2012高考(文科)数学一轮复习课件：第3章第1节 导数的概念及运算知识研习(新课标版)
【经典实用】2012届高三数学第一轮第3单元导数及其应用
第13讲 │ 要点探究
[解答] (1)∵y′＝x2，∴在点 P(2,4)处的切线的斜率 k ＝ y′x＝2＝4.∴曲线在点 P(2,4)处的切线方程为
y－4＝4x－2，即 4x－y－4＝0. (2)设曲线 y＝13x3＋43与过点 P(2,4)的切线相切于点 Ax0，13x30＋43，则切线的斜率 k＝ y′x＝x0＝x20.∴切线方 程为 y－13x30＋43＝x20x－x0，即 y＝x20·x－23x30＋43.
第13讲 │ 要点探究
在例 2 中，第(1)小题中切线与曲线是否 还有其他公共点？
[解答]
由 4x－y－4＝0，
y＝13x3＋43，
消去 y，
得 x3－12x＋16＝0 即x－22x＋4＝0，∴x＝2 或 x＝
－4 代入 4x－y－4＝0，求得 y＝4 或 y＝－20.即公共点 为(2,4)(切点)和(－4，－20)．∴除切点外，还有一个交 点(－4，－20)．
[思路] 先判断原函数的类型，再套用公式求解．
第13讲 │ 要点探究
B [解析] 对于①，函数为指数函数，因此 3 x′＝
3xln3；
对于②
，
函
数
为对数
函
数
，
因此
log2x′＝
lnx ln2
′
＝
x·l1n2；对于③，函数为指数函数，因此ex′＝ex；对于④，
函数为幂函数，因此xa′＝axa－1；对于⑤，函数为三角函
第13讲 │ 规律总结
4．要区分“过某点”的切线和“在某点”的切线不同， “在某点”的切线是指以该点为切点的切线，因此此点横 坐标处的导数值为切线的斜率，而对于“过某点”的切线， 则该点不一定是切点，要利用解方程组的思想求切线的 方程．
湖北高三数学文科一轮总复习课件3.1导数的概念及其运算
f(x+������x)-f(x) 为函数 ������x ������x →0
f(x)的导函数,导函数有时也记
导函数 f'(x)=0 f'(x)=αxα-1 f'(x)=cos x f'(x)=-sin x f'(x)=axln a(a>0,且 a≠1) f'(x)=ex f'(x)= f'(x)=
第三章 导数
第1讲 导数的概念及其运算
考纲考向
考纲展示 1.了解导数概念的实际背景. 2.通过函数图象直观理解导数的几何意义 . 3.能根据导数的定义求函数 y=C(C 为常 数),y=x,y= ,y=x2,y=x3,y= ������的导数.
������ 1
命题分析
4.能利用下面给出的基本初等函数的导数公式 和导数的四则运算法则求简单函数的导数 . 常见的基本初等函数的导数公式 : C'=0(C 为常数);(xn)'=nxn-1(n∈N*); (sin x)'=cos x;(cos x)'=-sin x;(ex)'=ex;(ax)'=axln a(a>0,且 a≠1);(ln x)'= ;(logax)'=
常用的导数运算法则: 法则 1 [u(x)± v(x)]'=u'(x)± v'(x). 法则 2 [u(x)v(x)]'=u'(x)v(x)+u(x)v'(x). 法则 3
u(x) ' v(x)
=
u'(x)v(x)-u(x)v'(x) v2 (x)
(v(x)≠0).
考点基础
高考数学一轮复习 3-1 导数的概念及其运算 理
的导数的乘积．
诊断自测
1．思考辨析(请在括号中打“√”或“×”)
(1)f′(x0)与(f(x0))′表示的意义相同． ×
()
√
(2) 曲 线 的 切 线 不 一 定 与 曲 线 只 有 一 个×公 共
点． ( )
×
(3)若f(x)＝a3＋2ax－x2，则f′(x)＝3a2＋2x.
()
(4)[f(ax＋b)]′＝f′(ax＋b)．
ΔΔyx＝Δlixm→0
[3x2＋3x·Δx＋(Δx)2]＝3x2.
规律方法 定义法求函数的导数的三个步骤 一差：求函数的改变量 Δy＝f(x＋Δx)－f(x)． 二比：求平均变化率ΔΔxy＝fx＋ΔΔxx－fx. 三极限：取极限，得导数 y′＝f′(x)＝Δlixm→0ΔΔxy.
