高三数学一轮复习 第4篇 第1节 平面向量的概念及线性运算 理

④两向量平行是这两个向量相等的必要不充分条件.
其中错误命题的序号为
.
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解析:(1)①不正确.两个向量的长度相等,但它们的方向不一定相同.
②正确.∵ AB = DC ,∴| AB |=| DC |且 AB ∥ DC , 又 A,B,C,D 是不共线的四点, ∴四边形 ABCD 为平行四边形; 反之,若四边形 ABCD 为平行四边形,
则 AB ∥ DC 且| AB |=| DC |, 因此, AB = DC . ③正确,∵a=b,∴a,b 的长度相等且方向相同, 又 b=c,∴b,c 的长度相等且方向相同, ∴a,c 的长度相等且方向相同,故 a=c. ④不正确.当 a∥b 且|a|=|b|,不一定 a=b 也可以是 a=-b.故|a|=|b|且 a∥b 不 是 a=b 的充要条件,而是必要不充分条件. 综上所述,正确命题的序号是②③.故选 A.
解析:由题图可知 a=-4e2,b=-e1-e2,则 a-b=e1-3e2.故选 C.
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3.在△ABC 中, AB =c, AC =b,若点 D 满足 BD =2 DC ,则 AD 等于 ( A)
(A) 2 b+ 1 c (B) 5 c- 2 b
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(C) 2 b- 1 c (D) 1 b+ 2 c
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5.设 a,b 是两个不共线的向量,且向量 a+λb 与 2a-b 共线,则λ=
.
解析:由题意存在实数μ,使 a+λb=μ(2a-b), 即 a+λb=2μa-μb.
则
2
1,
,
解得
1 2
,
1 2
.
答案:- 1 2
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考点突破
剖典例 找规律
考点一 平面向量的基本概念 【例 1】 (1)下列有关向量相等的命题: ①若|a|=|b|,则 a=b;
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基础自测
1.如图,已知 D,E,F 分别是△ABC 的边 BC,AB,AC 的中点,则下列说 法正确的是( C )
(A) AE = AF (B) EF = CD (C) EF = BD (D) DB = DC 解析:由平面向量相等的概念知选C.
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2.如图,e1,e2 为互相垂直的单位向量,则向量 a-b 可表示为( C ) (A)3e2-e1 (B)-2e1-4e2 (C)e1-3e2 (D)3e1-e2
②若 A,B,C,D 是不共线的四点,则 AB = DC 是四边形 ABCD 为平行四 边形的充要条件; ③若 a=b,b=c,则 a=c; ④a=b 的充要条件是|a|=|b|且 a∥b. 其中正确命题的序号是( ) (A)②③ (B)①② (C)③④ (D)②③④
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(2)设 a0 为单位向量,①若 a 为平面内的某个向量,则 a=|a|a0;②若 a
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编写意图 平面向量的概念及线性运算是高考必考内容,难度不大. 本节重点突出平面向量的线性运算及两个向量共线的含义,难点突破 平面向量的有关概念,如零向量与其他向量的关系,向量与实数的区 别等,通过思想方法栏目使学生体会了运用方程思想解有关平面向量 的线性运算问题.
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夯基固本
考点突破
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Hale Waihona Puke Baidu 2.特殊向量
名称 零向量
定义
长度为 零 的向量
单位 向量
长度等于 1个单位 的向量
平行 (共线)
向量 相等 向量 相反 向量
方向相同或 相反 的非零向量 长度 相等 且方向 相同 的向量 长度 相等 且方向 相反 的向量
备注 记作 0,0 的方向是任意的
非零向量 a 的同向单位向量为 a a
与 a0 平行,则 a=|a|a0;③若 a 与 a0 平行且|a|=1,则 a=a0.上述与单位向
量有关的命题中,假命题的个数是( )
(A)0 (B)1 (C)2 (D)3
(3)下列与共线向量有关的命题:
①相反向量就是方向相反的向量.
②若 a 与 b 同向,且|a|>|b|,则 a>b;
③λ,μ为实数,若λa=μb,则 a 与 b 共线;
0 与任一向量平行(或共线)
两个向量只有相等或不相等,不能 比较大小 0 的相反向量为 0
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3.向量的线性运算 见附表
4.共线向量定理 向量 a(a≠0)与 b 共线,当且仅当有唯一一个实数λ,使得 b=λa . 质疑探究:当 a∥b,b∥c 时,一定有 a∥c 吗? (提示:不一定.当 b≠0 时,有 a∥c.当 b=0 时,a,c 可以是任意向量,不一定 共线)
思想方法
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夯基固本
知识梳理
抓主干 固双基
1.向量的有关概念 (1)定义 既有 大小 又有 方向 的量叫做向量.
(2)表示方法 ①用字母表示:如 a,b,c 等; ②用有向线段表示:有向线段的长度表示向量的 大小 ,箭头所指的 方向表示向量的 方向 .如 AB , CD 等. (3)模 向量的 大小 叫做向量的模,记作|a|,|b|或| AB |,| CD |.
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(2)向量是既有大小又有方向的量,a 与|a|a0 的模相等,但方向不一定 相同,故①是假命题;若 a 与 a0 平行,则 a 与 a0 的方向有两种情况:一是 同向,二是反向,反向时 a=-|a|a0,故②③也是假命题.综上所述,假命 题的个数是 3.故选 D. (3)①不正确.相反向量满足方向相反,长度相等.②不正确,两向量 不能比较大小;③不正确.当λ=μ=0 时,a 与 b 可能不共线;④正确. 答案: (1)A (2)D (3)①②③
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解析:如图所示,
AD = AC + CD = AC + 1 CB = AC + 1 ( AB - AC )= 2 AC + 1 AB
3
3
3
3
= 2 b+ 1 c.故选 A. 33
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4.给出下列命题: ①向量 AB 与向量 BA 的长度相等,方向相反; ② AB + BA =0; ③两个相等向量的起点相同,则其终点必相同; ④ AB 与 CD 是共线向量,则 A、B、C、D 四点共线. 其中不正确的命题的个数是( A ) (A)2 (B)3 (C)4 (D)5 解析:①正确;②中 AB + BA =0,而不等于 0;③正确;④中 AB 与 CD 所在直线还可能平行,综上可知②④不正确.故选 A.
第四篇 平面向量(必修4) 第1节 平面向量的概念及线性运算
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最新考纲 1.了解向量的实际背景. 2.理解平面向量的概念,理 解两个向量相等的含义. 3.理解向量的几何表示.
4.掌握向量加法、减法的运算,并 理解其几何意义. 5.掌握向量数乘的运算及其几何 意义,理解两个向量共线的含义. 6.了解向量线性运算的性质及其 几何意义.