最新实变函数与泛函分析概要第1 3章复习_图文教学讲义PPT课件
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2021/1/20
福州大学数学与计算机学院聂建英
第二节 映射.集的对等.可
列集
2021/1/20
福州大学数学与计算机学院聂建英
一.映射
1.定义
De2.f1设集X合 Y , ,f--对应规 ,x 则 X有 , 唯一 确定y与 的之对 ,则应 称 f为定义 X上在 的一个 f 映 ,记为 f :XY,xX,f(x):xyf(x)
2021/1/20
福州大学数学与计算机学院聂建英
定义 若Ec为开集，则称E为闭集。
2021/1/20
福州大学数学与计算机学院聂建英
定理3.2 E为闭集的充分必要条件是
证明:
E' E
由于 EE' EE' {E的孤立点}全 故EE等价E于 ' E
2021/1/20
福州大学数学与计算机学院聂建英
定义
长 的 时 间 隧 道，袅
函数与泛函分析概要第1 3章复习_图
第一章复习
2021/1/20
福州大学数学与计算机学院聂建英
第一节
集及其运算
2021/1/20
福州大学数学与计算机学院聂建英
差 A B 或 ： A \B { x :x A 但 x B }
余C ： sASA（其中S为全集）,简记为Ac
例：1）Z = {0，1，-1，2，-2，3，-3， …}
2）[0,1]中的有理数全体 ={0,1,1/2,1/3,2/3,1/4,3/4,1/5,2/5, …}
2021/1/20
福州大学数学与计算机学院聂建英
可数集性质：
定理2.1 任何无穷集都包含一个可 数子集。
（即可数集 是无限集中具有最小势的集合)
2021/1/20
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3.可数集合
1).可数集的定义
与自然数集N对等的集合称为可数
集或可列集，其基数记为 0
1, 2, 3, 4, 5, 6,… a1, a2, a3, a4, a5, a6, …
2021/1/20
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注：A可数当且仅当 A可以写成无 穷序列的形式{a1, a2, a3, …}
进 入 夏 天 ，少 不了一 个热字 当头， 电扇空 调陆续 登场， 每逢此 时，总 会想起 那 一 把 蒲 扇 。蒲扇 ，是记 忆中的 农村， 夏季经 常用的 一件物 品。 记 忆 中 的故 乡 ， 每 逢 进 入夏天 ，集市 上最常 见的便 是蒲扇 、凉席 ，不论 男女老 少，个 个手持 一 把 ， 忽 闪 忽闪个 不停， 嘴里叨 叨着“ 怎么这 么热” ，于是 三五成 群，聚 在大树 下 ， 或 站 着 ，或随 即坐在 石头上 ，手持 那把扇 子，边 唠嗑边 乘凉。 孩子们 却在周 围 跑 跑 跳 跳 ，热得 满头大 汗，不 时听到 “强子 ，别跑 了，快 来我给 你扇扇 ”。孩 子 们 才 不 听 这一套 ，跑个 没完， 直到累 气喘吁 吁，这 才一跑 一踮地 围过了 ，这时 母 亲总是 ，好似 生气的 样子， 边扇边 训，“ 你看热 的，跑 什么？ ”此时 这把蒲 扇， 是 那 么 凉 快 ，那么 的温馨 幸福， 有母亲 的味道 ！ 蒲 扇 是 中 国传 统工艺 品，在 我 国 已 有 三 千年多 年的历 史。取 材于棕 榈树， 制作简 单，方 便携带 ，且蒲 扇的表 面 光 滑 ， 因 而，古 人常会 在上面 作画。 古有棕 扇、葵 扇、蒲 扇、蕉 扇诸名 ，实即 今 日 的 蒲 扇 ，江浙 称之为 芭蕉扇 。六七 十年代 ，人们 最常用 的就是 这种， 似圆非 圆 ， 轻 巧 又 便宜的 蒲扇。 蒲 扇 流 传 至今， 我的记 忆中， 它跨越 了半个 世纪， 也 走 过 了 我 们的半 个人生 的轨迹 ，携带 着特有 的念想 ，一年 年，一 天天， 流向长
则称f为满射；
若f既为单射又是满射，则称f为一一映射。
2021/1/20
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2 对等与势
定义2.2 设A,B是两非空集合，若存在 着A到B的一一映射f（f既单又满）， 则称A与B对等,
记作
A~ B
约定
~
注：称与A对等的集合为与A有相同 的势（基数），记作
A
势是对有限集元素个数概念的推广
称 集 合 :E' {E的 孤 立 点 全 体 }E' E 为 E的 闭 包 ,记 为 E.