【训练 1】 函数 y＝x＋1x在[x，x＋Δx]上的平均变化率ΔΔyx＝ ________；该函数在 x＝1 处的导数是________． 答案 1－xx＋1 Δx 0
考点一 利用定义求函数的导数
【例1】 利用导数的定义求函数f(x)＝x3的导 数解．Δy＝f(x＋Δx)－f(x)＝(x＋Δx)3－x3
＝x3＋3x·(Δx)2＋3x2·Δx＋(Δx)3－x3
＝Δx[3x2＋3x·Δx＋(Δx)2]，
∴ΔΔxy＝3x2＋3x·Δx＋(Δx)2，
∴f′(x)＝ lim Δx→0
考点二 导数的计算 【例2】 分别求下列函数的导数：
(1)y＝ex·cos x；(2)y＝xx2＋1x＋x13； (3)y＝x－sin 2xcos 2x；(4)y＝ln 1＋x2.
解 (1)y′＝(ex)′cos x＋ex(cos x)′＝excos x－exsin x.
高考数学一轮总复习第三章一元函数的导数及其应用 1导数的概念意义及运算课件
解：（1）切线方程可化为 .当时，.又 ，于是解得 故 .
（2）证明：设 为曲线上任一点，由，知曲线在点处的切线方程为 ，即 .令，得 ，从而得切线与直线的交点坐标为， .令，得 ，
从而得切线与直线的交点坐标为 .所以点处的切线与直线， 所围成的三角形的面积为 .故曲线上任一点处的切线与直线， 所围成的三角形的面积为定值，且此定值为6.
变式1（1） 若函数，则 的值为__.
解：.令，得，所以 ，则.故填 .
（2）设函数，且，则 ( )
A.0 B. C.3 D.
解：因为 ,所以 ,所以，解得 .故选B.
√
（3）设函数在内可导，且，则 ___.
2
解：（方法一）令，则，所以，即 .所以，所以 .（方法二）等式两边同时求导，得.令，得 .故填2.
复合函数
常用结论
1.导数的两条性质 （1）奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数. （2）可导函数的导数为，若为增函数,则 的图象是下凹的；反之，若为减函数,则 的图象是上凸的.
2.几类重要的切线方程 （1）是曲线的切线，是曲线的切线， ,是曲线 的切线，如图1.
命题角度3 根据切线情况求参数
例4 （2022年新课标Ⅰ卷）若曲线有两条过坐标原点的切线，则 的取值范围是___________________.
解：因为，所以 .设切点为,则,切线斜率 .切线方程为 .因为切线过原点，所以 ,整理得 .
因为切线有两条，所以 .解得或 .另解：由切线斜率,与 联立，可得 .所以的取值范围是 .故填 .
变式3（1） 若函数与 的图象在一个公共点处的切线相同，则实数 ________.
3.1导数的概念及运算课件高三数学一轮复习
解析 (1)f′(x0)表示y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率，(1)错. (2)f(x)＝sin(－x)＝－sin x，则f′(x)＝－cos x，(2)错. (3)求f′(x0)时，应先求f′(x)，再代入求值，(3)错. (4)“在某点”的切线是指以该点为切点的切线，因此此点横坐标处的导数值 为切线的斜率；而对于“过某点”的切线，则该点不一定是切点，要利用解方 程组的思想求切线的方程，在曲线上某点处的切线只有一条，但过某点的切 线可以不止一条，(4)错.
f′(x)＝___e_x__
1
f′(x)＝__x_l_n_a__
1
f′(x)＝__x___
4.导数的运算法则
若 f′(x)，g′(x)存在，则有： [f(x)±g(x)]′＝______f′_(_x_)±_g_′_(_x_) _______； [f(x)g(x)]′＝____f′_(_x_)g_(_x_)_＋__f(_x_)_g_′(_x_)____； gf（（xx））′＝__f_′（__x_）__g_（__x[_g）_（_－_x_）f_（_]_2x_）__g_′_（__x_）__ (g(x)≠0)； [cf(x)]′＝_____c_f_′(_x_)_____.
训练1 (1)已知函数y＝f(x)的图象是下列四个图象之一，且其导函数y＝f′(x)的图
象如图所示，则该函数的图象是( B )
解析 由y＝f′(x)的图象是先上升后下降可知，函数y＝f(x)图象的切线的斜率 先增大后减小，故选B.
