高三数学一轮复习第4篇第1节平面向量的概念及线性运算理

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高考一轮复习理科数学课件平面向量的概念及线性运算

方向角
方向角是指向量与正x轴之间的夹角，记作$theta$。方向角的取值范围是$[0, 2pi)$，其中$0$表示向量与x轴正方向相同，$pi$表示向量与x轴负方向相同。
零向量、单位向量和相反向量
零向量
零向量是模长为0的向量，记作 $vec{0}$。零向量没有方向，与
任何向量平行。
单位向量
单位向量是模长为1的向量，记作 $hat{a}$。单位向量具有确定的方向，可以用来表示其他向量的方向。
向量表示方法
向量可以用有向线段表示，也可以用字母表示，如$vec{a}$、$vec{b}$等。向量的表示方法还包括坐标表示法，即用一对有序实数表示向量的坐标。
向量模长与方向角
向量模长
向量的模长是一个非负数，表示向量的大小，记作$|vec{a}|$。对于平面直角坐标系中的向量，其模长等于坐标原点到该向量终点的距离。
= vec{0}$（零向量）。
坐标运算
若向量$a=(x,y)$，实数 $lambda$，则数乘向量 $lambda a = (lambda x,
lambda y)$。
线性组合与线性表示
线性组合
给定向量组$A: a_1, a_2, ldots, a_m$和实数$k_1, k_2, ldots, k_m$，则向量$k_1a_1 + k_2a_2 + ldots + k_ma_m$称为向量组$A$的一个线性组合。
02
平面向量线性运算
向量加法运算规则
平行四边形法则
将两个向量平移至同一起点，以这两个向量为邻边作平行四边形，则与这两个向量有共同起点的对角线向量就是这两个向量的和。
三角形法则
将两个向量平移至同一起点，首尾相接，则第三个向量（即第一个向量的起点指向第二个向量的终点）就是这两个向量的和。

高考数学一轮复习第四章第一节平面向量的概念及线性运算课件新人教版

1 2
AB，BE＝
2 3
BC.若
D→E＝λ1A→B＋λ2A→C(λ1，λ2为实数)，则λ1＝________，λ2＝________.
答案：－16
2 3
3．在平行四边形ABCD中，若|
→ AB
＋ A→D |＝|
→ AB
－
→ AD
|，则四边形ABCD的
形状为________．
答案：矩形
知识点三共线向量定理向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得 b＝λa.
第一节平面向量的概念及线性运算
热点命题分析
学科核心素养
本节在高考中的命题重点有平面向本节通过平面向量的线性运算，考
量的线性运算、共线向量定理，主查考生的直观想象、数学运算核心
要以选择题和填空题的形式呈现，素养和方程思想、数形结合思想的
难度不大.
运用.
知识点一向量的有关概念
名称
定义
备注
向量
• 温馨提醒 •
(1)P为线段AB的中点⇔O→P＝12(O→A＋O→B)．
(2)G为△ABC的重心⇔若A，B，C是平面内不共线的点，则
→ GA
＋
→ GB
＋
G→C＝0.
(3)O→A＝λO→B＋μO→C(λ，μ为实数)，若点A，B，C共线，则λ＋μ＝1.
1．若m∥n，n∥k，则向量m与向量k( D ) A．共线 B．不共线 C．共线且同向 D．不一定共线
相等向长度相等且方向相同两向量只有相等或不等，不能
量的向量
比较大小
相反长度相等向量的向量
且方向相反 0 的相反向量为 0
• 温馨提醒 • 1.对于平行向量易忽视两点： (1)零向量与任一向量平行． (2)表示两平行向量的有向线段所在的直线平行或重合，易忽视重合这一情况． 2．单位向量的定义中只规定了长度，没有方向限制．

高考数学(理科)新一轮总复习考点突破课件：4.1平面向量的概念及线性运算PPT优质课件

• ①|λa|＝
；相同
• ②当相λ反＞0时，λa与a的方向
；当λ＜
0时，λa与a的方向
；当λ＝0时，λa
＝0.
• (2)运算律：设λ，μ是两个实数，则
• ①λ(μa)＝(λμ)a；②(λ＋μ)a＝λa＋μa；③ λ(a＋b)＝λa＋λb.
对点演练
(2013·四川)在平行四边形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 交于点 O， A→B＋A→D＝λA→O，则 λ＝________. 解析：∵A→B＋A→D＝A→C＝2A→O， ∴λ＝2. 答案：2
当两向量共线且有
时，才能得出三点
共线；另外，利用向不量重平合行证明向量所在直
线平行，必须说明这两条直线
．
• 题型一概念辨析
•
已知下列命题：
• ①单位向量都相等
• ②若a与b是共线向量，b与c是共线向量，则a与c是共线向量
• ③两个有共同起点而长度相等的非零向量，它们的终点必相同
• ④由于0方向不确定，故0不能与任意向量平行
• ①若a∥b，则a＝b；②若|a|＝|b|，则a＝b； ③若|a|＝|b|，则a∥b；④若a＝b，则|a|＝|b|.
• 正确的个数是
•( )
• A．1
B．2
• C．3
D．4
• 解析：只有④正确．
• 答案：A
2．向量的线性运算
向
量运
定义
法则(或几何意义)
运算律
算
加法
求两个向量和的运算
(1)交换律： a＋b＝b＋a. (2)结合律： (a＋b)＋c＝ a＋(b＋c)
• (2)零向量：长度等于零的向量，其方向
是任意的．

