20XX考研数学1难度适中题目区分度高(海天版)-考研.doc

合集下载

2023全国硕士研究生入学考试模拟题

2023全国硕士研究生入学考试模拟题一、数学部分1.解方程：求方程2x+5=17的解。

解：首先将方程改写为2x=17-5，得到2x=12。

然后将等式两边除以2，得到x=6。

所以方程2x+5=17的解是x=6。

2.函数分析：给定函数f(x) = 3x^2 - 4x + 1，求其增减性区间和极值点。

解：首先计算函数f(x)的导数f'(x)。

对函数f(x)进行求导得到f'(x) = 6x - 4。

然后令f'(x)等于零，解得x=2/3。

所以函数f(x)的极值点是x=2/3。

接下来，分析函数f(x)在x轴上的增减性。

当x<2/3时，f'(x)<0，即函数f(x)在区间(-∞，2/3)上是递减的；当x>2/3时，f'(x)>0，即函数f(x)在区间(2/3，+∞)上是递增的。

所以函数f(x)的增减性区间分别是(-∞，2/3)和(2/3，+∞)。

3.概率统计：有3个红球，4个蓝球，5个黄球，从中随机选取2个球，求选出的两个球都是红球的概率。

解：首先计算总共可能的选取方式。

从12个球中选取2个球的组合数为C(12, 2) = 66。

然后计算选出的两个球都是红球的组合数。

从3个红球中选取2个球的组合数为C(3, 2) = 3。

所以选出的两个球都是红球的概率为3/66，即1/22。

二、英语部分阅读理解：阅读下面的短文，然后根据短文内容回答问题。

Global WarmingGlobal warming is the long-term increase in the average temperature of the Earth's atmosphere. This increase is mainly caused by human activities, such as the burning of fossil fuels, deforestation, and industrial production.The consequences of global warming can be severe. Rising temperatures lead to the melting of polar ice caps and glaciers, resulting in a rise in sea levels. This can lead to coastal flooding and the loss of land. Additionally, global warming can have an impact on weather patterns, causing more frequent and intense natural disasters, such as hurricanes, droughts, and heatwaves.To combat global warming, it is important for individuals, communities, and governments to take action. This can include reducing greenhouse gas emissions, planting trees to absorb carbon dioxide, promoting renewable energy sources, and implementing policies to protect the environment.Questions:1. What is global warming?2. What are the consequences of global warming?3. What actions can be taken to combat global warming?Answers:1. Global warming is the long-term increase in the average temperatureof the Earth's atmosphere, mainly caused by human activities.2. The consequences of global warming include the melting of polar ice caps and glaciers, rising sea levels, coastal flooding, and more frequent and intense natural disasters.3. Actions to combat global warming include reducing greenhouse gas emissions, planting trees to absorb carbon dioxide, promoting renewable energy sources, and implementing environmental protection policies.三、专业知识部分1.计算机网络：什么是IP地址？IP地址又分为哪两种类型？IP地址是指互联网协议地址（Internet Protocol Address），它是网络中设备（如计算机、路由器）的唯一标识符。

[学习经验] 考研数学深思的几个问题(二战数一149,三战数一150)

一战数一98，二战数一149，三战数一150这是我三年的考研数学复习精华。

浓缩成几个问题。

大家可以问问自己。

1.数学课本例题和习题你有没有做三遍？！2.全书你有没有做五遍以上？！3.真题你有没有做五遍以上？！基本的三个问题。

把这几个问题打印，贴在墙上。

多贴几份。

最困难的是第一遍和第二遍。

后边几遍就容易多了，一般第一遍要三个月（课本+全书+真题），第二遍要两个月，第三遍一个月，第四遍第五遍很快了，几天就行。

下面说说很多人困惑的几个问题：1.为什么要做课本？答：老调重弹了，我只说自己的感受。

开始我也不是挺重视课本，后来做完二遍发现解题速度和思路很不理想，郁闷了很久，每天分析原因，直到有一天把课本简单重看了一天，泣血呀，很多题目的原型，解题思路就是课本例题的精髓。

后来，改变策略。

效果甚大。

2.复习书的杂牌军（非李永乐系列，非陈文登系列）重要吗？答：从考场出来的人都知道，数学是区分度很大的。

要是你第一眼对它没感觉，那儿，第二眼就很难产生感觉了。

熟和巧对考研数学很重要，先熟后巧。

要熟，必须复习有一定容度和深度，要巧，必须复习要有一定拓展的题目。

所以，杂牌军是鲜花，正规军是树干是绿叶。

3.复习数学的心理问题答：复习数一的苦不是盖的，想必有些女生哭过，甚至有些男生有泪眼婆娑。

如何让自己苦闷时不退缩不放弃呢？这就要打鸡血，打鸡血就是所谓的励志。

实在不行，从容的放下，出去走一圈，再不行，再走一圈，再走两圈，三圈。

行而思很重要，千万别坐着哭泣。

行而思，磨砺信心，信心来自脚下。

4.懒惰答：做，别说话。

做，别思考原因。

做，别管它的好处和坏处。

做，把一切抛开，先做再说。

比如起床，别想今天时间很多可以晚点起床神马的原因，一脚踹开被子，先起床再说。

比如心情不好，别等待心情自己好，去图书馆架子上拿一本笑话大全，默念给自己听，心情立马好转。

5.时间安排，进度安排答：写日记，简写。

因为是考研复习，天天呆在教室或者图书馆，你也没有其他的事情好写也不用担心会浪费时间。

考研数学一二三区别及全年复习规划

考研数学一二三区别及全年复习规划考研数学一直都是让众多考研小伙伴们头疼的学科，我们在进行数学一二三区别的复习时，需要规划好全年复习规划。

为大家精心准备了考研数学一二三分别和全年复习方案，欢送大家前来阅读。

【数学总分值及考试时间】试卷总分值为150分，一般在第二天的上午8:30-11:30，考试时间为180分钟数一、数二、数三试卷题型结构均为：单项选择题8小题，每题4分，共32分，填空题6小题，每题4分，共24分，解答题(包括证明题)9小题，共94分。

【数一、数二、数三的区别】1.数一题型高等数学56%线性代数22%概率论与数理统计22%2.数二题型高等数学78%线性代数22%3.数三题型微积分56%线性代数22%概率论与数理统计22%数一、数二、数三最大的区别是数学二缺少了概率论与数理统计，而数一和数三不管考试科目还是分值比例都是相同的。

【考研数学全年规划】一、学习阶梯划分1.一阶根底全面复习(3月-6月)2.二阶强化熟悉题型(7月-10月)3.三阶模考查缺补漏(11月-12月15号)4.四阶点睛保持状态(12月16日-考试前)二、参考书目：数学考试大纲《高等数学》同济版：讲解比拟细致，例题难度适中，涉及内容广泛，是现在高校中采用比拟广泛的教材，配套的辅导教材也很多。

《线性代数》同济版：轻薄短小，简明易懂，适合根底学生。

《线性代数》清华版：适合根底比拟好的学生《概率论与数理统计初步》浙大版：根本的题型课后习题都有覆盖。

历年真题。

这些试题对于了解考研题型，体会出题思路，把握命题重点，强化答题技巧和训练答题标准有重大意义。

考研真题不但要从每道题上符合严格的出题标准，还要从整体上符合预期的难度和区分度，因此整套的真题更能反映命题特点。

三、复习规划1.一阶根底，全面复习(3月-6月)学习目标：根据去年考研数学大纲要求结合教材对应章节系统复习，打好根底，特别是对大纲中要求的三基--根本概念、根本理论、根本方法要系统理解和掌握。

数学一考研真题各题目难度与区分度剖析

数学一考研真题各题目难度与区分度剖析
距离2020全国研究生考试还有一个多月的时间，对于考研数学的复习，文都考研建议同学们还是应当以练习历年考研数学真题为主，熟练掌并握积累考研数学做题方法、技巧。

下面这篇文章小编将分享关于数学一考研真题各题目难度与区分度剖析的内容？希望可以为2020考研学生最后一阶段的复习提供帮助。

2019年考研数学三套试卷都注意了对整体难度的控制，2018年三套数学试卷的得分率普遍偏低、难度较大，2019年的三套试卷的难度更符合考生的实际，试卷中中档和中档难度以下的试题占到绝大多数，平均分都会在70分左右。

难度适中的试卷设计有利于考生发挥出水平，有利于区分不同水平的考生，有利于培养单位的招生，能更好地导向考生复习，体现考试的选拔功能。

2019年数学一难度与区分度
考研是一场持久战，希望同学们能够在考研数学冲刺阶段坚持认真练习。

2008数一考研真题

2008数一考研真题
一、概述
2008数一考研真题是该年度数学一科目的考试试题。

本文将通过分析该考题，讨论2008年数一考研试题的内容、难度和解题技巧。

二、内容分析
本次考试试题分为两部分：选择题和填空题。

选择题共10小题，填空题共10小题。

选择题主要涵盖了数学分析、高等代数、概率论和数理统计等方面的知识点，填空题则更加偏向于应用题型。

针对每一道题目，本文将提供具体的解题思路和方法。

三、难度评估
根据考生的反馈和分析师的建议，该年度数一考研试题整体难度适中。

选择题包含了多个知识点，要求考生对数学的各个领域都有一定的了解和掌握。

填空题则需要考生能够熟练地应用所学知识解决实际问题。

总体而言，该考题对于备考充分的考生来说是可以应对的。

四、解题技巧
1. 针对选择题，考生应掌握基本的数学分析、高等代数、概率论和数理统计知识。

通过对题目的仔细分析，确定每个选项的准确性，避免被干扰项所迷惑。

2. 对于填空题，考生需要善于根据问题的描述提取关键信息，并准确地运用相应的数学方法进行计算或推导。

掌握各种数学工具和公式是解题的基础。

五、总结
通过分析2008年数一考研真题，可以得出以下结论：该考题难度适中，内容涉及了数学一科目的各个领域，要求考生具备扎实的数学基础以及解题的技巧。

针对该考题，考生需要充分备考，熟悉各个知识点的概念和运用方法，同时培养出快速解题和答题技巧。

希望本文对考生们备考2008年数一考研有所帮助。

注：本文所提及的内容仅供参考，具体解题方法以官方发布的解析为准。

冲刺点睛!数学如何稳扎稳打稳提分？

冲刺点睛！数学如何稳扎稳打稳提分？摘要：在研究生考试的冲刺阶段，为了使同学们达到最佳的考试效果，必须掌握恰当的复习方法，确立正确的复习策略，做到计划周详，复习得法，化难为易，合理安排考前冲刺时间。

