断排序后的列是否相等。
这种方法可以减少比较的时间，但是并不适用于所有情况。
四、矩阵相等的注意事项在学习矩阵相等的定义与条件时，也需要注意一些事项。
以下是几点需要注意的事项：1. 矩阵的行数和列数必须相等才能比较两个矩阵是否相等。
2. 如果矩阵中有NaN或无穷大的元素，则不能比较两个矩阵是否相等。
3. 对于大型矩阵，比较两个矩阵是否相等可能需要花费很长时间。
结论：综合以上所述，我们可以得出结论：在判断两个矩阵是否相等的时候，我们需要考虑矩阵的定义，同时也需要注意判断方法的选择。
同时，我们还需要注意一些特殊情况，如矩阵的NaN或无穷大元素。
只有在对以上细节都非常了解的情况下，我们才能够准确地判断两个矩阵是否相等。
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关于矩阵正定的若干判别方法数学学院数学与应用数学（师范）专业2010级赵明尖指导教师吴春摘要:矩阵的正定性是矩阵论中的一个重要概念,研究矩阵的正定性一直都是矩阵分析领域中非常热门的课题。
本文主要讨论了矩阵的定义、性质以及正定性。
全文一共分为两章,第一章,主要阐述矩阵的正定性的定义以及性质；第二章,主要讨论了正定性矩阵的定义判别法和定理判别法。
关键词:正定矩阵；定义；性质；判定Abstract: The positive definiteness of matrix is an important concept in theory of the matrix, Studying positive definiteness of the matrix is always a very popular topic in the area of analysis of the matrix. We mainly discuss the definition, property and positive definiteness of matrix in this paper .The text is divided into two chapters, and the first chapter, we mainly expound the definition and property of the positive definiteness of the matrix; the second chapter, we mainly discuss discriminating method of the definition and the theorem of the positive definiteness of matrix.Key words: positive definiteness of the matrix；definition；property；discrimination1 引言代数学是数学中的一个重要分支，矩阵是高等代数中的重要组成部分，而正定矩阵在矩阵论中占有十分重要的地位。
而且正定矩阵部分的应用非常广泛，n阶实正定矩阵在正定理论中占有非常重要的地位。
正定矩阵在物理学，概率论以及优化控制论中都得到了重要的应用，另外在数值计算科学中也经常用到正定矩阵的知识。
比如线性方程组的高斯-塞德尔迭代法就是在方程组的系数是正定矩阵的情况下对任意初始向量是收敛的。
但是随着数学本身及应用矩阵的其他学科或领域（数学规划，现代控制等）的发展，普通矩阵越来越不能满足其应用需要，于是正定矩阵引起了国内外学者的广泛关注并做出了许多重要的研究工作，本文在前人研究的基础上对正定矩阵的性质及判定做了进一步的讨论研究，获得了一些相应的结论。
通过对矩阵正定判定的研究，归纳与总结了正定矩阵的性质及判定，补充并完善了部分定理的条件与结论。
本文提供解决正定矩阵判定问题的几种方法。
让学者在学习判断矩阵的正定性时，能够深入探讨其基本性质对于其他科研领域的研究有着重要的作用。
2 定义与性质2.1定义定义 2.1[]1实二次型12(,,...,)n f x x x 称为正定的，如果对任意一组不全为零的实数12,,...,n c c c 都有12(c ,c ,...,c )0n f >。
定义 2.2[]2设n n A R ⨯∈，且A 是n 阶实对称矩阵即T A A =，若0n X R ≠∈，都有0T X AX >，则A 叫做正定矩阵。
定义2.3[]1在实二次型()n x x x f ,,,21 的规范形中，正平方项的个数p 称为()n x x x f ,,,21 的正惯性指数，负平方项的个数p r -称为()n x x x f ,,21的负惯性指数，它们的差()r p p r p -=--2称为()n x x x f ,,,21 的符号差。
2.2性质性质2.1 如果矩阵A 是正定矩阵，则必有： （1）0,1,2,......,ii a i n >=；（2）A 的元素的绝对值最大者必是主对角元； （3）1nn n A a A -≤,其中1n A -是A 的1n -阶顺序主子式； （4）1122...nn A a a a ≤,当且仅当A 为对角阵时等号成立。
注2.1 我们可以利用上述正定矩阵A 的性质判定某些实对称矩阵不是正定矩阵。
例如，对角元有非正数的对称矩阵必不是正定矩阵；只要有一个非对角元的绝对值不小于对称矩阵的最大者，则这个矩阵必不是正定矩阵；或若对于n 阶矩阵A 有：1122...nn A a a a >,则A 必不是正定正矩阵。
例2.1[]4判断二次型22211213223310824228f x x x x x x x x x =+++-+是否正定。
解 二次型f 对应的矩阵为33()ij A a ⨯==10412421412141⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭. 显然A 的元素绝对值最大者为2314a =,为非对角元，则A 为非正定矩阵，所以二次型也是非正定的。