2025届高中数学一轮复习课件《平面向量的概念及线性运算》ppt

单位向量长度等于 1 个单位长度的向量
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第6页
名称
定义
方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，平行向量又
平行向量叫共线向量．
规定：零向量与任意向量平行
相等向量长度相等且方向相同的向量
相反向量长度相等且方向相反的向量
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二向量的线性运算
向量运算
定义
法则(或几何意义)
E，F，G 是函数的图象与 x 轴的交点，则(O→A ＋O→B )·(O→C ＋O→D )＝__1_2_π_2___.
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第25页
解析：(1)因为|A→B |＝|A→C |＝|A→B －A→C |＝2，所以△ABC 是边长为 2 的正三角形，所以
|A→B ＋A→C |为△ABC 的边 BC 上的高的 2 倍，所以|A→B ＋A→C |＝2 3.
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第20页
对点练 1(多选)(2024·山东烟台月考)给出下列命题，其中叙述错误的命题为( ) A．向量A→B的长度与向量B→A的长度相等 B．向量 a 与 b 平行，则 a 与 b 的方向相同或相反 C．|a|＋|b|＝|a－b|⇔a 与 b 方向相反 D．若非零向量 a 与非零向量 b 的方向相同或相反，则 a＋b 与 a，b 之一的方向相同解析：A 正确，A→B与B→A是相反向量，长度相等；B，C 错误，当 a，b 其中之一为 0 时，不成立；D 错误，当 a＋b＝0 时，不成立．故选 BCD．
01 理清教材强基固本 02 重难题型全线突破 03 限时跟踪检测
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第4页
理清教材强基固本
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高考数学(文)一轮复习课件：4-1平面向量的概念及线性运算(人教A版)

(1)两个具有公共终点的向量，一定是共线向量．
(2)两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大
小．
(3)λa＝0(λ为实数)，则λ必为零．
(4)λ，μ 为实数，若λa＝μb，则a与b共线．
其中错误命题的个数为( )
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
答案：C 解析：(1)错误．两向量共线要看其方向而不是起点与终点． (2)正确．因为向量既有大小，又有方向，故它们不能比较大小，但它们的模均为实数，故可以比较大小．
3. 正确区别向量的加减法及其几何意义．在A→B＋B→C ＝A→C中，A→B的终点与B→C的起点相同；在A→B－A→C＝C→B中， A→B与A→C共始点；首尾相连的封闭向量链，各向量之和为零向量，如A→B＋B→C＋C→D＋D→A＝0.
4. 证明三点 A、B、C 共线，借助向量，只需证明由这三点 A、B、C 所组成的向量中有两个向量共线，即这两个向量之间存在一个实数λ ，使 a＝λb(b≠0)即可.
[解析] ①该命题不正确．零向量不是没有方向，而是方向任意；
②该命题不正确．|a|＝|b|只是说明这两个向量的模相等，但其方向未必相同；
③该命题不正确．单位向量只是模均为单位长度1，而对方向没有要求；
④该命题不正确．有向线段只是向量的一种表示形式，不能把两者等同起来；
⑤该命题正确．由向量相等的定义知，a与b的模相等，b与c的模相等，从而a与c的模相等；又a与b的方向相同，b与c的方向相同，从而a与c的方向也必相同，故a ＝c；
思考：若把平面内所有的单位向量的起点移到同一个点，它们的终点组成什么图形？
提示：以所给点为圆心，以 1 为半径的圆．
3. 向量的线性运算