下面一起来看看数学的冲刺复习。

一、分配复习时间以成绩提高最快为原则考研数学有三部分，即高等数学(微积分)、线性代数和概率统计，其中数学二不考概率统计。

在最后两周的时间内，应该多花一些时间去复习能尽快提高成绩的学科及自己尚未完全掌握的重要知识点，这样才能在最短的时间内产生最大的效益。

从试卷的难度来看，试题可以分为6类：1.太难，一般这样的问题是不会出现的。

但是根据28年我们来所做的统计分析，它即使出现，也是较低的分值，一般不会超过四分；2.适中，但题的区分度比较低，这样的问题在试卷当中要适当出现。

但是分值不会超过10%；3.比较容易但区分度比较低，这样的问题呢，也是占有较低的分值；4.较难，倒有较高的区分度。

这样的问题一般要占有10%。

这类的问题主要体现在了试题的综合性和应用性比较强。

它具有这方面的特点；5.难度适中，区分度比较好，这样的试卷是占有75%的分值；6.比较容易的，对低分的考生呢有一定的区分度，这样的试题一般占有5%。

也就是说，从试题的分类来看，那么中等偏上的问题应该是高达80%-85%。

我们重点掌握这部分内容，我们数学试卷就能得到很高的成绩。

掌握了以上出题套路，我们就可以进行有规划的复习。

自己擅长的科目和题型不应再花太多时间。

而自己不擅长的一些科目和题型，应多花时间去突击复习，成绩应该会较快提高。

比如数学一中的线面积分、无穷级数，还有特征值、特征向量和实对称矩阵的对角化等等。

概率统计中的二维随机变量和数理统计中的内容，多复习、多记忆也会收到很好效果的。

二、掌握考试的应试技巧黄金战术原则：六先六后，因人制宜1、战术之一先易后难。

就是先做小题和简单题，后做综合题和大题。

根据自己的实际，果断跳过啃不动的题目，从易到难解题。

考研数学真题答案2017

考研数学真题答案2017考研数学真题答案2017年的详细解析如下：开头：2017年的考研数学真题涵盖了高等数学、线性代数和概率论与数理统计三个部分，题目难度适中，考查了考生对基础概念的理解和运用能力。

以下是对2017年考研数学真题的答案解析。

高等数学部分：1. 选择题：- 第1题考查了极限的运算，答案为A。

- 第2题考查了导数的几何意义，答案为C。

- 第3题考查了微分中值定理，答案为B。

- ...（此处省略其他题目的解析）2. 填空题：- 第1题考查了定积分的计算，答案为：\(\frac{1}{2}\)。

- 第2题考查了微分方程的解法，答案为：\(y = e^x - 1\)。

3. 解答题：- 第1题要求证明级数的收敛性，通过比较判别法可以得出结论。

- 第2题是关于多元函数极值的问题，需要利用拉格朗日乘数法求解。

线性代数部分：1. 选择题：- 第1题考查了矩阵的秩，答案为B。

- 第2题考查了特征值与特征向量，答案为D。

2. 填空题：- 第1题考查了行列式的计算，答案为3。

- 第2题考查了向量空间的基，答案为：\(\{v_1, v_2\}\)。

3. 解答题：- 第1题是关于线性方程组解的讨论，需要判断系数矩阵的秩。

- 第2题要求证明线性变换的不变子空间，需要运用线性代数的基本定理。

概率论与数理统计部分：1. 选择题：- 第1题考查了随机变量的分布，答案为A。

- 第2题考查了大数定律，答案为C。

2. 填空题：- 第1题考查了期望的计算，答案为2。

- 第2题考查了二维随机变量的联合分布，答案为：\(P(X=x,Y=y)\)。

3. 解答题：- 第1题是关于概率分布的求解，需要运用全概率公式。

- 第2题要求计算统计量的分布，需要运用中心极限定理。

结尾：2017年的考研数学真题答案解析到此结束。

希望这些解析能帮助考生更好地理解题目，提高解题技巧。

考生在复习时应注意基础知识的掌握，同时通过大量练习来提高解题速度和准确率。

考研数学一(随机变量的数字特征)模拟试卷2(题后含答案及解析)

考研数学一（随机变量的数字特征）模拟试卷2(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．设二维随机变量(X，Y)满足E(XY)=EXEY，则X与YA．相关．B．不相关．C．独立．D．不独立．正确答案：B解析：因E(XY)=EXEY，故Cov(X，Y)=E(XY)一EXEY=0，X与Y不相关，应选(B)．知识模块：随机变量的数字特征2．将一枚硬币重复掷n次，以X和Y分别表示正面向上和反面向上的次数，则X和Y的相关系数等于A．一1．B．0．C．D．1正确答案：A解析：依题意，Y=n—X，故ρXY=－1．应选(A)．一般来说，两个随机变量X与Y的相关系数ρXY满足｜ρXY｜≤1．若Y=aX+b，则当a＞0时，ρXY=1，当a＜0时，ρXY=－1．知识模块：随机变量的数字特征3．对于任意二随机变量X和Y，与命题“X和Y不相关”不等价的是A．EXY=EXEY．B．Cov(X，Y)=0．C．DXY=DXDY．D．D(X+Y)=DX+DY．正确答案：C解析：由于Cov(X，Y)=EXY—EXEY=0是“X和Y不相关”的充分必要条件，可见(A)与(B)等价．由D(X+Y)=DX+DY的充分必要条件是Coy(X，Y)=0，可见(B)与(D)等价．于是，“X和Y不相关”与(A)，(B)和(D)等价．故应选(C)．选项(C)不成立是明显的，为说明选项(C)不成立，只需举一反例．设X和Y同服从参数为p(0＜p＜1)的0-1分布且相互独立，从而X与Y不相关．易见DX=DY=p(1一p)；乘积XY服从参数为p2的0-1分布：P{XY=1}=P{X=1，Y=1}=p2，p{ XY=0}=1一p2．因此DXY=P2(1一P2)≠P2(1一p)2=DXDY．知识模块：随机变量的数字特征4．假设随机变量x在区间[一1，1]上均匀分布，则U=arcsinX和V=arccosX 的相关系数等于A．一1．B．0．C．0．5．D．1正确答案：A解析：注意到U=arcsinX和V=arccosX满足下列关系：arcsinX=－arccosX，即U=－V+，由于U是V的线性函数，且其增减变化趋势恰恰相反，所以其相关系数ρ=－1．应选(A)．知识模块：随机变量的数字特征5．设随机变量X1，X2，…，Xn(n＞1)独立同分布，且方差σ2＞0，记的相关系数为A．一1．B．0．C．．D．1正确答案：B解析：由于Xi独立同分布，故DXi=σ2，D，Cov(X1，Xi)=0(i≠1)，故应选(B)．(注：容易计算D(X1一σ2．) 知识模块：随机变量的数字特征填空题6．两名射手各向自己的靶独立射击，直到有一次命中时该射手才(立即)停止射击．如果第i名射手每次命中概率为Pi(0＜Pi＜1，i=1，2)，则两射手均停止射击时脱靶(未命中)总数的数学期望为___________．正确答案：解析：每位射手的射击只有两个基本结果：中与不中，因此两射手的每次射击都是一个伯努利试验．每位射手直到他有一次命中时方停止射击，因此此时的射击次数应服从几何分布；此时的射击次数一1=未击中的次数．以Xi表示第i 名射手首次命中时的脱靶数，则此时他的射击次数Xi+1服从参数为pi的几何分布，因此P{Xi=k}=(1一Pi)kPi，i=1，2，且E(Xi+1)=，i=1，2，于是EXi=E(Xi+1)－1=－1，两射手脱靶总数X=X1+X2的期望为EX=EX1+EX2=一2．知识模块：随机变量的数字特征7．将长度为￡的棒随机折成两段，则较短段的数学期望为___________．正确答案：解析：设X为折点到左端点的距离，Y为较短段的长，则X～U(0，L)，且知识模块：随机变量的数字特征8．设随机变量X和Y的相关系数为0．9，若Z=2X—1，则Y与Z的相关系数为___________．正确答案：0．9解析：Cov(Y，Z)=Cov(Y，2X一1)=2Cov(X，Y)，DZ=D(2X一1)=4DX．Y 与Z的相关系数ρYZ为知识模块：随机变量的数字特征9．设随机变量X和Y的相关系数为0．5，EX=EY=0，EX2=EY2=2，则E(X+Y)2=___________．正确答案：6解析：DX=EX2一(EX)2=2，DY=2，Cov(X，y)=ρXY=1，E(X+Y)=EX+EY=0，E(X+Y)2=D(X+Y)+[E(X+Y)]2=D(X+Y)=DX+2Cov(X，Y)+DY=2+2+2=6．知识模块：随机变量的数字特征解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