第三节一维开 集·闭集 及其性质
2021/1/20
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定义3.1
若集合E的每ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ个点都E的内点， 则称E为开集。
2021/1/20
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4.开集的性质
A
B
定理3.1 a. 空集，R为开集; b. 任意多个开集之并仍为开集； c. 有限个开集之交仍为开集。
定义域 D(f)
原
像
像 值域 R(f)
2021/1/20
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单射,满射,一一对应(一一映射)
若 x 1 ,x 2 X ,x 1 x 2 ,有 f( x 1 ) f( x 2 )
称f为单射；
若 f （ X ） ＝ Y ,即 y Y , x X ,有 f( x ) y
2021/1/20
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可数集的性质（并集）
•有限集与可数集的并仍为可数集 •有限个可数集的并仍为可数集 •可数个可数集的并仍为可数集
2021/1/20
福州大学数学与计算机学院聂建英
例:有限个可数集的卡氏积是可数集
设A，B是可数集，则A×B也是可数集
A B {x ,(y )|x A ,y B } {x,(y)|y B }
x A
x固定，y在变 从而A×B也是可数集（可数个可数集的并）
利用数学归纳法即得有限个乘积的情形
2021/1/20
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例 4 代数数全体是可数集 整系数多项式方程的实根称为代数数； 不是代数数的实数称为超越数。
常见可数集举例:
2021/1/20
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A
注A ： BA B c
B
(AB)BA不一定成立
2021/1/20
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笛卡尔乘积
A B { a ,b ( ):a A ,b B }
n
A i {x 1 ( ,x 2 , ,x n ):x i A i,i 1 ,2 , ,n } i 1
A i {x 1 ,(x 2 , ,x n , ):x i A i,i 1 ,2 , ,n , }
2021/1/20
福州大学数学与计算机学院聂建英
第二节 映射.集的对等.可
列集
2021/1/20
福州大学数学与计算机学院聂建英
一.映射
1.定义
De2.f1设集X合 Y , ,f--对应规 ,x 则 X有 , 唯一 确定y与 的之对 ,则应 称 f为定义 X上在 的一个 f 映 ,记为 f :XY,xX,f(x):xyf(x)
2021/1/20
福州大学数学与计算机学院聂建英
定义 若Ec为开集，则称E为闭集。
2021/1/20
福州大学数学与计算机学院聂建英
定理3.2 E为闭集的充分必要条件是
证明:
E' E
由于 EE' EE' {E的孤立点}全 故EE等价E于 ' E
2021/1/20
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定义
长 的 时 间 隧 道，袅
函数与泛函分析概要第1 3章复习_图
第一章复习
2021/1/20
福州大学数学与计算机学院聂建英
第一节
集及其运算
2021/1/20
福州大学数学与计算机学院聂建英
差 A B 或 ： A \B { x :x A 但 x B }
余C ： sASA（其中S为全集）,简记为Ac
例：1）Z = {0，1，-1，2，-2，3，-3， …}
2）[0,1]中的有理数全体 ={0,1,1/2,1/3,2/3,1/4,3/4,1/5,2/5, …}
2021/1/20
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可数集性质：
定理2.1 任何无穷集都包含一个可 数子集。
（即可数集 是无限集中具有最小势的集合)
2021/1/20
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3.可数集合
1).可数集的定义
与自然数集N对等的集合称为可数
集或可列集，其基数记为 0
1, 2, 3, 4, 5, 6,… a1, a2, a3, a4, a5, a6, …
2021/1/20