高考数学一轮复习第1讲平面向量的概念及线性运算

第1讲平面向量的概念及线性运算1．向量的有关概念名称定义备注向量既有01大小又有02方向的量；向量的大小叫做向量的长度(或称模)平面向量是自由向量零向量长度为030的向量记作0，其方向是任意的单位向量长度等于041个单位的向量与非零向量a 平行的单位向量为±a|a|平行向量方向相同或05相反的非零向量(又叫做共线向量)0与任一向量平行或共线相等向量长度相等且方向06相同的向量两向量只有相等或不相等，不能比较大小相反向量长度相等且方向07相反的向量0的相反向量为02．向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算交换律：a＋b＝08b＋a；结合律：(a＋b)＋c＝09a＋(b＋c)续表向量运算定义法则(或几何意义)运算律减法求a与b的相反向量－b的和的运算a－b＝a＋(－b)数乘求实数λ与向量a的积的运算|λa|＝10|λ||a|，当λ＞0时，λa与a的方向11相同；当λ＜0时，λa与a的方向12相反；当λ＝0时，λa＝130λ(μa)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝14λa＋μa；λ(a＋b)＝15λa＋λb3．共线向量定理向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b＝λa.1．一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量，即A1A2→＋A2A3→＋A3A4→＋…＋A n －1A n ＝A1An →.特别地，一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量．2．在△ABC 中，AD ，BE ，CF 分别为三角形三边上的中线，它们交于点G (如图所示)，易知G 为△ABC 的重心，则有如下结论：(1)GA →＋GB →＋GC →＝0；(2)AG →＝13(AB →＋AC →)；(3)GD →＝12(GB →＋GC →)＝16(AB →＋AC →)．3.OA →＝λOB →＋μOC →(λ，μ为实数)，若点A ，B ，C 共线(O 不在直线BC 上)，则λ＋μ＝1.1．已知a ，b 是两个非零向量，且|a ＋b |＝|a |＋|b |，则下列说法正确的是( ) A ．a ＋b ＝0 B ．a ＝bC ．a 与b 共线反向D ．存在正实数λ，使a ＝λb答案 D解析因为a ，b 是两个非零向量，且|a ＋b |＝|a |＋|b |，则a 与b 共线同向，故D 正确．2．设平行四边形ABCD 的对角线交于点P ，则下列命题中正确的个数是( ) ①AC →＝AB →＋AD →；②AP →＝12(AB →＋AD →)；③DB→＝AB →－AD →；④PD →＝PB →.A ．1B ．2C ．3D ．4 答案 C解析由向量加法的平行四边形法则，知①AC →＝AB →＋AD →，②AP →＝12(AB →＋AD →)是正确的；由向量减法的三角形法则，知③DB→＝AB→－AD→是正确的；因为PD→，PB→的长度相等，方向相反，所以④PD→＝PB→是错误的．故选C.3．如图所示，向量OA→＝a，OB→＝b，OC→＝c，A，B，C三点在一条直线上，且AC→＝－3CB→，则()A．c＝－12a＋32bB．c＝32a－12bC．c＝－a＋2b D．c＝a＋2b 答案 A解析∵AC→＝－3CB→，∴AC→＝32AB→，∴OC→－OA→＝32(OB→－OA→)，∴OC→＝32OB→－1 2OA→，即c＝－12a＋32b.故选A.4．已知线段上A，B，C三点满足BC→＝2AB→，则这三点在线段上的位置关系是()答案 A解析根据题意得到BC→和AB→是共线同向的，且BC＝2AB，故选A.5．(2020·安徽芜湖模拟)已知▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且OA→＝a，OB→＝b，则DC→＝________，BC→＝________(用a，b表示)．答案b－a－a－b解析如图，DC→＝AB→＝OB→－OA→＝b－a，BC→＝OC→－OB→＝－OA→－OB→＝－a－b.6．在四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，若2OA→＋OC→＝2OD→＋OB→，则四边形ABCD的形状为________.答案梯形解析∵2OA→＋OC→＝2OD→＋OB→，∴2(OA→－OD→)＝OB→－OC→，即2DA→＝CB→，∴DA→∥CB→，且|DA→|＝12|CB→|，∴四边形ABCD是梯形．考向一平面向量的概念例1给出下列命题：①若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；②若a与b共线，b与c共线，则a与c也共线；③若A，B，C，D是不共线的四点，且AB→＝DC→，则四边形ABCD为平行四边形；④a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b；⑤已知λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线．其中真命题的序号是________.答案③解析①错误，两个向量起点相同，终点相同，则两个向量相等；但两个向量相等，不一定有相同的起点和终点．②错误，若b＝0，则a与c不一定共线．③正确，因为AB→＝DC→，所以|AB→|＝|DC→|且AB→∥DC→；又A，B，C，D是不共线的四点，所以四边形ABCD为平行四边形．④错误，当a∥b且方向相反时，即使|a|＝|b|，也不能得到a＝b，所以|a|＝|b|且a∥b不是a＝b的充要条件，而是必要不充分条件．⑤错误，当λ＝μ＝0时，a与b可以为任意向量，满足λa＝μb，但a与b不一定共线．平面向量有关概念的四个关注点(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性．(2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关．(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量，解题时，不要把它与函数图象的移动混淆．(4)非零向量a与a|a|的关系：a|a|是与a同方向的单位向量．1.设a0为单位向量，有下列命题：①若a为平面内的某个向量，则a ＝|a|a0；②若a与a0平行，则a＝|a|a0；③若a与a0平行且|a|＝1，则a＝a0.其中假命题的个数是()A．0 B．1C．2 D．