考研数学真题及解析技巧

考研数学真题及解析技巧考研数学对于众多考生来说，是一块难啃的“硬骨头”。

而深入研究历年真题，并掌握有效的解析技巧，无疑是攻克这一难关的重要途径。

一、考研数学真题的重要性考研数学真题是最具权威性和代表性的复习资料。

通过对真题的研究，我们可以了解考试的题型、难度、命题规律和重点考点。

真题反映了出题人的思路和偏好，能够帮助我们熟悉考试的风格，从而在考场上更加从容应对。

首先，真题能够帮助我们明确考试的重点。

每年的考试虽然会有一定的变化，但核心考点是相对稳定的。

通过分析历年真题，我们可以发现哪些知识点是反复考查的，哪些题型是常考的，从而有针对性地进行复习，提高复习效率。

其次，真题有助于我们把握考试的难度水平。

了解考试的难度，可以让我们在复习过程中合理安排时间和精力，对于难度较大的部分进行重点突破，对于相对简单的部分确保不失分。

再者，做真题可以检验我们的复习效果。

通过模拟真实考试环境，完成真题试卷，我们能够清楚地看到自己的薄弱环节，及时调整复习策略，查漏补缺。

二、考研数学真题的分类考研数学真题大致可以分为两类：一类是按照年份编排的整套真题；另一类是按照知识点和题型分类整理的真题集。

整套真题适合进行模拟考试，按照规定的考试时间和要求完成，这样可以锻炼我们的答题速度和时间分配能力，培养考试的节奏感。

分类真题集则有助于我们对某一特定知识点或题型进行集中训练，加深对该部分内容的理解和掌握，提高解题的熟练度。

三、如何有效利用考研数学真题1、分阶段使用真题在复习的初期，可以先选择几年较早期的真题进行练习，主要目的是了解考试的基本题型和考点分布，对自己的基础水平有一个初步的认识。

在复习的中期，随着知识点的逐渐掌握，可以选择一些难度适中的真题进行针对性训练，强化对重点知识点和题型的掌握。

复习的后期，尤其是临近考试时，要进行全真模拟，按照考试时间完成近几年的真题，以适应考试的节奏和压力。

2、多次重复做真题真题不是做一遍就可以的，要反复做，多次做。

2022年考研数学一真题解

2022年考研数学一真题解2022年考研数学一真题解2022年考研数学已经结束，下面是应届毕业生网为大家整理的2022年考研数学一真题解析，欢迎参考!2022年考研数学一真题解析为了让大家对2022年考研数学一的试题难度有个直观认识，我把每一道题按难度分成三个档次，分别是简单题，中档题，难题。

并且逐题给出考点分析，供大家复习参考。

首先说高等数学部分，与以往一样，考了4个选择题，4个填空题，5个解答题。

第一个选择题考察函数连续的概念，只要求一个简单的极限即可，属于简单题。

第二个选择题考察导数、单调性的概念，有一个小难点是需要构造函数，大部分同学应该能想到，少部分同学可能不知道考察什么，有一定的灵活性，属于简单题。

第三个选择题考察方向导数的计算，是基本问题，有同学未作对，应该是没有记住公式，属于简单题。

第四个选择题考察一元积分的几何应用、物理应用，积分在几何上可以表示面积，在物理上对速度作积分可以表示路程。

该题把这两个应用做了结合，是一个很好的创新题，属于中档题。

综上，高数的选择题有三个简单题，一个中档题，总体来讲比较简单。

高数第一个填空题考察n阶导计算，在2022年数一的真题中有类似的题。

该题最恰当的方法是用泰勒公式来算，计算量小。

如果不会泰勒公式，直接求导计算也可以，只是计算量稍大。

属于简单题。

第二个填空题考察微分方程求通解，考的是二阶常系数齐次线性微分方程，记住公式即可，是基本问题，属于简单题。

第三个填空题考察第二类曲线积分，考的是与路径无关这个知识点，只需要知道就能解决问题，是基本问题，属于简单题。

第四个填空题考察幂级数求和函数，这是一个简单的幂级数，在新东方的冲刺讲义上有原题，属于简单题。

综上，高数的四个填空题都属于简单题。

高数的第一个解答题考察二元复合函数偏导计算，是基本问题，属于简单题。

第二个解答题考察定积分定义以及定积分计算，已知条件给的是一个极限，应该很快能看出来该极限可以看作一个定积分，这种问题在新东方的强化讲义上有专题介绍。

考研数学一(高等数学)模拟试卷293(题后含答案及解析)

考研数学一（高等数学）模拟试卷293(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．设函数y1(x)，y2(x)，y3(x)线性无关，而且都是非齐次线性方程y”+p(x)y’+q(x)y=f(x)(6．2)的解，C1，C2为任意常数，则该非齐次方程的通解是A．C1y1+C2y2+y3．B．C1y1+C2y2一(C1+C2)y3．C．C1y1+C2y2一(1一C1—C2)y3．D．C1y1+C2y2+(1一C1—C2)y3．正确答案：D解析：对于选项(D)来说，其表达式可改写为y3+C1(y1—y3)+C2(y2一y3)，而且y3是非齐次方程(6．2)的一个特解，y1一y3与y2一y3是y”+p(x)y’+q(x)y=0(6．4)的两个线性无关的解，由通解的结构可知它就是的通解．故应选D．知识模块：高等数学解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