福州大学数学与计算机学院聂建英
注：A可数当且仅当 A可以写成无 穷序列的形式{a1, a2, a3, …}
进 入 夏 天 ，少 不了一 个热字 当头， 电扇空 调陆续 登场， 每逢此 时，总 会想起 那 一 把 蒲 扇 。蒲扇 ，是记 忆中的 农村， 夏季经 常用的 一件物 品。 记 忆 中 的故 乡 ， 每 逢 进 入夏天 ，集市 上最常 见的便 是蒲扇 、凉席 ，不论 男女老 少，个 个手持 一 把 ， 忽 闪 忽闪个 不停， 嘴里叨 叨着“ 怎么这 么热” ，于是 三五成 群，聚 在大树 下 ， 或 站 着 ，或随 即坐在 石头上 ，手持 那把扇 子，边 唠嗑边 乘凉。 孩子们 却在周 围 跑 跑 跳 跳 ，热得 满头大 汗，不 时听到 “强子 ，别跑 了，快 来我给 你扇扇 ”。孩 子 们 才 不 听 这一套 ，跑个 没完， 直到累 气喘吁 吁，这 才一跑 一踮地 围过了 ，这时 母 亲总是 ，好似 生气的 样子， 边扇边 训，“ 你看热 的，跑 什么？ ”此时 这把蒲 扇， 是 那 么 凉 快 ，那么 的温馨 幸福， 有母亲 的味道 ！ 蒲 扇 是 中 国传 统工艺 品，在 我 国 已 有 三 千年多 年的历 史。取 材于棕 榈树， 制作简 单，方 便携带 ，且蒲 扇的表 面 光 滑 ， 因 而，古 人常会 在上面 作画。 古有棕 扇、葵 扇、蒲 扇、蕉 扇诸名 ，实即 今 日 的 蒲 扇 ，江浙 称之为 芭蕉扇 。六七 十年代 ，人们 最常用 的就是 这种， 似圆非 圆 ， 轻 巧 又 便宜的 蒲扇。 蒲 扇 流 传 至今， 我的记 忆中， 它跨越 了半个 世纪， 也 走 过 了 我 们的半 个人生 的轨迹 ，携带 着特有 的念想 ，一年 年，一 天天， 流向长
则称f为满射；
若f既为单射又是满射，则称f为一一映射。
2021/1/20
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2 对等与势
定义2.2 设A,B是两非空集合，若存在 着A到B的一一映射f（f既单又满）， 则称A与B对等,
记作
A~ B
约定
~
注：称与A对等的集合为与A有相同 的势（基数），记作
A
势是对有限集元素个数概念的推广
称 集 合 :E' {E的 孤 立 点 全 体 }E' E 为 E的 闭 包 ,记 为 E.
第三节一维开 集·闭集 及其性质
2021/1/20
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定义3.1
若集合E的每ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ个点都E的内点， 则称E为开集。
2021/1/20
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4.开集的性质
A
B
定理3.1 a. 空集，R为开集; b. 任意多个开集之并仍为开集； c. 有限个开集之交仍为开集。
定义域 D(f)
原
像
像 值域 R(f)
2021/1/20
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单射,满射,一一对应(一一映射)
若 x 1 ,x 2 X ,x 1 x 2 ,有 f( x 1 ) f( x 2 )
称f为单射；
若 f （ X ） ＝ Y ,即 y Y , x X ,有 f( x ) y
2021/1/20
福州大学数学与计算机学院聂建英
可数集的性质（并集）
•有限集与可数集的并仍为可数集 •有限个可数集的并仍为可数集 •可数个可数集的并仍为可数集
2021/1/20
福州大学数学与计算机学院聂建英
例:有限个可数集的卡氏积是可数集
设A，B是可数集，则A×B也是可数集
A B {x ,(y )|x A ,y B } {x,(y)|y B }
x A
x固定，y在变 从而A×B也是可数集（可数个可数集的并）
利用数学归纳法即得有限个乘积的情形
2021/1/20
福州大学数学与计算机学院聂建英
例 4 代数数全体是可数集 整系数多项式方程的实根称为代数数； 不是代数数的实数称为超越数。
常见可数集举例:
2021/1/20
福州大学数学与计算机学院聂建英
A
注A ： BA B c
B
(AB)BA不一定成立
2021/1/20
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笛卡尔乘积
A B { a ,b ( ):a A ,b B }
n
A i {x 1 ( ,x 2 , ,x n ):x i A i,i 1 ,2 , ,n } i 1
A i {x 1 ,(x 2 , ,x n , ):x i A i,i 1 ,2 , ,n , }