(2)曲线f(x)＝2ln x在x＝t处的切线l过原点，则l的方程是( )
A.f(x)＝x2
B.f(x)＝e－x
C.f(x)＝ln x
D.f(x)＝tan x
解析 若f(x)＝x2，则f′(x)＝2x，令x2＝2x，得x＝0或x＝2，方程显然有解， 故A符合要求； 若f(x)＝e－x，则f′(x)＝－e－x，令e－x＝－e－x，此方程无解，故B不符合要求；
第3章 §3.1 导数的概念及其意义、导数的运算--新高考数学新题型一轮复习课件
新高考数学新题型一轮复习课件第三章§3.1 导数的概念及其意义、导数的运算考试要求1.了解导数的概念、掌握基本初等函数的导数.2.通过函数图象，理解导数的几何意义3.能够用导数公式和导数的运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数(形如 f(ax＋b))的导数.落实主干知识探究核心题型内容索引课时精练L U O S H I Z H U G A N Z H I S H I 落实主干知识知识梳理1.导数的概念(1)函数y ＝f (x )在x＝x0处的导数记作 或 .0'|x x y f ′(x 0)(2)函数y ＝f (x )的导函数2.导数的几何意义函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数的几何意义就是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的，相应的切线方程为 .y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)斜率3.基本初等函数的导数公式基本初等函数导函数f (x )＝c (c 为常数)f ′(x )＝___f (x )＝x α(α∈Q ，且α≠0)f ′(x )＝______f (x )＝sin xf ′(x )＝______f (x )＝cos xf ′(x )＝_______f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)f ′(x )＝_______0αx α－1cos x －sin x a x ln ae xf(x)＝e x f′(x)＝____ f(x)＝log a x(a>0，且a≠1)f′(x)＝______ f(x)＝ln x f′(x)＝___4.导数的运算法则若f ′(x )，g ′(x )存在，则有[f (x )±g (x )]′＝ ；[f (x )g (x )]′＝ ；f ′(x )±g ′(x )f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x)[cf (x )]′＝ .cf ′(x )5.复合函数的定义及其导数复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x y′u·u′x＝，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.1.区分在点处的切线与过点处的切线(1)在点处的切线，该点一定是切点，切线有且仅有一条.(2)过点处的切线，该点不一定是切点，切线至少有一条.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)f ′(x 0)是函数y ＝f (x )在x ＝x 0附近的平均变化率.( )(2)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线.( )(3)f ′(x 0)＝[f (x 0)]′.( )(4)若f (x )＝sin (－x )，则f ′(x )＝cos (－x ).( )××××教材改编题∴f ′(1)＝e －1，又f (1)＝e ＋1，∴切点为(1，e ＋1)，切线斜率k ＝f ′(1)＝e －1，即切线方程为y －(e ＋1)＝(e －1)(x －1)，即y ＝(e －1)x ＋2.1.函数f (x )＝e x ＋ 在x ＝1处的切线方程为______________.y ＝(e －1)x ＋22.已知函数f(x)＝x ln x＋ax2＋2，若f′(e)＝0，则a＝______. f′(x)＝1＋ln x＋2ax，3.若f(x)＝ln(1－x)＋e1－x，则f′(x)＝____________.T A N J I U H E X I N T I X I N G 探究核心题型题型一导数的运算例1 (1)(多选)(2022·济南质检)下列求导运算正确的是√√(x2e x)′＝(x2＋2x)e x，故B错误；教师备选1.函数y＝sin 2x－cos 2x的导数y′等于√y′＝2cos 2x＋2sin 2x2.(2022·济南模拟)已知函数f′(x)＝e x sin x＋e x cos x，则f(2 021)－f(0)等于√A.e2 021cos 2 021B.e2 021sin 2 021C. D.e因为f′(x)＝e x sin x＋e x cos x，所以f(x)＝e x sin x＋k(k为常数)，所以f(2 021)－f(0)＝e2 021sin 2 021.(1)求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导.(2)抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解.