模糊数学综合评价

设指标的主观权向量为
客观权向量为
(1 ,2 ,,m )
(1 , 2 ,, m )
则组合权数有以下两种表示方法：
wi
i 1
其中，
i i
为偏好系数。
m
i i
wi i (1 ) i
0 1
4.2 综合评价方法 1. 效益型、成本型模糊矩阵 设有
汞 铬 砷
0.00025 0.002 0.02
0.001 0.05 0.04
0.005 0.2 0.2
若 测 得 某 水 井 所 含 上 述 污 染 物 含 量 为 （0.008,0.185,0.004,0.164,0.140）试确定酚、氰、汞、 铬、砷的权重。
C1 0.008 C01 (0.001 0.002 0.01) / 3 0.0043 P1 0.008 / 0.0043 1.86 C2 0.185, C02 (0.02 0.05 0.2) / 3 0.09 P2 0.185 / 0.09 2.06 C 3 0.004, C 03 0.002, P3 0.004 / 0.002 2
第四讲 模糊综合评价
§4.1评价指标权重的确定
在对许多事物进行客观评价时，其评价因素可能较 多，我们不能只根据某一个指标的好坏就做出判断， 而应该依据多种因素进行综合评价。 设 U u1 , u2 ,, un 是待评价的n个方案集合，
aij
V v1 , v2 ,, vm 是评价因素集合，将 U 中的每个
解：利用MATLAB,我们可得计算公式如下：
5. 夹角余弦赋权法 首先确定理想最优方案和最劣方案,然后建立各方案 与最优.最劣方案的相对偏差模糊矩阵: ~ ~,最后分别
R, T
, T各评价指标对应向量的夹角余弦作为初权, 计算 R ~ ~
归一化后即得到评价指标的权重. 6. 主、客观综合赋权法 为了弥补主观赋权和客观赋权的不足，我们可以将主观 法与客观法相结合，从而使指标的赋权趋于合理化，由 此产生的方法称为组合赋权法。
综合评价是通过多项指标来进行的。如果某项指标 的数值能明确区分开各个被评价对象，说明该指标在 这项评价上的分辩信息丰富，因而应给该指标以较大 的权数；反之，若各个被评价对象在某项指标上的数 值差异较小，那么这项指标区分各评价对象的能力较 弱，因而应给该指标较小的权数。计算各指标的变异 系数公如下：
v i si x i
a 11 a A= 21 an1
a12 a22 an2
a1m a2m anm
其中aij 表示第i个方案关于第j项评价因素的指标值。 通常评价指标分为效益型、成本型和固定型指标。效 益型指标是指那些数值越大越好的统计指标(也称为 正向型指标)；成本型指标是指数值越小越好的指标 (亦称为逆向型指标)；而固定型指标是指数值越接近 某个常数越好的指标(又称为适度型指标)。
rij
r17 r27 r57
max aij min aij