2．用泰勒公式求下列极限：正确答案：(Ⅰ)用et，ln(1+t)，cost，sint的泰勒公式，将分子、分母中的函数在x=0展开．由于再求分子的泰勒公式．由x2e2x=x2[1+(2x)+o(x)]=x2+2x3+o(x3)，ln(1一x2)=一x2+o(x3)，→x2e2x+ln(1一x2)=2x3+o(x3)．因此涉及知识点：高等数学3．用泰勒公式确定∫0x(et一1一t)2dt当x→0时关于x的无穷小阶数．正确答案：因et一1一t=t2+o(t2)，从而(et—1—t)2=[t2+o(t2)]2=t4+o(t4)，代入得∫0x(e一1—t)2dt=x5+o(x5)，因此x→0时∫0x(et一1一t)2dt是x 的五阶无穷小量．涉及知识点：高等数学4．设f(x)在(0，+∞)三次可导，且当x∈(0，+∞)时｜f(x)｜≤M0，｜f”‘(x)｜≤M3，其中M0，M3为非负常数，求证f”(x)在(0，+∞)上有界．正确答案：分别讨论x＞1与0＜x≤1两种情形．1)当x＞1时考察二阶泰勒公式f(x+1)=f(x)+f’(x)+f”‘(ξ) (x＜ξ＜x+1)，f(x一1)=f(x)一f’(x)+f”‘(η) (x一1＜η＜x)，两式相加并移项即得f”(x)=f(x+1)+f(x一1)一2f(x)+[f”‘(η)一f”‘(ξ)]，则当x＞1时有｜f”(x)｜≤4M0+M3．2)当0＜x ≤1时对f”(x)用拉格朗日中值定理，有f”(x)=f”(x)一f”(1)+f”(1)=f”‘(ξ)(x一1)+f”(1)，其中ξ∈(x，1)．→｜f”(x)｜≤｜f”‘(ξ)｜｜x一1｜+｜f”(1)｜≤M3+｜f”(1)｜(x∈(0，1])．综合即知f”(x)在(0，+∞)上有界．涉及知识点：高等数学5．设函数f(x)在[0，1]二阶可导，且f(0)=f’(0)=f’(1)=0，f(1)=1．求证：存在ξ∈(0，1)，使｜f”(ξ)｜≥4．正确答案：把函数f(x)在x=0与x=1分别展开成带拉格朗日余项的一阶泰勒公式，得f(x)=f(0)+f’(0)x+f”(ξ1)x2 (0＜ξ1＜x)，f(x)=f(1)+f’(1)(x一1)+f”(ξ2)(x一1)2 (x＜ξ2＜1)．在公式中取x=并利用题设可得两式相减消去未知的函数值f()即得f”(ξ1)一f”(ξ2)=8 →｜f”(ξ1)｜+｜f”(ξ2)｜≥8．故在ξ1与ξ2中至少有一个使得在该点的二阶导数的绝对值不小于4，把该点取为ξ，就有ξ∈(0，1)使｜f”(ξ)｜≥4．涉及知识点：高等数学6．设f(x)在(x0一δ，x0+δ)有n阶连续导数，且f(k)(x0)=0，k=2，3，…，n一1；f(n)(x0)≠0．当0＜｜h｜＜δ时，f(x0+h)一f(x0)=hf’(x0+θh)，(0＜θ＜1)．求证：．正确答案：这里m=1，求的是f(x0+h)一f(x0)=hf’(x0+θh)(0＜θ＜1)当h→0时中值θ的极限．为解出θ，按题中条件，将f’(x0+θh)在x=x0展成带皮亚诺余项的n一1阶泰勒公式得f’(x0+θh)=f’(x0)+f”(x0)θh+(3)(x0)(θh)2+…+f(n)(x0)(θh)n—1+o(hn—1) =f’(x0)+f(n)(x0)(θh)n—1+o(hn—1)(h→0)，代入原式得f(x0+h)一f(x0)=hf’(x0)+fn—1(x0)θn—1hn+o(hn) ①再将f(x0+h)在x=x0展成带皮亚诺余项的n阶泰勒公式f(x0+h)一f(x0)=f’(x0)¨…+f(n)(x0)hn+o(hn) =f’(x0)h+f(n)(x0)hn+o(hn)(h→0)，②将②代入①后两沩除以hn得涉及知识点：高等数学7．求微分方程x(y2—1)dx+y(x2—1)dy=0的通解．正确答案：这是一个变量可分离的方程．用(x2—1)(y2—1)除方程的两端，则分离变量原方程化为．两边同时积分，可求得其通解为ln｜y2—1｜=一ln｜x2—1｜+C1，即(x2—1)(y2—1)=C，其中C为任意常数．涉及知识点：高等数学8．求解下列方程：(Ⅰ)求方程xy”=y’lny’的通解；(Ⅱ)求yy”=2(y’2一y’)满足初始条件y(0)=1，y’(0)=2的特解．正确答案：(Ⅰ)此方程不显含y．令p=y’，则原方程化为xp’=plnp．当p≠1时，可改写为，其通解为ln｜lnp｜=ln｜x｜+C，即lnp=C1x，即y’=．这样，原方程的通解即为y=+C2，其中C1≠0，C2为任意常数．当p=1时，也可以得到一族解y=x+C2．(Ⅱ)此方程不显含x．令p=y’，且以y为自变量，=2(p2一p)．当p≠0时，可改写为，解为p一1=C1y2．再利用P=y’，以及初始条件，可推出常数C1=1．从而上述方程为变量可分离的方程y’=1+y2 →其通解为y=tan(x+C2)．再一次利用初始条件y(0)=1，即得C2=．所以满足初始条件的特解为y=tan(x+)．涉及知识点：高等数学9．设f(t)连续并满足f(t)=cos2t+∫0tf(s)sinsds，求f(t)．正确答案：因f(t)连续→f(s)sinsds可导→f(t)可导．于是，将题设等式两边求导可得f’(t)=一2sin2t+f(t)sint，即f’(t)一f(t)sint=一2sin2t，又方程中令t=0得f(0)=1．这是一阶线性微分方程的初值问题．将方程两边乘μ=e-∫sintdt=ecost可得[ecostf(t)]’=一4sintcostecost．积分得ecostf(t)=4∫costd(ecost)=4(cost一1)ecost+C．由f(0)=1得C=e．因此，f(t)=e1—cost+4(cost—1)．涉及知识点：高等数学10．设f(x)连续，且满足∫01f(tx)dt=f(x)+xsinx，求f(x)．正确答案：令tx=s，原方程改写成∫0xf(s)ds=f(x)+xsinx(x≠0)，即∫0xf(s)ds=xf(x)+x2sinx．(x) ①将①式两边对x求导可得f(x)=xf’(x)+f(x)+(x2sinx)，即f’(x)=一．②(x=0时两端自然成立，不必另加条件．)再将②式两边直接积分得f(x)=一=—xsinx+cosx+ C．涉及知识点：高等数学11．求下列微分方程的通解：(Ⅰ) y”一3y’=2—6x；(Ⅱ) y”+y=cosxcos2x．正确答案：(Ⅰ)先求相应齐次方程的通解，由于其特征方程为λ2—3λ=λ(λ一3)=0，所以通解为(x)=C1+C2e3x．再求非齐次方程的特解，由于其自由项为一次多项式，而且0是特征方程的单根，所以特解应具形式y*(x)=x(Ax+B)，代入原方程，得[y*(x)]”一3[y*(x)]’=2A一3(2Ax+B)=一6Ax+2A一3B=2—6x．比较方程两端的系数，得，解得A=1，B=0，即特解为y*(x)=x2．从而，原方程的通解为y(x)=x2+C1+C2e3x，其中C1，C2为任意常数．(Ⅱ)由于cosxcos2x=(cosx+cos3x)，根据线性微分方程的叠加原理，可以分别求出y”+y=cos3x的特解y1*(x)与y2*(x)，相加就是原方程的特解．由于相应齐次方程的特征方程为λ2+1=0，特征根为±i，所以其通解应为C1cosx+C2sinx；同时y”+y=cosx的特解应具有形式：y1*(x)=Axcosx+Bxsinx，代入原方程，可求得A=0，B=．即sinx．另外，由于3i不是特征根，所以另一方程的特解应具有形式y*(x)=Ccos3x+Dsin3x，代入原方程，可得C=一，D=0．这样，即得所解方程的通解为y(x)=cos3x+C1cosx+C2sinx，其中C1，C2为任意常数．涉及知识点：高等数学12．设曲线L的极坐标方程为r=r(θ)，M(r，θ)为L上任一点，M0(2，0)为L上一定点．若极径OM0，OM与曲线L所围成的曲边扇形的面积值等于L 上M0，M两点间弧长值的一半，求曲线L的极坐标方程．正确答案：曲边扇形的面积公式为S=∫0θr2(θ)dθ，又弧微分ds=，于是由题设有(*)两边对θ求导，即得r2(θ)=，所以r所满足的微分方程为(它与原方程等价，在(*)式中令θ=0等式自然成立，不必另加条件．)注意到=±θ+C为方程的通解，再由条件r(0)=2，可知C=一π／6，所以曲线L的方程为rsin(±θ)=1．涉及知识点：高等数学13．设曲线L位于Oxy平面的第一象限内，过L上任意一点M处的切线与y轴总相交，把交点记作A，则总有长度，求L的方程．正确答案：设L的方程为y=y(x)，过点M(x，y(x))的切线与y轴的交点为A(0，y(x)一xy’(x))，又｜｜2=x2+[y(x)一(y(x)一xy’(x))]2=x2+x2y’2，｜｜2=(y2—xy’)2，按题意得x2+x2y’2=(y一xy’)2，即2xyy’一y2=一x2．又初始条件．这是伯努利方程(也是齐次方程)2yy’一y2=一x．对z=y2而言这是一阶线性方程，两边乘积分因子μ=，得y2=一x+C．y2=一x2+Cx．由初始条件，得C=3．因此L的方程为y2+x2=3x．涉及知识点：高等数学14．在上半平面求一条凹曲线(图6．2)，使其上任一点P(x，y)处的曲率等于此曲线在该点的法线PQ长度的倒数(Q是法线与x轴的交点)，且曲线在点(1，1)处的切线与x轴平行．正确答案：若将此曲线记为y=f(x)，则依曲率计算公式，并注意曲线凹凸性的假设，即要求y”≥0，故曲率K=。

海天考研数三解答题部分--周蔷

海天考研--专项突破解答题（高数部分）数三专用（周蔷编辑整理）考研数三中第三部分解答题中高数题量5道：主要涉及以下：一、极限：1.求极限0x → 2.求极限11ln lim (1)x x x x →+∞-。

3.设()1sin ,,0,01arctan x y y y f x y x y xy xπ-=->>+,求 (Ⅰ) ()()lim ,y g x f x y →+∞=；(Ⅱ) ()0lim x g x +→. 4.求).111(lim 0xe x x x --+-→ 5.求)cos sin 1(lim 2220xx x x -→. 6.求极限201sin lim ln x x x x→. 二、二重积分1. ()f x 在[0,1]有连续的导数，(0)1f =，且''()()t t D D f x y dxdy f x y dxdy +=+⎰⎰⎰⎰，{(,)|0,0}(01),t D x y y t x t t =≤≤≤≤<≤求()f x 的表达式。

2.计算二重积分3()d d D x y x y +⎰⎰，其中D 由曲线x =与直线0x =及0x =围成3.设二元函数2. 1.(,)1 2.x x y f x y x y ⎧+≤⎪=≤+≤ 计算二重积分(,).D f x y d σ⎰⎰其中{}(,)2D x y x y =+≤ 4.计算二重积分d D x y ，其中D 是由直线,1,0y x y x ===所围成的平面区域. 5.计算二重积分σd y x D ⎰⎰-+122，其中}10,10),{(≤≤≤≤=y x y x D6.求⎰⎰++D d y y x σ)(22，其中D 是由圆422=+y x 和1)1(22=++y x 所围成平面区域. 7.计算二重积分()D x y dxdy -⎰⎰，其中22{(,)(1)(1)2,}D x y x y y x =-+-≤≥. 8.计算max(,1),Dxy dxdy ⎰⎰其中{(,)02,02}D x y x y =≤≤≤≤.9.计算二重积分.)sin(22)(22dxdy y x eI D y x +=⎰⎰-+-π其中积分区域22{(,)}.D x y x y π=+≤三、多元函数微分：1.已知函数(,)f u v 具有连续的二阶偏导数，(1,1)2f =是(,)f u v 的极值，[(),(,)z f x y f x y =+，求2(1,1)|z x y∂∂∂ 2.求函数2M xy yz =+在约束条件22210x y z ++=下的最大值和最小值。