(3)复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元.跟踪训练1 (1)若函数f(x)，g(x)满足f(x)＋xg(x)＝x2－1，且f(1)＝1，则f′(1)＋g′(1)等于√A.1B.2C.3D.4当x＝1时，f(1)＋g(1)＝0，∵f(1)＝1，得g(1)＝－1，原式两边求导，得f′(x)＋g(x)＋xg′(x)＝2x，当x＝1时，f′(1)＋g(1)＋g′(1)＝2，得f′(1)＋g′(1)＝2－g(1)＝2－(－1)＝3.e2 (2)已知函数f(x)＝ln(2x－3)＋ax e－x，若f′(2)＝1，则a＝___.∴f′(2)＝2＋a e－2－2a e－2＝2－a e－2＝1，则a＝e2.命题点1 求切线方程题型二导数的几何意义例2 (1)(2021·全国甲卷)曲线y ＝ 在点(－1，－3)处的切线方程为_____________.5x －y ＋2＝0所以切线方程为y ＋3＝5(x ＋1)，即5x －y ＋2＝0.(2)已知函数f(x)＝x ln x，若直线l过点(0，－1)，并且与曲线y＝f(x)相切，x－y－1＝0则直线l的方程为_____________.∵点(0，－1)不在曲线f(x)＝x ln x上，∴设切点为(x0，y0).又f′(x)＝1＋ln x，∴直线l的方程为y＋1＝(1＋ln x0)x.∴直线l的方程为y＝x－1，即x－y－1＝0.命题点2 求参数的值(范围)例3 (1)(2022·青岛模拟)直线y＝kx＋1与曲线f(x)＝a ln x＋b相切于点P(1,2)，则2a＋b等于√A.4B.3C.2D.1∵直线y＝kx＋1与曲线f(x)＝a ln x＋b相切于点P(1,2)，将P(1,2)代入y＝kx＋1，可得k＋1＝2，解得k＝1，解得a＝1，可得f(x)＝ln x＋b，∵P(1,2)在曲线f(x)＝ln x＋b上，∴f(1)＝ln 1＋b＝2，解得b＝2，故2a＋b＝2＋2＝4.(2)(2022·广州模拟)过定点P(1，e)作曲线y＝a e x(a>0)的切线，恰有2条，(1，＋∞)则实数a的取值范围是__________.由y ′＝a e x ，若切点为(x0， )，则切线方程的斜率k ＝ ＝ >0，∴切线方程为y ＝ (x －x 0＋1)，又P (1，e)在切线上，∴ (2－x 0)＝e ，0'|x x y 0e x a 0e x 0e x a 0e x a 0e x a 令φ(x )＝e x (2－x )，∴φ′(x )＝(1－x )e x ，当x ∈(－∞，1)时，φ′(x )>0；当x∈(1，＋∞)时，φ′(x)<0，∴φ(x)在(－∞，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，∴φ(x)max＝φ(1)＝e，又x→－∞时，φ(x)→0；x→＋∞时，φ(x)→－∞，解得a>1，即实数a的取值范围是(1，＋∞).1.已知曲线f (x )＝x 3－x ＋3在点P 处的切线与直线x ＋2y －1＝0垂直，则P 点的坐标为A.(1,3)B.(－1,3)C.(1,3)或(－1,3)D.(1，－3)√教师备选设切点P(x0，y0)，f′(x)＝3x2－1，又切点P(x0，y0)在y＝f(x)上，∴当x0＝1时，y0＝3；当x0＝－1时，y0＝3.∴切点P为(1,3)或(－1,3).2.(2022·哈尔滨模拟)已知M是曲线y＝ln x＋x2＋(1－a)x上的任一点，若曲线在M点处的切线的倾斜角均是不小于的锐角，则实数a的取值范围是A.[2，＋∞) B.[4，＋∞)√C.(－∞，2]D.(－∞，4]故a≤2，所以a的取值范围是(－∞，2].(1)处理与切线有关的参数问题，关键是根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程：①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上.(2)注意区分“在点P处的切线”与“过点P处的切线”.跟踪训练2 (1)(2022·南平模拟)若直线y＝x＋m与曲线y＝e x－2n相切，则√设直线y ＝x ＋m 与曲线y ＝e x －2n 切于点(x0， )，因为y ′＝e x －2n ，所以 ＝1，所以x 0＝2n ，所以切点为(2n ,1)，代入直线方程得1＝2n ＋m ，02e x n -02e x n -(2)若函数f(x)＝ln x＋2x2－ax的图象上存在与直线2x－y＝0平行的切线，[2，＋∞)则实数a的取值范围是__________.直线2x－y＝0的斜率k＝2，又曲线f(x)上存在与直线2x－y＝0平行的切线，∴a≥4－2＝2.∴a的取值范围是[2，＋∞).例4 (1)(2022·邯郸模拟)已知函数f (x )＝x ln x ，g (x )＝x 2＋ax (a ∈R )，直线l 与f (x )的图象相切于点A (1,0)，若直线l 与g (x )的图象也相切，则a 等于A.0B.－1C.3D.－1或3√题型三两曲线的公切线由f(x)＝x ln x求导得f′(x)＝1＋ln x，则f′(1)＝1＋ln 1＝1，于是得函数f(x)在点A(1,0)处的切线l的方程为y ＝x－1，因为直线l与g(x)的图象也相切，即关于x的一元二次方程x2＋(a－1)x＋1＝0有两个相等的实数根，因此Δ＝(a－1)2－4＝0，解得a＝－1或a＝3，所以a＝－1或a＝3.