3答案 D解析向量是既有大小又有方向的量，a与|a|a0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a与a0平行，则a与a0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a＝－|a|a0，故②③也是假命题．综上所述，假命题的个数是3.故选D.多角度探究突破考向二平面向量的线性运算角度1 平面向量线性运算的几何意义例2 (1)已知点O ，A ，B 不在同一条直线上，点P 为该平面上一点，且2OP →＝2OA→＋BA →，则( ) A ．点P 在线段AB 上B ．点P 在线段AB 的反向延长线上C ．点P 在线段AB 的延长线上D ．点P 不在直线AB 上答案 B解析因为2OP →＝2OA →＋BA →，所以2AP →＝BA →，所以点P 在线段AB 的反向延长线上．(2)(2017·全国卷Ⅱ)设非零向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |，则( ) A ．a ⊥b B ．|a |＝|b | C ．a ∥b D ．|a |＞|b |答案 A解析解法一：(利用向量加法的平行四边形法则)在▱ABCD 中，设AB→＝a ，AD →＝b ，由|a ＋b |＝|a －b |知|AC→|＝|DB →|，从而▱ABCD 为矩形，即AB ⊥AD ，故a ⊥b .故选A.解法二：∵|a ＋b |＝|a －b |，∴|a ＋b |2＝|a －b |2.∴a 2＋b 2＋2a ·b ＝a 2＋b 2－2a ·b .∴a ·b ＝0.∴a ⊥b .故选A.角度2 平面向量线性运算例3 (1)(2021·安徽芜湖质量检测)如图所示，下列结论正确的是( ) ①PQ →＝32a ＋32b ；②PT →＝－32a －32b ；③PS →＝32a －12b ；④PR →＝32a ＋b .A ．①②B ．③④C ．①③D ．②④答案 C解析由a ＋b ＝23PQ →，知PQ →＝32a ＋32b ，①正确；由a －b ＝23PT →，知PT →＝32a －32b ，②错误；PS →＝PT →＋b ，故PS →＝32a －12b ，③正确；PR →＝PT →＋2b ＝32a ＋12b ，④错误．故正确的为①③，故选C.(2)(2020·淄博二模)在平行四边形ABCD 中，DE →＝3EC →，若AE 交BD 于点M ，则AM→＝( ) A.13AB →＋23AD → B ．37AB →＋47AD →C.23AB →＋13AD → D ．27AB →＋57AD →答案 B解析 ∵DE →＝3EC →，∴E 为线段DC 上靠近点C 的四等分点．显然△ABM ∽△EDM ，即AMEM ＝ABED ＝43，∴AM →＝47AE →＝47(AD →＋DE →)＝47⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AD →＋34AB →＝37AB →＋47AD →.故选B.角度3 利用线性运算求参数例4 (1)(2020·石家庄质检)在△ABC 中，O 为△ABC 的重心，若BO →＝λAB →＋μAC→，则λ－2μ＝( ) A ．－12B ．－1C ．43D ．－43答案 D解析设AC 的中点为D ，因为O 为△ABC 的重心，所以BO →＝23BD →＝23(BA →＋AD →)＝－23AB →＋23×12AC →＝－23AB →＋13AC →，所以λ＝－23，μ＝13，所以λ－2μ＝－43，故选D.(2) 如图所示，矩形ABCD 的对角线相交于点O ，E 为AO 的中点，若DE →＝λAB →＋μAD→(λ，μ为实数)，则λ2＋μ2＝( )A.58B ．14C ．1D ．516答案 A解析DE→＝12DA→＋12DO→＝12DA→＋14DB→＝12DA→＋14(DA→＋AB→)＝14AB→－34AD→，所以λ＝14，μ＝－34，故λ2＋μ2＝58.故选A.向量线性运算的解题策略(1)向量加减的常用法则是平行四边形法则和三角形法则，一般共起点的向量求和用平行四边形法则，求差用三角形法则，求首尾相连向量的和用三角形法则．(2)找出图形中的相等向量、共线向量，将所求向量与已知向量转化到同一个平行四边形或三角形中求解．(3)利用向量的线性运算求参数的步骤：先通过向量的线性运算用两个不共线的向量表示有关向量，然后对比向量等式求出参数或建立方程(组)求解．2.已知四边形ABCD是平行四边形，O为平面上任意一点，设OA→＝a，OB→＝b，OC→＝c，OD→＝d，则()A．a＋b＋c＋d＝0 B．a－b＋c－d＝0C．a＋b－c－d＝0 D．a－b－c＋d＝0答案 B解析如图所示，a－b＝BA→，c－d＝DC→，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB綊DC，且BA→与DC→反向，即BA→＋DC→＝0，也就是a－b＋c－d＝0.3. (2020·湖南师范大学附中模拟)如图所示，在正方形ABCD中，E为AB的中点，F 为CE 的中点，则AF→＝( )A.34AB →＋14AD →B.14AB →＋34AD →C.12AB →＋AD → D.34AB →＋12AD → 答案 D解析根据题意得AF →＝12(AC →＋AE →)，又因为AC →＝AB →＋AD →，AE →＝12AB →，所以AF→＝12⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →＋AD →＋12AB →＝34AB →＋12AD →.故选D. 4．(2020·洛阳尖子生第二次联考)在△ABC 中，点D 在线段BC 上，且BD →＝2DC→，点O 在线段CD 上(与点C ，D 不重合)．若AO →＝x AB →＋(1－x )AC →，则x 的取值范围是________.答案 ⎝⎛⎭⎪⎪⎫0，13解析解法一：AO→＝x AB →＋(1－x )AC →＝x (AB →－AC →)＋AC →，即AO →－AC →＝x (AB →－AC→)，所以CO →＝x CB →，所以|CO →||CB→|＝x .因为BD→＝2DC →，所以BC →＝3DC →，则0<x <|DC →||BC→|＝13，所以x 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，13.解法二：设BO →＝λBC →，λ∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫23，1，则AO →＝AB →＋BO →＝AB →＋λBC →＝(1－λ)AB →＋λAC →＝x AB →＋(1－x )AC →，则x ＝1－λ∈⎝⎛⎭⎪⎪⎫0，13.考向三共线向量定理的应用例5 (1)设e 1与e 2是两个不共线向量，AB →＝3e 1＋2e 2，CB →＝k e 1＋e 2，CD →＝3e 1－2k e 2，若A ，B ，D 三点共线，则k 的值为( )A ．