3 正定矩阵的判定方法3.1 定义判定定义3.1[]8对于实对称矩阵A =()ij a （其中,,1,2,,ij a R i j n ∈=⋯ ）,若对于任意非零列向量X ，都有0T X AX >,则称A 是正定矩阵。
例3.1[]7设A 为正定矩阵，B 为n 阶实反对称矩阵，证明2A B -是正定矩阵。
分析 这是两个矩阵之差，要证明其正定性，用定义可证。
证明 因为A 是正定矩阵,所以T A A = ,且对任意n 维列向量0X ≠有0T X AX >,又B 是实反对称矩阵，即T B B =,从而222()()T A B A B A B -=--=-. 即2A B -是实对称矩阵，又对任意实n 维列向量0x ≠,有：2()()()()0T T T T T X A B X X A B B X X AX BX BX -=+=+>,故2A B -是正定矩阵。
例 3.2[]3 设A 是n 阶正定矩阵，B 是n m ⨯实矩阵，B 的秩为m ，证明 ：T B AB 是正定矩阵。
证明 因为()T T T T T B AB B A B B AB ==，故 T B AB 是实对称矩阵，其次，由于秩,,B m m n =≤故0BX =只有零解，因此，若任取非零实列向量X 必有0BX ≠，因A 是正定矩阵，故对任取的非零实列向量X ，必有 ()()()T T T X B AB X BX A BX = , 因此T B AB 是正定矩阵。
例 3.3[]5证明:A 是正定矩阵，则A *也是正定矩阵。
证明 由于A 正定，所以0A >，且对任意n 维向量0X ≠有0T X AX >.又1A A A *-=,从而对任意0,X ≠有（注意T A A =,且当0X ≠时10A X -≠）1111()()0T T T T T X A X X A A X A X A AA X A A X A A X *----===>,又因为有()111()()TTT A A AA A A A A *---*====,即A *实对称矩阵，故A *正定矩阵。
注 3.1 以上三个例子，是运用正定矩阵的定义来证明的。
还提供了利用实矩阵来构造正定矩阵的方法。
具体是，若A 不是方阵，也不对称时,,T T A A AA 是正定矩阵，若A 是方阵，但不对称，则T A A +是正定矩阵，同时，在证明的过程中，我们也看到了齐次线性方程组解的理论在正定二次型的理论中的应用。
3.2 定理判定定理3.1[]1 n 阶实对称矩阵A 正定当且仅当实二次型12(,,...,)T n f x x x X AX =的正惯性指数为n 。
证明 设实二次型()12,,...,n f x x x 经过非退化线性变换得2221122n na x a x a x ++⋯+. （3.1） 由于非退化实线性变换保持正定性不变，那么A 正定当且仅当（3.1）是正定的，由定义2知（3.1）正定当且仅当i a >0(n i ,,2,1 =)，因此正惯性指数为n 。
定理3.2[]1 实对角矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n d d d21正定的充分必要条件是 0i d >(n i ,,2,1 =)证明 由定理3.1得，实对称矩阵正定当且仅当二次型222121122(,,...,)...n n nf x x x d x d x d x =+++. 的正惯性指数为n ，因此0(1,2,...,)i d i n >=。
定理 3.3[]1 实对称矩阵A 是存在一实系数n n ⨯矩阵B ，使得T AB B A +正定，其T B 为B 的转置。
证明 因为()()()T T T T T T AB B A AB B A AB B A +=+=+,所以T AB B A +是n 阶实对称矩阵。
先证必要性若秩A n =,则1A -存在，令1B A -=,则111()()2T T T AB B A AA A A E AA E ---+=+=+=，由此可知T AB B A +正定。
再证充分性设T AB B A + 正定,,0n X R X ∀∈≠()()()0T T T T X AB B A X AX BX BX AX +=+>. （*） 由（*）式知0AX > ,这就是说，任意的0X ≠ ,都有0AX ≠ ,从而0AX =仅有零解，所以秩A n =。
定理 3.4[]1 实对称矩阵A 是正定的充要条件是二次型12(,,...,)n f x x x = T X A X 的系数矩阵A 的所有特征值都是正数，即大于零。
证明 由题意知，实对称矩阵A 可对角化为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n a a a21， 其中1a ，,,2 a n a 恰好是A 的特征值，则二次型T X A X 的标准形为：1a 21x +2a 22x +…+n a 2n x ,而非退化实线性变换保持正定性不变，由222121122(,,...,)...n n nf x x x a x a x a x =+++正定，得0(1,2,...,)i a i n >=。
例 3.4[]5设A 为三阶实对称矩阵，且满足220A A +=，已知A 的秩2A =.则当k 为何值时，矩阵A kE +为正定矩阵，其中E 为三阶单位矩阵。
解 设t 为A 的一个特征值，对应的特征矩阵向量为X ，则AX tX =,则22,(X 0)A X t X =≠。
从而， 22(A 2A)X (t 2t)X +=+。
由条件220A A +=， 推知2(t 2t)0+=，又由于0X ≠，故有 2,0,t t =-= 于是故矩阵A 的全部特征值为122t t ==-，30t =.矩阵A kE +仍为实对称矩阵.则A kE +的全部特征值为2,2,k k k -+-+。