(2)(2022·韶关模拟)若曲线C1：y＝ax2(a>0)与曲线C2：y＝e x存在公共切线，则a的取值范围为__________.由y ＝ax 2(a >0)，得y ′＝2ax ，由y ＝e x ，得y ′＝e x ，曲线C 1：y ＝ax 2(a >0)与曲线C 2：y ＝e x 存在公共切线，与曲线C 2切于点(x 2， )，2e x 222121e e ,x x ax x x -=-则2ax 1＝可得2x 2＝x 1＋2，1121e 2x x +∴a ＝ ，12e 2x x+记f (x )＝ ，122e (2)4x x x +-则f ′(x )＝ ，当x ∈(0,2)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减；当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增.延伸探究 在本例(2)中，把“存在公共切线”改为“存在两条公共切线”，则a的取值范围为___________.由本例(2)知，∵两曲线C 1与C 2存在两条公共切线，∴a ＝ 有两个不同的解.1121e 2x x +12e 2x x +∵函数f (x )＝ 在(0,2)上单调递减，又x →0时，f (x )→＋∞，x →＋∞时，f (x )→＋∞，1.若f (x )＝ln x 与g (x )＝x 2＋ax 两个函数的图象有一条与直线y ＝x 平行的公共切线，则a 等于A.1B.2C.3D.3或－1教师备选√解得x＝1，故切点为(1,0)，可求出切线方程为y＝x－1，此切线和g(x)＝x2＋ax也相切，故x2＋ax＝x－1，化简得到x2＋(a－1)x＋1＝0，只需要满足Δ＝(a－1)2－4＝0，解得a＝－1或a＝3.。
高考数学一轮总复习课件：导数的概念与运算
(4)f(x)＝ 1－1 2x2；
π (5)f(x)＝cos(3x2－ 6 )．
【解析】 (1)∵f′(x)＝(2x5＋8x4－5x3＋2x2＋8x－5)′，
∴f′(x)＝10x4＋32x3－15x2＋4x＋8.
(2)∵f(x)＝11＋ －
xx＋11＋－
x x
＝（1＋ 1－xx）2＋（1－ 1－xx）2
π 5．设正弦函数y＝sinx在x＝0和x＝ 2 处的瞬时变化率为
k1，k2，则k1，k2的大小关系为( A )
A．k1>k2
B．k1<k2
C．k1＝k2
D．不确定
解析 ∵y＝sinx，∴y′＝(sinx)′＝cosx. π
k1＝cos0＝1，k2＝cos 2 ＝0，∴k1>k2.
授人以渔
题型一 导数的概念(自主学习)
(3)设切点为(x0，y0)，则切线的斜率为k＝x02＝1， 解得x0＝±1，故切点为1，53或(－1，1)． 故所求切线方程为y－53＝x－1或y－1＝x＋1. 即3x－3y＋2＝0或x－y＋2＝0.
【答案】 (1)4x－y－4＝0 (2)4x－y－4＝0或x－y＋2＝0 (3)3x－3y＋2＝0或x－y＋2＝0
状元笔记
求曲线的切线方程的两种类型 (1)在求曲线的切线方程时，注意两个“说法”：求曲线在 点P处的切线方程和求曲线过点P的切线方程，在点P处的切线， 一定是以点P为切点；过点P的切线，不确定点P在不在曲线上， 点P不一定是切点． (2)求曲线过点P(x0，y0)的切线方程的步骤为： 第一步，设出切点坐标P′(x1，f(x1))；
数的平均变化率Δ Δyx的极限是否存在．
(2)利用导数定义求函数的导数时，先算函数的增量Δy，
高考数学一轮复习第3章第1节导数的概念及运算课件理2
●命题角度一 求切线方程
【例 1】 (1)(2019 年全国卷Ⅱ)曲线 y＝2sin x＋cos x 在点(π，－1)处的切线方程为
() A．x－y－π－1＝0
B．2x－y－2π－1＝0
C．2x＋y－2π＋1＝0
D．x＋y－π＋1＝0
(2) 经 过 原 点 (0 ， 0) 作 函 数 f(x) ＝ x3 ＋ 3x2 的 图 象 的 切 线 ， 则 切 线 方 程 为
5．定积分的概念 在bf(x)dx 中，a，b 分别叫做积分 18 ___下__限____与积分 19 __上__限_____，区间[a，b]叫
a
做 20 _积__分__区__间__，f(x)叫做 21 __被__积_____函数，x 叫做 22 _积__分__变__量__，f(x)dx 叫做 23 __被__积__式___．
2
课 堂 ·考 点 突 破
考点 导数的运算
|题组突破|
1．已知 f(x)＝x(2 017＋ln x)，若 f′(x0)＝2 018，则 x0＝( )
A．e2
B．1
C．ln 2
D．e
解析：选 B 因为 f(x)＝x(2 017＋ln x)， 所以 f′(x)＝2 017＋ln x＋1＝2 018＋ln x. 又 f′(x0)＝2 018， 所以 2 018＋ln x0＝2 018，所以 x0＝1.故选 B．
2．已知函数 f(x)的导函数为 f′(x)，且满足 f(x)＝2xf′(1)＋ln x，则 f′(1)＝( )
A．－e
B．－1
C．1
D．e
解析：选 B 由 f(x)＝2xf′(1)＋ln x，得 f′(x)＝2f′(1)＋1x，所以 f′(1)＝2f′(1)＋1，所以 f′(1) ＝－1，故选 B．
高考数学一轮复习第三章导数及其应用第1讲导数的概念与导数的计算课件
解析
∵y′＝xcos
x－sin x2
x，∴y′|x＝π2＝－π4 2，当
x＝π2 时，y
＝π2 ，∴切线方程为 y－π2 ＝－π42x－π2 ，即 y＝－π42x＋π4 .