－94B ．－49C ．－38D ．不存在答案 A解析由题意，A ，B ，D 三点共线，故必存在一个实数λ，使得AB→＝λBD →.又因为AB →＝3e 1＋2e 2，CB →＝k e 1＋e 2，CD →＝3e 1－2k e 2，所以BD →＝CD →－CB →＝3e 1－2k e 2－(k e 1＋e 2)＝(3－k )e 1－(2k ＋1)e 2，所以3e 1＋2e 2＝λ(3－k )e 1－λ(2k ＋1)e 2，所以错误!解得k ＝－94.故选A.(2)(2020·滨州二模)已知O ，A ，B ，C 为平面α内的四点，其中A ，B ，C 三点共线，点O 在直线AB 外，且满足OA →＝1x OB →＋2yOC →.其中x >0，y >0，则x ＋8y 的最小值为( )A ．21B ．25C ．27D ．34答案 B解析根据题意，A ，B ，C 三点共线，点O 在直线AB 外，OA →＝1x OB →＋2y OC →.设BA→＝λBC →(λ≠0，λ≠1)，则OA →＝OB →＋BA →＝OB →＋λBC →＝OB →＋λ(OC →－OB →)＝λOC →＋(1－λ)OB →，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－λ＝1x，λ＝2y，消去λ得1x ＋2y ＝1，∴x ＋8y ＝(x ＋8y )⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1x ＋2y ＝1＋2x y ＋8y x ＋16≥17＋22x y ·8y x ＝25(当且仅当x ＝5，y ＝52时等式成立)．故选B. (1)三点共线问题可转化为向量共线问题来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．根据A ，B ，C 三点共线求参数问题，只需将问题转化为AC →＝λAB →，再利用对应系数相等列出方程组，进而解出系数．(2)三点共线的一个常用结论：A ，B ，C 三点共线⇔存在实数λ，μ对平面内任意一点O (O 不在直线BC 上)满足OA→＝λOB →＋μOC →(λ＋μ＝1)．5.已知向量a ，b 不共线，且c ＝λa ＋b ，d ＝a ＋(2λ－1)b ，若c 与d 共线反向，则实数λ的值为( )A ．1B ．－12C ．12D ．－2答案 B解析由于c 与d 共线反向，则存在实数k 使c ＝k d (k <0)，于是λa ＋b ＝k [a ＋(2λ－1)b ]，整理得λa ＋b ＝k a ＋(2λk －k )b .由于a ，b 不共线，所以有⎩⎪⎨⎪⎧λ＝k ，2λk－k ＝1，整理得2λ2－λ－1＝0，解得λ＝1或λ＝－12.又因为k <0，所以λ<0，故λ＝－12.故选B.6．(2020·江苏高考)在△ABC 中，AB ＝4，AC ＝3，∠BAC ＝90°，D 在边BC 上，延长AD 到P ，使得AP ＝9，若PA →＝m PB →＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫32－m PC →(m 为常数)，则CD 的长度是________.答案 0或185解析 ∵A ，D ，P 三点共线，∴可设PA →＝λPD →(λ＞0)．∵PA →＝m PB →＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫32－m PC →，∴λPD →＝m PB →＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫32－m PC →，即PD →＝m λPB →＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫32－m λPC →.若m ≠0且m ≠32，则B ，D ，C三点共线，∴mλ＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫32－m λ＝1，即λ＝32.∵AP ＝9，∴PD ＝6，∴AD ＝3.∵AB ＝4，AC＝3，∠BAC ＝90°，∴BC ＝AB2＋AC2＝5，∴cos ∠ACB ＝AC BC＝35.设CD ＝x ，根据余弦定理可得cos ∠ACD ＝AC2＋CD2－AD22AC·CD ＝x 6＝AC BC ＝35，则x ＝185，∴CD 的长度为185.当m ＝0时，PA →＝32PC →，C ，D 重合，此时CD 的长度为0，当m ＝32时，PA →＝32PB →，B ，D 重合，此时P A ＝12，不符合题意，舍去．故CD 的长度为0或185.一、单项选择题1．如图，O 是平行四边形ABCD 的两条对角线的交点，则下列等式正确的是( )A.DA→－DC →＝AC → B.DA→＋DC →＝DO → C.OA→－OB →＋AD →＝DB → D.AO →＋OB →＋BC →＝AC → 答案 D解析对于A ，DA→－DC →＝CA →，错误；对于B ，DA →＋DC →＝2DO →，错误；对于C ，OA →－OB →＋AD →＝BA →＋AD →＝BD →，错误；对于D ，AO →＋OB →＋BC →＝AB →＋BC →＝AC →，正确．故选D.2．已知向量i 与j 不共线，且AB →＝i ＋m j ，AD →＝n i ＋j ，若A ，B ，D 三点共线，则实数m ，n 应该满足的条件是( )A ．m ＋n ＝1B ．m ＋n ＝－1C ．mn ＝1D ．mn ＝－1答案 C解析由A ，B ，D 共线可设AB →＝λAD →，于是有i ＋m j ＝λ(n i ＋j )＝λn i ＋λj .又i ，j 不共线，因此⎩⎪⎨⎪⎧λn ＝1，λ＝m ，即有mn ＝1.3．已知O 是△ABC 所在平面内一点，D 为BC 边的中点，且2OA →＋OB →＋OC →＝0，那么( )A.AO →＝OD → B ．AO →＝2OD →C.AO →＝DO → D ．AO→＝2DO → 答案 A解析由D 是BC 边的中点，可得OB →＋OC →＝2OD →，故2OA →＋2OD →＝0，所以AO →＝OD→.故选A. 4．(2020·西北师大附中模拟)设a ，b 都是非零向量，下列四个条件中，使a|a|＝b|b|成立的充分条件是( )A ．a ＝－bB ．a ⊥bC ．a ＝2bD ．a ⊥b 且|a|＝|b| 答案 C解析由于a ，b 都是非零向量，若a|a|＝b|b|成立，则a 与b 需要满足共线同向．5．(2020·山东威海月考)设P 是△ABC 所在平面内的一点，且CP →＝2PA →，则△P AB与△PBC 的面积之比是( )A.13B ．12C ．23D ．