aij u0 i

1 Rm 1
例3. 对例2用相关系数法求评价指标的权数 解 利用MATLAB,我们很容易求出
，，，
0.6839 0.7575 0.9885 1 0.6839 1 0.9164 0.7209 R 0.7575 0.9164 1 0.7332 1 0.9885 0.7209 0.7332
Pi (2) 将Pi 归一化，即 i 为第i种污染指标的 P i 权数。
注意：如果没有给出各污染物在水中的平均允许值， 则用第i项评价指标的各级标准值的平均值代替。 例1. 现给出水质分级标准如下表
级别 成分 酚 氰 一级水 0.001 0.02 二级水 0.002 0.05 三级水 0.01 0.2
5
2
s1 2.38
v1 s1 x1 2.38 / 7.37 0.323
同理可得：
v2 0.227 v3 0.228
于是四项评价指标的权重为：
v4 0.544
1 0.244, 2 0.172, 3 0.172, 4 0.411
3. 相关系数法
首先求出m个评价指标的相关系数矩阵R：
1 r21 R r m1
r12 1 rm 2
r1m r2 m 1
( i 1,2,, m )
则第i个指标与其他m-1个指标之间的多元相关系数为：
i
T 1 ri Rm 1ri
是除去第i个指标后m-1个指标的相关系数矩阵 的逆矩阵 ri 为R中第i列向量去掉元素1以后的m-1维列向量 然后将 i 的倒数进行归一化就可得到各评价指标的权数
效益型
（2）成本型模糊矩阵
( max aij aij ) ( max aij minaij ) aij I1 1 i n 1 i n 1 i n C ( cij )nm ,cij ( aij minaij ) ( max aij minaij ) aij I 2 1 i n 1 i n 1 i n aij j min aij j (max aij j min aij j ) aij I 3 ， 1 i n 1 i n 1 i n
min aij . / aij E (eij )nm 1 i n eij aij / max aij 1 i n aij j / max aij j 1 i n
aij I1 aij I 2 aij I 3
2. 综合评价实例分析 例5. 现有五个农业技术经济方案，如下表所示，试予 以评价各方案的优劣。
1 0.9998 2 0.9985 3 0.9850 4 0.9998
于是求出权数为:
显然，用不同的方法求出的权数是不同的，因此应 根据实际问题确定用什么方法最好。
1 0.2490 3 0.2527
2 0.2493 4 0.2490
4. 特征向量法
其中
u0 i
max aij min a ij
当aij 为效益型指标 当aij 为成本型指标
(2)建立相对偏差模糊矩阵 R ~ r r12 11 r21 r22 R ~ r51 r52 其中
指标 方案 A1 产量 投资 耗水量 用药量 劳力 除草剂 肥力 （ x 1） （ x2） （ x3） （ x4） （ x5） （ x6） （ x7） 1000 120 5000 1 50 1.5 1
A2
A3 A4 A5
700
900 800 800
60
60 70 80
4000
7000 8000 4000
其中j为第 j项指标的适度数值。
aij max aij 1 i n d ij min aij . aij D=(dij)mn 1 i n min aij j . aij j 1 i n
aij I1 aij I 2 aij I 3
用I1,I2,I3分别表示效益型、成本型、适度型指标 （1）效益型矩阵 B=(bij)mn
(aij min aij ) /(max aij min aij ) aij I1 1i n 1i n 1i n bij (max aij aij ) /(max aij min aij ) aij I 2 1i n 1i n 1i n (max | aij j | | aij j |) / (max | aij j | (min | aij j |) aij I 3 1i n 1i n 1i n
特征向量法的步骤如下：首先求出m个评价指标的相 关系数矩阵R；然后求出个指标标准差所组成的对角 矩阵 S ，最后求出矩阵 RS 的最大特征值所对应的特 征向量就得到个指标的权重。应当注意的是:如果RS 不是正矩阵, 则不能保证其最大的特征值所对应的特 征向量是 正向量. 例4. 对例2用特征向量法求各评价指标的权数。
C4 0.164, C 04 0.084, P4 0.164 / 0.084 1.95
C5 0.140, C05 0.087, P5 0.14 / 0.087 1.61
于是 各评价指标的权重为： W=（0.196,0.217,0.213,0.205,0.169）
2. 变异系数法
方案用V中的每个因素进行衡量得到一个观测值矩阵
a11 a12 a21 a22 A a m1 am 2
a1n 其中 a ij 表示第个j a2n 方案关于第i项评 价因素的指标值。 amn
为了客观公正地对各方案进行综合评价，通常有以下 两种方法： 一是将各方案数值（根据各评价指标的属性）进行 无量纲化，然后根据各指标的重要性程度对各指标 赋权，在此基础上建立目标函数并且求出该函数的 极大值或极小值。二是由观测值矩阵A，依据各指标 的属性构造出一个理想方案，然后考察已知方案中 那个方案与此理想方案最接近。
s i i项指标值的方差。 其中 ， x为第 i项指标的平均值， 是第 i vi 对 进行归一化，即得到各指标的权数
i vi / vi
i 1
m
例2. 已知五个投资方案如下表所示：单位（万元）
方案 A1 A2 A3 A4 A5
投资额
5.20
10.08
5.25
9.72
6.60
期望净现值
风险盈利值 风险损失值
一、各指标权重的确定方法
Leabharlann Baidu
确定各指标的权重通常有客观赋权法和主观赋权法，主 观法（又称专家评测法）是指请若干专家就各指标的重 要性进行评分，然后将各专家的评分值平均就得到各指 标的权重。
客观法是根据各指标值之间的内在联系，利用数学的 方法计算出各指标的权重。下面我们举例说明如何确 定指标的权重。
1. 利用环境质量分数确定因子权数 在进行环境监测、污染评估等综合评价时通常利用环 境质量分数确定因子权数。其计算公式如下： (1) Pi=Ci/C0i Ci为第i种污染物在水中的实测浓度， C0i为第i种污 染物在水中浓度的平均允许值。
5.20
4.73 0.473
6.70
5.71 1.599
4.20
3.82 0.473
5.25
5.54 1.313
3.75
3.30 0.803
试确定四个评价指标的权重
x1 (5.2 10.08 5.25 9.72 6.6) / 5 7.37,
2 s1

1 4
j 1
(a1 j x1 ) 5.67
R corrcoef ( A' ) S diag( std ( A' )) [ x , d ] eig ( R * S )
于是得到最大的特征值为： 4.3436,他所对应的特征向 量为 (0.5185,0.4705,0.4918,0.5176) 归一化后可得权向量为：w=(0.259,0.2359,0.246,0.259)
2
1 1.5 2
40
70 40 30
2
1 0.5 2
2
4 6 5
上述七项评价指标中产量、劳力、肥力是效益型指标， 而投资、耗水量、用药量、除草剂均为成本型指标。 我们应用相对偏差距离最小法进行综合评价。
0 , u0 ,, u0 ) (1)理想方案为 u (u1 7 =(1000,60,4000,1,70,0.5,6) 2