答案 C
4.(2017·西安月考)设曲线y＝ax－ln(x＋1)在点(0，0)处的切 线方程为y＝2x，则a＝________. 解析 y′＝a－x＋1 1，由题意得 y′|x＝0＝2，即 a－1＝2， 所以 a＝3. 答案 3
5.(2017·丽水调研)如图，函数y＝f(x)的图象在点P处的切线 方程是y＝－x＋8，则f′(5)＝________；f(5)＝________.
解析 f′(5)＝－1，f(5)＝－5＋8＝3. 答案 －1 3
6.(2017·舟山调研)定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x)＝12f′(1)e2x－2＋ x2－2f(0)x，则 f(0)＝________；f(x)＝________. 解析 ∵f(x)＝12f′(1)e2x－2＋x2－2f(0)x， ∴f′(x)＝f′(1)e2x－2＋2x－2f(0)， ∴f′(1)＝f′(1)＋2－2f(0)，∴f(0)＝1， 即 1＝12f′(1)e－2，∴f(x)＝e2x＋x2－2x. 答案 1 e2x＋x2－2x
f(x)＝sin x f(x)＝cos x
导函数 f′(x)＝0 f′(x)＝__α_xα_－_1 ___ f′(x)＝_c_os__x__ f′(x)＝－__si_n_x__
f(x)＝ex f(x)＝ax(a＞0)
f(x)＝ln x f(x)＝logax (a＞0，a≠1)
f′(x)＝__ex__
考点一 导数的运算 【例 1】 分别求下列函数的导数：
高考文科数学一轮复习第三章导数及其应用第一节导数与导数的运算课件
2.函数f(x)的导函数:称函数f′(x)=__l_im__f_(x___x_)__f_(x_)___为f(x)的导函数.
x0
x
3.基本初等函 数的导数公式
原函数 f(x)=c(c为常数) f(x)=xn(n∈Q*) f(x)=sin x f(x)=cos x f(x)=ax (a>0且a≠1) f(x)=ex f(x)=logax (x>0,a>0且a≠1) f(x)=ln x (x>0)
提示:(1) ×.在导数的定义中,Δx可正、可负但不可为0. (2) ×.(3x)′=3xln 3. (3)×.求函数f(x)在x=x0处的导数f′(x0)时,应先求f′(x),再求f′(x0). (4)×.曲线的切线与曲线的公共点个数不一定只有一个.
【易错点索引】
序号 易错警示
典题索引
1 导数公式记错
5.(选修1-1 P75例6改编)曲线y=-5ex+3在点(0,-2)处的切线方程为
.
【解析】由y=-5ex+3得,y′=-5ex,所以切线的斜率k=y′|x=0=-5,所以切线方程为 y+2=-5(x-0),即5x+y+2=0.
答案:5x+y+2=0
导函数 f′(x)=_0_ f′(x)=_n_x_n_-1_ f′(x)=_c_o_s__x_ f′(x)= _-_s_i_n__x_
f′(x)=_a_xl_n__a_
f′(x)=_e_x
1
f′(x)=__xl_n_a_
f′(x)=___1x__
4.导数的运算法则 (1)[f(x)±g(x)]′=_______________. (2)[f(x)·g(x)]′=_f_′__(_x_)_±__g_′__(_x_)________.