34答案 B解析 ∵CP →＝2PA →，∴P 为边AC 靠近A 点的三等分点，∴△P AB 与△PBC 的面积比为1∶2.6．设D ，E ，F 分别为△ABC 的三边BC ，CA ，AB 的中点，则EB →＋FC →＝( )A.AD→ B ．12AD →C.BC → D ．12BC →答案 A解析设AB →＝a ，AC →＝b ，则EB →＝－12b ＋a ，FC →＝－12a ＋b ，从而EB→＋FC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12b ＋a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12a ＋b ＝12(a ＋b )＝AD →.故选A. 7．如图所示，已知AB 是圆O 的直径，点C ，D 是半圆弧的两个三等分点，AB →＝a ，AC→＝b ，则AD →＝( )A ．a －12bB ．12a －bC ．a ＋12bD ．12a ＋b答案 D解析连接CD ，由点C ，D 是半圆弧的三等分点，得CD ∥AB ，且CD →＝12AB →＝12a ，所以AD →＝AC →＋CD →＝b ＋12a .8．设M 为平行四边形ABCD 对角线的交点，O 为平行四边形ABCD 所在平面内任意一点，则OA→＋OB →＋OC →＋OD →等于( )A.OM → B ．2OM → C ．3OM → D ．4OM→ 答案 D解析 OA →＋OB →＋OC →＋OD →＝(OA →＋OC →)＋(OB →＋OD →)＝2OM →＋2OM →＝4OM →.故选D.9．(2020·山东济宁月考)如图，在△ABC 中，点D 在BC 边上，且CD ＝2DB ，点E 在AD 边上，且AD ＝3AE ，则用向量AB→，AC →表示CE →为( )A.29AB →＋89AC → B ．29AB →－89AC →C.29AB →＋79AC → D ．29AB →－79AC →答案 B解析由平面向量的三角形法则及向量共线的性质可得CE →＝AE →－AC →＝13AD →－AC→＝13⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →＋13BC →－AC →＝13[AB →＋13(AC →－AB →)]－AC →＝29AB →－89AC →.10．(2020·河北衡水调研)一直线l 与平行四边形ABCD 中的两边AB ，AD 分别交于点E ，F ，且交其对角线AC 于点M ，若AB →＝2AE →，AD →＝3AF →，AM →＝λAB →－μAC →(λ，μ∈R )，则52μ－λ＝( )A ．－12B ．1C ．32D ．－3答案 A解析 AM→＝λAB →－μAC →＝λAB →－μ(AB →＋AD →)＝(λ－μ)AB →－μAD →＝2(λ－μ)AE →－3μAF →，因为E ，M ，F 三点共线，所以2(λ－μ)＋(－3μ)＝1，即2λ－5μ＝1，所以52μ－λ＝－12.故选A.二、多项选择题11．设a ，b 是不共线的两个平面向量，已知PQ →＝a ＋sin α·b ，其中α∈(0,2π)，QR→＝2a －b .若P ，Q ，R 三点共线，则角α的值可以为( )A.π6 B ．5π6C ．7π6D ．11π6答案 CD解析因为a ，b 是不共线的两个平面向量，所以2a －b ≠0.即QR→≠0，因为P ，Q ，R 三点共线，所以PQ →与QR →共线，所以存在实数λ，使PQ →＝λQR →，所以a ＋sin α·b ＝2λa －λb ，所以⎩⎪⎨⎪⎧1＝2λ，sinα＝－λ，解得sin α＝－12.又α∈(0,2π)，故α可为7π6或11π6.12．(2021·福建福清高三模拟)设点M 是△ABC 所在平面内一点，则下列说法正确的是( )A ．若AM →＝12AB →＋12AC →，则点M 是边BC 的中点B ．若AM→＝2AB →－AC →，则点M 在边BC 的延长线上C ．若AM→＝－BM →－CM →，则点M 是△ABC 的重心D ．若AM →＝x AB →＋y AC →，且x ＋y ＝12，则△MBC 的面积是△ABC 的面积的12答案 ACD解析 A 中，AM →＝12AB →＋12AC →⇒12AM →－12AB →＝12AC →－12AM →，即BM→＝MC →，则点M 是边BC 的中点；B 中，AM→＝2AB →－AC →⇒AM →－AB →＝AB →－AC →，所以BM →＝CB →，则点M 在边CB 的延长线上，所以B 错误；C 中，设BC 中点为D ，则AM→＝－BM →－CM →＝MB →＋MC →＝2MD →，由重心性质可知C 正确；D 中，AM →＝x AB →＋y AC →，且x ＋y ＝12⇒2AM →＝2x AB →＋2y AC →，2x ＋2y ＝1.设AD →＝2AM →，所以AD →＝2x AB →＋2y AC →，2x ＋2y ＝1，可知B ，C ，D 三点共线，所以△MBC 的面积是△ABC 面积的12.故选ACD.三、填空题13．若AP →＝12PB →，AB →＝(λ＋1)BP →，则λ＝________. 答案－52解析如图，由AP →＝12PB →，可知点P 是线段AB 上靠近点A 的三等分点，则AB →＝－32BP →，结合题意可得λ＋1＝－32，所以λ＝－52.14．向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图所示．若向量λa ＋b 与c 共线，则实数λ＝________.答案 2解析由题中所给图象可得，2a ＋b ＝c ，又c ＝μ(λa ＋b )，所以λ＝2.15．若点O 是△ABC 所在平面内的一点，且满足|OB→－OC →|＝|OB →＋OC →－2OA →|，则△ABC 的形状为________.答案直角三角形解析因为OB→＋OC →－2OA →＝OB →－OA →＋OC →－OA →＝AB →＋AC →，OB →－OC →＝CB →＝AB →－AC →，所以|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|，即AB →·AC→＝0，故AB →⊥AC →，所以△ABC 为直角三角形．16．在直角梯形ABCD 中，∠A ＝90°，∠B ＝30°，AB ＝23，BC ＝2，点E 在线段CD 上(点E 不与点C ，D 重合)，若AE→＝AD →＋μAB →，则μ的取值范围是________. 答案 0<μ<12解析由题意可求得AD ＝1，CD ＝3，∴AB→＝2DC →.∵点E 在线段CD 上(点E 不与点C ，D 重合)，∴DE →＝λDC →(0<λ<1)．∵AE →＝AD →＋DE →，又AE →＝AD →＋μAB →＝AD →＋2μDC →＝AD →＋2μλDE →，∴2μλ＝1，即μ＝λ2.∵0<λ<1，∴0<μ<12.。