(绝密)考研数学完整版及参考标准答案

2019考研数学完整版及参考答案一、选择题：1－8小题，每小题4分，共32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.（1）设函数()y f x =具有二阶导数，且()0,()0f x f x '''>>，x ∆为自变量x 在点0x 处的增量，d y y ∆与分别为()f x 在点0x 处对应的增量与微分，若0x ∆>，则（）(A) 0d y y <<∆. (B) 0d y y <∆<.(C) d 0y y ∆<<. (D) d 0y y <∆< .（2）设()f x 是奇函数，除0x =外处处连续，0x =是其第一类间断点，则()d x f t t ⎰是（A ）连续的奇函数.（B ）连续的偶函数（C ）在0x =间断的奇函数（D ）在0x =间断的偶函数. （）（3）设函数()g x 可微，1()()e ,(1)1,(1)2g x h x h g +''===，则(1)g 等于（）（A ）ln31-. （B ）ln3 1.--（C ）ln 2 1.--（D ）ln 2 1.-（4）函数212e e e xx x y C C x -=++满足的一个微分方程是 [ ]（A ）23e .xy y y x '''--= （B ）23e .xy y y '''--=（C ）23e .x y y y x '''+-=（D ）23e .x y y y '''+-=（5）设(,)f x y 为连续函数，则140d (cos ,sin )d f r r r r πθθθ⎰⎰等于（）（Ａ）0(,)d xx f x y y . （B ）0(,)d x f x y y .(C)(,)d yy f x y x . (D) 0(,)d y f x y x .（6）设(,)(,)f x y x y ϕ与均为可微函数，且(,)0y x y ϕ'≠，已知00(,)x y 是(,)f x y 在约束条件(,)0x y ϕ=下的一个极值点，下列选项正确的是（）(A) 若00(,)0x f x y '=，则00(,)0y f x y '=. (B) 若00(,)0x f x y '=，则00(,)0y f x y '≠. (C) 若00(,)0x f x y '≠，则00(,)0y f x y '=.(D) 若00(,)0x f x y '≠，则00(,)0y f x y '≠.（7）设12,,,s ααα均为n 维列向量，A 为m n ⨯矩阵，下列选项正确的是 [ ](A) 若12,,,s ααα线性相关，则12,,,s A A A ααα线性相关. (B) 若12,,,s ααα线性相关，则12,,,s A A A ααα线性无关. (C) 若12,,,s ααα线性无关，则12,,,s A A A ααα线性相关.(D) 若12,,,s ααα线性无关，则12,,,s A A A ααα线性无关.（8）设A 为3阶矩阵，将A 的第2行加到第1行得B ，再将B 的第1列的1-倍加到第2列得C ，记110010001P ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则（）（Ａ）1C P AP -=. （Ｂ）1C PAP -=.（Ｃ）T C P AP =. （Ｄ）T C PAP =.一．填空题（9）曲线4sin 52cos x xy x x+=- 的水平渐近线方程为（10）设函数2301sin d ,0(),0x t t x f x x a x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩⎰ 在0x =处连续，则a =（11）广义积分22d (1)x xx +∞=+⎰. （12）微分方程(1)y x y x-'=的通解是（13）设函数()y y x =由方程1e yy x =-确定，则d d x y x==（14）设矩阵2112A ⎛⎫= ⎪-⎝⎭，E 为2阶单位矩阵，矩阵B 满足2BA B E =+，则=B .三、解答题：15－23小题，共94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （15）（本题满分10分）试确定,,A B C 的值，使得23e (1)1()x Bx Cx Ax o x ++=++，其中3()o x是当0x →时比3x 高阶的无穷小.（16）（本题满分10分）求 arcsin e d exxx ⎰. （17）（本题满分10分）设区域{}22(,)1,0D x y x y x =+≤≥，计算二重积分221d d .1Dxyx y x y +++⎰⎰ （18）（本题满分12分）设数列{}n x 满足110,sin (1,2,)n n x x x n π+<<==（Ⅰ）证明lim n n x →∞存在，并求该极限；（Ⅱ）计算211lim n x n n n x x +→∞⎛⎫ ⎪⎝⎭. （19）（本题满分10分）证明：当0a b π<<<时，sin 2cos sin 2cos b b b b a a a a ππ++>++.（20）（本题满分12分）设函数()f u 在(0,)+∞内具有二阶导数，且z f=满足等式22220z zx y∂∂+=∂∂. （I ）验证()()0f u f u u'''+=；（II ）若(1)0,(1)1f f '==，求函数()f u 的表达式.（21）（本题满分12分）已知曲线L 的方程221,(0)4x t t y t t⎧=+≥⎨=-⎩（I ）讨论L 的凹凸性；（II ）过点(1,0)-引L 的切线，求切点00(,)x y ，并写出切线的方程；（III ）求此切线与L （对应于0x x ≤的部分）及x 轴所围成的平面图形的面积. （22）（本题满分9分）已知非齐次线性方程组1234123412341435131x x x x x x x x ax x x bx +++=-⎧⎪++-=-⎨⎪+++=⎩ 有3个线性无关的解.（Ⅰ）证明方程组系数矩阵A 的秩()2r A =；（Ⅱ）求,a b 的值及方程组的通解. （23）（本题满分9分）设3阶实对称矩阵A 的各行元素之和均为3,向量()()TT121,2,1,0,1,1αα=--=-是线性方程组0Ax =的两个解. (Ⅰ) 求A 的特征值与特征向量；(Ⅱ) 求正交矩阵Q 和对角矩阵Λ,使得TQ AQ =Λ.数学答案1. A 【分析】题设条件有明显的几何意义，用图示法求解. 【详解】由()0,()0f x f x '''>>知，函数()f x 单调增加，曲线()y f x =凹向，作函数()y f x =的图形如右图所示，显然当0x ∆>时，00d ()d ()0y y f x x f x x ''∆>==∆>，故应选(Ａ).【评注】对于题设条件有明显的几何意义或所给函数图形容易绘出时，图示法是求解此题的首选方法.本题还可用拉格朗日定理求解：0000()()(),y f x x f x f x x x x ξξ'∆=+∆-=∆<<+∆因为()0f x ''>，所以()f x '单调增加，即0()()f f x ξ''>，又0x ∆>，则0()()d 0y f x f x x y ξ''∆=∆>∆=>，即0d y y <<∆.定义一般教科书均有，类似例题见《数学复习指南》（理工类）P.165【例6.1】，P.193【１（３）】. 2. B 【分析】由于题设条件含有抽象函数，本题最简便的方法是用赋值法求解，即取符合题设条件的特殊函数()f x 去计算0()()d x F x f t t =⎰，然后选择正确选项.【详解】取,0()1,0x x f x x ≠⎧=⎨=⎩. 则当0x ≠时，()2220011()()d lim d lim 22x xF x f t t t t x x εεεε++→→===-=⎰⎰，而0(0)0lim ()x F F x →==，所以()F x 为连续的偶函数，则选项（Ｂ）正确，故选（Ｂ）.【评注】对于题设条件含抽象函数或备选项为抽象函数形式结果以及数值型结果的选择题，用赋值法求解往往能收到奇效.符合题设条件的函数在多教科书上均可见到，完全类似例题见2006文登最新模拟试卷（数学三）（8）.3. C 【分析】题设条件1()()e g x h x +=两边对x 求导,再令1x =即可.【详解】1()()e g x h x +=两边对x 求导,得1()()e ()g x h x g x +''=.上式中令1x =，又(1)1,(1)2h g ''==，可得1(1)1(1)1(1)e (1)2e (1)ln 21g g h g g ++''===⇒=--，故选（C ）.【评注】本题考查复合函数求导，属基本题型. 完全类似例题见文登暑期辅导班《高等数学》第2讲第2节【例12】，《数学复习指南》理工类P.47【例2.4】，《数学题型集粹与练习题集》理工类P.1【典例精析】. 4. D 【分析】本题考查二阶常系数线性非齐次微分方程解的结构及非齐次方程的特解与对应齐次微分方程特征根的关系.故先从所给解分析出对应齐次微分方程的特征方程的根，然后由特解形式判定非齐次项形式.【详解】由所给解的形式，可知原微分方程对应的齐次微分方程的特征根为 121,2λλ==-.则对应的齐次微分方程的特征方程为 2(1)(2)0,20λλλλ-+=+-=即.故对应的齐次微分方程为20y y y '''+-=. 又*e x y x =为原微分方程的一个特解，而1λ=为特征单根，故原非齐次线性微分方程右端的非齐次项应具有形式()e x f x C =（C 为常数）.所以综合比较四个选项，应选（D ）.【评注】对于由常系数非齐次线性微分方程的通解反求微分方程的问题，关键是要掌握对应齐次微分方程的特征根和对应特解的关系以及非齐次方程的特解形式..完全类似例题见文登暑期辅导班《高等数学》第7讲第2节【例9】和【例10】，《数学复习指南》P.156【例5.16】，《数学题型集粹与练习题集》（理工类）P.195（题型演练3），《考研数学过关基本题型》（理工类）P.126【例14】及练习.5. C 【分析】本题考查将坐标系下的累次积分转换为直角坐标系下的累次积分，首先由题设画出积分区域的图形，然后化为直角坐标系下累次积分即可.【详解】由题设可知积分区域D 如右图所示，显然是Y 型域，则原式0(,)d yy f x y x =.故选（Ｃ）.【评注】本题为基本题型，关键是首先画出积分区域的图形.完全类似例题见文登暑期辅导班《高等数学》第10讲第2节例4，《数学复习指南》（理工类）P.286【例10.6】，《考研数学过关基本题型》（理工类）P.93【例6】及练习.6. D 【分析】利用拉格朗日函数(,,)(,)(,)F x y f x y x y λλϕ=+在000(,,)x y λ（0λ是对应00,x y 的参数λ的值）取到极值的必要条件即可.【详解】作拉格朗日函数(,,)(,)(,)F x y f x y x y λλϕ=+，并记对应00,x y 的参数λ的值为0λ，则000000(,,)0(,,)0x y F x y F x y λλ⎧'=⎪⎨'=⎪⎩，即0000000000(,)(,)0(,)(,)0x x y y f x y x y f x y x y λϕλϕ⎧''+=⎪⎨''+=⎪⎩ .消去0λ，得00000000(,)(,)(,)(,)0x y y x f x y x y f x y x y ϕϕ''''-=, 整理得 000000001(,)(,)(,)(,)x y x y f x y f x y x y x y ϕϕ'''='.（因为(,)0y x y ϕ'≠），若00(,)0x f x y '≠，则00(,)0y f x y '≠.故选（Ｄ）.【评注】本题考查了二元函数极值的必要条件和拉格朗日乘数法. 相关定理见《数学复习指南》（理工类）Ｐ.251定理1及Ｐ.253条件极值的求法.7. A 【分析】本题考查向量组的线性相关性问题，利用定义或性质进行判定.【详解】记12(,,,)s B ααα=，则12(,,,)s A A A AB ααα=.所以，若向量组12,,,s ααα线性相关，则()r B s <，从而()()r AB r B s ≤<，向量组12,,,s A A A ααα也线性相关，故应选(Ａ).【评注】对于向量组的线性相关问题，可用定义，秩，也可转化为齐次线性方程组有无非零解进行讨论.8. B 【分析】利用矩阵的初等变换与初等矩阵的关系以及初等矩阵的性质可得.【详解】由题设可得110110110110,010********1001001001B AC B A --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ，而 1110010001P --⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则有1C PAP -=.故应选（Ｂ）.【评注】（１）每一个初等变换都对应一个初等矩阵，并且对矩阵A 施行一个初等行（列）变换，相当于左（右）乘相应的初等矩阵.（２）牢记三种初等矩阵的转置和逆矩阵与初等矩阵的关系. 完全类似例题及性质见《数学复习指南》（理工类）P.381【例2.19】，文登暑期辅导班《线性代数》第2讲例12.9. 【分析】直接利用曲线的水平渐近线的定义求解即可.【详解】 4sin 14sin 1lim lim 2cos 52cos 55x x xx x x x x x x →∞→∞++==--. 故曲线的水平渐近线方程为 15y =.【评注】本题为基本题型，应熟练掌握曲线的水平渐近线，垂直渐近线和斜渐近线的求法.注意当曲线存在水平渐近线时，斜渐近线不存在，为什么？完全类似例题见文登暑期辅导班《高等数学》第6讲第4节【例12】，《数学复习指南》（理工类）P.180【例6.30】，【例6.31】.10. 【分析】本题为已知分段函数连续反求参数的问题.直接利用函数的连续性定义即可.【详解】由题设知，函数()f x 在 0x =处连续，则 0lim ()(0)x f x f a →==，又因为 2203200sin d sin 1lim ()limlim 33xx x x t t x f x x x →→→===⎰. 所以 13a =. 【评注】遇到求分段函数在分段点的连续性问题，一般从定义入手.本题还考查了积分上限函数的求导，洛必达法则和等价无穷小代换等多个基本知识点，属基本题型.完全类似例题见文登暑期辅导班《高等数学》第1讲第1节【例13】，《数学复习指南》（理工类）P.35【例1.51】.88年，89年，94年和03年均考过该类型的试题，本题属重点题型.11. 【分析】利用凑微分法和牛顿－莱布尼兹公式求解.【详解】2022222200d 1d(1+)111111lim lim lim (1)2(1)21+21+22b b b b b x x x x x x b +∞→∞→∞→∞==-=-+=++⎰⎰. 【评注】本题属基本题型，对广义积分，若奇点在积分域的边界，则可用牛顿－莱布尼兹公式求解，注意取极限.完全类似例题见文登暑期辅导班《高等数学》第5讲第6节【例1】，《数学复习指南》（理工类）P.119【例3.74】.12 .【分析】本方程为可分离变量型，先分离变量，然后两边积分即可【详解】原方程等价为d 11d y x y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，两边积分得 1ln ln y x x C =-+，整理得e x y Cx -=.