高考数学一轮复习第3章一元函数的导数及其应用1导数的概念意义及运算课件新人教版
导函数
f'(x)=0
f'(x)=αxα-1
f'(x)=cos x
f'(x)=-sin x
f'(x)=axln a
f'(x)=ex
1
f'(x)=
ln
1
f'(x)=
4.导数的运算法则
(1)[f(x)±g(x)]'= f'(x)±g'(x) ;
(2)[f(x)g(x)]'= f'(x)g(x)+f(x)g'(x) ;
3.通过函数的图象直观理解导数的几何意义.
1
,y=
x
4.能根据导数的定义求函数y=c,y=x,y=x2,y=x3, y=
x 的导数.
5.能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则,求简单
函数的导数;能求简单的复合函数(限于形如f(ax+b))的导数.
6.会使用导数公式表.
备考指导
导数是高中数学的重点,而求给定函数的导数则是解决导数问题的基本.复
由 f'(x)= 2 ,得 f'(2)=
.
4
.
4.函数y=sin 3x的导函数是 y'=3cos 3x .
设y=sin u,u=3x,则yx'=yu'·
ux'=(sin u)'·
(3x)'=cos u·
3=3cos 3x.
5.曲线y=3(x2+x)ex在点(0,0)处的切线方程为
y=3x
.
由题意可知y'=3(2x+1)ex+3(x2+x)ex=3(x2+3x+1)ex,得k=y'|x=0=3.
人教A版高考总复习一轮文科数学精品课件 第3章 导数及其应用 第1节 导数的概念及运算
2
2
=
1
2
,即 x0=± 2 ,
2
2
,2
2
=-2 2,此时点 P 的坐标为 −
2 ,
2
, −2
2
2 .
考向3求参数的值(范围)
例4(1)(2022四川成都二模)若曲线y=ln x+x2+1在点(1,2)处的切线与直线
ax+y-1=0平行,则实数a的值为(
A.-4
B.-3
C.4
D.3
)
(2)(2022新高考Ⅰ,15)若曲线y=(x+a)ex有两条过坐标原点的切线,则a的取
当 x<0 时,y=ln(-x),点(x2,ln(-x2))(x2<0)上的切线为
y=e.
1
y-ln(-x2)= (x-x2).若该切线
2
经过原点,则 ln(-x2)-1=0,解得 x2=-e,此时切线方程为
y=- .
e
规律方法 求曲线过点P的切线方程的方法
(1)当点P(x0,y0)是切点时,切线方程为y-y0=f'(x0)(x-x0).
所以 2-(e 0 +2x0)=(e 0 +2)(1-x0),即e 0 (2-x0)=0,解得 x0=2,
所以切线方程为(e2+2)x-y-e2=0.
考向2求曲线的切点坐标
例3(1)设曲线y=ex+1上点P处的切线平行于直线x-y-1=0,则点P的坐标
是
.
(2)设 a∈R,函数 f(x)=e
即切点的横坐标为 ln 2.
3
,解得 ex=2
2
或e
x
1
=-2(舍去),所以
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数．
• (2)能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法 则求简单函数的导数．
• 3．导数在研究函数中的应用 • (1)了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数
• 考点一 导数的定义 • 【案例1】 用导数的定义证明：偶函数的导数是奇函
数．
• 证明：设f(x)是偶函数，则
f′(x)＝liΔxm→0
fx＋Δx－fx Δx
＝liΔxm→0
f－x－Δx－f－x Δx
＝－li－Δmx→0 f－x＋－－ΔΔxx－f－x＝－f′(－x)，
• 即对函数f(x)的定义域内的任意x有f′(－x)＝－f′(x)，所以 f′(x)是奇函数．
，就是当物体的运动方程为s＝s(t)时，物体在t0时的 s′(瞬t0)时速度v，即v＝s′(t0)．
• 4．导数的几何意义：函数y＝f(x)在点x0处的导数f′(x0)就
是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的 f′(x0)．
，斜即率kk ＝
• 5．若y＝C，则
.
• 若y＝xn(n∈Q)，则y′＝y′＝0 .
【即时巩固 2】 求下列各函数的导数：
(1)y＝
x＋x5＋sin x2
x；
(2)y＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)．
• 解析：因为y′＝3x2－6x，所以在点(1，－1)处的切线斜 率为k＝y′|x＝1＝－3，故切线方程为y＋1＝－3(x－1)，即 y＝－3x＋2.
