2012高考(文科)数学一轮复习课件：第3章第1节 导数的概念及运算知识研习(新课标版)

• 点评：应熟练掌握依据导数的定义求函数的导数的三个 步骤．Δx→0⇔－Δx→0⇔3Δx→0等是活用导数的定义的 关键，变形时注意分子分母中自变量改变量的一致性．
【即时巩固 1】 已知 liΔxm→0 fx0－23ΔΔxx－fx0＝1，则
f′(x0)等于( 3
A.2
) B．1
C．0
D．－32
解析：考查导数的定义．
1．对于函数
y＝f(x)，如果自变量
x
在
x0
处有增量 Δx， Δy
那么函数 y 相应地有增量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0) ．比值 Δx 就
叫做函数 y＝f(x)在 x0 到 x0＋Δx 之间的 平均变化率 ． • 2．当Δx→0时， 有极限，我们就说y＝f(x)在点x0处
可记导作，并把这个极限或叫做f(x)在点x0处的导数(或变化率)， • 3．导数的f′(物x0)理意义：y函′|x数＝sx＝0. s(t)在点t0处的导数
<x≤－236或236≤x< 3，故整数 x 可取的个数为 0.
答案：D
• 1．函数在点x0处的导数是数值，在区间(a，b)上的导数 是函数．
• 2．求函数的导数要熟练掌握求导公式．
• 3．搞清导数的物理意义，明确导数在解决实际问题(如 速度、加速度等问题)中的应用．
• 4．利用导数可求曲线在点P(x0，f(x0))处的切线方程，体 现了导数在解析几何中的工具性作用，也成为联结函数 与不等式知识的纽带．
• 若y＝sin x，则y′＝ • 若y＝cos x，则y′＝ • 若y＝ax，则y′＝ • 若y＝ex，则y′＝ .
nxn－1. .
c.os x
－sin x
axln a
ex
• 若y＝logax，则y′＝ • 若y＝ln x，则y′＝
. .
• 6．已知f(x)和g(x)均可导，则[f(x)±g(x)]′＝
• 1．导数概念及其几何意义 • (1)了解导数概念的实际背景． • (2)理解导数的几何意义． • 2．导数的运算 • (1)能根据导数定义求函数y＝C，y＝x，y＝x2，y＝ 的导
数．
• (2)能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法 则求简单函数的导数．
• 3．导数在研究函数中的应用 • (1)了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数
【即时巩固 2】 求下列各函数的导数：
(1)y＝
x＋x5＋sin x2
x；
(2)y＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)．
• 解析：因为y′＝3x2－6x，所以在点(1，－1)处的切线斜 率为k＝y′|x＝1＝－3，故切线方程为y＋1＝－3(x－1)，即 y＝－3x＋2.
• 答案：B
3．已知某物体的运动方程是 s＝t＋19t3，则当 t＝3 s 时
的瞬时速度是( )
A．10 m/s
B．9 m/s
C．4 m/s
D．3 m/s
，就是当物体的运动方程为s＝s(t)时，物体在t0时的 s′(瞬t0)时速度v，即v＝s′(t0)．
• 4．导数的几何意义：函数y＝f(x)在点x0处的导数f′(x0)就
是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的 f′(x0)．
，斜即率kk ＝
• 5．若y＝C，则
.
• 若y＝xn(n∈Q)，则y′＝y′＝0 .
的单调性，会求函数的单调区间(对多项式函数一般不超 过三次)． • (2)了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会 用导数求函数的极大值、极小值(对多项式函数一般不超 过三次)；会求闭区间上函数的最大值、最小值(对多项 式函数一般不超过三次)．
• 4．生活中的优化问题
• 会利用导数解决某些实际问题．
liΔxm→0
fx0－23ΔΔxx－fx0＝23liΔxm→0
fx0－2Δx－fx0 2Δx
＝－23f′(x0)＝1.所以 f′(x0)＝－32.
答案：D
• 考点二 导数的运算
• 【案例2】 设f0(x)＝sin x，f1(x)＝f0′(x)，f2(x)＝f1′(x)，…， fn＋1(x)＝fn′(x)，n∈N，则f2 005(x)等于( )
• A．sin x B．－sin x C．cos x D．－cos xHale Waihona Puke Baidu
• 解析：因为f0(x)＝sin x， • f1(x)＝f0′(x)＝(sin x)′＝cos x， • f2(x)＝f1′(x)＝(cos x)′＝－sin x， • f3(x)＝f2′(x)＝(－sin x)′＝－cos x， • f4(x)＝f3′(x)＝(－cos x)′＝sin x， • 所以4为最小正周期，所以f2 005(x)＝f1(x)＝cos x. • 答案：C
• 考点一 导数的定义 • 【案例1】 用导数的定义证明：偶函数的导数是奇函
数．
• 证明：设f(x)是偶函数，则
f′(x)＝liΔxm→0
fx＋Δx－fx Δx
＝liΔxm→0
f－x－Δx－f－x Δx
＝－li－Δmx→0 f－x＋－－ΔΔxx－f－x＝－f′(－x)，
• 即对函数f(x)的定义域内的任意x有f′(－x)＝－f′(x)，所以 f′(x)是奇函数．
解析：v＝s′＝13t2＋1，当 t＝3 时，v＝4. 答案：C
4．在函数 y＝x3－8x 的图象上，其切线的倾斜角小于4π的
点中，坐标为整数的点的个数是( )
A．3
B．2
C．1
D．0
解析：设切线的倾斜角为
α，则
0≤α<
π 4
，
k
＝
tan
α∈[0,1)．因为 y′＝3x2－8，所以 0≤3x2－8<1，解得－ 3
用
语f′言(x)叙±述g′(为x)两．个可导函数的和或差的导数，等于
两个函数的导数的和．或差
• 7．[f(x)·g(x)]′＝ f′(x)g(x)＋f(x)g′(x) ． 8.gfxx′＝ f′xg[xg－xf]2xg′x，g(x)≠0.
1．已知函数 f(x)＝－x2＋x 的图象上一点(－1，－2)及邻
近一点(－1＋Δx，－2＋Δf)，则ΔΔxf ＝(
)
A．3
B．3Δx－(Δx)2
C．3－(Δx)2
D．3－Δx
• 答案解：析D：ΔΔxf＝－－1＋Δx2＋Δx－1＋Δx＋2＝3－Δx.
• 2．曲线y＝x3－3x2＋1在点(1，－1)处的切线方程为( )
• A．y＝3x－4
B．y＝－3x＋2
• C．y＝－4x＋3 D．y＝4x－5