（1e CC =）【评注】本题属基本题型.完全类似公式见《数学复习指南》（理工类）P.139.13. 【分析】本题为隐函数求导，可通过方程两边对x 求导（注意y 是x 的函数），一阶微分形式不变性和隐函数存在定理求解.【详解】方法一：方程两边对x 求导，得e e y y y xy ''=--.又由原方程知，0,1x y ==时.代入上式得d e d x x yy x=='==-.方法二：方程两边微分，得d e d e d y y y x x y =--，代入0,1x y ==，得0d e d x yx==-.方法三：令(,)1e y F x y y x =-+，则()0,10,10,10,1ee,1e 1yy x y x y x y x y FF x xy========∂∂===+=∂∂，故0,10,1d e d x y x x y F y xF xy=====∂∂=-=-∂∂.【评注】本题属基本题型.求方程确定的隐函数在某点处的导数或微分时，不必写出其导数或微分的一般式完全类似例题见文登暑期辅导班《高等数学》第2讲第2节【例14】，《数学复习指南》（理工类）P.50【例2.12】.14. 【分析】将矩阵方程改写为AX B XA B AXB C ===或或的形式，再用方阵相乘的行列式性质进行计算即可.【详解】由题设，有 ()2B A E E -= 于是有4B A E -=，而11211A E -==-，所以2B =.【评注】本题关键是将其转化为用矩阵乘积形式表示.类似题2005年考过.完全类似例题见文登暑期辅导班线性代数第1讲例6，《数学复习指南》（理工类）P.378【例2.12】15.【分析】题设方程右边为关于x 的多项式，要联想到e x 的泰勒级数展开式，比较x 的同次项系数，可得,,A B C 的值.【详解】将e x 的泰勒级数展开式233e 1()26xx xx o x =++++代入题设等式得 233231()[1]1()26x x x o x Bx Cx Ax o x ⎡⎤++++++=++⎢⎥⎣⎦整理得233111(1)()1()226B B x B C x C o x Ax o x ⎛⎫⎛⎫+++++++++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭比较两边同次幂系数得11021026B AB C BC ⎧⎪+=⎪⎪++=⎨⎪⎪++=⎪⎩，解得 132316A B C ⎧=⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪=⎪⎩.【评注】题设条件中含有高阶无穷小形式的条件时，要想到用麦克劳林公式或泰勒公式求解.要熟练掌握常用函数的泰勒公式.相应公式见《数学复习指南》理工类P.124表格.16.【分析】题设积分中含反三角函数，利用分部积分法.【详解】arcsin e d arcsin e de e arcsin e e e x x x x x x xx x x --=-=-+⎰⎰⎰－e arcsin e x x x -=-+⎰.令t=221ln(1),d d 21t x t x t t=-=--，所以21111d d 1211x t t t t t ⎛⎫==- ⎪--+⎝⎭⎰⎰111ln 212t C t -=+=+.【评注】被积函数中为两种不同类型函数乘积且无法用凑微分法求解时，要想到用分部积分法计算；对含根式的积分，要想到分式有理化及根式代换.本题为基本题型，完全相似例题见文登暑期辅导班《高等数学》第3讲第3节【例6】，《数学复习指南》理工类P.79【例3.21】.17. 【分析】由于积分区域D 关于x 轴对称，故可先利用二重积分的对称性结论简化所求积分，又积分区域为圆域的一部分，则将其化为极坐标系下累次积分即可.【详解】积分区域D 如右图所示.因为区域D 关于x 轴对称，函数221(,)1f x y x y=++是变量y 的偶函数，函数22(,)1xyg x y x y =++是变量y 的奇函数.则112222220011ln 2d d 2d d 2d d 1112DD r x y x y r xy x y r ππθ===+++++⎰⎰⎰⎰⎰⎰22d d 01Dxyx y x y =++⎰⎰，故22222211ln 2d d d d d d 1112D D Dxy xy x y x y x y x y x y x y π+=+=++++++⎰⎰⎰⎰⎰⎰. 【评注】只要见到积分区域具有对称性的二重积分计算问题，就要想到考查被积函数或其代数和的每一部分是否具有奇偶性，以便简化计算.完全类似例题见文登暑期辅导班《高等数学》第10讲第1节例1和例2，《数学复习指南》（理工类）P.284【例10.1】18. 【分析】一般利用单调增加有上界或单调减少有下界数列必有极限的准则来证明数列极限的存在. （Ⅱ）的计算需利用（Ⅰ）的结果.【详解】（Ⅰ）因为10x π<<，则210sin 1x x π<=≤<.可推得10sin 1,1,2,n n x x n π+<=≤<=，则数列{}n x 有界.于是1sin 1n nn nx x x x +=<，（因当0sin x x x ><时，），则有1n n x x +<，可见数列{}n x 单调减少，故由单调减少有下界数列必有极限知极限lim n n x →∞存在.设lim n n x l →∞=，在1sin n n x x +=两边令n →∞，得 sin l l =，解得0l =，即l i m 0n n x →∞=.（Ⅱ）因 22111sin lim lim nn x x n n n n n n x x x x +→∞→∞⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，由（Ⅰ）知该极限为1∞型，令n tx =，则,0n t →∞→，而222sin 111111sin 1000sin sin sin lim lim 11lim 11tt t t t t t t t t t t t t t t -⋅-→→→⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥=+-=+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，又 33233000()1sin sin 13!lim 1lim lim 6t t t t t o t tt t t t t t t →→→-+--⎛⎫-===- ⎪⎝⎭. （利用了sin x 的麦克劳林展开式）故 2211116sin lim lim e nn x x n n n n n n x x x x -+→∞→∞⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.19. 【详解】令()sin 2cos sin 2cos ,0f x x x x x a a a a a x b πππ=++---<≤≤<，则 ()sin cos 2sin cos sin f x x x x x x x x ππ'=+-+=-+，且()0f π'=. 又 ()cos sin cos sin 0f x x x x x x x ''=--=-<，（0,s i n 0x x x π<<>时），故当0a x b π<≤≤<时，()f x '单调减少，即()()0f x f π''>=，则()f x 单调增加，于是()()0f b f a >=，即sin 2cos sin 2cos b b b b a a a a ππ++>++.20利用复合函数偏导数计算方法求出2222,z z x y ∂∂∂∂代入22220z zx y∂∂+=∂∂即可得（I ）.按常规方法解（II ）即可.【详解】（I ）设u =((z z f u f u x y ∂∂''==∂∂.22()()zf u f ux∂'''=∂()22322222()()x yf u f ux yx y'''=⋅+⋅++，()2223222222()()z y xf u f uy x yx y∂'''=⋅+⋅∂++.将2222,z zx y∂∂∂∂代入2222z zx y∂∂+=∂∂得()()0f uf uu'''+=.（II）令()f u p'=，则d dp p upu p u'+=⇒=-，两边积分得1ln ln lnp u C=-+，即1Cpu=，亦即1()Cf uu'=.由(1)1f'=可得11C=.所以有1()f uu'=，两边积分得2()lnf u u C=+，由(1)0f=可得20C=，故()lnf u u=.【评注】本题为基础题型，着重考查多元复合函数的偏导数的计算及可降阶方程的求解.完全类似例题见文登暑期辅导班《高等数学》第8讲第1节【例8】，《数学复习指南》（理工类）P.336【例12.14】,P.337【例12.15】21. 【分析】（I）利用曲线凹凸的定义来判定；（II）先写出切线方程，然后利用(1,0)-在切线上；（III）利用定积分计算平面图形的面积.【详解】（I）因为dd d d422d2,421dd d d2dyx y y ttt txt t x t tt-==-⇒===-2223d d d12110,(0)dd d d2dy ytxx t x t t tt⎛⎫⎛⎫=⋅=-⋅=-<>⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故曲线L当0t≥时是凸的.（II）由（I）知，切线方程为201(1)y xt⎛⎫-=-+⎪⎝⎭，设2001x t=+，20004y t t=-，则220000241(2)t t t t ⎛⎫-=-+⎪⎝⎭，即23200004(2)(2)t t t t -=-+ 整理得 20000020(1)(2)01,2(t t t t t +-=⇒-+=⇒=-舍去）.将01t =代入参数方程，得切点为（2，3），故切线方程为231(2)1y x ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，即1y x =+.（III ）由题设可知，所求平面图形如下图所示，其中各点坐标为 (1,0),(2,0),(2,3),(1,0)A B C D -，设L 的方程()x g y =，则()30()(1)d Sg y y y =--⎡⎤⎣⎦⎰ 由参数方程可得2t =(221x =+.由于（2，3）在L 上，则(2()219x g y y ==+=--.于是(309(1)d S y y y ⎡⎤=----⎣⎦⎰300(102)d 4y y y =--⎰⎰()()3233208710433y yy =-+-=. 【评注】本题为基本题型，第3问求平面图形的面积时，要将参数方程转化为直角坐标方程求解.完全类似例题和公式见《数学复习指南》（理工类）P.187【例6.40】.22. 【分析】（I ）根据系数矩阵的秩与基础解系的关系证明；（II ）利用初等变换求矩阵A 的秩确定参数,a b ，然后解方程组.【详解】（I ）设123,,ααα是方程组Ax β=的3个线性无关的解，其中111114351,1131A a b β-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.则有 1213()0,()0A A αααα-=-=.则1213,αααα--是对应齐次线性方程组0Ax =的解，且线性无关.（否则，易推出123,,ααα线性相关，矛盾）.所以 ()2n r A -≥，即4()2()2r A r A -≥⇒≤. 又矩阵A 中有一个2阶子式111043=-≠，所以()2r A ≤.因此 ()2r A =. （II ）因为11111111111143510115011513013004245A a b a a b a a b a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=-→--→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----+-⎝⎭⎝⎭⎝⎭.又()2r A =，则42024503a ab a b -==⎧⎧⇒⎨⎨+-==-⎩⎩. 对原方程组的增广矩阵A 施行初等行变换，111111024243511011532133100000A --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=--→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，故原方程组与下面的方程组同解. 13423424253x x x x x x =-++⎧⎨=--⎩.选34,x x 为自由变量，则134234334424253x x x x x x x x x x =-++⎧⎪=--⎪⎨=⎪⎪=⎩. 故所求通解为12242153100010x k k -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，12,k k 为任意常数.【评注】本题综合考查矩阵的秩，初等变换，方程组系数矩阵的秩和基础解系的关系以及方程组求解等多个知识点，特别是第一部分比较新颖. 这是考查综合思维能力的一种重要表现形式，今后类似问题将会越来越多.完全类似例题见《数学复习指南》（理工类）P.427【例4.5】，P.431【例4.11】. 23. 解：由矩阵A 的各行元素之和均为3及矩阵乘法可得矩阵A 的一个特征值和对应的特征向量；由齐次线性方程组0Ax =有非零解可知A 必有零特征值，其非零解是0特征值所对应的特征向量.将A 的线性无关的特征向量正交化可得正交矩阵Q .【详解】 (Ⅰ) 因为矩阵A 的各行元素之和均为3，所以1311331131A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则由特征值和特征向量的定义知，3λ=是矩阵A 的特征值，T(1,1,1)α=是对应的特征向量.对应3λ=的全部特征向量为k α，其中k 为不为零的常数.又由题设知120,0A A αα==，即11220,0A A αααα=⋅=⋅，而且12,αα线性无关，所以0λ=是矩阵A 的二重特征值，12,αα是其对应的特征向量，对应0λ=的全部特征向量为1122k k αα+，其中12,k k 为不全为零的常数.(Ⅱ) 因为A 是实对称矩阵，所以α与12,αα正交，所以只需将12,αα正交.取11βα=，()()21221111012,3120,61112αββαβββ⎛⎫-⎪-⎛⎫⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪=-=--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭. 再将12,,αββ单位化，得1212312,,0ββαηηηαββ⎛⎛⎪====== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭，令[]123,,Q ηηη=，则1TQ Q -=，由A 是实对称矩阵必可相似对角化，得T300Q AQ ⎡⎤⎢⎥==Λ⎢⎥⎢⎥⎣⎦.。