• 答案：B
3．已知某物体的运动方程是 s＝t＋19t3，则当9 m/s
C．4 m/s
D．3 m/s
1．对于函数
y＝f(x)，如果自变量
x
在
x0
处有增量 Δx， Δy
那么函数 y 相应地有增量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0) ．比值 Δx 就
叫做函数 y＝f(x)在 x0 到 x0＋Δx 之间的 平均变化率 ． • 2．当Δx→0时， 有极限，我们就说y＝f(x)在点x0处
可记导作，并把这个极限或叫做f(x)在点x0处的导数(或变化率)， • 3．导数的f′(物x0)理意义：y函′|x数＝sx＝0. s(t)在点t0处的导数
• 点评：应熟练掌握依据导数的定义求函数的导数的三个 步骤．Δx→0⇔－Δx→0⇔3Δx→0等是活用导数的定义的 关键，变形时注意分子分母中自变量改变量的一致性．
【即时巩固 1】 已知 liΔxm→0 fx0－23ΔΔxx－fx0＝1，则
f′(x0)等于( 3
A.2
) B．1
C．0
D．－32
解析：考查导数的定义．
近一点(－1＋Δx，－2＋Δf)，则ΔΔxf ＝(
)
A．3
B．3Δx－(Δx)2
C．3－(Δx)2
D．3－Δx
• 答案解：析D：ΔΔxf＝－－1＋Δx2＋Δx－1＋Δx＋2＝3－Δx.
• 2．曲线y＝x3－3x2＋1在点(1，－1)处的切线方程为( )
• A．y＝3x－4
B．y＝－3x＋2
• C．y＝－4x＋3 D．y＝4x－5
<x≤－236或236≤x< 3，故整数 x 可取的个数为 0.
答案：D
• 1．函数在点x0处的导数是数值，在区间(a，b)上的导数 是函数．
• 2．求函数的导数要熟练掌握求导公式．
• 3．搞清导数的物理意义，明确导数在解决实际问题(如 速度、加速度等问题)中的应用．
• 4．利用导数可求曲线在点P(x0，f(x0))处的切线方程，体 现了导数在解析几何中的工具性作用，也成为联结函数 与不等式知识的纽带．
的单调性，会求函数的单调区间(对多项式函数一般不超 过三次)． • (2)了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会 用导数求函数的极大值、极小值(对多项式函数一般不超 过三次)；会求闭区间上函数的最大值、最小值(对多项 式函数一般不超过三次)．
• 4．生活中的优化问题
• 会利用导数解决某些实际问题．
liΔxm→0
fx0－23ΔΔxx－fx0＝23liΔxm→0
fx0－2Δx－fx0 2Δx
＝－23f′(x0)＝1.所以 f′(x0)＝－32.
答案：D
• 考点二 导数的运算
• 【案例2】 设f0(x)＝sin x，f1(x)＝f0′(x)，f2(x)＝f1′(x)，…， fn＋1(x)＝fn′(x)，n∈N，则f2 005(x)等于( )
• A．sin x B．－sin x C．cos x D．－cos x
• 解析：因为f0(x)＝sin x， • f1(x)＝f0′(x)＝(sin x)′＝cos x， • f2(x)＝f1′(x)＝(cos x)′＝－sin x， • f3(x)＝f2′(x)＝(－sin x)′＝－cos x， • f4(x)＝f3′(x)＝(－cos x)′＝sin x， • 所以4为最小正周期，所以f2 005(x)＝f1(x)＝cos x. • 答案：C
• 若y＝sin x，则y′＝ • 若y＝cos x，则y′＝ • 若y＝ax，则y′＝ • 若y＝ex，则y′＝ .
nxn－1. .
c.os x
－sin x
axln a
ex
• 若y＝logax，则y′＝ • 若y＝ln x，则y′＝
. .
• 6．已知f(x)和g(x)均可导，则[f(x)±g(x)]′＝
用
语f′言(x)叙±述g′(为x)两．个可导函数的和或差的导数，等于
两个函数的导数的和．或差
• 7．[f(x)·g(x)]′＝ f′(x)g(x)＋f(x)g′(x) ． 8.gfxx′＝ f′xg[xg－xf]2xg′x，g(x)≠0.
1．已知函数 f(x)＝－x2＋x 的图象上一点(－1，－2)及邻
解析：v＝s′＝13t2＋1，当 t＝3 时，v＝4. 答案：C
4．在函数 y＝x3－8x 的图象上，其切线的倾斜角小于4π的
点中，坐标为整数的点的个数是( )
A．3
B．2
C．1
D．0
解析：设切线的倾斜角为
α，则
0≤α<
π 4
，
k
＝
tan
α∈[0,1)．因为 y′＝3x2－8，所以 0≤3x2－8<1，解得－ 3