高三一轮复习资料第1节平面向量的概念及线性运算

第五章平面向量第1节平面向量的概念及线性运算基础打磨1.已知向量a ,b 不共线,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a+3b ,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =5a+3b ,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =-3a+3b ,则().A .A ,B ,C 三点共线 B .A ,B ,D 三点共线 C .A ,C ,D 三点共线D .B ,C ,D 三点共线2.(2020届武汉调研)设M 为平行四边形ABCD 对角线的交点,O 为平行四边形ABCD 所在平面内的任意一点,则OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =( ). A .OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ B .2OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ C .3OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ D .4OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 3.(2020届山西太原模拟)在△ABC 中,AN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =14NC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,P 是直线BN 上一点,若AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =m AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +25AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则实数m 的值为( ).A .-4B .-1C .1D .44.(2020届湖南省娄底市高三上学期期末)已知平行四边形ABCD 的对角线相交于点O ,E 为平面内一点,且AE⃗⃗⃗⃗⃗ =13EC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,若BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =x BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +y BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (x ,y ∈R),则x+y=( ). A.1 B.-12 C.34 D.145.(2020届枣庄模拟)设D 为△ABC 所在平面内一点,AD⃗⃗⃗⃗⃗ =-13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +43AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,若BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =λDC ⃗⃗⃗⃗⃗ (λ∈R),则λ=( ).A .2B .3C .-2D .-36.(辽宁省丹东市2020届高三总复习质量测试)在△ABC 中,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AE ⃗⃗⃗⃗⃗ +DE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,若EB ⃗⃗⃗⃗⃗ =x AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +y AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则( ). A .y=3xB .x=3yC .y=-3xD .x=-3y7.(2020届湖北孝感二模)设D ,E ,F 分别为△ABC 的边BC ,CA ,AB 的中点,则DA⃗⃗⃗⃗⃗ +2EB ⃗⃗⃗⃗⃗ +3FC ⃗⃗⃗⃗⃗ =( ).A .12AD ⃗⃗⃗⃗⃗ B .32AD ⃗⃗⃗⃗⃗ C .12AC ⃗⃗⃗⃗⃗D .32AC ⃗⃗⃗⃗⃗8.(2020届辽宁丹东五校协作体联考)已知P 是△ABC 所在平面上的一点,满足PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,若S △ABC =6,则△PAB 的面积为( ). A .2 B .3 C .4 D .89.(山东省德州市2020届高三第二次练习)设向量a ,b 不平行,向量a+14λb 与-a+b 平行,则实数λ= .10.(2020届钦州质检)已知e 1,e 2为平面内两个不共线的向量,MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2e 1-3e 2,NP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λe 1+6e 2,若M ,N ,P 三点共线,则λ= .能力拔高11.(江西省南昌市2020届高三模拟)在△ABC 中,D 为BC 上一点,E 是AD 的中点,若BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λDC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μAC⃗⃗⃗⃗⃗ ,则λ+μ=( ). A .13B .-13C .76D .-7612.如图,已知AB 是圆O 的直径,点C ,D 是半圆弧的两个三等分点,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ,则AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =( ). A .a-12b B .12a-b C .a+12bD .12a+b13.(2020届河北、河南、山西三省联考)如图,在等边△ABC 中,O 为△ABC 的重心,点D 为BC 边上靠近点B 的四等分点,若OD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +y AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则x+y=( ).A .112B .13C .23D .3414.已知A ,B ,C 是平面上不共线的三点,O 是△ABC 的重心,若点P 满足OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =13(2OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +12OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ),则点P 一定为△ABC 的( ). A .BC 边中线的中点B .BC 边中线的三等分点(非重心) C .重心D .BC 边的中点思维拓展15.(2020届河南郑州阶段测试)如图所示,在△ABO 中,OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =14OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AD 与BC 相交于M ,设OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ,则用a 和b 表示向量OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = . 16.(山东省烟台市、菏泽市2020届高三高考适应性练习)在△ABC 中,点O 是BC 的三等分点,|OC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2|OB ⃗⃗⃗⃗⃗ |,过点O 的直线分别交AB ,AC 或其延长线于不同的两点E ,F ,且AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =m AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =n AF⃗⃗⃗⃗⃗ ,若1m +t n的最小值为83,则正数t 的值为 .。