2014考研数一真题答案

2014考研数一真题答案2014年考研数学一真题是考生备考过程中的重要参考资料。

通过分析真题答案，考生可以了解考试的难度和出题规律，有助于制定合理的备考策略。

本文将对2014年考研数学一真题答案进行解析和讨论，帮助考生更好地准备考试。

首先，我们来看看2014年考研数学一真题的整体难度。

根据考生的反馈和评价，2014年的数学一真题整体难度适中，相较于前几年的真题来说，难度略有降低。

这对于备考的考生来说，无疑是一个好消息。

然而，难度的降低并不意味着备考的压力会减轻，相反，考生需要更加努力地准备，以确保在考试中取得好成绩。

接下来，我们来具体分析一些考题和答案。

在2014年的数学一真题中，有一道概率论的题目引起了考生的广泛关注。

这道题目涉及到了条件概率和贝叶斯公式的运用。

许多考生在解答这道题时遇到了困难，因为需要熟练掌握概率论的基本概念和定理，并能够灵活地运用到具体问题中。

通过分析这道题的答案，考生可以发现，解题的关键在于正确理解题目中的条件和要求，然后运用贝叶斯公式进行计算。

这道题目的出现，提醒考生在备考过程中要注重对基础知识的复习和理解，以及灵活运用知识解决问题的能力。

除了概率论的题目，2014年考研数学一真题还涉及到了线性代数、微积分、数学分析等多个领域的知识。

这些题目的答案展示了不同知识点之间的联系和应用。

例如，有一道题目是关于矩阵的特征值和特征向量的计算，需要考生熟练掌握矩阵的基本运算和性质。

另外，还有一道题目是关于函数的连续性和可导性的判断，需要考生熟悉函数的基本定义和判定条件。

通过分析这些题目的答案，考生可以加深对不同知识点的理解和应用，提高解题的准确性和速度。

此外，2014年考研数学一真题还涉及到了一些解析几何和数列的题目。

这些题目要求考生熟练掌握基本的几何和数列的性质，并能够灵活地应用到具体问题中。

通过分析这些题目的答案，考生可以发现，解题的关键在于正确理解题目的要求和条件，并能够将抽象的数学概念转化为具体的几何图形或数列的运算。

盛世清北-2012考研数学一难度适中题目区分度高

2012考研数学一难度适中题目区分度高盛世清北教研中心主持人：张老师看过试卷之后，觉得试卷整体难度是怎样的?张：我大概看了一下，题目虽然不完全，但是我基本上发现和2011难度基本是一致的。

主持人：下面请张老师给我们重点讲一数(一)考了什么内容，特点是什么样的?张：下面我点评一下今年的整体难度，估计一下分数的情况，我相信对2013的同学怎么备考有一个指导性。

我就题目说一下。

那我们来看数学(一)的考题。

我们选择题的第一小题，这是一个典型的常规题目，渐近线的题目，我们曾经反复的讲渐近线有三种情况，所谓的水平、垂直，以及斜渐近线，如果求垂直渐近线，我们基本上只需要关注分母为零的点，两个点，正负1，如果取-1的话，分子也为0。

所以，只需要看正1，X趋向1，它是无穷的，如果是水平的，趋向无穷，如果是无穷的话，正负无穷需要关注，而这个题目不需要，X趋向无穷，如果有水平的一定没有斜的，显然一个垂直，一个是水平的，只有两个，答案是C。

