矩阵的判定条件汇总

关于矩阵正定的若干判别方法

数学学院数学与应用数学（师范）专业2010级赵明尖

指导教师吴春

摘要:矩阵的正定性是矩阵论中的一个重要概念,研究矩阵的正定性一直都是矩阵分析领域中非常热门的课题。本文主要讨论了矩阵的定义、性质以及正定性。全文一共分为两章,第一章,主要阐述矩阵的正定性的定义以及性质；第二章,主要讨论了正定性矩阵的定义判别法和定理判别法。

关键词:正定矩阵；定义；性质；判定

Abstract: The positive definiteness of matrix is an important concept in theory of the matrix, Studying positive definiteness of the matrix is always a very popular topic in the area of analysis of the matrix. We mainly discuss the definition, property and positive definiteness of matrix in this paper .The text is divided into two chapters, and the first chapter, we mainly expound the definition and property of the positive definiteness of the matrix; the second chapter, we mainly discuss discriminating method of the definition and the theorem of the positive definiteness of matrix.

Key words: positive definiteness of the matrix；definition；property；discrimination

1 引言

代数学是数学中的一个重要分支，矩阵是高等代数中的重要组成部分，而正定矩阵在矩阵论中占有十分重要的地位。而且正定矩阵部分的应用非常广泛，n阶实正定矩阵在正定理论中占有非常重要的地位。正定矩阵在物理学，概率论以及优化控制论中都得到了重要的应用，另外在数值计算科学中也经常用到正定矩阵的知识。比如线性方程组的高斯-塞德尔迭代法就是在方程组的系数是正定矩阵的情况下对任意初始向量是收敛的。但是随着数学本身及应用矩阵的其他学科或领域（数学规划，现代控制等）的发展，普通矩阵越来越不能满足其应用需要，于是正定矩阵引起了国内外学者的广泛关注并做出了许多重要的研究工作，本文在

前人研究的基础上对正定矩阵的性质及判定做了进一步的讨论研究，获得了一些相应的结论。通过对矩阵正定判定的研究，归纳与总结了正定矩阵的性质及判定，补充并完善了部分定理的条件与结论。本文提供解决正定矩阵判定问题的几种方法。让学者在学习判断矩阵的正定性时，能够深入探讨其基本性质对于其他科研领域的研究有着重要的作用。

2 定义与性质

2.1定义

定义 2.1[]1

实二次型12(,,...,)n f x x x 称为正定的，如果对任意一组不全为零

的实数12,,...,n c c c 都有12(c ,c ,...,c )0n f >。

定义 2.2[]2

设n n A R ⨯∈，且A 是n 阶实对称矩阵即T A A =，若0n X R ≠∈，都

有0T X AX >，则A 叫做正定矩阵。

定义2.3[]1

在实二次型()n x x x f ,,,21 的规范形中，正平方项的个数p 称为

()n x x x f ,,,21 的正惯性指数，

负平方项的个数p r -称为()n x x x f ,,21的负惯性指数，它们的差()r p p r p -=--2称为()n x x x f ,,,21 的符号差。 2.2性质

性质2.1 如果矩阵A 是正定矩阵，则必有： （1）0,1,2,......,ii a i n >=；

（2）A 的元素的绝对值最大者必是主对角元； （3）1nn n A a A -≤,其中1n A -是A 的1n -阶顺序主子式； （4）1122...nn A a a a ≤,当且仅当A 为对角阵时等号成立。

注2.1 我们可以利用上述正定矩阵A 的性质判定某些实对称矩阵不是正定矩阵。例如，对角元有非正数的对称矩阵必不是正定矩阵；只要有一个非对角元的绝对值不小于对称矩阵的最大者，则这个矩阵必不是正定矩阵；或若对于n 阶矩阵

A 有：1122...nn A a a a >,则A 必不是正定正矩阵。

例2.1[]4

判断二次型222

112132233

10824228f x x x x x x x x x =+++-+是否正定。 解 二次型f 对应的矩阵为

33()ij A a ⨯==104

124

21412141⎛⎫ ⎪

- ⎪ ⎪-⎝⎭

. 显然A 的元素绝对值最大者为2314a =,为非对角元，则A 为非正定矩阵，所以二次型也是非正定的。

3 正定矩阵的判定方法

3.1 定义判定

定义3.1[]8

对于实对称矩阵A =()ij a （其中,,1,2,,ij a R i j n ∈=⋯ ）,若对于任

意非零列向量X ，都有0T X AX >,则称A 是正定矩阵。

例3.1[]7

设A 为正定矩阵，B 为n 阶实反对称矩阵，证明2A B -是正定矩阵。

分析 这是两个矩阵之差，要证明其正定性，用定义可证。 证明 因为A 是正定矩阵,

所以T A A = ,且对任意n 维列向量0X ≠有0T X AX >,

又B 是实反对称矩阵，即T B B =,从而222()()T A B A B A B -=--=-. 即2A B -是实对称矩阵，又对任意实n 维列向量0x ≠,有：

2()()()()0T T T T T X A B X X A B B X X AX BX BX -=+=+>,

故2A B -是正定矩阵。

例 3.2[]

3 设A 是n 阶正定矩阵，B 是n m ⨯实矩阵，B 的秩为m ，证明 ：

T B AB 是正定矩阵。