高中数学一轮复习课件-平面向量的概念及线性运算课件

5.在△ABC 中，AD 为 BC 边上的中线，E 为 AD 的中点，则E→B＝( A )
A.43A→B－41A→C
B.14A→B－34A→C
C.43A→B＋41A→C
D.14A→B＋34A→C
解析法一如图所示，E→B＝E→D＋D→B＝21A→D＋12C→B
＝12×21(A→B＋A→C)＋12(A→B－A→C)＝34A→B－14A→C，故选 A.
训练 1 (1)(2021·昆明二模)已知点 P 是△ABC 所在平面内一点，且P→A＋P→B＋P→C
＝0，则( D )
A.P→A＝－13B→A＋32B→C
B.P→A＝23B→A＋13B→C
C.P→A＝－13B→A－32B→C
D.P→A＝23B→A－13B→C
解析由题意，P→A－B→A＝P→B，P→A＋A→C＝P→C，而P→A＋P→B＋P→C＝0，
法三如图，建立平面直角坐标系xAy，依题意可设点B(4m，0)，D(3m，3h)，E(4m，2h)，其中m＞0，h＞0. 由A→E＝rA→B＋sA→D，
得(4m，2h)＝r(4m，0)＋s(3m，3h)，所以42mh＝＝34hms，r＋3ms，解得rs＝＝1223，，所以2r＋3s＝1＋2＝3.
所以C→D＝C→A＋D→B，所以 A 正确；
对于 B，由三角形法则得，C→D＝C→B＋B→D＝C→B＋D→A＝－B→C＋D→A，所以 B 不正确；对于 C，C→D＝C→A＋A→D＝12A→B－A→C，所以 C 不正确；对于 D，因为 D 是 AB 的中点，所以C→D＝12C→A＋21C→B，所以 D 正确.
A.a＝－b
B.a∥b
C.a＝2b
D.a∥b 且|a|＝|b|

第一讲+平面向量的概念及线性运算课件-2025届高三数学一轮复习

2025年高考一轮总复习
第五章平面向量与复数
第一讲平面向量的概念及线性运算
1.向量的有关概念
名称
定义
备注
向量
既有大小又有方向的量平面向量是自由向量
零向量
长度为 0 的向量
记作 0
非零向量 a 的单位向单位向量长度等于 1 个单位长度的向量量为±|aa|
(续表) 名称
共线向量 (平行向量) 相等向量相反向量
(2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得到三点共线.
【变式训练】
1.(2023 年桃城区校级月考)在△ABC 中，D，E 分别为边 AB， AC 上的动点，若 AD＝2DB，AE＝3EC，CD 交 BE 于点 F，A→F＝ mA→B＋nA→C，则 m＋n＝( )
(2)证明：由(1)得O→G＝(1－λ)O→P＋λO→Q＝(1－λ)·xO→A＋λyO→B. ①
∵G 是△OAB 的重心，∴O→G＝23O→M＝32×21(O→A＋O→B)＝13O→A＋ 13O→B. ②
而O→A，O→B不共线，
∴由①，②得(1－λ)x＝31， λy＝13，
解得1x＝3－3λ， 1y＝3λ.
答案：(－1，0)
3.如图 5-1-8，G 是△OAB 的重心，P，Q 分别是边 OA，OB 上的动点，且 P，G，Q 三点共线.
(1)设P→G＝λP→Q，用λ，O→P，O→Q表示O→G；
(2)设O→P＝xO→A，O→Q＝yO→B.证明：1x＋1y是定值.
图 5-1-8
(1)解：O→G＝O→P＋P→G＝O→P＋λP→Q＝O→P＋λ(O→Q－O→P)＝ (1－λ)O→P＋λO→Q.