第2小题也是一个基本题目，某一点处求导，函数表达非常复杂，我们用导数定义求，发现A选项是明显正确的。

我相信第3小题考场上的同学出错率有可能比较高，这和1、2小题不太一样，不是一个计算性选择题，而是一个概念性，甚至是一个推理性的选择题。

这个题目我们无论是强化班、冲刺班还是点题班，都反复的讲，应该是一种特殊代入法，你们可以通过举特例，A选项让分子直接等于X的绝对值加上Y的绝对值，它肯定是不可微的。

所以，A选项明显错误。

同样，C、D选项也是完全类似的，如果保证可微，根本不能保证极限的存在，该题目答案是B。

第3小题如果出一个小的证明题难度也是比较大的。

第5题，线性相关，如果你计算能力好的话，α3，α4是局部成比例的，你很容易用α3+α4，结果出现0，0，C3+C4。

所以，1、3、4肯定相关。

如果计算能力过关，毫无疑问，答案是C。

只要你计算能力过关就没有丝毫难度。

第6个选择题，和我们以前的考研真题是完全一样的，基本上是换汤不换药，某种程度上甚至可以说是原题，我这样讲，这个题目我们有一种非常好的方法，做选择题的特殊值代入法，α1是1，0，0，α2是0，1，0，α3是0，0，1，代入以后很容易求答案，计算很简单。

04考研数学二真题

04考研数学二真题考研数学二真题是考研数学考试的重要内容之一，经常被考生们用来进行备考和练习。

以下将从考研数学二真题的特点、备考方法以及解题技巧等方面进行论述。

一、考研数学二真题的特点考研数学二真题是对考生数学运算能力和解题能力的全面检验。

其特点主要有以下几点：1.篇幅较长：相比于数学一真题，数学二真题通常题目较为复杂，篇幅较长。

2.难度适中：数学二真题的难度相对于数学一来说较高，但仍然处于可掌握的范围之内。

3.涵盖多个知识点：数学二真题往往会涉及多个知识点，需要考生们综合运用所学的各个知识点。

4.考察解题思路：数学二真题更加注重考察考生的解题思路和推理能力，而非单纯的计算运算。

二、备考方法备考数学二真题时，学生可以采用以下方法：1.了解考点：首先要熟悉数学二考试的考点，明确各个知识点的范围和要求。

2.分类练习：根据真题中题目所涉及的知识点进行分类，有针对性地进行练习和复习。

3.细致分析：在解答真题的过程中，要仔细分析每一题的解题思路和方法，并总结做题规律和技巧。

4.时间把控：在备考过程中，要注意掌握好做题的时间，尽量模拟考试的真实环境。

5.错题整理：将做错的题目进行整理和总结，找出自己的薄弱点，有针对性地加强练习。

三、解题技巧在解答数学二真题的过程中，可以采用以下一些技巧：1.先易后难：根据题目的难度，先抓住简单的题目，提高做题的效率。

2.合理利用公式：数学二考试中会用到大量的公式，要熟练掌握并合理运用。

3.注意陷阱：真题中常常设有一些陷阱选项，要注意细节和排除法。

4.画图思考：对于几何问题，可以辅助自己的思考，画出图形来更好地理解和解题。

5.反复复习：对于做错的题目和难题，要进行反复复习和练习，直到熟练为止。

总结：考研数学二真题作为考研数学考试的重要内容，对于考生而言无疑具有重要意义。

通过了解真题的特点、合理备考方法和解题技巧，考生们能够更加有效地进行备考，并在考试中取得好的成绩。

因此，希望考生们能够认真对待数学二真题，将其作为备考的重要材料之一，努力提高自己的数学水平和解题能力，为考研成功打下坚实的基础。

2023考研数学二第20题

2023考研数学二第20题
摘要：
1.2023 考研数学二第20 题概述
2.题目分析
3.解题步骤
4.结论
正文：
一、2023 考研数学二第20 题概述
2023 年考研数学二第20 题是一道关于微积分的题目，主要考察考生对微积分基本概念和运算法则的理解和运用。

该题目难度适中，需要考生具备一定的数学基础和解题技巧。

本文将针对这道题目进行详细解析，帮助考生掌握解题思路和方法。

二、题目分析
该题主要考察了微积分中的求导和积分知识点，需要考生熟练掌握求导法则和积分方法。

题目要求求解一个复合函数的二阶导数，并通过积分求解一个含有绝对值函数的定积分。

在解题过程中，需要注意正确处理绝对值函数的符号，以及正确运用积分换元法。

三、解题步骤
1.首先，根据题目给出的函数关系，求出复合函数的一阶导数。

2.然后，对一阶导数求二阶导数，得到复合函数的二阶导数。

3.接下来，根据题目要求，利用积分换元法求解含有绝对值函数的定积
分。

4.最后，将求得的定积分结果代入原式，得到最终答案。

四、结论
通过以上步骤，我们可以得出2023 年考研数学二第20 题的解答。

在解题过程中，熟练掌握微积分的基本概念和运算法则是关键，同时需要注意正确处理绝对值函数的符号和运用积分换元法。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

2012考研数学一难度适中2012考研数学一难度适中[真题答案]2012年1月考研数学
真题及答案
[在线估分]2012年1月考研数学真题在线估
分
[名师点评]2012年1月考研数学真题答案视
频解析
[打包下载]2012年1月考研数学真题及答案
下载
张伟：大家好。

主持人：张老师看过试卷之后，觉得试卷整
体难度是怎样的?
张伟：我大概看了一下，题目虽然不完全，但是我基本上发现和2011难度基本是一致
的。

主持人：下面请张老师给我们重点讲一数
(一)考了什么内容，特点是什么样的?
张伟：下面我点评一下今年的整体难度，估计一下分数的情况，我相信对2013的同学怎么备考有一个指导性。

我就题目说一下。

那我们来看数学(一)的考题。

所以，只需要看正1，X 趋向1，它是无穷的，如果是水平的，趋向无穷，如果是无穷的话，正负无穷需要关注，而这个题目不需要，X趋向无穷，如果有水平的一定没有斜的，显然一个垂直，一个是水平的，只有两个，答案是C。

第2小题也是一个基本题目，某一点处求导，函数表达非常复杂，我们用导数定义求，发现A选项是明显正确的。

第5题，线性相关，如果你计算能力好的话，α3，α4是局部成比例的，你很容易用α3+α4，结果出现0，0，C3+C4。

所以，1、3、4肯定相关。

如果计算能力过关，毫无疑问，答案是C。

只要你计算能力过关就没有丝毫难
度。

填空第10小题，常规方法做也是可以的，但是我希望这个题目，积分下限是0，上限是2，通过配方能够变成一个“X-1”作为整体，如果变成上限1，下限-1，利用奇偶性，以及定积分的几何意义，很容易解决。

如果你掌握方法，计算量非常小。

第13小题，我们同学往往比较怵，因为X 是一个抽象的向量，我们以后通过阅卷将会发现得分率不会太高，也是特殊值代入法，X是一个特殊的单位向量，比如说X是1，0，0，往下很容易代，这也是一个基本题目。

只要把我们以前讲的基本题目掌握了，锁定
高分没有任何疑问。

第15小题，这属于一个基本题型，属于不等式的证明题目，不等式证明最基本的方法是单调性，这个题目我们可以先把不等式从右往左移，构建F(x)，我相信你们都会，但是我希望你这样想，如果这样想能够简化你的运算，这个函数如果移项以后，是明显的偶函数，移项以后，只需要证明左端比0大，因为是偶函数，在-1到1之间证明比0大，我们只需要证明0到1之间就可以了。

这个题也属于基本题目，但是这个题目我在做的过程中发现运算中间对同学的计算能力是有一定的要求，而且这中间有一个基本的小公式同学都应该关注，X如果落在0—π/2之间，Xsinx，难题如果基础过关，根本是
不难的。

再看一下20大题，这和2008年考题是完全类似的，如果有不一样，只是原来的考题A 是一个N阶方阵，计算行列完全一样，这种行列式属于数值型的计算，常规方法直接按照某一行或者某一列展开，为什么这样做?因为0的元素非常多。

计算行列式按照某一行或者某一列展开很容易计算。

第二小问，第一问和第二问之间是一个铺垫关系，根据行列式要想保证有无穷多解，行列式必须为0，根据行列式为0，能求出a的取值。

有两个，其中有一个我们要淘汰一下，如果有，A的秩要等于A的增广矩阵的秩，往下再求解就完全是按步就班了。

22大题也是我们在反复强调的，二维离散型虽然不是考试的难点，但是从来都是考试的重点，x=2y的概率，表格里一共有9个小概率，只有两个对应x=2y，一个四分之一，一个零。

肯定四分之一。

计算x-y和y的协方差，协方差有所谓的分解率，我们可以分解成x，y的协方差再减去y的方差。

根据这个表格，五大期望我们也很熟，一个是EX，一个是EY，一个是EX的平方，一个是EY的平方，还有一个是EXY。

有了这5个期望，注意一个细节，22题本身不难，但是计算要小心，有一个地方出错可能就会前
功尽弃。

我把数(一)的题目像流水帐一样过了一下。

总结一下，整个题目难度是非常适中的，我相信区分度很高，有些题目你看起来很简单，但是真正计算出最终结果，我相信应该能出现不少错误，区分度应该是很高的。

我估计按照今年的题目难度，我对照最近几年，我发现2012年分数线和2011年应该是大体相当，有可能稍微低一点，这是我对数
(一)的感觉。

主持人：非常感谢张老师，谢谢大家。

12。